CG
INSTITUCIÓN INSTITUC IÓN EDUCATIV EDUCATIVA A PRIVADA “VIRGEN DE
1975
NIVEL SECUNDARIA DE MENORES CICLO VI BIMESTRE I
C urva
Rec ta
P o l ig o n a l M ix t a
1° Grado
SECUNDARIA
80
ÍNDICE I BIMESTRE Del 03 Marzo 08 Al 09 Mayo 08
Capítulo I
: ELEMENTOS Y TÉRMINOS GEOMÉTRICOS
Guía N !": Ele#ento$ %e Geo#etría& T'r#ino$ Geo#'trico$ e#plea%o$ en Geo#etría&
Capítulo II
: INTERSECCI(N )E *IG+R,S GEOMETRIC,S PL,N,S
Guía N !-: Inter$ecci.n %e /igura$ geo#'trica$ plana$& M0xi#o n1#ero %e punto$ %e corte&
Capítulo III
: SEGMENTOS& OPER,CIONES CON SEGMENTOS
Guía N !2: Seg#ento$& Seg#ento$ congruente$& Punto #e%io %e un $eg#ento& Punto$ colineale$& Operacione$ con $eg#ento$&
81
GUÍA DE ARENDIA*E N+ 0, Te-a% ELEMENTOS Y TÉRMINOS GEOMÉTRICOS Co#$e#".o/% E$pera#o$ 7ue: I%enti/icar lo$ ele#ento$ 50$ico$ %e la Geo#etría& )i/erenciar lo$ t'r#ino$ #ate#0tico$ aplica%o$ a la Geo#etría&
INTRODUCCIÓN , trav'$ %e lo$ ra$go$ %e3a%o$ por el 4o#5re6 $e nota 7ue 'l tenía cierta$ nocione$ %e geo#etría6 e$to $e pue%e ver en la /or#a 7ue tenían $u$ cueva$6 $u$ 4erra#ienta$ %e ca$a6 $in $a5er 7ue era geo#etría 8a e#plea5an en $u$ con$truccione$ /or#a$ %e alguna$ /igura$ geo#'trica$ tra9a%o$ por lo$ ele#ento$ 50$ico$ %e geo#etría& ELEMENTOS DE GEOMETRÍA A) ESACIO E$ el con3unto univer$o %e la geo#etría& En 'l $e encuentran to%o$ lo$ %e#0$ ele#ento$& )entro %e 'l %eter#ina#o$ cuerpo$ geo#'trico$ co#o ca3a$6 planeta$6 e$/era$6 etc& Su $í#5olo e$ E& B) UNTO El punto tiene po$ici.n en el e$pacio& Su repre$entaci.n #a$ cercana e$ el ori/icio 7ue %e3a un al/iler en una 4o3a %e papel o en un granito %e arena6 pero %e5e#o$ tener en cuenta 7ue no tiene gro$or&
D) RECTA La uni.n %e in/inito$ punto$ %a origen a lo$ otro$ %o$ principio$ 50$ico$ %e la geo#etría: recta 8 plano& La repre$entaci.n #0$ cercana %e la recta e$ un 4ilo ten$o o la #arca 7ue %e3a un l0pi9 en un papel& E$ in/inita6 por7ue $u$ extre#o$ $on ili#ita%o$ 8 en ella 4a8 in/inito$ punto$& La i%enti/icare#o$ con el %i5u3o +na recta pue%e tener %irecci.n: !or"zo#$al% Co#o la línea 4ori9onte&
En el e$pacio 4a8 in/inito$ punto$& Lo$ i%enti/icare#o$ con una letra #a81$cula 8 para reconocerlo$ u$are#o$ l,
Ver$"&al%
Por e3e#plo:
Co#o el 4ilo %el plo#o&
l, $e lee punto ,
C) LINEA Si uni#o$ %i/erente$ punto$6 o5ten%re#o$ línea$ 7ue pue%en $er curva$6 recta$6 #ixta$ o poligonale$& Son curva$ $i6 al unir$e lo$ punto$6 $iguen %i$tinta$ %ireccione$ recta$6 $i llevan la #i$#a %irecci.n #ixta$6 $i #e9clan a#5a$ 8 poligonale$6 $i e$t0n /or#a%a$ $ola#ente por tro9o$ %e recta$& Recta
Curva
O'l"&(a%
Cuan%o e$ %i$tinta a la$ %o$ anteriore$& La$ recta$ $e no#5ran con %o$ letra$ #a81$cula$ 8 $o5re ella$ $e anota un $í#5olo& Por e3e#plo: ,; $e lee recta ,;
; L
Poligonal Mixta
