Cuprins 1 Formule de calcul prescurtat 1.1 Desfacerea parantezelor/Descompuneri in 1.2 Expresii simetrice . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sume remarcabile . . . . . . . . . . . . . 1.4 Formula radicalilor compu¸si . . . . . . . 1.5 Metoda induct¸iei matematice . . . . . .
factori . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
3 3 3 3 4 4
2 Funct¸ii
5
3 Progresii 3.1 Progresii aritmetice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Progresii geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9 9
4 Numere reale 4.1 Modulul (valoarea absolut˘a) unui num˘ar real . . . . . . . . 4.2 Ecuat¸ii ¸si inecuat¸ii cu module . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Partea ˆıntreag˘a ¸si partea fract¸ionar˘a ale unui num˘ar real . 4.4 Funct¸ia de gradul ˆıntˆai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Funct¸ia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Sisteme de ecuat¸ii reductibile la ecuat¸ii de gradul al doilea 4.7 Puteri cu exponent natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Formule de calcul cu puteri ¸si radicali . . . . . . . . . . . . 4.10 Ecuat¸ii cu puteri; ecuat¸ii cu radicali (ecuat¸ii irat¸ionale) . . 4.11 Medii aritmetice, geometrice, armonice, p˘atratice . . . . . 4.12 Inegalit˘a¸ti remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Funct¸ia exponent¸ial˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14 Funct¸ia logaritmic˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15 Ecuat¸ii ¸si inecuat¸ii exponent¸iale ¸si logaritmice . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
10 10 11 12 13 14 22 24 25 26 27 28 29 31 32 34
. . . .
35 35 37 41 42
6 Trigonometrie 6.1 Funct¸iile trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Formule trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuat¸ii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 44 49 51
5 Geometrie sintetic˘ a 5.1 Triunghiul dreptunghic 5.2 Triunghiul oarecare . . 5.3 Patrulatere . . . . . . 5.4 Poligoane regulate . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Geometrie vectorial˘ a
53
8 Geometrie analitic˘ a
58
9 Numere complexe 9.1 Numere complexe sub forma algebric˘a . . . . . . . . . . . . . 9.2 Numere complexe sub forma trigonometric˘a . . . . . . . . . . 9.3 Interpretarea geometric˘a a unui nr. complex . . . . . . . . . . 9.4 Ecuat¸ii binome (r˘ad˘acinile de ordinul n ale unui nr. complex) 9.5 Ecuat¸ia de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Ecuat¸ii bip˘atrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 62 63 64 65 65 66
10 Combinatoric˘ a 10.1 Produsul cartezian . . . . . . . . . 10.2 Mult¸imi ordonate . . . . . . . . . . 10.3 Permut˘ari, aranjamente, combin˘ari 10.4 Formule de num˘arare . . . . . . . . 10.5 Formule combinatoriale . . . . . . . 10.6 Binomul lui Newton . . . . . . . . 10.7 Sume combinatoriale . . . . . . . .
67 67 67 67 68 69 70 72
2
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
1 1.1
Formule de calcul prescurtat Desfacerea parantezelor/Descompuneri in factori
(a + b)2 (a − b)2 (a + b + c)2 (a + b)3 (a − b)3 a2 − b2 a3 − b3 a3 + b3 an − bn n = impar ⇒ an + bn
1.2
= a2 + 2ab + b2 ; = a2 − 2ab + b2 ; = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc; = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ; = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; = (a − b)(a + b); = (a − b)(a2 + ab + b2 ); = (a + b)(a2 − ab + b2 ); = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + abn−2 + bn−1 ); = (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − · · · − abn−2 + bn−1 );
Expresii simetrice a2 + b2 a2 + b2 + c2 a3 + b3 a4 + b4
1.3
= (a + b)2 − 2ab; = (a + b + c)2 − 2(ab + ac + bc); = (a + b)3 − 3ab(a + b); = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 ;
Sume remarcabile n(n + 1) ; 2 n(n + 1)(2n + 1) ; 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 6 2 n(n + 1) 3 3 3 3 1 +2 +3 +···+n = ; 2 xk+1 − 1 , pt. x = 1; 1 + x + x2 + x3 + · · · + xk = x−1 1+2+3+···+n =
3
1.4
Formula radicalilor compu¸si a±
1.5
√
b=
a+c ± 2
a−c , 2
unde c =
√
a2 − b;
Metoda induct¸iei matematice
Fie P (n) o propozit¸ie, unde n ∈ N. Pt. a demonstra c˘a P (n) este adev˘arat˘a ∀n ≥ n0 , n ∈ N, unde n0 ∈ N, se poate utiliza principiul induct¸iei matematice, ˆın una din urm˘atoarele dou˘a variante: Varianta 1. Se parcurg urm˘atoarele dou˘a etape: • Etapa 1. (init¸ializare) ”P (n0 )”: verific˘am c˘a P (n0 ) este adev˘arat˘a; • Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupunem c˘a P (k) este adev˘arat˘a, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, ¸si demonstr˘am c˘a P (k + 1) este adev˘arat˘a. Varianta 2. Se parcurg urm˘atoarele dou˘a etape: • Etapa 1. (init¸ializare) ”P (n0 )”: verific˘am c˘a P (n0 ) este adev˘arat˘a; • Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (n0 ), . . . , P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupunem c˘a P (n0 ), . . . , P (k) sunt adev˘arate, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, ¸si demonstr˘am c˘a P (k + 1) este adev˘arat˘a. Obs. Dac˘a ˆın Etapa 2 pt. a demonstra c˘a P (k + 1) este adev˘arat˘a este nevoie s˘a utiliz˘am faptul c˘a P (k − 1) ¸si P (k) sunt adev˘arate, atunci la Etapa 1 trebuie s˘a verific˘am c˘a este adev˘arat˘a nu doar P (n0 ) ci ¸si P (n0 + 1), iar la Etapa 2 consider˘am k ≥ n0 + 1 (deoarece k = n0 + 1 este prima valoare pentru care au sens P (k − 1) ¸si P (k)).
4
2
Funct¸ii
Definit¸ia not¸iunii de funct¸ie: Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi nevide. O funct¸ie f definit˘ a pe A cu valori ˆın B este o lege de corespondent¸˘a prin care fiec˘arui element x ∈ A i se asociaz˘a un unic element y ∈ B, notat prin y = f (x) (y = f (x) se nume¸ste valoarea funct¸iei f ˆın punctul x sau imaginea lui x prin funct¸ia f ). Not˘am f : A → B. Mult¸imea A se nume¸ste domeniul de definit¸ie al funct¸iei f , iar mult¸imea B se nume¸ste codomeniul funct¸iei f . Imaginea funct¸iei f : A → B este mult¸imea Im f = f (A) = {f (x) | x ∈ A}. Graficul funct¸iei f : A → B este mult¸imea Gf = {(x, f (x)) | x ∈ A}. Funct¸ie constant˘ a f : A → B a.ˆı. ∃c ∈ B a.ˆı. f (x) = c ∀x ∈ A. Compunerea funct¸iilor: Fie f : A → B ¸si g : B → C dou˘a funct¸ii. Compusa lui g cu f este funct¸ia g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ A. Funct¸ii injective, surjective, bijective, inversabile: Fie f : A → B o funct¸ie. a dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). • f se nume¸ste injectiv˘ • f se nume¸ste surjectiv˘ a dac˘a ∀y ∈ B ∃ x ∈ A a.ˆı. f (x) = y. • f se nume¸ste bijectiv˘ a dac˘a este ¸si injectiv˘a ¸si surjectiv˘a. • f se nume¸ste inversabil˘ a dac˘a exist˘a o funct¸ie g : B → A a.ˆı. (f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B ¸si (g ◦ f )(x) = x, ∀x ∈ A. ˆIn acest caz funct¸ia g este unic˘a, se noteaz˘a g = f −1 ¸si se nume¸ste inversa funct¸iei f . Caracteriz˘ ari ale funct¸iilor injective, surjective, bijective, inversabile: Fie f : A → B o funct¸ie.
5
• f este injectiv˘a ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
∀x1 , x2 ∈ A, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ A, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ∀y ∈ B ecuat¸ia f (x) = y are cel mult o solut¸ie x ∈ A orice paralel˘a la axa Ox dus˘a prin B intersecteaz˘a Gf ˆın cel mult un punct.
• f este surjectiv˘a ⇔ ⇔ ⇔
Im f = B ∀y ∈ B ecuat¸ia f (x) = y are cel put¸in o solut¸ie x ∈ A orice paralel˘a la axa Ox dus˘a prin B intersecteaz˘a Gf ˆın cel put¸in un punct.
• f este bijectiv˘a ⇔ ⇔ ⇔
f este ¸si injectiv˘a ¸si surjectiv˘a ∀y ∈ B ecuat¸ia f (x) = y are exact o solut¸ie x ∈ A orice paralel˘a la axa Ox dus˘a prin B intersecteaz˘a Gf ˆın exact un punct.
• f este inversabil˘a ⇔ f este bijectiv˘a ⇔
∀y ∈ B ecuat¸ia f (x) = y are exact o solut¸ie x ∈ A Mai mult, ˆın acest caz inversa lui f este f −1 : B → A, f −1 (y) = x, unde x ∈ A este solut¸ia unic˘a a ecuat¸iei f (x) = y.
