NOŢIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT Formule de calcul (a + b)
= a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) a 3 −b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 +b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 a n −b n = ( a − b )( a n −1 + a n −2 b + ⋅ ⋅ ⋅ + b n −1 ) 2
Funcţia de gradul I Definiţie:f:R → R,f(x)=ax+b,a ≠ 0 , a,b∈ R , se numeşte funcţia de gradul I Proprietăţi:Dacă a>0 f este strict crescătoare
Dacă a<0 f este strict descrescătoare
A (α , β ) ∈ G f
⇔
f (α )
= β
Funcţia de gradul II Definiţie:f:R → R,f(x)=ax +bx + c , a ≠ 0 ,a,b,c ∈ R se numeşte funcţia de gradul II Maximul sau minimul funcţiei de gradul II 2
−b
Dacă a<0 atunci f =
− ∆ , realizat
pentru x =
Dacă a >0 atunci f =
− ∆ , realizat
pentru x =
max
min
4a
4a
Ecuaţia de gradul II:ax 2 +bx + c
Relaţiile lui Viete:x 1 + x2 = Dacă Dacă Dacă Dacă
−b a
= 0 ;x 1, 2 =
, x1 ⋅ x 2
=
2a
−b 2a
−b ± ∆ 2a
c a
∆ > 0 ⇒ ecuaţia are rădăcini reale şi diferite. ∆ = 0 ⇒ ecuaţia are rădăcini reale şi egale.
∆ < 0 ⇒ ecuaţia nu are rădăcini reale. ∆ ≥ 0 ⇒ ecuaţia are rădăcini reale. Intervale de monotonie :a<0 x
−b
−∞
2a
∞
−∆
f(x)
4a
a>0 x
−b
−∞
2a
∞
−∆
f(x)
4a
Semnul funcţiei de gradul II
1
;Vârful parabolei V( ,∆ =b
2
− 4ac
− b − ∆) 2a
,
4a
∆>0 x -∞
x
∞
f(x) f(x) semn semnul ul lui lui a ∆=0 x -∞
0
x2
1
semn semn contr contrar ar lui lui a
semn semnul ul lui lui a
x 1 = x2
∞
f(x) f(x) ∆<0 x -∞
0
semn semnul ul lui lui a
0
semn semnul ul lui lui a
∞
f(x)
semnul lui a
Imaginea funcţiei de gr.II
a<0,Imf=( − ∞, a>0, Imf=[
−∆ 4a
−∆ 4a
]
, ∞)
Definiţii:Fie f:A → B
Funcţii
I. 1)Funcţia f se numeşte injectivă,dacă ∀ x1 , x 2 ∈ A cu f(x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x2 2)Funcţia f este injectivă dacă ∀ x1 , x 2 ∈ A cu x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
3)Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x,dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. 4)Funcţia f nu este injectivă dacă ∃ x1 ≠ x 2 a.i. f ( x1 ) = f ( x 2 ) II.1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin un punct x ∈ A, a.î. ƒ(x)=y. 2) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ƒ(A) =B. 3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printrun punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. III.1) Funcţia ƒ este este bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă. 2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există un singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură soluţie,pentru orice y din B) 3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un singur punct . IV.Compunerea a două funcţii Fie f:A→B,g:B→C g f : A → C , ( g f )( x ) = g ( f ( x ))
V. 1 A : A → A prin 1 A ( x) = x , ∀ x ∈ A .(aplicaţia identică a lui A) Definiţie:Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie g:B→A
astfel încât g f = 1 A şi f − 1 .
g = 1 B ,
funcţia g este inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ
2
Teoremă: ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă. Funcţii pare,funcţii impare,funcţii periodice. Definiţii:
f:R →R se numeşte funcţie pară dacă f(-x) = f(x), ∀ x ∈ R f:R →R se numeşte funcţie impară dacă f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ R f:A→R(A ⊂ R ) se numeşte periodică de perioadă T ≠ 0, dac ă ∀ x ∈ A avem x+T∈ A şi f(x+T)=f(x).Cea mai mică perioadă strict pozitivă se numeşte perioada principală. Numărul funcţiilor f:A→B este [n(B)] n ( A ) ,n(A) reprezentâd numărul de elemente al mulţimii A. Numărul funcţiilor bijective f:A→A este egal cu n!,n fiind numărul de elemente al mulţimii A. Numărul funcţiilor injective f:A→B este A k n ,unde n reprezintă numărul de elemente al mulţimii B, iar k al mulţimii A(k ≤ n) Funcţia exponenţială Definiţie f: R→ (0,∞), f(x)= a x ,a>0,a
≠ 1 se numeşte funcţie exponenţială.
Proprietăţi: 1)Dacă a>1 ⇒ f strict crescătoare 2)Dacă a ∈ (0,1) ⇒f strict descrescătoare 3)Funcţia exponenţială este bijectivă Funcţia logaritmică Definiţie: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a>0, a ≠ 1 se numeşte funcţie logaritmică.
Proprietăţi: 1)Dacă a >1 ⇒ f strict crescătoare 2)Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f strict descrescătoare 3)Funcţia logaritmică este bijectivă
4)log a xy = log a x + log a
y
5)log a x m = m log a x ,m∈ R
x 6)log a y = log a x − log a
y
7)a log x = x a
Schimbarea bazei:log a A =
log b A log b a
1
,log a b = log
b
a
Progresii aritmetice Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir de numere reale
a n în care diferenţa oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia progresiei aritmetice:a n +1 −a n = r , ∀n ≥1 Se spune că numerele a 1 , a 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a n sunt în progresie aritmetică dacă ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice. Teoremă:şirul
( a n ) n≥1
este progresie aritmetică ⇔ a n =
Termenul general al unei progresii
a n −1 + a n +1
2 aritmetice:a n = a1 + ( n −1) r
Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică ⇔ b =
3
a +c 2
, ∀n ≥ 2
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S n =
(a1
+ a n )n 2
Trei numere x , x , x se scriu în progresie aritmetică de forma : x 1 = u – r, x 2 = u, x = u + r ; u,r ∈ R . Patru numere x , x , x , x 4 se scriu în progresie aritmetică astfel: x 1 = u – 3r, x = u – r , x = u + r , x 4 = u + 3r, u,r ∈ R . 1
3
2
3
1
3
2
3
2
Progresii geometrice Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir de numere
reale b n , b1 ≠ 0 în care raportul oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit raţia progresiei geometrice:
bn +1 bn
= q ,q ≠ 0
Se spune că numerele b 1 , b2 ,⋅⋅⋅, bn sunt în progresie geometrică dacă ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice. Teoremă:şirul (bn ) n ≥1 este progresie geometrică ⇔ bn = bn −1 ⋅ bn +1 , ∀n ≥ 2 2
Termenul general al unei progresii geometrice:b n = b1 ⋅ q n −1 Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie geometrică ⇔ b 2 = a ⋅ c Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S n =
b1 ( q
n
−1)
q −1
,q ≠ 1 sau S n = n ⋅ b1 , dac ă q = 1 Trei numere x 1 , x 2 , x3 se scriu în progresie geometrică de forma : x1=
u q
, x 2
= u, x3 = u ⋅ q, q ≠ 0
Patru numere x x = 1
u q
3
, x 2
=
u q
1
, x3
,x
2
, x 3 , x 4 se scriu în progresie geometrică de forma:
= u ⋅ q, x4 = u ⋅ q 3 , q ≠ 0
Formule utile:
n ( n + 1) 2 n( n + 1)( 2n + 1) 1 2 +2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 = 6 n(n + 1) 2 ] 1 3 +2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 3 = [ 2
1+2+3+ ⋅ ⋅ ⋅ +n =
Modulul numerelor reale Proprietăţi:
x x, ≥ 0 x = − x x, < 0 1. x y
x
=
x ∈ R ≥0, ∀
2.
x
= y ⇔ x =± y 3.
x y
4
x
x =−
4.
x ⋅ y = x ⋅ y
5.
