1. NUME NUMERE RE REALE REALE 1. Formule ormule de calcul calcul prescurtat prescurtat 2
2
2
2
2
2
2
2
pa ` bq “ a ` 2ab ` b pa ´ bq “ a ´ 2ab ` b a ´ b “ pa ´ bqpa ` bq pa ` b ` cq “ a ` b ` c ` 2ab ` 2bc ` 2ca pa ` bq “ a ` 3a b ` 3ab ` b pa ´ bq “ a ´ 3a b ` 3ab ´ b a ` b “ pa ` bqpa ´ ab ` b q a ´ b “ pa ´ bqpa ` ab ` b q 2
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
2
2
2
3
2
2. Modulul Modu lul unui num˘ ar ar real
| |
Definit ¸ie. ¸ie. Pentru orice num˘ar real x, modulul lui x este x este num˘arul arul real notat cu x ¸si si dat prin: pri n:
|x| “ x, dac˘a x ě 0
¸si si
|x| “ ´x, dac˘a x ă 0.
| |
a a lui a . Num˘ arul arul x se mai ma i nume¸ste st e valoarea absolut˘ Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale modulului:
|x| ě 0, @x P R
|x| “ 0 ðñ x “ 0 |x| “ | ´ x|, @x P R |a ´ b| “ |b ´ a|, @a, b P R ˇˇ x ˇˇ |x| |x ¨ y | “ |x| ¨ |y|, @x, y P R ˇˇ y ˇˇ “ |y| , @x, y P R, y ‰ 0 |x ` y | ď |x| ` |y|, @x, y P R 3. Partea Part ea ˆıntreag ıntr eag˘ ˘ a. a. Partea Part ea fract fra ct¸io ¸i onar˘ a
ď x ă k `1. par tea ˆıntreag ın treag˘ ˘ a a num˘ arului real x ¸ x ¸si Num˘ arul arul k P Z de mai sus se nume¸ste ste partea si se noteaz not eaz˘ ˘a cu rxs. Definit ¸ie. ¸ie. Pentru orice num˘ar ar real x, exist˘ a ¸si si este unic un num˘ar ˆıntre ınt reg g k astfe ast fell ˆıncˆ ınc ˆ at at k
Mai putem spune c˘a partea part ea ˆıntreag˘ ıntrea g˘a a num˘ arului arului real x este cel mai mare num˘ar ˆıntreg mai mic sau egal decˆat at x. Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale p˘ art art ¸ii ¸ii ˆıntre ınt regi gi::
rxs P Z, @x P R
rxs ď x ă rxs ` 1, @x P R
k , @ x P R, @ k P Z. rx ` ks “ rxs ` k,
t u
Definit ¸ie. ¸ie. Pentru orice num˘ar ¸ionar˘ a a lui x , not˘ ar real x, se defin de fine¸ e¸ste st e partea fract at˘ at˘ a cu x , ca fiind
t u “ x ´ rxs.
diferent¸a ¸a dintre x ¸si si part pa rtea ea ˆıntre ınt reag ag˘ ˘a a lui x, adic˘ a x Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale p˘ art art ¸ii ¸ii fract ¸ionare: ¸ionare:
4. Puterea cu exponent expo nent ˆ ıntreg a unui num˘ ar ar real ˚
P R ¸sisi n P N . Definim puterea lui x de exponent natural n , n , notat˘a cu x , prin 1 . “ xlooooomooooon ¨ x ¨ . . . ¨ x . Dac˘a x ‰ 0, prin definit¸ie, ¸ie, x “ 1 . Fie x P R ¸si si n P N . Definim x “ x Definit ¸ie. ¸ie. Fie x
x
n
n
0
˚
˚
´n
n
de
n
ori
x
5. R˘ adacin a ˘cina a p˘ atra atrat˘ t˘ a a unui unu i num˘ num ˘ ar ar real re al nene ne nega gati tiv v
? avˆand R, a ě 0 . Definim r˘ ad˘ acina p˘ atrat˘ a a lui a , num˘ arul arul real notat cu a ¸si avˆ and P ? ? propriet˘ at a¸ile: ¸tile: a ě 0 ¸si p aq “ a. Definit ¸ie. ¸ie. Fie a
2
Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale r˘ ad˘ aci ac inii ni i p˘ atra at rate te::
?
x2
? x ¨ y “ ? x ¨ ? y, @x, y ě 0
“ |x|, @x P R
c
? x “ ? y , @x ě 0, @y ą 0
x y
Formulele radicalilor dubli:
?
b
` b “
a
c ` c ´ a
c
2
a
`
?
b
c
´ b“
a
2
c ` c ´ a
c
2
a
´
c
c2
2
2
“ a ´ b, c ě 0
6. R˘ adacina a ˘ci na cubic˘ cub ic˘ a a unui unu i num˘ ar ar real rea l Definit ¸ie. ¸ie. R˘ ad˘ acina cubic˘ a a num˘ arului a
? astfelel ˆıncˆ ? P R este num˘arul arul notat cu a astf ın cˆat at p aq “ a. 3
Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale r˘ ad˘ ad ˘ acin ac inii ii cubi cu bice ce::
? 3
x3
? x ¨ y “ ? x ¨ ? y, @ x, y P R
x , @ x P R “ x,
3
3
7. Radic Radicalu alull de ordin
3
c 3
3
3
? x “ ? y , @x P R, @y P R
x y
3
˚
3
n
Definit ¸ie. ¸ie.
‚ Fie ? a , num˘ a P R, a ě 0 ¸si n P N, n ě 2 , n par. par. Definim Definim radicalul de ordin par n al lui a , arul arul real ? ? notat cu a ¸si avˆ av ˆ and and propriet˘at a¸ile: ¸tile: a ě 0 ¸si p aq “ a. a , num˘ a P R ¸si si n P N, n ą 2, n impar impar.. Definim Definim radicalul de ordin impar n al lui a , arul arul real ‚ Fie ? ? notat cu a ¸si avˆ av ˆ and and proprietatea p aq “ a. n
n
n
n
n
n
8. Putere Puterea a cu exponent exponent rat ¸ional ¸ional a unui num˘ ar ar real pozitiv poz itiv
P? ą 0 ¸si r “ mn , m, ¸ional r a m , n P Z, n ě 2 . Definim puterea cu exponent rat “ a.