• Dac˘a f este inversabil˘a, atunci Gf ¸si Gf −1 sunt simetrice fat¸˘a de prima bisectoare (dreapta y = x), adic˘a (x, y) ∈ Gf ⇔ (y, x) ∈ Gf −1 . Funct¸ii monotone: Fie f : A → B o funct¸ie, unde A, B ⊆ R. • f se nume¸ste (monoton) cresc˘ atoare dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). • f se nume¸ste (monoton) descresc˘ atoare dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). • f se nume¸ste strict cresc˘ atoare dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). • f se nume¸ste strict descresc˘ atoare dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ). 6
• f se nume¸ste monoton˘ a dac˘a este monoton cresc˘atoare sau monoton descresc˘atoare. • f se nume¸ste strict monoton˘ a dac˘a este strict cresc˘atoare sau strict descresc˘atoare. Funct¸ii m˘ arginite: Fie f : A → B o funct¸ie, unde B ⊆ R. f se nume¸ste m˘ arginit˘ a dac˘a ∃m, M ∈ R a.ˆı. m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ A. Centre de simetrie/axe de simetrie: Fie f : A → B o funct¸ie, unde A, B ⊆ R. • Un punct (x0 , y0 ) se nume¸ste centru de simetrie pt. Gf (¸si spunem c˘a a de punctul (x0 , y0 )) dac˘a pt. orice (x, y) ∈ Gf Gf este simetric fat¸˘ avem (x , y ) ∈ Gf , unde (x , y ) este simetricul lui (x, y) fat¸˘a de (x0 , y0 ). • Punctul (x0 , y0 ) este centru de simetrie pt. Gf ⇔ pt. orice t ∈ R a.ˆı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A ¸si f (x0 + t) + f (x0 − t) = 2y0 ⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A ¸si f (2x0 − x) = 2y0 − f (x). • O dreapt˘a d se nume¸ste ax˘ a de simetrie pt. Gf (¸si spunem c˘a Gf este simetric fat¸˘ a de dreapta d) dac˘a pt. orice (x, y) ∈ Gf avem (x , y ) ∈ Gf , unde (x , y ) este simetricul lui (x, y) fat¸˘a de d. • Dreapta d :
ax + by + c = 0 este ax˘a de simetrie pt. Gf
(b2 − a2 )x − 2abf (x) − 2ac ⇔ pt. orice x ∈ A avem ∈ A ¸si a2 + b2 2 −2abx + (a2 − b2 )f (x) − 2bc (b − a2 )x − 2abf (x) − 2ac = ∈ B. f a2 + b2 a2 + b2 • Caz particular: dreapta vertical˘a x = x0 este ax˘a de simetrie pt. Gf ⇔ pt. orice t ∈ R a.ˆı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A ¸si f (x0 + t) = f (x0 − t) ⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A ¸si f (2x0 − x) = f (x). Funct¸ii pare/impare: Fie f : A → B o funct¸ie, unde A, B ⊆ R, A fiind o mult¸ime simetric˘ a, adic˘a pt. orice x ∈ A rezult˘a c˘a −x ∈ A. • f se nume¸ste par˘ a dac˘a f (−x) = f (x), ∀x ∈ A. 7
• f se nume¸ste impar˘ a dac˘a f (−x) = −f (x), ∀x ∈ A. • f este par˘a ⇔ Gf este simetric fat¸˘a de axa Oy. • f este impar˘a ⇔ Gf este simetric fat¸˘a de originea axelor. Funct¸ii periodice: Fie f : A → B o funct¸ie, unde A ⊆ R. • f se nume¸ste periodic˘ a dac˘a ∃T ∈ R∗ a.ˆı. f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ A. Un num˘ar T cu aceast˘a proprietate se nume¸ste perioad˘ a pt. f . • Dac˘a f are o perioad˘a T0 a.ˆı. T0 = min{T | T > 0, T = perioad˘a pt. f }, a a lui f . atunci T0 se nume¸ste perioada principal˘ Funct¸ii convexe/concave: Fie f : A → B o funct¸ie, unde A, B ⊆ R, A fiind un interval. • f se nume¸ste strict convex˘ a dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem f ((1 − t)x1 + tx2 ) < (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) (adic˘a graficul lui f cuprins ˆıntre oricare dou˘a puncte (x1 , f (x1 )) ¸si (x2 , f (x2 )) este situat sub segmentul care une¸ste aceste dou˘a puncte). • f se nume¸ste convex˘ a dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ). • f se nume¸ste strict concav˘ a dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem f ((1 − t)x1 + tx2 ) > (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) (adic˘a graficul lui f cuprins ˆıntre oricare dou˘a puncte (x1 , f (x1 )) ¸si (x2 , f (x2 )) este situat deasupra segmentului care une¸ste aceste dou˘a puncte). • f se nume¸ste concav˘ a dac˘a ∀x1 , x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≥ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
8
3
Progresii
3.1
Progresii aritmetice a+c ⇔ 2b = a + c; 2 (an )n = pr. aritm. ⇔ an+1 − an = r ∀n ⇔ 2an = an−1 + an+1 ∀n; a2 = a1 + r; a3 = a2 + r = a1 + 2r; . . . (r = rat¸ia) a, b, c = pr. aritm. ⇔ b =
an = a1 + (n − 1)r ; Sn =
3.2
(a1 + an )n 2
an = ak + (n − k)r;
(unde Sn = a1 + a2 + · · · + an );
Progresii geometrice
√ a, b, c = pr. geom. (abc = 0) ⇔ |b| = ac ⇔ b2 = ac ; an+1 = q ∀n ⇔ a2n = an−1 an+1 ∀n; (an )n = pr. geom. (a1 = 0, q = 0) ⇔ an a2 = a1 q; a3 = a2 q = a1 q 2 ; . . . (q = rat¸ia, q = 0) an = a1 q n−1 ; Sn =
an = ak q n−k ;
a1 (q n − 1) , pt. q = 1 (unde Sn = a1 + a2 + · · · + an ); q−1
9
4
Numere reale
4.1
Modulul (valoarea absolut˘ a) unui num˘ ar real
Definit¸ia modulului (formula de explicitare): x, dac˘a x ≥ 0 |x| = ; −x, dac˘a x < 0 Paritate: Funct¸ia modul este par˘a: | − x| = |x|; Semnul: x
−∞
|x|
0 +
∞
0 +
Monotonia: x
−∞
0
∞
|x|
∞
0
∞
Propriet˘ a¸ti: |x| ≥ 0; |x| = 0 ⇔ x = 0; |x · y| = |x| · |y|; x |x| = y |y| (y = 0); |xn | = |x|n , ∀n ∈ N; |x + y| ≤ |x| + |y|; |x| − |y| ≤ |x ± y|; |x|2 = x2 ; 10
4.2
Ecuat¸ii ¸si inecuat¸ii cu module Rezolvare (ˆın R)
Ecuat¸ia/inecuat¸ia
a < 0 ⇒ x ∈ ∅; |x| = a
a = 0 ⇒ x = 0; a > 0 ⇒ x = ±a
|x| < a
a ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅; a > 0 ⇒ x ∈ (−a, a) a < 0 ⇒ x ∈ ∅;
|x| ≤ a
a = 0 ⇒ x = 0; a > 0 ⇒ x ∈ [−a, a] a < 0 ⇒ x ∈ R;
|x| > a
a = 0 ⇒ x ∈ R \ {0}; a > 0 ⇒ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, ∞)
|x| ≥ a
a ≤ 0 ⇒ x ∈ R; a > 0 ⇒ x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, ∞)
Ecuat¸iile ¸si inecuat¸iile ˆın care necunoscuta face parte din unul sau mai multe module pot fi rezolvate prin explicitarea acestor module.
11
4.3
Partea ˆıntreag˘ a ¸si partea fract¸ionar˘ a ale unui num˘ ar real
Definit¸ii: Fie x ∈ R. • Partea ˆıntreag˘ a a lui x: [x] = cel mai mare num˘ar ˆıntreg mai mic sau egal cu x; • Partea fract¸ionar˘ a a lui x: {x} = x − [x] ; Propriet˘ a¸ti: [x] ∈ Z,
[x] ≤ x < [x] + 1 ; 0 ≤ {x} < 1
(⇒ partea fract¸ionar˘ a este o funct¸ie m˘ arginit˘ a); k ∈ Z ⇒ [x + k] = [x] + k; k ∈ Z ⇒ {x + k} = {x} (⇒ partea fract¸ionar˘ a este o funct¸ie periodic˘ a de perioad˘ a principal˘ a 1); [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1; 1 [x] + x + = [2x] ; 2 1 2 n−1 [x] + x + + x+ +···+ x+ = [nx] (n ∈ N, n ≥ 2); n n n
12
4.4
Funct¸ia de gradul ˆıntˆ ai
Are forma f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ R, a = 0. Graficul s˘au este o dreapt˘a. Semnul: −∞
x
−
b a
∞
ax + b, a > 0
−
0
+
ax + b, a < 0
+
0
−
Monotonia: x
−∞
ax + b, a > 0
−∞
ax + b, a < 0
∞
13
∞
∞
−∞
4.5
Funct¸ia de gradul al doilea
Are forma f : R → R, f (x) = ax2 + bx + c, unde a, b, c ∈ R, a = 0. Graficul s˘au este o parabol˘a. Vˆ arful parabolei este V = punct de minim pt. Gf , dac˘a a > 0 Δ b , V − ,− , 2a 4a V = punct de maxim pt. Gf , dac˘a a < 0 unde Δ = b2 − 4ac se nume¸ste determinantul (discriminantul) funct¸iei f (sau al ecuat¸iei de gradul al doilea f (x) = 0). b Axa de simetrie a parabolei (graficului lui f ): x = − ; 2a Forma canonic˘ a: 2 b Δ 2 ax + bx + c = a x + − . 2a 4a Monotonia: −
b 2a
∞
−
Δ 4a
∞
−∞
−
Δ 4a
−∞
x
−∞
ax2 + bx + c, a > 0 ax2 + bx + c, a < 0
∞
R˘ ad˘ acinile (solut¸iile) funct¸iei f (sau ale ecuat¸iei de gradul al doilea f (x) = 0): • Dac˘a Δ > 0 ecuat¸ia are dou˘a r˘ad˘acini reale distincte x1,2
√ −b ± Δ = ; 2a
• Dac˘a Δ = 0 ecuat¸ia are o r˘ad˘acin˘a real˘a dubl˘a (adic˘a dou˘a r˘ad˘acini reale egale) −b x1 = x2 = ; 2a 14
• Dac˘a Δ < 0 ecuat¸ia nu are are r˘ad˘acini reale. Ea are dou˘a r˘ad˘acini complexe conjugate √ −b ± i −Δ x1,2 = , unde i ∈ C \ R, i2 = −1. 2a Descompunerea ˆın factori: ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) . Semnul: f are semn contrar lui a ˆıntre r˘ad˘acini ¸si semnul lui a ˆın rest. Mai precis: • Dac˘a Δ > 0, fie x1 < x2 r˘ad˘acinile funct¸iei f . −∞
x
x1
∞
x2
ax2 + bx + c, a > 0
+
0
−
0
+
ax2 + bx + c, a < 0
−
0
+
0
−
• Dac˘a Δ = 0: −∞
x
−
b 2a
∞
ax2 + bx + c, a > 0
+
0
+
ax2 + bx + c, a < 0
−
0
−
• Dac˘a Δ < 0: −∞
x
∞
ax2 + bx + c, a > 0
+
ax2 + bx + c, a < 0
−
15
Relat¸iile lui Vi` ete: ⎧ b ⎪ ⎨ x1 + x2 = − a ; ⎪ c ⎩ x x = 1 2 a
Not˘am
S = x1 + x2 P = x1 x2
Avem
;
x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = S 2 − 2P x31 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = S 3 − 3P S
;
Ecuat¸ia de gradul al doilea avˆ and r˘ ad˘ acinile x1 ¸si x2 : x2 − Sx + P = 0 . Natura r˘ ad˘ acinilor: Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
x1 , x2 ∈ R (r˘ad˘acini reale)
Δ≥0
x1 , x2 ∈ R, x1 = x2 (r˘ad˘acini reale ¸si distincte)
Δ>0
x1 , x2 ∈ R (ec. nu are r˘ad˘acini reale)
Δ<0
x1 = x2 (o r˘ad˘acin˘a (real˘a); r˘ad˘acini (reale) egale)
Δ=0
x1 = x2 (r˘ad˘acini (complexe) distincte)
Δ = 0
16
Semnul r˘ ad˘ acinilor (reale): c b Fie S = − ¸si P = . a a Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
x1 , x2 ≥ 0
Δ ≥ 0, S ≥ 0, P ≥ 0
x1 , x2 > 0
Δ ≥ 0, S > 0, P > 0
x1 , x2 ≤ 0
Δ ≥ 0, S ≤ 0, P ≥ 0
x1 , x2 < 0
Δ ≥ 0, S < 0, P > 0
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0
P ≤0
x1 > 0, x2 < 0
P <0
Pozit¸ionarea r˘ ad˘ acinilor: Fie α, β ∈ R, α < β. Cerint¸a
x1 , x2 ≥ α
x1 , x2 > α
Condit¸ii echivalente
Alte condit¸ii echivalente
Δ ≥ 0,
Δ ≥ 0,
b − ≥ α, 2a
(x1 − α) + (x2 − α) ≥ 0,
af (α) ≥ 0
(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0
Δ ≥ 0,
Δ ≥ 0,
b − > α, 2a
(x1 − α) + (x2 − α) > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0
af (α) > 0
17
Cerint¸a
x1 , x2 ≤ α
x1 , x2 < α
Condit¸ii echivalente
Alte condit¸ii echivalente
Δ ≥ 0,
Δ ≥ 0,
−
b ≤ α, 2a
(x1 − α) + (x2 − α) ≤ 0,
af (α) ≥ 0
(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0
Δ ≥ 0,
Δ ≥ 0,
−
b < α, 2a
(x1 − α) + (x2 − α) < 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0
af (α) > 0
Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
Alte condit¸ii echivalente
x1 ≤ α ≤ x2
af (α) ≤ 0
(x1 − α)(x2 − α) ≤ 0
x1 < α < x2
af (α) < 0
(x1 − α)(x2 − α) < 0
Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
Alte condit¸ii echivalente
Δ ≥ 0, x1 , x2 ∈ [α, β]
−
b ∈ [α, β] 2a
x1 , x2 ≥ α, x1 , x2 ≤ β
af (α) ≥ 0, af (β) ≥ 0 Δ ≥ 0, x1 , x2 ∈ (α, β)
−
b ∈ (α, β) 2a
af (α) > 0, af (β) > 0 18
x1 , x2 > α, x1 , x2 < β
Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
x1 ∈ (α, β), x2 ∈ [α, β]
f (α)f (β) < 0
Alte condit¸ii echivalente x2 < α < x1 x1 , x2 > α sau x1 < β < x2 x1 , x2 < β
Condit¸ii privind semnul funct¸iei pe intervale fixate: Cerint¸a
Condit¸ii echivalente
ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R
Δ ≤ 0, a > 0
ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ R
Δ < 0, a > 0
ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R
Δ ≤ 0, a < 0
ax2 + bx + c < 0, ∀x ∈ R
Δ < 0, a < 0
Fie α ∈ R. Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ≥ α
ax2 + bx + c > 0, ∀x ≥ α
ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ≥ α
ax2 + bx + c < 0, ∀x ≥ α
Condit¸ii echivalente ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≤ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x < α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x ,x ≤ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 < α 19
Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x > α
ax2 + bx + c > 0, ∀x > α
ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x > α
ax2 + bx + c < 0, ∀x > α
Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ≤ α
ax2 + bx + c > 0, ∀x ≤ α
ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ≤ α
ax2 + bx + c < 0, ∀x ≤ α
Condit¸ii echivalente ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≤ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≤ α ⎧ 1 2 ⎪Δ > 0 ⎨ Δ≤0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x ,x ≤ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 ≤ α
Condit¸ii echivalente ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≥ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x > α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x ,x ≥ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 > α
20
Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x < α
ax2 + bx + c > 0, ∀x < α
ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x < α
ax2 + bx + c < 0, ∀x < α
Condit¸ii echivalente ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≥ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x ,x ≥ α ⎧ 1 2 ⎪Δ > 0 ⎨ Δ≤0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x ,x ≥ α ⎧ 1 2 ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 ≥ α
Fie α, β ∈ R, α < β.
Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ [α, β] ax2 + bx + c > 0, ∀x ∈ [α, β] ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ [α, β] ax2 + bx + c < 0, ∀x ∈ [α, β]
Condit¸ii echivalente ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x1 , x2 ≤ α sau x1 , x2 ≥ β ⎧ ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a > 0 ⎪ a>0 ⎩ x1 , x2 < α sau x1 , x2 > β ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 Δ≤0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 ≤ α sau x1 , x2 ≥ β ⎧ ⎪ ⎨Δ ≥ 0 Δ<0 sau a < 0 ⎪ a<0 ⎩ x1 , x2 < α sau x1 , x2 > β
21
⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 sau a < 0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ] ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 sau a < 0 ⎪ ⎩ α, β ∈ (x1 , x2 ) ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 sau a > 0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ] ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 sau a > 0 ⎪ ⎩ α, β ∈ (x1 , x2 )
Cerint¸a ax2 + bx + c ≥ 0,
Condit¸ii echivalente
∀x ∈ (α, β)
Δ≤0 sau a>0
2
ax + bx + c > 0, ∀x ∈ (α, β) ax2 + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ (α, β)
Δ≤0 sau a<0
2
ax + bx + c < 0, ∀x ∈ (α, β)
4.6
Δ<0 sau a>0
Δ<0 sau a<0
⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a>0 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≤ α ⎧ ⎪ ⎨Δ ≥ 0 a>0 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≤ α ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a<0 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≤ α ⎧ ⎪ ⎨Δ ≥ 0 a<0 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≤ α
sau sau x1 , x2 ≥ β sau sau x1 , x2 ≥ β sau sau x1 , x2 ≥ β sau sau x1 , x2 ≥ β
⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a<0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ] ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a<0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ] ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a>0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ] ⎧ ⎪ ⎨Δ > 0 a>0 ⎪ ⎩ α, β ∈ [x1 , x2 ]
Sisteme de ecuat¸ii reductibile la ecuat¸ii de gradul al doilea
Sisteme formate dintr-o ecuat¸ie de gradul ˆıntˆ ai si o ecuat¸ie de gradul al doilea: ax + by = c . dx2 + exy + f y 2 + gx + hy = k c − ax c − by sau y = ... Se rezolv˘a prin substitut¸ie: x = a b Obs. Analog se rezolv˘a ¸si sistemele formate dintr-o ecuat¸ie de gradul ˆıntˆai si o ecuat¸ie de grad n ≥ 3. Sisteme de ecuat¸ii simetrice: f (x, y) = 0 , g(x, y) = 0 unde f (x, y) ¸si g(x, y) sunt polinoame simetrice, adic˘a 22
f (y, x) = f (x, y) , ∀x, y. g(y, x) = g(x, y)
x+y = S xy = P
Notˆand
se obt¸ine un sistem cu necunoscutele S ¸si P ; dup˘a rezolvarea acestuia se determin˘a x ¸si y ca fiind r˘ad˘acinile ecuat¸iei de gradul al doilea
x = t1 sau y = t2
t2 − St + P = 0
x = t2 y = t1
.
Sisteme de ecuat¸ii omogene de gradul al doilea: a1 x2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 . a2 x2 + b2 xy + c2 y 2 = d2 Se reduce termenul liber (de exemplu se ˆınmult¸esc cele dou˘a ecuat¸ii cu d2 , respectiv cu −d1 ¸si se adun˘a ecuat¸iile obt¸inute), rezultˆand o ecuat¸ie omogen˘a de forma ax2 + bxy + cy 2 = 0. 2 x x x 2 Pentru y = 0, ˆımp˘art¸ind prin y ⇒ a + b · + c = 0; not˘am = t, y y y x determin˘am t, apoi rezolv˘am sistemul format din ecuat¸ia = t ¸si una din y cele dou˘a ecuat¸ii ale sistemului init¸ial. Cazul y = 0 se rezolv˘a prin ˆınlocuire ˆın sistemul init¸ial. Obs. Analog se rezolv˘a ¸si sistemele de ecuat¸ii omogene de grad n ≥ 3.
23
4.7
Puteri cu exponent natural
Fie n ∈ N∗ . Paritate: Funct¸ia xn este par˘a pentru n = par, respectiv impar˘a pentru n = impar: n = par ⇒ (−x)n = xn ; n = impar ⇒ (−x)n = −xn ;
Semnul: x
−∞
0
xn , n = par
+
0 +
xn , n = impar
−
0 +
∞
Monotonia: x
−∞
xn , n = par
∞
xn , n = impar
0
∞
0 ∞
−∞
0 ∞
24
4.8
Radicali
Fie n ∈ N∗ , n ≥ 2. Funct¸ia radical este inversa funct¸iei putere:
Funct¸ia (bijectiv˘a)
Inversa
f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = xn ,
f −1 : [0, ∞) → [0, ∞), √ f −1 (x) = n x,
n = par
n = par
f : R → R, f (x) = xn ,
f −1 : R → R, √ f −1 (x) = n x,
n = impar
n = impar
Not˘ am
√
x= ⇒
√ 2
Mon.
Formule
√ n xn = |x|, pt. n = par, x ∈ R; √ ( n x)n = x, pt. n = par, x ≥ 0; √ n √ n
xn = x, pt. n = impar, x ∈ R;
( x)n = x, pt. n = impar, x ∈ R; √ √ n −x = − n x, pt. n = impar, x ∈ R;
x , ∀x ≥ 0; ⎧ √ ⎪ ⎨ x2 = |x|, ∀x ∈ R ; ⎪ ⎩
√ ( x)2 = x, ∀x ≥ 0 ;
Domeniul de definit¸ie: √ n x, n = par : x ≥ 0; √ n x, n = impar : x ∈ R; Semnul: x √ n
x, n = par
0
∞
x √ n
0 +
−∞
0
∞
− 0 +
x, n = impar
Monotonia: x √ n
x, n = par
0
∞
0
∞
x √ n
x, n = impar
25
−∞
0
∞
−∞
0
∞
4.9
Formule de calcul cu puteri ¸si radicali
Puteri cu exponent rat¸ional: x0 = 1, ∀x = 0; 1 x−1 = , ∀x = 0; x 1 x−n = n , ∀x = 0, ∀n ∈ N∗ ; x √ 1 x 2 = x, ∀x ≥ 0; √ 1 x n = n x, ∀n ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par); √ m x n = n xm , ∀n, m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par); m 1 x− n = √ , ∀x = 0, ∀n, m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par); n xm Operat¸ii cu puteri: xa · xb xa xb (xa )b xa · y a xa ya
= xa+b ; = xa−b = xab ; = (xy)a ; a x = y
(x = 0);
(y = 0);
Operat¸ii cu radicali: Fie n, m ∈ N∗ , n ≥ 2, m ≥ 2. √ √ √ n x · n y = n xy (x ≥ 0, y ≥ 0 pt. n = par); √ n xy = n |x| · n |y| pt. n = par ¸si xy ≥ 0; √ n x x n = (y = 0) (x ≥ 0, y > 0 pt. n = par); √ n y y n |x| x n pt. n = par ¸si xy ≥ 0, y = 0; = n y |y| √ √ ( n x)m = n xm (x ≥ 0 pt. n = par); √ n xm = ( n |x|)m pt. n, m = pare; √ m √ n x = mn x (x ≥ 0 pt. m · n = par); 26
4.10
Ecuat¸ii cu puteri; ecuat¸ii cu radicali (ecuat¸ii irat¸ionale)
Fie n ∈ N∗ , n ≥ 2. Ecuat¸ia
Condit¸ii de existent¸˘a
Rezolvare (ˆın R) a < 0 ⇒ x ∈ ∅;
xn = a, n = par
—
a = 0 ⇒ x = 0; √ a>0⇒x=±na
xn = a, n = impar √ n
—
x=
x≥0
x = a, n = par
√ n
a
a < 0 ⇒ x ∈ ∅; a ≥ 0 ⇒ x = an
√ n
x = a, n = impar
x = an
— √ n
a+x+
√ m
b − x = c.
