Formule de analiză matematică Asimptote • Asimptote orizontale Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se
f ( x) . calculează xlim →+∞ Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă orizontală spre +∞ . Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficul are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l . Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞ • Asimptote oblice Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cu formulele:
f ( x) x →+∞ x n = lim [ f ( x ) − m ⋅ x ] m = lim x →+∞
Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞ • Asimptote verticale Se calculează xlim f ( x ) şi xlim f ( x) . →x →x 0
0
x < x0
x > x0
Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de ecuaţie x = x0 . Derivata unei funcţii intr-un punct: f ′( x0 ) = lim x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )
Reguli de derivare:
( f + g )′ = f ′ + g ′ ( f − g )′ = f ′ − g ′ ( c ⋅ f )′ = c ⋅ f ′ ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ ⎛ f ⎞′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ ⎜g⎟ = g2 ⎝ ⎠ Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale 1 c′ = 0 ( ln x )′ = x x′ = 1 1 x ⋅ ln a
( x 2 )′ = 2 x
( loga x )′ =
( x 3 )′ = 3x 2
( sin x )′ = cos x
( x 4 )′ = 4 x 3 ( x )′ = n ⋅ x n
n −1
1 ⎛ 1 ⎞′ ⎜ ⎟ =− 2 x ⎝x⎠ 1 ′ x = 2 x
( )
( e )′ = e ( e )′ = − e ( a )′ = a ⋅ ln a x
x
−x
x
−x
x
( cos x )′ = − sin x 1 cos2 x 1 ( ctgx )′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x )′ = 1 − x2 1 ( arccos x )′ = − 1 − x2 1 ( arctgx )′ = 1 + x2 1 ( arcctgx )′ = − 1 + x2
( tgx )′ =
Tabel cu derivatele funcţiilor compuse
( ln u )′ =
(u )′ = 2u ⋅ u′ 2
( loga u )′ =
(u 3 )′ = 3u 2 ⋅ u′ (u 4 )′ = 4u 3 ⋅ u′ (u )′ = n ⋅ u n
n −1
⋅ u′
u′ ⎛ 1 ⎞′ = − ⎜ ⎟ u2 ⎝u⎠ u′ ′ u = 2 u
( )
( e )′ = e ⋅ u′ ( e )′ = −e ⋅ u′ ( a )′ = a ⋅ ln a ⋅ u′ u
u
−u
u
−u
u
u′ u
u′ u ⋅ ln a
( sin u )′ = cos u ⋅ u′ ( cos u )′ = − sin u ⋅ u′ u′ cos2 u u′ ( ctgu )′ = − 2 sin u u′ ( arcsin u )′ = 1 − u2 u′ ( arccos u )′ = − 1 − u2 u′ ( arctgu )′ = 1 + u2 u′ ( arcctgu )′ = − 1 + u2
( tgu )′ =
∫ 1dx = x + C x2 ∫ xdx = 2 + C x3 2 ∫ x dx = 3 + C x4 3 ∫ x dx = 4 + C x n +1 n x dx = +C ∫ n +1 1 ∫ x dx = ln x + C x x ∫ e dx = e + C
∫e
−x
dx = − e − x + C
ax ∫ a dx = ln a + C x
Tabel cu integrale nedefinite ∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + C 1 ∫ cos2 x dx = tgx + C 1 ∫ sin2 x dx = −ctgx + C 1 1 x dx = arctg +C ∫ x2 + a2 a a 1 1 x−a ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 + a 2 dx = ln x + x + a + C 1 2 2 ∫ x 2 − a 2 dx = ln x + x − a + C 1 x ∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
(
Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este:
∫ f ( x) g ′( x )dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:
∫
b
a
b
f ( x ) g ′( x )dx = f ( x ) g ( x ) ba − ∫ f ′( x ) g ( x )dx a
Aplicaţii ale integralei definite • Aria subgraficului unei funcţii Dacă f : [a, b] → este o funcţie continuă pozitivă atunci avem: b
A( Γ f ) = ∫ f ( x )dx a
• Volumul unui corp de rotaţie Dacă f : [a, b] → este o funcţie continuă atunci avem: b
V (C f ) = π ∫ f 2 ( x )dx a
)
∫ u′( x )dx = u( x ) + C u2 ( x) +C 2 u3 ( x) 2 ′ ∫ u ( x ) ⋅ u ( x )dx = 3 + C u4 ( x) 3 ′ ∫ u ( x) ⋅ u ( x )dx = 4 + C
∫ u( x ) ⋅ u′( x )dx =
u n +1 ( x ) ∫ u ( x ) ⋅ u′( x )dx = n + 1 + C u′( x ) ∫ u( x ) dx = ln u( x ) + C n
