geometria

QUINTO AÑO      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C      E    C    L    I    R    T    S    O    I    G    E    L    O    C   -

GEOMETRÍA - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

NIVELACIÓN ESCOLAR

Í ndice ndice Capítulo 1 Triángulos

77

Capítulo 2 Polígonos Políg onos y cuadriláteros

88

Capítulo 3 Circunferencia

95

Capítulo 4 Semejanza de triángulos

104

Capítulo 5 Áreas

110

Capítulo 6 Sólidos geométricos

119

Triángulos

APÍTULO 1

- COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -



Triángulos

B Región interior 

γº

βº

δº

θº

aº

Vértices : A, B, C

•

Lados

: AB,AC,BC

• Pe Perí ríme metr tro: o:2 2p= p=a+ a+b+ b+cc

C

b

A

•

• Án Ánggulo loss :In :Inte tern rnoos:aº,βº,θº Externos:ωº, γº, δº

a

c ωº

Elementos de un triángulo

Región exterior  relativa a BC

• Se Semi mipe perí ríme metr tro: o:p p= = a + b + c 2

Clasificación de los triángulos • Se Segú gún nsu sus sla lado doss Triángulo escaleno

Triángulo isósceles

Todos sus lados son de diferente medida.

Tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. B

a

a

b

b

c

AB=BC

A

c

aº

aº Base

C

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

Triángulo equilátero Todos sus lados son iguales y sus ángulos interiores miden 60º. C 60º AB=BC=AC

A

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60º

60º

B

Nivelación escolar

77

Triángulos

Capítulo 1

2. Sum Sumad adeá eángu ngulos losex exter ternos nos

• Se Segú gúns nsus usá áng ngul ulos osin inte terio riore ress Triángulo acutángulo

γº

Todos sus ángulos interi ores son agudos

θº

0º
βº

aº

σº ωº+γº+σº =360º

Triángulo obtusángulo

3. Relaciónentre Relaciónentreunáng unánguloex uloexternoy ternoydos dosángulos ángulos internos.

Tiene un ángulo interior obtuso.

βº

90º
xº

aº

Triángulo rectángulo

xº=aº+βº

Un ángulo interior mide 90º. B a°+β°=90°

c

A

a

aº

βº

b

C

4. Propiedad de la existencia triangular o propiedad de la desigualdad triangular: En todo to do tr triá iáng ngul ulo o de debe be cu cump mpli lirs rse e qu que e un la lado do cualquieradebesermayorqueladiferenciade losotrosdosyalavezmenorquelasumade esos otros dos.

Propiedades fundamentales del triángulo a

b

1. Sum Sumad adeá eángu ngulos losint interno ernoss c

βº

•

Se cumple: b-c<a<b+c

aº

θº

a-c<b<a+c aº+βº+θº=180º

a-b<c<a+b

Colegios

78

TRILCE

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 1

5. Cuadri Cuadriláte láteronoc ronoconvex onvexo(cón o(cóncavo) cavo) βº

xº=aº+βº+θº

aº



xº

θº

Triángulos rectángulos notables • Tr Triá iáng ngul ulo ore rect ctán ángu gulo lo A aº

b

Los lados:

Secumple:

•

• aº+θº = 90º • Te Teor orem ema ade deP Pit itág ágor oras as::

Catetos: AC=b BC=a

c

• θº

C

a

Hippote Hi tennusa: a:A AB= B=cc

a2+b2 = c2

B

•Triángulode30ºy60º

•Triángulode45º

30º

45º

45º

2a

a 3

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

a2

a

60º

a2

2a

45º

a

a

45º

a2

•Triángulode37ºy53º

3a

4a

53°

37° 5a

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Nivelación escolar

79

Triángulos

Capítulo 1

Líneas notables



Ceviana Esaquellarectaquepartedeunvérticeycaeencualquierpuntodelladoopuestood Esaquellarectaquepartedeunvérticeycaeencualquierp untodelladoopuestoodesuprolongación. esuprolongación. B

•

P

A

Q

BP y BQ son cevianas del triángulo ABC.

C

Mediana Eslarectaquepartedeunvértice Eslarectaquep artedeunvérticeycaeenelpun ycaeenelpuntomediodellad tomediodelladoopuesto oopuesto.. B

• BM es mediana relativa al lado AC. AM = MC

A

C

M Observación

Elpuntodeinterseccióndelasmedianasdeuntriángulosedenomina"baricentro"yformaencada medianasegmentospro medianasegm entosproporcionalesd porcionalesde2a1. e2a1. • Donde: B "G":Baricentro • Se cumple: AG=2GN BG= BG =2 2GM GM

N

P G A

M

CG= CG =2 2GP GP

C

Altura Eslarectaquepartedeunvérticey Eslarectaqueparte deunvérticeycaeperpendicu caeperpendicularmenteenellad larmenteenelladoopuesto oopuestooensupro oensuprolongación. longación. B

A

H ∆ acutángulo

B

C

A

B

H

C

H

∆ rectángulo

A ∆ obtusángulo

C

Donde BH es altura de los triángulos ABC.

Colegios

80

TRILCE

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 1

Mediatriz Eslarectaquepasaporelpun Eslarectaquep asaporelpuntomediode tomediodeunsegmen unsegmentoformando9 toformando90º. 0º. L3

B

L2

L1 P M

A

R

B

A

Q ↔

L1 es mediatriz de AB

↔

L2 es mediatriz de PQ PR=RQ

AM = MB

C

M ↔

L3 es mediatriz mediatriz del lado AC AM = MC

Bisectriz • Bise Bisect ctri riz zin inte teri rior or Rectaque Recta quedivi dividea dealam lamedid edidade adeuná unángu nguloin lointerio terioren rendos dospart partesi esiguale guales. s. B a

a

BD → Bisectriz del ángulo ABC

A

C

D

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

• Bise Bisect ctri riz zex exte teri rior or Rectaque Recta quedivi dividea dealam lamedid edidade adeuná unángu nguloex loexterio terioren rendos dospart partesi esiguale guales. s. B

P CP → Bisectriz del ángulo exterior BCQ θ θ

A

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C

Q

Nivelación escolar

81

Triángulos

Capítulo 1

Observación

Propiedades importantes •

•

Propiedad 1

Propiedad 3 E

B B

I→Incentro

nº

x = 90º+

xº nº

nº

E → Excentro

2

I aº aº

aº

θº θº

x

A

•

C

A

•

x = 90º C

aº

θº

θº

Propiedad 4 B

E → Excentro nº

2

C

B

aº

θº

aº

Propiedad 2

A

nº

x=

n0

aº

2

aº

x=

xº

∧ ∧

A-C 2

θº

xº E



A

H

D

C

Congruencia de triángulos

Dos triángulos serán congruentes cuandotienentodossuselementos(ángulos,lados,medianas,etc.)deigual

medida.Parademostrarquedo medida.Parademo strarquedostriángulosson striángulossoncongruentes congruentesdebecumplircu debecumplircualquieradelos alquieradelossiguientescasos. siguientescasos.

Caso I (ALA) Dostrián Dos triángulo gulosse sseránc ráncongr ongruent uentescu escuando andotien tienenu enunáng nángulor ulorespe espectiva ctivament mentede edeigu igualme almedida dida..

≅ aº

θº

a

Colegios

82

TRILCE

aº

θº

a

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 1

Caso II (LAL) Dostrián Dos triángulo gulosse sseránc ráncongr ongruent uentescu escuando andotien tienenu enunlad nlado,u o,unán nángulo guloyun yunlado ladores respecti pectivame vamente nte de igual medida.

≅

a

a

aº

aº

b

b

Caso III (LLL) Dostrián Dos triángulo gulosse sseránc ráncongr ongruent uentescu escuando andotien tienens ensust ustresl reslados adosresp respectiv ectivamen amentede tedeigua igualmed lmedida. ida.

a

≅

b

a

c

b

c

• Propiedades importantes

Propiedad de la bisectriz Cualquierpuntodelabisectrizde Cualquierpu ntodelabisectrizdeunánguloequ unánguloequidistadeloslado idistadelosladosdedichoángu sdedichoángulo;además,seform lo;además,seformaen aen cada lado segmentos de igual medida. Q

O

aº aº

A

P

•

L

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

↔

Si: L es bisectriz del ángulo QOR se cumple: PQ=PR OQ=OR

R

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B

Nivelación escolar

83

Triángulos

Capítulo 1

Propiedad de la mediatriz Cualquierpuntodelamediatrizdeunsegmentoequidistadelosextremosdedichosegmentoformándose un triángulo isósceles.

L P

•

↔

Si: L es la mediatriz de AB se cumple: AP=BP

A

aº

aº

M

∆ APB→ isósceles

B

Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa Enuntriángulorectángulo,lamedianarelativaalahipotenusaeslamitaddelahipotenusaformándose dos triángulos isósceles.

