U CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
CUSCO PERÚ PERÚ
TEMA 1.- NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA
Pág. 03
TEMA 2.- RECTA Y SEGMENTO DE RECTA
Pág. 08
TEMA 3.- ÁNGULOS
Pág. 12
TEMA 4.- TRIÁNGULOS
Pág. 16
TEMA 5.- LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
Pág. 21
TEMA 6.- ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES
Pág. 24
TEMA 7.- CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Pág. 29
TEMA 8.- PROPORCIO PROPORCIONALIDAD NALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Pág. 32
TEMA 9.- RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
Pág. 36
TEMA 10.- CUADRILÁTEROS
Pág. 42
TEMA 11.- CIRCUNFERENCIAS
Pág. 48
TEMA 12.- POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
Pág. 53
TEMA 13.- POLÍGONOS
Pág. 58
TEMA 14.- POLÍGONOS REGULARE REGULARES S
Pág. 61
TEMA 15.- ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
Pág. 64
TEMA 16.- ÁREAS DE REGIONES CUADRILÁTERAS
Pág. 68
TEMA 17.- ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Y POLIGONALES
Pág. 71
TEMA 18.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Pág. 80
TEMA 19.- ÁNGULO DIEDRO Y TRIEDRO
Pág. 83
TEMA 20.- POLIEDROS
Pág. 86
TEMA 21.- PRISMAS
Pág. 89
TEMA 22.- PIRÁMIDES
Pág. 92
TEMA 23.- CILINDROS
Pág. 95
TEMA 24.- CONOS
Pág. 98
TEMA 25.- ESFERAS
Pág. 101
TEMA 1.- NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA
Pág. 03
TEMA 2.- RECTA Y SEGMENTO DE RECTA
Pág. 08
TEMA 3.- ÁNGULOS
Pág. 12
TEMA 4.- TRIÁNGULOS
Pág. 16
TEMA 5.- LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
Pág. 21
TEMA 6.- ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES
Pág. 24
TEMA 7.- CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Pág. 29
TEMA 8.- PROPORCIO PROPORCIONALIDAD NALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Pág. 32
TEMA 9.- RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
Pág. 36
TEMA 10.- CUADRILÁTEROS
Pág. 42
TEMA 11.- CIRCUNFERENCIAS
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TEMA 12.- POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
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TEMA 13.- POLÍGONOS
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TEMA 14.- POLÍGONOS REGULARE REGULARES S
Pág. 61
TEMA 15.- ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
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TEMA 16.- ÁREAS DE REGIONES CUADRILÁTERAS
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TEMA 17.- ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Y POLIGONALES
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TEMA 18.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
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TEMA 19.- ÁNGULO DIEDRO Y TRIEDRO
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TEMA 20.- POLIEDROS
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TEMA 21.- PRISMAS
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TEMA 22.- PIRÁMIDES
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA La Geometría o Geometría Euclidiana es parte de la matemática que estudia las figuras geométricas, sus propiedades y la relación entre sus propiedades de acuerdo a su forma, tamaño y su posición en el plano o en el espacio. La Geometría Euclidiana TÉRMINOS MATEMÁTICOS Es un enunciado enunciad o u or o rac ión que tiene la c arac ter terís ísti tica ca de ser verda verdade derro o fals falso. o. 1. PROPOSICIÓN.- Es 2.
Son Proposicione Proposicioness verdad verdaderas eras que se ac ep eptan tan sin sin demost de mostrrac ión AXIOMA O POSTULADO .- Son
3.
TEOREMA.- Es Es una p rop oposi osición ción q ue para p ara ser evide evidente nte requiere requiere ser de demos mostr trad ad a. C onst onsta a de do doss pa rtes tes:: a) Hipótesis.- Son los datos que se suponen que son ciertos b) Tesis.- Es lo que se debe demostrar.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA Son: el punto, la rec rec ta y el plano 1.
Es un un ente geomé g eométr trico ico ab str trac ac to. Solo tiene posición e en n el espac io. No ti tiene ene dimens dimensiones iones.. Es no med ible. No EL PUNTO.- Es tiene existencia física.
Postulado del punto: Se denota de nota con co n
2.
LA RECTA.- Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. La rec rec ta no e s medible. Postulados de la recta: a) Toda oda rec ta contiene contiene por lo menos menos dos puntos difer diferentes entes.. b) T
3.
EL PLANO.- C onjunto de inf infin init itos os puntos que se rep eprresenta mediante med iante regiones planas plana s que se extiende extienden n infinit infinitamente amente en toda s las as direc direc c iones de la región. El plano es no medible. No tiene espesor. Postulados del plano: Dados os tres tres puntos diferentes diferentes no c olin olinea eales les exis existe te exac tamente un plano que los contiene. a) Dad b) T Todo odo plano c onti ontiene ene por lo menos menos tr tres es puntos difer diferentes entes no colineales colineales..
ESPACIO: Es el conjunto de todos los puntos. FIGURA GEOMÉTRICA: Es todo conjunto de puntos que adoptan una determinada forma, tamaño y posición. Las figuras geométricas pueden ser líneas, superficies y sólidos, adoptando cierta forma y teniendo una determinada extensión, extens ión, exc exc ep epcc ionalmente cons co nsideramos ideramos al punto, la la recta rec ta y al plano c omo figuras figuras geométr geo métrica ica s. RELACIÓN ENTRE FIGURAS GEOMÉTRICAS Dos figuras geométricas pueden ser: 1. Semejantes (), si tienen igual forma sin importar su medida. 2. Equivalentes ( ), si tienen igual medida sin importar su forma. 3. Congruentes ( ), si tienen igual forma y medida. FIGURAS GEOMÉTRICAS CONVEXAS Y NO CONVEXAS Una figura geométrica es convexa si y solo si para todo par de puntos de esta figura geométrica, el segmento determinado porr estos po estos puntos est está á c ontenido en la fi figura. gura. Una figura geométrica es convexa ( P, Q PQ ) Q P
Caso contrario se dice que esta figura geométrica es no convexa.
P
Q
AXIOMAS: 1. T Todo odo punto contenido en la rec rec ta, determin determina a en e n la la recta tr tres es co nj njunt untos os convexos convexos dis disju juntos ntos:: dos semir emirrrec tas y el mis mismo mo punto.
GEOMETRÍA
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2. Toda rec ta co ntenida en un plano, determina en el plano tres conjuntos co nvexos disjuntos: dos semiplanos y la misma recta. 3. Todo plano en el espa cio, determina tres conjuntos co nvexos disjuntos, dos semiespa cios y el mismo plano SEMIRRECTA: Es uno de los sentidos de la recta, sin considerar al punto que lo determina. RAYO: Es la figura formada por una semirrecta y su punto de origen. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO Dos rec tas en un plano p ueden ser: A) Secantes. B) Paralelas. EJERCICIO RESUELTO: 1) Determinar si las siguientes proposiciones son verdad eras (V) o fa lsas (F) I) Una recta está contenida en un plano, cuando por los menos dos puntos de la recta pertenecen a este plano II) Dos figuras geométricas son congruentes cuand o tienen igual forma y medidas diferentes. III) Si a un círculo se le excluye un radio, el conjunto resultante es convexo. Señalar la alternativa con la secuencia correcta. A)FVV B)FFV C )VFF D)FVF E)FFF Resolución: I) Verdadero: B.
P
II) III)
A.
Falso: Dos figuras geométrica s son c ongruentes cuando tienen igual forma y medida . Falso: Si a un círculo se le excluye un radio, el c onjunto resultante es no c onvexo P
Q
Rpta: VFF
EJERCICIOS 1.
Las figuras geo métrica s de igual forma y medida , se denominan: I) Semejantes II) Congruentes III) Equivalentes IV) Isoperimetricas V) Convexos. A) Sólo I B) Sólo IV C ) II y V D) Sólo II E) III y V
2.
En las siguientes proposiciones: I. Una figura A es convexa, si para algún par de puntos P, Q A , se cumple que PQ A . II. Toda línea es una figura convexa. III. Dos triángulos que tienen igual medida son siempre congruentes. IV. Dos figuras congruentes son siempre equivalentes. En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A) VFFV B) VFVV C) FFFV D) FFVV E) FVVV
3.
Analice e identifique la verdad o falsedad de las siguientes afirmac iones: I. Si dos regiones planas son equivalentes entonces sus áreas son iguales. II. Un segmento de recta es equivalente a un arco cuando tienen igual longitud. III. Dos figuras geométricas son equivalentes cuando tienen medidas iguales. La secuencia correcta es: A)FVV B)VVF C )VVV D)FFV E)FFF
4.
Analice e identifique la verdad o falsedad de las siguientes afirmac iones: I. La semejanza es una correspondencia entre puntos del plano (o espacio) que preserva la forma y la proporción. II. La c ongruencia siempre implica semejanza. III. La semejanza siempre implica congruencia. IV. Si dos triángulos son congruentes entonces son semejantes. La secuencia correcta es: A) VVFV B) FVVV C ) FVFV D) VVVV E) FVVF
5.
De las siguientes afirmaciones: I. Dos figuras semejantes son e quivalentes. II. Dos figuras equivalentes son semejantes III. Dos figuras congruentes son equivalentes IV. Dos figuras semejantes son congruentes. Son ciertas: A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo IV E) II y III
6.
Señale el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Una región hexagonal sin dos vértices puede ser una región convexa. II) La unión de una región cuadrangular y una región triangular es un conjunto convexo. III) Tres rec tas cualesquiera en el espacio determinan un conjunto convexo. La sec uencia c orrec ta es: A) VVF B) FFV C) VVV D) FVF E) VFF
7.
Cuál o cuáles de las siguientes afirmac iones son verdaderas? I. Un rayo es un conjunto convexo.
GEOMETRÍA II. El interior de un ángulo obtuso es un conjunto convexo. III. Una línea siempre es un conjunto no convexo. IV. La circunferencia es un conjunto convexo. V. El punto es un co njunto c onvexo. A) I, II y V B) Sólo II C ) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV
8.
¿Cuál o cuá les de las siguientes afirmac iones son verdaderas? I. Un pentágo no, puede ser equivalente a un hexágono. II. Dos figuras congruentes, son equivalentes. III. Dos figuras equivalentes, son siempre c ong ruentes. IV. Un cubo y un cuadrado, pueden ser equivalentes. V. Un cuadrado y un triangulo, que tienen igual perímetro, se denominan equivalentes. A) I y II D) Sólo III
B) Sólo II E) II, III y IV
C ) I. II y V
9.
¿Cuál o cuá les de las siguientes afirmac iones son verdaderas? VI. El cilindro macizo es un conjunto convexo. VII. El interior de un ángulo agudo es un conjunto convexo. VIII. Una línea siempre es un conjunto no convexo. IX. El círculo es un conjunto no c onvexo. X. El punto es un co njunto c onvexo. A) I, II y V B) Sólo II C ) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV
10. ¿Cuál o cuá les de las siguientes afirmac iones son verdaderas? VI. Un pentágono, puede ser congruente a una circunferencia. VII. Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes. VIII. Dos figuras equivalentes, son siempre c ong ruentes. IX. Un cubo y un cilindro, pued en ser equivalentes. X. Un hexágono y un triángulo, que tienen igual perímetro, se denominan equivalentes. A) I y II B) Sólo II C ) II. IV y V D) Sólo III E) II, III y IV
D) Todo co njunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto no está contenido en el conjunto. E) Toda s las anteriores.
14. 9 3cm3 de volumen y una c uña esférica de radio 3cm tiene por volumen
27
cm 3 , entonces el cono y la cuña son:
3
I) Semejantes II) Equivalentes. III) Congruentes IV) Iguales A) I y IV B) Sólo III D) II y III E) I y II
C ) Sólo II
15. Dadas las siguientes proposiciones referidas a figuras geométricas I) El semiplano no es convexo II) El conjunto de dos puntos separados es convexo. III) El ángulo es convexo IV) El cuad rado e s convexo V) La región rec tangular es convexo En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A)VFFVF B)FVVVF C )FFFVV D)VVVVF E)FFFFV 16.
I) II)
La intersec ción de dos planos es medible Se tienen los puntos colineales y consecutivos A,
III)
B, C y D; entonce s: AB BC CD AD En dos circunferencias concéntrica s,
CD entonces AB CD si: AB IV) Las figuras adjuntas son equivalentes
b
2h
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a un Lema ? B) Proposición q ue se ac epta sin ser demostrad o. C ) Proposición que para ser evidente necesita ser demostrado. D) Proposición que sirve de base para demostrar otra proposic ión. E) Es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. F) Es una advertencia que se hace a una proposición ya demostrada. 12. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso I. Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes. II. El punto es un co njunto c onvexo. III. Un pentágono, puede ser equivalente a una circunferencia. IV. LEMA es una consecuencia inmediata de una proposición ya demostrada. V. Si los lad os de un triá ngulo mide n 4, 11 y 12 entonc es es un triángulo acutángulo. La secuencia correcta es: A) FVFFV B) FVFVV C )VVFVF D) VFVFV E) FVVFF 13. Un conjunto convexo es: A) Todo co njunto de puntos tal que algún segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. B) Todo conjunto de puntos tal que existe un segmento determinado por dos puntos del conjunto está contenido en el conjunto. C ) Todo co njunto de puntos tal que todo segmento determinado por dos puntos del conjunto está co ntenido en el conjunto.
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b
A)FVFV D)VFFV
B)FFFV E)FFVF
h
C )FVVF
17. si es falsa, en el mismo orden en que a parecen, se obtiene: I) La región triangular siempre es convexa II) Toda región cuadrilátera es convexa III) La región angular cuyo ángulo mide 80º, es convexa IV) El interior de una circunferencia es una región convexa. A)VVFF B)VVVF C )VFVF D)FVFV E)VFVV 18. Si los perímetros de dos triángulos son cada uno 12cm, entonces dichos triángulos son: I) Congruentes II) Semejantes III) Equivalentes. IV) No convexas V) Convexas. A) Sólo I B) Sólo II C ) sólo III D) II y V E) III y IV 19. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) El interior de una esfera es un conjunto convexo. II) En una región triangular, si se omite el punto medio de un lado, siempre resulta una región convexa. III) La región interior de un cua drilátero equilátero es convexa. IV) La intersec ción de un p lano c on una e sfera es un conjunto convexo.
GEOMETRÍA A)VVFF D)VFVV
B)VFFV E)FVFV
C )VFFV
20. Responde r con (V) si es verdadero y con (F) si es falso. I. Una línea es siempre una sucesión de puntos alineados. II. El punto es un conjunto. III. Una línea que cambia constantemente de direc ción se denomina línea quebrada . IV. Una sucesión de puntos alineados es una línea curva. La secuencia correcta es: A) FVFF B) FVFV C ) FVFV D) FVVV E) FVVF 21. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: IV) Toda línea es una rec ta. V) El punto sólo tiene Posición. VI) La intersección de dos planos es un conjunto convexo. VII) Dos rec tas sec antes están c ontenidas en un solo plano. La secuencia correcta es: A)VFVV B)VVFV C )FVVV D)VVVV E)FFVV 22. En la geometría Euclidiana cuál o cuáles de las siguientes prop osiciones son falsas: I) El plano es medible. II) La recta no es medible. III) El punto no se puede definir. IV) El punto, la recta y el plano son conceptos fundamentales de la geometría Euclidiana. A) I y II B) Sólo II C) Solo I D) Sólo III E) II, III y IV 23. Para la geometría Euclidiana son conceptos no definidos: I) El punto y la semirrecta II) Toda s las figuras III) El triángulo y el cuadrad o IV) El punto, la rec ta y el plano V) La línea recta, el plano y conjunto de puntos. A) I y II B) Sólo I C ) II y IV D) Sólo IV E) Sólo V 24. Dadas las siguientes proposiciones: I) Un punto contenido en una recta, determina en ella sólo dos figuras convexas. II) Una rec ta c ontenida en un plano, determina tres figuras convexas. III) El punto es una figura c onvexa. IV) El ángulo en el plano determina dos regiones: una es figura convexa y la otra no convexa. V) La circunferencia es una figura no convexa, mientras el círculo es una figura convexa. En el orden que aparecen, indicar verdadero V o falso F. A)VVVFV B)FVFFV C)FVVVV D)VVFVF E)FVVFV 25. En la geometría Euclidiana, cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) El punto es un objeto físico. II) El punto es una letra o un aspa . III) La recta es un concepto fundamental de la geometría. IV) El plano geométrico es medible. V) El punto no es definible. A) I y IV B) I y II C ) III y V D) solo V E) solo III 26. Las figuras geo métrica s de igual forma y medida , se denominan: VI) Semejantes VII) Congruentes VIII) Equivalentes IX) Isoperimetricas X) Convexos. A) Sólo I B) Sólo IV C ) II y V D) Sólo II E) III y V
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27. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) Si la intersec ción de dos conjuntos es un co njunto convexo, entonc es dichos conjuntos siempre son conjuntos c onvexos. II) La intersección de regiones circulares es siempre un conjunto convexo. III) La unión de dos conjuntos no convexos es convexo. A)FVV B)VVF C )FVF D)FFV E)FFF 28.
I)
La
figura
geométrica
A
es
convexa
(P; Q A PQ A ) II)
Una región circular de cuyo contorno se han excluido dos puntos diametralmente opuestos es convexa III) Un arco de circunferencia es convexo IV) La superficie cilíndrica circular rec ta e s convexa A)VFFF B)VFVF C )VVFF D)VFFV E)FVFF
29. En la siguiente figura, son conjuntos convexos: I) El triángulo ABC. II) El interior del triángulo ABC. III) El vértice B. IV) El ángulo BAC. B
150º A
A) II y III D) II y IV
C
B) Sólo II E) I y IV
C ) I y III
30. por líneas o superficies abiertas o cerradas,
corresponde a: A) El espacio B) El segmento de rec ta C) La figura D) El rayo E) El punto
31.
A) Problema B) Postulado C ) C orolario D) Teorema E) Lema
32. En las siguientes proposiciones escribir con (V) si es verdadera y con (F) si es falsa. I) Toda región triangular de la que se excluye su circuncentro es una figura geométrica convexa. II) Toda intersec ción no vac ía de una rec ta con una superficie esférica es una figura geométrica convexa. III) La región interior de un ángulo de medida 120º es una figura geométrica convexa. IV) Un semiplano geométrico es medible. La secuencia correcta es: A) VFVF B) FFVF C ) FVVV D) FVVF E) FFVV
GEOMETRÍA
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LÍNEA RECTA Es un conjunto de infinitos puntos continuos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. Representación:
Notación: se puede representar de dos maneras Línea recta L :
Línea recta AB : A
B
SEMIRRECTA: Es cada una de las porciones determinadas en una recta por cualquiera de sus puntos, sin considerar a estos. A cualquiera de estos puntos se llama o rigen y el conjunto d e puntos ubica dos a un lado del origen se llama semirrec ta. O Semirrec ta OQ : Q
Semirrecta OR: origen O
O
O
R
RAYO: Es cad a una de las porciones determinadas en una rec ta por cualquiera de sus puntos, considerándolos a estos. Rayo OQ:
Rayo OR:
Q
O
O
R
SEGMENTO DE RECTA Para dos puntos cualesquiera A y B de una recta que están entre A y B.
L , el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B y todos los puntos
Los puntos A y B se denominan extremos de AB .
A
B
A
B
L
Representación:
Notación: Segmento de rec ta de extremos A y B: AB MEDIDA DE UN SEGMENTO: Se denomina también longitud de un segmento. La medida de un segmento es un número real positivo A
d
B
Medida del segmento AB: m(AB ) d ; d
La medida de AB se denota por: AB m( AB ) AB
SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. AB CD AB = CD. A
B
C
D
AB CD
GEOMETRÍA
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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es aquel punto que pertenece a un segmento de recta y que determina con los extremos de este dos segmentos de igual longitud. M es punto medio de AB M AB ; AM MB
A
M
B
Extremos: A y B Punto medio: M
OBSERVACIÓN Todo segmento de rec ta tiene un único punto medio I) II) AM MB ó AM MB OPERACIONES CON MEDIDAS DE SEGMENTOS Con las medidas de los segmentos se p ueden realizar las operaciones algebraica s ( m(AB )
AB d
)
RAZÓN DE MEDIDAS DE SEGMENTOS: La razón
AB BC
a
AB ak y BC bk
b
El cual gráfica mente representa: A
ak
B
bk
C
DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO :
armónicos de A y C. En toda cuaterna a rmónica se c umple que: d A
a AB BC
B
b
AD
C
ó
CD
c a b
D
d c
TEOREMA: Si los puntos B y D son conjugados armónicos de A y C, se tiene: 1 AB
1 AD
2 AC
, (Relac ión de Descartes)
COROLARIO 1: Si se cumple (AB)(CD) = n(BC)(AD), entonces: n AB
+
1 AD
=
n 1 AC
COROLARIO 2: Si se cumple n(AB)(CD) = (BC)(AD), entonces: 1 AB
+
n AD
=
n 1 AC
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Es la recta perpendicular a un segmento que contiene al punto medio de dicho segmento.
L: mediatriz
A
M
B
GEOMETRÍA
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Teorema de la mediatriz: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista a los extremos de dicho segmento. L: mediatriz P
M
A
B
P L mediatrizdeAB PA PB EJERCICIOS RESUELTOS: 1.
En un rec ta se ubica n los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD) 5(BC)(CD) y valor de x y z , es: A) 13 B) 10 D) 12 E) 9
x
y
z
CD
AC
AB
. El
C ) 11
Resolución: B
A
C
D
Por dato:
(AB)(AD) 5(BC)(CD) (AB)(AC CD) 5(AC AB)(CD)
(AB)(AC) (AB)(CD) 5(AC)(CD) 5(AB)(CD) (AB)(AC) (AB)(CD) 5(AB)(CD) (AB)(AC) 6(AB)(CD) 5(AC)(CD)
5(AC)(CD)
Dividiendo todos los términos entre (AB)(CD)(AC) , se tiene: 1
6
CD
AC
5 AB
De donde: x=1, y=6 y z=5
x y z 12
2.
Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. tal que: es: A) 10 D) 15
B) 20 E) 25
BC AB
CD AD
, además
1 AB
1 AD
1 10
, la medida de AC ,
C ) 30
Resolución: A
Por dato:
B
BC AB
C
CD AD
AB
ó
BC
D
AD CD
Se tiene que los puntos B y D son c onjugados armónicos de A y C , luego debe cumplirse la relación de Descartes 1 1 2 AB AD AC Ade más por dato 1 AB
1 AD
1 10
AC 20
EJERCICIOS 1)
¿Cuál o cuáles de las proposiciones son verdaderas? I) Los puntos alineados A, B, C y D, constituyen una cuaterna armónica si se cumple que: AB. CD = AC . AD II) Si los puntos alineado A, B, C y D, constituyen un a cuaterna a rmónica entonces se c umple q ue: 1 2 1 + = AD AB BC III) Si los puntos alineado s A, B, C y D, c onstituyen un a cuaterna a rmónica entonces se c umple q ue: AD. BC = CD. AB. A) Sólo I B) Sólo II C) II y III
2)
3)
D) Sólo III E) I y II Se tiene los puntos colineales y consec utivos A, B, C y D. Siendo B, punto medio del segmento AC. Calc ular la longitud del segmento AB, sí 3BD =4AC y AD = 22 m. A) 1m B) 3m C ) 6m D) 9m E) 12m Se tiene los puntos colineales y consec utivos A, B, M, C y D; tales que: M es punto medio del segmento AD; AB +CD =10m y BM MC =2m. Calcula la longitud del segmento CD. A)12m B)6m C )15m
GEOMETRÍA D)9m
4)
5)
6)
7)
8)
E)3m
Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, (CD D) . Si AD=24 tal que AB BD 4(C 24,, el va lor de C D, es: A) 1 B) 6 C ) 12 D) 3 E) 2 Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, (AB B) 28 . Calcular BC. (AC)) , BD 3(A tal que CD 3(AC A) 1 B) 3 C ) 14 D) 7 E) 4 Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, 1 4 1 , si AB=27, AB.AD AD n. n.BC BC.CD .CD , tal que AB. CD AC 9 el valor de n, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
¿Cuál o cuáles de las proposiciones son verdaderas? IV) Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, c onst onstitu ituyen yen una cua tern terna a armónica si se se c umple que: AB. CD = AC. AD . los puntos colinea c olineales les y c onsec utivos A, B, C y D, V) Si los c onst onstitu ituyen yen una c uaterna ar a rmónica entonc es se c umple que: AD. BC = C D. AB los puntos colinea c olineales les y c onsec onsecutivos utivos A, B, C y D, VI) Si los c onst onstitu ituyen yen una c uaterna ar a rmónica entonc es se 1 2 1 cumple que: + = AD BC AB A) Sólo I B) Sólo II C ) II y III D) Sólo III E) I y II En una una rec ta se c onsider de ran los puntos consecuti consec utivos vos A, B ,C y D, de tal manera que: q ue:
1 AB
1 AD
2 AC
. Si AB=4
y CD=6, entonces el valor de BC, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9)
En una recta se ubica ub ican n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, B, C y D, D, de modo que
AB BC
a(A (AD) D) b(C (CD) D)
y
a AB
b AD
2.
Hallar Hall ar AC . A) D)
ab 2 ab 3
B)
2a b 2
C)
2b a 2
E) a b
10) Los puntos M y N dividen armónicamente al segmento . Calcular AB si se tiene: (AM)(AN) AM AN
A) 2 D) 6
|10
3 B) 5 E) 3
C) 4
11) Una persona camina en línea recta de un punto A hacia un punto B, de modo que al llegar al punto medio medi o M d e AB , decide de cide reg egrresar hasta hasta un punto P y se da cuenta que la distancia de P hasta M es la cuarta parte de la distancia de P hasta B. Hallar la distanc dis tancia ia de d e A a B, si si la la pe perrsona a rec orr orrido ido 72 m. A) 108 m B) 144 m C ) 72 m D) 126 m E) 136 m 12) Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: que : 4AC 4AC =C D. Si Si BD 4AB= 4AB=20, el valor valo r de BC, BC , es: A)3 B)5 C )4 D)9 E)6 13) Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, AB B AD . tal que, q ue, tal ta l que: que : AD=30 AD=30,, AC =18 y A BC
Determinar BC. A) 3.54 B) 4.14 D) 3.64 E) 5.14
C ) 6.14
CD
14) En una recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que A AB B CD . La 1 1 , es equivalente a: AB.AC AB. AC BC BC..BD 1 2 A) AB.BC B) C) 2 2 AB.BC AB BC 1 1 D) E) AB.BC (AB (A B BD BD))2
expresión:
15) Se tiene los punto puntoss c olinea olineales les y cons co nsec ec utivos A, B, B, C y D tales que: AB.CD = n BC.AD. Calcular n, si: A)3 D)9
1 AD
+
n AB
=
8 AC
B)5 E)6
C )7
16) Sob obrre una rec ta se ubica n los puntos c onsecutivos A, B, C, D y E, tal que AC CE , AB CD 16 y DE BC 4 . Calcule CD. A)12 B)10 B)1 0 C )8 D)6 E)4 17) En una línea línea rec ta se ubican ubic an los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, C y D, tal que 4( AB )(CD) (BC)( AD) y 1 10
A )40 D)45
4 AD
1 AB
. Calcule AC.
B)30 E)60
C )50
18) En una recta se ubica ub ican n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, B, C y D, tal que C es punto medio de BD . Si 4( AB)( AD) 28 (BD) 2 , calcule AC.
A) 3
B) 5
D)3
E) 11
C) 7
19) Sean los puntos colineales i consecutivos A, B, C, D y E, tal que AB CD 3(BC) y DE AB . Si luego se ubica el punto medio M de BE , donde MD=2 y AE=16 16,, calc c alcule ule MC . A)2 B)3 C )4 D)5 E)6 ub ican n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, B, 20) En una recta se ubica C y D. Si se cumple la relación a de má máss AB=3 y AC= AC =5. 4( AB ) BD 2(CD) 4 , ade Calcule AD. A)2 B)3 C )5 D)7 E)9
21) Sob obrre una rec ta se ubica n los puntos c onsecutivos A, B, C y D, tal que ( AB )(CD) ( AD)(BC) , (BC)(CD) 28 y CD BC 7 . Calcule AC. A)10 B)2 C )6 D)12 E)8 22) Sob obrre una rec ta se da n los puntos co ns nsec ec uti utivos vos A, B, B, C , D, E y F; F; sa sa bie biend ndo o q ue AC A C =15m, BD= BD=25m, 25m, CE=20m CE=20m y DF=30m; siendo M y N los puntos medios de AB y EF , respectivamente, la medida de MN , es: A )45m B)35m B)35 m C )25m D)55m E)15m
una rec ta se ubica n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, M, 23) En una N y R. Si ( AM)( AR ) 3(MN)(NR) y Calcule m n p . A)16 B)8 D)14 E)18
m NR
C )12
n AM
p AN
.
GEOMETRÍA 24) Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D consecutivos, determinando así segmentos cuyas
A)2 D)
1 4
CD AC 2 E AB BD
B)0 B) 0
C)
y D tales que : AB.AC =3B 3BC C .C .CD D y
CD
+
AC
=
AB
.
2 BC
5 AC
1 .
C) 5
de BC . Calcular BD, si AM 12 . A)24 B)12 B)1 2 C )6 D)18 E)30
29) Se tiene los puntos colineales y consecutivos R, I, C y O tales que que:: RI RI =a, =a , IC IC =b , CO = c ; RI. RI. CO = IC. RO y RC
4RO
A)8 D)9
c 3RI
Halla Hall a r E =a bc
B)10 B)1 0 E)11
C )7
puntos ntos c olineale olinealess y cons co nsec ec utivos M, I, C y 30) Se tiene los pu O tales que que:: M O = 24 24,, MI x y , IC x y , Hallar el valor de y; y, x N . CO 2 y x . Hallar A)9 B)6 C )7 D)5 E)8 nea rec ta, se ubica n los puntos puntos cons co nsec ec uti utivos vos 31) En una lílínea A, B y C, tal que 2( AC) 3( AB) y BC 6 . Calcular C alcular AC. A)20 A) 20 B)18 C )14 D)12 E)16
32) En una recta se ubican los siguientes puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB AC 20 cm, AC AB 4 cm y AC CD . La La medida de AD , es: e s:
B) 12 12cc m E) 20 20cc m
C ) 24 24cc m
33) Sobre una recta se encuentran los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que B es punto medio de AC y 3(BC) 2(CD) . Si AD mide 28, la medida de AC , es: medida A)12 B)16 B)1 6 D)14 E)6
1 AD
1 n
; n 0 .
C ) 4n
extremos los puntos medios de PC y BQ , mide: A )12 B)20 C )13 D)10 E)15
37) Dado los segmentos consecutivos sobre una recta:
Hallar la medida de AC . A)10 B)8 D)12 E)6
C )8
C )9
38) Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Si 10,, el valor va lor de AB, es: 2AB + BC2 = 20 y AC =10 A ) 10 B) 11 C) 8 D) 7 E) 9 39) En una recta se consideran los puntos consecutivos M, N, P, Q y R, R, donde dond e P y Q son puntos medios de MQ y NR , además MR=30 y PQ=8. Determinar NP. A) 5 B) 4 C) 6 D) 7 E) 2 40) Sea ean n A, B, B, C y D puntos consecutivos de una rec ta, P CD y Q son puntos medios de AB y respe res pecc tivamente tivamente.. Hallar el valo valorr de PQ , si 1 1 1 1 y (A (AB)(C B)(CD) D) = 144 . AQ PD BQ PC A) 6 B) 5 C) 7 D) 4 E) 9 41) En una línea línea rec ta se ubican ubic an los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, C y D tal que: q ue: 4(AB)(C 4(AB)(CD)= D)=(B (BC C )(AD) y 1
A) 18 18cc m D) 15 15cc m
AB
AB , BC , CD ; tienen medidas que cumplen con las AB BC (BC).(CD) siguientes expresiones: y 4 . AD CD CD BC
28) Se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D en una recta, tal que: 2( AB ) CD y M es punto medio
a b
Calcular AC. A) n 2 B) n D) 3n E) 2n
1
CD mide 20, entonces el segmento que tiene por
2
y D tales que que:: 2CD. AB = 3 BC . AD y
CD
y
AB y CD r res espec pec ti tivament vamente e donde AB mide 40 y
puntoss c olineale olinealess y cons co nsec ec utivos A, B, B, C 27) Se tiene los punto
ab
AD
36) Sobre una línea recta se consideran los puntos c onsec onsecutivos utivos A, B C y D. si P y Q son puntos pu ntos medios de
C )19
Calcular CD. A) 1 B) 2 D) 3 E) 4
BC
A y B, siendo O el punto medio de AB . Calcule el valor de K para que se cumpla la siguiente igualdad (MA ) 2 (MB)2 k (MO) 2 ( AO)2 . A)1 B)2 C )3 D)4 E)5
puntoss c olineale olinealess y cons co nsec ec utivos A, B, B, C 26) Se tiene los punto
E B)20 E)26
AB
2
AB BC 1 BC AB 1 1 1 A) B) C) 2 4 3 1 D) E)1 5
Calcular A )18 D)24
B, C y D. Si
obrre una rec ta, se ubica n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos M, 35) Sob
obrre una rec ta se toman toma n los puntos c onsecutivos A, 25) Sob B y C de modo que: ( AB)(BC) n ( AC)2 y
2
obrre una rec ta se ubica n los puntos c onsecutivos A, 34) Sob
1
E)1
2
|11
4
8 AD A ) 25 D) 35
1 . Hallar Hallar AC . AB B) 25 E) 50
C ) 40
ub ican n los puntos cons co nsec ec uti utivos vos A, B, B, 42) En una recta se ubica C y D, de modo que (B (BC C )2 = (AB)(C (AB)(CD) D) y 1 AC
A ) 16 D) 14
1 BD
1 16
. Hallar el valor de BC. BC .
B) 12 E) 8
C ) 32
GEOMETRÍA
|12
180º ÁNGULO Definición: Figura geométrica formada por dos rayos c op oplanares lanares que ti tienen enen el e l mis mismo origen origen y que no e stán en línea recta. Representación gráfica: Notación: Ángulo AOB: AOB
III) 180º 360º
IV) AOB : OA OB
360º Región exterior del
B Región interior del
O
SEGÚN LA RELACIÓN ENTRE SUS MEDIDAS I)
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: dos ángulos son c omp omplementa lementarrios si si la suma de d e sus med medida idass es 90 90º. º. R
A
P B
Elementos: 1) Lados: OA ; OB 2) Vértice: O
Q
POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO: A cada ángulo AOB le corresponde un único número entre entr e 0° y 180° 180°,, llama llamado do medida de dell ángulo AOB. A OB. Se denota: AOB) B) Medida de l AOB : m( AO 0° < <180°
90º
O
A
omplementarios os AOB y PQR son c omplementari
Se dice también: AOB complemento de PQR PQR complemento de AOB
NOTA: La medida del complemento de un ángulo de
C 90º
B
PROPIEDAD:
, si n es par
C
CCCC CC CCC C
impa parr C , si n es im
n veces
O
A
II)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida, a la suma de sus medidas y a la posición de sus lados.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º. B P
SEGÚN SU MEDIDA: I) Ángulo agudo: 0º 90º
Q
R
180º
II)
AOB y
O
A
supleme ntarios PQR son suplementarios
Se dice también:
Ángulo recto: 90º
AOB suplemento de PQR suplemento de
PQR AOB
NOTA: La medida del suplemento de un ángulo de
se representa:
S 180º
PROPIEDAD: III) Ángulo obtus o btuso: o: 90º 180º
SSSS SS SSS S
, si n es par
S
es im impa parr S , si n es
n veces
SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS:
NOTA: I)
I)
0º
O
son a dya dyacc entes ÁNGULOS ADYACENTES: Dos ángulos son si tienen un lado común, sus interiores son disjuntos y están est án c ontenidos en un mismo mismo plano. pla no.
II)
lado común
180º
GEOMETRÍA
NOTA: Ángulos adyacentes suplementarios o par lineal.
Ángulos
Internos
|13
Externos
Alternos (medida s iguales)
Conjugados (son suplementarios)
O
180º II)
Correspondientes (medida s iguales)
ÁNGULOS CONSECUTIVOS: Son aquellos ángulos con el mismo vértice y lad o c omún que e stán contenidos en un mismo plano, sus interiores son disjuntos.
PROPIEDADES 1.
Si: L1 // L 2 L1
x O
L2
III) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice en donde los lados de uno de ellos son los rayos opuestos del otro.
x
2.
Si: L1 // L 2
O
L1
x
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: Es aquel rayo cuyo origen es el vértice de un ángulo, y sus demás puntos al estar en el interior del áng ulo, forman c on sus lados, ángulos congruentes.
y
L2
B
x y
P
3.
O
Si: L1 // L 2
A
L1
x
Bisectriz: OP
m( AOP) m( POB) OP bisectriz de AOB
Teorema de la bisectriz: Todo punto situado sobre la bisec triz de un ángulo equidista de los lad os del ángulo.
M PM = PN
P
x
4.
O
L2
Si: L1 // L 2 L1
N
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE:
b
Externos
c
a
L1
d
180º
Conjugados internos
n Externos
p
m q
L2
5. L2
Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta, tienen medidas que suman 180º C D
Correspondientes
B
E
O
A
GEOMETRÍA 180º 6.
B)
|14
Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son suplementarios.
Los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto, tienen medidas que suman 360º B C
O
+ = 180º
A
D
360º 7.
Los ángulos opuestos por el vértice, tienen medidas iguales.
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos paralelos, son congruentes.
O
=
TEOREMA Las bisec trices de d os ángulos ad yac entes suplementarios forman un ángulo recto. B
B)
Q
P
C
Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lad os respectivos paralelos, son suplementarios.
A
O
90º
ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES A) Dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivos perpendiculares, son congruentes.
+ = 180º
=
EJERCICIOS 1)
2)
Un ángulo mide (4x 100°) y su opuesto por el vértice mide (2x 40°). La medida del primer ángulo es: A)15º B)20º C )30º D)45º E)60º En la siguiente figura se tiene que
4)
D)18º E)15º En la figura, se tiene que el ángulo AOB mide la mitad de la medida del ángulo BOD B
C
OP es
perpendicular a OQ y el ángulo AOP mide 150°
90º
A
P
A
O
La medida del ángulo AOB es: A)30º B)50º C )60º D)70º E)80º
B
O
5) El ángulo AOQ mide: A)112º B)120º D)118° E)125º
3)
D
Q
En la siguiente figura se tiene que: OE es la bisectriz del ángulo AOD. El ángulo COD mide 55° B
C )140º
Se tienen los ángulos consecutivos AO B, BOC y COD, m(BOD) 3m(AOB) 60º tal que y m(COD) 3m(AOC) . Calcule m(BOC) A)12º B)22º C )25º
O
A
E
C
D
GEOMETRÍA
|15
12) En la figura L1 es paralelo a L 2 ; L3 es paralelo a La medida del ángulo AOE es: A)60º10´ B)60º20´ C )58°20´ D)62º30´ E)50º20´
6)
7)
L 4 ; L5 es
paralelo a L 6 ; además a 30º , b 35º . Ca lcular el valor de x. a
Los ángulos AOC y BOC son c omplementarios donde m(BOC) m(AOC) ; si se traza la bisec triz OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del ángulo COX, es: A)15º B)45º C )5º D)30º E)25º En la siguiente figura se tiene que: OA OC , el áng ulo AO B mide 35° D
x
A)125º D)120º
B C
D)
El ángulo AOD mide: A)135º B)120º D)150º E)155º
9)
L6 b
A)
8)
L5
B)115º E)110º
L2
L3
C )105º
13) Se tienen los ángulos consecutivos AO B. BOC y COD, tal que m(AOB) m(COD) . Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BOD y AOC.
O
A
L1
L4
C )145º
B)
8
E)
4
C)
6
2
3
14) En la figura L1 // L 2 y L3 // L 4 , hallar la medida del
El complemento de la sustracción entre dos ángulos es igual al suplemento de la suma de d ichos ángulos. Determinar la med ida d e uno d e los ángulos. A)30º B)45º C )25º D)50º E)20º Se consideran los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que la medida del ángulo COD es el doble de la medida del ángulo AOB. Se traza la bisectriz OE del á ngulo BOC , si la medida del ángulo AOE es 1º entonces la medida del ángulo BOD, es: A) 4º B) 3º C ) 1º D) 5º E) 2º
10) En la figura L1 // L 2 , 120º . Calcular el valor
4x
L1 L4
L3 x
A)38º D)34º
L2
80º
B)30º E)36º
C )40º
15) En la figura: L1 // L 2 y L3 // L 4 L1
2
L1
L3 x
x
L2
4
L2
A)90º D)150º
B)130º E)120º
a b
7 3
. Calcular x.
L1
x b
a
B)60º E)75º
L4
C )110º
11) En la figura. Si L1 // L 2 , donde
A)63º D)65º
L2
C )45º
A) El complemento de 3 B) El suplemento de 6 C ) El suplemento de D) El complemento de 6 E) El suplemento de 3
16) Dos ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, uno es agudo y el otro obtuso; entonc es, dichos ángulos son: I) Complementarios II) Op uestos por el vértice III) Adyacentes IV) Suplementarios. V) Nec esariamente consecutivos La afirmac ión verda dera, es: A) I B) IV C) V D) III E) II
GEOMETRÍA 17) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar m( BOZ) B ) , si m(BOY) m( AOX) 2 A) /2 B)2/3 C)2 D) /3 E) 18) De
la
figura
L1 // L 2 // L 3
calcular
x
si:
200º y
.
1
A)85º D)60º
medida del ángulo AOC. A)80º B)100º D)90º E)105º
.
Calcular
la
C )95º
24) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m( AOB)) 18º y la m( COD)) 24º . Calcule la medida del ángulo formado por las bisec trices de los ángulos AOC y BOD. A)12º B)21º C )6º D)25º E)33º 25) Los rayos OA , OB , OC , OD y OE se encuentran ubicados en un mismo plano, de modo que la bisectriz OX del ángulo AOB es perpendicular a la
x 2
m(AOB) m(AOD) 180º
|16
B)75º E)80º
bisectriz OD del ángulo BOE. Si m( EOX) 160º entonces la medida del ángulo BOD, es: A)70º B)60º C )90º D)40º E)50º
3
C )70º
26) En la figura adjunta L1 es paralelo L 2 . Calcular el valor de x.
19) Del gráfico, hallar x
L1
60º x
A)60º B)95º C )89º D)90º E)80º
80º
x 30º
A)20º D)15º
L2
B)30º E)25º
C )60º
27)
20) En la figura PN//CM , calcular x. N
A)20° B)25º C )30º D)45º E)50º
x
x
x x
M P
30º
x
C
21) Según el gráfico, calcular el valor de , si L1 // L 2 y PN//CM .
A)30º D)25º
B)24º E)22º
C )20º
28) De la figura, L1 // L 2 y L 3 // L 4 , si y 60º . Calc ule el mayor valor entero de x.