Ta#5i'n $e u$a una L o una R6 e$pecial#ente en lo$ ca$o$ en %e5en %i$tinguir$e varia$ recta$& 82
SEMIRECTA E$ una recta L6 cual7uier punto P %e e$ta recta lo %ivi%e en %o$ parte$6 ca%a una %e la cuale$ $e lla#a $e#i recta P
L
RA1O Parte %e la recta6 po$ee punto %e origen =,> 8 e$ ili#ita%o en =;> ,
;
,;
SEGMENTO DE RECTA Porci.n %e recta co#pren%i%a entre %o$ punto$6 lo$ cuale$ $on lo$ extre#o$& ,
;
Co#&l(/"2#% E$ la #i$#a: =Por un punto %el plano pa$an in/inita$ recta$> ;A ,4ora elegire#o$ %o$ punto$ %el e$pacio& BCu0nta$ recta$ unen a e$o$ %o$ punto$ Recor%e#o$ 7ue ni punto$ ni recta$ tienen gro$or& ,
;
Co#&l(/"2#% =)o$ punto$ %el e$pacio %eter#inan una $ola recta> TRMINOS MATEM4TICOS A) ROOSICIÓN E$ un enuncia%o %e una conclu$i.n 8 tiene un $olo valor %e ver%a% pue%e $er ver%a%ero o /al$o&
,;
E3e#plo:
-D-F
*A
A) ESACIO Lo #0$ pareci%o a e$te ele#ento %el e$pacio e$ una 4o3a %e papel6 pero lo %i/erencia con '$ta6 el 4ec4o 7ue e$ ili#ita%o 8 no tiene gro$or&
B) A5IOMA E$ una propo$ici.n evi%ente por $i #i$#a 8 no nece$ita %e#o$traci.n&
El plano e$ una $uper/icie in/inita6 /or#a%a por in/inito$ punto$ 7ue $iguen una #i$#a %irecci.n6 e$ %ecir6 4a8 recta$ 7ue 7ue%an total#ente inclui%a$ en ella&
C) TEOREMA Propo$ici.n 7ue #e%iante un ra9ona#iento $e 4ace evi%ente 8 con$ta %e - parte$: @ip.te$i$ 8 te$i$&
El $í#5olo %e plano e$ P 8 para no#5rarlo %e5e e$tar aco#pa?a%o&
E3e#plo: Sea el tri0ngulo rect0ngulo ,;C cu8o$ tre$ la%o$ $on a6 5 8 c6 $e cu#ple 7ue:
E3e#plo: Si a- 8 a5 H 5-
;
P
@a8 plano$ 4ori9ontale$6 verticale$ 8 o5licuo$& Cuan%o en una pe7ue?a $uper/icie no 7ue%an recta$ total#ente inclui%a$ en ella6 %eci#o$ 7ue e$ una curva& +na repre$entaci.n %e e$to $ería una 5an%era /la#ean%o& ,nali9an%o& (#$o/ y re&$a/% ,A
,
c
a
5
C
TEOREM, )E PITGOR,S c- a- D 5D) COROLARIO E$ un propo$ici.n 7ue $e %e%uce %e un teore#a 8a %e#o$tra%o& E3e#plo: Si a J 5A - a- J -a5 D 5 -6 en ella $e %e%uce 7ue a J 5A - 5 J aA E) OSTULADO Propo$ici.n 7ue $in $er evi%ente $e a%#ite $u %e#o$traci.n& E3e#plo: J La recta e$ in%e/ini%a en $u$ %o$ $enti%o$ J Por %o$ punto$ pa$a una recta 8 $.lo una& J Pon un punto pa$an in/inita$ recta$& J To%a porci.n %e recta contiene in/inito$ punto$& 83
6) LEMA E$ un teore#a preli#inar 7ue $irve %e 5a$e para %e#o$trar un teore#a principal& E3e#plo: Para %e#o$trar el 0rea %e un cua%ra%o6 %e5e#o$ %e#o$trar pri#ero el LEM, 7ue %ice =un cua%ra%o e$ un rect0ngulo 7ue tiene $u$ cuatro la%o$ iguale$ G) ESCOLIO E$ una o5$ervaci.n 7ue $e 4ace $o5re un teore#a previa#ente %e#o$tra%o& E3e#plo: To%o n1#ero real =x> eleva%o al cua%ra%o excepto cero e$ #a8or 7ue cero& K- H ! H K ! !) !IÓTESIS Punto %e parti%a %e una %e#o$traci.n l.gica a partir %e la cual $e propone alcan9ar la $oluci.n&
*EC@, )E &&&&&&&-!! RE
O;SER<,CIONES
84
