Geometría CAPÍTULO XIII
01.
Áreas de Regiones Regiones Cuadrangulares
Dado un triángulo ABC, en la prolongación de
03.
Dado un trapecio ABCD, M es punto medio de
CA y en AB se ubican los puntos P y Q res-
CD (BC// (BC// AD) . Calcule el área de la región
pectivamente, se trazan PH ⊥ BC y QM ⊥ BC ;
trapecial ABCD si (BM) (AM) = 20 u 2 ; m∠BCD = 120º y m∠BMC = m ∠MAD
(M ∈ BH) ; calcule el área de la región PQMH si BM = MH = HC; BQ = 6u, PC = 8 u y m∠BAC = 60º
A)
10 3 u2
C)
50 u2
D)
12 3 u2
B)
100 u2
E)
24 3 u2
04.
A)
5 3 u2
C)
20 u2
D)
10 2 u
2
B)
20 3 u2
E)
10 3 u
2
Del gráfico mostrado calcule la suma de las áreas
de las regiones sombreadas si mMN = 32° ; CD = 4u y AC = 20u. 02.
En la figura mostrada ATPB es un romboide y AT = 4m. Calcule el área de la región cuadrada MNPQ (N: Punto de tangencia)
C D
N
P
M N
T
B A
A)
64 m2
C)
15 m2
D)
16 m2
M
53°
Q
B)
E)
A
32 m2
8 m2
56
B
A)
36 u2
C)
48 u2
D)
50 u2
B)
60 u2
E)
40 u2
05.
ABCD es un romboide M, N, P y Q son puntos medios de los lados del romboide S1; S2; S3; S4; S5 y S6 son las áreas de las regiones sombreadas indique lo correcto.
N
B S1
07.
C B
C
S3
16°
P S4
S2
A
P
S6
08.
O
50 u2 30 u2 25 u2
A) C) D)
D
Q
R
D
A
S5
M
B)
24 u2
E)
48 u2
Dado un rectángulo ABCD, en su región interior se ubica el punto P, en la prolongación de
A)
S2 + S4 = S1 + S2 + S5 + S6
BC el punto Q; tal que m ∠PDQ = 90º; P perte-
B)
S1 + S4 + S5 = S2 + S3 + S6
C)
S1 + S3 + S5 = S2 + S4 + S6
nece a la semicircunferencia de diámetro AD , el área de la región PDQ es 5 u 2. Calcule el área de la región ABCD. ABCD.
D)
S1 . S4 . S 5 = S2 . S3 . S 6
E)
S1 . S3 . S 5 = S2 . S4 . S 6
25 u2 5 u2 15 u2
A) C) D) 09.
06.
En la figura mostrada mAP = 16 y (BD)R = 50 u2. Calcule el área de la región regió n romboidal ABCD.
Si T es punto de tangencia; AM = 6u y R = 5u. Calcule el área de la región ABCD.
B)
20 u2
E)
10 u2
Si ABCD y QBCP son romboides; x, y, z son las áreas de las regiones sombreadas indique lo correcto. B
B
C
y T
x
M
Q
C
P
z
R A
D
A)
50 u2
C)
20 u2
D)
40 u2
B)
E)
A
15 u2
30 u2
A)
z=
C)
z=x+y
D)
57
1 z
=
x.y
1 x
+
1 y
D
B)
z2 = x2 + y2
E)
z=
2xy x+y
10.
Calcule la razón entre las áreas de las regiones trapeciales sombreadas si PQCD es un romboide; P, Q y T son puntos de tangencia.
12.
Del gráfico, calcular el área de la región rectangular ABCD si 5(AD) = 16R y MC = 5u.
A
B
B
Q P
A
C
T
R
M
D
D
A)
C)
D)
1
B)
1 2
30 u2
C)
45 u2
D)
50 u2
2
E)
3
B)
40 u2
E)
60 u2
4 5 13.
11.
A)
C
En la figura mostrada, las áreas de las regiones sombreadas son equivalentes. Calcular PC si PD = 9u y PQ = 8u.
Según el gráfico, ABCD es un cuadrado de centro O, M es punto de tangencia y AM = 4u. Calcular el área de la región sombreada ABCD.
