LECŢII DE SINTEZĂ
în vederea pregătirii sesiunii iulie-august iulie-august a examenului de
BACALAUREAT 2012 - M2
pentru candidaţii absolvenţi ai liceelor din filiera tehnologică, te hnologică, profil: servicii, resurse naturale şi protecţia mediului, tehnic; toate specializările/calificările
MATEMATICĂ
TEMA 3. Analiză matematică clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.) Argument: Prezentul breviar teoretic are ca scop orientarea ori entarea activităţilor de recapitulare a materiei la matematică, în vederea asigurării atingerii nivelului minim / mediu de competenţă şi nu reprezintă o listă exhaustivă. De asemenea, la aplicarea formulelor prezentate se va ţine cont de însoţirea acestora de condiţii de existenţă în funcţie de mulţimile de numere pe care se aplică. (3h/ săpt.) TEMA 1. Algebră - Geometrie – Trigonometrie clasa a IX-a (2h/săpt.), clasa a X-a (3h/săpt.) TEMA 2. Algebră clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.) TEMA 3. Analiză matematică clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.)
TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a (3h/săpt.), clasa a XII-a (3h/săpt.) 3.1.1. Limite de funcţii - clasa a XI-a (3h/săpt.) 3.1.2. Funcţii continue – clasa a XI-a (3h/săpt.) 3.1.3. Funcţii derivabile – clasa a XI-a (3h/săpt.) 3.1.4. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor – clasa a XI-a (3h/săpt.) 3.1.1. Limite de funcţii - clasa a XI-a (3h/săpt.) Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: reală: intervale de numere reale; mărginire: spunem că mulţimea nevidă M ⊂ ℝ este mărginită dacă există a , b ∈ ℝ , a < b astfel încât a ≤ x ≤ b , oricare ar fi x ∈ M ; vecinătăţi: spunem că mulţimea V ⊆ ℝ este vecinătate a punctului x ∈ ℝ dacă există a ∈ ℝ, a > 0 astfel +∞ ∈ ℝ dacă există încât ( x − a, x + a ) ⊆ V ; spunem că mulţimea V ⊆ ℝ este vecinătate a punctului x = +∞ a ∈ ℝ, a > 0 astfel încât (a , +∞ ) ⊆ V ; spunem că mulţimea V ⊆ ⊆ ℝ este vecinătate a punctului x = −∞∈ ℝ dacă există a ∈ ℝ, a > 0 astfel încât ( −∞, −a) ⊆ V ; dreapta reală încheiată: ℝ = ℝ ∪ {±∞} , simbolurile +∞ şi −∞ . limite de funcţii; notaţie lim f ( x ) , x0 punct de acumulare finit sau infinit al domeniului de definiţie al x→ x0
funcţiei f ;
limite laterale: a) l s ( x0 ) = lim f ( x) limita la stânga punctului x0 xր x0
b) ld ( x0 ) = lim f ( x) limita la dreapta punctului x0 xց x0
introducerea
noţiunii de limită în relaţie cu reprezentare grafică pentru funcţiile studiate (de exemplu, funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţia putere ( n = 2, 3) , funcţia radical de ordin 2; studiul existenţei şi valoarea limitei unei funcţii într-un punct, prin verificarea existenţei şi egalităţii limitelor laterale; calculul limitelor într-un punct pentru funcţiile elementare, identificarea limitelor funcţiilor elementare la capetele domeniilor de definiţie; operaţii cu limite de funcţii: lim [ f ( x) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) (aplicabilă atunci când nu ne situăm x → x0
x→ x0
x → x0
în cazul de nedeterminare ∞ − ∞ ); lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) (aplicabilă atunci când nu ne x → x0
x→ x0
x → x0
1
situăm în cazul de nedeterminare 0 ⋅ ∞ ); lim
f ( x)
x → x0 g
(x)
lim f ( x)
=
x → x0
lim g ( x )
(aplicabilă atunci când nu ne situăm în
x → x0
lim g ( x )
0 ∞ x→ x g x cazurile de nedeterminare ; ); lim ( f ( x) ) ( ) = lim f ( x ) 0 0 ∞ x→ x0 x→ x0
(aplicabilă atunci când nu ne situăm în
cazurile de nedeterminare 1∞ ;00 ; ∞ 0 ); în acest ultim caz se poate utiliza formula a b = eb⋅ln a , care transformă cazurile de nedeterminare de la puteri în cazul 0⋅ ∞ .
calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţia putere (n = 2, 3) , funcţia radical de ordi n 2, funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2; metode de eliminare a nedeterminărilor /cazurilor exceptate în cazul limitelor de funcţii:
0 / 0, ∞ / ∞, 0 ⋅ ∞
limitele funcţiilor raţionale:
lim
f ( x)
x → x0 g
( x)
= lim
x→ x0
an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
bm x m + bm −1 x m −1 + ... + b1 x + b0
, unde a0 ,..., an , b0 ,..., bm ∈ ℝ ,
n, m ∈{1,2} şi x0 ∈ ℝ ∪ {±∞} ; se abordează pe 3 cazuri, după tipul lui x0 :
12 − 1 + 1 1 = 2 = ; ; de exemplu, lim 2 1) x0 finit şi g ( x0 ) ≠ 0 ; în acest caz lim = x →1 x + 1 x → x0 g ( x) 2 g ( x0 ) 1 +1 an n=m , bm f ( x) 2) x0 ∈ {±∞} ; în acest caz avem lim = n m bm f ( x)
x 2 − x + 1
f ( x0 )
2 x 2 − 4 2 x2 − 4 2 de exemplu, lim = lim = sgn ⋅ (−∞) 2 −1 = +∞ ; x →−∞ 16 − x x →−∞ − x + 16 −1 3) x0 finit şi g ( x0 ) = 0 , cu subcazurile: •
f ( x0 ) = 0 , caz în care avem nedeterminarea
•
f ( x0 ) ≠ 0 ,
0 iar fracţia se poate simplifica prin factorul ( x − x0 ) 0 c
caz în care avem o situaţie de tipul , c ≠ 0 ce necesită determinarea semnului numitorului 0 într-o vecinătate a lui x0 şi, după caz, o discuţie pe limite laterale; de exemplu,
lim
x →2
x − 2 x 2 − 4
Asimptotele
= lim x→2
x −2
( x − 2 )( x + 2 )
1 1 = x→2 x + 2 4
= lim
graficului pentru funcţiilor studiate (de
exemplu, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică,
funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2): - asimptotă verticală dreapta x = a ∈ ℝ , dacă au sens şi există: l s ( a ) = lim f ( x) = ±∞ i) xրa
ii) -
ld ( a ) =
lim f ( x ) = ±∞
xց a
asimptotă orizontală,
dacă +∞ sau/şi −∞ sunt puncte de acumulare ale domeniului de definiţie al
funcţiei: i) la +∞ , dreapta y = b , dacă lim f ( x) = b ∈ ℝ x →+∞
ii) la −∞ , dreapta y = b , dacă lim f ( x) = b ∈ ℝ x →−∞
-
asimptotă oblică, dacă +∞ sau/şi −∞ sunt puncte de acumulare ale domeniului de definiţie al funcţiei: f ( x) la +∞ , dreapta y = mx + n , dacă lim i) = m ∈ ℝ∗ şi lim ( f ( x) − mx ) = n ∈ ℝ x→+∞ x x→+∞ f ( x) la −∞ , dreapta y = mx + n , dacă lim = m ∈ ℝ∗ şi lim ( f ( x) − mx ) = n ∈ ℝ . ii) x →−∞ x x →−∞
2
3.1.2. Funcţii continue - clasa a XI-a (3h/săpt.) Interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii într-un punct / Continuitatea funcţiei într-un punct x0 , punct de
pe o mulţime.
acumulare al domeniului de definiţie:
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) .
xր x0
xց x0
Operaţii cu funcţii continue (suma, produsul, raportul, ridicarea la putere);
Funcţiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiţie. Semnul unei funcţii continue pe un interval – consecinţe ale proprietăţii lui Darboux: a) dacă o funcţie f : [ a, b] → ℝ este continuă pe [ a, b] şi dacă f ( a) ⋅ f (b) < 0 , atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a, b ) astfel încât f (c) = 0 ; dacă, în plus, funcţia este strict monotonă sau injectivă,
atunci punctul c este unic; proprietatea este utilă în determinarea numărului de soluţii reale ale unei ecuaţii; b) dacă o funcţie f : [ a, b] → ℝ este continuă pe [ a, b] şi nu se anulează pe acest interval, atunci funcţia f păstrează semn constant pe tot intervalul dat. (în acest caz a, b ∈ ℝ ); proprietatea este utilă în rezolvarea de inecuaţii; enunţarea acestei proprietăţi şi alegerea unei abscise convenabile din intervalul dat în care să calculăm valoarea funcţiei, permite stabilirea semnului funcţiei pe acel interval ca fiind semnul valorii calculate a funcţiei. 3.1.3. Funcţii derivabile - clasa a XI-a (3h/săpt.) Tangenta la o curbă (prin reprezentare grafică) ca interpretare geometrică a existenţei derivatei unei funcţii întrun punct. Derivata f
funcţiei
' ( x0 ) = lim
x → x0
f în
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
punctul x 0
, punct de acumulare al domeniului de definiţie:
;
-
dacă f ' ( x0 ) ∈ {±∞} spunem că f are derivată în x0 , dar nu e derivabilă şi reprezentarea grafică a funcţiei admite tangentă verticală în punctul x0 ; - dacă f ' ( x0 ) ∈ ℝ spunem că f este derivabilă în x0 şi reprezentarea grafică a funcţiei admite tangentă oblică sau orizontală în x0 ; - dacă nu există f ' ( x0 ) , spunem că funcţia nu este derivabilă şi nu are derivată în punctul respectiv. Recunoaşterea limitei raportului prin care se defineşte derivata unei funcţii într-un punct, ca metodă de calcul a limitelor de funcţii; Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A( x0 , y0 ) (cu verificarea prealabilă a derivabilităţii funcţiei în punctul x0 ) este y − y0 = f '( x0 ) ( x − x0 ) . Funcţii derivabile (derivabile în orice punct al domeniului de definiţie): exemple de funcţii elementare, operaţii
cu funcţii care admit derivată / sunt derivabile. Calculul derivatelor de ordin I şi II pentru funcţiile studiate cu ajutorul tabelelor derivatelor funcţiilor elementare şi utilizarea de reguli / operaţii cu funcţii derivabile: derivata sumei a două funcţii derivabile: ( f + g )' = f '+ g ' ; derivata produsului de funcţii derivabile: ( f ⋅ g ) ' = f ' g + fg ' , caz particular ( c ⋅ f ) ' = c ⋅ f ' , unde c este constantă. '
'
f f ' g − fg ' 1 f ' = − derivata raportului (în condiţii de bună definire), , caz particular . = 2 2 g f g f Regulile lui l’Hospital pentru cazurile de nedeterminare 0 / 0, ∞ / ∞ ; cu verificarea în prealabil a condiţiilor de aplicabilitate, evidenţierea cazului de nedeterminare şi aplicarea regulii (derivarea separat a numărătorului şi separat a numitorului, se va insista a nu se face confuzie cu derivata raportului).