GUÍA DE ARENDIA*E N+ 0 Te-a% INTERSECCI(N )E *IG+R,S GEOMÉTRIC,S PL,N,S& Co#$e#".o/% E$pera#o$ 7ue: lo$ %i/erente$ tipo$ %e inter$ecci.n %e /igura$ I%enti/icar geo#'trica$ plana$& Calcular el #0xi#o n1#ero %e punto$ %e corte %e %i/erente$ /igura$ geo#'trica$ plana$& 6UNDAMENTO TEÓRICO ,7 I#$er/e&&"2#7 E$ un con3unto %e punto o punto$ %on%e %o$ o #0$ /igura$ geo#'trica$ $e cortan& +na /igura plana6 tiene to%o$ $u$ punto$ $o5re un #i$#o plano& *
M
R
S
O'/er:a&"o#e/% A7 )o$ recta$ conteni%a$ en un #i$#o plano 8 7ue no $e inter$ecan6 reci5en el no#5re %e paralela$& B7 +na recta 8 una circun/erencia6 pue%en $er:
N aA
cA
5A
En la /igura aA la$ recta$ M 8 N $e inter$ectan en un punto& En 5A6 R inter$ecta a la /igura * en %o$ punto$ 8 para cA6 la inter$ecci.n %e S 8 la /igura L6 e$ %e tre$ punto$& En to%o$ lo$ ca$o$ anteriore$ %ire#o$ 7ue la$ /igura$ $on $ecante$6 $e cortan en "6 - . 2 punto$ re$pectiva#ente&
Recta 8 circun/erencia tangente$ entre $i " pto& %e inter$ecci.nA
Recta 8 circun/erencia $ecante$ entre $i - pto$& %e inter$ecci.nA
7 L#ea/ Co#:e;a/7 Son a7uella$ 7ue $e inter$ecan con alguna recta6 en un #0xi#o %e %o$ punto$& "
No $e inter$ecan ! pto$& %e inter$ecci.nA
"
-
C7
-
" " -
37 L#ea/ #o Co#:e;a/7 Si alguna recta $ecante %eter#ina $o5re ella$6 #0$ %e %o$ punto$ %e corte& 1 punto
" "
-
2 puntos
1 puntos 3 punto
2
O
-
2 4 puntos
5 puntos
6 puntos
" -
2 O
"
2
Nota#o$ 7ue6 el #íni#o n1#ero %e punto$ %e inter$ecci.n %i/erente %e ceroA entre e$ta$ /igura$6 e$ " 8 el #0xi#o: 85
<7 M45IMO N=MERO DE UNTOS DE CORTE &" MNPC %e =n> recta$ $ecante$ MNPC nnJ"A-
n "! L -!
n1#ero %e polígono$ n1#ero %e la%o$
MNPC L&nnJ"A MNPC -!&"!"! J"A "!! E>e-?lo 7 BEn cu0nto$ $e inter$ecan6 co#o #0xi#o6 F oct.gono$ convexo$ Soluci.n&
&- MNPC para =n> circun/erencia$ Secante$ MNPC nnJ"A <7@ MNC .e .o/ ?olo#o/ .e ."ere#$e #-ero &2 MNPC para =n> tri0ngulo$ MNPC 2nnJ"A
Se inter$ecan6 co#o #0xi#o6 en un n1#ero %e punto$ e7uivalente$ al %o5le %el n1#ero %e la%o$ %el #enor& ,$i por e3e#plo: " tri0ngulo 8 " cua%ril0tero&
& MNPC para =n> 0ngulo$ MNPC -nnJ"A
2x3=6
" cua%ril0tero 8 " pent0gono& 2x4=8
&F MNPC convexo$
para
=n> cua%ril0tero$ " cua%ril0tero 8 " circun/erencia
MNPC nnJ"A 2x4=8
La circun/erencia $e con$i%era co#o un polígono %e in/inito$ la%o$&
& MNPC para =n> pent0gono$ convexo$ MNPC FnnJ"A EN GENERAL% n polígono$ convexo$ %e L la%o$ ca%a uno6 $e cortan co#o #0xi#o en: MNPC L & nnJ"A
& MNPC paralela$
%e n recta$ $ecante$ con p MNPC p & n p O n F MNPC p & n MNPC O & F -!
E>e-?lo ,7 BEn cu0nto$ punto$ $e cortan6 co#o #0xi#o6 "! ico$0gono$ convexo$
&Q MNPC %e n circun/erencia$ 8 # recta$
Soluci.n& 86
MNPC E -&#&n circun/erencia$ - $ecante$ MNPC E -&-& E 2-
&"! MNPC %e n tri0ngulo$ 8 c circun/erencia$ MNPC E &n&c "! tri0ngulo$ F circ un/erencia$ MNPC E &"!&F E 2!!