B
C
B A O
C
M
P
Q
A
D
D
A)
3u
C)
6u
D)
8u
B)
E)
4u
6 2u
58
A)
8 u2
C)
16 u2
D)
18 u2
B)
12 u2
E)
20 u2
14.
Del gráfico, calcular el área de la región sombreada ABCD si BM = 10u y MC = 16u.
M
B
17.
En un triángulo equilátero de lado 2u, al trazar una paralela a uno de los lados se forman dos regiones equivalentes. Calcular la longitud de la mediana del trapecio que se forma.
C
A) A
C)
D)
15.
169 u2
C)
198 u2
D)
208 u2
B)
18.
E)
216 u2
Calcular el área de una región cuadrangular ABCD inscrita en una circunferencia cuyo
2+ 2 2
diámetro es AD ; sabiendo que mBC = 60° ,
C)
48 u2
AB = 3u y CD = 2 3u .
D)
56 u2
C)
6 u2
D)
5 3 u2
E)
2 +3 2
Calcular el área de una región trapecial inscrito en una circunferencia de radio 5u y bases 6u y 8u. El centro de la circunferencia es interior al trapecio.
46 u2
2 3 u2
2
2 +1
A)
A)
2
312 u2
16.
2
B)
D
O
A)
2− 2
B)
4 u2
E)
12 u2
19.
En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos medios M y N de BC y CD respectivamente,
B)
49 u2
E)
42 u2
Los lados de un paralelogramo miden 6u y 8u. Calcular el área de la región paralelográmica si además una de las alturas mide 7u.
A)
28 u2
C)
42 u2
D)
62 u2
B)
56 u2
E)
40 u2
luego se traza la perpendicular NE a AM . 20.
Calcular el área de la región EMCN, si: EC = a.
En un trapecio ABCD de bases AB y CD , el lado BC = 6u. Desde el punto medio M de AD
A)
C)
D)
a2
B)
4
a2
se traza una perpendicular a BC que corta a la
3
prolongación de BC en J. Calcular el área de la región trapecial si: MJ = 5
a2 2 2 a
2
2
E)
3a
2
2
59
A)
15 u2
C)
25 u2
D)
30 u2
B)
20 u2
E)
35 u2
CAPÍTULO XIV
01.
Áreas de Regiones Circulares
En el arco AB de la semicircunferencia de diá-
03.
metro AB se ubica el punto L, siendo P y Q puntos medios de los arcos AL y LB respectiva-
Si los círculos mostrados son máximos y el área del círculo de centro O1 es π u2 calcule el área del círculo de centro O2.
mente cuyas proyecciones sobre AB son M y H
B
respectivamente calcule el área del círculo máximo que se puede inscribir en dicha circunferen-
O2
O1
cia si PM = 8u y QH = 6u.
37°
02.
A)
30π u 2
C)
9π u2
D)
25π u 2
B)
36π u 2
E)
48π u 2
A
En la figura mostrada calcule el área de la coro-
A)
9π u2
C)
3π u2
D)
2π u2
C
B)
5π u2
E)
4π u2
na circular si el área de la región romboidal ABCD es 2 3 u 2 ; B y T son puntos de tangencia.
04.
De la figura mostrada calcule el área de la
región sombreada si mAM = mMD = 36° ; B 30° T
A
C
mPB = 18° y P dista 5u de CD .
D
D C M
P
A
A)
6π u2
C)
4π u2
D)
3 2π u 2
B)
E)
3π u2
5π u2
60
A)
10π u2
C)
7,5π u 2
D)
8π u2
B
B)
15π u 2
E)
9π u2
05.
Del gráfico mostrado calcular el área de la región sombreada, si AB = 2(BO) = 4u.
07.
Del gráfico O y D: centros. Calcular el área de la región sombreada. B
C
Q M
R
A
A
B
O
A)
P
B) A)
9(π – 4) u2
C)
16π u 2
D)
(9π – 6) u2
B)
(18π – 7) u2 D)
06.
D
π⎞ ⎜ 3− ⎟ 4 ⎝ 3⎠
R 2 ⎛
2π ⎞ ⎜ 3− ⎟ 2 ⎝ 3 ⎠
R2 ⎛
9π u2 C)
E)
O
Si: AO = OB = R. Calcular el área del segmento circular AP .