P
1
C
L1
N
A)20º B)18º C)22º D)15º E)14º
x
M
L3
L4
2
22) En al figura hallar x si L1 // L 2 . A)20º B)25º C)30º D)50º E)45º
x
x
1
3x
B)120º E)125º
y
L2
C )115º
29) Un ángulo mide la mitad de su co mplemento y el otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A)80º B)100º C )110º D)75º E)105º
x
4x
A)119º D)121º
2
23) Dado los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD. Si OC es la bisectriz del ángulo BOD y
30) Si la diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del ángulo
GEOMETRÍA formado por las bisectrices de los dos ángulos adyacentes. A) 10° B) 15° C ) 5° D) 17° E) 20º siguiente figura: Si Si la la s med medida idass a , b y c es e stán en en 31) En la siguiente la razón de los números 2; 3 y 4 respectivamente
BO C y CO C O D. 37) Se tienen los ángulos c onsecutivos AO B, BO AOB OB)) 17 17ºº y m( COD) COD) 43º , calcular la Si m( AOB) medida de dell ángulo formad formad o por p or las las bisec bisec tr trice icess de los ángulos BOC y AOD. A )13º B)30ºº B)30 C )18º D)26º E)27º
38) En la la figur figura a ad jun junta ta L1 es paralelo L 2 . Calcular el valor de x.
b a
c
L1
60º
x
Calcular el valor de c: A)60º B)65º D)80º E)85º
C )70º 37º
32) Si en la siguiente figura se tiene: Rayo OB es perrpe pe pendicular ndicular al rayo OD. O D. El El ángulo BOC mi mide de 10 100° 0° A )23º D)15º
B
39) En O x
A
|17
C
la
L2
B)30ºº B)30 E)25º siguiente
C )60º figura,
OA
y
OD
BOC) 56º , OX es perpendiculares, la m( BOC) bisectriz del
AOC y OY es bisectriz del XOY) . C alcular lla a m( XOY)
D
C
D
El valor de x, es: A)160º B)165º D)175º E)150º
C )170º
AOB B, BO BO C y COD C OD 33) Se tienen los ángulos consecutivos AO luego se trazan las bisec bisec tr tric ices es OX , OY y OZ d de e los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar la m(AOB) si m( XOC)) m( XOD) 4m( BOZ) 80 80ºº A) 40° B) 50° C ) 45° D) 20° E) 30°
la figur figura a L1 // L 2 // L 3 34) En la
son
BOD OD .
Y X B
O
A )11º D)17º
A
B)12ºº B)12 E)15º
C )10º
40) Se tienen tres tres ángulos consecutivos AOB, BOC BOC y COD, C OD, de manera que OC es bisectriz del ángulo BOD ,
OB es per pe rpe pendicular ndicular a la bis bisec ec tr triz iz del á ngulo formado por OA y el rayo opuesto de OC . Si
80 º
L1
L2
L3 20 º
A) 30º D) 80º
x
B) 60º E) 70º
C ) 50º
35) Si AB//CD A
B
231º 215º
x
C
A )94º D)60º
B)90º B)90º E)53º
D C )84º
36) Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, AOD) D) 18 180º 0º , m( AOB) m( COD OD)) , tal que m( AO se trazan las bisectrices OX ángulos BOC, XOD y AOC m( ZOY)) 65º entonces la BOY, es: A) 75° B) 85° D) 105° E) 45°
, OY y OZ de los respectivamente. Si medida del ángulo C ) 95°
m(AOB) m(AOD) 110o , la medida del ángulo BOD, es: A) 55o B) 54o o D) 60 E) 53o
C ) 45o
41) Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, DOE y EOF, de modo que m( BOC ) = m( DOE), m( AOC) = m( DOF), m( BOE) =4 m( COD) , m( AO F) =2 m( BOE) y m( AO F) =160 160°. °. Hallar Halla r m( BOD). A ) 50° B) 45° C ) 60° D) 40° E) 55° 42) Si el suplemento suplemento d e la difer diferenc enc ia entre el suplemento suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igual al c omplemento de la la diferenc diferenc ia entr entre e el complemento del complemento y el suplemento de la medida del mismo ángulo, la medida de dicho áng ul ulo, o, e s: A ) 90° B) 75° C ) 80° D) 60° E) 30° ángulos ulos 43) Si un ángulo de medida se divide en n áng consecutivos, cuyas medidas están en progresión aritmética arit mética;; la medida del ángulo formad formado o por po r las bisectrices del primer y el último ángulo, es: n 1 B) 1 n 1 A) C) n n n D)
n
E)
n n 1
GEOMETRÍA
TRIÁNGULO: Dados tres puntos no colineales A, B y C se llama triángulo AB,, BC BC y CA . a la reunión de los segme segmentos ntos AB
a c
5.
ABC : AB BC CA
|18
Teorema de existencia: En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la diferencia y la suma de las longitudes de los otros dos lados. b c a b c
Región exterior
ac b a c abc ab
C
Región exterior
I. a)
relativa a
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS : SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS : Triángulo equilátero: Sus tres lados son de igual longitud. B
Región interior
A
a
a
B A C
3
En un triángulo equilátero:
3
b A
E
F I
c
1
b)
a
B
d)
Ángulos interiores: CAB, ABC, Sus medidas medid as respe respe c tivas son: son: 1, 2 , 3 Ángulos Áng ulos e xt xterior eriores: es: Sus medidas son: 1, 2 , 3
ACB
Perímetro:
A
f)
Semiperímetro: p
g)
Puntos: interior(I), exterior(E), aferente(F)
1 2 3 En todo triángulo se cumple que al lado de mayor longitud se opone al ángulo de mayor medida y viceversa a
C
AB y BC : lados laterales AC : base c)
longitud Triángulo escaleno: No tiene lado s de igual longitud B
c
a
ab c 2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES : 1. En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores, es 180º: 1 2 3 180º 2. En todo triángulo, la suma de las medidas de tres ángulos exteriores, es 360º 1 2 3 360º triángulo, iángulo, la med ida de un ángulo áng ulo exteri exterior or es 3. En todo tr igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.
Donde:
P=a b c
c
a
90º
e)
4.
a
B
Elementos: Vért rtice icess: A, B, B, C a) Vé b) Lados: AB, BC, CA Sus medidas medid as son: AB=c , BC=a BC=a , AC =b c)
60ºº
Triángulo isósceles: Dos de sus lados tienen igual longitud.
2
2
1
C
a
A
b
C
Sus ángulos interiores tienen diferente medida
II. a)
SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS INTERIORES: Triángulo rectángulo: Uno de sus ángulos interiores es recto. C
b
a
A
c
B
Donde: AB y AC : catetos
BC : hipotenusa Propiedad:
90º a2 b2 c 2
GEOMETRÍA b)
|19
Triángulo acutángulo: Sus ángulos interiores son agudos. B 60º
a
c
2K
K
30º
A
C
90º ,
90º , 2
2
a b c
Propiedad:
c)
K
b
90º
53º
2
5K
3K
Triángulo obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es obtuso. B
37º 4K
PROPIEDADES:
1.
a
B
c
A
x
b
C
90º ,
90º ,
A
90º
a2 b 2 c 2
Propiedad:
x
C
2.
a
b
triángulo AB A BC tal que: TEOREMA: Sea el triángulo BC = a , AB = c y AC = b
mn ab
n
B
m
a
c
3.
m
A
b
C
mn ab
b
Si a >b, > b, a > c , y:
a
ABC es Obtusángulo
n
ABC es Acutángulo
4.
ABC es Rectángulo
x
TRIÁNGULOS I NGULOS RECTÁNGULOS RECT N CUYOS ÁNGULOS INTERIORES MIDEN: 45º, 30º, 60º, 37º y 53º
x 180º
45º
K
K
45º K
EJERCICIOS 1.
Los lados de un triángulo miden: 2, a 3 y 8.
5.
Los lados de un triángulo miden (x+2), (x+3) y 7. C pa ra que el triángulo triángulo ex e xis ista. ta. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6.
En un triá triá ngu ngulo lo ABC A BC,, AB= A B=6,2 y BC BC =7,6. Hallar la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tomar AC. A ) 15 B) 16 C ) 17 D) 14 E) 13
7.
En la figura AB BC CD BD . Hallar el valor de .
para que el triángulo exista. A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
2.
3.
4.
C) 3
Dos lados de un triángulo miden 5m y 6 m. respectivamente, y el tercero mide el doble de uno de los lados conocidos. Calcular el perímetro de dicho dic ho triángulo. áng ulo. A) 20 B) 24 C ) 21 D) 23 E) 25 En un triáng triángulo ulo ABC. A BC. Si AB 2 y AC 10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el ángulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 En un trián triángulo gulo ABC ABC,, AB=4,2 AB=4,2 y BC BC =8,2 hallar halla r la suma dell máximo de máximo y mínim mínimo o valor va lor entero entero de AC . A) 17 B) 16 C ) 15 D) 14 E) 13
B
A)45º B)40º C )37 )37ºº D)30º E)35º A
C
D
GEOMETRÍA 8.
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P a AC . Si AB=7. Calcular el máximo valor entero de BP. A)13 B)6 C )9 D)8 E)12
9.
En la figura, AB=CD. Hallar el valor de .
5
B
lados AB , BC y AC se ubican los puntos M, N y Q respectivamente, tal que el triángulo MNQ sea equilátero. Si m(BMN) m(QNC) 98º . Calcular m( AQM ) . A)49º B)48º C )52º D)50º E)46º
11. En un triángulo ABC se consideran los puntos: M en
5x
3x
2x
y AM . Si los ángulos MAC , AC B y ABD tienen igual medida, mC BD 48º y AB = BD, la medida del ángulo BFM, es: A) 74º B) 76º C ) 68º D) 60º E) 45º
12. En la figura: AB BP QC. C alcular x. A) 75º P B) 65º C) 55º D) 45º B E) 35º
30 º
Q
C
60º
A
D
19. En la figura: AB BP PQ QR RC . La medida del ángulo ABP, es: A P R B
A) 18º D) 36º
Q
B) 20º E) 37º
C
C ) 30º
20. Se tiene un triángulo ABC y D es un punto del lad o AC , tal que AB =BD, BC =AC y el ángulo DBC mide 30°. La medida del á ngulo AC B, es: A) 40° B) 30° C ) 50° D) 45° E) 42°
120º
x
B
A) 75º B) 60º C ) 30º D) 45º E) 50º
BC y D en AC , F es el punto de intersec ción de BD
C
13. En la figura, FE ED 3 , AB=18. Calcular la medida del segmento cuyos extremos son C y B. B C 60º
45º
6x
4x
7
10. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC). Sob re los
A
A)70º B)45º C )90º D)22,5º E)67,5º
18. En la figura, AB BC AD , el valor de , es:
D A
16. En la figura, el valor de , es:
17. En un triángulo ABC. Si AB 2 y AC 10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el áng ulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
C
A) 18º B) 15º C) 30º D) 20º E) 10º
|20
21. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C ) 52° D) 32° E) 60°
37º
D A) 18 D) 20
A
F
E B) 24 E) 19
C )21
14. En la figura. Si AB AC CD, calcular x, además
2. A) 100º B) 80º C ) 60º D) 70º E) 50º
23. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, en los lados AB , BC y AC se ubican los puntos P , R y Q respec tivamente, tal que PQ = QR , m( BPR) +m( QRC) = 145° y el ángulo PQR mide 90° . Hallar la medida del ángulo AQP . A) 50° B) 40° C ) 60° D) 37° E) 30°
B
C
x A
22. En un triángulo ABC, en el lado AC se ubican los puntos E y F, de mo do que AB = BF, m( ABE) + m( FBC) = 40° y el ángulo EBC es recto. El ángulo AC B mide: A) 25° B) 50° C ) 30° D) 20° E) 35°
D
15. En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C ) 52° D) 32° E) 60°
24. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calc ular el mínimo valor entero de la hipotenusa. A)12 B)14 C )16 D)13 E)15
GEOMETRÍA
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO MEDIANA: Es el segmento d e recta q ue tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. A
Mediana relativa al lado BC
B
M
|21
El baricentro G, determina e n la mediana, d os segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. El baricentro G, es un punto interior del triángulo. Todo triángulo tiene un solo baricentro.
ORTOCENTRO: La intersección de las alturas o de sus prolongaciones es un punto llamado Ortocentro. El ortocent encuentra en el interior del triangulo
C
Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a c ada lado.
encuentra en el exterior del triángulo
ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
vértice del ángulo recto. B
C
Ortocentro Altura relativa al lado AB
G
Altura relativa al lado BC
H A
Prolongación de
A
B
C
B
Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada lado.
BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del triángulo. Bisectriz exterior
A
Bisectriz interior
C
A
Ortocentro
A
E
B
D
C
AE : bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado
AC , siendo AC>AB. Ortocentro
MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado A
Mediatriz relativa al lado BC
M
B
C
B
INCENTRO: El punto de intersección de las bisectrices interiores se llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Inradio (r): rad io de la c ircunferencia inscrita El incentro(I) equidista de los lados del triángulo El ince ntro (I) es un punto interior al triángulo.
CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por extremos un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. A
Ceviana exterior
E
Ceviana interior
B
D
I
PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO BARICENTRO: La intersección de las tres mediana s es un punto interior al triangulo llamado baricentro.
r
C
EXCENTRO: Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se intersec an en un punto llamado Excentro.
A Baricentro 2a c 2b
B
B
Gb a
M
También se le co noce gravedad o g ravicentro.
E1
2c
r 1
C
co mo ce ntroide, centro de
A
C
GEOMETRÍA E1 es el excentro d el triángulo relativo a l lad o BC . E1
es el centro d e la circunferencia exinscrita del triángulo
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se cumple: B
relativa al lado BC . En todo triángulo se circunferencias ex-inscritas.
pueden
encontrar
tres 2
L
r 2
A
E2
B
r 1
|22
C
RECTA DE EULER: Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro
E1
B
A
C
Recta de Euler
E3
r 3
O G L
NOTA: Un vértice, el incentro(I) y el excentro (E) están contenidos en una línea recta El triángulo E1E 2E3 es c onocido co mo triángulo exincentral. CIRCUNCENTRO: Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita a l triángulo. triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo
A
H
M
N
C
PROPIEDADES: 1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro: OG 2(GL) O
G
2k
k L
encuentra en el exterior del triangulo triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa R: circunradio B
2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice mencionado. OB 2(LM) También se cumple: BH 3(GN) 3) En un triángulo rectángulo e l ortoc entro, baricentro y el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en la rec ta de Euler
R L
Ortocentro
C
A B
A
B 2x
Baricentro Circuncentro A
R
L
B
R
L
R
M
3x
C
NOTA: El baricentro (G) se enc uentra e ntre el ortocentro (O ) y el circuncentro (L). Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, tienen una unica recta de Euler.
C
A
x
3x
C
EJERCICIOS 1.
En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la distancia del ortoc entro a l circunc entro, es: A)7cm B)6cm C )12cm )9cm E)8cm
2.
En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro y L es el circuncentro, si m BAC m BCA 30 30º , la medida d el ángulo O BL, es: A) 37º B) 60º C ) 10º D) 15º E) 30º
GEOMETRÍA 3.
4.
5.
6.
7.
En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 4cm, entonces la distancia del ortoc entro a l circunc entro, es: A)4cm B)6cm C )16cm D)12cm E)8cm En un triángulo obtusángulo, son puntos notables exteriores: A) Incentro y circuncentro B) Incentro y baricentro C) Ortocentro y baricentro D) Ortocentro y circuncentro E) Incentro y ortocentro . Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, ba ricentro y c ircuncentro son c olineales II) La propiedad fundamental del baricentro es la de determinar en la mediana dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el circuncentro son puntos exteriores. A)VVV B)VVF C )VFV D)VFF E)FVV Determinar el valor de verdad V o falsedad F de las siguientes proposiciones: I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler II) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa está contenida en la recta de Euler. III) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: ortocentro, ba ricentro y circunce ntro IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: baricentro, ortoc entro y circunc entro A)VVFV B)VVFF C )VFFV D)VVVF E)VFFF En la figura, si m A ABO BO 18 º , m BAO a 12º , m O BC m OAC 60ºº a , el valor de x, es: B
A) 52º B) 12º C) 18º D) 72º E) 78º
10. En la figura AB=BC, el valor de x, es: B
3
x
A
3x
A) 30º D) 15º
2x
B) 10º E) 5º
C
C ) 20º
11. En la figura: B
E
D L A
C
F
De las siguientes proposiciones: I) L es el ortocentro del triángulo ABC II) E es el ortocentro del triángulo AEB. III) A es el ortoc entro d el triángulo BLC. La secuencia correcta, es: A)VVV B)VFV C )VVF D)FFV E)FVF
12. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, la medida del ángulo BAC es 70º, la medida del ángulo BC A es 40º, la distanc ia de L a la altura relativa a AC , es: A) 10/3 B) 2 C) 5 D) 10/4 E) 10 13. En un triángulo ABC se trazan las bisec trice s interiores BD y AF (D en AC , F en BD ). Si m ACB 20º
y m BAC 40º , la medida del ángulo DFC, es: A) 40º B) 60º C ) 80º D) 75º E) 70º
14. En la figura, H es ortocentro, si la medida del ángulo HBC es 30º, entonces la medida del ángulo HAC, es: O
B x
A
8.
|23
C
En la figura, E es un excentro del triángulo ABC, ED es bisectriz del ángulo BEC, m ACB m DEB .
H
La medida del á ngulo BED, es:
E
A) 37º D) 53º
9.
B
B) 60º E) 30º
C ) 45º
En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela al lado BC , si m BAC 45º y la altura relativa al lado BC mide 6, la longitud del circunradio de dicho triángulo, es: A) 3/2 B) 2 C) 2 2 D) 2/3
E) 2 3
A) 37º D) 15º
B) 60º E) 30º
C ) 45º
15. En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo ABC mide 45° y AC = 8 cm ; la distancia del ortoc entro al vértice B, es: A) 8 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 10 cm E) 5 cm
D
A
C
A
C
16. Se tiene un triángulo isósceles ABC, AB = BC, donde I es su incentro y E es su excentro respecto al lado BC , tal que IB = 8 cm y la distancia de E al lado AB es 10 cm. La d istancia del incentro a l lado AC , es: A) 2 cm B) 3 cm C ) 4 cm D) 1 cm E) 5 cm
GEOMETRÍA
ÁNGULOS FORMADOS POR LAS LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO TEOREMAS: 1. La medida del ángulo mayor formado por dos bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior..
ii) BM : Mediana BI : Bisectriz B
B
x 90 º
x
A
I
2
2
C
M
iii) BM : Mediana BI : Bisectriz BH : Altura
A
2.
x
x
|24
C
La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
B x=y xy
B
A
x
A
3.
x 90º
2
C
B
A x
A
x
2
C
B
La medida del Ángulo formado por una bisectriz interior y la altura trazada s desde un mismo vértice es igual a la semi diferencia de la medida de los otros do s ángulos interiores BI : Bisectriz BH : Altura
BM
A
ii) La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina tres triángulos rectángulos. B
x
x
2
H
A
C
I
La medida m a del áng ulo formadoo por las líneas notables en un triangulo rectángulo es: i) BM : Mediana BH : Altura
H
C
PROPIEDADES AD EN EL TRIANGULO ISÓSCELES i) En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz son coincidentes. B
B
Bisectriz Altura Mediana Mediatriz Ceviana
x
x
H
AC 2
C
M
B
A
TEOREMA: i) La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
C
A
C
M
La media del ángulo formad o p or una bisec triz interior y una exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
5.
I
NOTA: El ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior trazad os desde un mismo vértice es una ángulo rec to.
B
4.
H
M
C
A
H
C
GEOMETRÍA
ii) En el triángulo isósceles de la figura se cumple:
|25
PROPIEDADES 1.
B m
x a b
x
x
a
b
n
C
A 2.
P
PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. i) En un triangulo equilátero los puntos notables coinciden en un único punto y las líneas notables son coincidentes.
x
m
ortocentro incentro baricentro circuncentro
n
mn 2
x 3.
B
n 90 º(
2
)
mn
ii) La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo eq uilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas.
m
n
A
C
4.
m n
h a b c
h
c
mn xy
y
x
b a
B
5.
iii) Sea Q un punto e xterior a un triangulo eq uilátero, entonces se cumple:
a
x
b
45º
A
c h
x
4
C
h a b c
EJERCICIOS 1.
En un triángulo ABC. si I es el ince ntro y la suma d e las medidas de los ángulos exteriores de A y B es 290°, la medida del ángulo AIB, es: A) 145° B) 135° C ) 205° D) 95° E) 115°
2.
Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC), en el interior del triángulo se consideran un punto P tal que m(PAB) m( PCA) , m(ABC) 20º . Calcule m(APC) . A)130º B)120º C )110º D)80º E)100º
3.
4.
Hallar la medida del ángulo obtuso formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo A)45º B)135º C )90º D)55º E)60º
5.
Los lad os de un triá ngulo ABC miden AB=6, BC=8 y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en BC ), las cuales se intersecan en E. el valor de BE, es: A)3/2 B)2 C )1 D)2/3 E)3
6.
En un triángulo ABC, el ángulo formad o por la bisec triz interior del A y la bisec triz exterior del C mide 40º. Si m A m C 30º , hallar la m C . A)60º B)65º C )35º D)45º E)30º
7.
del ángulo ADC y el lado AC , es: A)67º B)77º C )64º D)60º E)80º
En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices de los áng ulos ABH y HBC que intersec an a l lad o AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el valor de FE. A)6 B)7 C )8 D)5 E)4
En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se traza la ceviana interior CD , tal que m( BCD) 26º . La medida del ángulo agudo formado por la bisectriz
8.
En un triángulo cuyos catetos miden 3 y 4 respectivamente. Calcular la medida del ángulo ag udo formad o p or los segmentos: altura relativa a la hipotenusa y mediana relativa a la hipotenusa. A)16º B)23º C )12º
GEOMETRÍA 9.