∫e ∫e
u( x )
u′( x )dx = eu ( x ) + C
−u( x )
∫a
u( x)
u′( x )dx = − e
−u( x )
+C
au( x) +C u′( x )dx = ln a
∫ sin u( x) ⋅ u′( x)dx = − cos u( x) + C ∫ cos u( x) ⋅ u′( x)dx = sin u( x) + C u′( x ) dx = tgu( x ) + C 2 u( x ) u′( x ) ∫ sin2 u( x) dx = −ctgu( x) + C u′( x ) u( x ) 1 ∫ u 2 ( x) + a 2 dx = a arctg a + C
∫ cos
u′( x )
∫ u ( x) − a 2
∫ ∫ ∫
2
dx =
u′( x ) u ( x) + a 2
2
u′( x ) u ( x) − a 2
2
u′( x ) a 2 − u2 ( x)
u( x ) − a 1 +C ln 2a u ( x ) + a
)
(
dx = ln u( x ) + u 2 ( x ) + a 2 + C dx = ln u( x ) + u 2 ( x ) − a 2 + C dx = arcsin
u( x ) +C a
Formule de algebră Ecuaţia de gradul doi •
Ecuaţia ax + bx + c = 0 .Se calculează Δ = b − 4ac • Dacă Δ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula 2
2
x1 , x2 =
−b ± Δ 2a
Δ = 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula b x1 = x2 = − 2a • Dacă Δ < 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula •
Dacă
x1 , x2 =
−b ± i −Δ 2a
2 • ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
• Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax 2 + bx + c = 0 : b ⎧ S x x = + = − 1 2 ⎪⎪ a ⎨ ⎪ P = x1 ⋅ x2 = c ⎪⎩ a • Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi: x12 + x22 = S 2 − 2 P
x13 + x23 = S 3 − 3SP Funcţia de gradul doi f :R →R
f ( x ) = ax 2 + bx + c Δ ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V ⎜ − , − ⎟ . ⎝ 2a 4a ⎠ Δ 4a Δ =− 4a
Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min = − Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este f max
Progresii aritmetice •
Formula termenului general:
an = a1 + (n − 1) ⋅ r
•
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:
n(a1 + an ) 2
Sn = •
Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
a+c =b 2
Progresii geometrice •
Formula termenului general:
bn = b1 ⋅ q n −1 •
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
b1 ( q n − 1) Sn = q −1 •
Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:
b2 = a ⋅ c
Numere complexe z = a + bi este forma algebrică a unui număr complex z = r ( cos θ + i sin θ ) este forma trigonometrică a unui număr complex unde:
•
r = a 2 + b 2 este modulul numărului complex
•
θ ∈ [0, 2π ) este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia tgθ =
b a
i 2 = −1 a + bi = a 2 + b2 z = a − bi Formula lui Moivre
( cos θ + i sin θ )
n
= ( cos nθ + i sin nθ )
Elemente de combinatorică
n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ n Pn = n ! n! Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. ( n − k )! n! Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente. Cnk = k !( n − k )! Ank =
Binomul lui Newton:
(a + b)n = Cn0a n + Cn1a n −1b + Cn2a n −2b2 + ... + Cnk a n −k bk + ... + Cnn bn Formula termenului general din binomul lui Newton este
Tk +1 = Cnk a n −k bk
Formule cu logaritmi loga b există dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0 loga b = c ⇔ a c = b Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm
log a 1 = 0 log a a = 1 ln1 = 0 ln e = 1 lg1 = 0 lg10 = 1 log a A + log a B = log a ( A ⋅ B ) ⎛ A⎞ log a A − log a B = log a ⎜ ⎟ ⎝B⎠ log a An = n ⋅ log a A log a b =
log c b log c a
log a b =
1 log b a
Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula:
P( E ) =
nr. cazuri favorabile nr. total cazuri posibile
Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.