Dup˘a impunerea eventualelor condit¸ii de existent¸˘a, notˆand u+v =c ... x = un − a = b − v m
27
√
n a+x=u √ ⇒ m b−x=v
4.11
Medii aritmetice, geometrice, armonice, p˘ atratice
Fie a1 , a2 , . . . , an ∈ R, unde n ∈ N, n ≥ 2. • Media aritmetic˘ a a numerelor a1 , a2 , . . . , an este 1 a1 + a2 + · · · + an ; ai = Ma = n i=1 n n
• Media geometric˘ a a numerelor a1 , a2 , . . . , an este Mg =
√ n
a1 a2 . . . an
(a1 a2 . . . an ≥ 0 pt. n = par);
• Media armonic˘ a a numerelor a1 , a2 , . . . , an este Mh =
n n i=1
1 ai
=
n 1 1 1 + +···+ a1 a2 an
(a1 , a2 , . . . , an = 0);
• Media p˘ atratic˘ a a numerelor a1 , a2 , . . . , an este n 1 a21 + a22 + · · · + a2n 2 . Mp = ai = n i=1 n
28
4.12
Inegalit˘ a¸ti remarcabile
• Inegalitatea mediilor: Fie a1 , a2 , . . . , an > 0 (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci min{a1 , a2 , . . . , an } ≤ Mh ≤ Mg ≤ Ma ≤ Mp ≤ max{a1 , a2 , . . . , an }, iar egalit˘a¸tile au loc dac˘a ¸si numai dac˘a a1 = a2 = · · · = an . • Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz: Fie a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci n 2 n n 2 ai bi ≤ ai · b2i , i=1
i=1
i=1
iar egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a ∃ k ∈ R a.ˆı. ai = kbi
∀i ∈ {1, . . . , n}.
• Inegalitatea lui Minkowski: Fie a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ≥ 0 (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci n n n 2 (ai + bi )2 ≤ ai + b2i , i=1
i=1
i=1
iar egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a ∃ k ∈ R a.ˆı. ai = kbi
∀i ∈ {1, . . . , n}.
• Inegalitatea lui H¨ older: Fie a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ≥ 0 (n ∈ N, n ≥ 2) ¸si p, q ∈ (1, ∞) a.ˆı. Atunci n i=1
ai bi ≤
n
1 1 + = 1. p q
1 n 1 q q p api bi · ,
i=1
i=1
iar egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a ∃ k ∈ R a.ˆı. api = kbqi
∀i ∈ {1, . . . , n}.
Obs. Luˆand p = q = 2 ˆın inegalitatea lui H¨older obt¸inem inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz. 29
• Inegalitatea lui Jensen: – Fie f : A → B o funct¸ie convex˘a, unde A, B ⊆ R, A fiind un n ti = 1 interval. Fie x1 , . . . , xn ∈ A ¸si t1 , . . . , tn ∈ [0, 1] a.ˆı. (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci n n f ti xi ≤ ti f (xi ). i=1
i=1
i=1
Mai mult, dac˘a f este strict convex˘a ¸si t1 , . . . , tn ∈ (0, 1), atunci egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a x1 = x2 = · · · = xn . – Fie f : A → B o funct¸ie concav˘a, unde A, B ⊆ R, A fiind un n ti = 1 interval. Fie x1 , . . . , xn ∈ A ¸si t1 , . . . , tn ∈ [0, 1] a.ˆı. (n ∈ N, n ≥ 2). Atunci n n f ti xi ≥ ti f (xi ). i=1
i=1
i=1
Mai mult, dac˘a f este strict concav˘a ¸si t1 , . . . , tn ∈ (0, 1), atunci egalitatea are loc dac˘a ¸si numai dac˘a x1 = x2 = · · · = xn .
30
4.13
Funct¸ia exponent¸ial˘ a
Fie a > 0, a = 1. Funct¸ia exponent¸ial˘ a: f : R → (0, ∞), f (x) = ax (a se nume¸ste baza funct¸iei exponent¸iale). Semnul: −∞
x ax , a > 0, a = 1
∞ +
Monotonia: x
−∞
∞
ax , a > 1
0
∞
ax , a ∈ (0, 1)
∞
0
Formule de calcul: ax · ay ax ay x y (a ) ax · bx ax bx
= ax+y ; = ax−y = axy ; = (ab)x ; a x = b
31
(a = 0);
(b = 0);
4.14
Funct¸ia logaritmic˘ a
Fie a > 0, a = 1. Funct¸ia logaritmic˘ a este inversa funct¸iei exponent¸iale: Funct¸ia (bijectiv˘a)
Inversa
f : R → (0, ∞),
f −1 : (0, ∞) → R,
f (x) =
f −1 (x)
ax ,
a > 0, a = 1
Formule
loga ax = x, ∀x ∈ R;
= loga x,
aloga x = x, ∀x > 0;
a > 0, a = 1
(a se nume¸ste ¸si baza funct¸iei logaritmice, sau baza logaritmului). Not˘ am ⎧ ⎨ lg x = log10 x, ∀x > 0 ⎩
ln x = loge x, ∀x > 0
(logaritm zecimal) ; (logaritm natural),
Domeniul de definit¸ie: loga x, a > 0, a = 1 : x > 0; Semnul: 0
x
− 0
loga x, a > 1 loga x, a ∈ (0, 1)
∞
1
+
+
0 −
Monotonia: x
0
loga x, a > 1
−∞
loga x, a ∈ (0, 1)
∞
32
∞
∞
−∞
e 2,7 ;
Formule de calcul: Fie a > 0, a = 1 ¸si b > 0, b = 1. loga 1 = 0; loga a = 1; loga ax = x, ∀x ∈ R; aloga x = x , ∀x > 0; loga x + loga y = loga (xy) , ∀x, y > 0; loga (xy) = loga |x| + loga |y|, ∀x, y a.ˆı. xy > 0; x loga x − loga y = loga , ∀x, y > 0; y x loga = loga |x| − loga |y|, ∀x, y > 0 a.ˆı. xy > 0; y loga xn = n loga x , ∀x > 0, ∀n ∈ R; loga xn = n loga |x|, ∀n ∈ Z, n = par, ∀x = 0; n loga x , ∀x > 0, ∀n, m ∈ R, m = 0; logam xn = m n logam xn = log|a| |x|, ∀n, m ∈ Z, n, m = pare, m = 0, m ∀x = 0, ∀a ∈ R \ {−1, 0, 1}; loga b = loga x =
1 ; logb a
lg x ln x logb x = = , ∀x > 0; logb a lg a ln a
33
4.15
Ecuat¸ii ¸si inecuat¸ii exponent¸iale ¸si logaritmice
Fie a > 0, a = 1.
Ecuat¸ia/inecuat¸ia
Condit¸ii de existent¸˘a
ax = b
—
Rezolvare (ˆın R) b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅; b > 0 ⇒ x = loga b
loga x = b
x = ab
x>0
b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅; ax < b
—
b > 0, a > 1 ⇒ x < loga b b > 0, a ∈ (0, 1) ⇒ x > loga b b ≤ 0 ⇒ x ∈ R;
ax > b
—
b > 0, a > 1 ⇒ x > loga b b > 0, a ∈ (0, 1) ⇒ x < loga b
loga x < b
a > 1 ⇒ x < ab
x>0
a ∈ (0, 1) ⇒ x > ab
loga x > b
a > 1 ⇒ x > ab
x>0
a ∈ (0, 1) ⇒ x < ab Aa2x + Bax + C = 0. Not˘am ax = t ⇒ At2 + Bt + C = 0, t > 0 . . . a 2x a x x x x A(a2 ) +B(ab)x +C(b2 ) = 0. ˆImp˘art¸im prin (b2 ) ⇒ A +B +C = 0 b b af (x) = bg(x) . Logaritm˘am (ˆın una din bazele a, b, e, 10) . . . 34
...
5
Geometrie sintetic˘ a
5.1
Triunghiul dreptunghic C
D M
A
B
Teorema lui Pitagora: BC 2 = AB 2 + AC 2 ; Teorema catetei: AB 2 = BC · BD; AC 2 = BC · CD; Teorema ˆın˘ alt¸imii: AD 2 = BD · CD; AB · AC produsul catetelor Formula ˆın˘ alt¸imii: AD = ; BC ipotenuz˘a BC ; 2 AB · AC BC · AD Aria: AABC = = ; 2 2 Funct¸ii trigonometrice: AC cateta opus˘a AB cateta al˘aturat˘a sin B = ; cos B = ; BC ipotenuz˘a BC ipotenuz˘a cateta opus˘a AB cateta al˘aturat˘a AC ; ctg B = ; tg B = AB cateta al˘aturat˘a AC cateta opus˘a Formula medianei: AM =
C = 90◦ − B ⇒ sin C = cos B, cos C = sin B, tg C = ctg B, ctg C = tg B; sin2 x + cos2 x = 1 ; tg x =
sin x ; cos x
ctg x =
35
cos x 1 ; = sin x tg x
Unghiuri importante: x
0◦ ≡ 0
sin x
0
cos x
1
tg x
0
ctg x
—
30◦ ≡ 1 2 √ 3 2 √ 3 3 √
π 6
45◦ ≡ √
2 2 √ 2 2 1
π 4
60◦ ≡ √
π 3
90◦ ≡
3 2
1
1 2
0
√
3
—
3 3
0
π 2
√
3
1
x = obtuz ⇒ sin x = sin(180◦ − x) ; cos x = − cos(180◦ − x) ;
36
5.2
Triunghiul oarecare A
A + B + C = 180◦
c
b
ha
B
D
a ma
E M
a
Inegalitatea triunghiului:
C
⎧ ⎪ ⎨a + b > c a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi ⇔ a, b, c > 0 ¸si a + c > b ⎪ ⎩ b+c > a Aria: BC · AD baza · ˆın˘alt¸imea AABC = ; 2 2 AB · AC · sin A = 2 a+b+c ; = p(p − a)(p − b)(p − c) (formula lui Heron) , unde p = 2 = p · r, unde r = raza cercului ˆınscris; abc , unde R = raza cercului circumscris; = 4R Teorema lui Pitagora generalizat˘ a (teorema cosinusului): BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 · AB · AC · cos A; Teorema sinusului:
b c a = = = 2R; sin A sin B sin C 37
2(b2 + c2 ) − a2 ; Formula medianei: ma = 4 2AABC 2 Formula ˆın˘ alt¸imii: ha = p(p − a)(p − b)(p − c); = a a AB EB = ; Teorema bisectoarei: EC AC (bisectoarea ˆımparte latura opus˘a ˆın segmente proport ¸ionale cu laturile al˘aturate); 2bc A 2bc p(p − a) Formula bisectoarei: la = cos = ; b+c 2 b+c bc O alt˘ a formul˘ a a bisectoarei: AE 2 = AB · AC − BE · EC; A−B tg a−b 2 ; = Teorema tangentei: A + B a+b tg 2 Formule trigonometrice: A A (p − b)(p − c) p(p − a) sin = ; cos = ; 2 bc 2 bc A (p − b)(p − c) p(p − a) A ; ctg = ; tg = 2 p(p − a) 2 (p − b)(p − c) B C A cos cos ; 2 2 2 B C A cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin ; 2 2 2 tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C, pt. A, B, C = 90◦ ; sin A + sin B + sin C = 4 cos
38
Triunghiuri congruente: A
A
B
B
C
C
≡A , B ≡B , C ≡ A C ABC ≡ A B C ⇔ [AB] ≡ [A B ], [AC] ≡ [A C ], [BC] ≡ [B C ] Cazurile de congruent¸˘a: LLL, LUL, ULU. Triunghiuri asemenea: A
A
B C⎧
B
≡A , ⎨A ABC ∼ A B C ⇔ AB ⎩ = A B Cazurile de asem˘anare: LLL, LUL, UU.