Definit ¸ie. ¸ie. Fie a R , a
lui a prin prin a
r
“ a
m n
n
m
Prop Pr opri riet et˘ ˘ a¸i ¸ t i ale puterilor cu exponent rat ¸ional: ¸ional: r
¨ “ x
x x
s
r `s
x
r
“ x
r ´s
s
px q “ x r
r ¨s
px ¨ y q “ x ¨ y s
s
s
ˆ˙ x
s
x
s
“
2. ECUAT ¸ II TRIGONOMETRICE 1. Funct ¸ia arcsinus
‚ Funct¸ia f :
π π , 2 2
”´ ı Ñ r´
s p q “ sin x este inversabil˘a, inversa ei fiind:
1, 1 , f x
´1
f
:
π π , , f ´1 x 2 2
” ı sÑ ´
r´1, 1
p q “ arcsin x
¸ie arcsinus . numit˘ a funct
‚ Sunt valabile formulele: ” π π ı sin parcsin xq “ x @x P r´1, 1s, arcsin psin xq “ x @x P ´ , 2 2 arcsin p´xq “ ´ arcsin x @x P r´1, 1s . 2. Funct ¸ia arccosinus
‚ Funct¸ia f : r0, πs Ñ r ´1, 1s, f pxq “ cos x este inversabil˘a, inversa ei fiind: f : r´1, 1s Ñ r0, π s, f pxq “ arccos x ´1
´1
¸ie arccosinus . numit˘ a funct
‚ Sunt valabile formulele: cos parccos xq “ x @x P r´1, 1s,
p
q “ x @x P r0, πs
arccos cos x
3. Funct ¸ia arctangent˘ a
‚ Funct¸ia f :
π π , 2 2
´´ ¯ Ñ
p q “ tg x este inversabil˘a, inversa ei fiind:
R,
f x ´1
f
:R
π π , , f ´1 x 2 2
´ ¯ Ñ ´
p q “ arctg x
¸ie arctangent˘ a . numit˘ a funct
‚ Sunt valabile formulele: ´ π π ¯ tg parctg xq “ x @x P R, arctg ptg xq “ x @x P ´ , 2 2 arctg p´xq “ ´ arctg x @x P R. 4. Ecuat ¸ii trigonometrice fundamentale k
‚ sin x “ a P r´1, 1s ðñ x “ p´1q arcsin a ` kπ, k P Z ‚ cos x “ a P r´1, 1s ðñ x “ ˘ arccos a ` 2kπ, k P Z ‚ tg x “ a P R ðñ x “ arctg a ` kπ, k P Z 2
2
2
2
2
2
2
2
` b cos x “ c, a,b,c P R, a ` b ‰ 0
5. Rezolvarea ecuat ¸iei a sin x
‚ Dac˘a c ą a ` b , atunci ecuat¸ia nu are solut¸ii reale. ‚ Dac˘a c ď a ` b , atunci se ˆımparte ecuat¸ia prin ? a ` b ¸si avem a b c a sin x ` b cos x “ c ðñ ? sin x ` ? cos x “ ? a `b a `b a `b 2
2
T ¸ inˆ and cont c˘ a
ˆ
2
a
? a ` b 2
2
˙ ˆ
ˆIn consecint¸a ˘, ecuat¸ia devine
b
˙
2
2
2
2
2
2
2
` ? a ` b “ 1, rezult˘a c˘a exist˘a t P r0; 2πq astfel ˆıncˆat ? a a` b “ cos t ¸si ? a b` b “ sin t.
sin x cos t
2
2
2
2
2
2
` sin t cos x “ ? a c` b ðñ sin px ` tq “ ? a c` b .
ˆIn final, obt¸inem solut¸iile ecuat¸iei:
2
2
2
2
3. CALCUL VECTORIAL 1. Regula triunghiului
ÝÝÑ
ÝÝÑ
2. Regula paralelogramului
ÝÝÑ
ÝÝÑ
AB ` BC “ AC
ÝÝÑ
ÝÝÑ
AB ` AD “ AC
3. Punctul care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat
AP 1 ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ “ k ą 0 ùñ OP “ P P pAB q, OA ` k OB 1`k PB
´
¯
4. Mijlocul unui segment
AM ÝÝÑ 1 ÝÝÑ ÝÝÑ M P pAB q, OA ` OB “ 1 ùñ OM “ 2 MB
´
¯
5. Centrul de greutate al unui triunghi
G este centrul de ÝÝÑ 1 ÝÝÑ ÝÝÑ ÝÝÑ ùñ OG “ OA ` OB ` OC greutate al ABC 3
´
¯
6. Condit ¸ia de coliniaritate a trei puncte A , B , C sunt coliniare ðñ Dk P
R
ÝÝÑ
ÝÝÑ
astfel ˆıncˆat AB “ k BC
8. Coordonatele unui vector ÝÝÑ
Ñ Ý
Ñ Ý
ApxA , yA q, B pxB , yB q ùñ AB “ pxB ´ xA q i ` pyB ´ yA q j
9. Modulul unui vector
ˇˇˇÝÝÑˇˇˇ “ b p
2
2
xB ´ xA q ` pyB ´ yA q
AB
10. Produsul scalar al vectorilor Ñ Ý Ý Ý Ý Ý Ý u ¨Ñ v “ |Ñ u | ¨ |Ñ v | ¨ cos p? pÑ u ,Ñ v qq sau
Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý u “ a i ` b j Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý v “ m i ` n j
*
Ý Ý u ¨Ñ v “ am ` bn ùñ Ñ
11. Condit ¸ia de coliniaritate a vectorilor Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý a b u “ a i ` b j Ý Ý u ,Ñ v sunt coliniari ðñ ùñ Ñ “ Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý v “ m i ` n j m n
*
12. Condit ¸ia de perpendicularitate a vectorilor Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý u “ a i ` b j Ý Ý Ý Ý u KÑ v ðñ Ñ u ¨Ñ v “ 0 ðñ am ` bn “ 0 ùñ Ñ Ñ Ý Ñ Ý Ñ Ý v “ m i ` n j
*
13. Teorema lui Thales
DE B C ðñ
AD AE “ DB EC
15. Teorema lui Menelaus
14. Teorema bisectoarei
rAD bis. ?BAC ðñ
BD AB “ DC AC
16. Teorema lui Ceva
M , N , P coliniare
AM,BN,CP concurente
õ
õ
2. PROGRESII ARITMETICE PROGRESII GEOMETRICE 1. Progresii aritmetice a este un ¸sir de numere cu proprietatea c˘ Definit¸ie. Progresia aritmetic˘ a fiecare termen,
ˆıncepˆ a nd cu al doilea, se obt¸ine din precedentul termen prin adunarea cu acela¸si num˘ ar numit rat ¸ia progresiei aritmetice .
a de rat¸ie r “ 2. Exemplu. S¸irul 2, 4, 6, 8, 10, . . . este o progresie aritmetic˘
‚ pa q
1 este
progresie aritmetic˘ a de rat¸ie r ðñ a “ a
‚ pa q
1 este
progresie aritmetic˘ a de rat¸ie r ðñ a “ a1 ` pn ´ 1q ¨ r,
n
ně
n
ně
n
n´
1
` r,
@n ě 2
n
‚ Num˘arul termenilor aflat¸i ˆın progresie aritmetic˘a este n “
@n ě 2
a ´ a1 `1 r n
‚ x, y, z sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice ðñ y “
x ` z 2
‚ Suma primilor n termeni ai unei progresiei aritmetice: S “ a1 ` a2 ` . . . ` a “ n
pa1 ` a q ¨ n n
n
2
2. Progresii geometrice a fiecare termen, a este un ¸sir de numere cu proprietatea c˘ Definit¸ie. Progresia geometric˘ ˆıncepˆ and cu al doilea, se obt¸ine din precedentul termen prin ˆınmult ¸irea cu acela¸si num˘ ar nenul numit rat ¸ia progresiei geometrice . Exemplu. S¸irul 1, 3, 9, 27, 81, . . . este o progresie geometric˘ a de rat¸ie q “ 3.