6.
x
≤ a ⇔−a ≤ x ≤ a , a >0 7. x
≥a ⇔ ∞ ,−a] ∪[ a, ∞ ), a >0 x ∈( −
8.
x + y ≤ x + y
Partea întreagă
1.x = [x]+{x}, ∀ x ∈ R , [x]∈ Z şi {x} ∈[0,1) 2. [x] ≤ x< [x]+1, [x] = a ⇒ a ≤ x < a+1 3. [x+k]=[x]+k, ∀ x ∈ R, k ∈Z 4. {x+k}={x}, ∀ x ∈ R, k ∈Z Numere complexe 1. Numere complexe sub formă algebrică 2 z =a+bi, a,b∈ R , i = −1, a=Re z , b=Im z
C- mulţimea numerelor complexe;C={a+bi/a,b ∈ R } Conjugatul unui număr complex: z = a −bi Proprietăţi: 1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 2. z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2 3. z n = ( z )n
z 1 z 1 = z 2 z 2
4.
5.z ∈ R ⇔ z = z 6.z ∈ R ∗i ⇔ z = −z Modulul unui număr complex: z =
a
2
+b 2
Proprietăţi: z ∈C 2. z 1. z ≥0, ∀
4.
z n = z
n
z
=
3.
z 1 ⋅ z 2
= z 1 ⋅ z 2
z
z 5. z 1 = z 1 6. z + z ≤ z + z 1
2
2
1
2
2
Numere complexe sub formă trigonometrică
Forma trigonometrică a numerelor complexe: b
z = r(cos t + i sin t ) ,r = a 2 + b 2 , tgt = ;r-raza polară;t-argument a redus,t∈[0,2π ) M(a,b)-reprezintă imaginea geometrică a numărului complex z = a+bi Operaţii:
z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ), z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 [cos( t 1 + t 2 ) + i sin( t 1 + t 2 ) ], z n = r n (cos nt + i sin nt ) z 1 z 2 n
=
r 1 r 2
z = z k
[cos( t 1
=n
− t 2 ) + i sin( t 1 − t 2 )]
r (cos
t + 2k π n
+ i sin
t + 2k π n
), k ∈{0,1,⋅ ⋅ ⋅, n −1}
Combinatorică
5
n!=1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ n ,n ∈ N (0! =1) , P n = n! ,n∈ N ∗ n! n! A k n = ( n − k )! ,0 ≤ k ≤ n; k , n ∈ N , n ≥1 C k n = k !(n − k )! , 0 ≤ k ≤ n; k , n ∈ N Proprietăţi:1. C k n = C nn −k ,0 ≤ k ≤ n; k , n ∈ N 2. C k n = C nk −1 + C nk −−11 ,1 ≤ k
C 0n +C n1 + ⋅ ⋅ ⋅ + C nn = 2 n (numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2 n ). C 1n +C n3 + C n5 + ⋅ ⋅ ⋅ = C n0 + C n2 + C n4 + ⋅ ⋅ ⋅ = 2 n−1 Geometrie vectorială
Definiţie:
Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: AB = − BA Definiţie: Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari. Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există α , β ∈ R (unice ) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b AB = ( x − x ) + ( y − y ) -modulul vectorului AB AB ( x B − x A , y B − y A ) − coordonate le vectorului AB 2
B
A
2
B
A
Mijlocul segmentului AB:x M =
x A + x B 2
, y M =
y A + y B
Centrul de greutate al triunghiului ABC:x G =
2 x A + x B + xC 3
, yG =
y A + y B + yC 3
Adunarea vectorilor se poate face după regula paralelogramului sau triunghiului
Teoremă:Vectorii
u
şi
v
sunt coliniari ⇔
6
∃ λ ∈ R a.i.
v
=
λ ⋅ u
.
Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ ∃ λ ∈ R a.i. AB CD ⇔ ∃ λ ∈ R a.i. AB = λ AC Produsul scalar a doi vectori . u ⋅ v = u ⋅ v cos(u , v) , v = x2 i + y 2 j ⇒u ⋅ v = x x + y Daca u, v ≠0 ,atunci u ⊥ v ⇔u ⋅ v = 0 u
=
x1 i + y1 j
1
2
1
y2 , u
=
=
AB
x1
2
λ AC
+ y1 2
Ecuaţiile dreptei în plan Ecuaţia carteziană generală a dreptei:ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x M ,y M ) ∈ d ⇔a ⋅ x M + by M + c = 0 Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte:A( x A , y A ) ,B(x B , y B ) x
y
1
AB: x A
y A
1
x B
y B
1
=0
Ecuaţia dreptei determinată de un punct A(x A , y A ) şi panta m : y-y A = m( x − x A ) Dreptele d ,d 2 sunt paralele ⇔ md = md Dreptele d ,d 2 sunt perpendiculare ⇔ md ⋅ md = -1 Distanţa dintre punctele A(x A , y A ) ,B(x B y B ) :AB= ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 Distanţa de la punctul A(x A , y A ) la dreapta h:ax+by+c=0: ax A + by A + c d(A,h)= a2 +b2 1
1
2
1
1
2
,
x A
y A
1
Punctele A,B,C sunt coliniare ⇔ x B
y B
1
x C y C
1
=0
Permutări
Definiţie:Se numeşte permutare de gradul n a mulţimii A = {1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n}
orice funcţie bijectivă σ : A → A. 2 ⋅ ⋅ ⋅ n 1 σ = σ (1) σ ( 2) ⋅ ⋅ ⋅ σ ( n ) e
1 = 1
S n
2 2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
n
n se
numeşte permutarea identică de gradul n.
reprezintă mulţimea permutărilor de gradul n.
