Formule Matematica Bacalaureat BAC - Algebra

Formule de algebr ă

http://variante-mate.ro

Ecuaţia de gradul doi •

+ bx + c = 0 .Se calculează Δ = b2 − 4ac • Dacă Δ > 0 atunci ecuaţia de gradul doi are două r ădăcini reale diferite date de formula −b ± Δ  x1 , x2 =

Ecuaţia ax

•

2

Dacă

Δ= 0

2a

atunci ecuaţia de gradul doi are două r ădăcini reale egale date de formula

 x1 = x2 = − •

Dacă

Δ<0

b

2a

atunci ecuaţia de gradul doi are două r ădăcini complexe diferite date de formula

 x1, x2 =

−b ± i − Δ 2a

2 • ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

• Relaţiile lui Viete pentru ecua ţia de gradul doi ax 2 + bx + c = 0 : b ⎧ = + = − S x x 1 2 ⎪⎪ a ⎨ ⎪ P = x1 ⋅ x2 = c ⎪⎩ a • Alte formule folositoare la ecua ţia de gradul doi:  x12 + x22 = S 2 − 2 P  x1 + x2 = S − 3SP 3

3

3

Funcţia de gradul doi  f  : R  → R 

 f ( x ) = ax + bx + c 2

Δ⎞ ⎛ b ,− ⎟. ⎝ 2 a 4a ⎠

Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V  ⎜ −

Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este  f min = − Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este  f max = −

Progresii aritmetice •

Formula termenului general:

an = a1 + ( n − 1) ⋅ r  

Δ 4a

Δ 4a

•

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:

S n = •

n(a1 + an )

2

Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

a+c

2

=b

Progresii geometrice •

Formula termenului general:

bn = b1 ⋅ q n •

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:

S n = •

−1

b1 ( q n − 1) q −1

Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:

b2 = a ⋅ c

Numere complexe  z = a + bi este forma algebrică a unui număr complex  z = r ( cos θ + i sin θ  ) este forma trigonometrică a unui număr complex unde:

•

r=

•

θ

a + b este modulul numărului complex 2

2

∈ [0, 2π  ) este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia tgθ  =

b a

i 2 = −1 a + bi = a 2 + b 2  z = a − bi Formula lui Moivre n

( cos θ + i sin θ ) = ( cos nθ + i sin nθ )

 

Elemente de combinatorică

n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ n Pn = n !  Ank  = C n = k 

n!

( n − k )! n! k !( n − k )!

Binomul lui Newton:

Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.

Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.

(a + b) n = Cn0a n + Cn1a n −1b + Cn2a n − 2b 2 + ... + Cnk a n−k b k + ... + Cnnb n Formula termenului general din binomul lui Newton este Tk +1

= Cnk a n −k bk  

Formule cu logaritmi loga b există dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0 loga b = c ⇔ a c = b

Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate f ăr ă logaritm

log a 1 = 0 log a a = 1 ln1 = 0 ln e = 1 lg1 = 0 lg10 = 1 log a  A + log a B = log a ( A ⋅ B)

⎛  A ⎞ ⎟ ⎝  B ⎠

log a  A − log a B = log a ⎜ log a  An = n ⋅ log a A loga b = loga b =

logc b logc a 1 logb a

Probabilitatea unui eveniment Se calculează cu formula: P( E ) =

nr. cazuri nr. total

favorabile

cazuri

posibile

Legi de compoziţie Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.

•

Legea * este asociativă dacă

• • •

Legea * este comutativă dacă

( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z )  x ∗ y = y ∗ x

∀ x, y , z ∈ M

∀ x , y ∈ M  x ∗ e = e ∗ x = x Legea * are element neutru e dacă ∀ x ∈ M Un element  x ∈ M se numeşte simetrizabil dacă ∃ x′ ∈ M astfel incât  x ∗ x′ = x′ ∗ x = e

Relaţiile lui Viete pentru ecua ţia de gradul trei Dacă ax + bx + cx + d  = 0 are r ădăcinile  x1 , x2 , x3 atunci avem: 3

2

b ⎧  x x x + + = − ⎪ 1 2 3 a ⎪ c ⎪ ⎨ x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = a ⎪ d  ⎪  x x x ⋅ ⋅ = − 1 2 3 ⎪⎩ a

Relaţiile lui Viete pentru ecua ţia de gradul patru Dacă ax + bx + cx + dx + e = 0 are r ădăcinile  x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem: 4

3

2

b ⎧  x x x x + + + = − 1 2 3 4 ⎪ a ⎪ ⎪ x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x = c ⎪ 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 a ⎨ ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x4 + x1 ⋅ x3 ⋅ x4 + x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = − d  ⎪ a ⎪ e ⎪ x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = a ⎩