CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS 123
GEOMETRIA ANALITICA
INVESTIGACION
LAS CONICAS
ALUMNO: LOPEZ LOPEZ GALLARDO JOSUE MANUEL MANUEL
3BM – ADMRH
LAS CONICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos hojas con un plano ue no pasa por su vértice !e acuerdo al án"ulo y el lu"ar de la intersección es posible obtener c#rculos, hipérbolas , elipses o parábolas. $uando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una %lipse. $uando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hipérbola. $uando el plano ue corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola.
ELIPSES: Su definición actual se&ala ue la elipse es el conjunto de puntos en un plano, tales ue la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante, denominando fc al punto fijo. Se obtienen a partir de una sección cónica si el plano cortante no es paralelo a nin"una "eneratri', además, eiste un caso especial denominado ci!c"nfe!encia, la cual se forma si el plano cortante interseca a cada "eneratri' y también es perpendicular al eje del cono.
HIPERBOLAS: ctualmente se le denomina hipérbola al conjunto de puntos en un plano, tales ue el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante, los cuales se llaman fcs# Se obtiene cuando un plano cortante interseca los dos mantos de un cono y es paralelo a dos "eneratrices. *a recta ue une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatri' se llama eje ima"inario de la hipérbola. %l punto donde se cortan ambos ejes (ue es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
PARABOLAS: Su definición actual afirma ue es el conjunto de todos los puntos situados en un plano ue euidistan de un punto y una recta fijos. %l punto fijo se denomina fc y la recta fija, $i!ec%!i&# *a distancia entre el foco y la directri' de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). !ada una parábola, se llama eje de la misma la recta ue contiene al foco y es perpendicular a la directri'. Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje. partir de la definición, podemos derivar la ecuación de una parábola. +ara ello, se eli"e el eje y como recta perpendicular, la directri', conteniendo as# el foco.
*Ci!c"nfe!encia#
Se llama circunferencia al lu"ar "eométrico de los puntos del plano ue euidistan de un punto fijo llamado centro . %l radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualuiera de dicha circunferencia al centro .
Ec"ación ana'(%ica $e 'a ci!c"nfe!encia : +uesto ue la distancia entre el centro (a, b) y uno cualuiera de los puntos ( , y)de la circunferencia es constante e i"ual al radio r tendremos ue :
pasando la ra#' al otro miembro :
desarrollando los términos cuadráticos obtenemos ue :
si hacemos ! -a , % -b , / a 0 b - r tendremos : 0 y 0 ! 0 %y 0 / 1.
E'i)se La e'i)se es e' '"*a! *e+,%!ic $e 's )"n%s $e' )'an c"-a s"+a $e $is%ancias a $s )"n%s fi.s es cns%an%e . %stos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .
Hi),!/'a
Es e' '"*a! *e+,%!ic $e 's )"n%s $e' )'an c"-a $ife!encia $e $is%ancias en%!e $s )"n%s fi.s es cns%an%e . %stos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Ec"ación ana'(%ica $e 'a 0i),!/'a : Supon"amos para simplificar ue los focos están situados en los puntos /(c,1) y /2(-c,1) , tomemos un punto cualuiera +( , y) de la elipse y supon"amos ue la diferencia de las distancias entre +/ y +/2 es i"ual a a , entonces tendremos ue :
+/ - +/2 3 elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos ue : (c-a)4 - ay - (c-a)4a 1 a partir del dibujo y aplicando +itá"oras podemos obtener ue c a 0 b y por lo tanto la ecuación se puede uedar : b - ay ab
dividiendo entre ab obtenemos ue :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualuiera (p,) la ecuación deber#a de ser : Si desarrollamos los cuadrados obtendremos ue : b - ay - pb 0 ya 0 pb - a - ab 1 Si hacemos b , 5 -a , ! -pb , % a , / pb - a - ab tendremos la ecuación : - 5y 0 ! 0 %y 0 / 1 donde podemos comprobar ue es i"ual ue la de la elipse ecepto ue los términos y 5 no son del mismo si"no.
Pa!/'a
*a parábola es el lu"ar "eométrico de los puntos del plano ue euidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directri' #
Ec"ación ana'(%ica $e 'a )a!/'a : Supon"amos ue el foco esté situado en el punto (1,c) y la directri' es la recta y -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (1,1) ) , si tomamos un punto cualuiera +( , y) de la parábola y un punto 6( , -c) de la recta debe de cumplirse ue : +/ +6
elevando al cuadrado : 7cy si la parábola no tiene su vértice en (1,1) si no en (p,) entonces la ecuación ser#a : (-p) 7c(y-) desarrollando la ecuación tendremos : 0 p - p - 7cy 0 7c 1 si hacemos ! -p , % -7c , / p 0 7c obtendremos ue es : 0 ! 0 %y 0 / 1 en la ue podemos observar ue falta el término de y
ECUACIN DE LA CIRCUNERENCIA
Ec"ación !e$"ci$a
ECUACIN DE LA ELIPSE
Ec"ación !e$"ci$a
ECUACIN DE LA HIP4RBOLA
567c89 - 6c89
ECUACIN DE LA PAR;BOLA Ec"ación !e$"ci$a $e 'a )a!/'a De e.es e' $e a/scisas - $e <,!%ice e' !i*en $e c!$ena$as