‚ pb q
1 este
progresie geometric˘ a de rat¸ie q ðñ b “ b
‚ pb q
1 este
progresie geometric˘ a de rat¸ie q ðñ b “ b1 ¨ q
n
n
ně
ně
n
n´
1
¨ q, n´
n
1
@n ě 2 ,
@n ě 2
‚ x, y, z sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice ðñ y2 “ x ¨ z ‚ Suma primilor n termeni ai unei progresiei geometrice: q ´ 1 S “ b1 ` b2 ` . . . ` b “ b1 ¨ q ´ 1 n
n
n
3. FUNCT ¸ IA DE GRADUL I
1. Definit ¸ia funct¸iei de gradul I Definit¸ie. Fie a, b P
R,
a ‰ 0. Funct¸ia f :
R
Ñ R, f pxq “ ax ` b se nume¸ste funct ¸ie de gradul I.
2. Graficul funct ¸iei de gradul I ‚ Dac˘a a ą 0, atunci graficul funct¸iei de gradul I este o dreapt˘a care ”urc˘a”. ‚ Dac˘a a ă 0, atunci graficul funct¸iei de gradul I este o dreapt˘a care ”coboar˘a”.
ˆ
˙
b ‚ Dreapta corespunz˘atoare graficului intersecteaz˘a axa Ox ˆın A ´ , 0 ¸si axa Oy ˆın B p0; bq. a
3. Monotonia funct ¸iei de gradul I ‚ Dac˘a a ą 0, atunci funct¸ia de gradul I este strict cresc˘atoare. ‚ Dac˘a a ă 0, atunci funct¸ia de gradul I este strict descresc˘atoare. x aą0
f pxq
´8 ´8
Õ
`8 `8
x aă0
f pxq
´8 `8
`8
Œ
´8
4. Semnul funct ¸iei de gradul I
aą0
x f p q
´8
´ ab 0
`8
aă0
x f p q
´8
´ ab 0
`8
4. FUNCT ¸ IA DE GRADUL 2
1. Ecuat ¸ia de gradul 2 2
‚ ax ` bx ` c “ 0, a, b, c P R, a ‰ 0 se nume¸ste ecuat ¸ie de gradul 2 . ‚ ∆ “ b ´ 4ac se nume¸ste discriminantul ecuat ¸iei . ‚ Num˘arul r˘ad˘acinilor reale ale ecuat¸iei de gradul 2 este dat de urm˘atoarea clasificare: ? ´ b˘ ∆ ∆ ą 0 ðñ ecuat¸ia are dou˘a r˘ ad˘ acini reale ¸si distincte: x “ ; 2a ´b ; ∆ “ 0 ðñ ecuat¸ia are dou˘a r˘ ad˘ acini reale ¸si egale: x “ x “ 2
1{2
1
∆
2
2a
ă 0 ðñ ecuat¸ia nu are r˘ad˘acini reale.
‚ R˘ad˘acinile x
1
¸iile lui Vi´ete : ¸si x2 ale ecuat¸iei de gradul 2 verific˘a relat
“ x ` x “ ´ ab
S
1
2
“ x ¨ x “ ac
P
‚ Formule utile:
1
2
2
x21
2 2
1
2
3 1
3 2
1
2
2
` x “ px ` x q ´ 2x x “ S ´ 2P x ` x “ px ` x q ´ 3x x px ` x q “ S ´ 3SP ‚ Dac˘a r˘ad˘acinile ecuat¸iei ax ` bx ` c “ 0, a ‰ 0 sunt x ¸si x , atunci aX ` bX ` c “ a pX ´ x q pX ´ x q ‚ Ecuat¸ia de gradul 2 ale c˘arei r˘ad˘acini sunt numerele x ¸si x este x ´ Sx ` P “ 0, unde S “ x ` x ¸si P “ x ¨ x . 1
2
1
2
3
3
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2. Definit ¸ia ¸ si forma canonic˘ a a funct¸iei de gradul 2
‚
f :
R
2
Ñ R, f pxq “ ax ` bx ` c, a, b, c P R, a ‰ 0
¸ie de gradul 2 . se nume¸ste funct
ˆ
‚ Forma canonic˘ a a funct¸iei de gradul 2 este f pxq “ a x `
b 2a
2
˙
` ´4∆a .
3. Graficul funct ¸iei de gradul 2
‚ Dac˘a a ą 0, atunci graficul funct¸iei de gradul 2 este o parabol˘a cu vˆarful ˆın jos.
‚ Dac˘a a ă 0, atunci graficul funct¸iei de gradul 2 este o parabol˘a cu vˆarful ˆın sus.
Observat ¸ii
‚ Num˘arul punctelor de intersect¸ie cu axa Ox: ‚ parabola intersecteaz˘a axa Ox ˆın dou˘a puncte distincte ðñ ∆ ą 0; ‚ parabola este tangent˘a axei Ox ðñ ∆ “ 0; ‚ parabola nu intersecteaz˘a axa Ox ðñ ∆ ă 0. ‚ Vˆarful V al parabolei are coordonatele x “ ´ 2ba , y “ ´ 4∆a . ‚ Parabola are ax˘a de simetrie, dreapta vertical˘a de ecuat¸ie x “ x V
V
V
.
4. Intervale de monotonie ¸si puncte de extrem Cazul x
pq
f
a
ˆ
ą 0.
´8 `8
´ 2ba Œ
Õ
`8 `8
‚ f este strict descresc˘atoare pe ´8, ´ „ b ˙ strict cresc˘atoare pe ´ , `8 . 2a ‚ f admite valoarea minim˘a y “ ´ 4∆a . V
b 2a
¸si
a
Cazul
ă 0.
‚ f este
´8
x
Õ
pq
f x
´ ´
b 2a ∆ 4a
strict cresc˘ atoare pe
strict descresc˘atoare pe
`8
ˆ ´8 ´ ˙
„
´ 2ba , `8
,
.
V
´8
5. Semnul funct ¸iei de gradul 2 ∆
Cazul x
ą 0. ´8
pq ∆
Cazul x
x1
acela¸si semn cu a
f x
0
pq
`8
x2
semn contrar lui a
“ 0. ´8
“ x
x1
acela¸si semn cu a
f x
0
acela¸si semn cu a
`8
2
0
acela¸si semn cu a
Cazul ∆ < 0. x
´8
`8
pq
acela¸si semn cu a
f x
Observat ¸ie: ax2
ax2
" ðñ "
ą0 ` bx ` c ě 0, x P R ď0 ` bx ` c ď 0, x P R ðñ a∆ăď00 a ∆
¸si
‚ f admite valoarea maxim˘a y “ ´ 4∆a . ˆ ∆ ‚ Imaginea funct¸iei f este Im f “ ´8, ´ 4a .