E)
A
08.
2π ⎞ ⎜ 3 +1− ⎟ 4 ⎝ 3 ⎠
R2 ⎛
π⎞ ⎜ 3+2− ⎟ 2 ⎝ 3⎠
R 2 ⎛
R2 ⎛
2π ⎞ ⎜ 3+2− ⎟ 4 ⎝ 3 ⎠
Del gráfico. O: centro; α – θ = 60º Calcular: Sx
R Q
P O O
B
O1
Sx
R
T
P 2
A)
C)
D)
R ⎛ 37 π 12 ⎞ − ⎟ B) ⎜ 6 ⎝ 18 5 ⎠ R 2 ⎛ 37 π
⎜
5 ⎝ 9 R 2 ⎛ 37 π
−
2
R ⎛ 37 π 12 ⎞ − ⎟ ⎜ 5 ⎝ 36 5 ⎠
A)
12 ⎞
⎟
5 ⎠ 7⎞
− ⎟ ⎜ 3 ⎝ 36 5 ⎠
C) E)
R 2 ⎛ 37 π
⎜
4 ⎝ 2
−
12 ⎞
⎟
D)
5 ⎠
61
πR 2 4
B)
πR 2 6
πR 2 3
πR 2 8
E)
2πR 2 3
09.
Si: AO = OP = OB = r; A y O: centros
11.
Del gráfico. O: centro; PQ = 2(QH), mPQ = 80° .
Calcular el área de la región sombreada.
Calcular el área de la región sombreada. P
P Q
R A
O
3⎞ ⎜⎜ − ⎟ 2 ⎝3 2 ⎟⎠
H
R ⎛π
R2 ⎛ π
3⎞ ⎜⎜ − ⎟ 4 ⎝3 2 ⎟⎠
B)
3⎞
C)
⎜ − ⎟ 3 ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠
D)
R ⎛ π ⎞ ⎜ − 3⎟ 4 ⎝3 ⎠
O
B
2
πr 2
A)
2
10.
A
R ⎛π
2
A)
B
R ⎛ π ⎞ ⎜ − 1⎟ 5 ⎝3 ⎠ 2
E)
2
2π − r 2
C)
2 3r 2
D)
Del gráfico AO = OB = R; O y O1: centros
B)
2
r 2
E)
2
r 2 4
Calcular el área de la región sombreada. A
12.
Del gráfico. O y O1: centros mPB = 150° .
Calcule el área de la región sombreada.
P O1
O
A)
C)
D)
R2 ⎛ 2
⎞ ⎜ π − 3⎟ 10 ⎝ 3 ⎠
O1
B)
A
B
R2 ⎛ 3
⎞ ⎜ π − 3⎟ 8 ⎝2 ⎠
A)
R2 ⎛ 4
⎞ ⎜ π − 1⎟ 4 ⎝3 ⎠
R2 ⎛ 3
⎞ ⎜ π − 3⎟ 5 ⎝2 ⎠
C)
E)
R2 ⎛ 3
⎞ ⎜ π − 3⎟ 6 ⎝2 ⎠
D)
62
R O
R 2 ⎛ 5π
⎞ − 3⎟ ⎜ 15 ⎝ 6 ⎠
B
B)
R 2 ⎛ 5π
⎞ − 3⎟ ⎜ 18 ⎝ 6 ⎠
R 2 ⎛ 6π
⎞ − 3⎟ ⎜ 18 ⎝ 5 ⎠
R 2 ⎛ 6π
⎞ − 3⎟ ⎜ 16 ⎝ 5 ⎠
E)
R 2 ⎛ 5π
⎞ − 3⎟ ⎜ 20 ⎝ 6 ⎠
13.
Si: AB = 3m, BC = 4m. Calcular el área del semicírculo, si O es centro.
15.
Del gráfico: ABCD: cuadrado AB =
B
A
A)
C)
D)
14.
Calcular el área de la región sombreada.