•

B

Si BM es mediana se cumple:

θº aº

BM=

A

θº

aº

M

AC

2

∆BMC;∆AMB:Triángulos isósceles

C

• Teorema de los puntos medios Sipor elpun elpuntomed tomediodeunlad iodeunladodeuntrián odeuntriángu gulotraz lotrazamo amosunapar sunaparale alelaa laaun un seg segun undolad dolado,dic o,dicha ha paralelacortaráaltercerladoensupuntomedio,además,elsegmentodeparalelaquesedetermina eslamitaddelladoalcualesparalelo. B ↔

L1

N

M

Si:↔ L // AC 1

AM=BM → BN=NC

MN= A

AC

2

C

• Propie Propiedad dadde delo lost striá riángu ngulos losisó isósce sceles les Sitrazam Sitr azamosla oslaaltu alturaen raenlab labased asedeun euntrián triángulo guloisó isóscele sceles,d s,dicha ichaaltur alturase aserátam rátambién biénmed mediana, iana,bis bisectri ectriz z y mediatriz. B aº

aº

Si:AB=BC,entonces: BH:→ Altura;mediana;bisectriz;mediatriz A Colegios

84

TRILCE

θº

θº

H

C

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 1

Problemas para la clase

a) 5 d) 10

b) 6 e) 15

c) 8

6. Si:A Si:AP=2 P=2(QC) (QC)=4, =4,calcu calcular" lar"PQ". PQ".

1. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

P

2x x

x

Q

2x

3x

A

a) 20° d) 10°

b) 18° e) 15°

c) 30°

2. Calcu Calculare larelmáx lmáximov imovalor alorente enterod rode"x" e"x"..

b

a) 2 d) 2 3

B

b

C

b) 4 e) 2 2

c) 4 3

7. Calcu Calcular" lar"AQ", AQ",si:B si:BA+P A+PQ=1 Q=10. 0. B

8

4

P

2x

a) 2 d) 5

A

b) 3 e) 6

c) 4

3. Si: Si:AH AH= =HC HC,c ,calc alcula ular" r"x". x".

Q

C

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

8. Ca Calc lcul ular ar" "x x+ +10 10°" °"

B

x 2

19

x +3

35° c

c A

C

H

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

48°

a) 80° d) 20°

2a 52°

a) 18° d) 10°

b) 55° e) 45°

c) 65°

9. Enun Enuntrián triángul guloABC oABCsetraz setrazalacev alacevian ianaBP("P aBP("P" " en AC)talque:AB )talque:AB=BP=P =BP=PC.Hallarlamedid C.Hallarlamedida a delángulointerior"C",si:m∠ A = 80°.

4. Ca Calc lcuula larr"a" 3a

a) 16° d) 34°

b) 20° e) 15°

c) 30°

b) 40° e) 60°

c) 100°

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

10. Calcular"PQ",si:AC Calcular"PQ",si:AC=6yAB=8. =6yAB=8. B

5. Cal Calcul cular ar"AM "AM", ",si: si:MC MC= =10 10..

Q A

B

θ θ

P

M

C A

www.trilce.edu.pe

b

H

b

C

a) 2 d) 1

b) 3 e) 5

c) 4

Nivelación escolar

85

Triángulos Triángulos

Capítulo 1

11. Enuntriángu EnuntriánguloacutánguloAB loacutánguloABCsesabequ Csesabeque: e: 17. Calcular"x",si:AC=2 Calcular"x",si:AC=2(DB)yDA=AB. (DB)yDA=AB. mBB=50°.SetrazanlasalturasAHyCPlas B cualessecortanen"Q".HallarmBPQH. a) 50° d) 130°

b) 100° e) 150°

c) 80°

12. Enuntriángu EnuntriánguloABCsesabe loABCsesabequem quem BB = 30° y mBC=40°.Calcularelánguloformadoporlas alturastrazadasdesdelosvértices"B"y"C". a) 70° d) 130°

b) 110° e) 140°

c) 120°

13.Si:AB=18,calcular"BC".

a) 20 d) 30

22º

D

B

c) 20°

18. En un triángulo rectángulo ABC se traza la ceviana

BEtalque:AC=2(BE).Si:mBBAC=50°,hallar lamedidadel"BABE". b) 20° e) 50°

c) 40°

Q

M

c) 28

14. Calcular"DE",si:BC Calcular"DE",si:BC=DCyAB=7 =DCyAB=7,AC=3, ,AC=3, además:CE=11.

E

C

a) 2 d) 5

b) 15° e) 25°

D

b) 24 e) 36

A

a) 18° d) 10°

19. 19 . Enlafig Enlafigura ura:PM=QM;RF=FM,QD=18. :PM=QM;RF=FM,QD=18. Calcular"FD".

C 15º

C

A

a) 10° d) 30°

B

 A

x

D

b) 3 e) 6

c) 4

15. 15 .En En un tr triá iáng ngul ulo o re rect ctán ángu gulo lo AB ABC, C, se tr traz aza a la bisectrizinteriorAE.Si:5(BE)=4(EC),hallar: mBACB.

F D

P

a) 4,5 d) 13,5

R 

b) 9 e) 6

c) 12

20.EnuntriánguloABC,laalturaBHbisecaala medianaAMenelpunto"N".Calcular"NH", si:BC=10yAH=4. a) 1 d) 2,5

b) 1,5 e) 3

c) 2

Reto TRILCE

a) 37° d) 45°

b) 30° e) 53°

c) 60° • En Enl la afi figu gura ra, ,ca calc lcul ular ar" "x" x"..

16. Calcular"CE",si:BC=D Calcular"CE",si:BC=DCyAB=6. CyAB=6.

B 30°

D

B

70°

θ

E x

A

a) 10 d) 14

Colegios

86

TRILCE

40°

30°

θ

C

b) 11 e) 12

A

E

c) 13

a) 10° d) 40°

10°

D

b) 20° e) 50°

C

c) 30°

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 1

6. Si: Si:a a+b +b= =24 240° 0°,c ,calc alcula ular" r"x". x".

 Tarea domiciliaria

a

1. Ca Calc lcul ular ar" "x x+ +y" y" 80°

a

x

a) 250° d) 260°

x

a

y

b) 240° e) 280°

c) 270°

x

b

a

a) 90° d) 120°

b) 100° e) 80°

7. Ca Calc lcul ular ar" "AC AC""

c) 60°

B

2. Siel Sieltrián triángulo guloABC ABCese esequil quilátero átero,calc ,calcular ular"x" "x" 6

B

80°

a) 10° d) 40°

b) 4 2 e) 8

c) 6 3

A 

b) 20° e) 15°

c) 30°

8. Si:A Si:AP=P P=PByB ByBQ=Q Q=QC,ca C,calcula lcular"P r"PM". M". B

3. Ca Calc lcul ular ar" "b b- -a" a"

P 20

a

M 26

a) 13 d) 6

b

b) 2 e) 5

Q

A

37°

a) 1 d) 4

C

H

a) 8 3 d) 12

P

C

30°

 A

x°

c) 3

12 C

b) 4 e) 7

c) 5

9. Calcular Calcularlalon lalongitud gituddela delamedian mediana“BM” a“BM”,si: ,si:AB=6 AB=6 y BC=8.

4. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

B 2

x -1 8

a a

a) 1 d) 4

 A

b) 2 e) 5

c) 3

a) 10 d) 6

b) 8 e) 5 B c c

30° 60°

a) 90° d) 120°

www.trilce.edu.pe

5a

7a

b) 100° e) 110°

c) 7

10.Calcular"x+y"

5. En Enla lafig figura ura,c ,calc alcula ular" r"x". x".

70°

C

M

2c  A 

x

c) 80°

a) 12 d) 24

x

a

y 32

b) 16 e) 28

a 2a C

c) 20

Nivelación escolar

87

Polígonos y cuadriláteros

APÍTULO 2

- COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

Polígonos Eslafiguraformadaporlaunióndetresomássegmentosderectaquetienensusextremoscomunesdos a dos. C B

xº

βº

yº

aº

θº

A

"n"lados

D zº x2 E

G

x1

Elementos • • • • • •

Vértices : A, A, B, C, ... Lados : AB,BC,CD,... Áng nguulo lossi innte tern rnoos : aº, βº, θº, ... Áng nguulo losse ext xteern rnoos: xº,yº,zº,... Diagonal : CF CF, ... Diagonal media : x1x2

F

Clasificación • Polí líggon onooc coonvex exoo

• Po Polí lígo gono non no oco conv nvex exoo

cº dº

bº

aº aº

eº fº

0º<aº,bº,cº,dº,eº,fº<180 º

Colegios

88

TRILCE

180º < aº < 360º

Nivelación escolar

88

Quinto año

Capítulo 2

•

Polígono equiángulo aº

•

Polígono equilátero

aº

aº

aº

aº

aº

Polígono regular Sonlospolígonosequiángulosyequiláterosalavezysucentroeselcentrodelacircunferenciainscrita ocircunscritaalpolígono. Donde: • O : • R : • aº: • n : "n"lados

Centro Circunradio Ángu Án gulo loc cen entr tral al Número de lados

Secumple:

O aº =

º R a R

360º n

Observación

Segúnelnúmerodelados Segúnelnúm erodelados,lospolígon ,lospolígonossedeno ossedenominan: minan: •

Triángulo

3 lados

•

Decágono

10 lados

•

Cuadrilátero

4 lados

•

Endecágono

11 lados

•

Pentágono

5 lados

•

Dodecágono

12 lados

•

Hexágono

6 lados

•

Pentadecágono

15 lados

•

Heptágono

7 lados

•

Hexadecágono

16 lados

•

Octógono

8 lados

•

Icoságono

20 lados

•

Nonágono

9 lados

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Nivelación escolar

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

89

Polígonos y cuadriláteros

Capítulo 2

Propiedades de los polígonos 1. Núme Númerot rototal otalded dediagon iagonales ales(NºD (NºD)) (Nº D) =

n(n - 3) 2

1 vért.

