GEOMETRIA

RAZONAMIENTO LÓGICO GEOMETRÍA La geometría plana es el estudio de las propiedades de las figuras compuestas de puntos, líneas y planos. La palabra “geometría” se deriva de las palabras griegas “geo” (tierra) y “metrón” (medir). Euclides, que enseñaba matemáticas en Alejandría, escribió el primer tratado de geometría y lo tituló “Elementos”. Poco ha cambiado en el presente lo dejado por él en esta rama de las matemáticas (también existen otras geometrías no euclideanas). Conceptos básicos Ángulo: Abertura entre dos rectas que se cortan en un punto (p), el punto en el que se intersectan es el vértice del ángulo (α). L1 P

α: ángulo

α

L2

Ángulos notables: Ángulos formados entre dos paralelas (L1 y L2) y una secante L3 L3

α Ω

θ

ζ

L2

β

τ

L1

∈

Ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes (iguales)

Ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes

τ βθ Ángulos alternos externos entre paralelas son congruentes

α

LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

5

Ángulos opuestos por el vértice son congruentes

Tipos de triángulos Los triángulos se clasifican en: Equiláteros: Tienen todos sus lados congruentes o iguales; de aquí se implica que todos sus ángulos internos son congruentes y que las alturas coinciden con sus respectivas medianas, bisectrices y mediatrices, cortándose todas en el mismo punto.

B

Triángulo: Se forman de la unión de tres puntos no colineales. Los componentes fundamentales de un triángulo son: Colineal: Que se encuentran en la misma recta

AB = AC = BC A = B = C = 60° 3 Altura = x (Lado) C 2

A

Isósceles: Tiene dos de sus ángulos congruentes. Esto implica que tiene dos de sus lados congruentes.

B

Base: Es el lado sobre el cual descansa el triángulo (puede ser cualquier lado).

A=C AB = BC

Altura: Es el segmento perpendicular que va desde la base o su prolongación hasta el vértice opuesto.

C

A

Luego, todo triángulo equilátero es isósceles. Escaleno: Todos sus lados son diferentes. Rectángulo: Uno de sus ángulos es recto (mide 90°)

B Cateto 2

b: base h: altura (perpendicular a la base) lados del triángulo

ˆ ángulos internos del triángulo ˆ ,B ˆ ,C A ˆ = 180° Siempre se cumple que Aˆ + Bˆ + C

6


Hipotenusa

H

b

A = 90° Luego B + C = 90°

A Cateto 1 C a

Un triángulo rectángulo tiene: Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto.

Catetos: Los lados que forman el ángulo recto. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se verifica la siguiente relación entre las longitudes de los lados: (Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 H2 = a2 + b2 Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes (iguales) si cumplen alguno de los siguientes criterios: 1. L-L-L: Lado-Lado-Lado: si los lados de un triángulo tienen la misma medida que los respectivos lados del otro triángulo. 2. L-A-L: Lado-Ángulo-Lado: si dos de los lados de un triángulo y el ángulo entre ellos son congruentes a los respectivos del otro triángulo. 3. A-L-A: Ángulo-Lado-Ángulo: si dos de los ángulos y el lado entre ellos son congruentes a los respectivos del otro triángulo. Polígono: Figura plana cerrada delimitada por segmentos de recta que se interceptan. Polígono regular: Polígono cuyos lados y ángulos tienen medidas iguales. Si no cumple alguna de estas condiciones, se llama irregular. Apotema: Distancia entre el centro de un polígono regular y cualquiera de sus lados

Áreas y perímetros de figuras planas Perímetro: Es la longitud del contorno de una figura. Si la figura es un polígono, el perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados (cuánto mide la línea que lo forma).

Área: Es una medida del tamaño de una superficie en unidades cuadradas (cuántos cuadrados caben en su interior: m2, cm2, etc.)


7

8


Hallar el área de un triángulo sabiendo que uno de sus lados mide 20 cm y la altura correspondiente a él mide 14 cm.

Hallar el área de un triángulo equilátero de lado L = 5 m. h

60°

L 60°

5m

14 cm

por el teorema de Pitágoras encontramos h

20 cm Se tiene que b=20 cm y h=14 cm.

b.h 20 cm .14 cm A= = = 140 cm2 2 2

h

L 60° L 2

L  2

2

h = L2 -   L = L 4 2

=

3 2 L 4

L = 3 2

2

b.h A= = 2 A=

(5m x 5m).

3

2 2

25 3 m2 4


9

Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 10 y 12 cm y su altura 6 cm.

A= L2 = 2(2 cm)2 = 2(4 cm2) = 8 cm2

Aquí b1 = 10 cm; b2 =12 cm; h = 6 cm, luego:

(b 1 + b2)h (10+12 )6 A= = 66 cm 2 = 2 2

B A

C Hallar el área de un rectángulo sabiendo que sus lados desiguales miden 18 cm y 15 cm respectivamente.

AB y BC son diagonales del cubo mostrado en la figura. Cuánto mide el ángulo ABC :

Como los lados desiguales de un rectángulo son perpendiculares entre sí, es posible considerar a uno de ellos como la base y a otro como la altura. Entonces, siendo b=18 cm y h=15 cm, se tiene: A = b.h = (18 cm).(15 cm) = 270 cm2

Solución: Un cubo está formado por seis caras cuadradas, iguales. Por tanto las diagonales son iguales entre sí. Además se sabe que en un triángulo con 3 lados iguales (equilátero) sus ángulos internos son iguales entre sí, y como su suma debe ser 180° por tanto ABC = 60°

En la figura siguiente, hallar el área del cuadrado sabiendo que el radio del círculo es r = 2 cm.

2

L

r r

1 La longitud de la circunferencia es:

Por el teorema de Pitágoras se sabe que: L2 = r2 + r2 L2 = 2r2 Donde L 2 es el área del cuadrado y si r = 2 entonces:

10


Solución: La otra diagonal del rectángulo es radio de la circunferencia, y las diagonales de todo rectángulo son congruentes. Luego L = 2πr = 2π (2) =4π

Área = Hallar el perímetro y el área de la siguiente figura

= L2 - πr 2 = (8cm)2 - π( 4cm)2 = 64cm2 - 16πcm 2 2 = 16( 4 - π)cm

2m

3m

3m

Perímetro =

= 4L + 2πr = 4(8cm) + 2π( 4cm)

4m

= 32cm + 8πcm

Perímetro = 2 πr = 3m + 4m + 3m + 2 m = 10m + π(2m) = 10m + 2πm = 2(5 + π)m Área = 1

2 = ( 4m · 3m) + 2 ( πr )

1 2

= 12m2 + π (2m)2 1 2

= 12m2 + π ( 4m2 )

= 8( 4 + π)cm

H a l l a r e l área y el perímetro de la región sombreada

a 2

a

4 2

= 12m2 + π m2

= 12m + 2πm

= 2(6 + π) m2

2

b

2

Área =

ab H a l l a r e l área y el perímetro de la región sombreada

1 2 r 4

1 a ab 4 2 1 a 4 2 a2 ab 16 a a b 16

2

2

ab

8 cm


11

II

III

IV

2

I

4

Perímetro =

a 1 a b a b a 2r 2 4 2 1 a 2b a 2 2 a 4 2b a 1 4 2b a

2

4

Luego el área rayada equivale a restarle al cuadro un círculo (la unión de las áreas I, II, III y IV). Así:

A = L2 - πr2 = 42 - π (2)2 = 16 - 4π = 4 (4 - π) cm2

En la figura siguiente hallar el área sombreada.

cm 2

cm

2

2

cm

2

Hallar el área de un octágono regular cuyo lado mide 6 cm y el apotema 4 cm.

O

cm

4 6

A a: apotema

Obsérvese que al unir los puntos medios de los círculos, se forma un cuadrado de lado 4.

cm

cm

Area a

2

2

2

cm

A 2

cm

Por lo tanto, el problema se reduce a la siguiente figura.

12


B

L

B

AOB =

a.L 4x6 = = 12 cm2 2 2

Ahora el octágono está conformado por ocho triángulos iguales AOB

Por tanto el área del octágono es ocho veces el área del ∆ AOB A octágono = 8 (Área ∆ AOB) = 8 (12cm2) = 96 cm2

Al trazar toda la diagonal del cuadrado, encontramos que la región sombreada equivale a un cuarto (1/4) del área de uno de los triángulos formados por la diagonal como base (que también es diámetro de la circunferencia) y como altura el radio de la misma.

