Formule de geometrie 1) Teorema lui Pitagora Intr-un triunghi dreptunghic are loc relaţia:
cateta 2 + cateta 2 = ipotenuza 2 2)Teorema lui Pitagora generalizată(teorema cosinusului) Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A 3)Aria unui triunghi echilateral de latură l este:
Aria =
l2 3 4
4)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc două laturi si unghiul dintre ele):
Aria =
AB ⋅ AC ⋅ sin A 2
5)Aria unui triunghi oarecare(se aplică atunci cand se cunosc toate cele trei laturi): S = p( p − a )( p − b)( p − c ) formula lui Heron a+b+c unde p = este semiperimetrul. 2 6)Aria triunghiului dreptunghic este:
Aria =
cateta ⋅ cateta 2
7)Teorema sinusurilor Intr-un triunghi oarecare ABC are loc relaţia:
a b c = = = 2R sin A sin B sin C unde a,b,c sunt laturile triunghiului A,B,C sunt unghiurile triunghiului R este raza cercului circumscris triunghiului 8)Distanţa dintre două puncte(lungimea unui segment): Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci distanţa dintre ele este:
AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 9)Mijlocul unui segment: Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci mijlocul segmentului AB este
⎛ x + x y + y2 ⎞ M⎜ 1 2, 1 ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 10)Vectorul de poziţie al unui punct:
uuur
r
ur
Dacă A(x,y) atunci OA = x ⋅ i + y⋅ j
http://matematica.noads.biz uuur 11)Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci vectorul AB este dat de formula: uuur r r AB = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j
12)Ecuaţia unei drepte care trece prin două puncte date Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci ecuaţia dreptei AB se poate afla cu formula:
x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1
sau cu formula: 1
x
y
x1
y1 1 = 0
x2
y2 1
13)Ecuaţia unei drepte care trece prin punctul A( x0 , y0 ) şi are panta dată m Este dată de formula: y − y0 = m( x − x0 ) 14)Condiţia de coliniaritate a trei puncte in plan Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă x1 x2 x3
y1 1 y2 1 = 0 y3 1
15)Aria unui triunghi Fie A(x1,y1) , B(x2,y2) , C(x3,y3) trei puncte in plan. Aria triunghiului ABC este dată de formula
AΔABC = unde Δ este următorul determinant
1 ⋅Δ 2
x1
y1 1
Δ = x2 x3
y2 1 y3 1
16)Distanţa de la un punct la o dreaptă Dacă A( x0 , y0 ) este un punct şi d : ax + by + c = 0 este o dreaptă in plan atunci distanţa de la punctul A la dreapta d este dată de formula: ax + by0 + c dist ( A, d ) = 0 a 2 + b2 17)Panta unei drepte Dacă A(x1,y1) şi B(x2,y2) sunt două puncte in plan atunci panta dreptei AB este dată de formula:
m=
y2 − y1 x2 − x1
18)Condiţia uur ur r dercoliniaritate uur r a doi r vectori in plan: ur Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Condiţia de coliniaritate a vectorilor v1 şi v2 este: a1 b1 = a2 b2
19)Condiţia ur r derperpendicularitate uur r r a doi vectori in plan: Fie v1 = a1 i + b1 j şi v2 = a2 i + b2 j doi vectori in plan.Avem: ur uur v1 ⊥ v2 ⇔ a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 = 0 (produsul scalar este 0) 20)Condiţia de paralelism a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt paralele dacă şi numai dacă au aceeaşi pantă adică: d1 d 2 ⇔ md1 = md2
Altfel,dacă dreptele sunt date prin ecuaţia generala: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi d 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 a b atunci dreptele sunt paralele dacă 1 = 1 . a2 b2 21)Condiţia de perpendicularitate a două drepte in plan Două drepte d1 şi d 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor este egal cu −1 adică: d1 ⊥ d 2 ⇔ md1 ⋅ md2 = −1