&"" MNPC %e n tri0ngulo$ 8 p recta$ $ecante$ MNPC -&n&p - tri0ngulo$ 2 recta$ MNPC -&-&2 "-
&"- MNPC %e n elip$e$ $ecante$ MNPC -nnJ"A
,A "F recta$ $ecante$ ;A -! circun/erencia$ CA " tri0ngulo$ )A --cua%ril0tero$ convexo$ EA F! pent0gono$ convexo$ *A 2F 0ngulo$ GA " oct.gono$ convexo$ @A 2- elip$e$ $ecante$ IA "! par05ola$ $ecante$ !-& @allar el MNPC %e: ,A recta$ $ecante$ 8 circun/erencia$ ;A "- recta$ $ecante$ con tri0ngulo$ CA circun/erencia$ con F tri0ngulo$ )A F tri0ngulo$ con cua%ril0tero$ EA "! cua%ril0tero$ con F oct.gono$ *A F %ec0gono$ con "F %o%ec0gono$& !2& @allar el MNPC entre "! recta$ 8 F circun/erencia$6 al cortar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i& ,A F ;A "-!
CA "F )A "F
EA N&,&
2 elip$e$ MNPC -&22J"A "-
&"2 MNPC %e n par05ola$ $ecante$ MNPC -nnJ"A Para - par05ola$
!& @allar el MNPC entre "" $ecante$ 8 F tri0ngulo$ al cortar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i& ,A --F -!F
;A "-F
CA ""F
)A "F
EA
MNPC -&--J"A O
Pro5le#a explicativo @allar el MNPC entre "" recta$ 8 F tri0ngulo$6 al cortar$e to%a$ e$ta$ /igura$ to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i& "# Las 11 re$tas, por s% solas 11(11)1# 2
MNP =
= 55 ptos!
&# Los 5 tr%'ngulos entre s%: MNP =3!5(5 ) 1# = 60 ptos! # Las 11 se$antes a los 5 tr%'ngulos 2 ! 11 ! 5 = 110 ptos!
!F& @allar el MNPC entre "" circun/erencia$ 8 tri0ngulo$ al inter$ectar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i& ,A - -
;A !
CA !
)A Q! EA
!& @allar el MNPC entre -" recta$ $ecante$6 "F circun/erencia$ 8 "tri0ngulo$6 al inter$ectar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i&
N*mero de tr%'ngulos N*mero de se$antes N*mero de ptos entre 1 se$ante 1 tr%'ngulo
Luego, sumando los r esultados: 55 + 60 + 110 = 225 MNP = 225 ptos!
RACTICA DE CLASE NIVEL I !"& @allar el MNPC %e:
,A""!
;A"!! CA!!" )A!-! EN&,&
!& @allar el MNPC entre -" tri0ngulo$ 8 "! cua%ril0tero$ convexo$6 to%o$ $ecante$ entre $i& ,A -!!
;A - CA "! )A -! EA-!
!& @allar el MNPC entre cua%ril0tero$ convexo$6 "" pent0gono$ convexo$ 8 -" 87
oct.gono$ convexo$6 al inter$ectar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i& ,A " ;A ! CA ! )A ! EA N&, &
"& Encontrar el MNPC %e "2 circun/erencia$ $ecante$6 recta$ $ecante$ 8 -" recta$ paralela$&
!Q& @allar el MNPC entre "! recta$ paralela$6 F recta$ $ecante$ 8 tri0ngulo$6 al inter$ectar$e to%a$ e$ta$ /igura$ entre $i&
,A "!F- ;A "!F! CA "!! )A "!- EA N&,&
,A 2! ;A 2! CA 2F!
)A 2!
EA 22!
"!& @allar el MNPC entre F oct.gono$ 8 "! ico$0gono$6 to%o$ convexo$& ,A-! ;A-! CA -! )A-! EAN&,
""& @allar el MNPC entre "! recta$ $ecante$6 tri0ngulo$ 8 "" cua%ril0tero$ convexo$& ,A "2""
;A "2"- CA "-"2 )A "2-" EA N&,&
"2& @allar el MNPC %e -! elip$e$ $ecante$ ,A 2F!
;A 2! CA 2! )A -!!