S i=

6. Ángu Ángulo loexte exterior rior(polí (polígono gonore regular gulary yequi equiángu ángulo) lo)

= n-3

m v      e =

3. Sum Sumad adeá eáng ngulo ulosi sinte nterno rnos( s(SS Bi) v      

180°(n - 2) n

m v      i =

2. Núme Númerod rodedia ediagona gonalesd lesdesd esdeun eunsol solovér ovértice tice ND

5. Ángu Ánguloin lointerio terior(p r(polígo olígonor noregul egulary aryequi equiángu ángulo) lo)

360° n

7. Ángu Ánguloce locentra ntral(po l(polígo lígonor noregula egular) r)

180° (n - 2) m v      C =

4. Sum Sumad adeá eáng ngulo ulose sexte xterno rnos( s(SS Be) Sv      e =

360° n

360°

Cuadriláteros Definición Son So nlo los spo polí lígo gono nos sde dec cua uatr tro ola lado dos. s. Convexo

θº

No convexo

βº

ωº

nº γº

aº

mº

aº

aº+θº+ωº+γº= 360º

aº+βº+mº+nº=360º

Clasificación • Trapezoide: Es el cuadrilátero convexo cuyosladosopuestosnosonparalelos.

• Trapecio:Eselcuadriláteroconvexoquetiene dosladosparalelos.

C B

A

B βº

AB // CD BC // AD

D

Altura

C

BC:Basemenor AD:Basemayor θº

A

βº+θº=180º

D

BC // AD

Colegios

90

TRILCE

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 2

Observación

Clases de trapecios

aº

Trapecioescaleno

aº

Trapeciorectángulo

Trapecioisósceles

• Paralelogramos: So Son n lo los s cu cuad adri rilá láte tero ros s co conv nvex exos os cu cuyo yos s la lado dos s op opue uest stos os so son n pa para rale lelo los s y congruentes.Ademássu congruente s.Ademássusdiagonaless sdiagonalessecortanensu ecortanensupuntomed puntomedio(bisecan). io(bisecan). B

a+θ =180º

aº

AO=OC BO=OD

C

O A

θº

aº

D

Observación

Clases de paralelogramos Romboide

Rombo

b aº

a

a

aº

aº

aº

b

Rectángulo

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   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

Cuadrado

Nivelación escolar

91

Polígonos y cuadriláteros

Capítulo 2

Problemas para la clase

7. Siel Sielpen pentágon tágonoes oesregu regular,c lar,calcul alcular"x ar"x". ". 48° x

1. Calculareln Calcularelnúmer úmerodela odelados dosdeaqu deaquelpol elpolígon ígono o enelcuallasuma enel cuallasumadeángulosinternos deángulosinternoses2160°. es2160°. a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

2. ¿Cuá ¿Cuántas ntasdiag diagonal onalesf esfaltan altantraza trazaral ralpolíg polígono ono??

a) 10° d) 13°

b) 11° e) 14°

c) 12°

8. Si Siel elnúmero númerode delados ladosde deun unpolígono polígonose seduplica, duplica, la suma de ángulos internos aumenta en 3060°.

Calcularelnúmerototaldediagonales. a) 100 d) 115 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

3. ¿Cuántasdiagonales ¿Cuántasdiagonalestiene tieneelpo elpolígono lígonoen enelcual elcual secumplequeunángulointernoeselcuádruple desuánguloexterior? a) 28 d) 44

b) 35 e) 90

c) 54

a) 21 d) 24

b) 20 e) 22

c) 23

b) 111 e) 120

c) 119

9. Calc Calcul ular ar el nú núme mero ro de la lado dos s de un po polí lígo gono no convexo,silasumadelnúmerodediagonales máselnúmerodeángulo máselnúme rodeángulosrectosdela srectosdelasumade sumade sus ángulos internos es igual a 51.

a) 10 d) 12

b) 9 e) 13

c) 8

10.Los 10 .Los án ángu gulo los s in inte tern rnos os “B “B”, ”, “C “C” ” y “D “D” ” de un polígono polí gono conv convexo exoABCD ABCDE E mide miden n 170 170°, °, 160 160° ° 4. ¿Cuá ¿Cuántos ntoslad lados ostiene tieneun unpo polígon lígonoc ocuya uyasuma sumade de y150°respectivamente.¿Cuáleselvalordel las medidas de los ángulos internos y externos menoránguloformadop menorángu loformadoporlosladosA orlosladosAByDE? ByDE? es3960°?

5. Calculareln Calcularelnúmer úmerodela odelados dosdeaqu deaquelpol elpolígon ígono o convexoenelcualelnúmerodediagonales,es igualaldobledelnúmerodelados. a) 2 d) 7

b) 5 e) 9

c) 6

6. Siel Sielpol polígon ígonoes oesregu regular,c lar,calcul alcular"x ar"x". ".

x

a) 20° d) 30°

Colegios

92

TRILCE

b) 15° e) 18°

c) 60°

a) 50° d) 80°

b) 60° e) 40°

c) 70°

11. Enuncuadriláte EnuncuadriláteroconvexoA roconvexoABCD: BCD: m ∠ D = 3m ∠ A y m ∠ B = m ∠C=2m∠ A. Hallar:m∠ D. 12. Enun Enuntrapeciolarelaci trapeciolarelaciónentreel ónentreelsegmentoque segmentoque unelospuntosmediosdelasdiagonalesyla medianaes3/5.Calcularlarelaciónqueexiste entrelasbasesdeltrapecio(basemenor/base mayor). a)

1 3

b)

1 4

d)

2 3

e)

3 4

c)

1 2

13. Lasbasesy Lasbasesylamedianade lamedianadeuntrapeciosu untrapeciosuman6m, man6m, hallarlamediana. a) 3 m d) 1

b) 2 e) F.D.

c) 1,5

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 2

14. Enla Enlafigura, figura,hallar"EC",si hallar"EC",siABCDes ABCDesunromboide. unromboide. E

B

a) 4 d) 1

D

b) 5 e) 3

c) 2

a) 5,5 d) 7

15.Enlafigura,hallar"x". 4x

se trazan las bisectrices exteriores de los ángulos θ

b) 15° e) 30°

“C”y“D”lascualesseintersectanen“P”.Hallarla distanciadesde“P”hasta AB,si:BC=3;AD=6

θ

c) 20°

16. EnunrectánguloABCD: EnunrectánguloABCD:m m∠CAD=28º.Calcular m ∠BDH,siendo: DH AC . b) 26º e) 44º

c) 36º

17. SiendoABCDu SiendoABCDuntrapecio( ntrapecio(BC // AD),hallar:

y CD = 5

a) 6 d) 8

b) 9 e) 12

c) 7

 Tarea domiciliaria 1. SiABC SiABCDEFes DEFesunh unhexágo exágonore noregular, gular,calcula calcular“x”. r“x”.

m ∠ ADC.

B

B

4

c) 6

• En Enun untra trapec pecior iorect ectáng ángulo uloAB ABCD CD(A= (A=B= B=90 90°) °)

3x ω ω

a) 24º d) 34º

b) 6,5 e) 8

Reto TRILCE

2x

a) 10° d) 25°

c) 7

20.EnuntrapeciorectánguloABCD,rectoen"A" y"D"setrazalabisectrizinterior BQ("Q"en DC).Si:BQ=BC,DQ=2yBQ=6,hallarla medianadeltrapecio.

7 11

b) 6 e) 10

C

θ θ

 A

a) 5 u d) 8

C x

C

D

A

6

8

F

 A

D 14

a) 37° d) 30°

E

b) 53° e) 60°

c) 90°

a) 10º d) 40º

b) 20º e) 60º

c) 30º

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

2. Enlafig Enlafiguralos uralospolígo polígonosso nossonregu nregulares,cal lares,calcular“x” cular“x”.. 18. Setiene Setieneuntrapecio untrapecioABCDtal ABCDtalque:m que:m∠B=110º; m ∠C=140º;BC=4uyCD=8u.Calcular "AD". a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

19. Los lad lados os lat later erale alesde sdeun un tra trape pecio cio mid miden en 5u 5uy9 y9u. u. Calcul Cal cular arel elmáx máximo imo val valor or en enter tero oqu que epu pued ede eto tomar mar el se segm gmen ento to qu que e un une e lo los s pun unto tos s me medi dios os de su sus s diagonales.

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x

a) 30º d) 20º

b) 15º e) 25º

c) 45º

Nivelación escolar

93

Polígonos y cuadriláteros

Capítulo 2

3. ¿Cuántoslados ¿Cuántosladostiene tieneel elpolígono polígonoconvexo convexodonde donde 8. SiABCD SiABCDesun esuncuadrado, cuadrado,DM= DM=MCy MCyAQ= AQ=6, 6, sunúmerodevérticesesigualasunúmerode calcular “MQ”. diagonales? B

A

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6 Q

4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígonoes2160º,¿cuántasdiagonalestieneel polígono? a) 35 d) 44

b) 54 e) 80

c) 77

5. Calcu Calcular“ lar“x”,e x”,enel nelhex hexágon ágonore oregular gular..

D

C

M

a) 2

b) 4

d) 1

e)

c) 5

1 2

9. Si: m∠B = m∠D+62º,calcular“x”. C

80º

θ

B

x

θ

x a a

A

a) 70º d) 40º

b) 80º e) 50º

c) 20º

6. Calcu Calcular“ lar“x”,s x”,siABC iABCDes Desun untrape trapecioi cioisós sósceles celes.. B

C

a) 30º d) 21º

D

b) 62º e) 31º

c) 41º

10.Enelgráfico,ABCDesuncuadradodecentro “O”.Si:OH=3;calcular“MN”.

