Capítulo 2 Sucesiones y series
2.1. Sucesiones de números reales 2.1.1. Definición, rango y operaciones algebraicas Formalmente, una
sucesión de números reales es una aplicación s : N → R , que a cada
número natural k le asocia un número real que denotaremos xk ó ( xk ) k ∈N ó ( x El
( k )
) k ∈N o simplemente (
( k )
. Dicha sucesión se denotará
) .
k k
rango de la sucesión ( xk ) k
∈N
es la imagen de s como aplicación, es decir, el conjunto de los
alores que toma. !ero ha" que tener en cuenta que en una sucesión cada elemento a ligado al lugar que ocupa, de modo que ha" muchas sucesiones con el mis mo rango.
#as sucesiones se pueden sumar entre s$ o multiplicarse por escalares, reali%ando las correspondientes operaciones t&rmino a t&rmino en sus alores, de la manera natural:
Suma ( k ) k + ( yk ) k
=
( xk
+
yk ) k
Producto por escalares λ ( xk ) k
=
( λ xk ) k , λ ∈ R .
'on estas operaciones de suma " producto por escalares, el conjunto de todas las sucesiones de N
números reales, que denotaremos R , adquiere la estructura de espacio ectorial real. ami&n se pueden multiplicar dos sucesiones t&rmino a t&rmino, o diidir *si los t&rminos del denominador no se anulan*:
Producto ( xk ) k ⋅ ( yk ) k
=
( xk y k ) k
Cociente
=
( xk + y k ) k
(
k
) k +( yk ) k
(siempre que
k
≠
, ∀k ).
2.1.2. Sucesiones monótonas #a sucesión ( xk ) k es creciente cuando
k
≤ xk +- para
#a sucesión ( xk ) k es decreciente cuando xk
≥
todo k ∈ N .
xk +- para todo k ∈ N .
#a sucesión ( xk ) k es monótona cuando es creciente o decreciente. #a sucesión ( xk ) k es estrictamente creciente cuando xk #a sucesión ( xk ) k es estrictamente decreciente cuando #a sucesión
( xk ) k es estrictamente
<
k
xk +- para todo k ∈ N . > xk +- para
todo k ∈ N .
monótona cuando es estrictamente creciente o
estrictamente decreciente.
2
2.1.3. Sucesiones acotadas #a sucesión (
) es
k k
acotada superiormente cuando e/iste algún número M tal que xk ≤ M
para todo k ∈ N . En este caso, se dice que M es una cota superior de ( xk ) k . #a sucesión (
)
k k
es
acotada inferiormente cuando e/iste algún número M tal que xk ≥ M
para todo k ∈ N . En este caso, se dice que M es una cota in0erior de ( #a sucesión ( xk ) k es
) .
k k
acotada cuando es acotada superior e in0eriormente, o, equialentemente,
cuando e/iste algún número M tal que xk
≤
M para todo k ∈ N . En este caso, se dice que M es una
cota de ( xk ) k .
2.1.. Sucesiones con!ergentes 1e dice que la sucesión (
)
k k
es
con!ergente cuando e/iste un número real
tal que para
cada ε > se puede encontrar un $ndice (en principio, dependiente de ε ) a partir del cual todos los t&rminos se encuentran en el interalo ( x − ε , x + ε ) . Dicho de otra manera, cuando satis0ace la condición ∀ε >
,
∃k ∈ N +
xk − x
En este caso, x se llama l$mite de la sucesión ( lim xk
< ε , ∀k ≥
k .
) , " se denota
k k
=
k
→
x ó
x.
k →∞
Propiedades de las sucesiones con!ergentes" •
El l$mite de una sucesión conergente es único.
•
oda sucesión conergente es acotada.
•
oda sucesión creciente " acotada superiormente es conergente. oda sucesión decreciente " acotada in0eriormente es conergente.
