PROGRESII ARITMETICE ☻Def: Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie (r) ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e medie aritmetica intre a si c adica
b=
a+c 2
☻an=a1+(n-1)r ☻Sn=
n(2a1 + (n − 1) r ) 2
unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an PROGRESII GEOMETRICE
☻Def: Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen se obtine din termenul anterior inmultind cu o constanta numita ratie (q). ☻Proprietate :trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica b = ac . in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b2=ac ☻an=a1qn-1 ☻Sn= a1
(q n − 1) unde am noatat cu Sn=a1+a2+a3+a4+…+an q −1
PROBABILITATI nr.cazurifavorabile
☻Probabilitatea= nr.cazuriposibile
LOGARITMI ☻ log a b =puterea la care il ridic pe a astfel incat sa dea pe b. ☻ log a b exista doar pentru a > 0, b > 0, a ≠ 1 ☻ log a a b = b (cu ajutorul acestei formule orice numar real poate fi scris ca log in orice baza vreau) ☻ log a b = c revine la b = a c ☻ logab+ logac= loga(bc) b c
☻logab- logac= loga( ) ☻logabp=p logab 1
☻ log a b = p log a b p
1
☻ log a b = log a b log b ☻a =b ☻daca a>1 functia log e crescatoare adica logab> logac b>c ☻daca a<1 functia log e descrescatoare adica logab> logac b
EXPONENTIALA ☻ a x a y = a x+ y ax ☻ y = a x− y a 1 −x ☻ x =a a
( )
☻ ax
y
= a x×y
COMBINARI ☻Permutari de n se noteaza Pn Pn=n! si reprezinta numarul de multimi ordonate ce se pot forma cu n elemente ☻Aranjamente de n luate cate k se noteaza Ank Ank =
n! reprezinta nr de submultimi ordonate de cate k elemente (n − k )!
ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente ☻Combinari de n luate cate k se noteaza Cnk Cnk =
n! reprezinta nr de submultimi neordonate de cate k k !(n − k )!
elemente ce se pot forma dintr-o multime cu n elemente. Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
☻Numarul tuturor sumultimilor unei multimi cu n elemente este 2n ☻Numarul submultimilor cu cate k elemente ale unei multimi cu n elemente este Cnk FUNCTII ☻ Punctul A(a,b) se afla pe graficul functiei f daca f(a)=b ☻ Punctele de intersectie dintre graficele a doua functii f si g y = f ( x) y = g ( x)
se rezolva sistemul
Solutiile (x,y) reprezinta coordonatele punctelor de intersectie. ☻Inversa functiei f: Daca f ( x) = y atunci f −1 ( y ) = x ☻Intersectia cu Ox a graficului functiei f se rezolva ecuatia f(x)=0 Daca x e o solutie a ecuatiei f(x)=0 .Punctul A(x,0) e un punct de intersectie dintre axa Ox si graficul functiei f. ☻Intersectia cu Oy a graficului functiei f Se calculeaza f(0) daca 0 e in domeniu de definitie. Punctul B(0,f(0)) reprezinta intersectie dintre axa Oy si graficul functiei f. In cazul in care 0 nu se afla in domeniul de definitie al functiei , graficul functiei nu taie axa Oy.
FUNCTIA DE GRADUL DOI −b −∆
☻Varful parabolei este V , ÷ 2a 4a -daca a > 0 varful este punct de minim −∆ este valoare minima iar 4a
−b punct de 2a
minim
-daca a<0 varful este punct de maxim −∆ este valoare maxima iar 4a
−b punct de 2a
maxim
☻Graficul functiei de gradul doi e tangent la axa Ox daca are ∆=0
☻Graficul functiei de gradul doi e situat deasupra axei Ox daca are ∆ < 0 a > 0
☻Relatiile lui Viette Pentru ecuatia de gradul doi cu radacini x1 , x2 au loc relatiile: −b x1 + x2 = a x ×x = c 1 2 a 2
c 2 −b ☻Observatie x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = ÷ − 2 a a 2 ☻Ecuatia cu radacini x1 , x2 este x − Sx + P = 0 unde S = x1 + x2 iar P = x1 ×x2
☻ o o o o
Conditia Conditia Conditia Conditia
ca ca ca ca
a 2 + bx + c ≥ 0 ∀x ∈ ¡ a 2 + bx + c ≤ 0 ∀x ∈ ¡ a 2 + bx + c > 0 ∀x ∈ ¡ a 2 + bx + c < 0 ∀x ∈ ¡
este este este este
∆ ≤ 0, a > 0 ∆ ≤ 0, a < 0 ∆ < 0, a > 0 ∆ < 0, a < 0