5x + 20º

B

A O

3x

A

a) 30º d) 16º

C

D

b) 15º e) 24º

c) 20º

7. SiAB SiABCDe CDesun sunrom romboid boide,ca e,calcula lcular“x” r“x”.. B

M

a) 6 d) 12

D H

b) 8 e) 15

N

c) 9

C 7x

3x D

A

a) 8º d) 9º

Colegios

94

TRILCE

b) 7º e) 12º

c) 10º

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APÍTULO 3

Circunferencia - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

Definición Eselconjuntodetodoslospuntoscoplanaresqueequidistandeunpuntofijoalcualseledenominacentro de la circunferencia.

Elementos: • Arco: CD • Cuerda: CD • Radio: OM,ON • Diámetro: NM • Re Rect cta ata tannge gennte te: :LL1 • Re Rect cta assec ecan ante te: :LL2 • Fl Flec echa hao os ság ágit ita: a:P PQ Q • Pu Punt nto ode det tan ange genc ncia ia: :"T "T"" • Ce Cent ntro rod de eci circ rcun unfe fere renc ncia ia: :"O "O""

Q N

P

D

L1

R O

L2

C

T R M

Propiedades generales Propiedad 1 Si:AB // CD A

B

Entonces:    A     Í    R    T    E    M    O    E    G

mAC = mBD C

Propiedad 2

D

B

D

Si:AB=CD Entonces: mAB = mCD A

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C

Nivelación escolar

95

Circunferencia

Capítulo 3

Propiedad 3

P Si:AB A

Entonces:PL=LQ

O

L

PQ

B

mAP=mAQ Q

Propiedad 4 L

O

OT

L

R T

Puntode tangencia

Propiedad 5 A

O

P

• Si"A" Si"A"y y"B" "B"son sonpuntos puntosdetangencia, detangencia, entonces: PA=PB

B

Observación

• Circunferenciainscritaauntriángulo Esaquel Esa quellacir lacircunf cunferen erenciaq ciaques ueseen eencuen cuentrae traenel nelinter interiord iordeltr eltriáng iánguloy uloyest estange angente nteacad acadaun auno o de sus lados. B

I A

Colegios

96

TRILCE

I→IncentrodeltriánguloABC r →InradiodeltriánguloABC

r  C

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Quinto año

Capítulo 3

Observación

• Circunferenciacircunscritaaltriáng Circunferenciacircunscritaaltriángulo ulo Esaq Es aquel uella lacir circun cunfer ferenc encia iaqu quec econ ontie tiene neal alos osvér vértic tices esde delt ltriá riángu ngulo. lo. B R O → Circuncentro del triángulo ABC R → Circunradio del triángulo ABC

O A

C

• Circunferenciaexinscritaaltriáng Circunferenciaexinscritaaltriángulo ulo Esaquellac Esaque llacircu ircunfer nferencia enciaqu ques esee eencue ncuentra ntraen enel elexter exterior iordel deltrián triángulo guloy yes estange tangente nteau auno node desus sus lados,yalaprolongacióndelo lados,yalaprolo ngacióndelosotrosdo sotrosdoslados.Tod slados.Todotriángulotien otriángulotienetresexcentros etresexcentros..

B

E → Excentro relativo a BC r A → Exradio relativo a BC

E r A

A

C

Teorema de Poncelet Entodotriángulorectángulo Entodotriángu lorectángulosecumple: secumple: A    A     Í    R    T    E    M    O    E    G

AB+BC=AC+2r r  C

B

Teorema de Pitot Entodocuadriláterocircunsc Entodocuad riláterocircunscritoaunacircunfe ritoaunacircunferenciasecumple renciasecumpleque: que: C B

AB+CD=BC+AD

A

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D

Nivelación escolar

97

Circunferencia

Capítulo 3

Ángulos en la circunferencia 1.

Central

5.

A

A ° O a

Exterior

β°

B a°

x°

C x°=

a°

B

a° - β°

2

D

2. Inscrito C E

A

θ°

P

β° x°

2θ°

B

F a ° - β°

a°

3.

Seminscrito 2β° β°

A

P

β°

D

Colegios

B

TRILCE

x°= θ°

x° A

P

x°=180° - β° a°

98

x°

Interior

a°

2

C

A

4.

x°=

B

a ° - β°

x=

2

a°+θ°

2

C

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 3

Cuadrilátero inscrito Llam Ll amad ado o ta tamb mbié ién n cu cuad adri rilá láte tero ro cí cícl clic ico, o, es aq aque uel l qu que e ti tien ene e su sus s cu cuat atro ro vé vért rtic ices es so sobr bre e un una a mi mism sma a circunferencia.

Propiedades Propiedad1:

Propiedad2:

B θ°

C a°=θ°

a°+θ°=180°

a°

a°

A

C

B

A

D

θ°

D

Propiedad3: θ°

a°=θ° a°

Observación

Cuadrilátero inscriptible Esaquelquepuede Esaquelq uepuedeserinscrito serinscritoenunacircu enunacircunferencia.Siel nferencia.Sielcuadriláterocum cuadriláterocumpleconcu pleconcualquiera alquiera delaspropiedadesdelcuad delaspropie dadesdelcuadriláteroinscrito,s riláteroinscrito,seráinscriptible,a eráinscriptible,asítenemos: sítenemos:

Si:aº=θº,entoncesesecuadriláteroes inscriptible.

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

Enestecasoobservamosdosángulosque miden 90º,entoncessecumpleque:aº=θº θº

aº

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θº

aº

Nivelación escolar

99

Circunferencia

Capítulo 3

Problemas para la clase

5. Cal Calcul cular arla lafle flecha chade dela lacu cuerd erda aAB,si:AB=8cm y r = 5 cm. B

1. Calcular"x Calcular"x",si ",si"O" "O"esce escentro ntro("T" ("T"pu puntod ntodetan etan-gencia).

 A r

T

 A

B

O

a) 40º d) 120º

a) 1 cm d) 4

x C

25°

b) 140º e) 80º

c) 130º

2. Hallar Hallar "x" "x",si"O"escentr ,si"O"escentro("T" o("T" pu punto nto de tan tan-gencia).

b) 2 e) 5

6. Enuntri Enuntriángu ángulore lorectáng ctángulo ulodeca decatetos tetos:AB= :AB=12 12 yBC=16,hallarelinradiodeltriángulo. a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

7. En el tr trap apec ecio io is isós ósce cele les: s: AD = BC = 8 cm cm. . Calcularlamedianadeltrapecio.

T

B

 A  4x  A 

c) 3

x B

O

a) 18° d) 10°

C

b) 15° e) 9°

c) 12° D

3. Calcular“ Calcular“x+ x+y+ y+z”, z”,si sielp elperím erímetro etrode del l∆ ABC es126. B

C

a) 6 cm d) 12

b) 8 e) 14

8. Hallar Hallar"R", "R",si:A si:AB=9 B=9yBC yBC=1 =12. 2.

z y  A 

P  A 

O

B

C T

R 

C

x

a) 126 d) 252

c) 10

b) 60 e) 100

c) 63

4. Halla Hallar"PC r"PC",si ",si:AB :AB=9, =9,BC= BC=15y 15yAC= AC=18. 18.

a) 15 d) 20

b) 16 e) 22

c) 18

9. Del Delgr gráfi áfico, co,ca calcu lcular lar"R "R". ". 6

P B R 

R  5

T  A

a) 18 d) 15

Colegios

100

TRILCE

b) 21 e) 20

37°

C

15

c) 24

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 3

10.Enla 10 .Enla fi figu gura ra: : CD = AB + BC BC. . Si Si: : AD = 18 18, , 15. 15. Enlaf Enlafigura,hal igura,hallar"x", lar"x",si:AB si:AB=BC, =BC,m m∠BPQ=50° calcular"r1+r2". y m ∠BCQ=20°. B

C

r1

B

r2

b) 8 e) 12

 A

c) 9

C

O

a) 110° d) 80°

11.Calcular"x",si:m ∠ ABC = 60° B

x

D

 A

a) 6 d) 10

Q

P

b) 130° e) 140°

c) 100°

16. Enlafig Enlafigura,hallar ura,hallar"x",si "x",siL1 y L2 son tangentes a

x

la circunferencia.

C 20°

L1

D

 A

a) 20° d) 50°

b) 30° e) 35°

c) 40° x

12. Enuna Enunacircunferenc circunferenciade iadecentro"O" centro"O"seinscribe seinscribe elcuadriláteroABCD,talqueAB es diámetro y m ∠BCD=125°.Hallar:m∠ADB+m∠ DAB. a) 55° d) 150°

b) 90° e) 170°

L2 θ

θ

a) 40° d) 60°

b) 20° e) 18°

c) 90°

c) 145°

17.Enunacircunferenciadecentro"O",seubican lospuntosconsecutivos"A","B"y"C". ! 13. En Enelg elgráfico: ráfico:m m∠DFE=100°ym∠ ACD = 30°. Si: mAB=120°ym∠OBC=45°,hallar:m∠ OAC. Hallar:m∠ ABD. a) 30° b) 15° c) 75° C B d) 5° e) 45°  A

F

18.Des 18 .Desde de un pu punt nto o "P "P" " ex exte teri rior or a un una a ci circ rcun un-ferenciasetrazanlastangentesPAyPBluego seubicaelpunto"C"enelarcomayorAB. Hallarla“m∠HBC”,si:BH ⊥ AC y m ∠APB=70°.