•
#a suma de dos sucesiones conergentes es otra sucesión conergente, " además lim ( xk + yk ) = lim xk + lim k . k →∞
k →∞
•
El producto de dos sucesiones conergentes es otra sucesión conergente, " además lim ( xk yk ) = (lim xk )( lim y k ) . k →∞
•
k →∞
k →∞
El producto de un escalar por una sucesión conergente es otra sucesión conergente, " además lim (λ xk ) = λ lim xk . k →∞
•
k →∞
k →∞
El cociente de dos sucesiones conergentes es otra sucesión conergente, siempre que est& ien de0inida (i.e., los t&rminos del denominador no se anulen) " el l$mite de la sucesi ón del denominador sea distinto de . En este caso, lim ( xk + yk ) = lim xk + lim yk . k →∞
k →∞
k →∞
2.1.#. Sucesiones di!ergentes 1e dice que la sucesión (
)
k k
es
di!ergente cuando para cada M > se puede encontrar un
$ndice (en principio, dependiente de ) a partir del cual todos los t&rminos de la sucesión tienen alor asoluto ma"or que . Dicho de otra manera, cuando satis0ace la condición ∀ M > , ∃k ∈ N + > M ∀k ≥ k . k En este caso se denota xk → ∞ ó lim xk
= ∞.
k →∞
1e dice que la sucesión (
)
k k
es
di!ergente $acia
+∞
cuando para cada M > se puede
encontrar un $ndice (en principio, dependiente de M ) a partir del cual todos los t&rminos de la sucesión son ma"ores que . Dicho de otra manera, cuando satis0ace la condición ∀ M > , ∃k ∈ N + xk > M ∀k ≥ k . En este caso se denota xk → +∞ ó lim xk
= +∞ .
k →∞
1e dice que la sucesión ( xk ) k es
di!ergente $acia
−∞
cuando para cada K < se puede
encontrar un $ndice (en principio, dependiente de K ) a partir del cual todos los t&rminos de la sucesión son menores que K . Dicho de otra manera, cuando satis0ace la condición ∀ K < , ∃k ∈ N + xk < K ∀k ≥ k . En este caso se denota xk → −∞ ó lim xk
= −∞ .
k →∞
Propiedades de las sucesiones di!ergentes" •
3na sucesión (
) es diergente cuando la sucesión
k k
( x )k de sus alores asolutos es k
diergente hacia +∞ , aunque ella misma no sea diergente hacia −∞ % por ejemplo, puede ser oscilante).
+∞ ni
diergente hacia
•
#a suma de dos sucesiones diergentes hacia +∞ (resp. −∞ & tami&n es diergente hacia +∞ (resp. −∞ &, pero la suma de dos sucesiones diergentes, en general, no es necesariamente otra sucesión diergente.
•
El producto de dos sucesiones diergentes es otra sucesión diergente.
•
3na sucesión diergente no puede ser acotada.
•
3na sucesión creciente (resp. decreciente) " no acotada superiormente (resp. in0eriormente) es diergente hacia +∞ (resp. −∞ &.
'()'('*+S'-S '()'('*-S 1e dice que una sucesión ( xk ) k de números reales es un infinit/simo cuando lim xk
=
.
k →∞
Dados dos in0init&simos, ( denota xk ≈ yk , cuando lim k →∞
xk
yk
)
k k
e (
) , se dice que ( xk ) k e (
)
k k
k k
son equialentes, " se
=-.
5lgunos de los in0init&simos equialentes más usados son: 6 sin xk ≈ tg xk ≈ xk ( xk → ) 2
xk
6 - − cos xk ≈ 6 ln (- + xk ) ≈ 6
( xk → ) 2 xk ( xk → )
arc sin xk ≈ arc tg xk ≈ xk ( xk → ) .
1e dice que una sucesión ( xk ) k de números reales es un
infinito cuando lim xk = ∞ (i.e., k →∞
cuando es diergente). Dados dos in0initos, ( xk ) k e ( yk ) k , 6 se dice que ( xk ) k e ( yk ) k son equialentes, " se denota xk ≈ yk , cuando lim
k →∞
6 se dice que ( k ) k e ( yk ) k son del mismo orden, " se denota
k
∼ y k ,
xk
yk
=-
cuando lim k →∞
xk
yk
=
λ ,
con λ ∈ R " λ ≠ 6 se dice que ( xk ) k es de orden menor que (
) , " se denota xk 77 yk , cuando lim
k k
k →∞
xk
yk
=.