EA N&,&
"& @allar el MNPC %e -! circun/erencia$ $ecante$ 8 F! recta$ $ecante$ ,A "F! ;A -!! CA 2F! )A 2!! EA N&,& "F& )eter#inar el MNPC %e " recta$ $ecante$ 8 -F circun/erencia$& ,A"F! ;A"F- CA"F2 )A "F! EAN&,& "& Si $e 7uitan recta$ %e un grupo %e recta$ $ecante$6 lo$ punto$ %e inter$ecci.n %i$#inu8en en -& Calcular lo$ punto$ %e inter$ecci.n %el $i$te#a& ,A 2
,A -F! ;A -F- CA -F )A -F!! EA N&,&
-!& BCu0l e$ el #0xi#o n1#ero %e punto$ %e inter$ecci.n %e circun/erencia$ 8 pent0gono$ ,A "!! ;A "F! CA -!! )A 2!! EA N&,&
;A "2"- CA "-"2 )A "2-" EA N&,&
"-& Calcular el #0xi#o n1#ero %e punto$ %e inter$ecci.n %e "! recta$ paralela$6 "- recta$ $ecante$ 8 " circun/erencia$ $ecante$& ,A "2""
"Q& Calcular el MNPC %e -! recta$ $ecante$6 "! circun/erencia$6 tri0ngulo$ 8 F cua%ra%o$&
;A 2
CA 2
)A 2Q
EA N&,&
RACTICA DOMICILIARIA NIVEL I !"& @allar el MNPC %e: ,A Q recta$ $ecante$ 8 "! circun/erencia$ ;A recta$ $ecante$ 8 tri0ngulo$ CA "! recta$ $ecante$ 8 "cua%ril0tero$ convexo$ )A F tri0ngulo$ 8 oct.gono$ convexo$ EA cua%ril0tero$ 8 circun/erencia$ *A "- 4ex0gono$ 8 "! pent0gono$ GA 2! %ec0gono$ 8 non0gono$ $ecante$ !-& @allar el MNPC %e: ,A -! recta$ $ecante$ ;A " circun/erencia$ CA F tri0ngulo$ )A " cua%ril0tero$ EA -F pent0gono$ convexo$ *A 2 oct.gono$ convexo$ !2& @allar el MNPC %e "! recta$ $ecante$ entre F circun/erencia$& ,A "F ;A "F CA -!!
)A "F
EA N&,&
"& @allar el MNPC %e "! cua%ril0tero$ 8 F circun/erencia$&
!& @allar el MNPC %e "! recta$ $ecante$ entre F circun/erencia$&
,A F! ;A !
,A -! ;A 2-! CA 2Q! )A ! EA -!F
CA ! )A !! EA N&,&
88
!F& recta$ $ecante$6 circun/erencia$ 8 Q tri0ngulo$6 $e cortan co#o en:
,A !
,A Q2 ;A Q2 CA 2Q
!& F 0ngulo$ 8 circun/erencia$ $e cortan co#o #0xi#o en:
!Q& Se tienen n tri0ngulo$ $ecante$& Si $e 7uitan 2 tri0ngulo$6 el n1#ero #0xi#o %e punto$ %e corte6 %i$#inu8e en F& @allar n
,A "2 ;A "! CA -"
,A "!
)A Q2
)A -Q
EA N&,&
EA -
;A ! CA Q! )A ! EA N&,&
;A
CA
)A F
EA
!& recta$ paralela$6 recta$ $ecante$ 8 "- pent0gono$6 $e cortan co#o #0xi#o en:
!& @allar el #0xi#o n1#ero %e punto$ %e corte entre n elip$e$ 8 -n recta$ to%a$ $ecante$&
,A "!-Q ;A Q- CA ""-Q )A "2!Q EA N&,&
,A n2nJ"A ;A 2nnJ"A )A 2nnD"A EA nnD"A
!& @allar el #0xi#o n1#ero %e punto$ %e corte entre F oct.gono$ 8 %ec0gono$ convexo$&
*EC@, )E &&&&&&-!! RE
CA -nnD-A
O;SER<,CIONES
GUÍA DE ARENDIA*E N+ 03 Tema: SEGMENTOS: OPERACIONES CON SEGMENTOS
.