E

D

a) 50° d) 40°

b) 55° e) 75°

c) 60°

14. Calcular“x”,enlafigu Calcular“x”,enlafiguramostrada. ramostrada.

a) 25° d) 35°

b) 30° e) 45°

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

c) 40°

19. Si"B"espuntodetangen Si"B"espuntodetangencia,hallar: cia,hallar: 3i + a 2a - i

100°

 A B

x

θ a

120°

a) 20° d) 60°

www.trilce.edu.pe

b) 30° e) 40°

C

c) 50°

a) 2 d) 4

b) 3 e) 1

c) 5

Nivelación escolar

101

Circunferencia

Capítulo 3

20. Hallar“x”,si“P” Hallar“x”,si“P”y“Q” y“Q”sonpuntos sonpuntosdetangencia. detangencia.

3. Calcu Calcular"r lar"r",si ",si:AB :AB=5 =5yAC yAC=12 =12.. B

x

r

Q

A

20°

C

P

a) 20º d) 35º

b) 40º e) 50º

c) 25º

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. Si:A Si:AB=1 B=12y 2yBC= BC=2,ca 2,calcula lcular"PQ r"PQ". ".

Reto TRILCE

A

•

B C

! Si“A” Si“ A”y“ y“M”s M”son onpun puntos tosde detan tangen gencia, cia,m m AB=80°,

P

! m AC=90°,hallar“x”. Q

M x

 A

a) 8 d) 9

B

c) 11

5. Enla Enlafigu figura:MN ra:MN=4, =4,calcu calcular"P lar"PB". B".

C

a) 45° d) 25°

b) 10 e) 7

b) 55° e) 35°

c) 65°

B

N

P

M

 Tarea domiciliaria

A

1. Cal Calcul cular ar"x" "x",s ,si: i:AB AB=2 =20. 0.

a) 2 d) 8

A B

2x

c) 6

6. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

3x C

b) 4 e) 10

D

x°

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

100°

c) 4

120°

2. Cal Calcul cular ar"r" "r",s ,si: i:AB AB=8 =8.. a) 60° d) 30°

r

b) 40° e) 25°

c) 50°

O

A

a) 4 d) 2

Colegios

102

TRILCE

b) 6 e) 5

37°

B

c) 8

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 3

7. En Enla lafig figura ura,c ,calc alcula ular: r:x/y x/y..

9. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

x

     °     0     3

y

θ

a) 1 d)

1 2

b)

1 3

c) 2

e) 3

a) 20° d) 14°

x°

θ

b) 10° e) 15°

c) 30°

10.Calcular"x"

8. SiAB SiABCDe CDesun sunrom romboid boide,cal e,calcula cular"x" r"x"..

B

  °   2  0

x

C

x 40° A

a) 10° d) 25°

D

a) 30° d) 20°

b) 40° e) 60°

b) 15° e) 30°

c) 20°

c) 50°

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

www.trilce.edu.pe

Nivelación escolar

103

APÍTULO 4

Semejanza de triángulos - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

CriteriosdeSemejanza • Si Sitie tienen nendo dosá sángu ngulos losde deig igual ualme medid dida. a.

a

β

a

β

• Sitien Sitienedos edoslados ladosresp respectiva ectivamente menteprop proporcio orcionales nalesyelá yelángulo ngulocomp comprend rendidoe idoentred ntredichos ichoslado ladosde sde igual medida. a.k a a

a

b

b.k

• Sitie Sitienen nensus sustres treslado ladosres srespect pectivame ivamente nteprop proporcio orcionales nales..

a

c

a.k

c.k

b

b.k

Semejanzadetriángulos Dostriángulossonsemejantessitienensustresánguloscongruentesylaslongitudesdesusladoshomólogos respectivamenteproporcionales. C

T

Observación

Lados homólogos: Se denominan así a los ladosqueseoponena ánguloscongruentes,en triángulos semejantes.

b

A

H

a

n

β

a

c

B

M

m

h

β

a

t

N

Si∆ABC es semejante al ∆MNT (∆ABC ~ ∆MNT)secumple: a b c H =k = = = m n t h

Colegios

104

TRILCE

k → Razón de semejanza

Nivelación escolar

104

Quinto año

Capítulo 4

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo B c A

a

h n

Donde: ayc a yc :Cat :Catetos etos b : Hipotenusa h : Altura relativa a la ahhipotenusa n : :pr proy oyec ecci ción ónd del elc cat atet eto o"c "c" "so sobr bre ela lah hip ipot oten enus usa a"b "b"" C m : :Pr Proy oyec ecci ción ónd del elc cat atet eto o"a "a" "so sobr bre ela lah hip ipot oten enus usa" a"b" b"

m

H b

Teorema 1 Entodotrián Entod otriángulo gulorectáng rectángulo, ulo,uncateto uncatetoeslamedi eslamediaprop aproporcio orcionalent nalentrelahip relahipoten otenusaylapr usaylaproyec oyección ción dedichocatetosobrelahipotenusa. a2 = b.m

c2 = b.n

Teorema 2 En to todo do tr triá iáng ngul ulo o re rect ctán ángu gulo lo la al altu tura ra re rela lati tiva va a la hi hipo pote tenu nusa sa es la me medi dia a pr prop opor orci cion onal al en entr tre e la las s proyeccionesdeloscatetos proyeccione sdeloscatetossobrelahipo sobrelahipotenusa. tenusa. h2 = m.n

Teorema 3 Entodo Ento dotrián triángu gulorec lorectán tángul guloelpro oelproduc ductode todeloscate loscatetos tosesigua esigualalpro lalprodu ducto ctodelahip delahipote otenu nusapo saporla rla alturarelativaalahipotenusa. a.c=b.h

Teorem Teor ema a4 4(T (Teo eore rema mad de ePi Pitá tágo gora ras) s) Lasumad Lasu madelos eloscuad cuadrado radosde sdelos loscatet catetose osesig siguala ualalcuad lcuadrado radode delalo lalongitu ngitudde ddelah lahipot ipotenus enusa. a. a2+c2 = b2

Teorema 5 Entodotriáng Entod otriángulore ulorectángulo, ctángulo,lainvers lainversadel adelcuadrado cuadradodela delalongitud longituddela delaalturarelativ alturarelativaa aalahipo lahipotenusa tenusa

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. 1 h

2

=

1 c

2

+

1 a

2

Observación

P R

www.trilce.edu.pe

0

Q T

01 r 

Si"P","Q"y"T"sonpuntos detangencia,entonces: PQ=2

R.r 

Nivelación escolar

105

Semejanza de triángulos

Capítulo 4

5. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"..

Problemas para la clase

B Q

1. Cal Calcul cular ar“x” “x”,s ,si: i:a.b a.b= =48. 48.

x  A

x

P

b

a) 4 d) 7

a

a

b) 2 e) 4

c) 4 3

2. Si: Si:3A 3AC= C=4D 4DE, E,cal calcul cular ar“a” “a”..

B

4

b) 5 e) 8

c) 6

6. Loslado Losladosde sde un tr triá iáng ngul ulomid omiden en 18 18; ;24 24 y y36 36 unidades.Hallarelmenorladodeuntriángulo semejantecuyoperímetroes semejantecuyo perímetroes65unidade 65unidades. s. a) 16 u d) 20

E

C

S x

9

x

a

a) 3 d) 3 3

R 

b) 10 e) 14

c) 15

7. Si:A Si:AB=6 B=6yDC yDC=8, =8,hall hallar“B ar“BC”. C”.

θ

12 a a

D a

θ

A

C

D

F A

a) 12 d) 18

b) 15 e) 24

c) 16 B

3. Hal Hallar lar“x “x”d ”del elaf afigu igura. ra.

a) 4 d) 8 a

8

C

x

4

b) 4 3 e) 12

c) 6 3

8. Enla Enlafigu figuramo ramostrad strada,ha a,hallar" llar"AM". AM".

a

C

B 3

a) 5 d) 3 2

b) 6 e) 3 5

c) 4 2

 A

D

M 8

4. ABCD ABCD es un pa para rale lelo logr gram amo; o; 2A 2AQ Q = 3Q 3QP; P; AD=24.Hallar“PC”. B

4

P

a) 1 d) 2,5

b) 2 e) 2

c) 1,5

C

9. Delg Delgráfico, ráfico,calcular calcular"x", "x",si:BC si:BC= =25 25y yTC TC=4A =4AT. T. Q

A

B D

x

a) 12 d) 8

Colegios

106

TRILCE

b) 10 e) 9

c) 16  A

T

C

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 4

a) 3

b) 3 2

d) 5

e)

c) 5 2

3 4

15.Si:AP=m,PC=2m+1yPB=m+2, calcular “m”

a) 3 2 d) 4

b) 2 3 e) 8

c)

longitud del otro cateto.

b) 15 e) 50

C

B

15

11.La hip ipoote tenu nussa y un cat atet etoo de un tr triá iánngu gulo lo recctá re tánngu gulo lo mid iden en 29 y 21 cm cm. . Cal alcu cula larr la a) 20 cm d) 8

