GEOMETRÍA TEMA 0
SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES
SNII2G0
DESARROLLO DEL TEMA
ÁNGULOS
A A
P
Bisectriz
P
x q
aa
B q O
O
P
A
a
a
a
• CCCCq = q
• Sq = 180 − q • SSq = q • SSSq = 180 − q • SSSSq = q
B
a m
L1 L1 // L2 • a + q = 180°
x q
• CCq = q
B
x=90° b
q
• Cq = 90 − q • CCCq = 90 − q
R
O
q
x=45° R
• Sq: suplemento de q
x a b
• Cq: complemento de q
b b
Q
a
Q
n
q
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
• x=m+n L2
11
GEOMETRÍA
TEMA 0
SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES
TRIÁNGULOS NOTABLES
60°
45°
2a
a 2
a
75°
30°
45°
a
h
a
15° 4h
a 3
TRIÁNGULOS APROXIMADOS
53°
5k
3k
a
a 5
37°
4k
2a
a 10
a
37/2
53/2 3a
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
13m
5m
7a
12m
25a
17k
8u
24a
PROPIEDAD BISECTRIZ
15k
PROPIEDAD MEDIATRIZ
a b a a
a b
a
a
PROPIEDADES DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
a 2a
TEMA 0
GEOMETRÍA
22
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Problema 2
Calcula x.
4 Q
B
Problema 3 Calcule x, si PQRS es un cuadrado. B
B P
A
Q
10
10
x 30°
45°
A
C
x
R
C
A) x = 5 4
Calcula x, si el i ABC es equilátero.
B) x = 5 2
A) x = 5 4 B) 11 = x
C) x = 5 6
Resolución:
°
45
5 5
H
•
Se traza la altura BH
•
(BHC) → notable
14
10
B
30°
C
(AHB) → notable x=5 2
60°
A
8
60°
P 30° 3 14 0°
6 60° R 3
x
•
BQP y
son notables
A
C) x = 8
x S
K 75° 4K
PRC
11 = x
Respuesta: 11 = x
15°
C 20 ABC → son notables
H
C
15°
R
15°
4L 4L
75° P
L 4L
En los QBR y de (15° y 75°) Sabemos:
• 14 = x + 3
Respuesta: x = 5 2
75°
75° L
Q
10
BH = 5 •
B
4 Q
° 60
C
Resolución:
Resolución:
B
15°
S
20 B) x = 3 E) x = 6
A) x = 4 D) x = 5
E) x = 5 8
x
x
P
D) 12 = x
E) x = 5 8
45°
A
C) 13 = x
D) x = 5 9
A
R
Propiedad: BH = 4L + L ↓ 5 = 5L → L = 1 x = 4L → x = 4
15°
Respuesta: x = 4
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que “C” es un punto medio de AE, AC = BD y AD + BE = 15 u. Calcular AD. A) 3 u B) 4 u C) 5 u D) 6 u E) 8 u 2. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AC = 20 u y BD = 16 u.
Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de AB y CD. A) 16 u B) 15 u C) 17 u D) 10 u E) 18 u 3. Sobre una línea recta ubican los puntos consecutivos A, B y C. Sea “M” el punto medio de AB, “N” punto medio de BC y “p” punto medio de MN. Calcular BP sabiendo que BC − AB = 24 u.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
33
A) 6 u D) 12 u
B) 8 u E) 15 u
C) 10 u
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D donde: AB × BD =AC × CD. Hallar el valor de: E= A) 2 D) 0
GEOMETRÍA
AB2 + CD2 AB × CD B) 4 E) 1,5
C) 1
TEMA 0
SEGMENTOS, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS NOTABLES
5. Si un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo. A) 135° B) 70° C) 80° D) 60° E) 90° 6. Calcular el suplemento de la suma de dos ángulo, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150°. A) 60° B) 30° C) 90° D) 120° E) 150° 7. Si a la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18° para agregárselo a la medida del otro, la medida de este último ángulo resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos? A) 88° B) 62° C) 72° D) 28° E) 75°
TEMA 0
8. Alrededor de un punto “O“ se trazan los rayos coplanares: OA, OB, OC y OE determinándose 5 ángulos consecutivos; tal que el segundo ángulo es el doble del primero y la tercera parte del quinto, el tercero es 10° menos que la suma de los 2 primeros ángulos y el cuarto excede en 20° a la suma de los 3 primeros. Halle el mayor ángulo. A) 130° B) 120° C) 50° D) 160° E) 40° 9. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD respectivamente. Si POQ mide 70° y BOD mide 120°. Hallar la medida del ángulo AOC. A) 60° B) 20° C) 40° D) 50° E) 30° 10. En la figura, calcular la suma de los valores de “y” cuando “x” toma su máximo y mínimo valor enteros.
GEOMETRÍA
44
x+y 2x–y A) 88° D) 135°
y–x
B) 96° E) 150°
C) 110°
11. Hallar “x”, si L1//L2. L1
2q 115°
L2 A) 80° D) 79°
x B) 60° E) 81°
3q C) 62°
12. Si L1//L2 y a° + b° = 250°, hallar “x”. L1 a a a L2 b x q q L3 A) 45° D) 60°
B) 30° E) 53°
C) 55°
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