C
≡B , C ≡ B C AC BC = AC BC
Teorema lui Thales; Teorema fundamental˘ a a asem˘ an˘ arii: A
M
N
B
C
Fie ABC ¸si M ∈ AB \ {A, B}, N ∈ AC \ {A, C}. AM AN = (T. Thales); MB NC AN MN AM = = MN BC ⇔ AMN ∼ ABC ⇔ AB AC BC MN BC ⇔
39
(T.F.A.)
Teorema lui Menelaus: A C B B
C
A
Fie ABC ¸si A ∈ BC \ {B, C}, B ∈ AC \ {A, C}, C ∈ AB \ {A, B}. AC BA CB A , B , C = coliniare ⇔ · · = −1 (segmente orientate) CB AC BA ⎧ ⎨exact 2 sau 0 din punctele A , B , C sunt pe laturile ABC ⇔ AC BA CB ⎩ · · =1 C B A C B A Teorema lui Ceva: A C B A
B
C
Fie ABC ¸si A ∈ BC \ {B, C}, B ∈ AC \ {A, C}, C ∈ AB \ {A, B}. AC BA CB AA , BB , CC = concurente ⇔ · · = 1 (segmente orientate) C B AC BA ⎧ ⎨exact 3 sau 1 din punctele A , B , C sunt pe laturile ABC ⇔ AC BA CB ⎩ · · =1 C B A C B A
40
5.3
Patrulatere
Patrulaterul
Aria
oarecare
AC · BD · sin (AC, BD) 2
Paralelogram
baza · h = AB · AD · sin A 2
Dreptunghi
L·l
Romb
l · h = l2 sin A =
Alte formule
Diagonala d2 = L2 + l2 d1 · d2 2 √ Diagonala d = l 2
P˘atrat
l2
Trapez
(baza mare + baza mic˘a) · h 2
Linia mijlocie: baza mare + baza mic˘a lm = 2
Un patrulater ABCD este inscriptibil (adic˘a exist˘a un cerc care trece prin punctele A, B, C, D, numit cercul circumscris patrulaterului ABCD) +C =B +D = 180◦ ⇐⇒ ABD ≡ ACD ⇐⇒ A (unghiul format de o latur˘a cu o diagonal˘a este congruent cu unghiul format de latura opus˘a cu cealalt˘a diagonal˘a) ⇐⇒ AC · BD = AB · CD + AD · BC (relat¸ia lui Ptolemeu). Un patrulater ABCD are un cerc ˆınscris (adic˘a un cerc tangent la laturile patrulaterului) ⇐⇒ AB + CD = AD + BC.
41
Patrulaterul
R
r
Paralelogram
doar ˆın dreptunghi
doar ˆın romb
Dreptunghi
d 2
doar ˆın p˘atrat
Romb
doar ˆın p˘atrat
l 2
√ l 2 d = 2 2
P˘atrat
Trapez
5.4
l 2 doar dac˘a AB + CD = AD + BC; h r= 2
doar ˆın trapez isoscel
Poligoane regulate
O
R
u 2
u 2
r
An A1
M
l
A3
A2
n = num˘ arul de laturi (vˆ arfuri); R = raza cercului circumscris; Unghiul la centru: u =
2π 360◦ ≡ ; n n
42
u Latura: l = 2R sin ; 2 u Apotema (raza cercului ˆınscris): r = R cos ; 2 Aria: A = n ·
l·r R2 sin u =n· ; 2 2
Unghiul poligonului: 180◦ − u =
(n − 2)180◦ ; n
Poligoane regulate importante:
Poligonul
Formule specifice
√ l 3 ˆ Triunghi echilateral In˘alt¸imea h = 2 P˘atrat Hexagon regulat
√ Diagonala d = l 2
Aria
R
r
√ l2 3 l·h = 2 4
√ l 3 2 ·h= 3 3 √ d l 2 = 2 2
√ l 3 1 ·h= 3 6
l2 √ l2 3 6· 4
—
43
l
l 2 √
l 3 3
6
Trigonometrie
6.1
Funct¸iile trigonometrice
Cercul trigonometric: Cadranul II: t ∈ ⇓
π 2
,π
y = sin t
6
cos t < 0 sin t > 0
π Cadranul I: t ∈ 0, 2 ⇓ ⎧ cos t > 0 π ⎨cos = 0 sin t > 0 2
π 2 ⇒ ⎩sin π = 1 B(0, 1) 2 t=
cos(π − t0 ) = − cos t0 sin(π − t0 ) = sin t0
⇑
N (cos(π − t0 ), sin(π − t0 )) cos π = −1 t=π ⇐ sin π = 0 A (−1, 0)
M (cos t0 , sin t0 ) π − t0 R=1
π + t0
K t0 −t0
O
2π − t0 P (cos(π + t0 ), sin(π + t0 )) ⇓ cos(π + t0 ) = − cos t0 sin(π + t0 ) = − sin t0
⇑
cos t < 0 sin t < 0
t=0 cos 0 = 1 ⇒ A(1, 0) sin 0 = 0 - x = cos t cos 2π = 1 t = 2π ⇒ sin 2π = 0 Q(cos(2π − t0 ), sin(2π − t0 )) ⇓ cos(2π − t0 ) = cos(−t0 ) = cos t0 sin(2π − t0 ) = sin(−t0 ) = − sin t0
⎧ 3π ⎪ ⎨cos =0 B (0, −1) 2 3π ⇒ ⎪ t= ⎩sin 3π = −1 2 2
3π Cadranul III: t ∈ π, 2
Cadranul IV: t ∈
Domeniul de definit¸ie: sin t, cos t : t ∈ R; π tg t : cos t = 0 ⇔ t = + kπ, k ∈ Z; 2 ctg t : sin t = 0 ⇔ t = kπ, k ∈ Z;
44
cos t > 0 sin t < 0
⇑ π 3π , 2π sau t ∈ − , 0 2 2
Periodicitatea: Funct¸iile sin ¸si cos au perioada principal˘a 2π: sin t = sin(t + 2π) = sin(t + 2kπ), cos t = cos(t + 2π) = cos(t + 2kπ), ∀k ∈ Z; Funct¸iile tg ¸si ctg au perioada principal˘a π: tg t = tg (t + π) = tg (t + kπ), ctg t = ctg (t + π) = ctg (t + kπ), ∀k ∈ Z; Paritate: Funct¸ia cos este par˘a, iar funct¸iile sin, tg ¸si ctg sunt impare: sin(−t) = − sin t, cos(−t) = cos t, tg (−t) = −tg t, ctg (−t) = −ctg t; Argumentul redus (din [0, 2π)): ⎧ sin t = sin t0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨cos t = cos t 0 t ∈ [2kπ, 2kπ + 2π), k ∈ Z ⇒ , unde t0 = t − 2kπ ∈ [0, 2π) ⎪ tg t = tg t 0 ⎪ ⎪ ⎩ ctg t = ctg t0 (t0 = argumentul redus) Unghiuri importante: 90◦ ≡
π 2
180◦ ≡ π
0◦ ≡ 0
sin t
0
1
0
−1
cos t
1
0
−1
0
tg t
0
—
0
—
ctg t
—
0
—
0
45
270◦ ≡
3π π sau −90◦ ≡ − 2 2
t
Semnul: t
0
π 2
π
3π 2
2π
sin t
0
+
0
−
0
−
0
+
cos t
+
0
tg t
0 +
|
−
0
+
|
−
0
ctg t
|
0
−
|
+
0
−
|
+
Reducerea la cadranul I:
Cadranul II π t∈ ,π 2
Cadranul III 3π t ∈ π, 2
Cadranul IV 3π t∈ , 2π 2
Cadranul IV π t ∈ − ,0 2
sin t = sin(π − t)
sin t = − sin(t − π)
sin t = − sin(2π − t)
sin t = − sin(−t)
cos t = − cos(π − t)
cos t = − cos(t − π)
cos t = cos(2π − t)
cos t = cos(−t)
tg t = −tg (π − t)
tg t = tg (t − π)
tg t = −tg (2π − t)
tg t = −tg (−t)
ctg t = −ctg (π − t)
ctg t = ctg (t − π)
ctg t = −ctg (2π − t)
ctg t = −ctg (−t)
M˘ arginirea: sin x ∈ [−1, 1];
cos x ∈ [−1, 1];
46
Monotonia:
π 2
π 2
0
3π 2
2π
t
−
sin t
−1
0
1
0
−1
0
cos t
0
1
0
−1
0
1
tg t
|−∞
0
+∞| − ∞
0
+∞| − ∞
0
ctg t
0
−∞| + ∞
0
−∞| + ∞
0
−∞|
π
Funct¸iile trigonometrice inverse:
Funct¸ia (bijectiv˘a) π π → [−1, 1] sin : − , 2 2
Inversa π π arcsin : [−1, 1] → − , 2 2
Mon.