3
3.1.4. Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor - clasa a XI-a (3h/săpt.) Rolul primei derivate
în studiul funcţiilor, rol implicat de consecinţele teoremei Lagrange: determinarea intervalelor de monotonie şi a punctelor de extrem ale funcţiei f prin: calculul derivatei funcţiei şi a domeniului de derivabilitate; rezolvarea ecuaţiei f '( x) = 0 (determinarea punctelor critice); determinarea intervalelor în care funcţiei f ' are semn constant prin utilizarea consecinţelor proprietăţii lui Darboux; interpretarea semnului lui f ' în stabilirea intervalelor de monotonie pentru funcţia f şi a tipului de monotonie pe fiecare dintre intervale ( f ' ≥ 0 pe I ⇒ f crescătoare pe I , f ' ≤ 0 pe I ⇒ f descrescătoare pe I ) interpretarea succesiunii intervalelor de semn al derivatei funcţiei, pentru stabilirea extremelor / tipului de extrem pentru funcţia dată; Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor, cu aceleaşi etape ca în cazul primei derivate ( f "( x) = 0 , stabilirea semnului celei de-a doua derivate, interpretarea semnului şi determinarea intervalelor de concavitate – convexitate, stabilirea punctelor de inflexiune ale funcţiei f , ca urmare a alternanţei intervalelor de semn ale funcţiei f '' . Reprezentarea grafică a funcţiilor elementare: parcurgerea etapelor studiului funcţiei; concluzionarea asupra unor particularităţi ale funcţiei evidenţiate prin construcţia tabelului de variaţie al funcţiei.
TEMA 3. Analiză matematică - clasa a XI-a , clasa a XII-a (3h/săpt.) 3.2.1. Primitive(antiderivate) – clasa a XII-a (3h/săpt.) 3.2.2. Integrala definită – clasa a XII-a (3h/săpt.) 3.2.3. Aplicaţii ale integralei definite – clasa a XII-a (3h/săpt.) 3.2.1. Primitive (antiderivate) – clasa a XII-a (3h/săpt.) Primitivă/primitive, definiţie: se consideră o funcţie f : I → ℝ , unde I ⊆ ℝ este un interval, funcţia F : I → ℝ se numeşte primitiva funcţiei f dacă: a) F este derivabilă pe I b) F ' ( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ I .
Dacă există o primitivă F a funcţiei f , atunci f admite primitive pe intervalul I şi pentru orice primitivă G : I → ℝ a lui f , există o funcţie constantă c : I → ℝ, c( x) = c astfel încât G = F + c . În acest caz, mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f este { F + C / C este mulţimea constantelor } ; mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f şi se notează ∫ f ( x) dx = F ( x) + C . Orice funcţie continuă f admite primitive (rezultat care va fi utilizat pentru a argumenta faptul că o funcţie admite primitive, neimplicând şi determinarea unei primitive sau a integralei nedefinite). . Proprietate ∫ f '( x) dx = f ( x) + C
Dacă funcţiile f , g : I → ℝ admit primitive şi α ∈ ℝ* , atunci funcţiile f + g şi α f admit primitive şi au loc relaţiile: ∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx şi ∫ α f ( x) dx = α ∫ f ( x) dx . Dându-se două funcţii f , F : I → ℝ , a verifica faptul că F este o primitivă a lui f presupune sau calcularea ∫ f ( x) dx sau utilizarea definiţiei (utilizându-se formule de derivare şi/sau proprietăţi). Primitive uzuale: tabelele de formule asociate funcţiilor elementare/compunerii de funcţii elementare. Pentru calcularea unei primitive sunt necesare: cunoaşterea tabelului de primitive uzuale, aplicarea de proprietăţi ale primitivelor şi, uneori, abilităţi de prelucrare algebrică a integrantului.
