Geometria Sem 1

geometría tema 1

triángulos y líneas notables SnIi2G1

DESARROLLO DEL TEMA

triángulo B

Elementos: • Vértices: A, B, C • Lados: AB, BC, AC

A

C

q

Definición: Perímetro = 2p 2p = AB + BC + AC.

a

a

q

q

q = 60°

a Equilátero

Nótese: parte sombreada es la región interior

2. Por la medida de sus ángulos interiores A) Oblicuángulos

Observación: (Región interior) ∪ (iABC) = Región triangular ABC

0 < a, b, f < 90° b

I. Clasificación

a

f

a, b, f: agudos Acutángulos

1. Por la medida de sus lados: a≠b≠c

90° < q < 180° b

a

q c Escaleno

q: obtuso Obtusángulos B) Rectángulos q = 90°

a

a

f

b Isósceles

san marcos REGULAR 2014 – Ii

f: ángulo recto

11

geometría

Tema 1

triángulo y líneas notables

II. Teoremas básicos * Existencia

q=a+b

b b

a

q

a

c b–a
Observación:

a + b = q + 180°

q

a

B

b

T

a+b=q+g C

A

a

p < TA + TB + TC < 2p

b

q

g

* Correspondencia Si a > b ⇒a>b b

a

a

a+b=q+f

q b

a f

b

Observaciones: B

B

2q C

A

90–q

a a

C

A

AB = BC

iABC: isósceles

b a a b = 90°

Tema 1

geometría

22

san marcos REGULAR 2014 – Ii

triángulo y líneas notables

líneas notables •

Ceviana

B

Observación: B E

A

D

E: Ercentro

F

C

BD: Ceviana interior

A

BF: Ceviana exterior •

Altura

m∠AEC =

B 2

C

B B

E E: Excentro

A

H BH: Altura

Observación:

m∠BEC = 90 –

C

A

B

•

A 2

C

Mediatriz B

F

L

H

A

C

D

A

•

C

M

H: ortocentro m∠BCA = m∠AHD

AM = MC

Bisectriz B

q

q

L: Mediatriz respecto a el lado AC F

a A

Observación:

a

J

C

B

AF: Bisectriz interior

L2 L1

BJ: Bisectriz exterior

Observación:

O B I

A

I: Incentro m∠AIC = 90 +

A

B 2

C

L1 y L2 mediatrices

C

san marcos REGULAR 2014 – Ii

M

O: Circuncentro del iABC

33

geometría

Tema 1

triángulo y líneas notables

•

Mediana

Observación:

B

B

T

A

N

E

A

C

M

G: Baricentro

C

M Se cumple: BG = 2GM AG = 2GN CG = 2GT

Si AM = MC ⇒ BM: mediana

Observación: B 2m

B

m

E

a x

I m

mK

A

A

I: Incentro del iABC

nK n

m

2m C

x=

E: Excentro del iABC

a K

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En el gráfico AB = BC = AC, calcula "x". B M

R

x

A

80° a

a w 40° Q 40°

80° 60°

C

San Marcos 1996 Nivel difícil

Resolución:

x = 40°

2a

C

San Marcos 1998

a a

A) 2 u D) 3 u

B) 5 u E) 4 u

Del gráfico se observa: A

En la figura ABCP: a + x + q = 90° a + q + x = 90° 45° + x = 90° x = 45°

geometría

Respuesta: 45°

44

C) 6 u

B q

APC: 2q + 2a = 90° q + a = 45°

C

Resolución:

Resolución:

•

Q

H

 Nivel fácil

Respuesta: 40°

Tema 1

A

q

2q

A

•

• Del dato se observa que el iABC es equilátero. • m∠PQC = 40° • Sea m∠MNP = w ⇒ iRQN : a + w + 40° = 180° a + w = 140° • iMNP: x + w + a = 180 → x + 140° = 180°

B P

a





Problema 3 Calcular "BQ", si PH = 2u y BH = 7u.

x P

N

P



Problema 2 En la siguiente figura, calcula "x". B

a a

5

q P

x q Q

2 H

•

Sea m∠APH = q = m∠BPQ



⇒ m∠BQA = q

•

El triángulo PBQ (isósceles) BP = BQ ∴ x = 5u

C

Respuesta: 5u

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triángulo y líneas notables

Problemas de clase

Profundización

ejercitación 1. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto Q, tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ∠ ACB. Calcular QB. Si: AQ = 9 y BC = 7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. En la figura mostrada, calcular: a+b+c+d+e+f+g

a a x 2a a) 180 d) 520

a a

b) 50 e) N.A.

C c) 55

A) 144º

B) 150º

C) 136º

D) 160º

E) 120º 11. En la figura hallar “x”

45° a) 135º d) 100º

b) 95º e) 110º

3q

c) 150º

4q 12q

8. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13. Calcular su perímetro a) 23 b) 31 c) 26 y 31 d) 18 e) NA

2x I 3x

9. En el gráfico: PA = 2 y BR – RC = 3. Calcule PQ B

b) 20

c) 30

D) 50

e) N.A. 12. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD x

2x

R A

b) 20 e) N.A.

C

B

x a) 10 d) 40

x

a) 10

5. En la figura calcular “x” 60

x

x

x

q

x

x

q

c) 360

4. Hallar “x” I: Incentro B

a) 45 d) 15

c) 540º

50°

3. En un triángulo ABC, el lado BC excede en 10 unidades al lado AB. Halle el menor valor entero de el lado AB, si AC = 15 y AC > AB a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 1

A

x

e

7. Según el gráfico, calcule “x”

w 2w w

b) 240 e) NA

e) NA

10. En la figura, calcule: “x”.

a) 720º b) 900º d) 1800º e) 96º z

d) 3

d

f

q 2q q

b) 5

c) 4

Sistematización

c

g

2. En el gráfico, calcular: x° + y° + z°

y

b

a

a) 6

2q 3q

q

Q

c) 30 P

san marcos REGULAR 2014 – Ii

A q

C

4°

E A) 82º

B) 83°

C) 84°

D) 85°

D

E) 86°

55

geometría

Tema 1