R

R= 2 m π

Sea r el radio de la circunferencia

r

El área del círculo menor es la cuarta parte del área del círculo mayor. Si la cuerda puede dar exactamente diez (10) vueltas al círculo menor, la longitud de esta es Sean R: radio mayor, y r: radio menor. Así, 1 (π(R ) 2) = π (r)2 4

R =r 2

Longitud de la banda =

= 10 (2π r) = 20 p

1

π

= 20m

1 4

(2r)( r ) 1 = 0,0625 = 16 2

r2 =

1 1 Luego, Así, r = 4 2

1 L = 2π r = 2π   =π 2

A a B El área sombreada del cuadrado inscrito en la circunferencia con centro en O es 0.0625 m2. La longitud de la circunferencia es

a

C

a D

La figura muestra un cubo. La distancia entre A y D es


13

A a B

a

C

a

D

Piden la hipotenusa del triángulo rectángulo ABD, del cual sólo conocemos uno de sus catetos AB =a, pero el otro cateto (BD) es diagonal de la cara inferior del cubo, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo BCD. Luego, BD = √a2 + a2 = a√2 . Así, por teorema de Pitágoras

(

2

AD = a 2 + a 2 = a 3 ..

Volúmenes de sólidos Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo, o de la capacidad de un recipiente, en unidades cúbicas (m3, cm3, etc.)

Figura

Figura

Volumen

Prisma recto

Pirámide h V= 1 A base • h 3

V= A base • h

h

Volumen

A base

A base

Cilindro

Esfera

h

V = A base • h V = π r 2 •· h

r

4 V= 3 π r 3

r

Figura

Volumen

Cono V=

h r

14


1 A base • h 3

1 V= 3 = π r 2 •· h

El área B de base es el área de un triángulo que será igual a la mitad del producto de la base por la altura.

Hallar el volumen de la figura

(15).(13)

B = área de la base = 2 = 97,5 cm3 Entonces se tiene que para el volumen pedido h = 20 cm, B = 97,5 cm2, luego: V = h.B = (20 cm). (97,5 cm2) = 1.950 cm3 V= A base x Altura A base =

1

1 1

3 3

3

1

3

= 32 - 12 =9-1 =8

Hallar el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura es 6 m, el lado de la base 5 m y el apotema 4 m. Aquí h = 6 m. Hay que hallar el área de la base aplicando la fórmula del área de un polígono regular.

V=8x5 = 40 Hallar el volumen de un prisma recto triangular cuya altura es 20 cm; la base del triángulo es de 15 cm y la altura de este triángulo 13 cm, como se ve en la figura.

Hallar el volumen de un cono cuya altura mide 12 cm, y el diámetro de la base 8 cm. Se tiene que h = 12 cm, r = 8/2 =4 cm. Luego:

V=

1 12.π 42 2 .h. π r = 3 3

= 64 π cm3


15

Observemos que el volumen de 3 cilindros + 3 ¿Cuántos tanques cilíndricos de 2 m de altura y 6 m de diámetro harán falta para almacenar 1.131 m3 de agua?

π r3

conos es igual 3 ( π r 3) + 3

3

= 4π r 3 = 3 esferas

Para saber cuántos tanques cilíndricos harán falta basta con dividir el total de m3 de agua entre el volumen de cada tanque cilíndrico. En efecto, el volumen de cada tanque cilíndrico es:

Sobre un cono se coloca una bola (esférica) de

V = h . π r2

derretirse el helado, llena completamente el cono

helado de igual radio y de volumen

4π cm3. Al 3

Aquí h = 2m y r = D/2 = 6/2 = 3m, con D = diámetro.

sin derramar. Al derramar el helado dentro de un

Luego: V = 2.π.3 = 18π m = (18) (3,1416) m3 = 56,548 m3

llena solo una tercera parte.

2

3

Por tanto, el número de tanques cilíndricos que harán falta para almacenar 1.131 m3 de agua es:

1.131 = 20 tanques 56,548

vaso cilíndrico de altura dos veces la del cono, lo

i.

La altura del cono es

Volumen de la esfera =

4 3 4 πr = π . Entonces r 3 3

= 1 y este volumen es igual al del cono, luego Considere una esfera, un cilindro recto de radio y altura iguales al radio de la esfera, y un cono de radio y altura iguales al radio de la esfera. El volumen de tres de estas esferas equivalen a A. B. C. D.

4 1 π(1)3 = π(1)2 h entonces, h = 4. 3 3

ii. Con respecto al enunciado del problema anterior, el área de la base del vaso es: Sea R el radio de la base del vaso cilíndrico.

1 cilindro, 3 conos 2 cilindros, 3 conos 4 conos, 3 cilindros 3 conos, 3 cilindros

Entonces, 4

Para el ejemplo, volumen de la esfera: π r 3 3 Volumen del cilindro: πr2h = πr3 (r = h) Volumen del cono:

16

3 1 π r2h = π r 3 3

(r = h)


luego

1 4 π (1)3 = ( π R 2 (2h) 3 3

π 4 8 π = π R 2 . Así, π R 2 = 2 3 3

Para el literal D: ~A → ~C, esto es A ∨ ~C que es falsa. FIGURAS SEMEJANTES

De las siguientes afirmaciones, la única verdadera es A. si dos cilindros comparten la misma base

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño

e iguales alturas, entonces tienen iguales áreas superficiales B. si dos conos poseen iguales bases e iguales volúmenes, entonces tienen igual altura e iguales áreas superficiales C. si un cubo y una esfera tienen igual volumen, entonces el lado del cubo mide más que el radio de la esfera

En México, dentro de una pirámide regular con base cuadrada de área 36 m2 y altura igual al lado de la base, se halló inscrito un sarcófago en forma de cubo, como muestra la figura, lleno de oro. El resto de la pirámide estaba llena de plata.

D. si A es falsa, entonces C también lo es Solución. Encontraras un contraejemplo

h B

i.

B

Los cilindros del dibujo cumplen las condiciones del literal A pero observamos que sus áreas superficiales son diferentes. En el literal B se hace la misma analogía que en el literal A. Ahora, para el literal C: V cubo = V esfera Sea L: lado del cubo R: Radio de la esfera

L3 =

El volumen de oro hallado es

En una vista frontal tenemos

B L-x D x

x

A

E

L C

L Los triángulos ABC y DBE son semejantes, luego

4π 4 3 4π r >1 r y como 3 π r Entonces L = 3 3 3 3

entonces L > r. La respuesta es C.


17

(ii) Los ángulos correspondientes en figuras semejantes son iguales.

Por tanto, el volumen del cubo es X3 = (3m)3 = 27m3. i.

El volumen de plata hallado es

B

Volumen en plata = Vo. pirámide — Vo. cubo

1 1 L = L2 .L - x 3 = L3 3 3 2 =

3

a

1 1 5 3 = L3 - L3 = L, 3 8 24

5 (2 x3m)3 = 45 m3 . 24

b 1

A

2

2

4

ˆ y bˆ = Bˆ . La razón de En la figura, aˆ = A semejanza es K= 2. (iii) La relación entre las áreas de figuras semejantes es igual a la razón de semejanza al cuadrado (K2).

2

1 4 2 4 Figura 1

1

2

2

1

1 2 Figura 2

Las figuras semejantes cumplen cuatro propiedades fundamentales: (i) Las longitudes de los lados de figuras semejantes son proporcionales.

4 Figura 1

2 Figura 2

La razón de semejanza entre las figuras 1 y 2 es 2; por tanto el área de la figura 1 es K2 = 4 veces el área de la figura 2. En efecto, con cuatro trapecios como los de la figura 2, se puede construir el trapecio de la figura 1

1 1

6

9

Los dos rectángulos de la figura son semejantes y la razón de proporcionalidad entre sus lados (razón de semejanza, K) es 3.

18

1

1

2

1

2 3

1


2

2

(iv) La relación entre los volúmenes de figuras semejantes es igual a la razón de semejanza al cubo (K3).

Los dos conos de la figura son semejantes con K=2. La relación entre los volúmenes es K3 = 8, aunque no es posible construir el cono de la figura 1 disponiendo 8 conos como el de la figura 2. Ahora bien, si los sólidos fueran metálicos podrían fundirse 8 conos como el de la figura 2 para modelar el cono de la figura 1.

4 2 2

3 Figura 1

1,5 Figura 2

1

La razón de semejanza del sólido 1 al sólido 2 es 2. El volumen de la figura 1 es, por tanto, 8 (K3) veces el volumen de la figura 2. También en este caso, es posible hacer la construcción de la figura 1 usando 8 piezas idénticas a la figura 2. 3

En forma equivalente, si se tienen 2 recipientes cónicos con las dimensiones indicadas en las figuras 1 y 2, hará falta vaciar 8 veces el volumen del cono 2 para llenar el cono 1.