( x ∗ y)∗ z = x ∗( y ∗ z)
∀x, y , z ∈ M
•
Legea * este asociativă dacă
• • •
x∗ y = y∗x Legea * este comutativă dacă ∀x, y ∈M x ∗e = e∗ x = x ∀x ∈ M Legea * are element neutru e dacă Un element x ∈ M se numeşte simetrizabil dacă ∃x′ ∈ M astfel incât x ∗ x′ = x′ ∗ x = e
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei Dacă ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem: b ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 = − a ⎪ c ⎪ ⎨ x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a ⎪ d ⎪ ⎪⎩ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − a
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru Dacă ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem: b ⎧ ⎪ x1 + x2 + x3 + x4 = − a ⎪ ⎪x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c 2 3 2 4 3 4 ⎪ 1 2 1 3 1 4 a ⎨ ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = − d ⎪ a ⎪ e ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a ⎩
Formule de trigonometrie
sin 2 x + cos2 x = 1 formula fundamentală a trigonometriei sin : → [ −1,1] sin( − x ) = − sin x
funcţia sin este impară
cos : → [ −1,1] cos( − x ) = cos x
funcţia cos este pară
⎛π ⎞ sin ⎜ − x ⎟ = cos x ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − x ⎟ = sin x ⎝2 ⎠ tg ( − x ) = −tgx ctg ( − x ) = − ctgx x x sin 2 x = 2sin x cos x ⇒ sin x = 2 sin cos 2 2 cos 2 x = cos2 x − sin 2 x 1 + cos 2 x 2 1 − cos 2 x cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x ⇒ sin 2 x = 2 2 sin 3x = sin x (3 − 4sin x ) cos 2 x = 2 cos2 x − 1 ⇒ cos2 x =
cos 3x = cos x (4 cos2 x − 3) sin( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin( a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b tga + tgb 1 − tga ⋅ tgb tga − tgb tg ( a − b ) = 1 + tga ⋅ tgb sin x tgx = cos x cos x ctgx = sin x tg ( a + b ) =
Formule pentru transformarea sumelor in produse
p+q p−q cos 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2sin cos 2 2 p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2 p+q p−q cos p − cos q = −2sin sin 2 2 sin p + sin q = 2sin
Formule pentru transformarea produselor in sume
sin( x + y ) + sin( x − y ) 2 cos( x + y ) + cos( x − y ) cos x ⋅ cos y = 2 cos( x − y ) − cos( x + y ) sin x ⋅ sin y = 2 sin x ⋅ cos y =
tg 3x =
3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x
ctg 3x =
ctg 3 x − 3ctgx 3ctg 2 x − 1
2t ⎧ ⎪sin x = 1 + t 2 ⎪ 2 ⎪cos x = 1 − t ⎪ 1 + t2 ⎨ x unde t = tg ⎪tgx = 2t 2 ⎪ 1 − t2 ⎪ 2 − 1 t ⎪ctgx = 2t ⎩
2tgx ⎧ = x sin 2 ⎪ 1 + tg 2 x ⎪ ⎪ 1 − tg 2 x ⎪cos 2 x = 1 + tg 2 x ⎪ ⎨ ⎪tg 2 x = 2tgx ⎪ 1 − tg 2 x ⎪ 2 ⎪ctg 2 x = 1 − tg x ⎪⎩ 2tgx
Ecuaţii trigonometrice fundamentale 1)Ecuaţia sin x = a are soluţii dacă şi numai dacă a ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt
x ∈ {( −1) k arcsin a + kπ / k ∈ } .
2)Ecuaţia cos x = b are soluţii dacă şi numai dacă b ∈ [ −1,1] . In acest caz soluţiile sunt 3)Ecuaţia tgx = c are soluţii ∀c ∈ . Soluţiile sunt 4)Ecuaţia ctgx = d are soluţii ∀d ∈ . Soluţiile sunt sin(arcsin x ) = x
⎫ ⎪ sin(arccos x ) = 1 − x 2 ⎪ ⎬ ∀x ∈ [ −1.1] cos(arccos x ) = x ⎪ 2 ⎪ cos(arcsin x ) = 1 − x ⎭
x ∈ {± arccos b + 2kπ / k ∈ } . x ∈ {arc tgc + kπ / k ∈ } . x ∈ {arc ctgd + kπ / k ∈ } .