Œ
´8
b 2a
ax2
ax2
" ðñ "
ą0 ă0 ` bx ` c ă 0, x P R ðñ a∆ăă00 ` bx ` c ą 0, x P R
a ∆
4. NUMERE COMPLEXE 1. Forma algebric˘ a a unui num˘ ar complex
‚ Orice num˘ar complex z se poate scrie ˆın mod unic sub forma z “ a ` bi, unde a, b P R, numit˘a form˘ a algebric˘ a a lui z , unde i este un num˘ ar cu proprietatea i “ ´1 ¸si care se nume¸ste unitate imaginar˘ a . ‚ Mult¸imea numerelor complexe este C “ a ` bi ˇˇ a, b P R, i “ ´1 ( . 2
2
2. Puterile unit˘ a¸ t ii imaginare
‚ ‚
i1
2
3
i
4
“ i, i “ ´1, i “ ´i, i “ 1. “ i, i “ ´1, i “ ´i, i “ 1, unde k P N.
i4k`1
4k`2
4k`3
4k
3. Partea real˘ a¸ si partea imaginar˘ a a unui num˘ ar complex
‚ Fiind dat num˘arul complex z “ a ` bi, partea real˘ a a lui z este Re pz q “ a, partea imaginar˘ a a lui z este bi iar coeficientul p˘ art ¸ii imaginare a lui z este Im pz q “ b. ‚ Un num˘ar complex este num˘ar real dac˘a ¸si numai dac˘a are partea imaginar˘a 0, adic˘a z “ a ` bi P R ðñ b “ 0 . 4. Egalitatea a dou˘ a numere complexe
‚ Dou˘a numere complexe sunt egale dac˘a ¸si numai dac˘a au p˘art¸ile reale egale ¸si p˘art¸ile imaginare egale,
adic˘a
a1
` b i “ a ` b i ðñ 1
2
2
"
“ a “ b
a1 b1
2
Caz particular: a
.
2
` bi “ 0 ðñ
"
5. Conjugatul unui num˘ ar complex
‚ Conjugatul num˘arului complex z “ a ` bi este num˘arul complex z “ a ´ bi. ‚ Propriet˘a¸ti ale conjug˘arii: z ` z “ z ` z , z ¨ z “ z ¨ z , @z , z P C; z “ z , @z P C; z P R ðñ z “ z . 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6. Modulul unui num˘ ar complex
‚ Modulul num˘arului complex z “ a ` bi este num˘arul real |z | “
?
a2
2
` b .
a b
“ 0 “ 0
.
‚ Propriet˘a¸ti ale modulului: |z | ě 0, @z P C; |z | “ 0 ðñ z “ 0. |z ¨ z | “ |z | ¨ |z |, @z , z P C; 1
2
1
n
2
1
2
n
ˇˇ ˇˇ
ˇˇ | ˇˇ “ |
| , @z , z P C. z z | z ¨ z “ |z | , @z P C. z 1 2
z 1
1
2
2
2
|z | “ |z | , @z P C, @n P N ; |z ` z | ď |z | ` |z |, @z , z P C. (Inegalitatea triunghiular˘a.) 1
˚
2
1
2
1
2
7. Rezolvarea ecuat ¸iei de gradul 2 2
‚ Ecuat¸ia ax ` bx ` c “ 0 cu a, b, c P R, a ‰ 0 ¸si ∆ ă 0 are dou˘a r˘ad˘acini complexe conjugate date de formulele: ? ? b ` i ´∆ b ´ i ´∆ ´ ´ x “ , x “ . 2a 2a 1
2
8. Forma trigonometric˘ a a unui num˘ ar complex
‚ Pentru orice num˘ar complex nenul z “ a ` bi, exist˘a ¸si sunt unice numerele reale r ą 0 ¸si t P r0, 2πq date de formulele ? r “ |z | “ a ` b (r este modulul lui z ); 2
cos t
2
“ ar , sin t “ rb
(t este argumentul redus al lui z ).
astfel ˆıncˆat
“ a ` bi “ r pcos t ` i sin tq.
z
9. Operat ¸ii cu numere complexe ˆın form˘ a trigonometric˘ a
‚ Dac˘a z “ r pcos t ` i sin t q ¸si z “ r pcos t ` i sin t q, atunci z ¨ z “ r ¨ r ¨ rcos pt ` t q ` i sin pt ` t qs ; z r “ ¨ rcos pt ´ t q ` i sin pt ´ t qs . z r 1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
‚ Dac˘a z “ r pcos t ` i sin tq ¸si n P N , atunci z “ r ¨ pcos nt ` i sin ntq . (Formula lui Moivre.) ˚
n
n
10. R˘ ad˘ acinile de ordin
n ale
unui num˘ ar complex
‚ Fie n P N, n ě 2 ¸si num˘arul complex w “ r ¨ pcost ` i sin tq . Atunci ecuat¸ia z “ w are n r˘ad˘acini complexe distincte date de: ˆ t ` 2kπ t ` 2kπ ˙ ? z “ r cos , unde k P t0, 1, 2, . . . , n ´ 1u. ` i sin n
n
k
n
n
‚ Dac˘a ε este o r˘ad˘acin˘a complex˘a ¸si nereal˘a de ordin 3 a unit˘a¸tii, atunci
5. CLASE DE FUNCT ¸ II 1. Not ¸iunea de funct ¸ie, imaginea unei funct¸ii, graficul unei funct¸ii a am definit o funct¸ie f pe mult¸imea Definit¸ie. Fiind date mult¸imile nevide A ¸si B, spunem c˘ A cu valori ˆın mult¸imea B , dac˘ a, printr-un anumit procedeu (formul˘ a, lege, convent¸ie, etc.), fiec˘arui
element x din A i-am asociat un unic element din B, notat f pxq.
‚ Pentru o funct¸ie definit˘a pe A cu valori ˆın B folosim notat¸ia f : A Ñ B. ‚ Mult¸imea A se nume¸ste domeniu de definit ¸ie , iar mult¸imea B se nume¸ste codomeniu . ‚ Elementul f pxq din mult¸imea B se nume¸ste imaginea elementului x prin funct ¸ia f . ‚ Imaginile tuturor elementelor din domeniu formeaz˘ a o submult¸ime a codomeniului numit˘a imaginea funct ¸iei f . A¸sadar, Im f “ ty P B | exist˘ a x P A astfel ˆıncˆat y “ f pxqu . ‚ Dac˘a S Ă A, atunci mult¸imea f pS q “ ty P B | exist˘a x P S astfel ˆıncˆat y “ f pxqu se nume¸ste imaginea mult ¸imii S prin funct ¸ia f . ‚ Funct¸iile f : A Ñ B ¸si g : A Ñ B sunt egale dac˘ a A “ A , B “ B ¸si f pxq “ g pxq, @x P A. 1
1
1
1
‚ Fiind dat˘a funct¸ia f : A Ñ B, mult¸imea Gf “ tpa, bq | a P A ¸si b “ f paqu se nume¸ste graficul funct ¸iei a A ¸si B sunt mult¸imi de numere reale, atunci f este o funct f . Dac˘ ¸ie numeric˘ a, iar graficul ei se poate reprezenta geometric ˆıntr-un sistem de axe ortogonale.