3.2.2. Integrala definită - clasa a XII-a (3h/săpt.) Integrala definită formula Leibniz – Newton:
dacă F : [ a, b] → ℝ este o primitivă a funcţiei continue b
f
: [ a, b] → ℝ , integrala definită a funcţiei f pe intervalul [ a, b] este numărul real ∫ f (x )dx = F (a ) − F (b) . a
4
Observaţie: integrala nedefinită a unei funcţii reprezintă o familie de funcţii, iar integrala definită a aceleiaşi funcţii reprezintă un număr real. Proprietăţi ale integralei definite: 1. Dacă f , g : [ a, b] → ℝ sunt funcţii continue pe intervalul [ a, b] şi α , β ∈ ℝ , atunci b
b
b
a
a
a
∫ ( α f ( x) + β g ( x) ) dx = α ∫ f ( x) dx + β ∫ g( x ) dx ( proprietatea de liniaritate). b
2. Dacă f : [ a, b] → ℝ este funcţie continuă pe intervalul [ a, b] şi f ≥ 0 , atunci
∫ f (x)dx ≥ 0 a
( proprietatea de păstrarea semnului, obţinută ca o consecinţă a teoremei de medie). b
b
a
a
3. Dacă f , g : [ a, b] → ℝ sunt funcţii continue pe intervalul [ a, b] şi f ≥ g , atunci ∫ f ( x) dx ≥ ∫ g ( x) dx ( proprietatea de monotonie, utilizată, de exemplu, în verificarea unor inegalităţi sau în stabilirea monotoniei unui şir de integrale nedefinite). 4. Dacă f : [ a, b] → ℝ este funcţie continuă pe intervalul [ a, b] atunci pentru oricare c ∈[a, b] : b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx ( proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul de integrare, utilizată, de exemplu, pentru calculul integralei definite atunci când integrantul este reprezentat de o funcţie ce trebuie explicitată –funcţie definită prin mai multe legi, de exemplu, funcţia modul). Metode de calcul a integralelor definite: i) Metoda integrării prin părţi: Dacă f , g : [ a, b] → ℝ două funcţii derivabile cu derivatele f ', g ' : [ a, b] → ℝ continue, atunci b
b
b
∫ f ( x) ⋅ g '( x)dx = f ( x) ⋅ g ( x) a + ∫ f '( x) ⋅ g ( x)dx . a
a
Metoda presupune următoarea schemă de abordare: evidenţierea,
în scrierea integrantului, a unui produs de două funcţii (de exemplu, f = 1 ⋅ f ,
ln x x
1 = ⋅ ln x ), x
dintre care una să reprezinte o primitivă a unei funcţii; în general, alegerea celor două funcţii f şi g ' se realizează astfel încât integrala nedefinită obţinută să fie un a mai uşor de calculat; determinarea expresiilor funcţiilor f ' şi g ; b
finalizarea calculului prin determinarea integralei nedefinite ∫ f '(x )g (x )dx . a
În anumite exerciţii se poate aplica iterativ metoda integrării prin părţi. ii) Metoda schimbării de variabilă: Se consideră intervalul I ⊆ ℝ şi funcţiile u :[a, b] → I şi f : I → ℝ cu următoarele proprietăţi: 1. f continuă pe I 2. u derivabilă pe [ a, b] cu derivata u ' continuă pe [a, b] . b
Atunci ∫ f (u ( x)) u '( x) dx = a
u (b )
∫
f (t )dt , unde u ( x) = t şi u '(x) dx = dt .
u (a)
Utilizarea metodei schimbării de variabilă poate fi formalizată astfel: x = a ⇒ t = u ( a) - identificarea notaţiei (schimbării de variabilă) u ( x) = t ⇒ x = b ⇒ t = u(b) - asocierea notaţiei cu diferenţierea formală u '( x) ⋅ dx = dt - rescrierea integrantului folosind substituţiile variabilei, a capetelor de i ntegrare şi a lui dx b P ( x) dx , grad Q ≤ 4 , prin descompunere în fracţii raţionale iii) Metoda de calcul a integralelor de forma ∫ Q( x) a simple:
5
a) se scrie funcţia
P ( x) Q( x )
sub forma
P( x ) Q( x )
= C ( x) +
R( x ) Q ( x)
(ca urmare a aplicării teoremei împărţirii cu rest
P ( x) = Q( x) ⋅ C ( x) + R( x) )
b) se descompune funcţia raţională
R ( x) Q( x)
în fracţii raţionale simple
c) se aplică proprietatea de liniaritate a integralelor definite.
3.2.3. Aplicaţii ale integralei definite - clasa a XII-a (3h/săpt.) Aria unei suprafeţe plane: i) Fie funcţia f : [ a, b ] → ℝ continuă.
Atunci aria S a suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei f , axa b
Ox şi dreptele de ecuaţie x = a şi x = b este dată de relaţia S =
∫
f ( x) dx .
a
ii) Fie funcţiile f , g : [ a, b] → ℝ continue. Dacă f ( x) ≥ g ( x) pe intervalul dat, atunci aria S a suprafeţei b
cuprinse între graficele celor două funcţii, pe intervalul [ a, b] , este dată de relaţia S = ∫ ( f (x )dx − g ( x) )dx . a
Volumul unui corp de rotaţie: Fie funcţia f : [ a, b] → ℝ continuă. Atunci volumul V al corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a b
graficului funcţiei f este dat de relaţia V = π ∫ f 2 ( x) dx . a
6
EXEMPLE DE ITEMI TIP EXAMEN DE BACALAUREAT PENTRU RECAPITULAREA NOŢIUNILOR DIN TEMA 3 EXEMPLUL 25
SUBIECTUL al III-lea
(30 de puncte)
2 x 2 − 1 . 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ, f ( x) = 2 x + 2 10 x , pentru orice x ∈ ℝ . 5p a) Arătaţi că f ′ ( x ) = 2 2 ( x + 2)
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f . 1 1 5p c) Demonstraţi că − ≤ f ( x ) ≤ , pentru orice x ∈ [ 0,1] . 2 3 1
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ 0
x n x + 1
dx .