☻ Conditia ca ecuatia a 2 + bx + c = 0 sa aibe doua solutii reale este ∆ > 0 Conditia ca ecuatia a 2 + bx + c = 0 sa aibe doua solutii egale este ∆ = 0 Conditia ca ecuatia a 2 + bx + c = 0 sa nu aibe solutii reale este ∆ < 0
VECTORI IN PLAN r
r
r
r
☻Modulul vectorului v = a ×i + b ×j este v = a 2 + b2 r
r
r
ur
r
ur
r
r
☻Produsul scalar a doi vectori v = a ×i + b ×j si w = c ×i + d ×j este r ur v ×w = a ×c + b ×d
r
r
r
r
☻Suma a doi vectori v = a ×i + b ×j si w = c ×i + d ×j este r ur r r v + w = (a + c)i + (b + d ) j
r
r
☻Conditia ca doi vectori sa fie coliniari doi rvectori v si u sunt r coliniri daca exista a numar real astfelrincatr v =r a ×u r r r ♥Daca vectorii sunt dati sub forma v = a ×i + b ×j si u = c ×i + d ×j conditia a b = c d si B( xB , yB ) atunci
de coliniaritate revine la
uuur
r
r
AB = ( xB − x A ) ×i + ( yB − y A ) ×j ☻Daca A( x A , y A ) uuur r r ☻Daca A( xA , y A ) vectorul de pozitie al lui A este OA = xA ×i + y A ×j se uuv mai noteaza rA
TRIGONOMETRIE x sinx
0 0
π/6(30o) π/4(45o) π/3(60o) π/2(90o) 1 1 2 3 2
cos x
1
tgx
0
ctgx
Nu exista
3 2 1 3 3
2 2 2
2 1 2
1
3
1
1 3
0 Nu exista 0
☻ sin(180o − x) = sin x ☻ cos(180o − x) = − cos x ☻ sin(90o − x) = cos x ☻ cos(90o − x) = sin x ☻ sin 2 x + cos 2 x = 1 oricare ar fi x real ☻ tgx =
sin x cos x
ctgx =
cos x sin x
GEOMETRIE x ☻Ecuatia dreptei AB : x A xB
y 1 yA 1 = 0 yB 1
☻Panta dreptei AB
y −y
o daca stiu doua puncte panta este mAB = xA − x B A B o daca dreapta e data sub forma y=mx+n atunci m este panta −a o daca ecuatia e sub forma ax+by+c=0 panta este b
o Obs : dreptele verticale (x=a) nu au panta ☻Ecuatia unei drepte cand stiu un punct A si panta m este y − y A = m( x − x A )
☻Conditia de paralelism a doua drepte d1 P d 2 ⇔ md = md 1
2
| AB |= ( x A − xB ) 2 + ( y A − yB ) 2
☻Distanta dintre doua puncte ☻mijlocul segmentului AB este M (
x A + xB y A + y B , ) 2 2 xA
☻Conditia ca trei puncte A,B,C sa fie coliniare xB xC
yA 1 yB 1 = 0 yC 1
☻Punctul de intersectie dintre doua drepte se determina rezolvand sistemul facut de ecuatiile lor. ☻Aria triunghiului ABC este ☻Aria triunghiului S ABC =
S ABC =
∆ 2
unde
xA ∆ = xB xC
yA 1 yB 1 yC 1
baza ×inaltimea 2
l2 3 ☻Aria triunghiului echilateral cu latura l este: S = 4
☻In triunghiul dreptunghic mediana e jumatate din ipotenuza ☻Aria triunghiului ABC (Heron) S ABC = p( p − a )( p − b)( p − c ) unde p=
a+b+c 2
☻Aria triunghiului ABC=
BC ×AC ×sin C BC ×AB ×sin B AB ×AC ×sin A = = 2 2 2
☻Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ☻Teorema cosinusului
b2+c2=a2
BC 2 = AC 2 + AB 2 − 2 ×AB ×AC ×cos( Aˆ ) ) AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ×AB ×BC ×cos( B ) ) AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ×BC ×AC ×cos(C )
☻Teorema sinusurilor
BC AC AB = = = 2R sin A sin B sin C
unde
R raza cercului
circumscris triunghiului ☻Prima bisectoarea este bisectoarea cadranului 1 in reperul xOy si are ecuatia y=x. ☻A doua bisectoarea este bisectoarea cadranului 2 in reperul xOy si are ecuatia y=-x. ☻Mediana in trunghi este segmentul ce uneste un varf cu mijlocul laturii opuse ☻Mediatoarea unui segment e perpendiculara pe mijlocul segmentului ☻Inaltimea in tringhi e perpendiculara din varf pe latura opusa ☻Bisectoarea este semidreapta care imparte un unghi in 2 unghiuri congruente. ☻In trunghiul dreptunghic sin =
Cateta _ opusa ipotenuza
cos =
Cateta _ alaturata ipotenuza
CONDITII DE EXISTENTA ☻ ☻ ☻ ☻ ☻ ☻
E ( x)
E ( x) ≥ 0
E ( x) exista oricare ar fi x real deci nu se pun conditii de existenta log a E ( x ) E ( x) > 0 a > 0 a ≠1 3
daca avem numitor , avem conditia arcsin E ( x) arccos E ( x)
☻ tgE ( x)
−1 ≤ E ( x ) ≤ 1 −1 ≤ E ( x ) ≤ 1 π E ( x ) ≠ + 2kπ 2
numitor diferit de 0.
☻ domeniul maxim de definitie se obtine din conditiile de existenta ale expresiei care da functia.
