PROGRESII ARITMETICE ☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r) ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e medie aritmetica intre a si c adica
b
ac 2
☻an=a1+(n-1)r ☻Sn=
n(2a1 ( n 1) r ) 2
unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an PROGRESII GEOMETRICE
☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q). ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b ac . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac ☻an=a1qn-1 ☻Sn= a1
(q n 1) unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an q 1
PROBABILITATI
☻Probabilitatea=
nr.cazurifavorabile nr.cazuriposibile
LOGARITMI ☻ log a b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. ☻ log a b exista doar pentru a 0, b 0, a 1 ☻ log a ab b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris ca log in orice baza vreau) ☻ log a b c revine la b ac ☻ logab+ logac= loga(bc) b c
☻logab- logac= loga( ) ☻logabp=p logab 1 p 1 ☻ log a b log b a
☻ log a b log a b p
☻ alog b b ☻daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac b>c ☻daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac b
EXPONENTIALA ☻a a a x
y
x y
ax x y ☻ y a a 1 x ☻ x a a
x ☻ a
y
a x y
COMBINARI ☻Permutari de n se noteaza Pn Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente ☻Aranjamente de n luate cate k se noteaza Ank Ank
n! reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente (n k )!
ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente ☻Combinari de n luate cate k se noteaza C nk Cnk
n! reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k k !(n k )!
elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente. Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
☻Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n ☻Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente este C nk FUNCTII ☻ Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b ☻ Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g y f ( x) y g ( x)
se rezolva sistemul
Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. ☻Inversa functiei f: Daca f ( x) y atunci f 1 ( y) x ☻Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f. ☻Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie. Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei , graficul functiei nu taie axa Oy.
FUNCTIA DE GRADUL DOI b
☻Varful parabolei este V , 2a 4a -daca a 0 varful este punct de minim este valoare minima iar 4a
b punct de 2a
minim
-daca a<0 varful este punct de maxim este valoare maxima iar 4a
b punct de 2a
maxim
☻Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are 0
☻Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are 0 a 0
☻Relatiile lui Viette Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini x1 , x2 au loc relatiile: b x1 x2 a x x c 1 2 a
b c 2 a a 2 este x Sx P 0 unde S x1 x2 iar
☻Observatie x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 2
☻Ecuatia cu radacini x1 , x2
2
P x1 x2
☻ o o o o
Conditia Conditia Conditia Conditia
ca ca ca ca
a2 bx c 0 x a2 bx c 0 x a2 bx c 0 x a2 bx c 0 x
este este este este
0, a 0 0, a 0 0, a 0 0, a 0
☻ Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa aibe doua solutii reale este 0 Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa aibe doua solutii egale este 0 Conditia ca ecuatia a2 bx c 0 sa nu aibe solutii reale este 0
VECTORI IN PLAN
☻Modulul vectorului v a i b j este v a 2 b2 ☻Produsul scalar a doi vectori v a i b j si w c i d j este vw ac bd
☻Suma a doi vectori v a i b j si w c i d j este v w (a c)i (b d ) j
☻Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi vectori v si u sunt coliniri daca exista a numar real astfel incat v a u Daca vectorii sunt dati sub forma v a i b j si u c i d j conditia a b c d si B( xB , yB ) atunci
de coliniaritate revine la
☻Daca A( xA , y A ) AB ( xB xA ) i ( yB yA ) j ☻Daca A( xA , y A ) vectorul de pozitie al lui A este OA xA i yA j se mai noteaza rA
TRIGONOMETRIE x sinx
π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o) 1 1 2 3
0 0
2
cos x
1
tgx
0
ctgx
Nu exista
3 2 1 3 3
2 2 2 1
3
1
1 3
☻ sin(180o x) sin x ☻ cos(180o x) cos x ☻ sin(90o x) cos x ☻ cos(90o x) sin x ☻ sin 2 x cos2 x 1 oricare ar fi x real ☻ tgx
sin x cos x
ctgx
cos x sin x
2 1 2
0 Nu exista 0
GEOMETRIE x ☻Ecuatia dreptei AB : xA xB
y 1 yA 1 0 yB 1
☻Panta dreptei AB o daca stiu doua puncte panta este mAB
y A yB xA xB
o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta a o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este b
o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta ☻Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este y y A m( x xA )
☻Conditia de paralelism a doua drepte d1 d 2 md md 1
☻Distanta dintre doua puncte
2
| AB | ( xA xB )2 ( y A yB )2
☻mijlocul segmentului AB este M (
x A xB y A y B , ) 2 2 xA
yA 1 yB 1 0 yC 1
☻Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare xB xC
☻Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul facut de ecuatiile lor. ☻Aria triunghiului ABC este ☻Aria triunghiului S ABC
S ABC
2
unde
xA xB xC
yA 1 yB 1 yC 1
baza inaltimea 2
☻Aria triunghiului echilateral cu latura l este: S
l2 3 4
☻In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza ☻Aria triunghiului ABC (Heron) S ABC p( p a)( p b)( p c) unde p
abc 2
☻Aria triunghiului ABC=
BC AC sin C BC AB sin B AB AC sin A = = 2 2 2
☻Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ☻Teorema cosinusului
b2+c2=a2
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos( Aˆ )
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC cos( B) AB 2 AC 2 BC 2 2 BC AC cos(C )
☻Teorema sinusurilor
BC AC AB 2R sin A sin B sin C
unde
R raza cercului
circumscris triunghiului ☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are ecuatia y=x. ☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are ecuatia y=-x. ☻Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse ☻Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului ☻Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa ☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri congruente. ☻In trunghiul dreptunghic sin
Cateta _ opusa ipotenuza
cos
Cateta _ alaturata ipotenuza
CONDITII DE EXISTENTA ☻ ☻ ☻ ☻ ☻ ☻
E( x) 0
E( x) 3
E( x)
exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta
log a E ( x)
E ( x) 0
a0
a 1
daca avem numitor , avem conditia numitor diferit de 0. arcsin E( x) arccos E( x)
☻ tgE( x)
1 E( x) 1 1 E( x) 1 E ( x ) 2 k 2
☻ domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.