O
144π 49
36π 7 72π 49
2+2
B
C
A
D
C
m2
B)
36π 49
m2
m2
m2
E)
36π 40
m2 A)
1−
C)
2−
D)
2−
ABCD: cuadrado BM = MC, AB = R Calcular el área de la región sombreada. B
M
C
16.
R
π 4
B)
1−
E)
2−
π 3
π 3
π 5
π 6
Del gráfico; R = 8u, M y N son áreas de las regiones sombreadas. (S es punto de tangencia. Calcular: N + M B
A
S
C
D M R
A)
C)
R2 ⎛
17 π ⎞
⎜6 − ⎟ 15 ⎝ 18 ⎠
B)
R2 ⎛
A
37 π ⎞ ⎜7 − ⎟ 20 ⎝ 18 ⎠
O
D
R2 ⎛
R ⎛ 37 π ⎞ ⎜9 − ⎟ 19 ⎝ 18 ⎠ 2
D)
17 π ⎞ ⎜8 − ⎟ 20 ⎝ 18 ⎠
N
R ⎛ 17 π ⎞ ⎜7 − ⎟ 17 ⎝ 9 ⎠ 2
E)
63
A)
8π u2
C)
6π u2
D)
5π u2
B)
7π u2
E)
4π u2
17.
En la figura ABCD es un cuadrado si CM = MD = 2u. Calcular el área de la región sombreada.
B
19.
Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si r = 3u, M, N y S son puntos de tangencia. A
C
M
S
M
r
O A
2 3 2
C)
D)
3
B
D
3
A)
A)
N
(3π − 4)u 2
B)
2 3
(π − 2)u 2
(π − 4)u 2
2(3π – 4)u2
E)
4 3
(π − 2)u 2
20.
4
(4π − 3 3) u 2
B)
3(3π − 2 3) u 2
C)
2(3π + 2 3) u 2
D)
5(π + 3) u 2
E)
6(π + 1) u 2
Según el gráfico AC = 10 u y 4(AH) = 3(RB), P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular el área de la región sombreada.
18.
En el gráfico, M es punto de tangencia calcular el área de la región sombreada si R = 6u. B
M
R B H
C
Q
P
R A A
4,2π u 2
C)
4,8π u 2
D)
7,4π u 2
C
D
A) A)
T
B)
5,9π u 2
C)
E)
6,8π u 2
D)
64
4π u2
6 5
B)
9π u2
π u2
4 3 3
π u2
E)
6 2 2
π u2
CAPÍTULO XV
01.
Geometría del Espacio – Diedros 04.
Se tiene un cuadrado ABCD se trazan AP y
Dado un rectángulo ABCD, se traza una semicircunferencia de diámetro AD tangente a
CQ perpendiculares al plano del cuadrado y hacia un mismo semiespacio tal que AP = 4(QC) = 8u y
BC , cuyo arco interseca a AC en P y se traza
PQ = 10u; M es punto medio de PQ . Calcule el
PQ perpendicular plano de dicho rectángulo,
área de la región BMD.
tal que el diedro entre las regiones ABCD y DQC mide 71º30’. Calcule la medida del diedro que
02.
A)
10 u2
C)
30
u2
D)
20 u2
B)
40 u2
E)
36 u2
determinan las regiones ABCD y AQB.
Se tiene un rectángulo ABCD, AB = 4u; en
A)
BC se ubica el punto Q; se traza BP perpendicular al plano de dicho rectángulo tales que BM = 2u y m∠AQC = 135º calcule el área de la región triangular PMN siendo M y N puntos
⎛3⎞ arc Tg ⎜ ⎟ ⎝5⎠
C)
37º
D)
26º 30’
B)
53º
E)
14º
medios de AC y QD respectivamente.
A)
03.
2u
C)
8 u2
D)
4 u2
2
B)
2 2u
05.
2
En la figura mostrada
•
•
y
L2
son alabeadas;
calcule la medida del ángulo que determinan las E)
mismas, si R = 5u y MN = 3u.
2 3 u2
R
Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: •
L 1
L 1
M
Toda recta perpendicular a una recta dada será paralela al plano perpendicular a dicha recta.
N
Para que una recta sea perpendicular a un plano, bastará que sea perpendicular a dos rectas de dicho plano.
L 2
Una recta paralela a la intersección de dos planos, podrá ser perpendicular a uno de los planos.