En la figura, AB = 16 y BD =13. Calcular DC
A) 24 B) 27 C ) 29 D) 25 E) 14,5
|26
12. En un triángulo ABC, m BAC 2m BCA 12º ; se traza la altura BH (H en AC ) y la ce viana interior
3
BD tal que m ABD 2m CBD , la medida del 2 A D
ángulo HBD, es: A)48º B)24º D)34º E)30º
C
10. En el triángulo ACB de la figura, se c umple: CS n 3 , SB=2n, ; y n m( SNB) m( SNM) m( SMN) m( SMC) . Ca lcular la medida del ángulo MSN. B
A) 55º B) 30º C) 75º D) 60º E) 45º
N
A
M
C )37º
13. En un triángulo ABC, se traza por B una p aralela al lado AC que intersec a a la bisec triz del ángulo BAC en P y a la bisec triz exterior del ángulo C en Q. Hallar el valor de PQ, si AB = 15 y BQ =19. A) 2 B) 3 C) 4 D) 2,5 E) 5
S
14. lo BAC mide 60º y el áng ulo ACB mide 53º. La medida del ángulo OBL, es: A)37º B)15º C ) 7º D)16º E)14º
C
15. En un triangulo ABC a cutángulo AB=BC se traza la altura AH y la bisectriz interior CF secantes en el punto R. Si mHAB + mHRC.=69º Hallar m B. A) 69º B) 33º C ) 74º D) 88º E) 78º
11. En un triangulo ABC AB=BC se traza la bisec triz interior CF y luego FR CF (R en BC ) Si mBFR=24º, hallar la medida del ángulo en B. A)24º B) 38º C ) 28º D) 36º E) 18º
TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.
2.
En el triángulo ABC se c umple que m(ABC) 90º ; AB=3 y BC=10. Enco ntrar la diferenc ia e ntre el máximo y el mínimo valor entero que pued e toma r la longitud del lado AC . A)2 B)3 C )5 D)4 E)1
A) 7 B) 9 C ) 11 D) 13 E) 15
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B se traza la
8.
6.
Q C
A
9.
En la figura, AD es bisectriz y BD=2. hallar la longitud de la proyecc ión ortogonal de AD sobre AC . A
a AC . Si AB=5. Calcular el máximo valor entero de BP. A)5 B)6 C )7 D)8 E)9
A) 3 B) 3 C) 2 D) 2 3
La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triá ngulo es 270º, si el lado ma yor mide 18. Hallar la distancia del ortoc entro a l baricentro d el triángulo. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 18
E) 3 3
En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD , de tal manera que AB BC 35 y AC 25 . Hallar el mínimo valor entero de BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
x
4
En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC es equilátero el ángulo QC A mide 20º Luego , el ángulo BQS mide: A) 60º B B) 40º S C ) 30º D) 38º E) 35º
altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca en P
5.
3
En un triángulo ABC, AB=BC, se traza la ceviana EQ , tal que BE=BQ, si el ángulo ABE mide 48º, hallar la medida del ángulo QEC. A) 25º B) 24º C ) 23º D) 22º E) 20º
2
interior BE en el triángulo BEC se traza la ceviana
4.
Dado un triángulo ABC y un p unto P exterior, tal que PC AB {D} . Si PA=5, PB=4 y BC AC 11 , calc ular el máximo valor entero de la longitud de PC . A)10 B)5 C )9 D)11 E)7
3.
7.
30º B
D
C
10. En la figura: AB >BC y CD >ED valor es entero. B
A) 65º B) 110º C ) 115º D) 125º E) 135º
E x 66º 64º
A
C D
GEOMETRÍA 11. Ca lcule el valor de . A) 20º B) 22º C) 25º D) 30º E) 32º 50 º
18. N
A) 30º B) 35º C ) 40º D) 45º E) 50º
20º
50º
A
50º
x
D
10º
40 º
R
12. En un triangulo ABC isósceles (AB=BC ) se traza la ceviana interior AF, de modo que AF=BC. Si m FAC 12º , Hallar la m BAF . A) 12º B) 24º C ) 36º D) 48º E) 44º 13. Del gráfico ,
19. En la figura, el valor de , es: B
A) 16º B) 17º C ) 18º D) 19º E) 20º
ABC 140º
m
4
B
A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 35º
m
2
C
A
A) 5 B) 10 C ) 15 D) 20 E) 25
14. En la figura. Hallar el valor de x. A) 12º B B) 14º C) 16º D) 18º E) 20º
M
P
C 18º
A) C)
15. En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según se
E)
B
D)
2
2
2
2 2
ángulo ARC interseca a AC en el punto Q. Hallar la medida del ángulo AQ R.
F
E
b
A)72º D)78º
x L
A
22. En un triángulo ABC, A B =BC, CR es una ceviana interior, tal que m RCB 24º . La bisectriz del
a
B)56º E)82º
C )76
23. Calcular x, si DB=BC y AE=ED=DC
C
B
16. En la figura mostrada AB BC y el triángulo QSC es equilátero. Luego: B A) a b B) 2a b C ) 2a 3b D) a 2b E) a b 60º
B)
2
E
D) a b E) a b
C
21. Se tiene el triángulo ABC (AB=BC). Sean los puntos P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente tal que el triángulo RQP es equilátero. Si m(PRA) , m(BPQ) y m(RQC) ; se c umple:
x
A
ab A) 2 ab B) 2 ab C) 2
H
B
D 3x
C
20. En la figura mostrada, si BM es mediana y PB 10, hallar el valor de MH.
n n
A
A
2
m
x
A) 30º B) 25º C ) 22º D) 18º E) 36º
S
a Q
E 3x x A
C
D
24. En la figura, AC =12; Calcular el valor de BD. b
A
E
C
17. En la figura, ME=MP; FN=NQ ; AE=ED y FD=FC. Calcule x: B
A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º
E
x F
M 120º
D
45 º
30 º
N P
A
|27
A
Q C
53º
B
C
A) 15 3
B) 7 3
C ) 10 3
D) 7
D
E) 14
GEOMETRÍA
|28
25. Si a b
A) 80º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º
60º
2
correspondiente al lado AB . A)10cm B)5cm D)3cm E)8cm
x
b
a
2
26. En el interior de un cuadrado ABCD se construyen los triángulos equiláteros AFB y AED. La prolongación del segmento FE interseca en G al lado BC . Calcular la medida del ángulo FGC . A) 30º B) 37º C ) 45º D) 53º D) 60º
27. En la figura mostrada , si PB 9 y PC 15, hallar AB.
35. Los lad os de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular BE. A) 3/2 B) 2 C) 1 D) 2/3 E) 3 36. B
A) 5º B) 6º C ) 8º D) 9º E) 10º
13x D
C
A) 10 B) 12 C ) 14 D) 16 E) 18
C )12cm
A
3x 2x
C
37. El ABC es isósceles, AB A C. Hallar el valor de x.
P
B
A) 9º B) 11º C ) 12º D) 13º E) 14º
x
Q 3 x 4 0º
2x
A
28. El ángulo interior en A de un triángulo ABC mide 20º. Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ . Si m A ATQ TQ 40º y TQ QC BC . Ca lcular la m B . A) 40º B) 60º C ) 80º D) 75º E) 55º
29. En un triángulo rec tángulo ABC, rec to en B, la bisec triz interior del ángulo BAC interseca al lado BC en D, en el triángulo ADC se traza la ceviana interior DE tal que AB//DE , si la medida d el ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo ACB, es: A) 14º B) 24º C ) 60º D) 22º E) 34º
30. La suma de las distancias del baricentro de un triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de las longitudes de las mediana s del triángulo da do. A) 48 B) 36 C ) 30 D) 32 E) 42 31. En un triángulo equilátero, la distancia del punto
del incentro a uno de los puntos excentro de dicho triángulo. A) 3x B) x/2 C) x D) x/3 E) 2x
32. La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 9cm. Hallar la distanc ia del circunc entro d el triángulo a AC , si la rec ta de Euler es pa ralela a este lad o. A)3cm B)5cm C )4cm D)2cm E)6cm 33. En un triángulo a cutángulo ABC, se ubica n los puntos
68 º
A
B
C
P
38. En la figura: AB AD DC . B
A) 5º B) 6º C ) 7º D) 12º E) 4º
13 x D
3x 2x A
C
39. A) 12º B) 16º C ) 18º D) 20º E) 22º
x
2 a a b
4x
2
b
40. A) 30º B) 40º C ) 72º x D) 82º E) 90º x
3x
41. En la figura, valor de x. A) 100º B) 105º C ) 110º D) 115º E) 120º
AB
BD
BC
34.
bisectrices una interior y otra exterior correspondientes a los ángulos en los vértices C y A respectivamente, se observa que se intersec an en un punto E, donde m(AEC) 30º . Calcular la
y EF ED. Calcule el
B 20º
m(AOB) m(AMB) , si la altura AH (H BC)
mide 3 3 , ca lcular la medida del lad o AC A)4 B)6 C )5 D)9 E)8
x
E A
F xº
40º
D
C
GEOMETRÍA
|29
TEMA 07 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son congruentes si y sólo si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y sus tres pares de lados correspondientes son congruentes. B
TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto de la b isec triz de un á ngulo eq uidista de sus lados R
P
A
C
ABC A 'B 'C '
O
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para demostrar que dos triángulos son congruentes es suficiente q ue posean al menos tres elementos respectivos congruentes, de los cua les por lo menos uno de ellos debe ser un lado.
Q
Los triángulos OPR y OPQ son congruentes.
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto sobre la rec ta mediatriz d e un segmento equidista de sus extremos
CASOS DE CONGRUENCIA: POSTULADO: ALA (Ángulo Lado Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes y el par de lados comprendidos entre ellos congruentes.
L P
Q
B
POSTULADO: LAL (Lado Ángulo Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y el par de ángulos comprendidos entre ellos congruentes. Q
B
B
R
P
C
A
M
A
Los triángulos APM y BPM son congruentes.
TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lad os, es pa ralelo al terce r lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de e ste. B
C
A
R
P
M
POSTULADO : LLL (Lado Lado Lado) Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres pa res de lado s correspondientes respec tivamente congruentes.
N
A
Q
B
C
A
C
P
R
EJERCICIOS 1.
Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB=10. Se traza
3.
una recta q ue intersec a a BC en N y a BA en M y a
AC m( PBC) 30º , si: AC =2(PB), m( BPC) 40º , la medida del ángulo BAC, es: a) 10º b) 20º c) 40º d) 50º e) 80º
la paralela trazada por A, al lado BC , en P, si PM=MN, el valor de AM, es: A) 4 B) 20 C) 5 D) 6 E) 2
2.
En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, se traza la altura AD . La bisectriz del ángulo interior ABC , interseca a la altura en E, a CA en F y a la paralela trazada por A, a BC , en G. si BE=2, el valor de FG, es: A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 8
En un triángulo
4.
y
En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distanc ia del vértice B a la med iana, si la distanc ia del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4
GEOMETRÍA 5.
En la figura, si AB = BC y PQ = 9, entonces el valor de AP, es: A
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
6.
C 5 P
Q
B
En un triangulo ABC se traza la mediana BM y luego la mediana AF del triangulo ABM, la recta paralela trazada por el punto M a AF intersec a en el punto L al lado BC , si AF es igual a 18 m, la longitud de ML , es: A) 9m B) 14m C ) 8m D) 6m E) 12m
7.
8.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AD , en el triángulo ADC se traza la altura DE . Si los triángulos ABD y DEC son congruentes, entonces la medida del ángulo ABE, es: A)37º B)45º C )53º D)30º E)60º Em La figura, si AE=CD, m( AEB)=m( EDC)=2 , m( A)=m( ECD)= , CE=8, El valor de AC, es:
C B
15. En un triángulo ABC, M y N son puntos de los lados AC y BC respectivamente, tal que AB =MC, m( BAC ) = m( BMN) = 40° y m( MBN) = 70° . Hallar la m( ABM). A) 30° B) 70° C ) 40° D) 60° E) 45° 16. En la figura BC=AC=AD. Calcular x. B
A)60º B)50º C )45º D)55º E)75º
x 30º
C A
15º
D
17. De la figura AC =BP, m(BAP)=m( B
A)4.6º B)5º C )4º D)5.6º E)4.5º
4
P
A
A
E
A) 8 D) 24
9.
B) 12 E) 36
C ) 16
D
|30
C
18. En la figura: AB BC , AB = BC, AE EB y m(EAB)=m(ECA), si BE = 3, el valor de EC , es: A
Se tiene un triángulo acutángulo ABC y H es su ortoc entro. Se co nstruye el cuadrad o BHPQ, P BC , tal que m( ABC ) = 6 m( APH). Hallar la m( BAC). A) 81° B) 60° C ) 80° D) 55° E) 20°
A)2 B)3 C )4 D)2 E)3
2 2 2 E
10. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto D, tal que AD = BC, BD =9 cm, m( BAD) = m( DBC ) = , m( DC B) =2 y m( ADB) = 5 . Hallar AB. A) 18 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 20 cm D) 15 cm 11. En la figura, BD es bisec triz del ángulo ABC y BM es mediana relativa a la hipotenusa. Calcular m AEB .
E
A)10º B)12º C )18º D)15º E)20º
B
A) 53º B) 37º C) 60º D) 30º E) 45º
C
D M
12. Se tiene un triángulo ABC, donde P es un punto interior de dicho triángulo, tal que m( BAP) = m( PAC) = m( PBC) = m( PC B) = x y m( PC A) = 2x. Hallar m( ABP). A) 45° B) 20° C ) 26° D) 60° E) 36° 13. Sea el triángulo ABC y D es un punto del lado AC , tal que m( ABD) = 90°, m( DBC) = 2 m( BAC) y AD = 2 (BC). Ha llar m( ADB). A) 72° B) 64° C ) 52° D) 48° E) 60° 14. En un triángulo ABC, M es punto medio d e AC y N es punto medio de BM , tal que AN es perpendicular a BM , BC = 10 y AN =8. Hallar el valor de AB. A) 2 17 D) 4
C
2x x B
A
E A
C
B
44) En la figura: AB=AC y AE=EB, si m(ECA)=30º, el valor de x, es:
B) 3 17 E) 6
C)
17
19. En el triángulo ABC se traza la altura AH , de tal modo que BH=3 y HC =10. si m(ABC) 2m(ACB) , entonc es el valor de AB, es:. A) 10 B) 13 C) 8 D) 7 E) 5 20. En el interior de un triángulo equilátero ABC se construye un triángulo isósceles rectángulo ADC e interiormente a éste se construye el triángulo AEC. Hallar la medida del ángulo DAE si se sabe que m(DCE) 30º y EC=AD=DC . A) 15º B) 45º C ) 5º D) 30º E) 25º 21. En un triángulo ABC, ob tuso en B e isósce les, en los lados AB y AC se consideran los puntos E y F, respectivamente, de modo que AE=FC y AF = BC. Si m FBC 27º . Hallar la medida del ángulo EFB. A)27º D)45º
B)42º E)60º
C )30º
GEOMETRÍA 22. En un triángulo ABC, en AC se c onsidera un punto D, de modo que: AD BC y DC BD . Si m(DCB) 36º , la medida del ángulo BAD, es: A)53º B)72º C )30º D)36º E)75º
un punto de BD , tal que BE =3, ED =2 y el triángulo BAD es congruente al triángulo C BE . Hallar la medida de CD . A)
B)
31
D) 51
23. En un triángulo ABC las medianas AM y BN se intercep tan en el punto G , por N se traza una pa ralela a AM que intersec a en P a la p rolongación de BA : si AB=12m y PN=PA, e ntonc es el valor de MG , es: A) 3m B) 5m C ) 2m D) 4m E) 7m
interseca al lado BC en el punto F. Encontrar el mayor valor entero del lado AB , si BC = 12 y FC =7. A) 8 B) 9 C ) 10 D) 11 E) 12
25. En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, por el vértice B se traza una c eviana interior que intersec a al lado AC en H. Desde los vértices A y C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, entonc es el valor de PQ, es: A) 4cm B) 11cm C) 8cm D) 6cm E) 9cm
26. En un triángulo ABC,
mB 80º , en
AC se ubica el
AE y
BC se inters
sabiendo que la m A) 20º B) 15º D) 35 E) 25º
C
m ACF
,
C ) 18º m(ABC) 140º ,
las
AC en D y E. Hallar la medida del ángulo DBE. A) 105º B) 95º C ) 115º D) 100º E) 70º
28. En la figura, si AB=CP, BE=EP, y m( CAE) m( ACE) , entonces la medida del ángulo BPE, es: B 30 º
20 º
C P
29. Si R es un punto interior de un triángulo equilátero ABC y F es un punto exterior a este triángulo respecto al lado AC , de modo que el ángulo RCB mide 30º , el ángulo RAB mide 36º , AR =RF y AF = BC , el áng ulo RFC mide : A) 48º B) 42º C ) 53º D) 30º E) 37º 30. En un triángulo ABC, la mediana AM (M BC ) se prolonga ha sta un punto H, tal que el ángulo AHC es recto y AB=2(MH). El ángulo BAH mide x, el ángulo
B) x = 2y E) 3x = y
D)
6
14º 14º
D
A
33. En la figura: AB=BC, AD=20. Calcular BP B
A) 10 B) 15 C ) 7,5 D) 8 E) 20
C
45 º
A
P
D
34. Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB=BC. En el exterior y relativo el lado BC se c onsidera el punto E, de modo que la m(BAE) m(BCE) , AE interseca a BC si: AM =CE y la m(EAC) 20º . A) 60º B) 45º C ) 70º D) 55º E) 68º
A) 20º B) 25º C ) 18º D) 30º E) 45º
A
D
3xº 4xº
C
E
36. En los lados AC y AB de un triángulo equilátero ABC, se ubica n los puntos M y N respec tivamente, de modo que BM y CN se intersec an e n el punto P, el ángulo MPC mide 60º, BN=3 cm y MC=7 cm. Determinar el perímetro del triángulo ABC. A) 30 cm B) 24 cm C) 36 cm D) 18 cm E) 21 cm
37. Se tiene un triángulo equilátero AEF;
E
A) x = y D) 2x = y
46º
C) 5 2
B
mediatrices de los lado s AB y BC intersec an al lado
A
E) 7
35. En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, ento nces el va
30 30º
27. En un triángulo ABC,
A) 45º B) 50º C) 55º D) 60º E) 65º
C 35
41
32. En la figura mostrada, si CD =4, el valor de BC, es: A) 4 C B 31º B) 2 6
E) 4 2
24. En un triángulo ABC, la mediatriz del lado AC
|31
C ) x = 3y
31. Se tiene un triángulo rectángulo BAD, con ángulo recto en A. Exterior a este triángulo, se construye el triángulo rectángulo DBC, con ángulo rec to en B; E es
en la
prolongación de AF se ubica el punto C, (F está entre A y C ) y B es un punto del interior del triángulo AEF, de modo que AF=BC, BF=FC y el áng ulo BAF mide 30º. Hallar la medida del ángulo ABF. A) 120º B) 130º C ) 110º D) 115º E) 100º
38. Sea el triángulo equilátero ABC; R es un punto interior de este triángulo y E es un punto exterior respecto al lado BC , de modo que el triángulo RCE es equilátero, el ángulo RAC mide 32º y el ángulo RCB mide 10º. Hallar la medida del ángulo REB. A) 40º B) 45º C ) 55º D) 38º E) 30º
GEOMETRÍA
|32
VTEMA 08 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
RAZÓN DE SEGMENTOS : La razón de dos segmentos de recta, es la razón de los números que expresan las longitudes de estos dos segmentos, cuando se les a medido con una misma unidad.
TEOREMA DEL EXCENTRO
TEOREMA DE THALES: Si tres más rec tas pa ralelas son intersec ad as po r dos o má s rectas secantes, los segmentos determinados sobre las sec antes son respectivamente p roporcionales Si L1 // L 2 // L 3
AB BC
S1
MN
AB
ó
NP
MN
BC NP
x b y E
TEOREMA DE MENELAO: m
b
a n
S2
A
c
M
B
p
L1
N
L2
C
P
TEOREMA DE CEVA: m
L3
Cevacentro
b
a
n
COROLARIO: Una recta pa ralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos determina sobre ellos segmentos proporcionales.
b
a E
c d
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
c
L
D
b
DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados homólogos correspondientes proporcionales.
d
A
c
a
m
x
a
m
x
B
C
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisec triz interior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre el lado opuesto
c
c
p
B
Si: L //AC a
a
c
Dos pares de segmentos AB , CD y EF , LM son proporcionales si se verifica: AB EF k CD LM
2
n
B'
A
C
C'
A'
Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos homólogo s son p roporcionales (lados, alturas, medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.)
a.c m.n
B N
n a
TEOREMA DE LA BISECTRIZEXTERIOR: En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son proporciona les a los segmentos que d etermina dicha bisec triz sobre la p rolonga ción d el lado opuesto
c
H R
A c m
c
a n
a m
b n
c p
H h
n
R r
... k
x 2 m.n a.c n
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: VI) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pa res de á ngulos respectivamente c ongruentes.
TEOREMA DEL INCENTRO : x c
P
x
a
m
r
C M
b
Si: ABC MNP
m
p h
x
a I
y b
y
ac b
GEOMETRÍA VII) Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un par de ángulos respec tivamente congruentes y las longitudes de los lados que forman a dichos ángulos respec tivamente proporcionales.
2)
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina tres triángulos semejantes. B
B
N
c
c.k bk
CM
b
3)
C
H
P
VIII) Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respec tivamente p roporcionales.
Los triángulos ABC y EBD son semejantes B
B
N a
c
A
ABCAHBBHC
A A
|33
a.k
c.k
CM
b
b.k
D
P
OBSERVACION: 1) Una rec ta pa ralela a un lad o y sec ante a los otros dos lados de un triángulo, determina dos triángulos semejantes.
E
A
C
B E
D
L
A
ABCEBD
C
EJERCICIOS 1.