2. Monotonia funct ¸iilor numerice Definit¸ie. Fie funct¸ia f : A Ñ B, unde A, B P R, iar A este o submult¸ime a lui A. 1
Atunci, pe mult¸imea A , funct¸ia f este: ‚ cresc˘ a @x1 , x2 P A , x1 ă x2 ñ f px1 q ď f px2q. atoare dac˘ ‚ strict cresc˘atoare dac˘a @x1, x2 P A , x1 ă x2 ñ f px1 q ă f px2 q. ‚ descresc˘ a @x1 , x2 P A , x1 ă x2 ñ f px1 q ě f px2 q. atoare dac˘ a @x1 , x2 P A , x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2 q. ‚ strict descresc˘ atoare dac˘ a este cresc˘ atoare pe A sau descresc˘ atoare pe A . ‚ monoton˘ a dac˘ a este strict cresc˘ atoare pe A sau strict descresc˘ atoare pe A . ‚ strict monoton˘ a dac˘ 1
1
1
1
1
1
1
1
1
3. Funct ¸ii pare, funct¸ii impare Definit¸ie. Fie D Ă
submult¸ime simetric˘a fat¸a˘ de origine (adic˘a @x P D ñ ´x P D). Spunem c˘ a o funct¸ie f : D Ñ R este: a f p´xq “ f pxq, @x P D; ‚ funct ¸ie par˘ a dac˘ ‚ funct ¸ie impar˘ a dac˘ a f p´xq “ ´f pxq, @x P D. R o
Graficul unei funct¸ii pare este simetric fat¸a˘ de axa Oy, iar graficul unei funct¸ii impare este simetric
Definit¸ie. Fie T ‰ 0 fixat ¸si o mult¸ime D Ă
R cu
proprietatea c˘ a @x P D ñ x ´ T P D ¸si
x ` T P D.
O funct¸ie f : D Ñ
R este periodic˘ a de
perioad˘ a T, dac˘a f px ` T q “ f pxq, @x P D.
ar kT (k P Z) este perioad˘ a a funct¸iei f. Observat ¸ie. ˆIn condit¸iile definit¸iei de mai sus, orice num˘ a exist˘a cea mai mic˘ a perioad˘ a strict pozitiv˘a, aceasta se nume¸ste perioad˘ Definit¸ie. Dac˘ a principal˘ a a funct ¸iei f.
5. Funct ¸ii m˘ arginite Definit¸ie. Fie D Ă
R. Spunem
c˘ a funct¸ia f : D Ñ
R este
a imaginea funct¸iei este o m˘ arginit˘ a dac˘
mult¸ime m˘arginit˘a, adic˘a exist˘a m, M P R astfel ˆıncˆat m ď f pxq ď M, @x P D.
Putem spune echivalent c˘ a funct¸ia f : D Ñ
R este
m˘ arginit˘a dac˘ a
exist˘a K ą 0 astfel ˆıncˆat |f pxq| ď K, @x P D. O funct¸ie este m˘ arginit˘a dac˘ a ¸si numai dac˘ a graficul ei este situat ˆıntre dou˘ a drepte paralele la axa Ox.
6. Funct ¸ii injective, funct¸ii surjective, funct¸ii bijective a Definit¸ie. O funct¸ie f : A Ñ B este injectiv˘ a dac˘
@x1 , x2 P A cu x 1 ‰ x2 ñ f px1 q ‰ f px2q.
a ¸si numai dac˘ a Teorem˘ a. O funct¸ie f : A Ñ B este injectiv˘ a dac˘
@x1 , x2 P A cu f px1 q “ f px2 q ñ x1 “ x2 . a A ¸si B sunt mult¸imi de numere reale, atunci f este injectiv˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a Observat ¸ie. Dac˘ orice paralel˘ a dus˘a la axa Ox, prin punctele codomeniului, intersecteaz˘ a graficul funct¸iei ˆın cel mult un punct. (Interpretarea geometric˘ a a injectivit˘a¸tii.) a f : A Ñ B este o funct¸ie numeric˘ a strict monoton˘ a (strict cresc˘ atoare pe A sau strict Teorem˘ a. Dac˘ descresc˘atoare pe A), atunci f este injectiv˘ a. a dac˘ a Definit¸ie. O funct¸ie f : A Ñ B este surjectiv˘
@y P B, Dx P A astfel ˆıncˆat y “ f pxq.
a ¸si numai dac˘ a Im f “ B. Teorem˘ a. O funct¸ie f : A Ñ B este surjectiv˘ a dac˘ a dac˘ si Observat ¸ie. Dac˘ A si B sunt mult¸imi de numere reale, atunci f este surjectiv˘
i dac˘
a este injectiv˘ a ¸si surjectiv˘ a. Definit¸ie. O funct¸ie f : A Ñ B este bijectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a Teorem˘ a. O funct¸ie f : A Ñ B este surjectiv˘ a dac˘
@y P B, D!x P A astfel ˆıncˆat y “ f pxq. a A ¸si B sunt mult¸imi de numere reale, atunci f este bijectiv˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a Observat ¸ie. Dac˘ orice paralel˘ a dus˘a la axa Ox prin punctele codomeniului intersecteaz˘a graficul funct ¸iei ˆın exact un punct. (Interpretarea geometric˘ a a bijectivit˘a¸tii.)
7. Compunerea funct ¸iilor, funct ¸ii inversabile Definit¸ie. Fiind date funct¸iile f : A Ñ B ¸si g : B Ñ C definim funct ¸ia compus˘ a a lui g cu f , ˆın
aceast˘a ordine, notat˘ a cu g ˝ f, prin g ˝ f : A Ñ C, pg ˝ f qpxq “ g pf pxqq, oricare ar fi x P A.
a, adic˘a Teorem˘ a. Operat¸ia de compunere a funct¸iilor este asociativ˘
ph ˝ gq ˝ f “ h ˝ pg ˝ f q, oricare ar fi f : A Ñ B, g : B Ñ C, h : C Ñ D. a mult¸imea nevid˘a A, definim funct a cu 1A , Definit¸ie. Fiind dat˘ ¸ia identic˘ a a mult ¸imii A, notat˘ prin 1A : A Ñ A, 1A pxq “ x, oricare ar fi x P A.
a funct¸ia f : A Ñ B, avem f ˝ 1A “ 1B ˝ f “ f. Teorem˘ a. Fiind dat˘ a dac˘ a o funct¸ie f : A Ñ B este inversabil˘ a exist˘a o funct¸ie f Definit¸ie. Spunem c˘
1
´
astfel ˆıncˆat 1
´
f
1
´
˝ f “ 1A ¸si f ˝ f
“ 1B .