La figura muestra dos pedazos de tela cuadrada, al primero le quitan una porción circular y al segundo cuatro porciones circulares congruentes; por lo tanto, podemos afirmar que se desperdicia más material

2

2

4 2 1

1,5

En general no podrá hacerse la construcción de la figura, pero la relación entre los volúmenes se verificará estrictamente.

en la figura 1 que en la figura 2 en la figura 2 que en la figura 1 en ambas figuras por igual faltan datos acerca de las dimensiones del cuadrado o del círculo

Cualquier círculo es semejante a cualquier otro. Para las figuras 1 y 2 la razón de semejanza es 2, puesto que el diámetro de cada círculo de la figura 2 es la mitad del diámetro del círculo de la figura 1.

4

2 8 4

Figura 1

A. B. C. D.

Figura 2

Eso significa que el área del círculo de la figura 1 es 4 (K2) veces mayor que el área de cada círculo de la figura 2. Como hay 4 círculos en la figura 2, las áreas blancas de las dos figuras son iguales. El área sombreada, que corresponde al material desperdiciado también resulta igual para las 2 figuras.


19

TANGRAM Es originario de China y consiste en un conjunto de siete piezas poligonales que se forman mediante el corte de un cuadrado como se muestra en la figura El Tangram tiene las siguientes características: todos los triángulos son rectángulos; el triángulo (1) es igual al triángulo (5); el triángulo (2) es igual al triángulo

2

1

(4); el cuadrado (3), el triángulo (6) y el paralelogramo (7) son equivalentes cada uno a dos triángulos (1); el triángulo (2) es igual a dos triángulos (6).

3

4

Realiza las siguientes actividades con la ayuda del Tangram.

5

1. Compare las figuras que se proponen a

6

continuación, e identifique cuál de ellas posee

7

una mayor área y cuál un mayor perímetro. -

L/2

Con las 7 fichas del Tangram forme un cuadrado

L/2

-

Mueva 2 fichas del cuadrado anterior y forma un rectángulo

-

A partir del rectángulo anterior mueva 1 pieza para formar un triángulo

-

Ahora mueva 1 pieza para construir un paralelogramo no rectángulo

Con las piezas del Tangram construya un cuadrado, y asumiendo que uno de sus lados mide una unidad de longitud (1 U) y que por consiguiente su área es una unidad cuadrada de superficie (1 U2), realice las siguientes actividades. 2. Identifique qué fracción del área del cuadrado representa cada una de las piezas que lo constituyen. 3. Construya 2 cuadrados cuyas áreas sean la mitad del cuadrado original. 8

4. Construya 1 triángulo cuya área equivalga a los de la unidad de área (1U2), y luego otra cuya 16 9 área equivalga a los de la unidad de área (1U2). 16 5. Arme trapecios isósceles cuyas áreas sean

3 6 3 , y de la unidad de superficie (1U2). 4 16 16

6. Identifique el trapecio, el rectángulo y el rombo más pequeños que posee el Tangram y encuentre a qué fracción de la unidad de superficie (1U2) equivalen.

20


7. Utilice únicamente los triángulos del Tangram para construir inicialmente un rectángulo, luego con los mismos triángulos construya dos cuadrados. Con respecto al perímetro del rectángulo y el perímetro de los cuadrados, ¿qué encontró? Con respecto al área del rectángulo y el área de los dos cuadrados, ¿qué encontró? ¿Será cierta la afirmación de que figuras de igual área tienen igual perímetro y viceversa?

ACERTIJOS GEOMÉTRICOS

8. El número de triángulos que hay en la figura es _____ 9. El número de cuadrados que hay en la figura es _____ 10. El número de rectángulos que hay en la figura es _____

11. Una los cuatro puntos del recuadro con dos rectas y sin levantar el lápiz del papel.

12. Un pedazo de madera rectangular mide 3" de ancho y 8" de largo; ¿cómo lo cortarías para cubrir una superficie de 2" de ancho por 12" de largo?.

Madre

13. Un terreno rectangular formado por dos cuadrados debe ser repartido entre una madre y sus cuatro hijos. La madre toma la parte sombreada del terreno, y el resto debe ser dividido en partes de igual tamaño y forma para evitar que los hijos hagan reclamos. ¿Cómo dividiría el terreno?

14. Ocho cuadrados del mismo tamaño están

A

B

sobrepuestos en orden ascendente, como en la figura. Si el cuadrado 8 es el último en ser colocado, determine el orden en el que los otros 7 cuadrados fueron colocados.

C

8 G F

E

D


21

15. Mediante una línea continua cruce cada uno de los 16 segmentos de recta que posee la figura, de forma que la línea corte cada segmento sólo una vez.

A

16. Dos monedas idénticas A y B se encuentran inicialmente como muestra la figura. La moneda B permanece quieta, mientras que la A rueda a su alrededor sin deslizar, hasta que vuelve a la posición inicial.

B

¿Cuántas vueltas cree que habrá dado la moneda A?

17. En la figura el triángulo rectángulo tiene el vértice en el centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

4 cm

6 cm

169 m

2

144 m2 Terreno

18. Le acaban de regalar un terreno triangular como el mostrado en la figura, que se encuentra limitado por tres terrenos cuadrados.

¿Según la situación, cuál es el área de su terreno?

25 m2

19. El borde de un embalse es una circunferencia perfecta. Un pez empieza en un punto del borde y nada en dirección norte 600 metros, lo que lo devuelve al borde. Nada entonces en dirección este, llegando al borde después de recorrer 800 metros. Tome en cuenta que en todo triángulo rectángulo circunscrito su hipotenusa pasa por el centro de la circunferencia.

22

¿Cuál es el diámetro del embalse?


GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO 20. Anota las diferentes características de las figuras en la tabla que aparece a continuación.


23

24



25

GEOMETRÍA PLANA I Contesta las preguntas en la hoja de respuestas.

Preguntas 1 y 2.

3. El perímetro del cuadrilátero ACEG es A. 14 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 21 cm

2 cm

A

B

4. El perímetro del área sin sombrear es

1. Si la rueda da 3 giros completos en dirección horizontal como se muestra en la figura, la medida del segmento AB es A. 4 cm B. 4π cm C. 12π cm D. 12 cm

5. El perímetro del triángulo ADG es A. 16 cm B. 25 cm C. 28 cm D. 32 cm

2. El perímetro de la rueda es A. 2 cm B. 4π cm C. 8 cm D. 8π cm Responde las preguntas de la 3 a la 5 de acuerdo con la siguiente información.

D F

E

C

B

6. Una rueda de Chicago da 25 vueltas en cada turno; si los coches en los que se ubican las personas están a 5 m del centro de la rueda, la distancia recorrida por una persona que monta en la rueda durante dos turnos seguidos es A. 125π m B. 250π m C. 500π m D. 1.000π m De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 7 y 8.

A

G 8 cm

En la anterior figura los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros y sus perímetros son 12 cm, 12 cm y 15 cm respectivamente. 26

A. 16 cm B. 25 cm C. 39 cm D. 45 cm


Un vehículo se desplaza 100 m en dirección Este iniciando el recorrido en el punto A, hasta llegar a una curva semicircular, la cual cruza para llegar a otra similar pero invertida, y continúa el recorrido en línea recta otros 100 m hasta llegar al punto B, como lo indica la siguiente figura:

10. Si María desea adornar sólo el perímetro externo del mantel, la cantidad de cinta que requiere está dada por la expresión

N

A

O

100 m

10 0

B m

E

S

7. La distancia que recorrería el vehículo si pudiera continuar su recorrido en línea recta desde el punto A hasta el punto B es

A. 7.8 m + 2 m B. 9.6 m + 2.4 m C. 9.6 m - 2 m D. 12 m - 2.4 m De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 11 y 12.

A. 400 m B. 500 m C. 600 m D. 700 m 8. La distancia que recorrerá el vehículo si cumple la trayectoria señalada por las flechas desde el punto A hasta el punto B es

A. (34 + 8 2 ) cm B. 44 cm C. 36 cm D. (34 + 4 2 ) cm

A. (200 + 200π) m B. (100 + 100π) m C. (400 + 100π) m D. 600π m

12. El área de la zona sombreada es

De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 9 y 10. A María le regalan un mantel con las medidas y la forma que aparece en la figura.

0 15

11. El perímetro de la figura es

cm

A. 36 cm2 B. 37 cm2 C. 43 cm2 D. 44 cm2 13. El perímetro del cuadrado sombreado en la figura es

3 cm

60 cm

60 cm 180 cm

9. Si ella desea adornar el perímetro del mantel con cinta dorada, la cantidad de cinta que requiere es A. 2.4 m B. 9.6 m C. 12 m D. 15.5 m

3 cm 3 cm

3 cm

A. 12 centímetros B. centímetros C. centímetros D. centímetros


27

A partir de la gráfica, contesta las preguntas 14 y 15.