Produsul(compunerea) a două permutări:Fie σ ,τ ∈ S n σ τ : A → A, (σ τ )(k )
= σ (τ (k ))
Proprietăţi: ), ∀σ ,τ , δ ∈ S n 1) (στ )δ = σ (τ δ
7
2) σ e = eσ = σ , ∀σ ∈ S n 3) ∀σ ∈ S n , ∃σ −1 ∈ S n a.i.σ σ −1 = σ −1σ = e , σ −1 se numeşte inversa permutării σ
Puterile unei permutări: Fieσ ∈ S n − definimσ n = σ n−1σ , n ∈ N ∗ (σ 0 = e) Prop.: Fieσ ∈ S n ⇒ σ mσ n = σ m+n , (σ m ) n = σ mn , ∀m, n ∈ N Inversiunile unei permutări: Definiţie: Fie σ ∈ S n şi i,j ∈ {1,2,⋅ ⋅⋅, n} ,
i j〈
.Perechea (i,j) se numeşte
〉
dacă σ (i ) σ ( j ) .Numărul inversiunilor permutării σ se notează cu m( σ ). Definiţii:Se numeşte semnul permutării σ ,numărul ε (σ ) = (−1) m ( ) Permutarea σ se numeşte permutare pară dacă ε (σ ) =1 Permutarea σ se numeşte permutare impară dacă ε (σ ) = −1 Propoziţie: ε (στ ) = ε (σ )ε (τ ), ∀σ ,τ ∈ S n 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ i j ⋅ ⋅⋅ n Permutarea δ ij = 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ j i ⋅ ⋅⋅ n se numeşte transpoziţie. inversiune a permutării
σ
σ
Proprietăţi: 1) δ ij = δ ji 2) (δ ij ) 2 = e
3) δ ij −1 = δ ij
4) ε (δ ) = −1 ij
Matrice
A=
a1 1a1 2. . . a. 1.n. a2 1a2 2. . . a. 2.n. . . . . . . . . . . . . am1am2 . . .a.m. n
A (ai j)i 1,m
-matrice cu m linii şi n coloane;
=
=
j 1,n =
A ∈M m , n (C ) ,unde M m , n (C ) -reprezintă
mulţimea matricelor cu m linii şi
n coloane cu elemente din C. t A ∈M n , m (C ) -reprezintă transpusa lui A şi se obţine din A prin schimbarea liniilor în coloane(sau a coloanelor în linii). Dacă m = n atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n şi are forma
8
A=
a1 1a1 2. . . a. 1.n. a2 1a2 2. . . a. 2. n. . . . . . . . . . . . . an1an2 . . .a.n. n
- A ∈ M n (C )
Tr(A)= a11 + a 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + a nn -reprezintă urma matricei A Sistemul ordonat de elemente ( a11 , a 22 ,⋅ ⋅ ⋅, a nn ) se numeşte diagonala principală a matricei A,iar sistemul ordonat de elemente (a1n ,⋅⋅⋅, a n1 ) se numeşte diagonala secundară a matricei A.
I n
1 0 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 0 = 0 1 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 0 -matricea unitate de ordinul n ; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0 0 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 1
matricea nulă
Om , n
0 0 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 0 = 0 0 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0 0 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ 0
Proprietăţi ale operaţiilor cu matrice.: 1)A+B=B+A , ∀ A, B ∈M m , n (C ) (comutativitate) 2)(A+B)+C = A+(B+C) , ∀ A, B, C ∈M m ,n (C ) (asociativitate)
3)A+ O = O +A = A , ∀ A ∈M m ,n (C ) 4) ∀ A ∈M m.n (C ), ∃(− A) ∈M m ,n (C ) a.î. A+(-A) = (-A)+A= O , ∀ A ∈M m ,n (C ) 5)(AB)C = A(BC) , A ∈M m ,n (C ), B ∈M n , p (C ), C ∈M p , q (C ) (asociativitate) 6)a)A(B+C) = AB+AC , A ∈M (C ), B, C ∈M (C ) (distributivitatea înmulţirii faţă de adunare) b)(B+C)A = BA+CA, B, C ∈M (C ), A ∈M (C ) 7) AI n = I n A = A, ∀ A ∈ M n (C ) 8)a(bA) = (ab)A, ∀a, b ∈C , A ∈M m,n (C ) 9)(a+b)A=aA+bA, ∀a, b ∈C , A ∈M m ,n (C ) m, n
m ,n
m ,n
m,n
n , p
m,n
n , p
9
10)a(A+B)=aA+aB, ∀a ∈C , A, B ∈M m,n (C ) 11)aA = Om n ⇔ a = 0 sau A= O 12) t ( t A) = A, t ( A + B ) =t A+t B , t ( aA ) =a t A, t ( AB ) =t B t A Puterile unei matrice:Fie A ∈ M n (C ) Definim A 0 = I n , A1 = A, A 2 = A ⋅ A, A3 = A 2 ⋅ A,⋅ ⋅ ⋅, A n = A n−1 ⋅ A, n ∈ N ∗ Relaţia Hamilton-Cayley: A 2 − (a + d ) A + (ad − bc) I 2 = O2 ,unde a b A = c d m, n
,
Determinanţi. a
b
c
d
= ad −bc (determinantul de ordinul doi)
Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus) a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
b
c
d
e
f
= aei + dhc + gbf − ceg − fha − ibd
Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. 4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul; 5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. 6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 8. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu determinantul matricei iniţiale; a
9) d +m g
b
c
e +n
f + p
h
i
a
b
c
a
b
c
= d
e
f
+m
n
p
g
h
i
g
h
i
10)det(A ⋅ B) = det A ⋅ det
B,
∀ A,B∈M
n
(C )
10
Definiţie:Fie a ij ,1 ≤ i , j ≤ n
A
= ( a ij ) ∈ M n (C ) .Se numeşte minor asociat elementului
determinantul matricei obţinute din A prin eliminarea liniei i şi a coloanei j.Se notează acest minor cu M . Numărul Aij = ( −1) i + j M ij se numeşte complementul algebric al elementului a . ij
ij
Matrice inversabile Inversa unei matrice : A∈M n (C ) se numeşte inversabilă dacă există
o matrice notată A −1∈M n (C ) a.i. A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I n Teoremă:A∈ M n (C )inversabil ă ⇔ det A ≠ 0 A −1 =
1
A ∗ ,A ∗ adjuncta
matricei A. A ∗ se obţine din t A înlocuind fiecare element cu complementul său algebric. Dacă A,B∈M n (C ) sunt inversabile,atunci au loc relaţiile: a)(A −1 ) −1 = A b)(AB) −1 = B −1 A −1 det A
Rangul unei matrice Fie A ∈M m ,n (C ) , r ∈ N ,1 ≤ r ≤ min( m, n) Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,determinantul
format cu elementele matricei A situate la intersecţia celor r linii şi r coloane. o matrice . Numărul natural r este rangul Definiţie: Fie A ≠ O matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A,nenul, iar toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă există)sunt nuli. Teoremă: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de ordin r al lui A, nenul , iar toţi minorii de ordin r+1(dacă există)obtinuţi prin bordarea(adaugarea unei linii şi a unei coloane)minorului de ordin r cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile şi uneia dintre coloanele rămase sunt zero. m,n
Sisteme de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute:
a x + a x + ⋅ ⋅ ⋅ + a x = b a x + a x + ⋅ ⋅ ⋅ + a x = b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a x + a x + ⋅ ⋅ ⋅ + a x = b 11 1
12 2
21 1
22 2
m1 1
m2
1n
2n
2
n
n
mn n
1
2
m
a ij -coeficienţii necunoscutelor, x 1 , x 2 ,⋅⋅ ⋅, x n - necunoscute, b 1 , b2 ,⋅⋅⋅, bm -termenii liberi
11
A=
a1 1a1 2. . . a. 1.n. a2 1a2 2. . . a. 2.n. . . . . . . . . . . . . am1am2 . . .a.m. n
-matricea sistemului,
extinsă
b b .... b
A
=
a1 a1 1 2. . . a.1n. b.1 a2 a1 2 2. . . a. 2.n b. 2 . . . . .... ........ . . am1a m2 . . .a.m. bnm
1
B=
2
-matricea
x x ... x 1
matricea coloană a termenilor liberi,X=
m
2
.matricea
n
necunoscutelor.