5lgunas de las relaciones entre in0initos más usadas son: α
k
k
6
ln k 77 k 77 β 77 k ! 77 k (k → ∞) , si α > " β > -
6
0órmula de 1tirling:
k k e
− k
2π k
≈
k 8
( k → ∞)
4
0(-S C4'*4'-S D C-(54(C'0 Criterio de Stol6.7 1ean ( k ) k e ( yk ) k dos sucesiones de números reales, con ( k ) k monótona (creciente o decreciente), que cumplen una de las dos siguientes propiedades: (a) lim xk = lim yk = k →∞
k →∞
() lim yk
=∞
k →∞
Entonces, si e/iste el l$mite lim k →∞
k +-
− xk
yk +- − y k
, tami&n e/iste el l$mite lim k →∞
xk
" amos l$mites
k
coinciden. Esto es álido incluso si el l$mite es +∞ o −∞ .
Criterio de la media aritm/tica.7 1i ( xk )k es una sucesión conergente de números reales, la sucesión de sus medias tami&n conerge, " se cumple x + ... + xk lim = lim xk k →∞ k →∞ k El rec$proco no es cierto.
Criterio de la media geom/trica.7 1i ( xk ) k es una sucesión conergente de números reales estrictamente positios, la sucesión de sus medias geom&tricas tami&n conerge, " se cumple lim
k
k →∞
x- x2 ... xk
=
lim xk k →∞
El rec$proco no es cierto.
Criterio de la raí6.7 1i ( k )k es una sucesión de números reales estrictamente positios tal que el cociente
xk conerge, entonces x k - k
(
k
k
)
−
lim k →∞
k
k
tami&n conerge, " se cumple
xk
=
lim k →∞
k
xk −-
El rec$proco no es cierto.
4egla del emparedado.7 1i ( xk ) k , ( yk ) k , ( z k ) k son sucesiones tales que todo k ∈ N , " lim xk k →∞
=
lim zk = x , entonces lim yk k →∞
=
k →∞
=
, entonces
≤ yk ≤
z k para
x.
k →∞
'omo consecuencia, si ( xk ) k e ( yk ) k son dos sucesiones tales que ( lim yk
k
lim xk y k = . Es decir,
) está acotada "
k k
el producto de una sucesión acotada por un
k →∞
infinit/simo es un infinit/simo.
9
SCS'-(S 40C'-(0D0S C-( (84#a sucesión
- + - ;
e
es monótona " acotada, luego conergente< al alor de su l$mite lo
denotaremos e. !or tanto, se tiene:
- 2 7 e 7
- - e = lim - + k k
k
- = lim - + k k
→∞
- - e = lim - − k k 6-
→∞
k+p
, para cualquier p ∈ R
→∞
k
- = lim - − k k
k+ p
, para cualquier p ∈ R .
→∞
2.2. Series num/ricas
2.2.1. eneralidades 3na
serie num/rica es un par de sucesiones de números reales, ( ( xn ) n , ( S n ) n ) , tales que n
Sn
=
x
+ x-... + x n =
∑x
∞
k
n∈N .
, para cada
#a serie se suele denotar
k =
∑ x
k
, o simplemente,
∑
k
.
k = ∞
1e llama
t/rmino general de la serie
∑ x
k
al t&rmino general de la primera sucesión, es decir,
k =
xn . ∞
1e llama
suma parcial n7/sima de la serie
∑ x
k
al t&rmino general de la segunda sucesión, es
k =
decir, S n . ∞
1e llama resto de orden n de la serie
∑ x
∞
k
a la nuea serie Rn =
k =
∑
k
.
k = n +-
#as series se pueden operar de la siguiente manera: ∞
Suma
∑ k =
∞
k
?
∑
∞
k
=
k =
∑ ( x
k
+
k
)
k = ∞
λ ∑
Producto por escalares
∞
k
=
k =
∑ λ x
k
, λ ∈ R
k =
k y x = x y ∑ ∑ ∑ ∑ k k j k j k k k j
Producto de Cauc$y
∞
∞
∞
=
=
=
−
=
1e llama car9cter de una serie a su condición de serie conergente, diergente u oscilante (entenderemos por oscilantes las series que no sean conergentes ni diergentes). Es importante oserar que el carácter de una serie no se altera si se le a@aden o se le suprimen una cantidad 0inita de t&rminos.