Co#$e#".o/% Re$olver 8 operar con 4a5ili%a% 8 %e$tre9a pro5le#a$ 89 %e $eg#ento$& Reconocer 8 %i/erenciar recta$6 ra8o6 $e#irrecta$ 8 $eg#ento$
INTRODUCCIÓN El 4o#5re %e la pre 4i$toria con $u$ concepto$ vago$ %e n1#ero 8 %e la #e%i%a e$ pro5a5le 7ue contara con lo$ %e%o$ u otro$ o53eto$ 8 7ue #i%iera la$ longitu%e$ con cierta$ línea$&
6UNDAMENTO TEÓRICO SEGMENTO7 E$ la porci.n %e recta li#ita%a por %o$ punto$ lla#a%o$ extre#o$& El $eg#ento ,; %e la /igura& ,
UNTOS COLINEALES7 Son lo$ 7ue pertenecen a una #i$#a recta& Por e3e#plo lo$ punto$ ,6 ;6 C6 )& L ,
SEGMENTO CONGRUENTES7 a7uello$ 7ue tienen igual longitu%& El $eg#ento ,; %e la /igura&
)
OERACIONES CON SEGMENTOS Po$tula%o: El total e$ igual a la $u#a %e $u$ parte$& Tene#o$: ,
;
C
,; D ;C ,C Po$tula%o: =El total e$ igual a la $u#a %e $u$ parte$>&
Son P D R D RS PS ,
;
;
C )
E
*
,; C
,
)
D;CDC)D)EDE*,* ,; D ;E ,E ,C D C) D )E ,E ;) D )* ;*
,$í ,; 8 C)6 $on congruente$& Se e$cri5e: ,; C) O $i#ple#ente: ,; J C) UNTO MEDIO DE UN SEGMENTO7 E$ a7uel 7ue lo %ivi%e en %o$ congruente$& Se %ice 7ue %ic4o punto 5i$eca al $eg#ento& M e$ punto #e%io %e ,;&
Ta#5i'n po%e#o$ e/ectuar %i/erencia$: MN MT J NT NT MT J MN ,
,M M; ,M M; ,;,
C
,%e#0$ lo$ punto$ ,6 ;6 C 8 ) $on con$ecutivo$&
;
Se %enota: ,; o ;,6 lo$ punto$ , 8 ; $on lo$ extre#o$& Si la longitu% ,; e$ "! uni%a%e$6 po%e#o$ e$cri5ir: ,; "! o # ,; "!
;
M
;
;
O'/er:a&"o#e/ En alguno$ gr0/ico$6 $e va a repre$entar la$ longitu%e$ %e lo$ $eg#ento$ con letra$6 u$ual#ente #in1$cula$&
90
x
,; x
,
; a
5 PR P D R
P
PR a D 5
R n
*G EG J E*
x
*G n J x E
*
!-& Lo$ punto$ ,6 ;6 C 8 ) $on con$ecutivo$ cu#plien%o la relaci.n: ,; J ;) J - )C @allar ,)& Si ,; 2 8 ,C F
G
-a
,; -;C
a
,
;
;C a ,; -a
C
En a7uello$ congruente$:
ca$o$
%e
,A F
;A
CA
)A Q
$eg#ento$ S o lu c i
n . 2
MN NR M
N
R
%
) el%ato: OG2A J G- D xA J -x O "- J - J x J -x O K -
UV VL % V
L
L u eg o C ) P o r lo ta n t o :
RS ST R
S
T
,) ,C D C) F D
RACTICA DE CLASE
ro'le-a/ e;?l"&a$":o/ !"& Se tiene lo$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 ) tale$ 7ue ,) -6 ,C " 8 , ; = , ) ;C
NIVEL I !"& Calcular PR6 $i R J PR " 2! c#
C)
P
,A 2
;A
CA
Solución.
)A 26
EA F
,A
8
;
C
) ,
24
,; ;C
=
&&&&&&&& C) E
l
en " J ;C
=
;A "!
CA "-
R
)A "
EA ""
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C
CA 2u
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,) C)
,; E ,C J ;C J ;C E -O
T
!-& Calcular ;C6 $i ,;"u 8 ;)"u6 a%e#0$ =C> e$ punto #e%io %e ,)&
16
,
X
MR -
MN NR MR -
%
U
EA
-O
" E O;C ;C E O
!2& Si =M> e$ punto #e%io %e P6 => e$ punto #e%io %e PR 8 PMF6 Calcular =PR>&
"
91
,A -! P
M
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;A "F
CA -!
R
,A "!
)A -F
EA 2!
!& En la /igura $e cu#ple: ,C J ,; "-& Si =T> e$ punto #e%io %e ;C6 Calcular TC&
,A F
;
;A
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C
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!F& Calcular PM $i PS2!6 8 S" PR-- 8 =M> e$ punto #e%io %e R& P
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!& So5re una recta $e to#an lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C 8 ) @allar ,)6 $i ,C! ,)DC)"! ,A F
;A "!!