Formule de geometrie 1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:
cateta 2 + cateta 2 = ipotenuza 2 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A 3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este:
Aria =
l2 3 4
4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):
Aria =
AB ⋅ AC ⋅ sin A 2
5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): S = p( p − a )( p − b)( p − c ) formula lui Heron a+b+c unde p = este semiperimetrul. 2 6)Aria triunghiului dreptunghic este:
Aria =
cateta ⋅ cateta 2
7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
a b c = = = 2R sin A sin B sin C unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:
AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este
⎛ x + x y + y2 ⎞ M⎜ 1 2, 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 10)Vectorul de poziţie al unui punct:
uuur
r
ur
Dacă A(x,y) atunci OA = x ⋅ i + y⋅ j
http://matematica.noads.biz uuur 11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula: uuur r r AB = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j
12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:
x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1
sau cu formula: 1
x
y
x1
y1 1 = 0
x2
y2 1
13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m Este dată de formula: y − y0 = m( x − x0 ) 14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă x1 x2 x3
y1 1 y2 1 = 0 y3 1
15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula
AΔABC = unde Δ este următorul determinant
1 ⋅Δ 2
x1
y1 1
Δ = x2 x3
y2 1 y3 1
16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax + by + c = 0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula: ax + by0 + c dist ( A, d ) = 0 a 2 + b2 17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:
m=
y2 − y1 x2 − x1
18)Condiţia uur ur r dercoliniaritate uur r a doi r vectori in plan: ur Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor v1 şi v2 este: a1 b1 = a2 b2
19)Condiţia ur r derperpendicularitate uur r r a doi vectori in plan: Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Avem: ur uur v1 ⊥ v2 ⇔ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 = 0 (produsul scalar este 0) 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică: d1 d 2 ⇔ md1 = md2
Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 a b atunci dreptele sunt paralele dacă 1 = 1 . a2 b2 21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu −1 adică: d1 ⊥ d 2 ⇔ md1 ⋅ md2 = −1
Funcţia cosinus cos:R → [−1;1]
1200=
900=
2π 3
π 2 600=
π
3π 135 = 4
3
0
1500=
180 = π 0
450=
−
300=
3 2
−
2 2
−
1 2
1 2
2 2
1
3150=
Exemple:
π 2
=0
00
3300=
2400=
cos
6
3 2
7π 6 5π 225 = 4
1 cos = 3 2 cos π = −1 cos 0 = 1
π
0
0
π
4
5π 6
-1
2100=
π
3π 2 =− 4 2 3π cos =0 2 cos 2π = 1 cos
cos
7π 3 =− 6 2
4π 3
2700=
3π 2
3000=
5π 3
7π 4
11π 6
3600= 2π
Funcţia sinus sin:R → [−1;1]
1
2π 120 = 3
900=
π 2
0
1350=
1500=
3π 4
5π 6
7π 6
−
5π 225 = 4 2400=
Exemple:
2
=1
π 4 300=
4π 3
2 2
−
3 2
3π 2 = 4 2 3π sin = −1 2 sin 2π = 0 sin
sin
7π 1 =− 6 2
π 6
00 3600= 2π
1 2
−
-1
π
450=
1 2
0
sin
3
0
2100=
3 sin = 3 2 sin π = 0 sin 0 = 0
π
2 2
1800= π
π
600=
3 2
3300=
3150=
3000= 2700=
3π 2
5π 3
7π 4
11π 6
Funcţia tangentă 3
⎧π ⎫ tg : \ ⎨ + kπ / k ∈ ⎬ → ⎩2 ⎭
1200=
2π 3
900=
π 2 0
60 =
3π 135 = 4
1
π 3
0
450=
π 4
5π 1500= 6
300=
1800= π
3 3
π 6
00
0
360 = 2π 0
2100=
7π 6
2250=
3300= 5π 4
3150= 4π 240 = 3
3000=
0
2700=
3π 2
5π 3
11π 6
−
3 3
7π 4 −1
Exemple:
3 ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ = ⎝6⎠ 3 ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 3⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ nu are sens ⎝2⎠ 3 ⎛ 5π ⎞ tg ⎜ ⎟ = − 3 ⎝ 3 ⎠ tgπ = 0
− 3