2.2.2. Series con!ergentes ∞
1e dice que la serie
∑ x
k
es
con!ergente cuando es conergente la sucesión ( S n )n de sus
k =
sumas parciales. En este caso, se llama
suma total de la serie al l$mite de dicha sucesión, " se denota
∞
S
=
∑ x k =
k
= lim S n . n →∞
>
Propiedades de las series con!ergentes ∞
•
1i la serie
∑ x
k
es conergente, entonces su t&rmino general tiende a .
k = ∞
•
1i la serie
∑ x
k
es conergente, entonces las series de sus restos son todas conergentes, "
k =
Rn •
=
S − S n , para cada n ∈ N .
#a suma de dos series conergentes es otra serie conergente, " ∞
∑
∞
?
k
k =
•
∞
∑ y = ∑ ( x k
+
k
).
k =
El producto de una serie conergente por un escalar es otra serie conergente, " ∞
λ ∑ xk k =
•
k
k =
∞
=
∑ λ x
k
.
k =
El producto de 'auch" de dos series conergentes es otr a serie conergente, " la suma total del producto es igual al producto de las sumas totales de los 0actores.
2.2.3. Series di!ergentes ∞
1e dice que la serie
∑ x
es
k
di!ergente cuando es diergente la sucesión ( S n )n de sus sumas
k =
parciales.
Propiedades de las series di!ergentes •
1i una serie es diergente, entonces las series de sus restos son todas diergentes.
•
#a suma de dos series diergentes no es necesariamente otra serie diergente.
•
#a suma de una serie conergente " otra diergente es diergente.
•
El producto de una serie conergente por un escalar no nulo es otra serie diergente.
•
El producto de 'auch" de dos series diergentes no es necesariamente otra serie diergente.
•
El producto de 'auch" de una serie diergente por una conergente (cu"a suma no sea nula) es otra serie diergente.
2.2.. Series de t/rminos positi!os ∞
1e dice que la serie
∑ x
k
es
de t/rminos positi!os cuando xk ≥ para todo k ∈ N (o para
k =
todos salo una cantidad 0inita). 3na serie de t&rminos positios tiene la particularidad de que la sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente, ", por tanto, conergente o diergente hacia +∞ . En consecuencia, dicha serie sólo puede ser conergente o diergente, " será conergente sii la sucesión de sus sumas parciales está acotada.
A
C4'*4'-S D C-(54(C'0 P040 S4'S D *+4'(-S P-S'*'5-S ∞
∑ x
C.2.2..1. Criterio de comparación t/rmino a t/rmino.7 1ean
k
∞
,
k =
t&rminos positios, tales que xn
dos series de
k
dos series de
k =
∞
∑
∑
k =
k =
yk es conergente, entonces
∞
(ii) 1i
k
yn para todo n ≥ n .
≤
∞
(i) 1i
∑ y
∑
k
tami&n es conergente.
∞
∑ y
es diergente, entonces k
k =
k
tami&n es diergente.
k =
∞
C.2.2..2. Criterio de comparación por paso al límite.7 1ean
∑ x k =
t&rminos positios, tales que yn
>
para todo n ≥ n " e/iste lim k →∞
∞
(i) 1i λ ∈ R "
∑
xk yk
=
∞
k
,
∑ k =
λ .
∞
k
conerge, entonces
k =
∑
k
tami&n conerge.
k = ∞
+
(ii) 1i λ ∈ R ó λ = +∞ "
∑ y
∞
dierge, entonces
k
k =
∑ x
k
tami&n dierge.
k =
∞
C.2.2..3. Criterio logarítmico.7 1ea
∑ x
k
una serie de t&rminos positios, no nulos, tal que
k =
lim xk
=
" e/iste lim
k →∞
k →∞
ln xk ln k
=
λ ( λ ∈ R ó λ = −∞ ) ∞
(i) 1i λ
> -,
∑ x
entonces la serie
k
es conergente.
k = ∞
∑ x
(ii) 1i λ < - , entonces la serie
k
es diergente.
k =
∞
C.2.2... Criterio del cociente.7 1ea
∑
k
una serie de t&rminos positios, no nulos, tal que
k =
e/iste lim k →∞
xk + xk
=
λ ( λ ∈ R ó λ = +∞ ) ∞
(i) 1i λ < - , entonces la serie
∑ x
k
es conergente.
k = ∞
(ii) 1i λ > - , entonces la serie
∑
k
es diergente.