P

 A 

10. Enuntriáng EnuntriánguloAB uloABCse Csetrazala trazalaceviana cevianaAPde APdemod modo o que:m ∠BAP=m ∠BCA,BP=2yPC=6. Calcular"AB".

a) 1 d) 4

b) 2 e) 2

c) 3

16. ABCDesuncuadradodelado8m, ABCDesuncuadradodelado8m,calcular“DQ”, calcular“DQ”, si:PC=2m.

c) 10

B

C P

12.Hallar"AC",si:AH=9yHB=16  A 

C

 A   A

H H

a) 10 d) 20

B

O 0

Q

D

a) 3,5 m d) 5,5

b) 4,5 e) 6,5

c) 5

17.Calcular“AB”,si:PQ=12.

b) 12 e) 18

c) 15 6  A

B 1

13. Calcula Calcular“PQ”,si:PH r“PQ”,si:PH=6,QT =6,QT=14y =14yHT=15. HT=15. Q Q

a) 20 d) 15

PP H H

a) 17 d) 14

b) 16 e) 18

c) 13

18. Calcular“BP”,si:AP Calcular“BP”,si:AP=8yPC=4. =8yPC=4.

T T

b) 18 e) 20

Q

P

B

c) 15

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

14. Calcular la longitud de la altura relativa a

la hip ipoote tenu nussa, si lo loss cat atet etoos del tr triá iánngu gulo lo

 A 

rectángulo miden 6 y 8 cm.

a) 3,6 cm d) 4,8

www.trilce.edu.pe

b) 4,2 e) 5,2

c) 3,2

a) 4 2 d) 6 2

a

a

P

b) 4 3 e) 6

C

c) 4

Nivelación escolar

107

Semejanza de triángulos

Capítulo Capítulo 4

19.Si"P"y"T"sonpuntosdetangencia:r=5uy 2. Si:B Si:BE=4 E=4AEy AEyCF= CF=2,c 2,calcul alcular"B ar"BC". C". AT=9u;hallar"x" B x r

B

P

a

E  A

T

a) 4,9 u d) 7,3

A

b) 5,6 e) 6,8

c) 6,4

20. Enelgráfico:AB Enelgráfico:AB=6cmyBC =6cmyBC=8cm.Hallar =8cm.Hallar ladistanciade"O"aAC.

F

a

C

a) 8 d) 14

b) 10 e) 6

c) 12

3. Si: PQ // AC,calcular"x". B x

10

 A  P

B

4

5

θ θ

a

O

a)

23

d) 3

cm

c) 4 3

33

e) 2 5

23

A

C

b)

Q

a

C

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

4. Setiene Setieneun untriángulo triánguloABC ABCde demodo modoque queAB=18. AB=18. SetrazaMN // AC (“M” en ABy"N"enBC).Si: BM=6yAC=15,calcular"MN".

Reto TRILCE

a) 5 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

• En un tr triá iáng ngul ulo o ob obtu tusá sáng ngul ulo o AB ABC C ob obtu tuso so en "B",porelpuntomedio"M"deAC se traza MP perpendicularaBC.Hallar"MP",si:AB=6u; 5. Calcular"P Calcular"PC",si: C",si:AC= AC=10,BQ 10,BQ=2 =24y 4yBC= BC=6. 6. BP=3uyPC=7u. Q

a) 6 u d) 5

b) 7 e) 2 2

c) 2

a

B

 Tarea domiciliaria

a

A

a) 10 d) 17

1. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

P

C

b) 12 e) 18

c) 15

6. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

θ

9

4

B a

θ

x

a) 2 d) 7

a

x

b) 4 e) 8

c) 6

x A

C 3

Colegios

108

TRILCE

12

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 4

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

9. Ca Calc lcul ular ar" "x" x"

7. Calc Calcul ular ar la lo long ngit itud ud de la al altu tura ra de del l tr trap apec ecio io ABCD,si:AB=4yCD=9.

x

B

A

2x - 1

a) C

D

a) 13 d) 6,5

b) 6 e) 4

c) 5

2

3

b)

d) 2

e)

3 3 5

c)

2 2

10. Calcular"PQ",si:BP Calcular"PQ",si:BP=1,PC=9yAB=7 =1,PC=9yAB=7.. B

P

C

8. Ca Calc lcul ular ar" "x" x" Q

x

a) 2 d) 4

9

4

a) 3 d) 4

A

b) 5 e) 6

D

b) 3 e) 5

c) 6

c) 8

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

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Nivelación escolar

109

Áreas

APÍTULO 5

- COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

Áreas de regiones triangulares Para todo triángulo

h

h

Área= b.h 2

b

b

Para un triángulo rectángulo

a

Área= a.b 2

a

b

b

Para un triángulo equilátero

También: En un triángulo equilátero

a

a

h

a

Área= a

Colegios

110

TRILCE

2

3 4

2 Área = h 3 3

Nivelación escolar

110

Quinto año

Capítulo 5

Fórmula trigonométrica

Fórmula de Herón

a

a

Área = p (p - a) (p - b) (p - c )

b

aº

b

p = a + b + c (semiperímetro) 2

c

Área= a.b sena 2

En función del inradio B

En función del circunradio B

r  O

R c

a O

A

C

A

A ABC= abc 4R

A =p.r C

b

p → semiperímetro

Áreas de regiones cuadrangulares Postulado:

Teorema:

El área de una región cuadrada es igual a la longitud de su lado elevada al cuadrado.

productodeunodesu productode unodesusladospor sladosporlaalturarelativa laalturarelativa a ella.

 l 

S

 l 

El área de una región paralelográmica es igual al

S= l 2

l 

S

h

S=b.h

 l 

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

b

Teorema: El área de una región rectangular es igual al

productodedosdesusladosnocongruentes. B

b

C

a

S

a

b

D

A

Teorema: Elár El área eade deun unar areg egió iónl nlim imit itad adap apor orun un trapecio esigualalasemisumadelasbases,multiplicada porlaaltura. B a C

S=a.b h A

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S=( a + b ).h

S b

2

D

Nivelación escolar

111

Áreas

Capítulo 5

Para un rombo B A

SABCD= AC.BD

C

2

D

Para cualquier cuadrilátero C B

SABCD= AC.BD sena

aº

2

A

D

Relaciones entre áreas de regiones triangulares • Sidostri Sidostriángu ángulost lostiene ienenlam nlamisma ismaaltur alturaoalt aoalturas urascong congruen ruentes,e tes,enton ntonces,l ces,lasáre asáreasde asdesus susregio regioness nesson on proporcionalesasusbases. B

E

h

h A

N

SABC = SDEF

C

a

a b

D

F

b

H

Observación

B

S1 = S2

S1 S2 A

a

D

b

a b

C

• Sidos Sidostriángulos triángulosson sonsemejantes, semejantes,entonces, entonces,las lasáreas áreasde desus susregiones regionesson sonproporcion proporcionales alesa alos loscuadrados cuadrados desus"elementoshomólogos".

t

S2 θº

q

c θº

aº

S1 = a 2 S2  l 2

112

TRILCE

b aº

a

 l 

Colegios

S1

=

b2 q2

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 5

• Sidostriángulostienen Sidostriángulostienen unángul unángulocongrue ocongruenteo nteoángu ángulossupl lossuplemen ementario tarios,entonc s,entonces,lasáreasde es,lasáreasdesus sus regionestriangular regionest riangularessonproporc essonproporcionalesal ionalesalproductode productodeloslados losladosqueforman queformandichoángul dichoángulo. o. E

A c B

aº

f  aº

S1 a.c = S2 d.f 

S1

S2

D

d

C

a

F

Si: θº+ωº = 180º

a

m

S3

S4

ωº

θº

b

S3 = S4

n

a.b m.n

Aplicaciones 1. Si: BM es mediana

4. Pa Para rale lelo logr gram amo: o:

B

S A

S1 S2

S M

Área = Área ABM

S1=S2

C

MBC

5. Pa Para rale lelo logr gram amo: o: P

B

2.

C

B C A

F

D E

A

D

SAPD = SABCD 2

A=B=C=D=E=F

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

6. En Entod todoc ocuad uadril riláte átero: ro:

3.