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!& So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$: ,6 ;6 C6 ) 8 E& @allar ;E6 $i:
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;C 2
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C) F
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!& So5re una recta $e to#an lo$ punto$ P6 6 R6 T tal 7ue P26 PRF 8 PJTJ -RT Calcular PT ,A F
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CA
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!Q& So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 8 )& Se u5ican P 8 punto #e%io$ %e ,; 8 C) re$pectiva#ente& @allar P6 $i %e ,C D ;) - ,A F
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& Calcular
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"-& En una línea recta $e u5ican lo$ punto$ con$ecutivo$: ,6 ;6 C6 ) 8 E con la $iguiente con%ici.n: ,C D ;) D CE 2-
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@allar ,E ,A "Q ;A -Q CA "-
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"2& Lo$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 ) $on tale$ 7ue ,) "6 ;) "2 8 ,C "-& @allar ;C ,A
;A
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"& P6 8 R $on tre$ punto$ con$ecutivo$ %e una recta P - R D " 8 PR 2"& @allar R& ,A Q
,; -
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C6 ) 8 E& Si ,) D ;E -! ;)&
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""& So5re una recta $e con$i%eran lo$ punto$ ,E con$ecutivo$: ,6 ; ) O ;6
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EA
"F& ,6 C6 ) 8 E $on tre$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ tal 7ue ) $ea un punto #e%io %e CE 8 ,C D ,E F!& @allar ,) ,A -F
;A "-&F
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NIVEL II "& Calcular ;C6 $i ,) "!6 ,C 8 ;) ,
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;A 2
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So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ ,6 ;6 8 C& )on%e ,C ! 8 -,; ;C6 4allar ,;
"& Calcular ;C&
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" ,
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"& Calcular ;C6 $i ,C ;) 2 8 ,) F ,
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C
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"Q& En una línea recta $e u5ican lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C 8 )6 $i M 8 N $on punto$ #e%io$ %e ,C 8 ;) re$pectiva#ente 8 a%e#0$ ,; D C) "#& Calcular la longitu% %e MN& ,A # ;A Q# CA #
)A "!#
EA N&,&
-!& So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ ,6 ;6 C6 ) 8 E %e #anera 7ue: ,; -
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CA "6F
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-2& ,6 ;6 C6 $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ tale$ 7ue: ,; ;C 8 ,C F& @allar ;C& ,A -F
;A "Q
CA -2
)A -"
EA -
-& +na 4or#iga ca#ina $o5re una línea recta %el punto , 4acia el punto ;6 $i al llegar al punto M M e$ el punto #e%io %e ,;A %eci%e retroce%er 4a$ta el punto P 8 $e %a cuenta 7ue la %i$tancia %e P 4a$ta M e$ la cuarta parte %e la %i$tancia %e P 4a$ta ;& Calcular ,; $i la 4or#iga a recorri%o - #& ,A"!# ;A 2# CA"# )AF# EA N&,& -F& So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 8 ) tal 7ue ,) "! 8 ,C ;) & Calcular ;C ,A -
;A "
CA 2
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EA
-& Calcular MN $i ,C D ;) -!6 M 8 N $on punto$ #e%io$&
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,E -c#& Calcular ;C ,A c# ;A c# N&,&
CA - c#
)A c# EA
-"& En una recta $e tienen con$ecutivo$ ,6 ;6 C $ien%o ,C D ,; , ;C
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2
lo$ punto$
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-& )e la /igura6 calcular ;C $i ;C
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C) F
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6 ,) E 2!
C
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@allar
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)A "2 EA "-
-"& En una recta $e tienen con$ecutivo$ ,6 ;6 C $ien%o ,C D ,;
F
lo$ punto$
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;C6 @allar CA -
)A "2
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-&@allar ,E $i ,C 6 ;E "! 8 ;C ,
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,A 2
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--& Se tienen lo$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 ) 8 E %e #o%o 7ue ,E26 ;)Q6 ,C-2 8 ,;J)EF
-Q& Si C) -,; 8 ;C F Calcular la %i$tancia %e lo$ punto$ #e%io$ %e ,; 8 C) ,
;
C
) 93
,A "F !
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2!& So5re una recta $e u5ican lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 )6 E %e #o%o 7ue ; e$ punto #e%io %e ,E ,E -! 8 ,C 2C)& @allar ;C ,A F
;A -
CA 2
)A
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RACTICA DOMICILIARIA NIVEL I !"& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& Si ,C "- c#6 ;) " c# 8 ,) -" c#& Calcular ;C ,A c# ;c# CA Qc# )A "!c# EA ""c# !-& P6 6 8 R $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& Tale$ 7ue P R D --& Si M e$ punto #e%io %e PR& Calcular M& ,A --
;A "" CA 22
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!& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& ,C "- 6 ;) " 8 ,) 2" Calcular ;C ,A "
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!Q& P6 6 R 8 S $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& PR D S -! 8 PS - Calcular R ,A 2
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"!& )a%o lo$ punto$ colineale$ ,6 ; 8 C& ,C - 8 F ,; ;C& Calcular ,;& ,A "-
;A "F
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!2& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& ,; - ;C6 C) 2 ,; 8 ) e$ punto #e%io %e ;E& Calcular ,E6 $a5ien%o a%e#0$ 7ue ,) D ;E ""F
""& ,6 ;6 8 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$6 8 M punto #e%io %e ,C& Si ,; " 8 ;C "!& Calcular M;
,A Q!