k =
-
∞
∑ x
C.2.2..#. Criterio de la raí6.7 1ea
k
una serie de t&rminos positios tal que e/iste
k =
lim k xk
=
λ ( λ ∈ R ó λ = +∞ )
k →∞
∞
(i) 1i λ < - , entonces la serie
∑ x
es conergente.
k
k = ∞
(ii) 1i λ > - , entonces la serie
∑
k
es diergente.
k =
∞
C.2.2..:. Criterio de 4aabe.7 1ea
∑ x
k
una serie de t&rminos positios, no nulos, tal que
k =
xk
e/iste lim k k →∞
xk +-
− - =
λ ( λ ∈ R ó λ = +∞ ) ∞
(i) 1i λ > - , entonces la serie
∑ x
es conergente.
k
k = ∞
(ii) 1i λ < - , entonces la serie
∑ x
k
es diergente.
k =
∞
C.2.2..;. Criterio de Prings$eim.7 1ea
∑
k
una serie de t&rminos positios tal que e/iste
k =
α
lim k xk = λ ( λ ∈ R ó λ = +∞ ), para algún α ∈ R . k →∞
∞
(i) 1i α > - " λ ∈ R , entonces la serie
∑
k
es conergente.
k = ∞
(ii) 1i α ≤ - " λ > , entonces la serie
∑ x
k
es diergente.
k =
∞
C.2.2..<. Criterio de condensación de Cauc$y.7 1ea
∑ x
k
una serie de t&rminos positios tal
k = ∞
que la sucesión
( xk ) k es monótona decreciente. Entonces
∑ k =
∞
es conergente sii k
∑2
k
k =
conergente.
--
2
k
es
2.2.#. Series alternadas ∞
1e dice que la serie
∑ x
k
es
alternada cuando xk
= ( −-)
k +-
ak , con ak ≥ para todo k ∈ N (o
k =
para todos salo una cantidad 0inita).
C4'*4'- D C-(54(C'0 P040 S4'S 0*4(0D0S ∞
C.2.2.#.1. #a serie alternada
∑ (−-)
k +-
ak es conergente sii la sucesión ( ak ) k es decreciente "
k =
conerge a .
2.2.:. Series de t/rminos arbitrarios En general, para una serie que no sea de t&rminos positios ni negatios ni alternada, tenemos dos criterios de conergencia asados en la 0órmula de sumación de 5el, n
∑
n
yk
k
=
( x- + ... + xn ) y n +- −
k =-
∑ ( x + ... + x )( y -
k
k +-
−
yk ) .
k =-
C4'*4'-S D C-(54(C'0 P040 S4'S D *+4'(-S 04='*404'-S ∞
∑
C.2.2.:.1. Criterio de Diric$let.7 1ea
yk una serie tal que la sucesión de sumas parciales
k
k =∞
de la serie
∑ x
k
∞
es acotada " la sucesión (
k
) k es decreciente " conergente a . Entonces,
k =-
∑ x y k
k
k =-
es conergente. ∞
C.2.2.:.2. Criterio de 0bel.7 1i
∑ x
k
es una serie conergente e (
k
) k es una sucesión
k =∞
monótona " acotada, entonces la serie
∑ x y k
k
es conergente.
k =-
-2
2.2.;. Con!ergencia absoluta y con!ergencia incondicional ∞
1e dice que la serie
∑ x
∞
k
es
absolutamente con!ergente cuando la serie
k =
∑
k
es
k =
conergente. ∞
1e dice que la serie
∑
k
es
incondicionalmente con!ergente cuando cualquier reordenación
k =
su"a es conergente.
Propiedades de la con!ergencia absoluta e incondicional • •
oda serie asolutamente conergente es conergente. Bo toda serie conergente es asolutamente conergente.
•
oda serie asolutamente conergente es incondicionalmente conergente.
•
oda serie incondicionalmente conergente es asolutamente conergente.
• •
Bo toda serie conergente es incondicionalmente conergente. 1i una serie no es incondicionalmente conergente, admite reordenaciones diergentes " conergentes hacia cualquier número real.
-
0(0S S4'S C-(-C'D0S ∞
-
∑ k
a serie armónica"
conerge sii α > - .
α
k =-
•
n !ara α = - , la serie no es conergente, pero lim ∑ − ln n = γ , donde γ es una n k - k →∞
constante, llamada constante de Euler, que eri0ica .4 ∞
•
!ara α = 2 ,
-
∑ k
π
=
2
∑
a serie armónica alternada"
( −-) k +-
!ara α > - ,
∑
( −-) k +-
∞
•
!ara α = - ,
∑
conerge asolutamente.
k α
k =-
conerge sii α > .
k α
k =-
•
.