AX=B -forma matriceală a sistemului Definiţie: - Un sistem se numeşte incompatibil dacă nu are soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil determinat dacă are o singură soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat dacă are mai mult de o soluţie. Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Un sistem de ecuaţii liniare este de tip Cramer dacă numărul de ecuaţii este egal cu numărul de necunoscute şi determinantul matricei sistemului este nenul. Teorema lui Cramer: Dacă det A notat ∆ ≠ 0 , atunci sistemul AX=B are o soluţie unică x i =
∆i ,unde ∆i se obţine înlocuind coloana i cu ∆
coloana termenilor liberi.
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare este
compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. 12
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔
toţi minorii caracteristici sunt nuli.
Elemente de geometrie şi trigonometrie Formule trigonometrice.Proprietăţi. sin 2 x + cos 2 x =1, ∀ x ∈R -1 ≤ sin x ≤1, ∀ x ∈R -1 ≤ cos x ≤1, ∀ x ∈R
sin(x+2k π ) = sin x , ∀ x ∈ R, ∀k ∈Z x ∈ R , ∀k ∈Ζ π ) = cos x , ∀ sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb b)=cosacosb+sinasinb sin2x=2sinxcosx, 2 x − sin 2 x π sin ( − x ) = cos x 2
sina+sinb=2sin a +b a −b cos 2
a +b
2
cosa-cosb= -2sin tgx=
sin x
, cos x
cos x tg(x+k π ) = tgx π tg ( − x ) = ctgx 2
2
cos
a −b 2
cos(x+2k
cos(acos2x=cos π
cos ( − x ) = sin x 2
a −b
sin
2
sina-sinb=2sin a +b
cosa+cosb=2cos a −b a +b cos 2
2
2
≠0
ctgx=
cos x
, sin x ≠ 0 sin x ctg(x+k π ) = ctgx
π 2
ctg ( − x) = tgx
tga + tgb tg(a+b)= 1 − tgatgb
tga − tgb tg(a-b)= 1 + tgatgb
2tgx
tg2x= 1 +tg 2 x sinx =
x 2tg 2 1 + tg 2
1 − tg 2
cosx =
x 2
Valori principale ale funcţiilor trigonometrice
x
0
π
6
sinx cosx
0 1
1 2 3 2
π
4 2 2 2 2
π
3 3
x
2 x 1 + tg 2 2
π
3π 2
2π
1
0
-1
0
0
-1
0
1
π
2
2
1 2
13
tgx ctgx
0
3
1
3
-
0
-
0
-
3 3
1
3
0
-
0
-
3
Semnele funcţiilor trig.
sin:+,+,-,cos:+,-,-,+ sin(-x)= -sinx (impară) x)=cosx(pară) tg(-x)= -tgx
tg.,ctg.:+,-,+,cos(ctg(-x)= -ctgx
Funcţii trigonometrice inverse
arcsin:[-1,1]→ [ − -arcsinx
π π
2
,
2
arcsin(-x)=
] π π
arcsin(sinx)=x, ∀ x ∈[ − , ] 2 2 ∈[ −1,1] arccos:[-1,1] →[0, π ] π
sin(arcsinx)=x,x arccos(-x)=
− arccos x
arccos(cosx)=x, ∀ x ∈[0, π ] cos(arccosx)=x, ∀ x ∈[ −1,1] arcsinx+arccosx= arctg:R → (− -arctgx
π
2
x ∈[ −1,1] ,∀
π π , ) 2 2
arctg(tgx)=x, ∀ x ∈( −
arctg(-x)= π π , ) 2 2
tg(arctgx)=x,
∀ x ∈ R
arcctg:R → (0, π ) π − arcctgx arcctg(ctgx)=x, ∀ x ∈(0, π ) ∀ x ∈ R
arcctg(-x)= ctg(arcctgx)=x, arctgx+arcctgx=
π
Ecuaţii trigonometrice
sinx = a,a∈[−1,1] ⇒ x ∈{( −1) k arcsin a + k π , k ∈ Ζ } cosx = b,b∈[−1,1] ⇒ x ∈{± arccos b + 2k π , k ∈ Ζ } tgx = c,c ∈ R ⇒ x ∈{arctgc + k π , k ∈ Ζ } ctgx = d,d∈ R ⇒ x ∈{arcctgd + k π , k ∈ Ζ } sinax = sinbx ⇒ ax = (−1) k bx + k π , k ∈ Ζ cosax = cosbx ⇒ ax = ±bx + 2k π , k ∈ Ζ tgax = tgbx ⇒ ax = bx + k π , k ∈ Ζ
14
2
x ∈R ,∀
ctgax = ctgbx ⇒ ax = bx + k π , k ∈ Ζ a b = = Teorema sinusurilor: sin A
circumscris triunghiului.