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!& En la /igura NR MN J - RS J 2 NS ST 8 MT "!& Calcular NR& M
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;A "Q6-
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Calcular P+6 $i ER R+ -PE PR D E+ ""!& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta& ,C "- 6 ;) " 8 ,) 2" Calcular ;C P
,A ! !&
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"-& P6 6 R 8 S $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$& R RS - P 8 PR D S "& Calcular PS ,A "! ;A "! CA "! )A "F! EA "2& ,6 ;6 8 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ M punto #e%io %e ,; 8 N punto #e%io %e ;C& Calcular ,C6 $i MN- 8 ,; 2-& ,A F ;A F CA F)A F EA F! "& ,6 M6 6 ; 8 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ M F ,M M;6 , C 8 MC "& Calcular ;C
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Calcular ,C6 $i ,; ;C6 C) )E ;) 8 ;E ,
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"F& ,6 ;6 C6 ) 8 E $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$6 ,; ;C C) )E6 CE 2 8 ;) !& Calcular ,E ,A "!!
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CA ""! )A ""F EA "-! 94
"& *6 ,6 8 G $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$6 *, J ,G "- 8 M punto #e%io %e *G& Calcular M, ,A
;A
CA
)A F
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-F& )a%o lo$ punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$: ,6 R6 P6 $e $a5e 7ue ,P -! 8 -,RA D 2RPA D ,PA "-- & Calcular ,R ,A " ;A " CA " )A -! EA "Q
"& ,6 S6 O6 N 8 ) $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$6 ON)ND26 ,SOS6 OSOND" 8 ,)DSN & Calcular ,)
-& E6 *6 M6 ,6 U $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,U ,M J "6 EM 2!6 ,* EM J "! 8 UM ,* D F& Calcular E*
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,A -!
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"& P6 6 R6 8 S $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ P -K6 R 2K6 RS K J "6 PS "& Calcular RS ,A 2"
;A 22
CA 2
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EA 2
"Q& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,) !6 C) "F 8 ,; & C) ;C & ,) Calcular ;C ,A
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-!& ,6 ;6 C6 )6 E 8 * $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$: ,C D ;) D CE D )* ,* D "-& Calcular ;E ,A
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-"& ,6 ;6 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ M punto #e%io %e ,; 8 N punto #e%io %e ;C& Calcular MN& Si ;C 2 8 ,N ,A F"
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--& M6 N6 R 8 T $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ R punto #e%io %e MT6 MN -NR J 8 -MN D 2NR D RT F2& Calcular NR& ,A ;A 2 CA )A F EA -2& ,6 M6 ;6 N 8 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ M punto #e%io %e ,;6 8 N punto #e%io %e ;C& Si W,N "- 8 MN Q& Calcular NC& ,A ;A CA )A Q EA "! -& ,6 ;6 C6 8 ) $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ 7ue %eter#inan tre$ $eg#ento$ congruente$& Calcular ,)& Si -,; 2;) D ,) ! ,A 2
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-& ,6 ; 8 C $on punto$ con$ecutivo$ %e una recta ,; ! 8 ;C -!& Se u5ican M6 N 8 R punto$ #e%io$ %e ,;6 ;C 8 MN re$pectiva#ente& Calcular la longitu% %e R; ,A "
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-& ,6 ; 8 C $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,C "F 8 -,; D 2;C 2& Calcular ;C ,A F
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-Q& P6 8 R $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ PR "-& Calcular la %i$tancia entre lo$ punto$ #e%io$ %e P 8 R ,A
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2!& ,6 ;6 C 8 ) $on punto$ colineale$ 8 con$ecutivo$ ,C D ;) ,) D "-& Calcular ;C ,A
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2"& Lo$ punto$ ,6 ;6 C6 ) $e encuentran $o5re una línea recta %e #o%o 7ue ,; 6 ;C "-6 luego $e to#a el punto #e%io * %e ,C& Calcular ;*& ,A "
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2-& So5re una recta $e to#an lo$ punto$ con$ecutivo$ ,6 ;6 C6 tal 7ue ,; a6 ;C 2a 8 ,C -& Encontrar ;C& ,A "-
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22& Lo$ punto$ ,6 ;6 C6 ) $e encuentran $o5re una línea recta %e #o%o 7ue ;C 6 ,C D ;) 22& Calcular ,)& ,A -F
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2& Se u5ican lo$ punto$ ,6 ;6 C6 ) $o5re una línea recta tal 7ue ; e$ punto #e%io %e ,)6 a%e#0$ ,) -C) D -& Calcular ;C& ,A "
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2F& Lo$ punto$ ,6 ;6 C6 ) $e encuentran $o5re una línea recta %e #o%o 7ue ,C D ;) D ,) F 8 ;C & Encontrar ,) ,A "
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