.
∞
∞
< γ < .9
2
9
k =-
=
k +-
( −- )
= ln 2 .
k
k =-
∞
∑ r conerge (" conerge asolutamente) sii k
a serie geom/trica"
r < - .
k = ∞
•
!ara
−- <
∑ r
k
r < - ,
=
- − r
k =
p
∞
-
"
∑ r
k
r
=
k=p
- − r
.
∞
•
!ara r ≥ - ,
∑ r es una serie de t&rminos positios diergente. k
k =
∞
a serie factorial"
-
∑ k 8
es conergente.
k =
∞
•
-
∑ k 8 = e ,
∞
", en general,
k =
x k
∑ k 8 = e
x
para todo x ∈ ℝ .
k =
∞
a serie aritm/tico7geom/trica"
∑ P(k )r , donde P (k ) es un polinomio en k , conerge (" k
k =
conerge asolutamente) sii r < - .
∞
a serie telescópica"
∑ (a
k
− ak −- )
conerge sii la sucesión (ak )k es conergente.
k =∞
•
∑ (a k =-
k
− ak −- ) =
lim ak − a . k →∞
-
2.3. Series de potencias . ∞
1e llama serie
de potencias a una serie del tipo
∑a x
n
n
, donde (an ) n es una sucesión
n =
cualquiera de números reales " x es una ariale real. n
'omo se puede oserar, en este caso el t&rmino general de la serie es de la 0orma an x " la suma parcial es Sn ( x ) = a
+ a- x + ... + an x
n
.
∞
(#a serie de potencias
∑a x
n
n
está centrada en , pero puede tami&n estar centrada en
n = ∞
∑ a (x − x )
cualquier punto x ∈ R , en cu"o caso adquiere la e/presión
n
n
. !ara pasar de la una a la
n=
otra, asta hacer el camio de ariale
= x −
x .)
∞
*eorema de Cauc$y7>adamard.7
Dada una serie de potencias,
∑a x n
n
+
, e/iste un ρ ∈ R
n =
(i.e., ≤ ρ ≤ ∞ ), tal que 6
la serie conerge asolutamente para los alores de x tales que − ρ
6
la serie no conerge para ningún alor de x tal que
< − ρ ó
+
<
<
ρ
> ρ
('uando ρ ∈ R , no se puede asegurar si la serie conerge o no en los puntos
= ρ
"
x = − ρ .)
radio de con!ergencia de la serie de
El alor de ρ eidentemente es único, " se llama ∞
potencias
∑a x n
n
.
n=
'uando e/iste el l$mite lim n →∞
n
an
=
l , se tiene ρ = -+ l , entendiendo que ρ = +∞ si l = "
que ρ = si l = +∞ .
∞
Continuidad de una serie de potencias.7 1i
∑a x
n
n
es una serie de potencias con radio de
n = ∞
conergencia ρ , entonces la 0unción f de0inida por f ( x) =
∑a x n
n
es continua en su dominio de
n =
conergencia.
-4
∞
Deri!abilidad de una serie de potencias.7 1i
∑a x
n
n
es una serie de potencias con radio de
n =
conergencia ρ , entonces ∞
(i) la 0unción f de0inida por f ( x) =
∑a x
n
n
es deriale en (− ρ , ρ ) ,
n = ∞
(ii) la serie
∑ na x
n −-
n
tami&n tiene radio de conergencia ρ
n =∞
(iii)
C( x) =
∑ na x
n −-
n
.
n =-
∞
'ntegrabilidad de una serie de potencias.7 1i
∑a x
n
n
es una serie de potencias con radio de
n =
conergencia ρ , entonces ∞
(i)
la 0unción f de0inida por f ( x) =
∑a x n
n
es integrale
en todo interalo
n =
[ a, b ] ⊂ ( − ρ , ρ ) , ∞
(ii)
la serie
an
∑n n =
x
n +-
+-
tami&n tiene radio de conergencia ρ ∞
an
∑ n
(iii) la 0unción ( x ) =
n =
x
+-
n +-
es una primitia de f en [ a, b ] .
-9