sin B
c sin C
=2R,unde R este raza cercului
Teorema cosinusului:a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A Aria unui triunghi: b⋅h 2 a +b +c 2
A∆=
A∆=
A ∆ ABC =
∆echilatera
∆ 2
l =
AB ⋅ AC sin( AB , AC ) 2
x A
y A
1
, ∆ = x B
y B
1
x C
y C
1
l 2
A ∆ = p ( p − a )( p − b )( p − c ) ,p=
A ∆dreptunghi c =
c1 ⋅ c 2 2
A
3 4
Raza cercului circumscris unui triunghi:R=
triunghiului
abc 4 S
,unde S este aria
S
Raza cercului înscris într-un triunghi : r= p ,unde S este aria
triunghiului iar p=
a +b +c 2
Grupuri
Definiţie:Fie ∗ : M × M → M lege de compozitie pe M.O submultime
nevidă H a lui M ,se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu legea “ ∗ ”dacă ∀ x, y ∈ H ⇒ x ∗ y ∈H . Proprietăţile legilor de compoziţie
Fie ∗ : M × M → M lege de compoziţie pe M. Legea “ ∗ “ se numeşte asociativă dacă (x
∗ y ) ∗ z = x ∗( y ∗ z ), ∀ x, y , z ∈M Legea “ ∗ “ se numeşte comutativă dacă x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈M Legea “ ∗ “ admite element neutru dacă exista e ∈ M a.i . x ∗e = e ∗ x = x , ∀ x ∈M Definiţie:Cuplul (M, ∗) formează un monoid dacă are proprietăţile: 1)(x ∗ y ) ∗ z = x ∗( y ∗ z ), ∀ x, y , z ∈M 2) există e ∈ M a.i . x ∗e = e ∗ x = x, ∀ x ∈M Dacă în plus x ∗ y = y ∗ x , ∀ x , y ∈M atunci monoidul se numeşte
comutativ. Notaţie:U(M)={x∈ M / x este simetrizabil} Definiţie:Cuplul (G, ∗) formează un grup dacă are proprietăţile: 1)(x ∗ y ) ∗ z = x ∗( y ∗ z ), ∀ x, y , z ∈G 2) există e ∈ M a.i . x ∗e = e ∗ x = x, ∀ x ∈G 3) ∀ x ∈G , ∃ x ' ∈G a.i. x ∗ x ' = x ' ∗ x = e Dacă în plus x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈G atunci grupul se numeşte abelian sau comutativ. 15
Definiţie:Un grup G se numeşte finit dacă mulţimea G este finită şi
grup infinit ,în caz contrar. Se numeşte ordinul grupului G ,cardinalul mulţimii G(numărul de elemente din G).
Ordinul unui element Definţie:Fie (G, •) un grup şi x∈ G .Cel mai mic număr natural nenul n
cu proprietatea x n = e se numeşte ordinul elementului x în grupul G. (ordx = n) Subgrup Definiţie:Fie (G, ∗) un grup.O submulţime nevidă H a lui G se
numeşte subgrup al grupului (G, ∗) dacă îndeplineşte condiţiile: 1) ∀ x, y ∈ H ⇒ x ∗ y ∈H . 2) ∀ x ∈ H ⇒ x ' ∈ H
^^ ^ Grupul claselor de resturi modulo n,
Z n {1,2, ,n 1} =
⋅⋅⋅ −
( Z n ,+) −grup abelian
^
( Z n ,⋅)
-monoid comutativ ,în care
U (Z n ) = {k ∈ Z n / c.m.m.d .c. k (, n) = 1}
Morfisme şi izomorfisme de grupuri Definiţie:Fie (G, ∗) şi (G ' , ) două grupuri.O funcţie f:G → G ' se
numeşte morfism de grupuri dacă are loc conditia f( x ∗ y ) = f ( x ) f ( y ), ∀ x , y ∈G Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de grupuri. Prop. Fie (G, ∗) şi (G ' , ) două grupuri.Dacă f:G → G ' este morfism de grupuri atunci: 1)f(e)=e ' unde e,e sunt elementele neutre din cele două grupuri. 2)f(x ' ) =[ f ( x)] ' ∀ x ∈G
'
Inele şi corpuri
, ) , unde A este o multime nevidă iar ,, ∗ ” şi ,, ” sunt două Definiţie:Un triplet (A, ∗
legi de compozitie pe A,este inel dacă: 1) (A, ∗ )este grup abelian 2) (A, )este monoid 3)Legea ,, ”este distributivă fata de legea ,, ∗ ”: x (y ∗ z)=(x y) ∗ (x z),(y ∗ z ) x = ( y x ) ∗ ( z x )∀ x, y , z ∈ A
16
, ) , este fără divizori ai lui 0,dacă ∀ x. y ≠ e∗ ⇒ x y ≠ e∗ ( e ∗ element Inelul (A, ∗
neutru de la legea ,, ∗ ”) Un inel (A, ∗, ) , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x y = y x, ∀ x , y ∈ A Un inel (A, ∗, ) , comutativ,cu cel putin 2 elemente şi fără divizori ai lui 0, se numeşte,domeniu de integritate . , ) cu e ∗ ≠ e se numeşte corp dacă ∀ x ∈ K , x ≠ e∗ , ∃ x ' ∈ K Definiţie :Un inel (K, ∗ a.i. x x ' = x ' x = e (e∗ , e fiind elementele neutre ) Un corp (K, ∗, ) , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x
y
= y
x, ∀ x, y ∈ K
Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero. Morfisme şi izomorfisme de inele şi corpuri. Definiţie :Fie (A, ∗, ), ( A' ⊕,⊗) două inele.O funcţie f:A → A ' se numeşte morfism de
inele dacă : 1)f( x ∗ y ) = f ( x ) ⊕ f ( y ), ∀ x, y ∈ A 1)f( x y ) = f ( x ) ⊗ f ( y ), ∀ x, y ∈ A 3)f(e )= e⊗(e , e⊗fiind elementele neutre corespunzătoare legilor , ) Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de inele. Definiţie:Fiind date corpurile K, K ' ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la K ' ,se numeşte morfism(izomorfism)de corpuri.
Inele de polinoame
Forma algebrică a unui polinom:f = a n x n + a n −1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a 0 , a n ≠ 0 , ai ∈ A un inel comutativ. Definiţie:a ∈ A se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f(a)=0. Teorema împărţirii cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f şi g,cu g ≠ 0, polinoame din K[X].Atunci există polinoamele q şi r din K[X] ,unic
determinate,astfel încât f=gq+r cu gradr
complexă a lui f,atunci: 1) z = a-ib este de asemenea o rădăcină complexă a lui f 1)z şi z au acelaşi ordin de multiplicitate. Obs. : ( X − z )( X − z ) / f Polinoame cu coeficienţi raţionali
17
Teoremă :Fie f ∈Q[ X ] , f ≠ 0 .Dacă x 0 = a +
b
este o rădăcină a lui
f,unde a,b∈ Q, b〉 0, b ∉ Q ,atunci 1) x = a − b este de asemenea o rădăcină a lui f 2)x , ordin de multiplicitate. Obs. : ( X − x )( X − x ) / f 0
0
0
x 0
au acelaşi
0
Polinoame cu coeficienţi întregi Teoremă :fie f = a n x n + a n −1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a 0 , a n ≠ 0 ;f
∈ Z [ X ]
p
1)Dacă x 0 = q ( p, q numere prime între ele) este o rădăcină raţională a lui f,atunci a)p divide termenul liber a b)q divide pe a n 2)Dacă x 0 = p este o rădăcină întreagă a lui f,atunci p este un divizor al lui a . 0
0
Polinoame ireductibile Definiţie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se
numeşte reductibil peste K dacă există g,q din K[X] cu gradg
a2 x + x + x = − 1 2 3 a3 Dacă f = a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a0 , f ∈ C [ X ] ⇒ x x + x x + x x = a1 1 2 1 3 2 3 a 3 a x1 x 2 x 3 = − 0 a3
18
a3 x x x x + + + = − 1 2 3 4 a 4 a2 + + ⋅ ⋅ ⋅ + = x x x x x x 3 4 12 13 a4 4 3 2 f =a 4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 , f ∈ C [ X ] ⇒ a1 x x1 2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = − a4 a x x1 2 x3 x4 = 0 a4
Ecuaţii reciproce Definiţie:O ecuaţie de forma a n x n + a n −1 x n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a 0 , a n ≠ 0 pentru
care a n −i = ai ,0 ≤ i ≤ n se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n. Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina -1. Ecuaţia reciprocă de gradul IV are forma:a x + bx + cx + bx + a, a ≠ 0 4
Se împarte prin
x 2 şi
devine a ( x 2 +
obţinem o ecuaţie de gradul II.