A)
53º
A)
VFV
C)
45º
C)
FVV
D)
VVV
D)
36º
B)
VVF
E)
VFF
65
B)
37º
E)
74º
06.
En un triángulo equilátero ABC de lado 3u, por su circuncentro O, se traza la perpendicular
09.
OD al plano del triángulo de modo que
Se tiene el diedro AB que mide 150º formado por los semiplanos M y N, se ubica el punto P sobre su semiplano bisector y se trazan PQ y
AD = AC. Calcular la distancia entre AD y BC .
PS perpendiculares a M y N respectivamente.
Calcular QS A)
C)
D)
07.
B)
2u 3
Si: PQ = 1m
2 2u
2u
2 2 2
u
E)
A)
3− 2 m
C)
2− 3 m
D)
5− 3 m
B)
2− 3 2
m
3u
Desde el centro M de un cuadrado ABCD de lado 1u se traza la perpendicular MP al plano del cuadrado. Calcular la longitud de MP si la distancia de P a uno de los vértices es 3u.
10.
3 −1 m
E)
En un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, por M punto medio del arco BC se traza una perpendicular al plano del triángulo hasta un punto D. Calcular la distancia del punto D al baricentro del triángulo ABC.
A)
C)
D)
08.
17 u
B)
17 2
u
Si: (AD)2 – (AC)2 = 36 u2.
34 u 34 2
u
E)
29 u
En un hexágono regular ABCDEF de lado 4m y centro “O”, se traza la perpendicular OS al plano del hexágono de modo que al unir S con A
11.
y B se forma un diedro AB de 60º. Calcular la distancia de “O” al plano ABS.
A)
2m
C)
4m
D)
2 3m
B)
E)
A)
4u
C)
6u
D)
7u
B)
5u
E)
8u
En un hexaedro regular ABCD – EFGH calcule la medida del ángulo entre la recta que une los centros de las caras ABCD y HGCD y AF .
3m
2 2m
66
A)
75º
C)
45º
D)
120º
B)
60º
E)
90º
12.
15.
En un tetraedro regular V–ABC se ubica en VA el punto P tal que PA = 2(VP). Siendo G el baricentro de la cara ABC, calcule el área de la superficie del tetraedro si el área de la región triangular AGP es 24 u2.
En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero G es baricentro de la región triangular ABC si LE = AE y AC = 6u. Calcule LC y si EF//AC y LE es perpendicular al plano del triángulo ABC. L
A)
72 6 u 2
B)
B
24 3 u2 E
13.
C)
108 6 u
D)
72 3 u2
2
G
E)
36 6 u 2
A
En el gráfico, AE es perpendicular al plano que contiene al cuadrado de centro O. Si: EO = 2u y AD = 2(DL) = 2u. Calcular EF
E
F
B
C
C
A)
5 2u
C)
4 2u
D)
2 10 u
B)
8u
E)
12 u
O D
16.
L
A
En la figura, LO ⊥P , OH = HB, HM = MA si
ML = 2 7 u y R = 4u. Calcular la medida del F
H
ángulo entre ML y el plano P.
L
A)
4 2u
C)
4 5u
B)
2 3u
B
D)
2 2u
E)
4 3u
H R
14.
Se traza AP perpendicular al plano que contiene al triángulo isósceles ABC (AC = AB = 8u).
M O
P
Si PC = 5 2 u , calcule la m∠BPC cuando el área de la región triangular ABC sea máxima.
A)
82º
C)
120º
D)
106º
B)
90º
E)
74º
67
A)
30º
C)
45º
D)
53º
B)
37º
E)
60º
A
17.
En el tetraedro regular V–ABC cuya arista mide
19.
En un poliedro se cumple que el número de
12u, calcular la distancia de B al segmento
caras es igual al número de vértices, la razón
que une los baricentros de los caras de ABC y
entre el número de aristas y el número de caras
BCV. es
12 7
. Calcule la suma de los números de
caras, aristas y vértices.
18.