17. Al unir los puntos medios del triángulo equilátero ABC se forma otro triángulo equilátero DEF, y si nuevamente se unen

4 cm

los puntos medios de sus lados se forma el triángulo equilátero GIH. Si el perímetro del triángulo ABC es 192 centímetros, entonces el semiperímetro del triángulo GHI es

4 cm

C

I

D

14. El perímetro de la parte sombreada es

H

A. 16 centímetros B. 12 centímetros

G

A

C. 8 centímetros D. 4 centímetros

F

B. 48 centímetros C. 32 centímetros D. 24 centímetros

A. 16 centímetros B. 26 centímetros

18. El perímetro de la roseta (región sombreada

C. 18 centímetros

de la figura) es

D. 12 centímetros 16. Si el perímetro del paralelogramo ABCD es 54 centímetros, entonces el perímetro del triángulo equilátero sombreado es

C

A A. 18 centímetros B. 27 centímetros C. 13,5 centímetros D. 36 centímetros 28

B

A. 64 centímetros

15. El perímetro de la región no sombreada es

D

E


6 cm

B A. 6π cm B. 4π cm C. 12π cm D. 8π cm

19. Halle el perímetro de la región sombreada

21. El área de la región sombreada es A. 3 cm2 B. 9 cm2 C. 12 cm2 D. 24 cm2

2 cm

2 cm

22. El perímetro de la región no sombreada es A. 9 cm B. 12 cm C. 24 cm D. 36 cm

A. (4π + 2) cm B. (2π + 8) cm C. (4π + 8) cm D. (π + 4) cm

De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 23 y 24.

20. Al dividir el círculo, de radio cuatro centímetros, en ocho sectores congruentes, podemos afirmar que el perímetro de la región sombreada es

A. 36 π centímetros B. (8π + 24) centímetros C. (4π + 24) centímetros D. 4(π + 8) centímetros

Cinco amigos piden una pizza a domicilio y solicitan que ésta sea dividida en 5 porciones como muestra la figura; con el propósito de que los pedazos más grandes sean para aquellos que tienen más hambre y los más pequeños para aquellos que no tienen tanta hambre.

23. Si el tamaño de la porción de Jhonny que tiene mucha hambre, es de 100π cm2, el tamaño de la pizza antes de ser dividida era de

Preguntas 21 y 22.

A. 200π cm2 B. 400π cm2 C. 800π cm2 D. 1000π cm2

3 cm

La figura anterior se forma a partir de la unión de 4 triángulos equiláteros.

24. El borde de la pizza está relleno de queso y su longitud es de 40π cm, entonces la longitud del borde de la porción de Mariana que no tiene tanta hambre, es de A. 4π cm B. 5 cm C. 5π cm D. 8 cm


29

De acuerdo con la siguiente figura, responde las preguntas de la 25 a la 27.

28. Si el área de la parte superior es de 9π cm2, el área de la corona cubierta de chocolate es A. 5π cm2 B. 8π cm2 C. 9π cm2 D. 10π cm2

25. El área de la región sombreada respecto al área total es A. 3/9 B. 5/9 C. 2/19 D. 7/25 26. El área de la región no sombreada respecto al área total es A. 4/10 B. 3/9 C. 5/9 D. 16/36

29. El área de la zona de la torta que está decorada con mermelada de fresa respecto al total del área de la corona decorada es A. 1/3 B. 1/9 C. 2/8 D. 3/8 De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 30 y 31.

27. El área sombreada respecto al área sin sombrear es A. 5/4 B. 4/5 C. 10/36 D. 9/36 De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas 28 y 29. Una torta redonda se ha adornado en su parte central con mermelada de fresa con un diámetro de 2 cm, además en la corona circular que llega hasta el borde se ha adornado con pasta de chocolate.

1 cm 1 cm 30. El perímetro de la figura es A. π cm B. 2π cm C. (2 + 2 π) cm D. (6 + π ) cm 31. El área de la zona sombreada es A. 3 cm2 B. 3π cm2 C. 4 cm2 D. 4π cm2

30


32. Cuál es el área de la región no sombreada sabiendo que el lado del cuadrado mide 4 cm y los vértices están en el centro de cada círculo

34. Las rectas l1 y l2 son paralelas. El área del triángulo ABC es 12 m2. El área del triángulo ABD es

C

A

l1

D

l2

B

A. 12 2 m2 B. 6 3 m2

A. 6π cm B. 6π cm2

C. 12 m2

C. 12π cm D. 12π cm2

D. 0,7 x 12 m2

33. El área de la región sombreada de la siguiente figura; es

35. En la figura ABCD y ACEF son cuadrados y AC es la diagonal del cuadrado ABCD; halle el área de este cuadrado conociendo que el área del cuadrado ACEF es de 144 unidades cuadradas

E

a cm

F

B

C

A

D

π A. a2(1- ) cm2 4

π B. a2(1+ ) cm2 8

π C. a2(1- ) cm2 8

A. 35 u2

π D. a2(1- ) cm2 2

C. 72 u2

B. 144 u2 D. 72 3 u2 LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

31

36. En la figura el área del rectángulo es 300 cm2, entonces el área sombreada es

39. Halle el área de la región sombreada en la figura

4 cm A. 200 cm2 B. 180 cm2 C. 160 cm2 D. 150 cm2 A F E

4 cm

B

G

D

AE =

AD 2

AF =

AG 2

C

37. La razón entre el área sombreada y el área total del cuadrado ABCD es 1 A. 4 2 B. 6

8 cm A. (48 - 8π) cm2 B. (48 - 16π) cm2 C. 8(6 -2π) cm2 D. 4(6 - π) cm2 40. El área de la región sombreada de la figura, donde a = 2 cm es

3 C. 8 5 D. 16

38. Encuentre el área de la región sombreada en la siguiente figura

2a A. (2 3 - π) cm2 B. (4 3 - π) cm2 A. (32 - 16π) dm2 B. (64 - 40π) dm2 C. 4(16 - 5π) dm2 D. 16(9 – 2π) dm2 32


C. (8 3 - π) cm2 D. (4 3 - 2π) cm2

GEOMETRÍA PLANA II Contesta las preguntas en la hoja de respuestas.

Preguntas de la 1 a la 3. Las figuras a continuación están formadas con cuatro cuadrados iguales

1.

2.

3.

1. De las áreas sombreadas de las figuras se puede asegurar que A. es mayor en 1 que en 2 y 3 B. es mayor en 3 que en 1 y más en 1 que en 2 C. es mayor en 3 que en 2 y es igual en 2 que en 1 D. es igual en todas

4. E l p e r í m e t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a e s 4π cm, entonces el área del cuadrado sombreado es

A. 4 cm2 B. 8 cm2 C. 12 cm2 D. 16 cm2 5. Un poste proyecta una sombra igual a su longitud, el ángulo θ es

θ

2. La razón entre el área sombreada y la no sombreada en la figura 3 es A. 1

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

10 m

10 m

B. 1

2

R

1 C. 3

1 4

R

R

2+ 3 u

D.

3. Del perímetro de las áreas que no se encuentran sombreadas se puede asegurar que A. es igual en las tres figuras B. es mayor en la figura 2 C. es diferente en las tres figuras D. es igual en 2 y 3

6. El valor de R en los círculos es A. 3 u B. 3 u 2 C. 1u D. 2u LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

33

A

B

B

α

β

θ

D

A C

7. En el paralelogramo ABCD los valores de los ángulos α y β son 30º y 110º respectivamente.

Los valores respectivos de θ y γ son

A. θ = 10º B. θ = 30º C. θ = 10º D. θ = 30º

C 11. El triángulo ABC es equilátero y desde sus vértices se trazaron arcos.

γ = 20º γ = 10º γ = 40º γ = 40º

La figura sombreada que tiene el mismo perímetro es

A.

Preguntas de la 8 a la 10.

B. 1.

2.

3.

4.

8. La figura que tiene mayor área sombreada es A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. La pareja de figuras que tienen el mismo perímetro es

C.

D.

Preguntas 12 y 13.

A. 2 y 3 B. 1 y 3 C. 1 y 4 D. 3 y 4 10. La figura que tiene menor perímetro es A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

34


R

12. El perímetro del área sombreada es igual al de la figura

En los ejercicios de la 14 a la 18 encuentra el perímetro del área sombreada.