Formule arcsin(−x) = − arcsin x;
sin(arcsin x) = x; π π arcsin(sin x) = x, pt. x ∈ − , 2 2 arccos(−x) = π − arccos x;
cos : [0, π] → [−1, 1]
arccos : [−1, 1] → [0, π]
cos(arccos x) = x; arccos(cos x) = x, pt. x ∈ [0, π]
π π →R tg : − , 2 2
π π arctg : R → − , 2 2
arctg (−x) = −arctg x;
tg (arctg x) = x; π π arctg (tg x) = x, pt. x ∈ − , 2 2 arcctg (−x) = π − arcctg x;
ctg : (0, π) → R
arcctg : R → (0, π)
ctg (arcctg x) = x; arcctg (ctg x) = x, pt. x ∈ (0, π)
47
Semnul: −1
x
0 −
arcsin x arccos x
0
1
x
+
−∞ −
arctg x
+
0
0
1
x
∞
0
arcctg x
0
+
+
Monotonia: x
−1 π 2
arcsin x
−
arccos x
π
−∞ π 2
0
π 2
arctg x
−
π 2
0
arcctg x
π
∞
0
0
π 2
π 2
0
Formule de leg˘ atur˘ a ˆıntre funct¸iile trigonometrice inverse: π ; 2 π arctg x + arcctg x = ; 2
arcsin x + arccos x =
48
6.2
Formule trigonometrice
Formule de leg˘ atur˘ a ˆıntre funct¸iile trigonometrice: a a trigonometriei) ; sin2 x + cos2 x = 1 (formula fundamental˘ 1 cos x 1 sin x = ; ctg x = = ; tg x = cos x ctg x sin x tg x 1 1 1 + tg 2 x = ; ; 1 + ctg 2 x = 2 cos x sin2 x Formule pentru sume/diferent¸e de unghiuri: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y; sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y; cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y; cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y; tg x + tg y π , pt. x, y, x + y = + kπ (k ∈ Z); 1 − tg x tg y 2 π tg x − tg y , pt. x, y, x − y = + kπ (k ∈ Z); tg (x − y) = 1 + tg x tg y 2 1 π π = −ctg x = − , pt. x = + kπ, x = kπ; tg x ± 2 tg x 2 π 1 π − x = ctg x = , pt. x = + kπ, x = kπ; tg 2 tg x 2 ctg x ctg y − 1 , pt. x, y, x + y = kπ; ctg (x + y) = ctg x + ctg y ctg x ctg y + 1 , pt. x, y, x − y = kπ; ctg (x − y) = ctg y − ctg x tg (x + y) =
Formule pentru dublul unui unghi: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x; 2tg x π tg 2x = pt. x, 2x = + kπ; 2 , 1 − tg x 2 2 ctg x − 1 , pt. x, 2x = kπ; ctg 2x = 2ctg x 49
Formule pentru triplul unui unghi: sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x;
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x;
Formule pentru jum˘ atatea unui unghi: x 1 − cos x = ; 2 2 x 1 − cos x tg 2 = , 2 1 + cos x x 1 + cos x ctg 2 = , 2 1 − cos x sin2
cos2
x 1 + cos x = ; 2 2
pt. x = π + 2kπ; pt. x = 2kπ;
x Substitut¸ia t = tg : 2 t = tg
x 2
(x = π + 2kπ) ⇒
2t ; 1 + t2 2t tg x = , 1 − t2 1 − t2 , ctg x = 2t sin x =
1 − t2 ; 1 + t2 π pt. x = + kπ; 2
cos x =
pt. x = kπ;
Formule de liniarizare: 1 − cos 2x ; 2 3 sin x − sin 3x sin3 x = ; 4
1 + cos 2x ; 2 3 cos x + cos 3x cos3 x = ; 4
sin2 x =
cos2 x =
Formule de transformare a produselor ˆın sume: sin(x + y) + sin(x − y) ; 2 cos(x + y) + cos(x − y) ; cos x cos y = 2 cos(x − y) − cos(x + y) sin x sin y = ; 2 sin x cos y =
Formule de transformare a sumelor ˆın produse: x−y x+y cos ; 2 2 x+y x−y sin x − sin y = 2 cos sin ; 2 2 sin x + sin y = 2 sin
50
x+y x−y cos ; 2 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin ; 2 2 cos x + cos y = 2 cos
sin(x + y) , cos x cos y sin(x − y) , tg x − tg y = cos x cos y sin(x + y) ctg x + ctg y = , sin x sin y sin(y − x) , ctg x − ctg y = sin x sin y tg x + tg y =
π + kπ; 2 π pt. x, y = + kπ; 2
pt. x, y =
pt. x, y = kπ; pt. x, y = kπ;
Sume cu argumentele ˆın progresie aritmetic˘ a: r ⇒ se calculeaz˘a S1 sin ; 2 r S2 = cos x + cos(x + r) + cos(x + 2r) + . . . ⇒ se calculeaz˘a S2 sin ; 2 S1 = sin x + sin(x + r) + sin(x + 2r) + . . .
6.3
Ecuat¸ii trigonometrice
Ecuat¸ia
Condit¸ii de existent¸˘a
sin x = a
—
Rezolvare a ∈ [−1, 1] ⇒ x ∈ ∅; a ∈ [−1, 1] ⇒ x = (−1)k arcsin a + kπ, k ∈ Z
cos x = a
a ∈ [−1, 1] ⇒ x ∈ ∅;
—
a ∈ [−1, 1] ⇒ x = ± arccos a + 2kπ, k ∈ Z tg x = a ctg x = a
cos t = 0 ⇔ t =
π + kπ, k ∈ Z 2
sin t = 0 ⇔ t = kπ, k ∈ Z
x = arctg a + kπ, k ∈ Z x = arcctg a + kπ, k ∈ Z
a sin x + b cos x = c sin x = u a sin x + b cos x = c ⇔ . Not˘am 2 2 sin x + cos x = 1 cos x = v 51
...
Ecuat¸ia
Condit¸ii de existent¸˘a
Rezolvare
arcsin x = a
x ∈ [−1, 1]
π π ⇒ x ∈ ∅; a ∈ − , 2 2 π π a∈ − , ⇒ x = sin a 2 2
arccos x = a
x ∈ [−1, 1]
arctg x = a
—
arcctg x = a
—
a ∈ [0, π] ⇒ x ∈ ∅; a ∈ [0, π] ⇒ x = cos a π π a ∈ − , ⇒ x ∈ ∅; 2 2 π π a∈ − , ⇒ x = tg a 2 2 a ∈ (0, π) ⇒ x ∈ ∅; a ∈ (0, π) ⇒ x = ctg a
52
7
Geometrie vectorial˘ a Coordonatele unui vector: y
6
B(xB , yB )
3
−→ u = AB = (xB − xA )i + (yB − yA )j
A(xA , yA )
−→ AB(xB − xA , yB − yA )
Y (0, 1)
j 6i O X(1, 0)
-x
i(1, 0) = versorul axei Ox j(0, 1) = versorul axei Oy
Vectorul de pozit¸ie al unui punct: −→ rA = OA = xA · i + yA · j; Modului (norma, lungimea) unui vector: −→ |AB| = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ; u = xi + yj ⇒ |u| = x2 + y 2 ; Versor (vector unitate): vector de modul 1; Egalitatea vectorilor: B
3
D
−→ u = AB
3
−−→ v = CD
A C
Fie u = x1i + y1j ¸si v = x2i + y2j. u = v ⇔ u ¸si v au acela¸si modul, aceea¸si direct¸ie ¸si acela¸si sens x1 = x2 ; ⇔ y1 = y2 53
Vectorul nul: → 0 = 0 · i + 0 · j = − AA, ∀A; −→ AB = 0 ⇔ A = B; x=0 ; xi + yj = 0 ⇔ y=0 Adunarea vectorilor: • Regula paralelogramului: B
−→ −−→ −→ AB + AD = AC
: C
u u + v A
v
z
D
• Regula triunghiului: B
−→ −−→ −→ AB + BC = AC
v z C :
u u + v A
•
u = x1i + y1j v = x2i + y2j
⇒ u + v = (x1 + x2 )i + (y1 + y2 )j;
54
ˆInmult¸irea vectorilor cu scalari: *
u
2u
*
1 u 2
*
− 12 u
−u
−2u
α(xi + yj) = αxi + αyj,
∀α ∈ R;
Opusul unui vector: v = −u ⇔ u ¸si v au acela¸si modul, aceea¸si direct¸ie ¸si sensuri opuse; −→ −→ −AB = BA ; u = xi + yj ⇒ −u = −xi − yj; Vectori coliniari: B
3
−→ u = AB
D
3
−−→ v = CD
A C
Fie u = x1i + y1j ¸si v = x2i + y2j. u ¸si v sunt coliniari ⇔ u ¸si v au aceea¸si direct¸ie ⇔ ∃ k ∈ R a.ˆı. u = kv y1 x1 = ; ⇔ x2 y2 −→ −−→ AB ¸si CD sunt coliniari ⇔ AB CD sau A, B, C, D = coliniare −→ −−→ ⇔ ∃ k ∈ R a.ˆı. AB = k CD;
55
Rapoarte de segmente orientate: 3 M1 A = 8 M1 B
2 M2 A =− 5 M2 B
M1
A
M2
7 M3 A = 2 M3 B B
M3
Fie M ∈ AB \ {B} ¸si k ∈ R \ {1}. −−→ −−→ MA = k ⇔ MA = k MB MB⎧ −−→ −−→ MA ⎪ ⎪ = k ¸ s i MA, MB au acela¸ s i sens adic˘ a A ∈ (MB) sau B ∈ (AM) , dac˘a k > 0 ⎨ MB ⇔ ⎪ −→ −−→ ⎪ ⎩ MA = k ¸si − MA, MB au sensuri opuse adic˘a M ∈ (AB) , dac˘a k < 0 MB A k
M
B
K
−−→ 1 −→ −−→ MA = k ⇔ PM = P A − k P B , ∀P 1−k MB ⎧ xA − kxB ⎪ ⎪ ⎨xM = 1 1−k (rA − krB ) ⇔ ⇔ rM = ⎪ 1−k − kyB y ⎪ ⎩yM = A 1−k
P
Caz particular (k = −1): −−→ 1 −→ −−→ M = mijlocul lui [AB] ⇔ P M = (P A + P B), ∀P 2 ⎧ xA + xB ⎪ ⎨xM = 1 2 ⇔ rM = (rA + rB ) ⇔ + y ⎪ 2 ⎩yM = A yB 2 Puncte importante ˆın triunghi: Fie ABC. • Centrul de greutate G (intersect¸ia medianelor): 56
G = centrul de greutate al ABC −→ 1 −→ −−→ −→ ⇔ P G = (P A + P B + P C), ∀P 3 ⎧ xA + xB + xC ⎪ xG = ⎨ 1 3 ⇔ rG = (rA + rB + rC ) ⇔ y + y ⎪ 3 B + yC ⎩yG = A 3 • Centrul cercului ˆınscris I (intersect¸ia bisectoarelor): I = centrul cercului ˆınscris ABC −→ −−→ −→ −→ 1 (aP A + bP B + cP C), ∀P ⇔ PI = a+b+c ⎧ axA + bxB + cxC ⎪ ⎪ ⎨xI = 1 a+b+c (arA + brB + crC ) ⇔ ⇔ rI = ⎪ a+b+c + byB + cyC ay ⎪ ⎩yI = A a+b+c • Centrul cercului circumscris O (intersect¸ia mediatoarelor); • Ortocentrul H (intersect¸ia ˆın˘alt¸imilor): −−→ −→ −−→ −→ OH = OA + OB + OC; −→ 1 −−→ OG = OH (relat¸ia lui Sylvester); 3 Produsul scalar: Fie u = x1i + y1j ¸si v = x2i + y2j. u · v = |u| · |v| · cos((u, v)) = x1 x2 + y1 y2 ⇒
u · u = |u|2 ;
i · i = j · j = 1; i · j = 0; x1 x2 + y1 y2 u · v = ; cos((u, v )) = |u| · |v| x21 + y12 · x22 + y22 x1 y1 u ¸si v sunt coliniari ⇔ |u · v | = |u| · |v| ⇔ = ; x2 y2 u ⊥ v (perpendiculari) ⇔ u · v = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 = 0; |u ± v |2 = |u|2 + |v|2 ± 2u · v = |u|2 + |v |2 ± 2|u| |v| cos((u, v)); 57