B

D A

B

C

Q

M

P

D

A A=B=C=D

PQMN

C

N "

Para Pa rale lelo logr gram amoo

SPQMN = SABCD 2

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Nivelación escolar

113

Áreas

Capítulo 5

•

7. En Ento todo docua cuadr drilá iláter tero: o:

Sec ecto tor rci circ rcul ulaar

B C

A

R

D

aº A

R

R

A.C=B.D

8. En Ent tod odo otr trap apec ecio io( (BC // AD) B

αº.π.R

A=

2

360º

C

S1

•

S2

Cor oron onaac cir ircu cula larr A r 

D

A

R

S1 =S2

A= π (R2– r 2)

9. En Ent tod odo otr trap apec ecio io( (BC // AD) B

C

•

Trap Tr apeeci cio oci circ rcul ular ar

M A A

D

r  R

SAMB = SABCD 2 A=

Áreas de regiones circulares

aº

•

αº.π

360º

(R2 - r 2)

Seg egme ment nto occir irccul ular ar

• Círculo

A

R

aº

O R

A

R

R A= A

"

área

R=radio A= π R2

Colegios

114

TRILCE

2

A= αº.π.R – 360º

R

2

2

sena

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 5

Problemas para la clase

6. En Enel elgráfic gráfico, o,hallar hallar el elárea áreade dela laregiónsombreada. regiónsombreada. 8

B 2

1. Si el pe perí ríme metr tro o de del l tr triá iáng ngul ulo o mo most stra rado do es 12 12, , calcular su área.

E 3

B

 A 

 A

60°

a) 12 3 d) 6 3

C

60°

b) 8 3 e) 3 3

a) 16 d) 19

C

c) 4 3

5

D

F

b) 18 e) 20

c) 17

7. Calculare Calculareláre láreade adelare laregión giónsom sombrea breada, da, si: si :A AE E= =2 2u uy yF FB B= =1 1u u  A 

2. Sieláre Sieláreadelareg adelaregión ióntrian triangul gulares ares22 22 2 cm2, calcular “a”.

E

8

45°

a O

a) 8 cm d) 20

P

b) 11 e) 9

c) 12

a) 6 u2 d) 12

b) 8 e) 10

F

B

c) 9

3. Unterren Unterrenore orectang ctangular ulartien tieneu eunfo nfondo ndoque quees esel el 8. Cal Calcul cularel areláre área ade de un hex hexágo ágono no reg regula ular rcuy cuyo o tripledesufrente.Sielperímetrodelterrenoes perímetroesiguala12cm. 120m,calcularsuárea. a) 4 2 cm2 b) 6 3 c) 12 3 2 a) 60 60 m b) 225 c) 675 d) 8 2 e) 9 6 d) 450 e) 155 9. Si:BC= Si:BC=2cm 2cmyA yAD=8 D=8cm, cm,calcularel calculareláreade áreade 4. Calcular la suma de un lado lado y de la altura relativa laregiónlimitadaporeltrapecioABCD. adicholado,siambosestánenlarelaciónde 2a3respectivamente;yademáseláreadela C B región triangular es 48 u2.

a) 20 u d) 16

b) 24 e) 28

c) 12  A

5. Calcular el área de una región cuadrada, si la circunferenciacircunscritaadichocuadradoes"R". 2

3R 2

a) R2

b)

d) 4R2

e) 2R2

c) 3R2

a) 20 2 0 cm2 d) 16 6

D

b) 10 3 e) 8 5

c) 12 2

10. Calcularel Calculareláreade áreadeuntriáng untriángulorectán ulorectángulo,s gulo,siel iel inradiomide3uyelcircunradio8,5u. a) 28 28 u2 d) 54

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   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

b) 50 e) 70

c) 60

Nivelación escolar

115

Áreas

Capítulo 5

11. 11 .Si Sien endo do 40 m2 el área de la región triangular  15.Si: MC // ED; ca calc lcul ular ar el ár área ea de la re regi gión ón ABC,hallareláreadelaregióntriangularABM. sombreada, si las áreas de las regiones triangularesMNPyEPFson4m2 y 9 m2respecB

tivamente. b N

M

b

C

P

 A

C

M 3m

a) 20 20 m2 d) 30

2m

E

b) 24 e) 22

c) 28 

a

a) 26 26 m2 d) 31

D

a

F

b) 18 e) 32

c) 30

12. 12 . Si: EC= EC=3E 3EAy Ay elárea de laregi laregión ón triang triangula ular r figu gurra, ca calc lcuula lar r el ár áreea de la re regi gióón 2 AME es 8 m , ca calc lcul ular ar el ár área ea de la regi región ón 16.En la fi sombreada,sisesabequeABCDesuncuadrado cuadrangular EMBC. delado12uyademás"M"esp delado12u yademás"M"espuntomedio untomedio.. B

B

C

M

M  A 

E

a) 64 64 m2 d) 48

C

b) 56 e) 42

D

 A

c) 72

a) 24 24 u2 d) 20

b) 18 e) 12

c) 16 

13.Calcu 13. Calcularenfunc larenfunciónde"S"elárea iónde"S"eláreadelaregión delaregión 17. Si:AB Si:AB=8cm, =8cm,hallarelárea hallareláreadela delacoronacircular coronacircular triangularABC,si:EM=3AE mostrada.

B B S

P

Q

M T

 A 

E

C  A 

a) 28S d) 30S

b) 32S e) 36S

O

r R 

c) 26S a) 24 24π cm2 d)16π

b) 30π e) 20π

c) 32π

a) 10 5 π dm2 d)24π

b) 6 6 π e) 34π

c) 18π

14. SiABCDesunromboide;S SiABCDesunromboide;S1 = 6 m2y ySS3=20m2; hallar"S2". 18.Enuncírculosetrazaunacuerdade10dmde longitudyquedista3dmdelcentro.Calcularel E B C áreadedichocírculo. S 1

P

S3

S2

 A

a) 26 26 m2 d) 14

Colegios

116

TRILCE

D

b) 24 e) 21

c) 32

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 5

19."A","E"y 19 ."A","E"y "D" son pun puntos tos detange detangenci ncia.Si: a.Si: AB=4cmyCD=1cm,calculareláreade

 Tarea domiciliaria

la región sombreada.

1. El pe perí ríme metr tro o de un cu cuad adra rado do es 20 20. . Ha Hall llar ar el

B

área de la región del cuadrado.

E C  A 

a) (5 ( 5 - π)cm2 d) (1 (10 + π)

a) 20 d) 36

D

O

b) (10 - 2π) e) (6 + π)

c) (12 - π)

b) 25 e) 40

c) 30

2. Lo Loslad slados os de un ro romb mboson oson do dosrad sradio iosy sy do dos s cuerdas de una circunferencia de 4 u de radio.

Hallareláreadelaregióndelrombo.

20.Calculareláreadelcírculosombreadoinscrito enelsectorcircular,donde:OA=OB=4cm.  A

a) 6 3 u2 d) 10 3

b) 8 3 e) 12 3

c) 9 3

3. Hallar Hallarel elárea áreade delare laregión giónso sombre mbreada, ada,sie sieláre lárea a de la región triangular ABC es 56 u 2.

O 60°

B

B

a)

8r 9

d)

25r 9

cm2

b)

16r 3

e)

64r 9

c)

A

16r 9

3k

a) 21 21 u2 d) 42

D

5k

C

b) 30 e) 45

c) 35

4. Hallar Hallarelá eláread readelar elaregió egiónde ndeltra ltrapecio pecio.. 4

Reto TRILCE

16

• Hallar Hallarelárea eláreadelaregi delaregión óntrian triangul gularCP arCPD,si D,si: : CP=6uyAD=11u. B

a) 24 d) 32

b) 40 e) 28

c) 36

C

5. Hallareláreade Hallareláreadelaregión laregiónsombre sombreada,siend ada,siendoel oel 2 áreadelaregióntriangularABCde12u .

2 P

B

a) 30 30 u2 d) 28

P 2a

b) 32 e) 26

c) 33

A

a) 1 u2 d) 4

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a

D

 A

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

b

M

b) 2 e) 6

b

C

c) 3

Nivelación escolar

117

Áreas

Capítulo 5

Hallarelárea láreadela delaregión regiónsombr sombreada,s eada,si:AO i:AO=OB. =OB. 6. Sieláreade Sieláreadelaregión laregióndeltriángu deltriánguloABC loABCes40 es40u u2, 9. Hallare hallareláreadelaregiónsombreada. A

C c

a 3a

c A

b

a) 20 20 u2 d) 16

b

1

b) 10 e) 18

B

O

B

c) 15

7. Sieláreade Sieláreadelaregión laregióndeltriángu deltriánguloABC loABCes36 es36u u2, hallareláreadelaregiónsombreada. B

a) 2 π

b)

r

d)

e)

r

r

4

c)

3

r

6

2

10. Hallareláreadelaregión Hallareláreadelaregiónsombread sombreada,si: a,si: mBAOB=60°yOA=OB=12. A

2b a 3a A

b

2c

P

c

C

O

1 u2

a) d) 4

b) 2 e) 8

8. Cal alcu cula lar r el ár área ea de la reg egió iónn somb mbrrea eadda, si ABCD es un cuadrado de lado 4 2 m

a) 8π - 16 m2 d) 6π - 8

Colegios

118

TRILCE

B

c) 3

B

C

A

D

b) 16π - 32 e) 8π-2

a) 4π d) 20π

b) 12π e) 36π

c) 16π

c) 4π - 16

Central: 619-8100

Sólidos geométricos

APÍTULO 6

- COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE - COLEGIOS TRILCE -

Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro A=2(ab+ac+bc)

d

A:áreatotal

c d=

b a

2

2

a +b +c

d:diagonal

2

V= abc

V: volumen

Prisma recto h

h

h: altura

h

S: área de la base

Desarrollo de un prisma recto Perímetro

AL=( de la base ).h

h

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

Árealateral AT=2SBase+AL

Perímetrodelabase AL:árealateral

AT:áreatotal

V=SBase .h V:volumen

Cilindro recto de revolución

h=g R

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h: altu altura rad del elc cil ilin indr droo g: ge gene nera ratr triz izo o generador del cilindro

R: ra radi dio ode del la aba base se

Nivelación escolar

119

Sólidos geométricos

Capítulo 6

Árealateral

h=g

2π R AL=2πRh=2πRg

AT=2πR(g+R)

AL:árealateral

AT:áreatotal

V=πR2h V:volumen

Pirámide regular

h Ap

AL=(

Ap

h

Semiperímetro ).Ap de la base

Ap

AT=AL+Sbase

AL:árealateral

V= 1 Sbase.h 3

h:alturadelapirámide Ap:apotemadelapirámide S:áreadelabase

AT:áreatotal

V:volumen

Cono recto de revolución L

L

h

h

g r 

h:alturadelcono g:generatrizdelcono r:radiodelabasedelcono

g r 

AL =πrg g g

aº

Árealateral 2π r 

g AT=πr(g+r)

V= πr

2

h

3

Colegios

120

TRILCE

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 6

Esfera Círculomenor Círculomayor o máximo

2R

R

R

A=4πR2

V= 4 πR3 3

4.