a dac˘ a ¸si numai dac˘ a este bijectiv˘a. Teorem˘ a. O funct¸ie f : A Ñ B este inversabil˘
:B ÑA
˘ 5. GEOMETRIE ANALITICA 1. Formula distant ¸ei dintre dou˘ a puncte AB
b
2
2
“ px ´ x q ` py ´ y q B
A
B
A
2. Coordonatele mijlocului unui segment M este mijlocul segmentului AB
r s ÝÑ
M
´
xA
`x
B
yA
,
2
`y
B
2
¯
Generalizare. (Coordonatele punctului care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat)
MA AB , MB
P p q
M
“ k ą 0 ÝÑ
M
ˆ
` kx 1`k
xA
B
,
` ky 1`k
yA
B
˙
Consecint ¸˘ a. (Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi)
G este centrul de greutate al ABC
ÝÑ
´
G
xA
`x `x B
C
3
,
yA
`y `y B
3
3. Panta dreptei determinat˘ a de dou˘ a puncte date A xA ; yA , B xB ; yB
p
q p
q P d ÝÑ
“ m “ xy ´´ yx
md
B
A
B
A
AB
4. Forme ale ecuat¸iei dreptei
‚ Ecuat¸ia dreptei care trece prin dou˘a puncte date: A px ; y q , B px , y q y´y x´x d : “ y ´y x ´x ‚ Ecuat¸ia dreptei care trece printr-un punct dat P px , y q ¸si are panta dat˘a m d : y ´ y “ m px ´ x q ‚ Ecuat¸ia normal˘a a dreptei d : y “ mx ` n pm este panta dreptei d q ‚ Ecuat¸ia cartezian˘a general˘a a dreptei a d : ax ` by ` c “ 0 pm “ ´ este panta dreptei d q b ‚ Ecuat¸ia dreptei cu determinant ˇ ˇ A
A
B
A
A
B
0
0
d
ˇˇˇ : ˇ
A
x y 1 xA y A 1
A
0
0
ˇˇˇ ˇ“0
B
B
C
¯
Observat ¸ie. Fie dreptele d1 : a 1 x
Avem una din situat¸iile:
` b y ` c “ 0 ¸si d 1
1
: a 2 x
2
` b y ` c “ 0. 2
2
“ d ðñ aa “ bb “ cc
d1
1
1
1
2
2
2
2
ðñ aa “ bb ‰ cc
d1 d 2
1
1
1
2
2
2
ðñ aa ‰ bb
d1 , d2 sunt concurente
1
1
2
2
5. Condit ¸ia de paralelism a dou˘ a drepte d1 d 2
ðñ
“ m
m1
2
6. Condit ¸ia de perpendicularitate a dou˘ a drepte
K d ðñ
d1
2
¨ “ ´1
m1 m2
7. Condit ¸ia de coliniaritate a trei puncte
p
q p
q p
ˇˇˇ q sunt coliniare ðñ ˇˇ ˇ
A xA , yA , B xB , yB , C xC , yC
xA yA 1 x B yB 1 xC yC 1
8. Distant ¸a de la un punct la o dreapt˘ a P x0 , y0 ; d : ax
p
q
` by ` c “ 0 ÝÑ dpP, dq “ |ax? `a by` b` c| 0
0
2
2
9. Aria triunghiului folosind coordonatele vˆ arfurilor
ˇˇˇ s “ 21 ¨ || unde “ ˇˇ ˇ
Aria ABC
r
xA yA 1 x B yB 1 xC yC 1
ˇˇˇ ˇˇˇ
ˇˇˇ ˇˇˇ “ 0
6. APLICAT ¸ II ALE TRIGONOMETRIEI 1. Teorema sinusurilor a
sin A
“
b
sin B
“
c
“ 2R pR este raza cercului circumscrisq
sin C
2. Teorema cosinusului b2 ` c2 ´ a2 cos A “ 2bc
a2 “ b2 ` c2 ´ 2bc cos A b2 “ c2 ` a2 ´ 2ca cos B
ðñ cos B “
c2 “ a2 ` b2 ´ 2ab cos C
c2 ` a2 ´ b2 2ca
a2 ` b2 ´ c2 cos C “ 2ab
3. Lungimea medianei 2 ¨ pb2 ` c2 q ´ a2 ma “ 4 2
pma este mediana corespunz˘atoare laturii a q
a triunghiul este dreptunghic, atunci mediana corespunz˘ atoare ipotenuzei este Caz particular. Dac˘ egal˘a cu jum˘atate din ipotenuz˘ a ¸si, reciproc, dac˘a o median˘a a unui triunghi este egal˘ a cu jum˘atate din latura pe care cade, atunci triunghiul este dreptunghic.
4. Exprimarea unghiurilor triunghiului ˆ ın funct ¸ie de laturi
sin
A
2
“
c
p p ´ bqp p ´ cq bc
;
cos
A
2
“
c
pp p ´ aq ; bc
tg
A
2
“
d
p p ´ bqp p ´ cq pp p ´ aq
5. Formule pentru aria triunghiului S “
a ¨ ha
“
b ¨ hb
“
c ¨ hc
2 2 2 b ¨ c ¨ sin A c ¨ a ¨ sin B a ¨ b ¨ sin C S “ “ “ 2 2 2 a`b`c S “ pp p ´ aqp p ´ bqp p ´ cq, unde p “ 2
a
S “ p ¨ r ùñ r “ abc
S p abc
pr este raza cercului ˆınscrisq
(Formula lui Heron)
Formule trigonometrie
0
6
o
cosx
1
tgx
0
ctgx
-
4 o
0
0
3 o
o
45
60
1
2
3
2
2
3
2
2 3
1
3
tg (
2
o
360
1
0
-1
0
0
-1
0
1
-
0
-
0
0
-
0
-
3
x tgx; ctg k x ctgx
o
270
3
tg k
o
180
3
1
3
o
2
2
2
2
90
2 1
sin(
2
30
sin(2k
3
x
sin( x)
x) sin x; cos(2k x ) cos x
x )
cos x, cos(
x ) c tgx ,
2
x ) sin
x
Funcţiile trigonometrice ale unei sume şi ale unei diferen ţ e de unghiuri sin x y sin x cos y cos x sin y
x ) tgx 2 2 sin( x ) sin x, sin funcţie impar ă. cos( x ) cos x, cos- funcţie par ă. tg ( x ) tgx, tg funcţie impar ă ctg ( x ) ctgx, ctg funcţie impar ă ormula fundamental ă a trigonometriei: 2
ctg(
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y cos( x y ) cos x cos y sin x sin y cos( x y ) cos x cos y sin x sin y tg ( x y )
2
sin x cos x 1, () x Reducerea la primul cadran: din cadranul II :
sin t sin( t ),
cos t cos( t ),
tgx tgy
1 tgxtgy
cos 2 x cos 2 x sin 2 x;
sin 2 x
2tg sin t
sin(2 t) sin t,
cos(2 t ) cost ,
1 cos(2 x)
2 1 cos(2 x) 2
;
;
Substituţiile universale :
din cadranul IV
1 tgxtgy
cos 2 x
cos t cos t,
tgx tgy
sin 2 x 2sin x cos x;
din cadranul III
sin( t ) sin t,
; tg ( x y )
1 tg
t
2 ; 2 t 2
t 2tg 2 ; tgt 2 cos t t t 1 tg 2 1 tg 2 2 2
1 tg 2
t
Transformarea sumelor în produs şi a produselor în sume: sin x sin y 2 sin
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2 x y 2
x y
cos
; sin x sin y 2 sin
2 x y
x y
2
cos
x y
2 x y x y ; cos x cos y 2sin sin 2 2 2
sin x sin y cos x cos y sin x cos y
cos x y cos x y 2 cos x y cos x y sin x
2 y sin x y 2
˘ 6. FUNCT ¸ IA EXPONENT ¸ IALA ˘ FUNCT ¸ IA LOGARITMICA I. TEORIE 1. Funct ¸ia exponent ¸ial˘ a Pentru a
x
ą 0, a ‰ 1, definim f : R Ñ p0, `8q, f pxq “ a , numit˘a funct ¸ie exponent ¸ial˘ a de baz˘ a
a supraunitar˘ a, respectiv de baz˘ a a . Figurile de mai jos, redau graficul funct¸iei exponent¸iale de baz˘ subunitar˘ a.