A. A.

1m

2R

B.

C.

B.

2R

14. Los arcos exteriores AB, AC y BC se trazaron con centro en los vértices del triángulo equilátero ABC, y radio igual al lado del triángulo. Los arcos internos son equivalentes a los arcos externos

R

D.

C.

2R

A. π m B. 2π m C. 4π m D. 6π m

A.

D.

C.

13. De las siguientes figuras la que tiene la misma área sombreada que la inicial es

A.

E.

2R

B. B.

C.

2R

R

15. AC = 8 cm AB = 6 cm AD = DC BE = EC

A. 18 cm B. 10 2 cm

D.

2R

1 C. 6 2 + 4 2 cm 4

D. 3 13 cm


35

A

B m

B.

A.

L

2

2

3u

16. La diagonal del rectángulo tiene una longitud de 5u y A y B son puntos medios de sus respectivos lados A. 5 2 u B. 5u C. 7 2 u D. 7u

D

C

19. ¿Cuál es el valor del lado del cuadrado si su diagonal tiene una longitud de 2 2 m? A. 1 m B. 2 m C. 2 m

R

D. 1 + 2 m

A

B A 17. El círculo A tiene el doble del radio del círculo B. A. 2πR B. 4πR C. 6πR D. 8πR

B

F

C

E D

18. Observa el siguiente hexágono regular

ABCDEF es un hexágono regular

m 1c 20. El ángulo HGI mide A. 30° A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm

36


B. 60° C. 90° D. 120°

G

H I

En los ejercicios del 21 al 35 encuentra el área sombreada.

24.

A B

B

C C

A D 10 cm

21. A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado de lado 10 cm

El triángulo ABC es recto con catetos iguales a 2

A. 20 cm2 B. 10 cm2 C. 2 cm2 D. 1 cm2

también isósceles.

cm, a partir de él se genera una serie de triángulos

A. 255 cm2 B. 128 cm2

22.

4u

C. 256 cm2 D. 127 cm2

1u

25.

A. 4u2 B. 4π2u2 C. 16u2 D. 16π2u2

1u

23.

1 A. u2 8

2u A. 2u2 B. 3u2 C. 3πu2 D. 4πu2

B. 1 u2 2 C. 1u2 D. 2u2


37

A

29.

26.

AB = BC = CD

B C 1m

D

1 A. m 2 C. 2

1 2 m 8

1 B. m2 D. 3

1 2 m 9

27.

El área del círculo mayor es de 1m2, y su diámetro se divide en 6 segmentos iguales. A. 1 m2 2

3u

3u

1 B. m 2 3

1 C. m 2 4

6u A. 4.5u2 B. 9u2 C. 12u2 D. 18u2

1 D. m2 5

30.

28.

0

El punto 0 es el centro del triángulo equilátero

y el vértice del arco que tiene radio 1u.

El triángulo ABC tiene un área de 9u2 y sus

A. 1u2 B. πu C. D.

38

lados se dividen en 3 segmentos congruentes entre sí

2

π 2 u 3 3 π u2 2


A. 3u2 B. 4u2 C. 5u2 D. 6u2

31.

33.

2

cm

2R

El área total de la figura es 9u2, el área del círculo pequeño de radio R es 2u2 A. 2 cm2

A. 1u2

B. 1 cm2 C. 2 cm2

3 B. u2 4

D. 4 cm2

1 C. u2 2

32.

2 π

45º

m

3 D. u2 2

34. A y B son puntos medios de los cuadrados de lado 1.

A 1 cm B

A. π m 2 3 

B.  45 + 

C.

ð 2

 2 m  

2 ⋅ 45 m2 π

D. 3 m 2

2

A. 6 cm2 B. 6.5 cm2 C. 7 cm2 D. 7.5 cm2


39

35.

38.

4

cm

24

0

1

36 0

5

El ángulo 1 tiene un valor de 70º y 0 es el centro de la semicircunferencia.

Los valores de los ángulos 3, 5 y 6 respectivamente son

π 4

A. cm 2 B. π cm2

A. 30, 60, 120 B. 40, 20, 140 C. 30, 40, 110 D. 50, 25, 105

C. 4π cm2 D. 16π cm2

Preguntas 39 y 40. Preguntas 36 y 37. A

A 2

1

D

θ 2

30º

B

B

4

C

36. El valor del ángulo θ es A. 30º B. 45º C. 60º D. 90º

1 F

39. La diagonal del rectángulo AEFG es A. 3 5 B. 2 3 C. 2 + 3 D. 2 17 40. El segmento GC tiene una longitud igual a

37. La longitud del segmento AC es A. 4 B. 5 C.

3 2

D. 2 3

40


ABCD es un cuadrado

C

G

1

E

A. 5 B. 3 2 C. 3 8

D. 17

GEOMETRÍA ESPACIAL Contesta las preguntas en la hoja de respuestas. 1. El volumen de la figura es

De acuerdo con el siguiente gráfico, responde las preguntas 4 y 5.

A. B. C. D.

4.

La jarra cilíndrica contiene jugo que será servido en copas como las que muestra la figura. La cantidad de copas que pueden llenarse con la jarra llena hasta la mitad es

A. B. C. D.

6 18 24 36

5.

En la figura se muestra una copa que ha sido llenada parcialmente. Puede decirse que la copa ha sido llenada en

A. B. C. D.

9/54 de su capacidad 8/27 de su capacidad 4/19 de su capacidad 3/16 de su capacidad

4(12 - π) 192 - 4π 288 - 2π 4(72 - π)

2. Encuentre la expresión que represente el volumen de la figura

A. B. C. D.

5x3 6x3 5x4 15x3

3. El volumen del siguiente sólido es


41

6. El volumen de un bloque de concreto como el de la figura, es 625 cm3 y la longitud es 25 cm. El área de la región sombreada es

9. La cantidad de veces en que está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del cilindro es A. tres veces B. dos veces y media C. una vez y media D. cinco veces 10. El sólido de la figura es

A. 35 cm2 B. 41,6 cm2 C. 25 cm2 D. 125 cm2 De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas de la 7 a la 9. El cilindro, la semiesfera y el cono tienen el mismo radio. La altura del cilindro y la altura del cono tienen el mismo valor con R = h.

A. (240 + 5 ) m3 B. 80(3 + ) m3 C. (80) m3 D. 40 (20 + ) m3 11. El número exacto de cubitos de 2 cm de lado que caben exactamente en la caja de

7. La cantidad de veces que está contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro es A. cuatro veces B. dos veces C. dos veces y media D. tres veces 8. La cantidad de veces en que está contenido el volumen del cono en el volumen de la semiesfera es A. una vez y media B. dos veces C. dos veces y media D. tres veces 42


A. 72 cubitos B. 32 cubitos C. 36 cubitos D. 48 cubitos 12. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirámide es A. 40/3 B. 40/ C. 40 D.

/3

13. El volumen de un cubo A es cuatro veces el volumen de otro cubo B. Si la suma de las áreas de todas las caras del cubo B es 150 cm2, entonces el volumen del cubo A es

15. La cantidad de cubos que tiene la figura 2 es A. 701/2 cubos B. 69 cubos C. 63 cubos D. 70 cubos 16. Si se pinta la región exterior de la figura 1, el total de cubos que quedarían sin pintura es

Cubo A

Cubo B

A. 24 B. 30 C. 18 D. 20

A. 600 cm3 B. 450 cm3 C. 575 cm3 D. 500 cm3 14. El volumen del sólido mostrado en la figura es

17. La cantidad de cubos que no tienen por lo menos una cara visible en la figura 3 es A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 18. Se funde un cilindro metálico de radio R y altura h, y con el metal se hacen conos cuyo radio es la mitad del radio del cilindro, pero de doble altura. La cantidad de conos que se obtienen es

A. 96 cm3 B. 140 cm3 C. 139 cm3 D. 136 cm3

A. 8 conos B. 6 conos C. 5 conos D. 4 conos

De acuerdo con la siguiente información, responde las preguntas de la 15 a la 17.

