PROGRESII ARITMETICE ☻Def: Se
numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r) ☻Proprietate
:trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e
medie aritmetica intre a si c adica ☻an=a1+(n-1)r n(2a1 ( n 1) r ) ☻Sn= 2
b
ac 2
unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an PROGRESII GEOMETRICE
☻Def: Se
numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q). ☻Proprietate
:trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b ac . in general pentru pentru o progresie geometica cu termeni termeni oarecare a,b,c 2 sunt in progresie geometrica daca b =ac ☻an=a1qn-1 ☻Sn= a1
( q n 1) q 1
unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an PROBABILITATI
☻Probabilitatea=
nr.cazurifavorabile cazurifavorabile nr.cazuriposibile cazuriposibile
LOGARITMI ☻ loga b =puterea
la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. ☻ loga b exista doar pentru a 0, b 0, a 1 b ☻ log a a b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris ca log in orice baza vreau) ☻ loga b c revine la b ac ☻ loga b+ logac= loga(bc) b
☻loga b p
☻loga b
logac= loga( ) c
=p loga b
☻ log a p b ☻ loga b
1 p 1
loga b
logb a
☻ aloga b b ☻daca
a>1 functia log e crescatoare adica loga b> logac b>c ☻daca a<1 functia log e descrescatoare adica loga b> logac b
x
a y ax y
a x
a x y
a y 1 x ☻ x a a
☻
y
a x
a x y
COMBINARI ☻Perm utari de n se noteaza Pn Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente ☻Ar anj amente de n luate cate k se
Ank
n! (n k )!
noteaza Ank
reprezinta nr de submultimi
ordonate
de cate k elemente
ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente k ☻Combinari de n luate cate k se noteaza C n C nk
n! k !(n k )!
reprezinta nr de submultimi
neordonate
de cate k
elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente. Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n ☻Numarul tuturor sumultimi lor un ei mul timi cu
n elemente este 2n
☻Nu maru l submulti mi lor cu cate k elemente ale un ei mu lti mi cu n
elemente este C nk FUNCTII Punctul A(a,b) se afl a pe graf icul fu nctiei f daca f(a)=b ☻ Punctele de in ter sectie dintr e graf icele a doua f un ctii f si g y f ( x) se rezolva sistemul y g ( x) ☻
Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. ☻Inversa functiei f:
Daca
f ( x) y atunci f 1 ( y ) x
☻I ntersectia cu Ox a grafi cului f unctiei f
se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f. ☻I ntersectia cu Oy a graf icul ui fu nctiei f
Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie. Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei , graficul functiei nu taie axa Oy.
FUNCTIA DE GRADUL DOI b ☻Var f ul par abolei este V , 2 a 4a -daca a 0 varful este punct de minim b este valoare minima iar punct de 4a
2a
minim
-daca a<0 varful este punct de maxim 4a
este valoare maxima iar
b 2a
punct de
maxim
☻Graf icul f un ctiei de gradul doi e tangent la axa Ox
daca are
0 ☻Graf icul f un ctiei de gradul doi e situ at deasupr a axei Ox daca are 0 a 0 ☻Relati il e l ui Viette
Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini x1 , x2 au loc relatiile: b x x 1 2 a x x c 1 2 a 2
c b ☻Observatie x x2 x1 x2 2x1x 2 2 a a ☻Ecuatia cu r adacin i x1 , x2 este x 2 Sx P 0 unde S x1 x2 iar P x1 x2 2 1
2
2
☻ o o o o
Conditia Conditia Conditia Conditia
ca ca ca ca
a2 bx c 0 x
a2 bx c 0 x a2 bx c 0 x a2 bx c 0 x
este este este este
0, a 0 0, a 0 0, a 0 0, a 0
☻
Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa aibe doua solutii reale este 0 Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa aibe doua solutii egale este 0 Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa nu aibe solutii reale este 0
VECTORI IN PLAN
☻M odul ul vectorul ui v a i b j
este v a 2 b 2
☻Produsul scalar a doi vectori v a i b j
si w c i d j este
v w a c b d ☻Suma a doi vectori v a i b j si w c i d j este v w ( a c)i (b d ) j ☻Conditi a ca doi vector i sa fi e coli ni ari
doi vectori v si u sunt coliniri daca exista a numar real astfel incat v a u Daca vectorii sunt dati sub forma v a i b j si u c i d j conditia de coliniaritate revine la ☻Daca A( x A , y A )
a c
b d
AB ( x B xA ) i ( yB y A ) j
si B( x B , yB ) atunci
☻Daca A( x A , yA ) vectoru l de pozitie al lui
A este OA x A i yA j
mai noteaza r A
TRIGONOMETRIE
x sinx cos x tgx
π/6(30o) π/4(45o) 1 2 2 2
0 0 1
2
3
2
2 1
0
π/3(60o)
3 2 1
Nu exista
3
1
3
1
1 3
☻ sin(180 x) sin x
☻ cos(180 x) cos x
☻ sin(90 x) cos x
☻ cos(90 x) sin x
o
o
☻ sin 2 x cos2 x 1 sin x ☻ tgx cos x
o
o
oricare ar fi x real ctgx
cos x sin x
1 0
2
3
ctgx
π/2(90o)
Nu exista 0
se
GEOMETRIE x
y
1
☻Ecuati a dreptei AB : x A
yA
1 0
x B
yB
1
☻Panta dreptei AB
y A yB
o
daca stiu doua puncte panta este m AB
o
daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta
x A xB
a
daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este b o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta ☻Ecuati a unei drepte cand sti u un pun ct A si panta m este o
y y A m( x xA ) ☻Condi tia de paral elism a doua drepte d1 d 2 md1 m d 2
| AB | ( x A xB )2 ( yA yB )2
☻Di stanta din tr e doua pun cte
x x y y ☻mij locul segmentul ui AB este M ( A B , A B ) 2 2
x A
yA
1
☻Conditi a ca trei puncte A,B,C sa fi e coli ni are x B
yB
1 0
xC
yC 1
☻Pun ctul de intersectie dintr e doua drepte se determina rezolvand
sistemul facut de ecuatiile lor. S ABC
☻Aria triunghiului ABC este
☻Aria triu nghiului S ABC
2
unde
x A
yA
1
x B
yB
1
xC
baza inaltimea 2
☻Ar ia tri unghi ul ui echil ater al cu latur a l este: S ☻I n tri un ghiu l dreptun ghi c mediana ☻Aria triunghiului ABC (Heron)
p
abc 2
yC 1
l 2 3 4
e ju matate din i potenu za
S ABC
p( p a)( p b)( p c) unde
☻Aria triunghiului ABC=
BC AC sin C BC AB sin B
=
2
2
☻Teorema lu i Pitagora in tri unghi ul dreptunghic
=
2
AB AC sin A 2 2
2
b +c =a
☻Teorema cosinu sul ui
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos( A) ˆ
AC 2 AB2 BC 2 2 AB BC cos(B ) AB2 AC 2 BC 2 2 BC AC cos(C )
☻Teorema sin usuri lor
BC sin A
AC sin B
AB sin C
2 R
unde
R raza cercului
circumscris triunghiului ☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are ecuatia y=x. ☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are ecuatia y=-x. ☻M ediana
in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul
laturii opuse ☻M ediatoar ea unui
segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului ☻Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa ☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri congruente. Cateta _ opusa
trunghiul dreptunghic sin
☻In
ipotenuza
cos
Cateta _ alaturata ipotenuza
CONDITII DE EXISTENTA ☻ ☻
E( x)
E( x) 0
☻
exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta a 1 log a E ( x) a 0 E ( x) 0 daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0. arcsin E( x) 1 E( x) 1 arccos E( x) 1 E( x) 1
☻
tgE( x)
☻ ☻ ☻
3
E( x)
☻ domeniul
E ( x)
2
2k
maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.