1
x
) + b( x + 2
3
1
x
2
) + c = 0 ;notez
1 x + = t şi
x
Şiruri de numere reale Şir monoton (crescător sau descrescător)
Fie (a n ) n∈ N un şir de numere reale. Şirul (a n ) este crescător dacă: a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N . Şirul (a n ) este strict crescător dacă: a n < a n +1 , ∀n ∈ N . Şirul (a n ) este descrescător dacă: a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N . Şirul (a n ) este strict descrescător dacă: a n > a n+1 , ∀n ∈ N . Şir mărginit Fie ( a ) ∈ un şir de numere reale. Şirul (a n ) este mărginit dacă: ∃α , β ∈ R a . i .α ≤ a n ≤ β , ∀n ∈ N n
n N
Definiţie
Un şir care are limita finită se numeşte convergent. Un şir care nu are limită sau care are limita infinită se numeşte divergent Teoremă :Orice şir convergent este mărginit. Consecinţă :Dacă un şir este nemărginit atunci el este divergent. Teoremă Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită. Consecintă: dacă un şir conţine două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul nu are limită. ▪Teorema lui Weierstrass
Orice şir monoton şi mărginit este convergent. ▪Teorema cleştelui
Dacă xn ≤ a n ≤ y n , ∀n ≥ k si
lim xn = lim y n = l atunci lim a n = l . n →∞
n→∞
n→∞
▪ Criteriul raportului
19
Fie (a n ) n∈N un şir cu termeni strict pozitivi. Dacă lim a n = 0 n →∞
lim
a n +1
n →∞
an
a n +1
n →∞
an
= l ∈ (1, ∞) sau l = ∞ atunci
= l ∈[0,1) atunci
lim a n = ∞ . n →∞
Lema lui Stolz-Cezaro
Fie
. Daca
lim
şi (bn ) n∈ N două şiruri de numere reale. a n +1 − a n = l (finit sau infinit) şi (bn ) n∈ N este strict monoton şi nemărginit , Dacă lim n →∞ b − b n +1 n ( a n ) n∈ N
atunci
lim n→ ∞
an bn
= l
▪ Criteriul radicalului
Fie
( a n ) n∈ N
un şir cu termeni strict pozitivi.Dacă
lim
a n +1
n →∞
an
= l atunci
lim n a n n→∞
= l .
Şiruri remarcabile
∞ ,α 〉 0 l ni = m ∞→ 0,α 〈 0
0, d aăc q ∈ (− 1,1) 1, d aăcq = 1 l i mq n = n→ ∞ ∞ , d aăcq ∈ (1, ∞ ) n ue x iăs, dt aăcq ∈ (− ∞,− 1] lim n k a n n →∞
= 0 ,unde
n
a ∈( −1,1), k ∈ N
n
1 lim 1 + = e ; n →∞ n
α
e
= 2,7178
...
este constanta lui Euler
x
1 1 n x → ±∞ generalizare: lim 1 + = e dacă n ; lim (1 + yn ) yn = e dacă yn → 0 n→∞ xn n→ ∞
lim
n →∞
lim
n →∞
sin x n
x n
= 1 dacă xn → 0 , lim
arcsin x n
x n
tg xn
n →∞
xn
= 1 dacă xn → 0 , lim n →∞
= 1 dacă xn → 0 ,
arc tg x n x n
= 1 dacă xn → 0 ,
Limite de functii Teoremă:O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă are
limite laterale egale în acel punct.
20
f are limită în x 0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 ) ⇔
f ( x 0
fl x ( i= fl) x (m)
x x→ 0 x x→ 0 x〈 0 x〉 0
− 0) = f ( x0 + 0) ⇔
Obs.:Funcţia f :D → R nu are limită în punctul de acumulare x în una din situaţiile : a)există un şir x n ∈ D −{ x 0 } cu limita x astfel încât şirul ( f ( x n )) nu are limită b)există şirurile ( x n ), ( y n ), x n , y n ∈ D −{ x 0 }, astfel încât şirurile ( f ( xn )), ( f ( y n )) au limite diferite. Teoremă:Fie f :D → R ,o funcţie elementară şi x 0 ∈D un punct de acumulare al lui D 0
0
⇒ xlim f ( x ) = f ( x 0 ) → x 0
Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)
g ( x) = 0 şi există l ∈ R Fie f,g:D → R şi x un punct de acumulare al lui D.Dacă xlim → x a.î. f ( x ) −l ≤ g ( x), ∀ x ∈ D ∩V , x ≠ x , V vecinătate a lui x şi dacă 0
0
0
0
lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
x→ x0
x→ x0
Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)
Fie f,g:D → R , x un punct de acumulare al lui D şi f ( x) ≤ g ( x), ∀ x ∈ D ∩V , x ≠ x0 ,V vecinătate a lui x . 0
0
f ( x) = ∞ ⇒ lim g ( x) = ∞ a)Dacă xlim → x x → x 0
0
g ( x) = −∞ b)Dacă xlim → x 0
⇒ xlim f ( x ) = −∞ → x 0
Teoremă(Criteriul cleştelui)
Fie f,g,h:D → R , x un punct de acumulare al lui D şi f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ), ∀ x ∈ D ∩V , x ≠ x 0 , V vecinătate a lui x . 0
0
f ( x) = lim h( x) = l ⇒ lim g ( x) = l Dacă xlim → x x → x x → x 0
0
0
Limite uzuale.Limite remarcabile. n n −1 lim (a n x + a n −1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a0 ) = lim a n x n x →± ∞
x →± ∞
21
ak , k = m b m k k − 1 a xk + a k − x1 + ⋅⋅⋅ + a x1 + a0 l i m m m− 1 0, m〉 k = x → ± b x ∞ + b x + ⋅⋅⋅ + b x + b m m− 1 1 0 a k k − m ⋅ (± ) , k 〉 m∞ bm 1
lim x →∞ x
lim
x →∞
1
=0
x
π lim arctg x = x →∞ 2 x
lim
x →0
(
x
x→ 0 x > 0
lim 3 x x →−∞
) =1
x
=+
= −∞
0 ,d a a>c1 a l i ma = x→ − ∞ ∞ ,d a a∈ c( 0 ,1a) − ∞ d, a >a1c l i lm oa x = g x→ 0 ∞ d, a ∈a ( c0 ,1) x> 0
π lim arctg x = − x →−∞ 2
lim arcctgx = 0
x
lim
x →0
tgx x
=1 lim
x →0
1
arcsin x
x →0
x
x →−∞
lim (1 + x ) x x → 0
lim
a x − 1
lim arcctgx
x →∞
1 lim 1 + = e x →−∞ x
1 lim 1 + = e x →∞ x
=1
lim
1
x
∞ ,d a a> c1 a l i ml oa x =g x→ ∞ -∞ ,d a ∈ac( 0 ,1a)
x ln 1 + x
x
x →∞
∞ ,d a a>c1 a l i am = x→ ∞ 0 ,d a a∈c ( 0 ,1a)
sin x
x → 0 x < 0
= −∞
lim 3 x = ∞
=∞
x
lim x →0
lim
=0
lim x →−∞ x
1
x
=1
= ln a , a > 0, a ≠ 1
22
= π
=e lim x →0
arctg x
x
=1
sin u ( x ) =1 x →0 u ( x ) arctg u ( x ) lim =1 x →0 u ( x ) ln (1 + u ( x ) ) =1 lim x →0 u ( x) lim
Operaţii fără sens:
lim
x →0
tg u ( x ) u ( x )
lim
a u(x)
x →0
arcsin u ( x ) x →0 u ( x )
=1
lim
−1
u ( x )
= ln
a , a
=1
u ( x) = 0 > 0, a ≠ 1 unde xlim → x 0
∞ 0 , , ∞ − ∞,0 ⋅ ∞,1∞ ,0 0 , ∞0 ∞ 0
Definiţie Fie f : D → R şi x 0
Funcţii continue
∈ D punct de acumulare pentru D