19. Las esquinas sombreadas de la figura se cortan y los lados se doblan para formar una caja. El volumen de la caja es

La posterior figura muestra tres sólidos compactos compuestos por unidades o fracciones de cubos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

A. 96 cm3 B. 32 cm3 C. 28 cm3 D. 56 cm3


43

20. El volumen de la figura es

23. Una bobina está hecha con tres cilindros con bases concéntricas, como se muestra en la figura. Los cilindros de los extremos tienen un radio de 10 cm y 2 cm de altura cada uno. El cilindro interior tiene por radio la mitad del radio de uno de los anteriores y altura 20 cm. El volumen de la bobina es

A. 224 B. 218 C. 150 D. 176 21. La construcción maciza está formada por bloques de 30 cm3 cada uno. El volumen de dicha construcción es

A. 945π B. 450π C. 600π D. 900π 24. Una superficie esférica está inscrita en un cilindro circular recto, de manera que es tangente a ambas bases. La razón del volumen de la esfera con respecto al volumen del cilindro es

A. 320 cm B. 480 cm3 C. 690 cm3 D. 750 cm3 3

A. 1/2 B. 3 C. 2/3 D. 3/2

22. La figura muestra un cilindro circunscrito a una esfera. Si el radio de la esfera es R, entonces el volumen del cilindro es

25. La figura muestra una caja rectangular de dimensiones a, b y c; para obtener una caja cuyo volumen sea el doble que el anterior, se requiere

A. πR3 B. 2πR3 C. 3πR3 D. 4πR3

A. duplicar el ancho, el largo y la altura B. duplicar el área de la base C. duplicar por lo menos dos dimensiones D. necesariamente duplicar el ancho

44


26. Para duplicar el volumen de un cilindro recto es suficiente

29. Dentro de una caja cúbica cuyo volumen es de 64 cm3, se coloca una pelota que toca a cada una de las caras en su punto medio. El volumen de la pelota es A. 32π cm3

16 π cm3 3

B.

64 π cm3 3

C.

32 π cm3 3

D. A. duplicar el radio y la altura B. duplicar el radio o la altura C. duplicar la altura D. duplicar el radio 27. Si se cuadruplica la altura de un cilindro y se reduce a la mitad su radio, entonces A. el volumen se duplica B. el volumen se cuadruplica C. el volumen se mantiene igual al anterior D. el volumen queda multiplicado por dos cuartos 28. En un torno se construye una barra circular recta a partir de una viga de acero que tiene forma de prisma recto, como muestra la figura. La cantidad de acero que se desperdicia si se construye la barra cilíndrica de mayor volumen es

A. 1.280 - 160π B. 320(4 - π) C. 320(8 - π) D. 1.280 - 640π

30. La longitud de la diagonal de un cubo es 6 cm. Su volumen es A. 18√3 cm3 B. 8√3 cm3 C. 24√3 cm3 D. 6√3 cm3 31. Se vende café en dos tipos de recipientes cilíndricos; el más alto tiene el doble de altura que el otro, pero su diámetro es la mitad del diámetro del más bajo. El más alto cuesta $80 y el más bajo $120; el más económico es

A. el más bajo B. el más alto C. igual D. faltan datos LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

45

32. Si la medida de la arista de un cubo se incrementa en un 50 %, entonces el volumen

35. El volumen del tronco de cono, con las medidas dadas en cm en la figura, es

del cubo se aumenta en A. 337,5 % más B. 237,5 % más C. 250 % más D. 230,5 % más

33. El volumen del sólido dado en la figura, si la parte superior es una semiesfera, la central un cilindro y la inferior un cono, es

A. 25,3π B. 24π C. 12π D. 23,5π

36. El volumen de la siguiente pirámide es

A. 23π cm3 B. 23π/3 cm3 C. 3π/23 cm3 D. 3π cm3 34. El agua contenida en un vaso cilíndrico de 36 cm de diámetro y de 50 cm de altura ha de envasarse en otro también cilíndrico y de 80 cm de diámetro. La altura que sube el agua es A. 15,125 cm B. 18,125 cm C. 10,125 cm D. 12,125 cm 46


A. 45 cm3 B. 40 cm3 C. 120 cm3 D. 30 cm3

37. Se dispone de una caja rectangular como muestra la figura, y se desea llenar completamente de pelotas de tenis cuyo radio es dos centímetros; por lo tanto, la cantidad de pelotas necesarias para llenarla es

A. 72 pelotas

16

B. 48 pelotas C. 32 pelotas D. 36 pelotas

12

12

Una lámina de aluminio de forma rectangular se une por sus extremos hasta formar un cilindro.

38. El mayor volumen que puede alcanzarse al unirla es A. ambas figuras tienen el mismo volumen B. 504π2 cm3 C. 588π2 cm3 D. 612π2 cm3 39. En un cubo lleno de agua se introduce una pirámide de igual base que el cubo y cuyo vértice llega al mismo nivel del agua. La porción del agua que ha quedado en el cubo después de introducida la pirámide es A. 1/4 B. 3 C. 1/3 D. 2/3 40. La figura muestra 2 cilindros de igual altura; el radio de la base del cilindro A es 2/3 del radio de la base del cilindro B. Si el cilindro A tiene un volumen de 72 cm3, el volumen del cilindro B es

A. 162 cm3 B. 144 cm3 C. 108 cm3

A

B

D. 148 cm3


47

SECUENCIAS ALFANUMÉRICAS Consiste en observar los términos de una sucesión y descubrir el patrón que rige el comportamiento de la sucesión estudiada para inducir el valor o figura que se requiere donde se halla el signo de interrogación. Aquí no se cuenta con métodos generales, y el trabajo depende de la creatividad e ingenio que desarrolla el estudiante.

Algunas secuencias no solo tienen que ver con el orden de unos números o letras, si no que también se relacionan con su posición, por ejemplo

e, d, k, g, f, k, i, h, k, ?? A. l, l B. k, l C. k, j D. j, l Solución: Se plantea el abecedario por parejas, pero escribiendo la pareja en forma invertida d, e se escribe e, d. Ojo: la k es un distractor, cada pareja está separada por una k, la pareja que continúa es j, k se escribe k, j, luego la opción correcta es c.

27 15 3

11

?

19 7

Aparentemente la figura no tiene una secuencia clara pero si se organizan de menor a mayor los números puestos aparentemente de una forma arbitraria se observa una secuencia así 3, 7, 11, 15, 19, 27 y se puede descubrir a su vez que la secuencia tiene una relación con la posición.

27 15 3

11

?

19 7

3 +4 7 +411 +415 +419 +4? +42, en consecuencia el numero faltante es el 23

48


A. 25 B. 11 C. 48 D. 26 Solución: En las secuencias se busca una ley de ordenamiento; una regla común se debe cumplir entre los elementos. Así, si al primer elemento le sumo 2, obtengo el segundo 3 + 2 = 5; el segundo se multiplica por 2 y se obtiene el tercero 5 x 2 = 10; así repito sumando 2 y luego multiplico por 2. La opción correcta es la d.

Algunas secuencias tienen una particularidad especial pues no se definen solamente a partir de operaciones cotidianas como sumas o multiplicaciones si no que su ley de formación está relacionada con potencias por ejemplo la secuencia 1, 4, 9, 16, ?, ? Esta secuencia se puede interpretar como un incremento regular así 1+3 4+5 9+7 16+9?+11 ? por lo que la respuesta es 25, 36 Aunque si consideramos que dicha secuencia es la de los cuadrados de los números naturales es más sencillo; si trabajamos con cuadrados a la hora de obtener una posición posterior por ejemplo 12 22 32 42 52 62 ... 1 4 9 16 ? ? Por tanto si necesitamos la posición 14 por ejemplo sólo debemos elevar el 14 al cuadrado en lugar de hacer sumas sucesivas

Existen secuencias que están relacionadas con potencias del mismo número, lo más común es que dicho número sea el 2. 2, 3, 5, 9, 17, 33, ? dicha secuencia se puede también interpretar como una suma sucesiva de potencias de 2 2+1 3+2 5+4 9+8 17+16 33+32 ? El resultado será 65 Aunque también es posible interpretarlo de otra forma, haciendo un paralelo con las mismas potencias 20 21 22 23 24 25 26 1 2 4 8 16 32 64 2 3 5 9 17 33 ? Acá es claro que la secuencia inicial es la misma de las potencias del 2 sólo que a cada término se le suma 1.


49

SECUENCIAS ALFANUMÉRICAS I Contesta las preguntas en la hoja de respuestas.

En los ejercicios siguientes, indica cuál solución corresponde al signo de interrogación.

4. 24

1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?

27

A. 16 B. 23 C. 21 D. 18

31

2.

3

8

?

14

48

21 38 29

A. 58 B. 60 C. 59 D. 57

15

8

12

35

?

A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 5.

3

8

18 38 78

A. 156 B. 155 C. 157 D. 158 6. 4, 5, 10, 11, 22, 23, ? A. 24 B. 25 C. 46 D. 47

3.

7. A. ECBDE B. DCBAE C. CAEBD D. ECABD 8. 28, 20, 13, 7, ? A.

C.

B.

D.

50

18


A. 5 B. 2 C. 4 D. 1

?

9.