A)
6 2u
C)
2 37 u
D)
2 11 u
B)
6u
E)
37 u
Según el gráfico, A y B son puntos de tangencia, OE en un segmento perpendicular al plano que contiene a la circunferencia. Si m∠ACB = 60º,
A)
26
B)
52
C)
36
D)
24
E)
30
EF = 4u y R = 2 3 u . 20.
Calcule AE
En un tetraedro regular P–ABC, en PB se ubica el punto Q tal que QB = 2(PQ). Si la distancia de Q a la cara ABC es
E
6u.
Calcule el área de la superficie tetraédrica.
A)
A
B)
R
O
9 2 u2 27 3 2
u2
F C
B
C)
D) A)
5u
C)
2 10 u
D)
3 5u
B)
2
u2
76 5 5
u2
4 5u E)
E)
63
4 2u
68
81 3 4
u2
CAPÍTULO XVI
Volúmenes Prisma–Pirámide–Cilindro–Cono
01.
Calcule el volumen del paralelepípedo mostrado si R = 5 u y PQ = 1 u.
03.
Dado un prisma hexagonal regular ABCDEF– A’B’C’D’E’F’ tal que A C y G ' D forman un án-
P
gulo de 60º y el área de la superficie lateral del
Q
prisma es 6 2 u 2 . Calcule el volumen de la pirámide P–AEC; siendo P un punto de la base A’B’C’D’E’F’.
R
A)
02.
u3
A)
900
C)
300 u3
D)
400 u3
C)
u3
B)
600
E)
200 u3
D)
5 3 8 3 2
u3
B)
3 u3
u3
2 u2
E)
6 4
u3
Calcule la razón entre los volúmenes de los 04.
cilindros de revolución mostrados si mAB = 60° siendo O centro del arco AB.
Se tiene un cono de revolución de vértice V y centro de su base O; en el plano de la base se ubica el punto P y se traza PT y PQ tangentes a la circunferencia que limita a su base tal que VP = 10u y m∠TPQ = m∠VPT = 53º. Calcule el área de la superficie que limita a dicho uno.
05.
A)
45π u 2
C)
33π u 2
D)
41π u 2
B)
36π u 2
E)
35π u 2
En una pirámide cuadrangular V–ABCD el triángulo VAC es equilátero cuya superficie lateral tiene un área de 16 7 u 2 . Calcule el volumen
A)
C)
D)
2 7
B)
del cilindro cuyas bases estan contenidas en la base de la pirá mide y la otra esta inscrita a la región MNPQ; siendo M, N, P y Q puntos medios de las aristas laterales.
1 9
1 8 1 3
A) E)
C)
1 18
69
D)
5π u 3
B)
2 6π u 3
E)
3π u3
6π u3
6π u 3
06.
En el gráfico se muestra un cono de revolución, calcule la longitud del menor recorrido para ir de B a M a través de la superficie lateral del cono, si g = 3R = 4u y VM = MB.
09.
Calcular el área total de un cilindro de revolución, en el cual la diagonal axial mide 17u y la distancia de un punto de la circunferencia de una base al centro de la otra es
10.
A)
164π u 2
C)
152π u 2
D)
172π u 2
241 u .
B)
148π u 2
E)
156π u 2
En un cilindro de revolución se inscribe el prisma recto ABCD–EFGH, m∠ADC = 120º;
AB = BC = 3 3 u y DH = 8u. Calcule el volumen de dicho cilindro.
A)
2 7u
C)
5u
D)
10u
B)
E)
2u
30π u3
C)
60π u3
D)
72π u3
B)
36π u 3
E)
8π u3
2 6u 11.
07.
A)
Dado el prisma recto ABC–EFG; m∠ABC = 90º M y N son puntos medios de AC y EG respec-
Según el gráfico, el cilindro circular recto y el cono circular recto parcial son equivalentes. Calcule la razón de los volúmenes entre el cono parcial y el cono total.
tivamente tal que las regiones MNFB y FBCG son equivalentes y el área de la región cuadrada EABF es 12 u2. Calcule su volumen.
08.
A)
24 u3
C)
8 u3
D)
12 2 u3
B)
12 u3
E)
6 u3
En un prisma regular ABCD–MNPQ, m∠MBP = 37º y (MC)2 + (QC) 2 = 44 u2. A)
Calcule el volumen de dicho prisma.