8
Geometrie analitic˘ a Distant¸a dintre dou˘ a puncte: AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 ; Coordonatele mijlocul unui segment: ⎧ xA + xB ⎪ ⎨xM = 2 ; M = mijlocul lui [AB] ⇔ + y ⎪ ⎩yM = A yB 2 Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: ⎧ xA + xB + xC ⎪ ⎨xG = 3 G = centrul de greutate al ABC ⇔ ⎪ ⎩yG = yA + yB + yC 3 Ecuat¸ia general˘ a a unei drepte: d:
unde a = 0 sau b = 0;
ax + by + c = 0,
Ecuat¸ia dreptei ce trece prin dou˘ a x y AB : xA yA xB yB
⇔
puncte (distincte) date: 1 1 = 0 1
⎧ ⎪ AB : ⎪ ⎪ ⎨
y − yA x − xA = , dac˘a xB = xA ¸si yB = yA yB − yA xB − xA
⎪ AB : ⎪ ⎪ ⎩ AB :
x = xA , dac˘a xB = xA (dreapt˘ a vertical˘ a) y = yA , dac˘a yB = yA (dreapt˘ a orizontal˘ a)
Puncte coliniare:
xA yA 1 A, B, C = coliniare ⇔ xB yB 1 = 0; xC yC 1
Aria unui triunghi: AABC
;
xA yA 1 |Δ| , unde Δ = xB yB 1 ; = 2 xC yC 1
58
(dreapt˘ a oblic˘ a)
Panta (coeficientul unghiular) unei drepte (neverticale): • m = tangenta unghiului format de dreapt˘a cu axa Ox; • d:
⇒
ax + by + c = 0
• d = AB
⇒
m=
m=−
yB − yA , xB − xA
a , b
unde a = 0;
unde xB = xA ;
and Ecuat¸ia dreptei ce trece printr-un punct dat P (x0 , y0 ) ¸si avˆ panta m dat˘ a: y − y0 = m(x − x0 ) ; Ecuat¸ia dreptei verticale ce trece printr-un punct dat P (x0 , y0 ): x = x0 ; Drepte paralele; drepte perpendiculare: d1 : y = m1 x + n1 d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 , sau Fie d2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 d2 : y = m2 x + n2 • d1 = d2 ⇔
a1 b1 c1 = = ⇔ m1 = m2 ¸si n1 = n2 ; a2 b2 c2
• d1 d2 ⇔
a1 b1 c1 = = ⇔ m1 = m2 ¸si n1 = n2 ; a2 b2 c2
(m1 = panta lui d1 ) . (m2 = panta lui d2 )
• d1 ⊥ d2 ⇔ a1 a2 + b1 b2 = 0 ⇔ m1 m2 = −1; Vectori directori ai unei drepte: −→ • Vectorii directori ai dreptei d sunt vectorii de forma AB, cu A, B ∈ d, A = B; • Un vector u = αi + βj, u = 0, este vector director pentru dreapta d : ax + by + c = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a αa + βb = 0 ; Unghiul dintre dou˘ a drepte: d1 : d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 , sau Fie d2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 d2 : • cos((d1 , d2)) =
y = m1 x + n1 y = m2 x + n2
(m1 = panta lui d1 ) . (m2 = panta lui d2 )
|a1 a2 + b1 b2 | |m1 m2 + 1| ; = 2 2 2 2 + b1 · a2 + b2 m1 + 1 · m22 + 1
a21
59
m1 − m2 a1 b2 − a2 b1 = , pt. d1 ⊥ d2 ; • tg ((d1 , d2 )) = 1 + m1 m2 a1 a2 + b1 b2 Proiect¸ia unui punct pe o dreapt˘ a: Fie punctul A(x1 , y1 ) ¸si dreapta d : ax + by + c = 0. A d D
Proiect¸ia lui A pe d este punctul D = pr d A definit prin D = A, dac˘a A ∈ d , AD ⊥ d, D ∈ d, dac˘a A ∈ d adic˘a punctul de intersect¸ie dintre dreapta d ¸si perpendiculara dus˘a din A pe d. Astfel coordonatele (x0 , y0 ) ale lui D sunt solut¸ia sistemului ⎧ b2 x1 − aby1 − ac ⎪ ⎪ ⎨x0 = ax + by + c = 0 a2 + b2 , adic˘a . 2 ⎪ a(y − y1 ) = b(x − x1 ) + a y − bc −abx 1 1 ⎪ ⎩y0 = a2 + b2 Distant¸a de la un punct la o dreapt˘ a: Fie punctul P (x0 , y0 ) ¸si dreapta h : ax + by + c = 0. Distant¸a de la P la h (adic˘a distant¸a de la P la proiect¸ia lui P pe h) este d(P, h) =
|ax0 + by0 + c| √ ; a2 + b2
Simetricul unui punct fat¸˘ a de un alt punct: Fie punctele A(x1 , y1 ) ¸si P (x0 , y0 ). P
A
A
Simetricul lui A fat¸˘a de P este punctul A (x2 , y2) definit prin ⎧ x1 + x2 ⎪ ⎨x0 = x2 = 2x0 − x1 A = A, dac˘a A = P 2 , adic˘ a . , deci ⎪ y2 = 2y0 − y1 P = mijlocul lui [AA ], dac˘a A = P ⎩y0 = y1 + y2 2 60
Simetricul unui punct fat¸˘ a de o dreapt˘ a: Simetricul unui punct A fat¸˘a de o dreapt˘a d este punctul A , unde A este simetricul lui A fat¸˘a de punctul D = pr d A. A d D A
Simetrica unei drepte fat¸˘ a de un punct: Simetrica unei drepte AB fat¸˘a de un punct P este dreapta A B , unde A ¸si B sunt simetricele lui A, respectiv B, fat¸˘a de P . Simetrica unei drepte fat¸˘ a de o alt˘ a dreapt˘ a: Simetrica unei drepte AB fat¸˘a de o dreapt˘a h este dreapta A B , unde A ¸si B sunt simetricele lui A, respectiv B, fat¸˘a de h.
61
9
Numere complexe
9.1
Numere complexe sub forma algebric˘ a
Forma algebric˘ a a unui nr. complex: z = x + yi ,
unde x, y ∈ R, i ∈ C \ R, i2 = −1 ;
re (z) = x = partea real˘ a a lui z ; im (z) = y = partea imaginar˘ a a lui z
Puterile nr. complex i: ⎧ 4k i ⎪ ⎪ ⎨ 4k+1 i i4k+2 ⎪ ⎪ ⎩ 4k+3 i
= i4 = 1 =i , ∀k ∈ Z; = i2 = −1 = i3 = −i
Numere complexe (pur) imaginare: z = yi,
unde y ∈ R;
Modulul unui nr. complex: z = x + yi, x, y ∈ R ⇒ |z| =
x2 + y 2 ;
Conjugatul unui nr. complex: z = x + yi, x, y ∈ R ⇒ z = x − yi ; Propriet˘ a¸ti: re (z), im (z), |z| ∈ R; |z| ≥ 0; |z| = 0 ⇔ z = 0; |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; z1 |z1 | = z2 |z2 | (z2 = 0); |z n | = |z|n , ∀n ∈ N; |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |; |z1 | − |z2 | ≤ |z1 ± z2 |; |z| = |z|; 62
z · z = |z|2 ; z+z z−z ; im (z) = ; 2 2 z ∈ R ⇔ im (z) = 0 ⇔ z = z; z = nr. imaginar ⇔ re (z) = 0 ⇔ z = −z; z1 + z2 = z1 + z2 ; z1 − z2 = z1 − z2 ; z1 · z2 = z1 · z2 ; z1 z1 (z2 = 0); = z2 z2 z n = (z)n , ∀n ∈ N; re (z) =
9.2
Numere complexe sub forma trigonometric˘ a
Forma trigonometric˘ a a unui nr. complex: z = r(cos t + i sin t) ,
unde r ∈ R, r ≥ 0, t ∈ [0, 2π);
|z| = r = modulul lui z ; arg(z) = t = argumentul redus al lui z
Obs. Renunt¸ˆand la condit¸ia t ∈ [0, 2π) se obt¸ine forma trigonometric˘ a extins˘a a lui z; ˆın acest caz avem t = arg(z) + 2kπ, unde k ∈ Z, ¸si t se nume¸ste argumentul (extins al) lui z. Trecerea de la forma algebric˘ a la forma trigonometric˘ a: z = 0 ⇒ z = 0(cos t + i sin t), ∀t ∈ [0, 2π); z = x + yi, x, y ∈ R, z = 0 ⇒ z = r(cos t + i sin t), unde r = |z| = x2 + y 2 , ⎧ x ⎪ ⎨cos t = r , adic˘a t ∈ [0, 2π) a.ˆı. y ⎪ ⎩sin t = r
63
⎧ x ⎪ ⎨cos t = 2 x + y2 y ⎪ ⎩sin t = 2 x + y2
;
Cazuri particulare: 1 = cos 0 + i sin 0; −1 = cos π + i sin π; π π i = cos + i sin ; 2 2 3π 3π −i = cos + i sin ; 2 2 z = x ∈ R, x ≥ 0 ⇒z = x(cos 0 + i sin 0); z = x ∈ R, x < 0 ⇒z = −x(cos π + i sin π); π π z = yi, y ∈ R, y ≥ 0 ⇒z = y cos + i sin ; 2 2 3π 3π z = yi, y ∈ R, y < 0 ⇒z = −y cos + i sin ; 2 2 Propriet˘ a¸ti: cos t − i sin t = cos(−t) + i sin(−t); (cos t1 + i sin t1 )(cos t2 + i sin t2 ) = cos(t1 + t2 ) + i sin(t1 + t2 ); cos t1 + i sin t1 = cos(t1 − t2 ) + i sin(t1 − t2 ); cos t2 + i sin t2 (cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt , ∀n ∈ Z (formula lui Moivre);
9.3
Interpretarea geometric˘ a a unui nr. complex
Afixul unui punct din plan: Fiec˘arui nr. complex z = x + yi, x, y ∈ R, ˆıi corespunde punctul A(x, y) din planul reprezentat in sistemul otogonal de axe xOy, ¸si reciproc. Num˘arul complex z = x + yi se nume¸ste afixul punctului A(x, y); se utilizeaz˘a ¸si notat¸ia A(z). y
6
A(z), z = x + yi = r(cos t + i sin t) OA = r = |z| I
t
t = arg(z)
O
64
-x
9.4
Ecuat¸ii binome (r˘ ad˘ acinile de ordinul n ale unui nr. complex)
Forma general˘ a: z n = a,
unde a ∈ C, n ∈ N∗ .
Rezolvarea trigonometric˘ a: Fie a = r(cos t + i sin t) forma trigonometric˘a a lui a. Solut¸iile ec. z n = r(cos t + i sin t) (r˘ ad˘ acinile de ordinul n ale nr. complex a) sunt: zk+1 =
√ n
t + 2kπ t + 2kπ + i sin r cos n n
,
k ∈ {1, . . . , n}.
Caz particular: r˘ ad˘ acinile de ordinul n ale unit˘ a¸tii: z n = 1 ⇒ zk+1 = cos
2kπ 2kπ , + i sin n n
k ∈ {1, . . . , n}.
Rezolvarea algebric˘ a a ec. binome z 2 = a: Fie a = u + vi forma algebric˘a a lui a. Notˆand z = x + yi, x, y ∈ R, forma algebric˘a a lui z ecuat¸ia devine, succesiv, 2
2
2
(x + yi) = u + vi ⇔ x + 2xyi − y = u + vi ⇔
x2 − y 2 = u , x, y ∈ R, 2xy = v
¸si se rezolv˘a acest sistem omogen.