Propriet˘ at¸i ale funct¸iei exponent¸iale
‚ Monotonia funct¸iei exponent¸iale: a P p1, 8q ùñ f s Õ adic˘ a @x , x P R cu x ă x , avem a ă a a P p0, 1q ùñ f s Œ adic˘ a @x , x P R cu x ă x , avem a ą a ‚ Funct¸ia exponent¸ial˘a este injectiv˘a. Prin urmare, dac˘a x , x P R ¸si a “ a , atunci x “ x . ‚ Funct¸ia exponent¸ial˘a este surjectiv˘a. Fiind ¸si injectiv˘a, rezult˘a c˘a funct¸ia exponent¸ial˘a este bijectiv˘a. ‚ Funct¸ia exponent¸ial˘a este inversabil˘a; inversa ei este funct¸ia logaritmic˘a. 1
1
2
2
1
x1
2
1
x1
2
1
2
x2
x1
x2
x2
1
2
2. Funct ¸ia logaritmic˘ a Pentru a
ą 0, a ‰ 1, definim f : p0, `8q Ñ R, f pxq “ log x, numit˘a funct ¸ie logaritmic˘ a de baz˘ a a
a . Figurile de mai jos redau graficul funct ¸iei exponent¸iale de baz˘ a supraunitar˘ a, respectiv de baz˘ a subunitar˘ a.
Propriet˘ at¸i ale funct¸iei logaritmice
‚ Monotonia funct¸iei logaritmice: a P p1, 8q ùñ f s Õ adic˘ a @x , x P R cu x ă x , avem log x ă log x a P p0, 1q ùñ f s Œ adic˘ a @x , x P R cu x ă x , avem log x ą log x ‚ Funct¸ia logaritmic˘a este injectiv˘a. Prin urmare, dac˘a x , x P R ¸si log x “ log x , atunci x “ x . ‚ Funct¸ia logaritmic˘a este surjectiv˘a. Fiind ¸si injectiv˘a, rezult˘a c˘a funct¸ia logaritmic˘a este bijectiv˘a. ‚ Funct¸ia logaritmic˘a este inversabil˘a; inversa ei este funct¸ia exponent¸ial˘a. 1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
a
1
a
2
a
1
2
a
a
a
2
2
3. Propriet˘ at¸ile logaritmilor c
“ c ðñ b “ a pa, b ą 0, a ‰ 1, c P Rq log 1 “ 0 log a “ 1 pa ą 0, a ‰ 1q log px ¨ y q “ log x ` log y px, y ą 0, a ą 0, a ‰ 1q log px ¨ x ¨ . . . ¨ x q “ log x ` log x ` . . . ` log x px , x , . . . , x ą 0, a ą 0, a ‰ 1q log x “ r ¨ log x pr P R, x ą 0, a ą 0, a ‰ 1q x log “ log x ´ log y px, y ą 0, a ą 0, a ‰ 1q y ? x “ 1 ¨ log x pn P N, n ě 2, x ą 0, a ą 0, a ‰ 1q log loga b a
a
a
a
1
a
a
2
n
a
1
a
2
a
n
1
2
n
r
a
a
a
a
a
n
a
loga x
a
n
x “ log px ą 0, a , b ą 0, a,b ‰ 1q log a b
b
alog
b c
logb a
“c
Caz particular: aln c
pa,b,c ą 0, b ‰ 1q
“c
ln a
II. APLICAT ¸ II
´ ? 7˘ ` log `5 ` ? 7˘ ´ log 2. ? 2. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul log 16 ` log 9 ` 27 este natural. ? 3. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul 100 ` ´27 este ˆıntreg. ? 3 ` log ? 2 este rat¸ional. 4. S˘ a se arate c˘ a num˘ arul log 5. S˘ a se calculeze log 2009 ´ log 287 ´ 1. ? 6. S˘ a se calculeze 10 ´ 343. 7. S˘ a se ordoneze cresc˘ ator numerele a “ lg 2 ´ lg 20, b “ C ´ C 1 2 3 ` lg 99 8. S˘ a se calculeze lg ` lg ` lg ` `
1. S˘ a se calculeze log3 5
3
3
3
4
3
lg 2
3
3
9
7
lg 7
4
7
3
2 3
2 4
¸si c
a “ ´ 4? 4. 3
1
2
˘ 7. COMBINATORICA 1. Permut˘ ari Definit¸ie. Fie A o mult¸ime cu n elemente, n P
˚
N
. Numim permutare a mult ¸imii A un n´uplu
ordonat format cu toate elementele lui A. Not˘am cu P n num˘arul permut˘ arilor mult¸imii A. arile sunt: p1, 2, 3q , p1, 3, 2q , p2, 1, 3q , p2, 3, 1q , Exemplu. Pentru mult¸imea A “ t1, 2, 3u permut˘ p3, 1, 2q , p3, 2, 1q . arul permut˘ arilor de n obiecte este: P n “ 1 ¨ 2 ¨ . . . ¨ n “ n ! Prin convent¸ie, 0! “ 1 . Teorem˘ a. Num˘ ate numere de 4 cifre distincte se pot forma cu cifrele mult¸imii A “ t1, 2, 3, 4u? Aplicat¸ie. Cˆ and num˘ arul permut˘ arilor celor 4 elemente ale mult¸imii A, obt¸inem P 4 “ 4! “ 24, Rezolvare. Calculˆ deci exist˘a 24 numere care verific˘ a cerint¸ele problemei.
2. Aranjamente Definit¸ie. Fie A o mult¸ime cu n elemente, n P
¸si fie k P N, k ď n. Numim aranjament de n elemente luate cˆ ate k un k ´uplu ordonat format din k elemente din A. Not˘ a m cu Akn num˘arul aranjamentelor de n elemente luate cˆ ate k. N
˚
ate 2 sunt: Exemplu. Fie mult¸imea A “ t1, 2, 3, 4u . Aranjamentele de 4 elemente luate cˆ p1, 2q, p2, 3q,
p2, 1q, p1, 3q, p3, 1q, p1, 4q, p4, 1q, p3, 2q, p2, 4q, p4, 2q, p3, 4q, p4, 3q.
arul aranjamentelor de n obiecte luate cˆ ate k este: Akn “ Teorem˘ a. Num˘
n! pn ´ k q!
ate numere de 4 cifre distincte se pot forma cu cifre din A “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u? Aplicat¸ie. Cˆ am num˘arul aranjamentelor de 6 obiecte luate cˆ ate 4. Rezolvare. Calcul˘ Astfel, A46 “
6! “ 6 ¨ 5 ¨ 4 ¨ 3 “ 360 , deci exist˘a 360 de numere. p6 ´ 4q!