5p a) Calculaţi I 1 . 1 , pentru orice n ∈ ℕ* . n +1 1 1 . ≤ I 2012 ≤ 5p c) Demonstraţi că 4026 2013
5p b) Arătaţi că I n + I n+1 =
Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL al III-lea 1.a)
(30 de puncte)
(
)
(
)
2 2 2 x 2 − 1 ′ 4 x x + 2 − 2 x 2x − 1 f ′ ( x ) = = = 2 x 2 + 2 2 x + 2
(
)
10 x
=
( x
+ 2)
2
2p
2
b)
2 x 2 − 1 =2 lim f ( x ) = lim 2 x →+∞ x →+∞ x + 2 Ecuaţia asimptotei orizontale la graficul funcţiei f spre +∞ este y = 2 c) f ′ ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈ [ 0, +∞ ) ⇒ f crescătoare pe intervalul [ 0, + ∞ ) 1 1 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ f ( 0) ≤ f ( x ) ≤ f (1) ⇒ − ≤ f ( x ) ≤ , oricare ar fi x ∈ [0, 1] 2 3 1 2.a) x I1 = ∫ dx = x + 1 0 1
1 = ∫ 1 − dx = ( x − ln ( x + 1) ) x + 1 0
b)
3p
1
x n
x n+1
∫ x + 1 + x + 1 dx =
I n + I n+1 =
3p 2p 2p 3p 2p
1
= 1 − ln 2
3p
0
2p
0
1 n
=∫ 0
x
( x + 1)
x + 1
dx =
1 n +1
3p
7
c) x 2012
2
≤
1 2012
∫ 0
x
2
x2012 x + 1
dx ≤
≤
x2012
1
2p pentru orice x ∈ [ 0, 1]
1 2012
1
0
0
x
∫ x + 1 dx ≤ ∫ x2012 dx
1p
1 1 ≤ I 2012 ≤ 4026 2013
2p
EXEMPLUL 26
SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcţia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x) = x − ln x . f ( x) − f (4) =0. 5p a) Arătaţi că lim x →4 x − 4 5p b) Demonstraţi că funcţia f este crescătoare pe intervalul ( 4, + ∞ ) . 5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = xe x .
(30 de puncte)
5p a) Arătaţi că funcţia F : ℝ → ℝ , F ( x ) = xe x − ex + 2012 este o primitivă a funcţiei f . e
5p b) Calculaţi ∫ f ( ln x ) dx . 1
5p c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei g : [1, 2] → ℝ , g ( x ) =
f ( x ) x
Ox
a graficului funcţiei
.
Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL al III-lea 1.a)
f derivabilă în x = 4 ⇒
b)
lim
x →4
f ( x) − f (4) x − 4
2p
= f '(4)
1
2p
2 x x Finalizare
1p
f ′ ( x ) =
1
(30 de puncte)
−
f este derivabilă pe ( 0, + ∞ ) şi f ′ ( x ) =
1
−
1
2p
2 x x
1p
f ′ ( x ) = 0 ⇒ x = 4 f ′ ( x ) > 0 pentru orice x ∈ ( 4, + ∞ ) ⇒ funcţia f crescătoare pe intervalul
c)
lim f ( x ) = lim ( x − ln x ) = +∞
x →0 x >0
x→0 x >0
x = 0 este ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f
2.a) F este derivabilă şi F ' ( x ) = xe x + ex − ex , pentru orice x ∈ ℝ F ' = f e b) e ∫ f ( ln x ) dx = ∫ x ln x dx = 1
( 4, + ∞ )
2p 3p 2p 3p 2p 2p
1
8
=
=
c)
x 2
2 e2
2
e
−∫
ln x
e
x2
=
4
1p
1
⋅ dx = 2 x
1
1
−
x2
e
2p
e2 + 1
4
1
2
V = π g 2 ( x ) dx =
∫
1p
1
2
2 x
= π ∫ e d x = π 1
=
(
e2 x
2
2
2p
= 1
)
π e 2 e 2 − 1
2p
2 EXEMPLUL 27
SUBIECTUL al III-lea
(30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ, f ( x) = f
5p a) Arătaţi că
'( x)
f ( x )
=−
x x +1
x + 1 e x
.
pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) .
5p b) Arătaţi că funcţia f este descrescătoare pe ( 0, +∞ ) 5p c) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice la graficul funcţiei g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) =
e 2 x ⋅ f 2 ( x ) x
.
$
2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x2012 + x2011 + x2 + x . 5p a) Determinaţi primitiva F : ℝ → ℝ a funcţiei f , care verifică relaţia F ( 0 ) = 1 . 1
f ( x )
∫ x + 1 dx .
5p b) Calculaţi
0
5p c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a graficului funcţiei g : [1, 2] → ℝ, g ( x ) = f ( x ) − x2012 − x2011 . Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL al III-lea 1.a) f
'( x ) =
(30 de puncte)
( x + 1) '⋅ e x − ( x + 1) ⋅ ( e x ) ' e
2 x
=−
x ex
, ∀ x ∈ ( 0, +∞ )
Finalizare
b)
f
'( x ) = −
2p x x
e
⇒ f ' ( x ) < 0 , oricare ar fi x > 0
Finalizare
c)
g ( x ) = m=
lim
3p 2p
x 2 + 2 x + 1
x →+∞
3p
x g ( x ) x
=1
1p 1p
9
n=
lim ( g ( x ) − mx ) = 2
1p
x →+∞
y = x + 2 este ecuaţia asimptotei oblice la
2.a)
x 2013
x 2012
∫ f ( x ) dx = 2013 + 2012 + F ( x ) =
x 2013
2013
+
x 2012
2012
+
x3
3
F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) =
b)
1
f ( x )
+
3
+
x2
2013
2
2p
+ C
2p
+ c şi F ( 0 ) = 1 ⇒ c = 1
2
x 2013
x2
2p
+
x 2012
2012
+
x3
3
+
x2
2
1p
+1
1
∫ x + 1 dx = ∫ ( x2011 + x ) dx = 0
c)
x3
graficul funcţiei g .