9.5
Ecuat¸ia de gradul al doilea az 2 + bz + c = 0,
unde a, b, c ∈ C, a = 0.
Rezolvarea bazat˘ a pe formula general˘ a: z1,2 =
−b ± d , 2a
unde d ∈ C este o solut¸ie a ec. d2 = Δ, unde Δ = b2 − 4ac.
Rezolvarea bazat˘ a pe forma algebric˘ a: se procedeaz˘a analog ca la 2 rezolvarea algebric˘a a ec. binome z = a. 65
9.6
Ecuat¸ii bip˘ atrate az 4 + bz 2 + c = 0,
unde a, b, c ∈ C, a = 0.
Not˘am z 2 = u ⇒ au2 + bu + c = 0 Obs. Ecuat¸iile n-p˘atrate
...
az 2n + bz n + c = 0, n ≥ 3, se rezolv˘a analog, notˆand z n = u.
66
10
Combinatoric˘ a
10.1
Produsul cartezian
Fie A o mult¸ime ¸si n ∈ N∗ . Un n-uplu cu elemente din A (vector cu n elemente din A) are forma (a1 , a2 , . . . , an ), unde a1 , a2 , . . . , an ∈ A ¸si conteaz˘a ordinea de dispunere a acestor elemente, adic˘a (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) ⇔ a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn . a. Obs. Un 2-uplu (a1 , a2 ) se mume¸ste ¸si cuplu sau pereche ordonat˘ Produsul cartezian al mult¸imilor A1 , A2 , . . . , An este A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , . . . , an ∈ An }.
10.2
Mult¸imi ordonate
O mult¸ime ordonat˘ a cu n elemente este un n-uplu cu elemente distincte dou˘a cˆate dou˘a. Deci o mult¸ime ordonat˘a cu n elemente are forma (a1 , a2 , . . . , an ), unde elementele a1 , a2 , . . . , an sunt distincte dou˘a cˆate dou˘a (adic˘a ai = aj ∀i = j) ¸si conteaz˘a ordinea de dispunere a acestor elemente. Obs. {1, 2, 3, 4} = {3, 2, 4, 1} (mult¸imi), dar (1, 2, 3, 4) = (3, 2, 4, 1) (mult¸imi ordonate).
10.3
Permut˘ ari, aranjamente, combin˘ ari
Definit¸ii ¸si notat¸ii: Fie n, k ∈ N, k ≤ n ¸si fie A o mult¸ime arbitrar˘a cu n elemente. Not˘am: • Pn = nr. de mult¸imi ordonate care se pot forma cu toate cele n elemente ale lui A, numite ¸si permut˘ ari ale lui A; ari de n; Num˘arul Pn se nume¸ste permut˘ • Akn = nr. de submult¸imi ordonate cu k elemente care se pot forma cu elemente din A, numite ¸si aranjamente ale lui A; ate k; Num˘arul Akn se nume¸ste aranjamente de n luate cˆ • Cnk = nr. de submult¸imi cu k elemente care se pot forma cu elemente din A, numite ¸si combin˘ ari ale lui A; Num˘arul Cnk se nume¸ste combin˘ ari de n luate cˆ ate k; 67
Definit¸ia lui n factorial: Fie n ∈ N. Not˘am n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1;
pt. n ≥ 1;
n! se nume¸ste n factorial. Condit¸ii de existent¸˘ a; formule de calcul:
Num˘arul
Formule de calcul
Condit¸ii de existent¸˘a
Pn
Pn = n!
n∈N
Akn Cnk
10.4
n! (n − k)!
n, k ∈ N, k ≤ n
n! Akn = k! k!(n − k)!
n, k ∈ N, k ≤ n
Akn = Cnk =
Formule de num˘ arare
Produs cartezian: Fie n mult¸imi A1 , A2 , . . . , An , avˆand respectiv m1 , m2 , . . . , mn elemente. • Num˘arul de elemente (n-upluri) ale produsul cartezian A1 ×A2 ×· · ·×An este egal cu m1 · m2 · . . . · mn . Tipuri de submult¸imi: Fie A o mult¸ime cu n elemente, n ∈ N, ¸si fie k ∈ N, k ≤ n. • Num˘arul de permut˘ari (mult¸imi ordonate) ale lui A este egal cu n!; • Num˘arul de submult¸imi ordonate cu k elemente ale lui A este egal cu Akn ; • Num˘arul de submult¸imi cu k elemente ale lui A este egal cu Cnk ; • Num˘arul total de submult¸imi ale lui A este egal cu 2n .
68
Tipuri de funct¸ii: Fie A o mult¸ime cu n elemente ¸si B o mult¸ime cu m elemente, m, n ∈ N∗ . • Num˘arul de funct¸ii f : A → B este egal cu mn ; • Pentru n > m, nu exist˘a funct¸ii injective f : A → B; Pentru n ≤ m, num˘arul de funct¸ii injective f : A → B este egal cu Anm ; • Pentru n < m, nu exist˘a funct¸ii surjective f : A → B; Pentru n ≥ m, num˘arul de funct¸ii surjective f : A → B este egal cu 1 2 m−1 (m − 1)n + Cm (m − 2)n − . . . + (−1)m−1 Cm ; mn − Cm
• Pentru n = m, nu exist˘a funct¸ii bijective f : A → B; Pentru n = m, num˘arul de funct¸ii bijective f : A → B este egal cu n!; • Pentru n > m, nu exist˘a funct¸ii strict cresc˘atoare f : A → B; Pentru n ≤ m, num˘arul de funct¸ii strict cresc˘atoare f : A → B este n ; egal cu Cm Obs. Acelea¸si formule se aplic˘a ¸si ˆın cazul funct¸iilor strict descresc˘atoare. • Num˘arul de funct¸ii (monoton) cresc˘atoare f : A → B este egal cu n ; Cm+n−1 Obs. Aceea¸si formul˘a se aplic˘a ¸si ˆın cazul funct¸iilor strict descresc˘atoare.
10.5
Formule combinatoriale
0! = 1 ; n! = n(n − 1)! , ∀n ∈ N∗ ; n! = n(n − 1)(n − 2)!, ∀n ∈ N, n ≥ 2; Akn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1), ∀n, k ∈ N∗ ; A0n = 1, ∀n ∈ N; A1n = n, ∀n ∈ N∗ ; Ann = n!, ∀n ∈ N; Cnk = Cnn−k , ∀n, k ∈ N, k ≤ n (formula combin˘ arilor complementare); 69
Cn0 = Cnn = 1 , ∀n ∈ N; Cn1 = Cnn−1 = n , ∀n ∈ N∗ ; k−1 k Cnk = Cn−1 + Cn−1 , ∀n, k ∈ N∗ , k ≤ n − 1
(relat¸ia de recurent¸˘ a a combin˘ arilor); k−1 kCnk = nCn−1 , ∀n, k ∈ N∗ , k ≤ n; k−r , ∀n, k, r ∈ N, r ≤ k ≤ n; Cnk Ckr = Cnr Cn−r
C k+1 Cnk = n+1 , ∀n, k ∈ N, k ≤ n; k+1 n+1
10.6
Binomul lui Newton
Pentru orice a, b ∈ C ¸si n ∈ N avem (a + b)n =
n !
Cnk an−k bk .
k=0
• Not˘am Tk+1 = Cnk an−k bk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}. • Tk+1 se nume¸ste termenul de rang k sau al k + 1-lea termen al dezvolt˘arii (sumei). • Dezvoltarea (suma) are n + 1 termeni. – Dac˘a n = par, atunci termenul din mijloc este T n2 +1 ; – Dac˘a n = impar, atunci termenii din mijloc sunt T n+1 ¸si T n+1 +1 ; 2
2
• Cnk se nume¸ste coeficientul binomial al termenului Tk+1 . – Suma coeficient¸ilor binomiali este Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n ; – Pt. un polinom P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n , suma coeficient¸ilor este a0 + a1 + a2 + · · · + an = P (1) ; – Pt. un polinom P (X, Y ), suma coeficient¸ilor este P (1, 1) ; . . . 70
• Monotonia coeficient¸ilor binomiali: – Dac˘a n = par, atunci n
Cn0 < Cn1 < · · · < Cn2
−1
n
n
< Cn2 > Cn2
+1
> · · · > Cnn−1 > Cnn , n
deci coeficientul binomial maxim este Cn2 (cel din mijloc); – Dac˘a n = impar, atunci n−1
n+1
Cn0 < Cn1 < · · · < Cn 2 = Cn 2 > · · · > Cnn−1 > Cnn , n−1
n+1
deci coeficient¸ii binomiali maximi sunt Cn 2 = Cn 2 (cei din mijloc); • Raportul a doi termeni consecutivi: k+1 a Tk+1 Cnk a · , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} (pt. b = 0); = k+1 · = Tk+2 Cn b n−k b Pt. a, b > 0 avem nb − a k+1 a Tk+1 · ≥1⇔k≥ , ≥1⇔ Tk+2 n−k b a+b
deci Tk+1
⎧ ⎪ ⎨ nb − a ≤ k ≤ nb − a + 1 a+b a+b . = termen maxim ⇔ ⎪ ⎩ k ∈ {0, 1, . . . , n}
Formula multinomului lui Newton (generalizare a formulei binomului lui Newton): pentru orice m ∈ N∗ , a1 , a2 , . . . , am ∈ C ¸si n ∈ N avem (a1 + a2 + · · · + am )n =
(k1 ,k2 ,...,km )∈K
n! ak1 ak2 . . . akmm , k1 !k2 ! . . . km ! 1 2
unde K = {(k1 , k2 , . . . , km ) | k1 , k2 , . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · · + km = n}.
71
10.7
Sume combinatoriale Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n , ∀n ∈ N Cn0 + Cn2 + Cn4 + · · · = Cn1 + Cn3 + Cn5 + · · · = 2n−1 , ∀n ∈ N∗ ; p p p−k Cnk Cm = Cn+m , ∀n, m, p ∈ N, p ≤ n + m k=0
(formula lui Vandermonde);
p−m m n+m+1 Ckn Cp−k = Cp+1 , ∀n, m, p ∈ N, p ≥ n + m
k=n
(formula lui N¨ orlund); n " #2 n , ∀n ∈ N Cnk = C2n k=0 n
Cnk xk = (1 + x)n , ∀n ∈ N, ∀x ∈ C;
k=0
(cf. binomului lui Newton);
Derivˆand, respectiv integrˆand aceast˘a egalitate ˆın raport cu x obt¸inem: n
kCnk xk−1 = n(1 + x)n−1 , ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ C;
k=1 n C k xk+1 n
k=0
k+1
=
(1 + x)n+1 − 1 , ∀n ∈ N, ∀x ∈ C; n+1
Obs. Aceste egalit˘a¸ti pot fi din nou derivate/integrate ˆın raport cu x, direct sau dup˘a anumite prelucr˘ari (de ex. ˆınmult¸ire cu x), rezultˆand alte identit˘a¸ti combinatoriale. ˆIn particular, pt. x = 1 obt¸inem: n
kCnk = n2n−1 , ∀n ∈ N∗ ;
k=1 n 2n+1 − 1 Cnk = , ∀n ∈ N; k+1 n+1 k=0
72