f ( x ) = f ( x 0 ) este continuă în x0 ∈ D dacă xlim → x Dacă f nu este continuă în x0 ∈ D ,ea se numeşte discontinuă în x0 ,iar x0 se numeşte punct de discontinuitate. Definiţii:Un punct de discontinuitate x0 ∈ D este punct de discontinuitate de prima speţă pentru f ,dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul x0 există şi sunt finite. Un punct de discontinuitate x0 ∈ D este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu este de prima speţă.(cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul x0 nu este finită sau nu există) Teoremă: Fie f : D → R şi x0 ∈ D punct de acumulare pentru D ⇒ f continuă în x0 ⇔ l s ( x 0 ) = l d ( x 0 ) = f( x 0 ) Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie. f
0
Operaţii cu funcţii continue Teoremă:Fie f,g:D → R continue pe D f ⋅ g ,
⇒ f+g,
f ( g ≠ 0 ), f , max( f , g ), min( f , g ) sunt funcţii continue pe D. g
Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă. Teoremă: Fie f:[a,b] → R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0 ⇒ ∃ f(c)=0.
c ∈( a , b )
pentru care
Asimptote 1.Asimptote verticale Definiţie:Fie f :E → R, a ∈ R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este
l i m f ( x) = ∞
l i m f ( x ) = − ∞
asimptotă verticală la stanga pentru f,dacă x → a sau x → a . x < a x < a Definiţie:Fie f :E → R, a ∈ R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este
l i m f ( x) = ∞
asimptotă verticală la dreapta pentru f,dacă x → a x > a
23
l i m f ( x ) = − ∞.
sau x → a x > a
Definiţie : Fie f :E → R , a ∈ R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a
este asimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la dreapta sau numai lateral. 2.Asimptote oblice ) Teorema : Fie f :E → R, unde E conţine un interval de forma(a, ∞
Dreapta y=mx+n,m ≠ 0 este asimptotă oblică spre + ∞ la graficul lui f dacă şi numai dacă m,n sunt numere reale finite,unde m= xlim →∞
∞.
f ( x) ,n x
[ f ( x ) − mx ] .Analog la = xlim →∞
3.Asimptote orizontale f ( x) = l , l număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre + ∞ la Dacă xlim →∞
graficul lui f. Analog la - ∞ Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre + ∞ (- ∞ ) Funcţii derivabile
Definiţie:Fie f:D → R ,x 0 ∈D punct de acumulare pentru D f ( x) − f ( x 0 ) Derivata într-un punct:f ' ( x0 ) = xlim . → x x − x 0 0
f este derivabilă în x dacă limita precedentă există şi este finită. ▪Dacă f este derivabilă în x0 , graficul funcţiei are în punctul M 0 ( x 0 , f ( x 0 )) tangentă a cărei pantă este f ' ( x 0 ) .Ecuaţia tangentei este: y − f ( x0 ) = f ' ( x 0 )( x − x0 ) . Teoremă:Fie f:D→R , x ∈ D punct de acumulare pentru D ⇒ f este derivabilă în 0
0
punctul
de
acumulare
x0
⇔ f ( x ) = f ( x ) ∈ R (finite) ' s
0
' d
0
f x ( f) x− 0)( ⇔l i m x x→ x − x x〈 0
=
.
0
0
f x( ) − f x( 0 ) lim ∈ R . x → x 0 x − x 0 x 〉 x 0
Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct. Puncte de întoarcere.Puncte unghiulare. Definiţii:Fie f:D→R , x 0 ∈ D punct de acumulare pentru D.Punctul x 0 se numeşte
punct de întoarcere al funcţiei f, dacă f este continuă în x şi are derivate laterale infinite şi diferite în acest punct. Punctul x se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă f este 0
0
24
continuă în x ,are derivate laterale diferite în x şi cel puţin o derivată laterală este finită. 0
0
Derivatele funcţiilor elementare Functia
Derivata
x
0 1
x , n ∈N *
nx n −1
x r , r ∈R
rx r −1
c
n
1
x
2 x n
1
x
n n x n −1
ln x
1 x
e x a x ( a
ex
> 0, a ≠ 1)
a x ln a
cos x
sin x
cos x
− sin x
tg x
1
ctg x
cos 2 x 1
−
arcsin x
sin 2 x 1
arccos x
1 − x 2 1
−
1 − x 2
arctg x
1 1 + x 1
arcctg x
−
2
1 + x
2
Operaţii cu funcţii derivabile Teoremă:Fie f,g:D → R derivabile pe D ⇒ f+g ,fg,
f g
(g ≠ 0 )sunt funcţii derivabile pe
D. Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă. Reguli de derivare '
( f ± g )
'
( f u ) '
= f ± g ; ( f ⋅ g ) = f ⋅ g + f ⋅ g ; (λ ⋅ f ) = λ ⋅ f '
'
'
'
'
'
= f ' (u ) ⋅ u '
25
'
f f ' ⋅ g − f ⋅ g ' ; = g 2 g
Proprietăţile funcţiilor derivabile Definiţie:Fie f:D→R.Un punct x 0 ∈ D se numeşte punct de maxim local(respectiv de
minim local)al lui f dacă există o vecinătate U a punctului x astfel încât f(x) ≤f(x ) (respectiv f(x) ≥f(x ) ) pentru orice x∈ D ∩ U . Dacă f(x) ≤f(x )(respectiv f(x) ≥f(x ) ) pentru orice x∈ D atunci x se numeşte punct de maxim absolut(respectiv minim absolut) Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x ∈ I un punct de extrem al unei funcţii ƒ: I→R. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x atunci ƒ’(x )=0. Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] →R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b ). 0
0
0
0
0
0
0
0
0
Teorema lui Rolle
Fie ƒ: [a, b]→ R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un punct c∈ (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0. Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci ∃ c ∈ (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c) Consecinţe:
1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe acel interval. 2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-o constantă pe acel interval. Rolul primei derivate 3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I.