En un ABC, AB=8, BC=6 y AC =7 se traza la bisec triz interior BD . (D en AC ). Calcular: AD DC . A) 2 B) 0,5 C) 1 D) 1,5 E) 0,75
2.
7.
AB y BC en los puntos P y Q respectivamente, de modo que BP =20 , BQ =30 y AP +QC =22 . Ca lcular PQ.
En un triángulo ABC, se traza la base media relativa al lado AC y la distanc ia del baricentro a la ba se media es k. Hallar la altura del triángulo ABC relativa al lad o AC . A)4k B)6k D)3k E)7k
3.
C )5k
8.
Dado un triángulo ABC, donde BC AC AB , se tiene que BC 5 y AC , AB son números enteros. Si E es el punto EXCENTRO correspondiente al lado AB , donde m(AEB) 45º , al calcular la distancia entre el ortocentro y circuncentro de dicho triángulo, se obtiene: A)15/2 B)13/2 C )17/2 D)13/3 E)15/4
5.
La altura BH de un triángulo acutángulo ABC mide
B) 20 7
D) 22 7
E) 18 7
C ) 10 7
En un triángulo isósceles ABC , (AB =BC) ; la mediatriz , H AB , tal que FH=1 y A) 2 B) 3 D) 6 E) 4
excentro relativo al lado BC es 14 y el lado AB mide
4.
A) 15 7
de BC interseca a AC en F. Por F se traza FH//BC
En un triángulo ABC, la distancia del vértice A a su incentro es 10, la distancia de su incentro a su 12. Hallar la medida del lad o AC A)20 B)10 C )15 D)18 E)16
Por el baricentro de un triángulo equilátero ABC, se traza una recta secante, que interseca a los lados
9.
FC= 6 . Calc ular AB C) 5
Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el ángulo ABC mide 53o y la distancia del circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud del segmento determinado por los pies de las alturas trazadas desde C y A. A) D)
48 5 44 5
B) E)
48 7 47 7
C)
46 5
.
10. En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. A) 2,5 B) 3 C ) 2,3 D) 3,5 E) 4
27cm; si la recta de Euler es pa ralela a l lado AC , la distancia del circunc entro del triángulo a AC , es: A)9cm B)6cm C )5cm D)13cm E)12cm
6.
Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros positivos consecutivos. Calcular su perímetro, sabiendo que la medida del mayor ángulo interior es el doble de la medida del menor ángulo interior. A) 21 B) 13 C ) 18 D) 12 E) 15
11. En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se trazan DE//BC y DF//AB , ( E AB , F BC ) . La prolongación de EF intersec a a la prolongac ión de AC en P, tal que AD =3 y CP = 4. C alc ular DC. A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 2 E) 5/2
GEOMETRÍA 12. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D, se intersec an en un punto de la diagonal AC . Si AB = 6, BC =8 y CD =12. C alcular AD. A) 9 B) 10 C ) 15 D) 7 E) 11 13. En la figura se sabe que: 3AB DE = 9. Calcular AC . A) 4,5 B B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
2BE , BC
C
A
E
D
, MO 4 , al calcular la medida de RO , se obtiene: R
D x
A)3 B)4 C)1 D)2 E)6
C 5 37º
A
14. En la figura AB BC CD DA , si SO 2 , NO 3 D
15. En la figura, el valor de x, es:
BD y
10
B
16. Calc ular KC, si JK//AC , 5BJ =3AJ , BK =12 A) 20 B B) 30 C ) 15 D) 4 E) 16 K J
C A
A)1/2 B)2 C)1 D)3/2 E)3
|34
C
O S
N
A
B
M
CONGRUENCIA, PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS EJERCICIOS 1.
B
A) 3 B) 4 C ) 4,5 D) 3,5 E) 5
3.
C
Calcular la longitud del lado del cuadrado PQRS; si AS = 4 y RC =9. A) 3 B B) 4 P Q C) 5 D) 6 E) 7 A
R
S
A) 9,6 B) 12,8 C ) 7,2 D) 6,4 E) 15,6
4.
N
C
Q
Hallar el valor de x en la figura: A) 2,5 B) 2 C) 3 D) 2,75 E) 3,5
7.
En un ABC se traza las bisectrices, interior BD y exterior BF , si AD=10 y DC=6. C alcular CF. A) 16 B) 24 C ) 45 D) 48 E) 36
8.
En un ABC se traza la ceviana interior AR y luego RE // AC y EF // AR (E en AB y F en BR ). Si BF=5 y FR=3. Calc ular RC. A) 4 B) 3,8 C ) 4,8 D) 5 E) 5,6
9.
En un ABC, AB=20, BC=10 y AC =21 se traza las bisectrices interior BD y exterior BE, hallar DE. A) 17,5 B) 28 C ) 20 D) 25 E) 15
15 1 y
M
A
12
E F
mediana BM si: m En un ABC,, AB=12, se traza la A C MBC=m A+m C.. Calcular BM.. D A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 6
B
P
B
6.
C
En la figura MN // BC , AN = NQ, AM=28, MB MP=18. Calcular PQ.
En la figura AD = DC , BC=2AB, BE=8 y EF=3. Calcular FD. A) 5 B) 6 C ) 6,6 D) 7,2 E) 5,4
F
A
2.
5.
En la figura BF = 1, y FC = 8. Hallar AB.
10. En un ABC, AB = 16, se traza la mediana BM . Hallar BM, si: m
8
x 5
11. En un ABC, BD es bisectriz interior. En los triángulos ADB y BDC, DE y DF son ta mbién respectivamente bisectrices interiores. Si AE=5, EB=15 y BF=12. Hallar el valor de FC. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
GEOMETRÍA 12. Los lados de un triángulo ABC miden AB =8, BC =10 y AC = 12. Hallar la longitud de la paralela a AC trazad a por el incentro del triángulo ABC. A) 9,2 B) 7,2 C ) 4,2 D) 6,2 E) 8,2 13. En un AB de BC tal que m
|35
18. En un triángulo ABC, isósceles AB=BC, la mediatriz de BC interseca a AC en el punto R. Luego se traza RF // BC AB, es: A) 3 D) 2,5
(F en AB ). Si RF=1 y RC= 6 el valor de B) 1,5 C ) 3,5
C) 2
19. En un ABC, AB=BC=10 y AC =8 la circunferenc ia inscrita es tangente a AB en E y BC en F. calcular EF. A) 4 B) 4,2 C ) 4,5 D) 4,8 E) 5
14. En un triángulo ABC, la mediana AM interseca a la ceviana BR en el punto F. Si AR = 2RC y AM = 10. Hallar el valor de FM. A)3 B)2 C )4 D)1 E)3/2 15. En un cuad rilátero ABCD, el ángulo externo en D mide
20. ABCD, es un trapecio recto en A y B, BC=4 y AD=9. Si M, es punto medio de AB y CM MD , calcular AB. A) 6 B) 9 C) 8 D) 12 E) 16
la mitad del ángulo interior en B y la diagonal BD bisec a al ángulo ABC. Hallar el valor de BD, si AB = 16 y BC =9. A) 10 B) 11 C ) 12 D) 13 E) 14
interior AF y luego FR // AC (R en AB ). Calcular RF. A) 4 B) 6 C ) 4,8 D) 5 E) 5,6
16. En un ABC m
21. En un ABC, AB = 12 y
AC = 8. Se traza la bisec triz
22. En un triángulo ABC, P y Q son puntos de AB y BC , respectivamente, de modo que PQ // AC . Hallar la longitud de PQ , Si el triangulo PBQ y el trapecio APQC , tienen igual perímetro, siendo: AB =12, BC = 8 y AC = 10. A) 5 B) 6,75 C) 8 D) 3,75 E) 7,5
GEOMETRÍA
|36
TEMA 09 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS
PROYECCIONES ORTOGONALES EN TRIÁNGULOS a) Triángulo Acutángulo. B AB = c a
c m
ii.
n H
C
AC = b
b
Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado AC . Pr oy
AC
CA
m b = b c n a = a c
2
2
a = c. n
a = c.n
c) El produc to de las longitudes de los catetos es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud d e la a ltura relativa a la hipotenusa. ab = ch
d) También se cumple: 1
CH , CH n
CB
b = c.m
b = c.m
AH , AH m
AB
Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado CA . Pr oy
i.
BC = a
h A
b) La longitud de cada cateto es la media geométrica de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección ortogonal de este cateto sobre la hipotenusa.
a
2
+
1 b
=
2
1 h
2
TEOREMA 3 (Teorema de Pitágoras): Si un triángulo es un triángulo rectángulo entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuad rad o de la longitud de la hipotenusa.
b) Triángulo Ob tusángulo. B AB = c h
2
a
c
m H
C
b
A
AC = b
Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado CA . Proy
CA
AB = AH , AH m
Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado CA . Proy CB = CH , C H = b + m CA
2
a +b c
BC = a
2
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 1. TEOREMA DE EUCLIDES: a) En cualquier triangulo oblicuángulo, el cuadrado de la longitud de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección ortogonal del otro lado sobre él. B
c
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Consideremos el triángulo rectángulo ACB, el ángulo recto en C, la altura CH , H AB , donde AC=b, CB=a, AB=c, C H=h, AH=m y HB=n. C
b
A
a
m
m
n
H
b
Respecto al
BAC
Respecto al
a =b +c -2b.m BCA
TEOREMA 1: En todo triángulo rectángulo, la altura respecto a la hipotenusa, determina dos triángulos rectángulos parciales semejantes entre sí y semejantes al triángulo rectángulo total.
TEOREMA 2: En todo triángulo rectángulo (ver figura *) se verifica: a) La longitud de la altura relativa a la hipotenusa es la media geo métrica de las longitudes de los segmentos de la hipotenusa determinados por dicha altura. 2
2
2
2
2
2
b) En cualquier triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto del ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyección ortogonal del otro lado sobre él.
AHC R CHB R ACB
h = m.n
2
B
c
R
C
n
H
c = b + a - 2b.n
Figura (*)
m h = h n
A
h
a
h
h = m.n
B
h
a c
m H
C
b
A 2
2
2
a =b +c +2b.m
GEOMETRÍA 2. TEOREMA DE HERÓN:
4. TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA B
B
a
c
A
H
|37
a
c
A
C
H
b
Sobre el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC=b y
AM =MC
hb es la longitud de la altura relativa al lado AC ,
Proy
entonces:
CA
BM = H M , entonces 2
HM =
2 b a+b+c Donde: p = 2 hb =
C
M b
p p-a p-b p-c
2
a -c ; con a > c 2b
3. TEOREMA DE LA MEDIANA: Sea el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC =b y m b es la longitud de la mediana respecto al lado AC , entonces: B
c
A
h
mb
H
M
a
C
b/2
b/2
b 2
2
2
c + a = 2 mb +
2
b 2
EJERCICIOS 1. A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 4
x
2
6
2. Los lados de un triángulo miden 7, 8 y 9. Encontrar la medida d e la mediana relativa al lado q ue mide 8. A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7
5. En un triángulo ABC, hallar la medida del ángulo A, sabiendo que entre las longitudes de sus lados correspondientes se cumple a 2 b 2 c 2 bc A)45º B)60º C )75º D)30º E)55º 6. En un triángulo ABC rec to en B, AB=12m y BC=9m. calcule la longitud de la bisectriz trazada desde A. A) 10 B)4 10 C )2 10 D)3 10
E)5 10
7. En un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en 3. En la figura calcular el valor de x. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
1
x 7
10
4. Los catetos de un triángulo rec tángulo miden 15 y 20. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 10 B) 11 C ) 12 D) 13 E) 9
B, en los lados AB y AC se ubican los puntos M y N respectivamente, tal que AM =MB, MN AC , AN = 8 y NC = 10. Calc ular BC. A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 7
8. Dado el triángulo rectángulo ABC, recto en B, sean P BC y Q AC , tal que AB=BQ, Q P=PC , AB=8u y PC=6u. hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A)
16 5 3
D) 16 5
B)
16 5 5
E) 16
C)
16 5 7
GEOMETRÍA
|38
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH , luego se traza HG y HL pe rpendiculares a AB y BC respectivamente, después de trazar GE y LF perpendiculares a AC . Hallar FC, si AE=1u y EH=2u. A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
10. trazan BH AC y HM BC . Hallar HM. (H AC y M BC ) 10 6 B) 3
D) 10 6
E) 10
5 6 C) 7
11. En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, M es punto medio de AB , tal que la distancia de M a AC y a BC son 20u y 15u respectivamente. Calcular la longitud d e la a ltura del triángulo ABC relativa al lado AB A) 15 D) 25
B) 22 E) 18
C ) 24
12. La razón de los cuadrados de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es 5/8 y la proyección ortogonal de la mediana relativa a la hipotenusa sobre esta mide 6. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 40 B) 50 C ) 52 D) 35 E) 42 13. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 6 2 y la mediana relativa a este cateto interseca perpendicularmente a la mediana relativa a la hipotenusa. Calcular la longitud del otro cateto. A) 8 B) 7 C) 6 D) 10 E) 12 14. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en B; en el lado AC se ubican los puntos D, E y F, tal que A, D, E, F y C son puntos consecutivos; M es punto medio de BC , de modo que BD AC , EM BC , MF AC , DE=1u y FC=5u. Hallar la longitud d e la a ltura relativa a la hipotenusa.
A) 4 5
B) 3 5
D) 5 5
E) 4
C) 2 5
15. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo recto, determina sobre la hipotenusa segmentos de longitudes 2u y 3u. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 20/13 B) 25/13 C ) 30 D) 30/13 E) 13 16. En un triángulo rectángulo BAC, recto en A, donde la longitud de uno de los ca tetos es 9u y la longitud de la hipotenusa es 15u, determinar la longitud de la proyección ortogonal del otro cateto sobre la hipotenusa. A) 10 B) 9 C ) 9,6 D) 8,5 E) 7,5 17. Del siguiente gráfico. ¿qué relación o relaciones no son c orrec tas?
II) III)
c h
b a
el
2
b
de la figura y BC BN 3k ,
AC 2k , AN k , k R , Calcular la medida de CN
3k
A)
C
2 4k
B)
D)
3 5k 2 2k
A
B
N
3
E)2k 19. En un triángulo rectángulo los cuadrados de las longitudes de sus catetos son proporcionales a los números 9 y 16, respectivamente. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 4,8 cm, entonces la suma de las medidas de sus catetos, es: A)7cm B)10cm C )14cm D)16cm E)12cm
20. En un triángulo ABC, la altura BH mide 6 y la medida del ángulo ABC es 45º. La recta de Euler es paralela a l lado AC . Hallar la distancia del circuncentro al vértice A. A)4 3 B) 2 C) 2 3 D) 2 2
E)2
21. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura de BH y la bisec triz interior CD que se intersecan en el punto M, N BC de modo que BC ; si CN=4BN y BM=5, determinar la longitud
MN
de AM . 351 3
A)
825
B)
D)
671
E) 2 55
C)
985 4
22. En un triángulo ABC, la base AC= 20m, se traza la altura BH (H AC ), determinar la longitud de AB si, AB-BC=4 y AH-HC =8. A) 20 B) 23 C ) 22 D) 30 E) 35 23. En un triángulo rec tángulo ABC, rec to en B se trazan las medianas AM y BN de modo que AM BN . Determinar la longitud de AB si BC=b. A)
b 2
D)
b 3 2
B) E)
b 2 2
C)
b 3
b( 5 1) 4
24. En un triángulo rectángulo, la longitud de la altura trazad a desde el vértice del ángulo recto mide 26,4m y los cuadrad os de las longitudes de los catetos están en la relación 9/16. Entonce s uno de los catetos mide: A) 11 B) 25 C ) 30 D) 33 E) 22 25. En un triángulo rectángulo ABC , rec to en B, la longitud hipotenusa mide 12u y BC=9 5 u Calcular el valor de
bn a
ABC
m(BCN) m(BAC) m(ABC)
de la proyección ortogonal del lado AB sobre la
2
triángulo
C ) I y IV
a
a mb n c 1 1 2 m n h am
B) III, IV y V E) Sólo V
b
IV) abh cmn V)
18. En
C)
10 6 A) 7
I)
A) III y V D) IV y V
1
b
a
h m
n c
AB . A) 20 D) 18
B) 12 E) 16
C ) 14
GEOMETRÍA 26. Las longitudes de las proyec ciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo son 2 números enteros consecutivos y la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 42 u. Determinar la longitud de la hipotenusa. A) 6 D) 15
B) 7 E) 11
|39
28. Las longitudes de los lados de un triángulo son AB = 40/3 AC = 14/3 y BC =10. Determinar la longitud de la altura relativa al lado AC . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
C ) 13
29. En un triángulo acutángulo ABC se trazan las alturas BE y CD , donde AC.CE=88m2 y AB.BD=108m2.
27. La longitud de la altura d e un triangulo rectángulo co n respecto a la hipotenusa mide 3 34 m y las longitudes de los catetos están en la relación de 3/5. Determinar la longitud del ca teto mayor. A) 7 B) 17 C ) 54 D) 34 E) 14
Determinar la longitud de BC . A) 13 B) 14 C ) 15 D) 16 E) 17
EJERCICIOS DE REPASO 1.
es verdadera y c on
Un triángulo acutángulo es un conjunto convexo. VI) Un cubo y una esfera pueden ser equivalentes VII) Dos rectángulos son siempre semejantes. VIII) El interior de un cuadrilátero es un conjunto convexo. A)FVVF B)FVVV C )VFVF D)FVFV E)FVFF
7.
Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C tal que AB AC 18, luego se toma el punto medio M del segmento BC. Ca lcular AM. A) 10 B) 8 C) 9 D) 18 E) 16
8.
Sea n los puntos colineales y consec utivos A, M, B y C tal que M es punto medio de AB , AB.MC AC.BC y AB=8. Hallar la longitud del segmento BC . A) 2 2 B) 4 2 C) 4 D) 2 E) 8 En una recta se ubican los puntos consec utivos A, B, C y D de modo que (AB)(AD)=5(BC)(CD) y
V)
2.
Dadas las sig I) Si a una recta AB se le extrae el punto A, la
resultante es un conjunto convexo. Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. III) Dos cuadrados son siempre semejantes. IV) Si un arco de circunferencia y un segmento de recta tienen la misma longitud entonces son equivalentes. A)VFFV B)VFFF C )FFVV D)VVVV E)VVVF
9.
x y CD AC
II)
3.
I) La intersec ción de dos planos es un segmento II) El interior de una circunferencia es un círculo. III) El vértice de un ángulo es un conjunto c onvexo. IV) Dos segmentos equivalentes son congruentes A)FVFV B)FFVV C )FFFV D)VFFV E)FFVF 4.
Dadas las siguientes proposiciones. indicar
I)
La intersección de dos conjuntos no convexos puede ser un conjunto convexo. II) Si a una región triangular ABC, se le extraen los vértices A, B y C, entonc es la región resultante es un conjunto convexo. III) La intersección de dos regiones triangulares es un conjunto convexo. IV) Si a una región triangular se extrae una altura el conjunto resultante pued e ser convexo. A)FVVV B)VVVV C )VVVF D)VVFV E)FFVF 5.
10.
Calcular: A) 2 D) 4
w AC
x AB
1 , AD
(PR)(RU)
medida d e CR . Es: A) 1 B) 1/2 D) 4 E) 8
C) 2
4
C ) 12
Sean los `puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E; tal que AC AD BE CE 52 , 5 BD 3 AE . Calcular AE. A) 13 B) 14 C ) 16 D) 26 E) 20
13.
Encontrar la medida de un ángulo si es igual a ocho veces su suplemento. A) 160º B) 130º C ) 140º D) 120º E) 150º
14.
El complemento del suplemento de un ángulo es igual al doble del suplemento del doble del ángulo. Hallar la medida del ángulo. A) 72º B) 80º C ) 90º D) 60º E) 85º
15.
El complemento de la diferencia que existe entre el suplemento de un á ngulo y su complemento es igual a los 4/5 de la diferencia que existe entre el suplemento y el suplemento del suplemento del mismo á ngulo. Hallar la medida del á ngulo. A) 80º B) 85º C ) 90º D) 70º E) 75º
16.
El suplemento de la sustracción del suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la sustracción entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular la medida d icho ángulo. A) 70º B) 120º C ) 80º D) 90º E) 100º
C) 3
Sean los puntos C, P, R y U colineales y consecutivos, RU PR 1 tal que (CP)(RU) (PR)(CU) y , la
B) 10 E) 9
Calcular la diferencia de las medidas de dos ángulos sab iendo que la suma de sus medida s es igual a 60° y el duplo del suplemento de uno de ellos es igual al triple del complemento del otro. A) 46° B) 44° C ) 42° D) 38° E) 48° 12. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º más el suplemento de otro ángulo que mide 105º. A) 120º B) 130º C ) 140º D) 90º E) 150º
wx
B) 1 E) 6
z . El valor de x y z , es: AB
11.
En una rec ta se ubican los puntos consec utivos A, B, C y D; tal que AB.CD x.BC.AD y
6.
A) 13 D) 11
GEOMETRÍA 17.
Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, se trazan las bisectrices OX del ángulo AOB y OY del ángulo CO D. Si la med ida del ángulo AO C es 25º y la medida del ángulo XOY es 45º, entonces la medida del á ngulo BOD, es: A) 60º B) 45º C ) 65º D) 70º E) 30º
18.
Los ángulos AOB y BOC son consecutivos y complementarios. OM, ON, OP son bisectrices del AOB, BOC, MON , respectivamente. Calcular la m PON . A) 30º B) 22,5º C ) 25º D) 45º E) 20º
19.
En la región interior del áng ulo rec to AO B se trazan los rayos OE y OF de manera que los ángulos AOE, EOF y FOB son consecutivos, si , entonces la medida del m EOB m AOF 125º 1 ángulo EOF, es: A) 35º B) 45º C ) 55º D) 65º E) 75º
20.