14.

2

8

3

12

28

7

23

?

?

A. 66 y 67 B. 72 y 68 C. 68 y 69 D. 92 y 87

G

I

K M ?

A. N B. O C. P D. Q

A. 4, 4 B. 2, 0 C. 2, 4 D. 6, 4

16.

A

B

D

F

G

I

?

A. H B. L C. J D. K

11. ZYXUVWTSR ? ? ? A. POQ B. QPO C. OPQ D. NOP

17. 720, 360, 120, 60, 20, ? A. 20/3 B. 10 C. 10/3 D. 20

12.

A. G B. I C. H D. J 15.

10. 8, 10, 4, 6, 8, 4, 4, 6, 4, ?, ?

3

A D C F E ?

5

10

24

A. 187 B. 188 C. 133 D. 190

65

?

18. 4, 9, 16, 25, 36, ? A. 49 B. 72 C. 63 D. 64 19. C4E, 7B9, E6G, 9D11, ?

13.

? 10

11 25 31 13

A. 21 B. 19 C. 18 D. 20

A. G8J B. 11F13 C. G8I D. 11E12 20.

5

7 10 15 23

?

A. 33 B. 34 C. 35 D. 38


51

21.

26.

1

2

4

8

10

20 22

1

2

3

5

?

8

?

A. 33 B. 30 C. 25 D. 44

A. 12 B. 11 C. 13 D. 14

22.

27.

2

4

5 10 11 22 ?

1 2 1 3 2 4 3 9 8 ? A. 23 B. 27 C. 44 D. 58

A. 17 B. 16 C. 15 D. 18

28.

5

2

23.

13

7

10

5

7

3

4

?

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

15 18 54

A. 27 B. 108 C. 162 D. 57 29.

9

3

6

6

24.

2

25 27 30 15

5

7 10

?

18 45

30.

25.

11 14

9

11

7

A. 8 B. 11 C. 33 D. 23 52

? 15

A. 21 B. 37 C. 18 D. 42

A. 5 B. 4 C. 8 D. 16

17

?


5

? A. 45 B. 34 C. 28 D. 60

4 8

6 18 15 ?

31.

9

14

18

6

?

11

36.

?

22 1 16 11

A. 11 B. 15 C. 13 D. 18

8

18

37. 1 B 3 D 5 F 7 ? ? A. H 9 B. 8 I C. 8 H D. H 10

9 ?

14

7

A. 12 B. 8 C. 4 D. 2

32.

23

2 29

A. 10 B. 11 C. 13 D. 23

38.

33. 2/1, 4/4, 8/27, ?/?, 32/3125 A. 16/256 B. 64/256 C. 81/16 D. 64/243

3

8

12

6

2

?

24

A. 28 B. 20 C. 39 D. 32 39. ¿Cuáles números remplazan las letras x, y, z, w respectivamente?

1

34.

0

1 1

4

2 4

2 3

4

X 9

5

Y

w Z

6 16 12

7 ?

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

A. 6, 7, 6, 16 B. 7, 6, 7, 16 C. 8, 7, 8, 32 D. 7, 8, 7, 32 40. ¿Cuál número reemplaza la interrogación?

35. 0, 1, 3, 7, 15, 31, ? A. 35 B. 64 C. 63 D. 48

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

53

SECUENCIAS ALFANUMÉRICAS II Contesta las preguntas en la hoja de respuestas.

En las siguientes secuencias selecciona la opción que va en el lugar de la interrogación.

1.

6; 13; 24; 39; ?

A. 48 B. 58 C. 63 D. 66 2.

1; 3; 7; 13; 21; ?

A. 27 B. 31 C. 32 D. 33 3.

5; 15; 45; 135; ?

A. B. C. D.

275 315 405 525

4.

4; 11; 30; 85; ?

A. B. C. D.

97 95 100 248

5.

1; 2; 3; 6; 6; 12; 10; ?

A. B. C. D. 54

17 20 24 36


6.

A; C; F; K; ?

A.

S

B.

U

C.

P

D.

Q

7.

5; 10; 17; 26; 37; ?

A. 50 B.

73

C.

64

D. 65 8.

0; 2; 4; 6; 12; ?

A. 20 B. 16 C.

24

D.

14

9.

7; 8; 16; 17; 34; ?

A. 35 B.

43

C.

45

D. 68 10.

5

23

?

8 2

3 12

A. 15 B. 17 C. 19 D. 20

11.

17

21

27

14

10

7

30

A. 37 B. 39 C. 40 D. 42

?

36

12.

vwxyz A.

yvzxw

xywzv

?

ZXVYW

B. XZVWY C. ZXWVY D. ZXVWY 13.

19

24

21

8

4

6

9

?

A. 3 B. 4 C. 6 D. 1 14.

9 3

6 18 15

?

A. 20 B. 21 C. 45 D. 12


55

15.

Señale las letras que reemplazan las interrogantes.

7

6

6

4

?

8

A. B. C. D.

A. 8 B. 7 C. 6

WE WD VE VD

20. L 5 M 6 M 7 J 8 ? ?

D. 10

A. V9 B. W9 C. S8 D. M9

16. 30; 0; -20; 20; 10; -80; _____? A.

19. Z A X C ? ?

90

B. 160

21. A B D E H I ? ?

C. 80

A. LM B. KL C. JK D. MN

D. 200

17.

1

1

2

6

24

?

22. 1, s, 3, ?, 5, s, 7, o, ? … A. B. C. D.

A. 48 B. 96

sy9 4yN 5yG oy9

C. 120 D. 140

23. 31, 29, 23, 19, 17, ?, ?

18.

A. B. C. D.

19

13

16

11

13

9

13 y 11 15 y 13 14 y 11 11 y 7

? 24.

A. 2 B. 10 C.

24

D. 35 56


A. 35 B. 34 C. 32 D. 29

4 10 17 25 ?

25. 15, 5, 20, 4, ?, 24/7, 192/7

30.

A. 12 B. 30 C.

24

D.

40

?

26. 7, 19, 31, 43, ?, 21, 10 A. 22 B.

45

C.

28

A.

C.

B.

D.

D. 32 Las letras que reemplazan la interrogación son. 27. 1, 2, 4, 7, 11, 16, ?

31.

A. 22

2

3

1

8

7

?

B. 31 C.

24

D.

25

28. 0, 1, 3, 6, 10, ? A.

14

B. 16 C. 18

2

3

4

1

4

5

A. 20 B. 21 C. 23 D.

24

D. 15 29. ¿Qué palabra falta?

32.

6

- Ruso (roca) Coja

- Paga ( ? ) tubo

A. pabo B. pata C.

tupa

D.

pato

2 4

1

5 3

8

4 6

1

3 ?

A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 LIBRO V - PREUNIVERSITARIO INSTRUIMOS - 13

57

33.

3

?

37.

9 1

3

7

5

3

10

7

15

5 5

A. 17 B. 14 C. 21

?

8

4

9 3

5

4

3 4

1

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

D. 28 34.

24

12

2

8

4

?

3

3

1

?

38. 14 13 12

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11 10

A. 16 B. 13 C. 15 D. 17

35.

5

2

7

3

4

8

6

4

5

39. 10

7

?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

A. 11 B. 13 C. 14 D. 17

36.

40.

4

2

3

6

3

24 8

1

5

2

10 ?

A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 58

12 (25) 13 4 (13) 9 6 (?) 8


3

2 1

A. 29 B. 34 C. 35 D. 41

1

21

13 5

8

144

89 ?

55

MISCELÁNEO Contesta las preguntas en la hoja de respuestas 1.

Determine la fracción correspondiente a la región sombreada de la figura.

5.

Un artículo costó $3.699 y se vende por los 2/3 del costo. Se perdió un total de

A. B. C. D.

$2.466 $1.322 $1.233 $1.713

6.

La edad de Carlos es la mitad de los 2/5 de la edad de Gabriel; si éste tiene 35 años, Carlos tiene

A. B. C. D.

5/10 10/32 9/20 15/32

A. B. C. D.

7 años 9 años 25 años 15 años

2.

Tenía $200 y gasté los 3/5 de ellos. Me quedan

7.

Si cada imagen representa la unidad, la expresión incorrecta es

A. B. C. D.

$120 $80 $40 $60

3.

La fracción del día que representa un segundo es

A. 1/3.600 B. 1/96.400 C. 1/86.400 D. 1/76.400 4.

Una junta de crédito aprobó una solicitud en votación de cinco a tres. La fracción de miembros que negó la solicitud fue

A. B. C. D.

5/8 3/8 3/5 8/8

A.

B.

C.

D.


59

8.