A)
14 u3
C)
18
u3
D)
20 u3
B)
16 u3
C)
E)
25 u3
D)
70
25 64
B)
27 64
9 16
36 125
E)
1 4
12.
Calcular el volumen de un cono de revolución, si un punto de la superficie lateral dista 6u, 16u y 10u de la altura, la base y el vértice respectivamente. A) C) D)
13.
C)
D)
E)
1800π u 3
V
B)
2 3 5 6 5
5 3
V
18.
V
E)
5 6
V
u3
35,5 36 u3 48 u3
19.
u3
B)
31,5
E)
72 u3
u2
10 20 u2 30 u2
20.
3
A)
20 2 u
C)
10 3 u
D)
20 5 u3
B)
20 3 u
E)
10 u3
3
3
Calcular el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un rectoedro regular de 8 m2, de volumen.
B)
15
E)
50 u2
16 u2 27 u2 12 u2
B) E)
A)
3π m3
C)
5π m3
D)
6π m3
4π m3
E)
7π m3
Calcular el área lateral de un prisma regular de base triangular si la altura es el doble del lado de la base y el volumen es V3.
A)
2 3 12 V 2
C)
3
36 V 2
D)
3
18 V 2
B)
2 3 36 V 2
E)
3
10 V 2
El desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto regular tiene por diagonal 8m
prisma.
A)
151 3 m 2
C)
141 3 m 2
D)
131 3 m 2
70 u2 100 u2
B)
y por altura 4 3 m. Calcular el área total del
u2
Calcular el área lateral de un tronco de prisma recto que tiene por aristas básicas segmentos de 8u, 12u y 6u las aristas laterales opuestas a estos lados miden 15u, 5u y 10u respectivamente. A) C) D)
La altura de un prisma recto es 5u y la diagonal del rectángulo que resulta de desarrollar la superficie lateral mide 13u. Calcular el volumen del prisma si la base es un triángulo equilátero.
V
Se tiene un cilindro de revolución cuyo radio en la base es 40u y la altura es 30u. Se traza un plano paralelo al eje y que pasa a 24u del eje. Calcular el área de la sección que se obtiene en el plano. A) C) D)
16.
2400π u 3
Calcular el volumen de un tronco de prisma recto, cuyas bases son un triángulo equilátero FED y un triángulo rectángulo isósceles ABC. Además una cara lateral es un rectángulo de lados 3 2 u y 6u, siendo los mayores lados las aristas laterales. A) C) D)
15.
B)
Calcular el volumen del sólido que se forma al unir los puntos medios de las aristas de un cubo de volumen V.
A)
14.
3120π u 2 1690π u 3 3240π u 3
17.
71
B)
E)
152 9
150 9
3 m2
3 m2
CAPÍTULO XVII
01.
Esfera – Pappus
Del gráfico P, Q y T son puntos de tangencia R = 3u el volumen del cono de revolución es
03.
15π u3 y OT = 15 u . Calcule el área de la su-
Si ABCD es un cuadrado calcule la diferencia entre los volúmenes de los sólidos que generan las regiones sombreadas cuando giran 360º alrededor de AD .
perficie esférica de centro O1.
B
C
3 360° A
02.
A)
16 u2
C)
8 u2
D)
4 u2
B)
12 u2
E)
3 u2
Si la circunferencia de centro O1 está contenida en el punto P; T es punto de tangencia
D
A)
45π u3
C)
18π u3
D)
27π u3
B)
9π u3
E)
36π u 3
OO1 = 1u; PT = 4u y O1P = 2 6u ; calcule el volumen de la esfera.
04.
Calcule el volumen de la esfera inscrita en un cono equilátero cuya superficie lateral tiene una área de 25π cm3.
T O
A)
O1
C)
54π u 3
C)
27π u 3
D)
42π u 3
3
cm3
B)
32π 5
cm3
P
P
A)
40π
B)
36π u 3
E)
45π u 3
D)
72
32π 3 64π 3
cm3
cm3
E)
8π 3
cm3
05.
07.
Si P es el punto más elevado de la esfera; VP forma 30º con el plano P; VP = 6m; R = 3m y el volumen del cono de revolución es 21π m3 calcule el volumen de la esfera.