3. Combin˘ ari Definit¸ie. Fie A o mult¸ime cu n elemente, n P
¸si fie k P N, k ď n. Numim combinare a din k elemente din A. Not˘a m cu C nk num˘arul de n elemente luate cˆ ate k orice submult¸ime format˘ combin˘ arilor de n elemente luate cˆ ate k. N
˚
arile de 5 elemente luate cˆate 3 sunt submult¸imile: Exemplu. Fie mult¸imea A “ t1, 2, 3, 4, 5u . Combin˘
arul combin˘ arilor de n obiecte luate cˆ ate k este: C nk “ Teorem˘ a. Num˘
n! . pn ´ k q! ¨ k !
arbat¸i ¸si 10 femei, trebuie s˘ a ˆı¸si aleag˘ a un comitet reprezentativ Aplicat¸ie. Un grup, format din 8 b˘ format din 2 b˘ arbat¸i ¸si 3 femei. ˆIn cˆate moduri poate fi ales comitetul? 3 arbat¸ii pot fi ale¸si ˆın C 82 “ 28 moduri, iar femeile pot fi alese ˆın C 10 “ 120 moduri. Prin Rezolvare. B˘ 3 “ 28 ¨ 120 “ 3360 moduri de alegere a comitetului reprezentativ. urmare, exist˘a C 82 ¨ C 10 Propriet˘ at¸i ale combin˘ arilor:
‚ C nk “ C nn´k , unde n P
˚
N
, k P
`1 ‚ C nk ` C nk`1 “ C nk` 1 , unde n P
N, N˚ ,
arilor complementare) k ď n. (formula combin˘ k P
N,
k ď n ´ 1. (formula de recurent¸a˘)
4. Binomul lui Newton Teorem˘ a. Pentru fiecare n P
ÿ
N˚ , are
loc formula:
n
n
pa ` bq “
C nk an´k bk “ C n0 an ` C n1 an´1 b ` C n2 an´2 b2 ` . . . ` C nn´1 abn´1 ` C nn bn ,
k “0
numit˘ a formula binomului lui Newton. ‚ Numerele C n0 , C n1 , C n2 , . . . Cnn ´1 , C nn sunt numite coeficient ¸i binomiali ai dezvolt˘ arii. ‚ Dezvoltarea cont¸ine n ` 1 termeni. ‚ Termenul general al dezvolt˘ arii este: T k`1 “ C nk an´k bk , unde k P t0, 1, 2, . . . nu . ‚ Suma tuturor coeficient¸ilor binomiali este dat˘a de formula: C n0 ` C n1 ` . . . ` C nn “ 2 n . ‚ Suma coeficient¸ilor binomiali ai termenilor de rang impar ¸si suma coeficient ¸ilor termenilor de rang par sunt egale. ˆIn plus: C n0 ` C n2 ` C n4 ` . . . “ C n1 ` C n3 ` C n5 ` . . . “ 2 n´1 .
5. Alte probleme de num˘ arare ‚ Dac˘a un obiect A poate fi ales ˆın n moduri ¸si un obiect B poate fi ales ˆın p moduri, atunci perechea ordonat˘ a pA, B q poate fi aleas˘ a ˆın n ¨ p moduri. ˆIn general, dac˘ a obiectul A1 poate fi ales ˆın n1 moduri, obiectul A2 poate fi ales ˆın n2 moduri ¸si a¸sa mai departe, obiectul Ak poate fi ales ˆın nk moduri, atunci k ´uplul ordonat pA1 , A2 , . . . , Ak q poate fi ales ˆın n1 ¨ n2 ¨ . . . ¨ nk moduri. (Regula produsului.) ‚ Num˘arul submult¸imilor unei mult¸imi cu n elemente este egal cu 2n . ‚ Dac˘a A ¸si B sunt mult¸imi finite cu cardpAq “ a P funct¸iilor f : A Ñ B este egal cu ba. ‚ Dac˘a A ¸si B sunt mult¸imi finite cu cardpAq “ a P
N
˚
¸si cardpB q “ b P
N˚ , cardpB q
“ b P
N˚
˚
N
arul , atunci num˘
¸si b ě a, atunci num˘ arul
Tabelul integralelor nedefinite pt. funcţii compuse
Tabelul integralelor nedefinite
1d x
xC x
x d x n
x e
a 1
a 1
C ; a 1
x
x
a
dx
x d x ln 1
a
2
2
1
C
f f
dx
1 2a 1
ln
x a
2
1
cos
2
x
dx
a r c tg
x
f
C
x a
x a a a sin x d x c o s x C c o s x d x s in x C 2
f
C
x a
1 x a 2
2
1 a
2
x2
d x ln
x
d x arcsin
f '
a
2
s in
x a x a 2
x a
a 1
a 1
C ; a 1
f
a
C
ln a
2
dx
1 2a 1 a
2
f
2
f
f a
ln
C
f a
a r c tg
f
C
a
f C
C
d x tg f C d x c tg f C
tg f f ' d x ln c o s f C c tg f f ' d x ln s in f C 2
d x ln x
f
dx
a2
2
f '
2
2
f '
cos
s in x d x c tg x C tg x d x ln c o s x C c tg x d x ln s in x C 2
n 1
C; n 1
' d x ln f C
f '
1
n 1
s in f f ' d x c o s c o s f f ' d x s in f
d x tg x C
1
f ' dx
f
1
x C
f
f ' d x e f C
f
a
f 'd x
x
ln a
1
x
C;n 1
dx e C
x
a
x
f e
a
f 'd x
n 1
n 1
dx
a
f
n
2
2
C
C
C
f ' f
2
a2
f ' f
2
a2
f ' a f 2
1) f ' ( x)dx f ( x) C 2) ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
2
d x ln f
f
2
a2 C
d x ln f
f
2
a2 C
d x arcsin
f
C
a
3) ( f ( x))dx f ( x)dx
4) f ' ( x ) g ( x)dx f ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)dx METODA INTEGR ĂRII PRIN PĂR ŢI 5) Dacă
g ( x)dx G( x) C şi
Aria subgraficului unei funcţii
f - o funcţie derivabilă atunci g ( f ( x)) f ' ( x)dx G ( f ( x)) C
A( f )
b
a
f ( x) dx
Volumul unui corp de rotaţie
V (C f )
b
a
f 2 ( x )dx
TABLOUL DE DERIVARE AL FUNCŢIILOR ELEMENTARE
TABLOUL DE DERIVARE AL FUNCŢIILOR COMPUSE
c' 0
( f n )' nf
x ' 1 n 1
( x )' nx n
r 1
( x )' rx r
( x )' (ln x )'
( f r )' rf
;n 0
f )'
(
; r 0
1
(ln f )'
2 x 1
n 1 r 1
f ' ; n 0 f ' ; r 0
f '
2
f
f ' f
( e f )' e f f '
x
( a f )' a f f ' ln a
( e x )' e x
(sin f )' cos f f '
x x ( a )' a ln a
(sin x )' cos x
(cos f )' sin f f '
(cos x )' sin x
( tg
x )'
( tg ( ctg
1
(arcsin (arccos ( arctg
cos x 1
( arcctg
x )'
f
f '
1 sin
2
f
f '
1 1 f
2
f '
2
(arccos f )'
1 x
2
1
x )'
cos
2
(arcsin f )'
1 x 1
( arctg
1 x
1
f )'
( ctg
sin 2 x 1
x )'
x )'
1 tg x 2
2
x )'
f )'
f )'
2
1 1 x
( arcctg
2
1 1 f
2
f '
f '
1 f 2
f )'
f '
1 f 2
1) (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x) 2) (α•f(x))’=α•f’(x) 3) (f(x)•g(x))’=f’(x)•g(x)+f(x)•g’(x) '
f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) 4) g x g 2 ( x) ( )
6)
f
1
'
(b) f
5) f 1 '
(a)
g '( x) f '( g ( x )) g '( x )
, unde f(a)=b