Una estaca está enterrada en la laguna de “Hato Viejo”. Si 2/5 de la estaca están en la tierra, 121 cm en el agua y 2/7 en el aire, entonces el largo de la estaca es

11. La razón de estrellas que tiene la persona C con respecto al total de estas es

A. B. C. D.

430 cm 385 cm 375 cm 465 cm

A. B. C. D.

9.

Una pelota se deja caer desde una altura de 1.280 m. Además siempre que rebota alcanza los 3/4 de la distancia recorrida al caer. Despues del cuarto rebote alcanza una altura de

12. De los elementos de B, la razón de las esferas es

A. B. C. D.

50,8 m 450 m 540 m 405 m

A. B. C. D.

10. Un tanque transportador de leche está lleno a 1/5 de su capacidad. Después de agregarle 165 galones el indicador muestra 4/5. Los galones que llenan el tanque si está vacío son A. 165/3 B. 275 C. 165 D. 175

B.

La tabla indica la cantidad de cuadrados, estrellas y esferas que poseen las personas A, B, C, D y E

A

TOTAL

60

13

B

10

C

11

D

11


E

7

5/21 5/8 1/2 10/21

13. De acuerdo con lo que tiene cada persona, podemos deducir que A.

Responde las preguntas 11 a 13 de acuerdo con la siguiente información

3/10 1/7 2/7 4/7

C. D.

la razón de estrellas de E es mayor que la de los cuadrados de D la razón de estrellas de E es menor que la de los cuadrados de A la razón de estrellas de E es menor que la de los cuadrados de D la razón de esferas de A es igual a la de B

14. Nueve hombres pueden hacer una obra en cinco días. El número de hombres de más, necesarios para hacer la obra en un día y el número de hombres de menos para hacerla en 15 días son, respectivamente A. B. C. D.

2,25 y 27 45 y 3 36 y 6 45 y 6

15. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de nueve días sólo han hecho los 3/7 de la obra; los hombres con que tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado son A. 24 B. 23 C. 19 D. 21 16. Se han empleado ocho días para cavar una zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda con la dificultad del primero la relación de cuatro a tres, los días que llevaría cavar una zanja igual en el nuevo terreno son A. 6 días B. 102/3 días C. 11/2 días D. 122/3 días 17. Un obrero tarda 12 3/5 días en hacer 7/12 de una obra. El tiempo necesario para terminar la obra es A. B. C. D.

18 días 3 días 9 días 12 días

18. Se vendieron dos casas a $12.960 cada una. En una se ganó el 8 % del costo y en la otra se perdió el 8 % del costo. Se perdió o ganó en total A. B. C. D.

No se ganó ni se perdió Se perdió $180 Se ganó $150,26 Se perdió $ 166,96

De acuerdo con la siguiente información, responda las preguntas 19 y 20. Para introducir un tipo de pizza en una pizzería se le puso precio de lanzamiento muy económico; al cabo de tres meses se le duplicó el precio. Al notar el dueño que la cantidad de pizzas vendidas disminuía, bajó el precio un 20 %. El precio final de una pizza quedó en $1.200 19. El precio que tenía antes del descuento del 20% era A. B. C. D.

$1.260 $1.500 $1.000 $1.080


61

20. El precio inicial de la pizza es A. B. C. D.

$750 $1.000 $630 $800

21. Un granjero que tiene en su corral vacas y gallinas, observa que el número total de patas es igual al doble del número de cabezas más 14. Entonces, el número de vacas es A. 28 B. 21 C. 7 D. 35 22. Diana tiene caballos y vacas, en total tiene 100 animales. Si se duplicaran los caballos y se triplicaran las vacas, en total serían 260 animales. Diana tiene A. B. C. D.

60 caballos 40 caballos 50 caballos 80 caballos

25. Pacho le dice a Claudia: si me das una naranja, tendré el triple que vos, y Claudia le dice a Pacho: si tú me das dos naranjas, entonces tendremos la misma cantidad. Entre Pacho y Claudia hay un total de A. B. C. D.

16 naranjas 12 naranjas 15 naranjas 18 naranjas

26. Un examen consta de diez problemas, se dan cinco puntos por cada respuesta correcta y se quitan dos por cada respuesta incorrecta. Nancy resolvió los diez problemas y obtuvo una calificación de 29 puntos. La cantidad de respuestas correctas que contesto Nancy fue A. 8 B. 9 C. 3 D. 7

23. La cantidad de litros de una solución de ácido nítrico al 60 % que debe añadirse a 10 litros de una solución al 30 %, para obtener una solución al 50 % es

27. En un zoológico hay jirafas y avestruces, si en total hay 30 ojos y 44 patas. El número de jirafas y avestruces es, respectivamente

A. B. C. D.

A. B. C. D.

20 litros 25 litros 30 litros 18 litros

7y8 9y5 13 y 12 4 y 11

24. En un día la máquina A coloca la tapa al doble de botellas que la máquina B. La máquina C tapa 500 botellas más que la máquina A. Las tres máquinas en total tapan 40.000 botellas en un día. La cantidad de botellas que tapa la máquina B es

28. La cabeza de un caimán es la tercera parte de su cuerpo. La cola de un caimán es tan larga como su cabeza y su cuerpo juntos. Si la longitud del animal es de 480 cm, su cabeza mide

A. 9.875 B. 7.990 C. 35.500 D. 7.900

A. B. C. D.

62


50 cm 80 cm 60 cm 40 cm

29. Si el perímetro de un rectángulo es 28 cm y su área es 48 cm2, entonces la longitud de su ancho podría ser A. B. C. D.

7 cm 8 cm 9 cm 10 cm

30. El precio de un melón y una manzana es de $470. El precio de un melón y una piña es de $620. El precio de una piña y una manzana es de $350. La fruta más cara cuesta A. B. C. D.

$740 $370 $350 $620

31. 4 hermanos tienen las siguientes edades: El primero tiene 12 años, el segundo la mitad del primero más 8 años, el tercero 2 años más que el segundo y el último tiene el doble del tercero menos 10 años. La edad promedio de los hermanos es A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 32. En una ruta urbana que tiene 30 vehículos, se registró un volumen de pasajeros movilizados durante el día x, igual a 7.830 usuarios. El mismo día el 10 % de los vehículos no prestaron el servicio por estar en mantenimiento. El promedio de pasajeros movilizados por vehículo ese día fue A. 250 B. 270 C. 290 D. 310

Responde las preguntas 33 y 34 de acuerdo con la siguiente información. Carolina y Johny tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren fabricar el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola teniendo todos los collares igual cantidad de bolas del mismo color 33. El número de collares iguales que se pueden formar es A. 3 B. 5 C. 10 D. 25 34. El número de bolas de cada color, blancas, azules y rojas, que tiene cada collar respectivamente es A. B. C. D.

5, 3 y 18 18, 3 y 6 3, 18 y 19 15, 6 y 12

Se cuenta con 244 almanaques de bolsillo para empacarlos en paquetes de 6 o 5 almanaques. 35. El mínimo número de paquetes que pueden formarse sin que sobren ni falten almanaques en cada paquete es A. B. C. D.

40 41 42 43

36. El máximo número de paquetes que pueden formarse es A. 44 B. 46 C. 48 D. 50


63

A partir de la siguiente información, responde las preguntas 37 y 38. La ciudad K cuenta con un sistema de transporte masivo en trenes tipo metro. La línea principal A despacha trenes cada 3 minutos, la línea B lo hace cada 5 min y la línea C cada 9 minutos. Aunque los trenes de cada línea tardan un tiempo diferente en llegar desde su origen a la estación central, sí lo hacen con absoluta precisión en sus intervalos. 37. Las máquinas registradoras de la estación indican que los trenes A, B y C se han bajado 570, 285 y 380 pasajeros respectivamente. Si cada tren transporta por vagón exactamente el mismo número de usuarios, los pasajeros que fueron transportados en cada vagón del sistema son A. 85 B. 95 C. 105 D. 115 38. El número de vagones que tienen los trenes C y A respectivamente es A. B. C. D.

6y4 3y4 3y6 4y6

Responde 39 y 40 de acuerdo a la siguiente información. Un automóvil recorre una pista circular en 30 minutos, otro automóvil la recorre en 25 minutos. Si los automóviles inician en la misma línea de partida y a una velocidad constante, 39. El tiempo que se demoran en volver a pasar juntos por la línea de partida es A. B. C. D.

160 minutos 140 minutos 2 h, 30 minutos 2.2 horas

40. La diferencia de vueltas entre los automóviles cuando coinciden en la línea de partida, habiendo iniciando iguales es A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

64


GEOMETRIA

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