2p
0
x 2012 x 2 1 1 1 1007 = + = + = 2012 2 0 2012 2 2012
3p
g ( x ) = x2 + x
1p
2
2
x5 x 4 x3 2 V = π ∫ g ( x ) dx = π ∫ ( x + 2 x + x ) dx =π 5 + 2 4 + 3 1 = 1 1 481π = 30 2
4
3
2
3p 1p
EXEMPLUL 28
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
5p 1. Determinaţi x ∈ ℤ pentru care −1 ≤ x + 1 ≤ 1 . 3 5p 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic conţine punctele A ( 0,0 ), B ( 2,2 ) , C ( −1, 2) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 2 ( x + 3) − log 2 x = 2 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând la întâmplare un element n din mulţimea {1,2,3,4} acesta să verifice inegalitatea 2n ≥ n2 . 5p 5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A ( 2,0 ) , B (1, −1) , O ( 0,0 ) . Determinaţi
coordonatele punctului C pentru care OC = 2OA + OB . 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care AB = 6 şi 5p m ( ∢ACB ) = 30 .
Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL I 1. x + 1 −1 ≤ ≤ 1 ⇒ −3 ≤ x + 1 ≤ 3 3 −4 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [ −4,2] x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {−4, − 3, − 2, −1, 0,1, 2}
(30 de puncte) 2p 2p 1p
10
2.
f ( 0 ) = 0 c=0 f : ℝ → ℝ, f ( x ) = ax 2 + bx + c ⇒ f ( 2 ) = 2 ⇒ 4 a + 2b + c = 2 f ( −1) = 2 a − b + c = 2
c=0 2 a = 1 ⇒ f ( x) = x − x b = − 1 3. x + 3 > 0 Condiţii ⇒ x ∈ ( 0, +∞ ) x > 0 x + 3 =2 log 2
2p
1p 2p 2p
x
x = 1∈ ( 0, +∞ )
4.
3p
nr cazuri favorabile nr cazuri posibile Cazuri posibile sunt 4 Cazuri favorabile sunt 3 3 p = 4 5. 2OA + OB = 4i + i − j = 5i − j C ( 5, −1) 6. AB AB Din teorema sinusului = 2 R ⇒ R = sin C 2sin C 6 R = =6 1 2⋅ 2 p =
1p 1p 2p 1p 3p 2p 3p 2p
EXEMPLUL 29
SUBIECTUL I 5p 1. Calculaţi log 2 ( 3 + 5 ) + log 2 ( 3 − 5 ) .
(30 de puncte)
5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ, f ( x ) = mx2 + 2 x − 5 . Determinaţi m ∈ ℝ pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funcţiei f este egală cu 2 . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 31− x = 1 . 27 2 2 5p 4. Calculaţi C6 − A4 . 5p 5. În sistemul de coordinate xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) , A ( 2, −2 ) şi B ( 6,8 ) . Calculaţi distanţa de la punctul O la mijlocul segmentului ( AB ) .
5p 6. Calculaţi cos130 + cos 50 . Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL I 1. log ( 3 + 5 ) + log ( 3 − 5) = log ( 9 − 5) = 2 2 2 = log 2 4 = 2
(30 de puncte) 3p 2p
11
2.
3.
b
−
=2 2a 2 − =2 2m 1 m=− 2 1− x 2 3 = 3−3 ⇒ 1 − x 2 = −3
2p 2p 1p 3p 2p
2
x = 4 ⇒ x ∈ {2, −2}
4.
6! = 15 2!⋅ 4! 4! A42 = = 12 ( 4 − 2 )! C 62 =
C62
2p 2p 1p
A42
− =3 5. Dacă C este mijlocul lui ( AB ) ⇒ C ( 4,3 ) OC =
6.
2p
2 2 ( 4 − 0 ) + ( 3 − 0)
2p 1p
OC = 5 cos (π − x ) = − cos x, ∀x ∈ ℝ
2p 3p
cos130 + cos50 = 0 EXEMPLUL 30
SUBIECTUL I
(30 de puncte)
5p 1. Calculaţi log 2 1 + 3 27 . 8 5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x2 − 2 x + 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 − 3 x2 −1 = 1 . 5p 4. Determinaţi câte numere de trei cifre distincte se pot fo rma cu elementele mulţimii {1,2,3,4} .
5p 5. Se consideră vectorii v1 = 2i − j şi v2 = i + 3 j . Determinaţi coordonatele vectorului w = 2v1 − v2 . 5p 6. Un triunghi dreptunghic are catetele AB = 3, AC = 4 . Determinaţi lungimea înălţimii duse din A. Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL I 1. 1 log 2 = log 2 2−3 = − 3 8 3 27 = 3 33 = 3 1 log 2 + 3 27 = 0 8 2. b xV = − =1 2a ∆ yV = − =2 4a V (1,2 )
(30 de puncte) 2p 2p 1p 2p 2p 1p
12
3. 3 x2 −1 = 1 x 2 − 1 = 0 x ∈ {−1,1} 4. A43 = 5.