21.
Los ángulos AOB y BOC forman un par lineal y se diferenc ian en 60º. Se trazan las bisectrice s OP y OY de dichos ángulos respectivamente; OZ es bisectriz del ángulo POY. C alcular m BOZ . A) 9º B) 10º C ) 12º D) 15º E) 18º Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que OB es bisectriz del AOD , OC es bisectriz del BOE , 3m COD 2m DOE , si el ángulo EOB es agudo, hallar el máximo valor entero de
28.
Hallar el complemento de la sustracción de las medidas de dos ángulos tales que la medida del primero excede en 60º al complemento de la medida del segundo; y la medida del segundo ángulo sea igual a la medida de la mitad del suplemento del primer ángulo. A) 1º B) 0º C ) 90º D) 180º E) 30º
29.
Si la diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes es 20°. Hallar la medida del ángulo que forma el lado común con la bisectriz del ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos adyacentes. A) 10° B) 15° C ) 5° D) 17° E) 20
30.
Se tienen los ángulos consecutivos AO B, BOC y COD. Si m( AOB) 17º y m( COD) 43º , calcular la medida del ángulo formad o por las bisec trices de los ángulos BOC y AOD. A)13º B)30º C )18º D)26º E)27º
31.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD luego se trazan las bisec trices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar la m(AOB) si m( XOC) m( m XOD) 4m( m BOZ) 80º 80
A) 40° D) 20° 32.
B) 50° E) 30°
22.
B
D)
8
4
B) E)
6
C)
A)6 B)5 C)8 D)10 E)4
F D E
2
33.
3
Los ángulos AOC y BOC son c omplementarios donde m(BOC) m(AOC) ; si se traza la bisec triz OX del ángulo AOB, el cálculo de la medida del ángulo COX, es: A)15º B)45º C )5º D)30º E)25º
24.
Un ángulo mide la mitad de su co mplemento y el otro ángulo mide 1/3 de su suplemento. Calcule el suplemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A)80º B)100º C )110º D)75º E)105º
25.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; se trazan las bisectrices OX , OY y OZ de los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Hallar AOX 2 m( BOZ) , si m(BOY) m( AOX) A) /2 B)2/3 C)2 D) /3 E)
26.
Calc ular el mayor valor entero que puede tomar uno de los lados de un triángulo cuyo perímetro es 20. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
27.
C ) 70º
Se tienen los ángulos consecutivos AO B. BOC y COD, tal que m(AOB) m( COD) . Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BOD y AOC. A)
23.
B) 62º E) 84º
Si los x/y del co mplemento de la sustrac ción entre el suplemento y el complemento de es igual a los m/n de la sustracción entre el complemento de y el suplemento del suplemento de , hallar . A) 90º B) 60º C ) 45º D) 30º E) 15º
C ) 45°
En la figura, si EC =10 y EF =6, El valor de AD, es:
m AOB
A) 65º D) 86º
|40
En la figura, el e AABC es equilátero,, DA C 4 , DC 3 . Calcular el máximo valor entero del perímetro del triángulo ABC. A
A) 18 B) 19 C ) 20 D) 21 E) 22
D
B
C
34.
En un triángulo ABC, la med ida d el ángulo exterior en A es 126º y las medidas de los ángulos interiores en A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De que tipo de triángulo se trata? A) Escaleno B) Rectángulo C ) Isósceles D) Equilátero E) Obtusángulo
35.
En un triángulo rectángulo ACD recto en C, sobre el lado AC se c onsidera el punto B, de modo que 2 2 BC 2 AB y ( AD) (BD) 45 . Hallar AC . A)10 B)6 C )12 D)9 E)14
36.
En la figura, BD es bisectriz del ángulo ABC y BM es mediana relativa a la hipotenusa. Calcular m AEB . B
A) 53º B) 37º C ) 60º D) 30º E) 45º
E A
D M
C
GEOMETRÍA 37.
En
un
triángulo
m( A) 45 º
ABC,
y
46.
m( C) 53 º. C alcular el valor de BC si AC 14 . A) 8 D) 9 38.
B) 10 E) 11
39.
Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se toma el punto Q , siendo AB CQ. Las mediatrices de
En ambos lados de una recta L se toma los puntos A y B, sus proyectantes miden 3 y 8, la proyección de
47.
40.
B)
D) 4 7
E) 2 91
Los catetos de un triángulo rec tángulo miden 2 y 3. Hallar la relación de sus proyecciones sobre la hipotenusa. 2 B) 3 10 E) 9
4 A) 9 7 D) 9 41.
49.
B)
D) 6
E) 4 5
que
C) 4
5
AF
y
B D
3xº 4xº
A
C
M
P
43.
BD EC ; DN EN ;
BM MC. B 80 º
D
N
M E
O
x
C
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se trazan la mediana BM y la ceviana interior CD las cuales se cortan en N tal que BN NM. Hallar DM si CD 16. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 En la figura siguiente se pide hallar BH si: AP 10 ,
AH 8, BC 40 y AM MC. B E P H
M
2 2
1
B)
3
2
E)
3
2
C) 2 1
C
del punto medio N de AC a la mediana es 2cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4
A
sean
ceviana interior AF y la altura BH . Calc ular BC, si: AF FC HC 1 .
En un triángulo ABC, BC, sse traza aza la la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la med iana, si la distancia
A) 20 B) 22 C ) 24 D) 25 E) 26
BM
En un triángulo rectá ngulo gulo ABC A rec to en B, se traza la
A)
A
mediana
E
50.
D)
A) 30º B) 37º C) 40º D) 45º E) 50º
la
En la figura, si AB=BC; AE=CD y BE=BD, entonces el es: A) 20º B) 25º C ) 18º D) 30º E) 45º
N
A
45.
A) 2 5
perpendiculares, se traza FN perpendicular a AC . Calc ular BF, si AN 8 y NM 1 . A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 5
19 C) 4
B
44.
Los radios de dos circunferencias miden 3 y 5, la distancia entre los centros es 12. Hallar la longitud de una de las tangentes comunes interiores.
En la figura BM y CN son medianas, BP es altura. Calc ular el perímetro d el MNP. Si AB=6, BC=7 y AC =5. A) 6,6 B) 5,8 C) 6 D) 4,5 E) 7,8
42.
rectángulo ABC (m( B) 90º y AB BC), sobre la hipotenusa se
modo
C ) 11
22 1
triángulo
48.
AB sobre la recta L mide 10. Calcular AB .
A) 13
un
toma un punto D de modo que CD AB, si la s mediatrices de BC y AD se cortan en Q. Calcular el ángulo AC Q sabiendo que el ángulo BAC mide 64º. A) 20º B) 22º C ) 32º D) 64º E) 26º
C ) 12
BQ y AC exterior del triángulo. Hallar la medida del ángulo CRQ, si el ángulo ACB mide 20º. A) 10º B) 20º C ) 15º D) 30º E) 25º
En
|41
C
51.
En un triángulo rec tángulo ABC recto en B, se traza su altura
BH
,
luego
se
trazan
HE
y
HF
perpendiculares a los lad os AB y BC . Calcular BE, si AE 1 y FC 8 . A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
G E O M E T R Í A |42
TE TEMA 10 CUADRILÁ TEROS CUADRILÁTERO DEFINICIÓN: Dados los puntos cop lanares, diferentes y no colineales A, B, C y D, se denomina cuad rilátero a la unión de los segmentos AB, BC, CD, AD , tal que: Ningún pa r de segmentos se intersec an, excepto en sus extremos. Ningún pa r de segmentos consec utivos son colineales. Notación: BC CD AD ABCD := AB ABCD : Cuadrilátero ABCD B C
2)
En todo cuadrilátero convexo la suma de las longitudes de las diagonales es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro. p AC BD 2p
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS De a cuerdo a l paralelismo de sus lados, se tiene: I) TRAPEZOIDE Es aquel cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos. 1) TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO: Sus lados tienen diferentes medidas C B
D
A
CUADRILÁTERO CONVEXO:
A
B
D
Teorema de Euler: En todo cuadrilátero convexo ABCD, con M y N puntos medios de las diagonales, se c umple:
C
( AB )2 (BC)2 (CD)2 (D A )2 ( A C) 2 (B D) 2 4(M N)2 C
A
D
B
CUADRILÁTERO NO CONVEXO: B
M A
C
2) A
D
D
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO: Una de sus diagonales es parte de la mediatriz de la otra diagonal
CUADRILATERO CONVEXO:
2
B
2
b
C
c
1 A
4
1)
L
4
d
A
D
Elementos: Vértices: A, B, C, D AB , BC , CD y DA Lados: Medidas respectivas: a, b, c y d Ángulos interiores: DAB, ABC, BCD y CDA Medidas respec tivas: 1 , 2 , 3 y 4 Ángulos exteriores: Medidas: 1 , 2 , 3 , 4
D
B
C
3 3
a
1
N
Diagonales: AC y BD Perímetro: P a b c Semiperímetro: p
d
ab cd
Propiedades: AB = BC y CD =DA BD es pa rte de bisec triz del
ABC y
II) TRAPECIO Es el cuadrilátero convexo que posee un par de lados opuestos paralelos a los cuales se les denomina bases El segmento perpendicular a las bases, con extremos contenidos en ellas o en su prolongación se denomina altura y el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio. B
T
M
C
N
2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES: En todo cuadrilátero la suma de las medidas de los ángulos interiores es 360º 1 2 + 3 + 4 360º
CDA
A
H
D
G E O M E T R Í A |43 Propiedades: CLASIFICACIÓN: 1) ROMBOIDE: Paralelogramo propiamente dicho. B C
C
B
M
N P
Q
P
A
A
D
Los ángulos adyacentes a los lados no paralelos son suplementarios La longitud de la mediana es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases AD BC MN 2 La mediana es paralela a las bases
2)
D
AB = CD y BC =DA AP = PC y BP =PD m( BAD) m( BCD) m( ABC) m( ADC) RECTÁNGULO: Es un paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos (Cuadrilátero equiángulo) B
C
MN// AD//BC
1)
La longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales, es igual a la semidiferencia de las longitudes de sus bases AD BC PQ 2 AP = PC y BQ = QD TRAPECIO ESCALENO: Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de diferente longitud. BC // AD ; AB CD C
B
A
2)
P A
3)
AB = CD y BC =DA AP = PC =BP =PD Las diagonales de un rectángulo son congruentes: AC = BD.
CUADRADO: Es un rectángulo que tiene los cuatro lados congruentes (Paralelogramo equiángulo y equilátero) B C
D
P
TRAPECIO RECTÁNGULO: Uno de sus lados laterales es perpendicular a las ba ses B
C
A
A
3)
D
B
C
AB = BC =CD =DA AP = PC =BP =PD Las diagonales de un cuadrado son congruentes: AC BD
D
TRAPECIO ISÓSCELES: Sus lados laterales son de igual longitud. BC // AD ; AB CD
D
Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares: AC BD y son parte de las bisectrices de sus ángulos interiores.
4)
ROMBO: Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes (Paralelogramo eq uilátero) B
A
D
Los ángulos adyacentes a los lados paralelos son congruentes. Las diagonales son co ngruentes.
III) PARALELOGRAMO: Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. AB//CD , BC//DA B
C
A
D
Propiedades: 1. En todo paralelogramo una diagonal determina dos triángulos congruentes 2. En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. 3. En todo paralelogramo los lados opuestos son congruentes. 4. En todo paralelogramo, los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. 5. En todo paralelogramo Las diagonales se intersecan en su punto medio es decir se bisec an mutuamente.
C
D
A
P
AB = BC =CD =DA AP = PC y BP =PD Las diagonales de un rombo son perpendiculares: AC BD y son bisec trices de sus ángulos interiores. El punto de intersec ción de sus diag onales equidista de los lados del rombo
G E O M E T R Í A |44 PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS 1)
B
.
C
a
x
a
b
x
b
A
TEOREMA DE VARIGNON: En todo cuadrilátero convexo, los puntos medios de sus lados son vértices de un paralelogramo.
2
D
B B
2)
M C
C
a a
x
x
b b
A
a
a
A
D
C
x
N
2
b b
B
3)
S
x
2
D
A B
a a y
4)
b
C b
x y 180º
x d d
A
c
c
D
R
D
Si S, M, N y R son puntos medios de AB , BC , CD y DA , respec tivamente, entonce s: I. Cuad rilátero MNRSes un paralelogramo II. MN NR RS SM AC BD
COROLARIO: (del teorema a nterior) 1) Si AC BD entonces MNRS es un rombo. 2)
Si AC BD entonc es MNRS es un rec tángulo
3)
Si AC BD y AC BD entonces MNRS es un cuadrado.
G E O M E T R Í A |45
EJERCICIOS 1.
En un trap ec io ABCD ; BC//AD , y AD BC
30 , si
AD M y N son puntos medios de BC y respectivamente, tal que; m( BAD BAD) m m( CDA CDA) 90 la medida de MN es:
2.
A) 30
B) 25
D) 35
E) 15
M
C
Q
C) 90 D) 80 E) 48
Exterior a un rombo ABCD de diagonal mayor BD , se construye el cuadrado BCEF. Hallar la medida del menor ángulo formado p or la prolongación de AC y ED A)60º D)37º
B)45º E)53º
C )30º
4.
En un rombo ABCD, encontrar la medida del ángulo formado por las bisec trices de los ángulos BAC y BDC. A)75º B)30º C )45º D)15º E)60º
5.
El perímetro de un rombo es 24 3 , uno de los ángulos interiores mide 120º. Calc ular la distancia que hay entre los lados opuestos. A)5m B)7m C)12m D)6m E)9m
6.
7.
8.
En un rec tángulo ABCD, donde AB
75 º ; B
90 º y C 60 º , las
medida del ángulo AOD; sabiendo que los lados BC y CD son congruentes. A)30º B)60º D)35º E)75º
C )45º
10. En un trape zoide simétrico ABCD , cuyas diagonales miden 10 y 24. Si M , N , P y Q son puntos medios
11. En la figura adjunta: ABCD es un trapecio BQ=6cm, QC=2cm, AD=12cm, N punto medio de HM y AM=MD, calcular NQ. (en cm) A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 10
D
3.
C) 53º
de los lados AB , BC , CD y AD respectivamente, entonces MP es: A) 13 B) 15 C ) 12 D) 11 E) 16
P
A
B) 35º E) 45º
BC ,
B
B) 58
exterior del trapecio relativo al lado BC ). Si EDC DC) 37 º , entonces m( BAD) BAD 105º y m ( E A) 31º D) 30º
m( A ABC BC) 74 , PQ 5 y PQ//BC , el perímetro del rombo ABCD ,es:
A) 60
En un trapecio isósceles ABCD , AB//CD y AB DC , el triángulo DCE es isósceles ( E punto
m( BCE BCE) es:
C) 20
En la figura, si M es punto medio de
9.
Q
B
H A
C
N M
D
12. Se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un c uadrilátero convexo, cuyas diagonales miden 28cm y 40cm, obteniéndose un nuevo cuadrilátero, cuyo perímetro es: A)40cm B)34cm C )68cm D)102cm E)28cm 13. En un romboide ABCD se traza la bisectriz AE (E en BC ) y CD =6 m. Calcular la longitud del segmento determinado por los puntos medios de AC y ED A) 2m B) 3m C) 10m D) 5m E) 4m 14. En un rectángulo ABCD se toman los puntos medios E de AD y F de CE ; AF prolongad o intersec a a CD en G; hallar la medida de FG ; sabiendo que AF 45m A)15m B)20m C )25m D)10m E)5m
15. En un romboide ABCD, se traza BH perpendicular a AC tal que m(ABH)=2m(DHC ), si BH = 8 m y HC = 2AH, el valor de DH, es: A)16 m B)12 m C )14 m D)15 m E)18 m 16. En un cuadrilátero ABCD, m( BAD)=90º, m(ABC )= m(BCD)=60º, si 2AB BC 8 , el valor de C D, es: A)6 B)9 C )10 D)7 E)8 un trapecio rectángulo ABCD, 17. En m(BCD)=m(CDA)=90º, AB=10 m, C B=3 m, m(BAD)=60º, M es punto medio de CD , por C se traza una paralela a BM que interseca a la prolongación de AD en P. Calcular AP. A)13 m B)12 m C )14 m D)11 m E)15 m
18. En un paralelogramo ABCD, las bisectrices de los ángulos BAD y C DA se intersec an en el punto P de BC , luego se traza PH perpendicular a AD si BP = 2PH. Determinar la medida del ángulo DCP.
G E O M E T R Í A |46 A)30º D)37º
B)20º E)60º
C )45º
27. Dado un cuadrado ABCD cuyo centro es O, en CD
19. En un romboide ABCD (AB>BC), las mediatrices de los lados AB y BC se intersecan en un punto P, situado
se ubica el punto M; en la prolongación de BM se ubica el punto N, tal que BM=MN, N dista de AD 6 unidades y AB = 8. Calcular OM.
en la prolongac ión de AD . Si m( ADC) = 125º , la A) 5 B) 3
m( P PCD) , es: A) 14º B) 20º D) 15º E) 30º
C ) 25º
20. En la figura: ABFL y BCQR son cuadrados. Si M es punto medio de LQ y AC =8, la d istancia del punto M al lado AC , es: A
C
L B
M
Q
F
B) 2 E) 3
D) 7 E) 4
28. En un trapecio ABCD se tiene que BC // AD y m ABC 115º ; m ADC AD 50º 5 º; CD 18 1 . Calcular la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A) 6 B) 9 C ) 12 D) 15 E) 8 29. En un trapecio ABCD, BC // AD , m( BAD) 82º ; BC = 4; CD = 14 y m( CDA) 16º . Hallar la longitud de la mediana. A) 11 B) 10 C) 9 D) 14 E) 16
R
A) 1 D) 5
C) 3 2
C) 4
21. En un paralelogramo ABCD las diagonales se intersecan en O. Se considera M punto medio de OC . La prolongac ión de BM interseca a CD en N. Si MN = 5, el valor de BM, es:
30. En la figura, si AB=BC, MD=2(AM), BH=8 y CD=10, el valor de M N, es: B A
N
M
A) 5
B) 10
D) 15
E) 2,5
C ) 7,5 A) 2
22. En el trapezoide ABCD, las prolongaciones de AB y DC son perpendiculares, si AB=6 y C D=8, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lad os BC y AD , es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 23. En un trap ec io rec tángulo, el menor lado no paralelo mide 8, el menor ángulo interior mide 53º. Hallar el segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales. A) 4 B) 3 C) 6 D) 4,5 E) 3,5 24. La suma de las distancias de los vértices opuestos A y C de un paralelogramo ABCD a una recta exterior es igual a 48 unidades. Calcular la suma de las distancias de los otros dos vértices opuestos B y D a dicha recta. A) 36 B) 48 C ) 45 D) 50 E) 30 25. La base mayor de un trapecio mide 24, calcular la base menor, sabiendo que es congruente con el segmento que tiene po r extremos los puntos medios de las diagonales. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 26. ABCD es un cuadrado y AQD es un triángulo equilátero. Hallar B
C
Q
A) 60º B) 75º C) 45º D) 86º E) 53º
D
C
H
B) 4 C) 6 D) 8 E) 9
31. En un trapecio ABCD
,
,
. si , , entonc es el valor de C D, es: A)1 B)3 C )2 D)4 E)5 32. En la figura, J KMN es un cua drado y KL KM . El valor de , es:
L
A)60º B)30º C )53º D)45º E)37º
33. En
un
K
M
J
N
trapezoide
y
valor de , es: A)45º B)15º D)30º E)37º
ABCD, ,
,
. El
C )60º
34. En un rectángulo ABCD, se consideran los puntos medios E de AD y F de CE ; AF prolongado A
D
intersec a a CD en G. si AG=40m, el valor de AF, es: A)30m B)10m C )20m D)25m E)15m
G E O M E T R Í A |47 35. Se tiene un trapezoide ABCD. Hallar la suma de las medidas de dos ángulos opuestos del cuadrilátero que se forma al trazar las bisectrices interiores de los cuatro ángulos del trapezoide. A)145º B)195º C)170º D)160º E)180º 36. La figura ABCD es un rec tángulo, si EO AO = OC =O E. Hallar el valor de x. A) 74º B) 90º C ) 69º D) 66º E) 60º
AC ,
E x B
C
44. Dado un romboide ABCD, se traza la bisectriz del ángulo ABC q ue intersec a a la diagonal AC si AB AD 8 y m( CAD) 2m( BAC) . Calcular CP A) 7 B) 6 C) 5 D) 8 E) 4 45. El romboide ABCD: A) 4 B Q R C B) 5 C) 6 T D) 7 P E) 8 S
O 29º
A
A D
37. En un trapecio isósceles, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de sus diagonales es la mitad de la longitud de uno de sus lado s laterales. Ca lcular la med ida del menor ángulo interior de dicho trapecio. A) 30º B) 45º C ) 60º D) 50º E) 37º
D
46. En un paralelogramo ABCD, en la diagonal AC se ubican los puntos M y N, tales que AM=MN=NC. Si el perímetro del triángulo ABD es 20cm, entonces el valor de la suma de la medidas de las tres medianas del triángulo MND, es: A) 12cm B) 5cm C ) 10cm D) 15cm E) 20cm 47. De la figura ABCD y DEFG son cuadrados, si EF=5,
38. En un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz del ángulo B que interseca a AD en E. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de EC y BC , si AB=20. A) 10
B) 5 2
D) 5
E)
C ) 10 2
5 2 2
39. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las bases de un trapecio rectángulo, sabiendo que las longitudes de estas difieren en 4 y que el lado o blicuo forma c on la ba se ma yor un ángulo que mide 37º. A) 11 B) 13 C ) 15 D)
17
E) 2 1 1
40. Calc ular la relac ión de las longitudes de las bases de un trapecio en el cual las diagonales trisecan a la mediana. A)2/3 B)1/2 C )1/4 D)2/5 E)3/4 41. En un trapecio ABCD, BC//AD , las bisectrices de los ángulos interiores de A y B se intersecan en P y las bisectrices de los ángulos interiores de C y D se intersecan en T. Si AB=9, BC=11, CD=13 y AD=25, entonces el valor de PT, es: A) 6 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 AB =6, BC =4 42. En un trap ec io ABCD, BC // AD , y AD = 14; las bisectrice s de los áng ulos A y B, se intersecan en el punto P. Calcular PQ, si Q está en CD y PQ // BC . A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 8 43. En un cuadrado ABCD, en el lado CD se considera un punto E de modo que AE interseque a BD en F, si m( DAE) 20º , determinar la medida del ángulo FCD. A) 10º B) 30º C ) 20º D) 40º E) 50º
EC=7. Determinar la longitud de AE . C
B
A) 12 B) 15 C ) 13 D) 14 E) 10
F G E A
D
48. Se tiene el trapecio ABCD, cuyas bases BC y AD miden 17 y 23 unidades respectivamente. Se consideran los puntos M, N y S en los lados AB , CD y AD respectivamente, de tal manera que M y N son puntos medios y la medida del ángulo BAS es el duplo de la medida del ángulo MNS. Calcular SD, si AB=22 . A) 10 B) 11 C ) 14 D) 13 E) 15
49. En el rombo ABCD, se traza exteriormente el cuadrado BCEF, los segmentos AC y ED se intersec an e n el punto M, si AC = 8 2 . Determinar la longitud del segmento ME . A) 8 B) 4 2 C) 4 D) 8 2
E) 6
50. En un paralelogramo ABCD, A B=6, la diagonal AC=8 y BD=12. C alc ular AD. A) 17 B) 10 C) 14 D) 3 17
E) 2 17
G E O M E T R Í A |48
CIRCUNFERENCIA equidistan a un punto fijo
P
C
2
// OP r, r
1)
PROPIEDADES GENERALES EN LA CIRCUNFERENCIA Para toda circunferencia a cuerdas de igual medida le corresponden arcos de igual medida.