Problemas para la clase 1. Dad Dadounpri ounprisma smatrian triangul gularreg arregula ular,ladiag r,ladiagon onal al de una cara forma un ángulo de 30° con la

base.Siestadiagonalmide4,hallarelvolumen delprisma. a) 2 3 d)8 3

b) 6 3 e) 15 3

c) 10 3

2. Calcu Calcularlarela larlarelación ciónentrelo entrelosvolú svolúmene menesdelos sdelos cilindros mostrados.

En un cilindro de revolución de 5 m de altura se

puede insc puede inscribir ribir un paral paralelep elepíped ípedo o recta rectangul ngular ar 2 cuya cuy a sup superf erfici icie e lat latera eral l es esde de280 280 cm ,siendo uno un o de su sus s la lado dos s de 12 cm cm. . Ca Calc lcul ular ar el ár área ea lateral del cilindro.

a) 50π cm2 d) 200π

b) 100π e) N.A.

c) 150π

5. El desar arro roll lloo de la su supperf rfic icie ie la late terral de un cilindrorectoesuncuadradodeárea“S”.Hallar el volumen del cilindro.

a)

S S 2r

b)

S S 3r

d)

S S 5r

e)

S S 6r

c)

S S 4r

6. ¿Aquédis ¿Aquédistancia tanciadelce delcentro ntrodeun deunaesfe aesferade rade17m 17m delongitudderadio,debepasarunplanosecante, paraquelainterseccióntengaunradiode8mde longitud? a) 3 m d) 15

a)

1 2

d) 2

b) 4 e) 1

c)

1 8

b) 5 e) 15

c) 10

   A     Í    R    T    E    M    O    E    G

7. Se ti tien ene e un una a pi pirá rámi mide de re regu gula lar r cu cuyo yo ap apot otem ema a midde 20 cm y la al mi altu tura ra 16 cm cm. . Ca Calc lcuula larr el apotemadelabasededichapirámide. a) 15 cm d) 6

b) 18 e) 12

c) 8

3. Unvasocilí Unvasocilíndri ndricoded codediámet iámetro“d ro“d”yaltu ”yaltura“h” ra“h” estállenodeagua.Sisevierteelcontenidoen diám ámet etro ro de un una aes esfe fera ra mi mide de 60 cm cm. .¿C ¿Cuá uál l otrovasodediámetro“2d”,¿hastaquéaltura 8. El di es el diámetro de la base de un cono de igual subiráelagua? volumen,cuyaalturaes30cm? h h h a) b) c) 2 4 3 a) 0,6 m b) 1,2 c) 1,8 h d) e) N.A. d) 2,4 e) N.A. 8

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Nivelación escolar

121

Sólidos geométricos

9.

Capítulo 6

Una cuerda delcírculobasedeunconorecto 15. Calcular el volumen volumen del sólido generado generado cuando

de4mdealturamide8m.Siladistanciade la cu cuer erda da al ce cent ntro ro de del l cí círc rcul ulo o ba base se es 2 m, ¿cuántomidelageneratriz? a) 4 m d) 7

b) 5 e) 8

laregiónsombreadagirealred laregiónsom breadagirealrededordeleje“L edordeleje“L”. ”.

c) 6 2 3

10. Setiene Setieneunalamb unalambrede rede22π mm2desección,con elcualseformaunovilloesféricode30mmde radio.Hallarlalongituddelalambre. a) 15 m d) 18

b) 16 e) 20

2 2 3

a) 8π 3

c) 17

d)

16r 3

eje "L"

b) 16π 3 3

c)

8r 3

3

e) 16π 2

11. Seinscribeun Seinscribeuncuboenu cuboenunaesferaderad naesferaderadio io 3 m. Calcular su arista.

a) 6 m d) 2 3

b) 3 3 e) N.A.

Reto TRILCE

c) 2

• Lo Los s ra radi dios os de la las s es esfe fera ras s ta tang ngen ente tes s ex exte teri rior ores es

12.Setieneunapirámideregularcuyoladodela basees4cmyelángulodiedroqueformacada

miden 1 y 3. Calcular el volumen del cono circular recto.

cara lateral con la base mide 60°. Calcular el

volumendedichapirámide. a)

32 3 3

d)

36 2 5

cm3

b)

16 3 3

c)

8

3 3

e) N.A.

13.Eldesarrollodelasuperficielateraldeuncono circ ci rcul ular ar re rect cto o es un se semi micí círc rcul ulo o de ra radi dio o 8.

a) 80 80 π d) 91 π

b) 81 π e) 71 π

c) 84 π

Calcular el volumen del cono.

a) 64 3 π

b)

64 3

3π

c) 64π

 Tarea domiciliaria

1. Calculareláreatotal Calculareláreatotaldeun deunprism prismacuadra acuadrangular ngular regular,silaalturamide20dmyladiagonalde la base mide 7 2 dm. 14. 14 . Setien Setiene eun un con cono ocir circul cularrecto arrecto ins inscri critoen toen un cubo cu bo de ar aris ista ta "a "a". ". Ca Calc lcul ular ar el vo volu lume men n de del l a) 56 5 67 dm2 b) 467 c) 667 cono. d) 658 e) 664 d)

64 3

a)

ra

d)

3

6 3

ra

12

π

e)

32 3

b)

ra

e)

3

8 3

ra

14

3π

c)

3

ra

10

2. Enuncilindro Enuncilindro rec recto, to, elárea lat latera erales lesigu igualal alal áreadelabase.Calcularsuvolumen,sielradio de la base mide 16 cm.

a) 51 5 12 cm3 d) 1024

Colegios

122

TRILCE

b) 2048 e) 4032

c) 4028

Central: 619-8100

Quinto año

Capítulo 6

3. Hallar Hallarelárea eláreatota totaldeun ldeunpris prismare marecto ctodebas debase e triangularregularde2mdeladoyalturaiguala 12m. a) 72 72 d) 80

m2

a) 81 3 cm3 d)

b) 85,5 e) 75,5

8

c) 70,5

3 3

5.

b) 4 e) 2

b) 100π e) 40π

c) 75π

b) 12 e) 20

81 3 2

e) 10 3

3

x

2

a) 1 d) 6

b) 2 e) 2 2

c)

1 2

9. Da Daddo un co conno ci cirrcu cula lar r re rect ctoo; el rad adio io de la base mide 4 y la altura mide 3. Calcular el área lateral.

6. Una Una pir irám ámid idee reg eguula lar r de bas asee cua uadr drad ada a es equivalenteconuncubo.Silaaristadelcubo mide6ylaaristabásicadelapirámidemide9, calcularlaalturadelapirámide. a) 15 d) 8

c)

c) 8

El área área lateral lateral de un cono de revolución revolución es es igual Hallar lar el a 65πyeláreadesubasees25π. Hal volumen del cono.

a) 20π d) 50π

27 3 4

8. En la figura, los sólidos son equivalentes. Calcular"x".

4. Elárea lat latera eralde ldeun un pri prism smahexag ahexagon onalregu alregular lar 2 mide 144 cm .Silalongituddesuaristalateral es6cm,¿cuántomideelladodelabase? a) 6 cm d) 9

b)

c) 10

7. Determinar el volumen de una pirámide hexago hex agonal nal reg regula ular, r, si su ari arista sta lat latera eral l mid mide e 6 cmyqueéstaformaconlabaseunánguloque

a) 11π d)15π

b) 13π e) 16π

c) 20π

10. 10 .Ca Calc lcul ular ar la lo long ngit itud ud de del l ra radi dio o de un una a es esfe fera ra, , sabiendoquesuáreaesnu sabiendoqu esuáreaesnuméricamenteigu méricamenteiguala ala su volumen.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

mide 30°.    A     Í    R    T    E    M    O    E    G

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Nivelación escolar

123

Sólidos geométricos

Capítulo 6

NIVELACIÓNESCOLAR CLAVESTAREADOMICILIARIA TAREA 1 1.

d

2. b 3. 4. 5.

d c c

6. 7. 8. 9. 10.

TAREA 2 e a c e d

1.

2. b 3. 4. 5.

TAREA 4 1.

c

2. b 3. 4. 5.

Colegios

124

TRILCE

d a e

6. 7. 8. 9. 10.

e b c c

6. 7. 8. 9. 10.

TAREA 3 c d a e a

1.

2. b 3. 4. 5.

TAREA 5 c b e b d

1.

b

2. b 3. 4. 5.

c c c

6. 7. 8. 9. 10.

c b b d

6. 7. 8. 9. 10.

b a a c d

TAREA6 c b b e c

1.

d

2. b 3. 4. 5.

e b b

6. 7. 8. 9. 10.

d c a c c

Central: 619-8100