1p 2p 2p 2p
= 24 w = 2 ( 2i − j ) − ( i + 3 j ) =
3p 2p 3p
= 3i − 5 j ⇒ w ( 3, −5 ) 6. BC = 5 AB ⋅ AC 12 h= = BC 5
2p 3p EXEMPLUL 31
SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consideră o progresie aritmetică ( an ) în care a3 = 5 şi a5 = 11 . Calculaţi suma primilor şapte n ≥1 termeni ai progresiei. 5p 2. Se consideră funcţiile f , g : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x − 1, g ( x) = x + 3. Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor f şi g. 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x 2 − 1 = 2 . 5p 4. Calculaţi a ⋅ b ştiind că a + b = 150 şi numărul a reprezintă 25% din numărul b. 5p 5. Determinaţi m ∈ ℝ pentru care punctele A ( 2,3 ) , B ( 4,5 ) şi C ( m + 1, m2 ) sunt coliniare. 5p 6. Calculaţi cos x , ştiind că sin x = 1 şi x ∈ 0, π . 3 2 Barem de evaluare şi de notare SUBIECTUL I 1. a1 + 2r = 5 ⇒ a1 = −1, r = 3 a1 + 4r = 11 a7 = a1 + 6r = 17 , S 7 = 56 2. f ( x ) = g ( x ) ⇒ 2 x − 1 = x + 3 x = 4 şi y = 7 A ( 4,7 ) 3. Prin ridicare la puterea a 3-a se obţine x 2 − 1 = 8 x = ±3 4. b a + b = 150 ⇒ + b = 150 ⇒ b = 120 4 a = 30 a ⋅ b = 3600 5. x − 2 y − 3 AB : = ⇒ x − y +1 = 0 2 2 C ∈ AB ⇒ m 2 − m − 2 = 0 m = − 1 sau m = 2
(30 de puncte) 3p 2p 2p 2p 1p 1p 2p 2p 3p 1p 1p 2p 2p 1p
13
6.
sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ±
2 2 3
3p
2 2 π ⇒ cos x = 3 2
x ∈ 0,
2p
EXEMPLUL 32
SUBIECTUL I 5p 1. Într-o progresie aritmetică ( an )n≥1 se cunosc a2 = 6 şi a3 = 5 . Calculaţi a6 .
(30 de puncte)
5p 2. Determinaţi soluţiile întregi ale inecuaţiei 2 x2 − x − 3 ≤ 0 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log 3 ( x + 2 ) − log3 ( x − 4 ) = 1 . 5p 4. După o scumpire cu 5%, preţul unui produs creşte cu 12 lei. Calculaţi preţul produsului înainte de scumpire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,4 ) şi B ( 5,0 ) . Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului [ AB] . 5p 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC = 9 şi m ( ∢BAC ) = 120 . Barem de evaluare şi de notare
SUBIECTUL I 1. a2 = 6 a1 = 7
(30 de puncte) 2p 2p 1p
⇒ a = 5 r = −1 3 a6 = a1 + 5r a6 = 2
2.
3 2 x 2 − x − 3 ≤ 0 ⇒ x ∈ −1, 2 x ∈ ℤ ⇒ x = −1, x = 0, x = 1 3. x + 2 > 0 Condiţii de existenţă ⇒ x ∈ ( 4, +∞ ) x − 4 > 0 x + 2 x+2 = 1⇒ =3 log3 x−4 x − 4 x = 7 ∈ ( 4, +∞ )
4. Se notează cu x preţul iniţial 5% ⋅ x = 12 lei x = 240 lei 5. Se notează cu M mijlocul lui [ AB] şi cu d mediatoarea segmentului [ AB] ; atunci M ( 3,2 ) m AB = −1 ⇒ md = 1 d : y − 2 = 1 ⋅ ( x − 3) ⇒ d : y = x − 1
6.
Din teorema sinusului ⇒ R = sin A = sin120 = sin 60 = R = 3
3
3 2
BC
2sin A
3p 2p 1p 2p 2p 3p 2p 1p 2p 2p 2p 2p 1p 14
EXEMPLUL 33
SUBIECTUL I 5p 1. Calculaţi log 6 3 + log6 12 .
(30 de puncte)
5p 2. Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x2 − x + 3 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 7 x + 7 x+1 = 392 . 5p 4. Determinaţi n ∈ ℕ , n ≥ 2 , pentru care Cn2 = 4 An1 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 0, −2 ) şi B ( 4, m ) , unde m ∈ ℝ . Determinaţi valorile lui m pentru care AB = 5 . 5p 6. Calculaţi cos 40 + cos140 . Barem de evaluare şi de notare
SUBIECTUL I 1. log6 3 + log 6 12 = log6 36
30 de puncte 3p 2p
log6 36 = log 6 62 = 2
2.
xV = −
b
=
1 4
2p
2a ∆ = − 23 ∆ 23 yV = − = 4a 8
1p 2p 1p 2p 2p
3. 7 x + 7 x +1 = 392 ⇔ 7 x + 7 x ⋅ 7 = 392 7 x ⋅ 8 = 392 ⇔ 7 x = 49 x = 2
4.
n!
2!( n − 2 )! n −1 =4 2 n=9
5.
=4
n!
2p
( n − 1)!
2p 1p
2 2 ( 4 − 0) + ( m + 2) = 5
1p 2p 2p 3p 2p
m 2 + 4m − 5 = 0 m = −5, m = 1
6. cos140 = cos (180 − 40 ) = − cos 40 cos 40 + cos140 = 0 EXEMPLUL 34
SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinaţi x ∈ ℝ pentru care numerele x − 1 , x + 1 şi 3 x − 1 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5 − x . Calculaţi f ( 0 ) ⋅ f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ ... ⋅ f (10 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x − 1 = x − 3 . 5p 4. Determinaţi numărul submulţimilor ordonate cu 2 elemente ale unei mulţ imi cu 7 elemente.