B
0
C
F M
N P
E
B
O .P1
A
D
.P2
r A
.P3
.
2)
Si : AB CD m AB m CD Para toda circunferencia las longitudes de los arcos comprendidos entre c uerdas paralelas son iguales.
T A
L3
L1
D
L2
Elementos asociados a la circunferencia: 1) Ce ntro: O 2) Radio: OP , medida: OP=r 3)
Cuerda: MN
4)
Arco: MN
5)
Flecha: FE
B
3)
C
Si : AB // DC m AD m BC Para toda circunferencia la recta tangente es perpendicular al radio en el punto d e tangencia. T
6) 7)
Diámetro: AB Punto de tangencia: T Interior : P1 8) Puntos: Aferente : P2 Exterior : P 3 POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA EN EL PLANO: Rec ta secante: L1
4)
Para toda circunferencia las longitudes de los segmentos tangentes desde un punto exterior son iguales. A P
Recta tangente: L 2 Recta exterior: L 3 Longitud de la circunferencia: L 2..r L Constante (pi): 2.r El conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a O es menor que la longitud del radio se denomina interior a la circunferencia. El conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a O es mayor que la longitud del radio se denomina exterior a la circunferencia
B
5)
Si: PA y PB son tangentes PA PB Para toda circunferencia el diámetro perpendicular a una cuerda, divide al arco y a la cuerda, subtendidas, en dos partes iguales. M A
B H O
CIRCULO: Es la unión de la circunferencia y su interior. Si OM AB
ARCO: Es una porción de la circunferencia determinada por dos puntos de ella. MEDIDA DE UN ARCO : La medida de un arco AB es igual a la medida del ángulo central c orrespondiente: AOB . Notación: la medida (en grados sexagesimales) de un arco AB, se indica co mo m AB
HM : flecha.
6)
Para toda circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son iguales entre si, por tanto los arcos correspondientes B M
B P
O
O
m AOB m AB
A
AH HB m AM m MB
C
A
N
Si: ON OM
D AB
CD , m AB m CD
G E O M E T R Í A |49 ÁNGULOS CON RELACIÓN A UNA CIRCUNFERENCIA Ángulo central: Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de la c ircunferenc ia y sus lados co ntienen d os radios.
1)
B
C
x
O
A
x = mAB
x
mACB mAB x= 2
P
B
A
2)
En este c aso cumple:
Ángulo inscrito: Es aq uel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
CUADRILATERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA B
B
x
C
C
mAB x= 2
O A
A
3)
Ángulo semi-inscrito: Es aq uel áng ulo c uyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados están determinados por una tangente y una secante.
Circunferencia circunscrita al cuad rilátero ABCD PROPIEDADES 1) En todo cuadrilátero inscrito, la suma de las medidas de dos ángulos opuestos es 180º
B
B C
mAB x= 2
x
+ =180º
O
D
O
A
D
A
4)
Es aquel ángulo adyacente y Ángulo ex-inscrito ito: Es suplementario a un ángulo inscrito.
2)
En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales con los lados opuestos determinan á ngulos de igual medida.
A mAB +mBD x= 2
O x
D
5)
C
B
Ángulo interior: Es aquel ángulo cuyo vértice es el punto de intersec ción de do s cue rda s que viene a ser sus lados (ver figura) C
CUADRILATERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Si por A, B, C y D se pudiera trazar una c ircunferencia, el cua drilátero ABCD es un cuadrilátero inscriptible. B C
B I
=
x
mAB +mCD x= 2
D
A
D
A
6)
Ángulo exterior: Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto exterior a una circunferencia y sus lados pueden ser: dos sec antes, una seca nte y tangente, o dos tangentes a dicha circunferencia.
Si + = 180º
B mBC mAD x= 2
A
x
P
A
x C
mAB mAC x= 2 P
D
C
B
Si un cuadrilátero tiene ángulos opuestos suplementarios entonces es inscriptible. Si en cuadrilátero, las diagonales con los lados opuestos determinan ángulos de igual medida, entonces es inscriptible.
G E O M E T R Í A |50 CUADRILATERO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA Teorema de Pitot: En todo cuadrilátero circunscrito, la suma d e las longitudes de dos lad os opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos. B
w
Es aquella circunferencia tangente a un lado y a las prolongac iones de los otros dos lados de un triángulo. P B
C
AB CD BC AD x
y
A
c
xy wz
A
E a
ra
b
C
Q
Donde: p
D
z
AP AQ p
abc 2
CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA A UN TRIÁNGULO
EJERCICIOS 1)
En la figura, A, B, C, D, E y F son puntos de tangencia, tal que
AQ = 16 y QB = 4, la medida de
6)
EF es:
En la figura. Si O es centro de la circunferencia, el valor de x, es:
A
Q
B
F
O
X
E
C
2)
A) 14
B) 10
D) 11
E) 13
C) 12
A)30 D)20
B)25 E)35
C )24
En la figura O y P son centros de las circunferencias, O punto de tangencia. La medida del ángulo APB, es:
C
7)
A) 80°
B
B) 60°
D) 100°
A
N x
D
Ax
D
A
Según la figura P, es punto de tangencia, calcular la medida del arco AMB.
.
C
M
A) 40° B) 35° C ) 45° D) 30° E) 25°
O
E) 90°
En el cuadrado ABCD, M y N son puntos de tangencia. C alcular x. B
P
C) 120°
3)
25º
15º
D
8)
Calcular la medida del arco EC A
B
M A) 170º A
B) 70º
45 º
C) 100º D) 140º
A) 45° D) 35°
65 º
B) 30° E) 50°
C ) 40°
P
9)
En la figura, hallar el valor de x. A)30º B)20º C )45º D)50º E)60º
50°
C
E) 110º
4)
E
20º
(C EPRU 2013-II) En la figura AB AP , B es punto de tange ncia y O es centro de la c ircunferencia. El valor de x es: C
x
B
80º
O x
5)
En un cuadrilátero convexo ABCD, en los lados AD y BC se ubican los puntos E y F respec tivamente, de mod o que ABFE y EDCF son cuadriláteros circunscritos a las circunferencias C 1 y C 2 respec tivamente. Si AB +C D =40 cm y BC + AD = 76 cm, entonce s la longitud de EF , es: A) 18 cm B) 36 cm C) 26 cm D) 12 cm E) 19 cm
D
A) 160º 2 C ) 80º E) 120º
A
B) 160º D) 80º
P
G E O M E T R Í A |51 10) (C EPRU 2013-II) En la figura, si A, B, C y D son puntos de tangencia y O es el centro de la circunferencia C 2 , entonces el valor de x es: C
D
B
O
E
C2
x
A) 130º D) 120º
B) 125º E) 135º
, es:
B
A) 40º B) 70º C ) 55º D) 45º E) 80º
A
17) Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, de modo que P, Q, R y S son puntos de tangencia en los lados AB , BC , CD y AD respec tivamente. M y N son puntos medios de los arcos PQ y RS respectivamente. Si E es un punto del arco QR y m( BAD) m( BCD) = 60°, la medida del ángulo MEN, es: A) 75° B) 80° C ) 60° D) 45° E) 55°
C1 A
16) En la figura, Si m AB 1 0 0º , el valor de
C ) 140º
18) En la figura, si AP=QC=r, el valor de x, es:
11) En la figura, determinar el valor de x 3x
B x
x
P
Q
r
C
A
A) 90º D) 100º A) 30º B) 27º C ) 29º D) 25º E) 45º 12) En un triangulo acutángulo ABC; N, R y P son puntos de tangencia con la circunferencia inscrita de los lados AB BC y CA respectivamente, y la circunferencia exinscrita relativa al lado AC es tangente en Q y a las prolongac iones de BA y BC en M y S, respectivamente. Si AN=2 y AM=3, el valor de AC, es: A)5m B)2m C )4m D)7m E)6m
13) En la figura, determinar el valor de x
B) 150º E) 110º
C ) 120º
19) En la figura, si AB=BC=2, entonces el valor de r, es: A
B
r
45º
O
A) 5/2
B) 3
D) 2 2
E) 2 3
C
C) 10
20) En la figura, si AB=BC=ED, el valor de x, es:
B
A)100º B)150º C )120º D)140º E)135º
x
A) 30º D) 25,5º
B) 25º E) 22,5º
C ) 29,5º
80
x
A
D
14) En la figura, O es el centro de la c ircunferenc ia, OM = MN. C alcular la medida del arco AB.
E
21) En la figura, si AB=10, BC=12 y CD=5, el valor de AD, es:
A)13º B)12º C )14º D)15º E)16º
A O
A
37º
M
N
B
CD es diámetro de la circunferencia menor. Si
260º , entonces el valor de x es: B x
A
D
C
B) 70º E) 85º
A)4 D)6
B)7 E)3
C )5
22) En la figura, si AB =9, BC = 15 y AC = 18, el valor de PC , es: P
C
E
A) 80º D) 60º
B
D
15) En la figura, A , C y D son puntos de tangencia, m(AED)
C
C ) 75º
A) 21 B) 22 C ) 20 D) 23 E) 19
B
T
A
C
G E O M E T R Í A |52 23) En la figura, si m AB 126º , m CD 26º , entonces el valor de x, es: B
30) Según la figura, si m(PAD) 160º x
A) 60º B) 52º C) 62º D) 55º E) 53º
C
x
P
A)38º B)40º C )42º D)44º E)48º
D
A
A
B
24) En la figura AB es diámetro de la c ircunferenc ia. Si m(CB) m(BD) m( APB).
y
m(ABC)=54º,
calcular
la
nDo medio de CD y 31) Si m BC m AD 60º ; M es punto N punto medio de AB ; calcular .
A) 18º B) 22º C) 17º D) 34º E) 28º
A
A D P B
C
A)60º B)70º C )55º D)40º E)75º
T
L x
C
B
C
B
B
E
26) En la figura, AE es diámetro y N punto de tangencia. Hallar el valor de x.
A
A) 60º B) 37º C ) 40º D) 45º E) 30º
T
C
B
A)15º B)18º C )12º D)20º E)10º
M
32) En la figura, P y T son puntos de tangencia, si m( BAT) 2m( ACP) 160 160º , entonces la medida del ángulo APT, es:
x A
N
25) En la figura, T y E son puntos de tangencia. LT // AB . Hallar el valor de x. A) 30º B) 45º C) 60º D) 36º E) 54º
D
P N
33) En la figura, m( MPB) 45º , OM 6 y AP 4(BH) , ca lcular MB.
2x
x
A
O
C
E
27) En la figura, AB=9, BC=7, AC =8 y MN// AC . C alcular MN.
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
A P H
B
A) 7/3 B) 4/3 C) 6/5 D) 8/3 E) 9/2
M
O
N
M
B
34)
A
C
28) El triangulo acutángulo ABC, está inscrito en una circunferencia. Las alturas AH y CP , se intersec an en el punto T, (H en BC , P en AB ). Hallar la medida del arco AC , si m ATC = 132º. A) 90º B) 94º C ) 96º D) 69º E) 97º
29) Según el gráfico, T es punto de tangencia y (HB)2 (HC) 2 k C alcule BC.
A) 10º B) 15º C ) 20º D) 5º E) 30º
M
N x
70º O
A
B
L
35) En un triángulo ABC; m BAC 60º , el inradio mide BC
C)b a
A) (a b) 3 B) (b a) 3 D) 2(a b)
2(b a)
E)
3
C
A) k B)
36) En la figura, A y C son puntos de tangencia y la m CE 80º . Calcular la mABC ,
T
k 2
C) D) E) k
k
B
3 k 5
A
H
D
B
A)20º B)30º C )40º D)50º E)80º
E D A
C
G E O M E T R Í A |53
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES 1) Circunferencias exteriores:
R
O
r
RELACIONES MÉTRICAS ENTRE LAS LINEAS DE LA CIRCUNFERENCIA Teorema del producto de los segmentos de cuerda : Cuando dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, el producto de las longitudes de los segmentos de una de ellas es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la otra.
1)
Q
C
d
B
P
2)
A
Circunferencias tangentes exteriormente:
.
(AP).(PB) (CP).(PD) D
O
R
r
Q
2)
d
3)
Teorema de la secante: Si desde un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto d e la longitud de una sec ante c on su pa rte exterior correspondiente es igual al producto de la longitud de la otra secante con su parte exterior correspondiente.
Circunferencias secantes: R
O
r
A
Q
B
d
P
.
(PB).(PA) (PD).(PC)
D C
4)
Circunferencias tangentes interiormente: 3)
Q
O R
Teorema de la tangente: Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, la longitud de la tangente es media proporcional entre la longitud de la secante y su pa rte e xterior.
r
d
A P
.
5)
D
Circunferencias interiores:
(PA )2 (PC).(PD)
C Q
O
R
6)
TEOREMA DE PONCELET : Para todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medida s de los diámetros de la s circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo.
r
d
C
Circunferencias concéntricas: b O
a
r
A r
R
B
c
a b c 2r
R
7)
Circunferencias ortogonales:
a b 2R 2r
TEOREMA: A
O
R
r
Q
d
B
.
H
C
D
(AB).(AC) (AH).(AD)
G E O M E T R Í A |54 RECTAS TANGENTES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS I) Para dos circunferencias exteriores se pueden trazar dos tangentes comunes exteriores y dos tangentes comunes interiores. A
P
PROPIEDADES ADICIONALES: Para dos circunferencias tangentes exteriores, se tiene: 1) Si T es punto de tangenc ia: A
x
y
B
B T
R
mATP
N M
S
T
D
2)
xy 2
Si T es punto de tangenc ia: y
C
B
T
Si A, B, C y D son puntos de tangenc ia AB CD , AD // BC Si M, N, R y S son puntos de tangencia MR NS AB CD PT , AP PR MT TC
x y A
3)
x
Si Tpunto de tangencia B
C
II) Para dos circunferencias exteriores, tangentes exteriormente o secantes, se tiene que la recta que contiene a sus centros y las tangentes comunes exteriores conc urren en un mismo punto.
T
AB // CD
A D
4)
A, B y T puntos de tangenc ia A
B
90º
T
5)
A, B y T puntos de tangenc ia A
M T
O
B Q
Si: AM MB 90º
6)
A, B, C y D puntos de tangencia B
B D
C
A
TEOREMA DE STEINER:
A =
a
d
7)
b
A es punto de tangencia
c
=
A
EJERCICIOS 1.
De las siguientes proposiciones: I) Dos circunferencias que tienen únicamente dos tangentes comunes son tangentes exteriores. II) La circunferencia incluye al círculo. III) La mediatriz de una cuerda en la circunferencia contiene al centro de la misma circunferencia. En el orden correspondiente, ¿Cuál es la alternativa correcta? A)FFV B)VFV C )FVV D)VVV E)FFF
2.
En las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o Falso (F): I) Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es igual a la suma de las longitude s de sus radios. II) En una circunferencia una sec ante y el radio son perpendiculares. III) Una circunferencia contiene a su radio. IV) Una circunferencia contiene a su centro.
G E O M E T R Í A |55 En el orden correspondiente, ¿Cuál es la alternativa correcta? A)FFVF B)VFVF C )FVVF D)VVVV E)FFFF
3.
4.
5.
6.
11. Sobre el diámetro AB de una circunferencia cuya longitud es 132 se marcan los puntos C y D, Encontrar la suma de las longitudes de las circunferencias de diámetros AC , CD y DB . A) 118 B) 122 C ) 126 D) 134 E) 132
Por los centros de dos circunferencias tangentes exteriores de radios congruentes se trazan una tangente a cada uno de ellos, entonces la medida del ángulo formado por dichas tangentes al intersec arse, es: A)145º B)105º C)120º D)135º E)150º
12. En la figura, E y D son puntos de tangencia. Si AE=6, CD=5, el valor de AC , es: A)
D)
B
A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6
C E
E D
A
D
E) 5
15. En la semicircunferenc ia de d iámetro AD , si AB = a, EB BC = 3a, CD =2ª, el valor de , es: FC
A
B
C
En la figura, se tienen dos semicircunferencias cuyas medida s de los rad ios están en la relac ión de 5 a 3. D es punto de tangencia. La medida de FD , es:
F
A) 12
D
B) 5
8
D) 10
E
F
B
C
B A
12
C) 6
5
A)
A
E
En la figura, si AB=CD, BE=3, BF=4, EC=2, el va lor de CG , es: E
B)
2
10
D)
B
3
16. En la figura, G es punto de ta ngenc ia, si AG =DC=4, DE=5, AB=2, el valor de EF, es: G
C
G
F
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3
A
D
C
E
B
F
9.
El perímetro de un triangulo rectángulo es 32 y la medida de su hipotenusa es 12. La longitud del inrad io, es: A) 6 B) 3 C )4 D) 5 E) 6 10. En una circunferencia se traza su diámetro AB , además se trazan las cuerdas AC y AD , la diferencia de las longitudes de las proyecciones de AC y AD sobre AB es igua l a 3. si AC =7 y AD=5, el valor de AB, es: A) 8 B) 2 C) 6 D) 4 E) 3
10 2
C)
10
D A
D
5 4
E)
4
E) 8
A) 1 B) 6 C) 12 D) 3 E) 8
C
B
14. En la figura, B, E y D son p untos de tangenc ia, si AC=13 y AD=12, el valor de BC, es:
D) 1
8.
A
13. Hallar la longitud del radio d e la circunferencia inscrita en un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm respectivamente. A)6,8 cm B)4,8 cm C )4 cm D)5 cm E)5,8 cm
F
C) 4
7.
61
E) 5 2
En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si CD 4 , ED 3 , BC 2AB el valor de x, es:
x
D
C) 2 5
Dos circunferencias son tangentes exteriores y la distancia de sus centros es 48cm. Si uno de los radios es los 3/5 del otro, la diferenc ia de las medidas de los radios es: A) 12 B) 15 C ) 30 D) 18 E) 9
B) 2
E
B) 2 13
Los diámetros de dos circunferencias miden 9u y 7u, y la distancia entre sus centros es 2u. La posición relativa de las circunferencias es: A) Secantes B) Tangentes Interiores C) Interiores D) Tangentes Exteriores E) Concéntricas
A) 3
21
17. En la figura, el lado del cuadrado BCDE mide 5, AB = 7. el valor de FD, es: A) 5 E D B) 12 C) 13 D) 60 F E)
11 60
13
A
B
C
G E O M E T R Í A |56 18. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 m. Calcular PQ. B
A)1.3 m B)1.2 m C )1.4 m D)1 m E)2 m
C
25. En la figura BD FM 12, calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rec tángulo ABC. B
A)10 B)12 C)14 D)16 E)18
P Q
D
D
A
19. En la figura, AM =MC, si AP = 4 m, PB =5 m y CQ =3 m, el valor de BQ, es: A)9 m B)8 m C )6 m D)10 m E)7 m
A)
Q
P
C
M
20. En un paralelogramo ABCD, BC los vértices értic A, B y D están contenidos en una circunferencia que interseca a BC en P, si AD es diámetro, BP = a y PC = b, el valor de AB, es: A) b(b+a) B) b(b a) C) b a 2 D) b(b 2a) E) b(2b a) 21. En la semicircunferencia de diámetro AD , si AB = k, EB BC = 3k, CD =2k. calcular FC
A
A)
5
E
F
B
C
B)
2
D)
10 4
5
D
C)
10 2
4
E)
10 3
22. Un triángulo equilátero ABC, se encuentra inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4 cm, con el lad o BC exteriormente se construye el cuadrado BCDE. Hallar BE en c entímetros. A)4 3 B)4 C )2 3 D)4 6 E)2 6 23. En el grafico adjunto B y C son puntos de tangencia si AM=MC . Calcular la medida d el ángulo AOP. A
A)30º B)15º C )20º D)10º E)13º
M
C
P
B
C
F M
26. Dos circunferencias tangentes exteriormente en el punto C , determinan un segmento tangente exterior AB común a ellas; donde A y B son puntos sobre las circunferencias, respectivamente. Al calcular la distancia de C al punto medio de AB , se obtiene.