Dacă f ' ( x ) > 0( f ' ( x ) ≥ 0), ∀x ∈I , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I. Dacă f ' ( x ) < 0( f ' ( x ) ≤ 0), ∀x ∈I , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I. 4.Fie f:D → R ,D interval şi x ∈ D .Dacă 1)f este continuă în x0 2)f este derivabilă pe D- { x 0 } 0
f ( x) = l ∈ R 3)există xlim → x '
0
atunci f are derivată în x0 şi f ' ( x0 ) = l .Dacă l ∈ R atunci f este derivabilă în x0 . Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcţii derivabile şi se determină punctele de extrem local. Rolul derivatei a doua Teoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I.
Dacă
"
f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ I 26
, atunci f este convexă pe I.
Dacă
"
f ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ I
, atunci f este concavă pe I.
Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si x0 ∈I punct interior intervalului. Spunem că x0 este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă f este convexă pe o vecinătate
stânga a lui
şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui x0 sau invers. Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate şi se determină punctele de inflexiune. x0
Noţiunea de primitivă
R interval, f : I → R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, orice Definiţie: Fie I funcţie F : I → R derivabilă pe I cu proprietatea F '( x) = f ( x), ∀ x ∈ I. Teoremă.Orice funcţie continuă f : I → R posedă primitive pe I. Teoremă:Fie f : I → R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are
proprietatea lui Darboux. Consecinţe: 1.Dacă g : I → R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I. 2.Fie g : I → R.Dacă g(I)={ g ( x ) / x ∈ I } nu este interval atunci g nu admite primitive pe I. 3.Dacă g : I → R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I. Tabel de integrale nedefinite x n +1 x dx = + C ,n∈ N ,x∈ R n +1 x a +1 a + C ,a∈ R, a ≠ −1 ,x∈(0, ∞) x = a +1 1 ∞ , 0) dx = ln x + C , x ∈ (0, ∞) sau x ∈( − x
∫ ∫
n
∫
x
a
∫ a d x= l na + C ,a〉 0, a ≠ 1, x ∈ R x
∫ x ∫ x
∫
1 2
−a 1
2
+a
=
2
a 2 − x 2 1 2
2a
dx = 2
1
∫ x
1
+a
2
1
ln
x − a x + a
+ C , a ≠ 0, x ∈ (−∞ ,−a ) sau x∈(−a, a) sau x ∈(a, ∞)
x arctg + C , a ≠ 0, x ∈ R a a 1
dx
= arcsin
dx
= ln( x +
x a
+ C , a ≠ 0, x ∈(−a, a )
x 2
+ a 2 ) + C , a ≠ 0, x ∈ R
∫ x − a dx = ln x + x − a ∫ sin xdx = −cos x + C , x ∈R 2
∫ cos xdx
2
2
2
+ C , a ≠ 0, x ∈ (−∞ ,−a) sau x ∈(a, ∞)
= sin x + C , x ∈R
27
1
∫ cos xdx = tgx + C , cos x ≠ 0 1 ∫ sin xdx = −ctgx + C , sin x ≠ 0 2
2
Integrala definită
Teoremă.Funcţiile continue pe un interval [a , b ] sunt integrabile pe [a , b ] . Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval [a , b ] sunt integrabile pe [a , b ] . Proprietăţile funcţiilor integrabile. a)(Proprietatea de linearitate)
Dacă f,g : [ a.b ] → R sunt integrabile şi λ ∈ R ⇒ b
b
b
a
a
a
1) ∫ ( f ( x ) + g ( x ) )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx b
b
a
a
f ( x ) dx = λ ∫ f ( x ) dx 2) ∫ λ
b)Dacă
f ( x )
b
≥ 0, x ∈[a , b ] şi este integrabilă pe [a, b ] , atunci ∫ f ( x )d x ≥ 0 . a
c)Dacă f ( x) ≥ g ( x) pentru orice x ∈[a , b ] şi dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b ] , b b f ( x )d x ≥ ∫ g ( x )d x atunci ∫ a a d)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul) Funcţia f : [a, b]→ R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă, ∀ c ∈ (a, b) funcţiile f1 = f [ a, c ] şi f2 = f [c , b ] sunt integrabile şi are loc formula: c
b
b
f ( x )d x = ∫ f ( x )d x. + ∫ ∫ a c a e)Dacă funcţia f este integrabilă pe [a , b ] , atunci şi ∫ f ( x)d x ≤∫ f ( x) d x . f ( x )d x
b
f
este integrabilă pe [a, b ] şi
b
a
a
Teoremă (Formula Leibniz - Newton) Dacă f : [a, b]→ R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentru
orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton: b b f ( x ) dx F ( x ) = = F (b) − F (a ) . ∫ a a
Teorema de medie Dacă f : [a, b] → R este o funcţie continuă, atunci există c∈[a, b] a.i. b
∫ f ( x)d x = (b − a) f (c) . a
Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue Dacă g : [a, b]→ R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]→R, x
G ( x )
=
∫ g (t )dt , x ∈[a, b] are proprietăţile: a
1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 0 28
2)G este derivabilă pe [a, b] şi
G ' ( x)
= g ( x ), ∀ x ∈[a, b]
'
x Reţinem: ∫ g (t )dt = g ( x ) a Teoremă (Formula de integrare prin părţi) Fie f , g : [a, b]→ R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de
∫
integrare prin părţi:
b
a
b
fg ' dx = fg a −
b
∫ f ' gdx . a
Teoremă:Fie f:[-a,a] → R , a〉 0 o funcţie continuă.Atunci a
a
∫
∫
1) f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx , dacă f este funcţie pară. −a
0
a
2)
∫ f ( x)dx = 0 ,dacă f este funcţie impară.
−a
Teoremă:Fie f:R → R o funcţie continuă de perioadă T
〉0 ⇒
a +T
T
a
0
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx , ∀a ∈ R
Aria unui domeniu din plan 1. Aria mulţimii din plan D⊂ R 2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul b
funcţiei f : [a, b]→ R pozitivă şi continuă se calculează prin formula: A ( D ) = ∫ a f ( x)dx . b
2. În cazul f : [a, b]→ R continuă şi de semn oarecare, avem: A ( D ) = ∫ a | f ( x) | dx . 3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor b f , g : [a, b]→ R continue este calculată prin formula: A ( D ) = ∫ | g ( x) − f ( x ) | dx . a Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b]→ R o funcţie continuă, atunci corpul C f din spaţiu obţinut prin rotirea graficului lui f , G f , în jurul axei O x, are volumul calculat prin b
formula: .V(C f )= π ∫ f 2 ( x ) dx a
29