Dado un cono de revolución cuyo desarrollo es un sector circular de radio 10 cm y tiene un área de 60π cm 2. Calcule el área de la superficie esférica inscrita en dicho cono.
V
P
A)
36π cm 2
C)
45π cm 2
D)
18π cm 2
B)
27π cm 2
E)
40π cm 2
R 08.
Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro, si el área de la superficie esférica más el área
P
total del cilindro es 31,40u2. Calcular el volumen de la esfera.
A) C)
D)
06.
36π m3
64π
m
3 32π 3
B)
16π m3
3
A)
m3
E)
8π 3
m3
C)
Del gráfico mostrado calcule el área de la superficie generada por el arco PB al girar 360º
D)
9π 4
2π 3 4π 3
u3
B)
8π 3
u3
u3
u3
E)
10π 3
u3
alrededor de
L
si R = 3r = 6u. 09.
P
La altura y diámetro de un cono de revolución son iguales al radio de una esfera de 4 cm3 de volumen. Calcular el volumen del cono.
R
r
L
A
B
A)
C) A)
12 3π2 u 2
B)
24 3π2 u 2
D)
2
C)
24 3π u
D)
24 2 π2 u 2
E)
24 2π u 2
73
1 5
1 4 1 8
2 cm3
B)
1 5
cm3
cm3
cm3
E)
1 10
cm3
10.
Calcular el área de una superficie esférica inscrita en un cubo que a su vez esta inscrita en una esfera de superficie igual a 18 u2.
3
u2
C)
5
u2
D)
6 u2
A)
B)
E)
4
14.
u2
12.
13.
Una esfera de radio igual a 1,5 u tiene el mismo volumen que un cono circular recto cuyo radio de la base es 0,75u. Calcular la altura del cono.
A)
30 u2
C)
24 u
D)
32 u
B)
25 u
E)
36 u
El volumen de un sólido de revolución por la rotación de un cuadrado de 6m de lado alrededor de una de sus diagonales es:
A)
3 3π m3
C)
30 3π m3
D)
36 3π m3
A)
18 m
C)
15 2 m
D)
12 m
B)
17 m
E)
20 m
8 u2 15.
11.
Se inscribe uno cono circular recto a dos esferas tangentes exteriormente de radio 2 y 6m. Calcular la altura del cono.
B)
36 2π m3
E)
32 2π m3
16.
Calcular el volumen de la semiesfera si la base del cono circular recto de volumen V es concéntrica con el círculo máximo y las regiones en dicho círculo son equivalentes.
A)
2V
C)
3V
D)
6V
B)
4V
E)
8V
Del gráfico, calcular el área de la superficie esférica, si el área de la superficie lateral del cilindro es S’.
Un cubo y una esfera tienen igual área que 2,4 m2, el volumen del cubo es al volumen de la esfera como:
A)
π
B)
2
π 6 A)
C)
4
S
B)
2 3
S
3
π
C)
π D)
3
6
E)
π
D)
74
4 3 3 2
S
S
E)
1 3
S
17.
19.
Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cono equilátero si la superficie lateral del tronco
Del gráfico. Calcular la razón de los volúmenes de los sólidos generados al girar 360º alrededor
de
de cono determinado es 54π u2.
L1
y
L2
respectivamente.
L 1 3
A)
18 3π u
B)
24 3π u
C)
32π u 2
3
37°
D)
32 3π u
E)
64π u 2
L 2
3
A) 18.
2
1
B)
3
2
Calcular el volumen del sólido generado al girar
360º la región sombreada alrededor de L si ABCD es un cuadrado si BM = 3u y DN = 21u; AE = BE y AF = FD.
C)
D)
3 2 4
1
E)
3
4
L
B
M
20.
Del gráfico, calcular el área de la superficie
generada al girar 360º en torno a
C
E
(R)(CD) = 3 2 u 2 y mAB = 90° .
A N
L
B
F
C
D
R
A)
1200π u 3
B)
1600π u 3
C)
1800π u 3
D)
2400π u 3
E)
3600π u 3
D
A
75
A)
2π u2
C)
3 2π u 2
D)
4π u2
B)
3π u2
E)
6π u2
L
si