B
A
A
D)
3 2
(AB)
2 2
(AB)
E)
1 3 1 2
1
C ) (AB)
(AB)
4
(AB)
27. En la figura, O es el punto c entro de la c ircunferencia, AC=12; AE=2 y m(BC ) 3 m( AD) . Hallar BE. B
A)1 B)5 C)4 D)3 E)2
C
E
A
O D
28. Los radios de dos circunferencias coplanares tienen medidas de 7 y 3cm y la distanc ia entre sus centros es de 6cm. La po sición relativa de las circunferenc ias es: A) Tangentes Interiores B) Tangentes Exteriores C ) Interiores D) Exteriores E) Secantes 29. En una circunferencia cuyo radio mide R, se traza la cuerda AB en la cual se ubica el punto P tal que ( AP )(PB) 6u2 y la distancia de P al centro de la circunferencia es 3u . Calcule R. A)2u B)3u C )4u D)2 3 u E)3 2 u
30. Del gráfico, calcular AB, si R 6u . (A y B son puntos de tangencia). Además: mAMB 2(mAB)
A
A)2u B)3u C)4u D)5u E)6u
O
M
O
24. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4cm y 13cm. A)42cm B)52cm C)26cm D)60cm E)64cm
B)
B
R
31. En la figura AB=8 y BC=6 hallar la medida del radio de la circunferencia exinscrita al triángulo. A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
B
A
C
G E O M E T R Í A |57 32. En el gráfico, mBPC mCQD 310º . Calcular la medida del arco AB, (B, C y D son puntos de tangencia). B
A)43º B)60º C)40º D)50º E)70º
A)12 D)10
B)9 E)5
C )8
38. Según el gráfico T es punto de tangencia; R 5 cm y BC 1cm . Calcule PH; si: m PA m PB
P
Q
P T
C H
A
D
trazan dos circunferencias tangentes 33. Se interiormente. Se traza el diámetro TB de la circunferencia más grande, a partir del punto de tangencia T. Desde B se traza una tangente a la circunferencia menor hasta C, el segmento TC se prolonga hasta intersecar a la circunferencia mayor en D. si el arco BD mide 50º, calcular: mDCB mCBT A)100º B)60º C )120º D)90º E)105º 34. En la figura se muestran dos circunferencias secantes de radio R , inscritas en el rectángulo ABCD . Si MN 4 y AD 8 , entonces la medida del lado
A B
A) D)
6 26 5
cm
B)
cm
E)
23 5 27 5
cm
C)
A)12 B)8 C)6 D)10 E)4
A
Una recta secante interseca a C1 en A y D; a C 2 en
D
B) 4 E) 7
C) 3
A)3/2 D)1/2
35. En la figura, A y E son puntos de tangencia. Si AP 4 y QE 3 , entonces la medida de PQ es:
(QD)
R
A
C
Q
AC CE
B)5/2 E)2/5
5 2
. Calcular
CD BC
C )3/2
41. En el gráfico , ABCD e s un rec tángulo; P y Q son puntos de tangencia. Si ND 2(BM) 6cm . Calcular
P
B
y
P
B y E, y a PQ en C. Si A) 5 D) 6
DP a
40. Dos c ircunferencias C1 y C 2 se intersec an en P y Q.
N
A
cm
B
D
R
4
cm
C
R
25
DP son tangentes. Si AB b , a 2 b 2 64 , entonces AD mide:
C
M
25
39. En la figura, da da s las circunferencias sec antes, AB y
AB es:
B
C
R
2
2 2(BP) .
A)16 cm2 B)18 cm2 C )9 cm2 D)36 cm2 E)20 cm2
P
B
N A
D
C
M
D
Q
42. En la figura AB =8; PQ = 5, calc ular MN.
A) 5 D) 15
A
E
B) 7 E) 12
C) 4
36. Desde un punto T exterior a una circunferencia, se trazan dos tangentes TA y TB . Por A se traza el diámetro AC circunferencia, este segmento la interseca en D. Si mTDC 150º , calcular mATB . A)37º B)45º C )60º D)50º E)90º
A
B C
A) 11 B) 9 C ) 12 D) 13 E) 7
Q P M
N
C 60º (Q es punto 43. En la figura, CP MN 4 , mABC de tangencia). Calcular a PQ. Q A
B C P
37. En una circunferencia de diámetro AC se traza las cuerdas AB y AF , siendo AF la bisec triz del ángulo
M
N
BAC y BC interseca a AF en E. Si ( AE )(EF) 125 y
A) 6
B) 2 6
AC 5( AB ) , entonces la medida de BE , es:
D) 4 6
E) 5 6
C) 3 6
G E O M E T R Í A |58
POLÍGONO DEFINICIÓN: Sean P1 , P2 , P3 Pn , (n3) puntos diferentes y no colineales de un plano. Se denomina polígono de n lados a la reunión de los n segmentos PP 1 2 , P2 P3 Pn 1Pn , PnP1 , tal que: Ningún pa r de segmentos se intersec an, excepto en sus extremos. Ningún pa r de segmentos consecutivos son co lineales. Se denota: Polígono P1 P2 P3 Pn P(PP ...P ) : PP 1 2 1 2
P2 P3
n
Pn 1Pn
a))
Polígono equiángulo: Polí Polígono ono que ue tiene tiene sus sus án ángulos ulos interiores congruentes.
b)
Ejm: Rectángulo
Polígono equilátero: polígono que tiene sus lados congruentes.
PnP1
Exterior del polígono Ejm: Rombo
P3
Pn
c)
Interior del polígono
Polígono Regular: Polígono equilátero y equiángulo a la vez.
P2
P1
Región poligonal: es la unión del polígono con su interior. Ejm: Triángulo equilátero
d)
3
Pn
n
3
P3
n 1
P1
2
2
Polígono Irregular: Polígono que tiene sus lados y ángulos no c ongruentes.
III) POR LA FORMA a) Polígono Convexo: Si su interior es un conjunto convexo. A
P2
1
Ejm: cuadrado
B
ELEMENTOS: 1) Vértices: P1 , P2 , P3 Pn . 2) 3) 4) 5) 6)
7)
Lados: P1P2 , P2 P3 Pn 1Pn , PnP1 . Ángulos interiores Sus medidas: 1, 2, 3 n. Ángulos exteriores Sus medidas: 1, 2, 3 n. Diagonales: son los segmentos cuyos vértices son d os vértices no consecutivos: PP , P1P4 1 3 Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados: P 2p P1P2 P2P3 ... Pn 1Pn Pn P1 Semiperímetro: p Diagonales medias: segmentos, cuyos extremos son los puntos medios de los lad os del polígono.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS: I) POR EL NÚMERO DE LADOS: Nº de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20
Nombre Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono ó nonágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
II) POR LA MEDIDA DE SUS LADOS Y ÁNGULOS
b)
Polígono No Convexo: Si su interior es un conjunto no convexo.
A
B
POSTULADO: Para todo polígono se cumple: nº de lados = nº de vértices = nº de ángulos interiores = nº de ángulos exteriores. PROPIEDADES GENERALES DE UN POLIGONO CONVEXO DE
1) 2) 3) 4)
En todo polígono convexo de n lados, desde un vértice se p ueden trazar d (n 3) diagonales. En todo p olígono c onvexo de n lados, las diago nales trazadas desde un vértice, determina (n 2) triángulos. En todo polígono c onvexo de n lados, desde el punto medio de un lado, se pueden trazar (n 1) diagonales medias. En todo p olígono co nvexo de n lados, el número total n(n 3) D 2
5)
En todo p olígono c onvexo de n lados, el número de diagonales " D v " vértices consecutivos, es:
G E O M E T R Í A |59 Dv n v
6)
7)
En todo p olígono c onvexo de n lad os, el número total de diag onales medias que se pueden trazar, es: n(n 1) Dm 2 En todo polígono c onvexo de n lados, La suma " S i " de las medidas de los ángulos interiores, es: Si
8)
e
e
360º n
12) En todo polígono regular (ó equilátero) de n lados, el
P n Ln
360º
En todo polígono regular (ó equiángulo) de n lados,
Donde: L n longitud de un lado
i
i
n
c
c
En todo p olígono convexo de n lados, la suma " S e " de las medidas de los ángulos exteriores, es:
360º
11) En todo p olígono regular de n lados, la medida de un
180º (n 2)
Se
9)
10) En todo polígono regular (ó equiángulo) de n lados,
(v 1)(v 2) 2
180º(n 2) n
EJERCICIOS 1.
2.
3.
4.
Dadas las siguientes proposiciones: El número total de diagonales de un I. dod ec ágono convexo es 44. II. Todo ángulo interior de un octágono equilátero mide 135°. III. El polígono regular, cuyo á ngulo c entral mide 30°, es el dodec ágo no regular. Son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo III C) Solo II D) II y III E) I y III
7.
En un octógono e quiángulo ABCDEFGH, se sabe que: AB
3 2 y BC 1 . Hallar la medida del ángulo
BAC.
D)37º
E)53º
C)8º
8.
Dadas las siguientes proposiciones: La suma de las medidas de los ángulos exteriores I. de un icoságo no es 360º El número total de diagonales de un triángulo es II. 3. III. Todo polígono equilátero es regular. Son verdaderas: A) Sólo II B) Sólo I C ) I y II D) II y III E) I y III
Se tiene dos polígonos regulares, tal que la razón de las medidas de sus ángulos exteriores es 2/3. Si la diferencia de los números de diagonales de dichos polígonos es 34, entonces la medida del ángulo central del polígono c on mayor número de lados, es: A)30º B)60º C )36º D)40º E)45º
9.
Hallar la suma d e las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular, si se cumple que la medida de su ángulo interior es igual al triple de la medida de su ángulo c entral. A) 540º B) 720º C) 1800º D) 1080º E) 360º
Dadas las siguientes proposiciones: Cad a á ngulo interior de un hexágo no mide 120°. I. El número total de diagonales de un decágono II. es 36. III. El polígono regular, cuyo ángulo exterior mide 36°, se llama decágono. Son verdaderas: A) Sólo II B) Sólo III C ) I y II D) II y III E) I y III
10. Si la diferencia entre el número de diagonales totales de dos polígonos regulares es de 45 y sus ángulos centrales uno mide el doble del otro, entonces el polígono del menor número de lados, se denomina: A)Octógono B)Triángulo C)Hexágono D)cuadrado E)Pentágono
Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Una región poligonal convexa de la que se han excluido sus vértices, es un conjunto convexo. II. Ninguna región convexa resulta de la reunión de dos regiones no c onvexas. III. La suma de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo es menor que la suma de las longitudes de sus diagonales. Señalar la alternativa con la secuencia correcta. A) VFV B) VFF C ) VVV D) FVV E) FVF
5.
Si el número de lados de un polígono convexo se aumenta en tres, el número de diagonales aumenta en 15. Hallar el número de lados del polígono inicial. A) 4 B) 7 C) 5 D) 6 E) 8
6.
En un polígono c onvexo, se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual 8 veces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. Ca lcular el número de diagonalesde dicho polígono. A) 135 B) 125 C ) 120 D) 145 E) 165
11. Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono regular, sabiendo q ue a pa rtir de sus cuatro primeros vértices se puede trazar 25 diagonales. A)10 B)20 C )45 D)36 E)30 12. Los ángulos internos de dos polígonos regulares suman 300º y los ángulos externos difieren en 20º. Hallar la d iferencia d el número de diagonales. A)102 B)108 C )63 D)76 E)92 13. Si en un polígono equiángulo, la suma del número total de sus diagonales medias y el triple del número de diagonales de cuatro vértices consec utivos, es 30 más el doble del número de lados, entonces la medida del ángulo interior del polígono es: A) 120º B) 100º C) 60º D) 72º E) 90º 14. En un polígono equiángulo, el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de ángulos internos exce de en 11 al número de vértices del polígono formado al uniren forma c onsecutiva los puntos medios de los lados del polígono equiángulo. Calcule la medida del ángulo exterior del polígono inicial. A)20º B)21º C )22º
G E O M E T R Í A |60 D)23º
E)24º
15. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que e xpresa el total de diagonales en cm. Hallar la medida de un ángulo interior en dicho polígono a umentado en 35º. A)120º B)144º C) 156º D)72º E)191º 16. Si el número de lad os de un polígono disminuye en 2, entonces el número de diagonales disminuye en 15. calcular el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales a partir de un solo vértice. A)12 B)6 C )8 D)10 E)7 17. Si el número de lados de un polígono convexo disminuye en 2, entonces el número de diagonales disminuye en 19. Calc ular el número de triángulos que se forman al trazar las diagonales a partir de un solo vértice. A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 18. En un polígono equiángulo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores más la suma de las medidas de 8 ángulos internos es igual a 1440º. Calcular la medida de un ángulo exterior. A) 45º B) 50º C ) 60º D) 70º E) 80º 19. En un oc tógono convexo equiángulo ABCDEFGH, AB = CD, BC =DE y BD 8 2 cm. Hallar la longitud de la diagonal AE . A) 10 B) 12 D) 17 E) 16
C ) 15
20. En el Interior de un pentágono regular ABCDE, se ubica el punto P, tal que el triángulo APB es equilátero. Calcule la m DPE . A) 80º B) 82º C ) 85º D) 84º E) 90º 21. En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es (k+15) veces la medida de un ángulo exterior, y además se sabe que el número total de diagonales es 135k. Calcular el número de lados del polígono. A) 80 B) 82 C ) 85 D) 84 E) 90 22. En un polígono c onvexo equilátero de n lados, cuyo lado mide 5cm, desde n 8 vértices consecutivos se trazan 4n diagonales. Calcular su perímetro. A) 40cm B) 50cm C) 70cm D) 45cm E) 65cm 23. En un pentágono convexo, dos ángulos interiores miden 90° cada uno, y los otros ángulos interiores son congruentes. Calcular la medida de los otros ángulos interiores. A) 150º B) 120º C ) 50º D) 105º E) 135º 24. Sea el octógono convexo equiángulo ABCDEFGH, donde AB 2 2 , BC=2 y
CD 3 2 . Hallar la
medida d e AD A) 3 2
B)
D) 7 2
E) 4 2
2
C) 5 2
25. En un polígono convexo, al trazar todas las diagonales, el número de éstas resulta ser igual a 8 veces el número de vértices. ¿Cuántos triángulos existen cuyos vértices sean vértices del polígono?
A) 969 D) 171
B) 729 E) 196
C ) 1024
26. mide 150º. Hallar el número total de diagonales. A) 210 B) 215 C ) 252 D) 200 E) 230 27. En la figura, se p resenta pa rte de un p olígono regular de n lados ¿Cuánto vale n? A)40 B)36 C)45 D)18 E)24
C
D
E
164º B
F
A
28. La suma de las medidas de los ángulos interiores de dos polígonos regulares es 300º y la diferencia de las medidas de sus ángulos exteriores es 20º. Hallar la diferencia del número de diagonales. A) 102 B) 108 C ) 63 D) 76 E) 92 29.
prolongaciones de BC y FE se interceptan en el punto P, tal que m CPE 90º . Hallar el número de lados del polígono. A) 10 B) 12 C ) 15 D) 17 E) 20 30. . Hallar el número total de m MNQ 90º diagonales. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 20
31. En un hexágono regular ABCDEF, cuyo lado mide 13 , las prolongaciones de la diagonal CA y del
lado EF , se interceptan en el punto P. Hallar el valor de PD. A) 10 B) 12 C ) 15 D) 17 E) 13
32. En un polígono convexo, se cumple que, la suma del número total de diagonales más el triple del número de diagonales medias más el doble del número de vértices es 276. Calcule la diferencia del número de diagonales trazadas desde 5 vértices consec utivos y el número de diag onales trazadas de un solo vértice. A) 20 B) 32 C ) 35 D) 28 E) 30 33. Se tiene un hexágono convexo equiángulo ABC DEEF, donde AB=3, BC=3, CD=4 y DE=5. Hallar la medida d e AF . A) 8 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 34. Hallar el número de lad os de un polígono convexo, si el número total de sus diagonales, más el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los otros vértices, más el número d e ángulos rec tos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores, es igual al número total de diagonales medias, aumentad o en su número d e vértices. A) 12 B) 8 C) 6 D) 7 E) 15
G E O M E T R Í A |61
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS O CIRCUNSCRITOS Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia, si sus lados son cuerdas de la circunferencia. Se dice que un polígono está circunscrito a una circunferencia, si sus lados son tangentes a la circunferencia.
HEXÁGONO REGULAR:
D
E
r
Circunferencia circunscrita al polígono
R
r R
O
ap6
O
F
C
60º
R
R
c
Circunferencia inscrita al polígono
an
A
A
B L6
B
AOB equilátero
Ln
ELEMENTOS: 2) Ce ntro: O 3) Lad o (medida): Ln 4) Apotema (medida): an 5) Ángulo central (medida): c 6) Inrad io (medida ): r 7) Circunradio (medida): R 8) Triángulo elemental: AOB (isósceles)
PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS REGULARES 1) Ca lculo d el lado L n lados en función del circunradio R y la medida del ángulo central n . (fórmula trigonométrica) L n R 2(1 cos n )
2)
NOTA:
n
circunradio R y de la longitud de su lad o L n.
an
3)
1 2
2
4R L n 2
El lado L 2n , de una polígono regular del doble L n , de un
dad o po r: L 2n
TRIÁNGULO REGULAR
L2n
P o
ap3
O
A
Ln
C
R
2 R 2 R 4R L n 2
120º
r
R B
R
4)
L3
La apotema a 2n del polígono regular del doble a n
CUÁDRILATERO REGULAR
está da do p or: a 2n
D
C r O 90º
ap4
P
2
2 R(an R)
El lado L n función del lado Li del polígono regular inscrito de igual número de lados, está dado por: Ln
R
2RLi 4R
B L4
5)
1
R A
r
2
Li
Ln 2
Li R
G E O M E T R Í A |62 POLIGONOS REGULARES INSCRITOS Nº lados n=3 n=4 n=6
Lado Ln
Apotema an
L 3 R 3
a 3
L 4 R 2
a4
L 6 R
n=5
L5
n=8
L8
n=10
R 2
a6 10 2 5
R 2 2 R
a5 a8
R 2 R
2 R 4 R
3 L5 L10
( 5 1)
2
a10
R
L12 R 2 3
a12
R
2
OBSERVACIÓN: 1) El lado de un pentágono regular inscrito es la hipotenusa d e un triángulo rectángulo cuyos catetos son el lado del decágono regular y el lado del hexágono regular inscritos en la misma circunferencia.
2
2 R
( 5 1)
L10
n=12
Donde: R, medida del radio de la circunferencia circunscrita al po lígono (circunrad io)
4
2
2 2
L6
10 2 5
L52
L 6 2 L10 2
2 3
EJERCICIOS 1.
Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una
formado por las prolongaciones de las cuerdas AB
circunferencia, el circunradio mide 3 3 . Hallar la
y CD es: A) 30º D) 45º
longitud del lado BC . A) 8 B) 9 D) 7 E) 10
2.
C ) 12
8.
En una misma circunferencia están inscrito y circunscrito dos triángulos equiláteros; si el circunradio del inscrito mide 3 3 , entonces el lado del circunscrito mide: A) 18 B) 20 C ) 16 D) 15 E) 21
3.
2 , se En una circunferencia cuyo radio mide ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, talque
AC 6 , BD=2 y
m AB m BC . Calcular la
medida d el ángulo formado por AC y BD . A) 50º B) 45º C ) 30º D) 35º E) 20º
4.
El circunradio de medida
x 2
6.
El lad o de un cuadrado inscrito en una circunferencia 2 cm. calcular la longitud del lado del mide cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. A)5 cm B)2 cm C)1 cm D)3 cm E)4 cm
9.
Al calc ular la longitud d e la c ircunferenc ia inscrita en un cuadrilátero regular, cuyo circunradio mide se o btiene: A)3 D)2
B)1 E)10
; x R ,
2 2
,
C )
circunferencia respectivamente. Al calcular de un
L1 L2
, se
obtiene: A) D)
2 3 5 2 3
B) 2 3 E)
C) 3
3 2
En el hexágono regular ABCDEF, la diagonal FB
11. En una circunferencia de diámetro AB , se traza la
interseca a la diagonal AC en el punto P. si AP 1cm . Hallar la medida de su circunrad io.
cuerda CD pa ralela a AB , tal que CD R 3 ; calc ular la medida del ángulo ABC. (AB=2R) A) 11º B) 12º C ) 10º D) 18º E) 15º
A) 2
B) 2 2
D) 3
E)2
C)3
En un triángulo equilátero ABC inscrito en una
medios de AB y AC , respectivamente. Hallar la longitud de A)
7 2
D) 7 7
7.
C ) 60º
10. Dos hexágonos regulares cuyos lados miden L 1 y L2 se encuentran inscrito y circunscrito en una misma
cuadrado, se transforma en un inradio para otro cuadrado. Calcular el perímetro de este otro cuadrado. A)8xB)2x C )16x D)4xE)x
5.
B) 35º E) 37º
12. Calcular la longitud del lado y del apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 3 2 . A) 5 y 8 B) 6 y 3 C) 3 y 6 D) 6 y 8 E) 6 y 5
MN
B)2 7 E)
C)7
7
13. Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una circunferencia, tal que el ángulo ACB mide 45º, AC es bisectriz del ángulo BAD , AD es diámetro y AB
4 2 2 . Hallar AC .
En una circunferencia se ubican los puntos consecutivos A , B , C y D ; de modo que
A)
2
B) 2
BC L 6 y AD L 3 . La medida del ángulo
D)
3
E) 4
C) 3