15
5p 5. Calculaţi distanţa de la punctul A ( 2,3) la punctul de intersecţie a dreptelor d1 : 2 x − y − 6 = 0 şi d2 : − x + 2 y − 6 = 0 . 5p 6. Calculaţi cosinusul unghiului M al triunghiului MNP ştiind că MN = 4, MP = 5 şi NP = 6 . Barem de evaluare şi de notare
SUBIECTUL I 1. 2 ( x + 1) = x − 1 + 3x − 1 2.
2 x = 4 ⇒ x = 2 f ( 5 ) = 0 f
3.
30 de puncte 2p 3p 3p 2p
( 0 ) ⋅ f (1) ⋅ f ( 2 ) ⋅ ... ⋅ f (10 ) = 0 x − 1 ≥ 0
Condiţii ⇒ x ∈[3, +∞ ) x − 3 ≥ 0
1p
2
x − 1 = ( x − 3) ⇒ x 2 − 7 x + 10 = 0 x = 2 sau x = 5
2 ∉ [3, +∞ ) ⇒ x = 5
4. Numărul de submulţimi ordonate este A72 7! = 42 5! 2 x − y − 6 = 0 ⇒ x = y = 6 − x + 2 y − 6 = 0
A72 =
5.
d =
3p 2p 2p 1p
2 2 ( 6 − 2 ) + ( 6 − 3)
d = 5
6.
N 2 + MP 2 − NP 2
cos M = cos M =
2p 1p 1p 2p
3p
2 ⋅ MN ⋅ MP 1 8
2p
EXEMPLUL 35
SUBIECTUL I 5p 1. Calculaţi log 7 ( 3 + 2 ) + log 7 ( 3 − 2 ) .
(30 de puncte)
5p 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + ax + b . Determinaţi numerele reale a şi b pentru care graficul funcţiei f conţine punctele A ( 2,3 ) şi B ( −1,0 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x +3 x +1 = 36 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr de 2 cifre, acesta să fie divizibil cu 4. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M ( 2, −1) şi N ( −1,3) . Determinaţi coordonatele vectorului OM + ON . 5p 6. Determinaţi lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu 4 3 .
16
Barem de evaluare şi de notare
SUBIECTUL I 1. log ( 3 + 2 ) + log ( 3 − 2 ) = log ( 3 + 2 ) ⋅ ( 3 − 2 ) = 7 7 7
30 de puncte 3p 2p
= log 7 7 = 1 2. A ( 2,3) ∈ G f ⇒ f ( 2 ) = 3 ⇒ 4 + 2a + b = 3
2p 2p 1p 1p 2p 2p
B ( −1,0 ) ∈ G f ⇒ f ( −1) = 0 ⇒ 1 − a + b = 0 a = 0, b = −1
3. 3 x +3 ⋅ 3x = 36 3 x = 9 x = 2 nr. cazuri favorabile 4. p = nr. cazuri posibile
1p
Numerele divizibile cu 4: 12, 16,…,96 ⇒ 22 cazuri favorabile Numerele de 2 cifre: ab, a ∈ {1, 2,...,9}, b ∈ {0,1, 2,...,9 } ⇒ 90 cazuri posibile 22
5.
11
1p
p = = 90 45 OM + ON = 2i − j − i + 3 j = i + 2 j
3p 2p
Coordonatele sunt (1,2 )
6.
l 2
3
4 l = 4
2p 1p
3p 2p
=4 3
EXEMPLUL 36
SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Într-o progresie aritmetică ( an )n≥1 se cunosc a1 = 5 şi r = 2 . Calculaţi suma primilor 5 termeni ai progresiei. 5p 2. Determinaţi numărul real m pentru care ecuaţia x2 ( m + 1) x + m = 0 are soluţii reale egale. 5p 3. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x+1 − 1 cu axele Ox şi respectiv Oy. 5p 4. Calculaţi 2C42 − 3 A14 . 5p 5. Se consideră vectorii v1 = 2i + a j şi v2 = ( a + 3)i + 2 j , unde a ∈ ℝ . Determinaţi numărul a > 0
pentru care vectorii v1 şi v2 sunt coliniari. 5p 6. Aria triunghiului MNP este egală cu 16, iar MN = NP = 8 . Calculaţi sin
.
Barem de evaluare şi de notare
SUBIECTUL I 1. ( 2a1 + 4r ) ⋅ 5 S 5 =
S 5 = 45
2
(30 de puncte) 3p 2p
17
2. ∆ = 0 m 2 + 2m + 1 − 4 m = 0 m =1
3.
G f ∩ Ox : f ( x ) = 0 ⇒ x = −1 A ( −1,0 ) G f ∩ Oy : f ( 0 ) = 1 B ( 0,1)
4.
C 42 = 6 A14 = 4
5.
6.
2C42 − 3 A14 = 0 a 2 = a+3 2 a 2 + 3a − 4 = 0 ⇒ a = 1 sau a = − 4 a > 0 ⇒ a =1 N ⋅ NP ⋅ sin N Aria ∆ MNP = 2 2 ⋅ 16 sin N = 8⋅8 1 sin N = 2
1p 2p 2p 2p 1p 1p 1p 2p 2p 1p 2p 2p 1p 2p 2p 1p
18
