TESTAREA NA IONAL 2006 Matematic – Program Defini ii i formule Aritmetic
i Algebr
Mul imi Mul imi: rela ii (apartenen , egalitate, incluziune); submul ime; opera ii cu mul imi (reuniunea, intersec ia, diferen a, produsul cartezian). Mul imi finite, mul imi infinite. A ∪ B = B ∪ A = { x | x∈ A sau x ∈ B } A ∩ B = B ∩ A = { x | x∈ A i x ∈ B } A – B = { x | x∈ A i x ∉ B } B – A = { x | x∈ B i x ∉ A } A∆B=B∆A=(A–B)∪(B–A) (A∪B)–(A∩B) =A∆B
A
Reuniunea Intersec ia Diferen a Diferen a Diferen a simetric
B
card ( A ) = nr. de elemente din A card ( Φ ) = 0 card ( A ∪ B ) ≤ card ( A ) + card ( B )
Cardinal
A x B = { ( x ; y ) | x∈ A i y ∈ B ) card ( A x B ) = card ( A ) x card ( B )
Produs cartezian
Dac : A = {1;2} B = {4,5,6} Atunci : A x B = {(1;4),(1;5),(1;6),(2;4),(2;5),(2;6)} card(A x B) = 2.3 = 6
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
1
Dac : A = [1; +∞) B = [2 ; 3] Atunci : A x B = {(x;y) | x∈ [1; +∞) i y ∈ [2 ; 3]} card(A x B) = ∞⋅∞ = ∞ n ⋅ (n + 1) Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2
Mul imi de numere :
Naturale: Întregi : Ra ionale : Reale : Ira ionale : Rela ie : N = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n , ... Z = ... –n , ... -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ..., n , ...
y
3 2
1
x
Sn = Suma nr. naturale N Z Q R R-Q N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
p q
Q = { | p, q ∈ Z, q ≠ 0 } Scrierea numerelor naturale în baza zece, exemplu : n = 4.100 + 7.101 + 0.102 + 2.103 = 2074 Propozi ii adev rate i propozi ii false : (A) , (F). Împ irea cu rest a numerelor naturale. D = I . C + R Divizibilitatea în N: defini ie, divizor, multiplu; Propriet i ale rela iei de divizibilitate; Criteriile de divizibilitate cu : 2, 5, 3, 9, 10 ; Numere prime au ca divizori doar pe 1 i pe el însu i : 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , … Numere compuse = 2.3 , 17. 23 , 29.32 .57 , ... Numere pare : 0 , 2 , 4 , 6 , ... , 2.k , ..... k≥0 . Numere impare : 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 2 k+1... k≥0 Numere prime între ele : Numere cu c.m.m.d.c. = 1 Descompunerea unui num r natural în produs de puteri de numere prime : 24 = 23 . 3 ; 162 = 2. 34 ; 2500 = 22 . 54 ; .... Cel mai mare divizor comun : Factori comuni la puterea cea mai mic . Cel mai mic multiplu comun : Factori comuni i necomuni la puterea cea mai mare. MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
2
Divizibilitatea în Z: defini ie, divizor, multiplu. Frac ie; frac ii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezent ri echivalente ale frac iilor; Frac ii ireductibile : Frac ie care nu se mai poate simplifica. Scrierea unui num r ra ional sub form zecimal sau frac ionar . Reprezentarea pe ax a numerelor reale. Compararea i ordonarea numerelor reale. Valoarea absolut (modul) : |x|=
x 0 –x
dac x>0 dac x=0 dac x< 0
Calcule cu modulul unei expresii: 1. | ax + b | < c ⇔ – c < ax + b < c ⇔ – b – c < ax < – b + c 2. |ax + b | > c ⇔ ax + b > c sau ax + b < – c (reuniune de intervale) Opusul unui num r este num rul cu semn schimbat : 25 cu – 25. 1 1 Num rul invers al num rului n este : 25 cu 25 n Parte întreag , parte frac ionar : [x] ∈ Z,
{x} > 0 ∀ x ∈ R
[x] = x – {x} Exemple : [2,64] = 2 = 2,64 – 0,64 > 0 [– 2,64] = – 3 = (–2,64) – (1–0,64) < 0 {2,64} = 0,64 >0 {– 2,64} = ( 1 – 0,64) = 0,36 >0 Rotunjirea i aproximarea unui num r real : 2,1542 ≈ 2,154 3,5729 ≈ 3,573 π ≈ 3,1415926 ≈ 3,14 2 ≈ 1,41 3 ≈ 1,73 MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
3
Intervale în R: defini ie, reprezentare pe ax . Mul imea R are puterea continuului : oric rui num r real îi corespunde un punct pe dreapta x`x i oric rui punct de pe dreapta x`x îi corespunde un num r real . Opera ii cu numere reale: adunarea, sc derea, înmul irea, ridicarea la putere cu exponent num r întreg: am . an = am+n am : an = am-n (am)p = amp 1 a-n = 1 : an = a0 : an = a0-n = n a (am . bn)p = amp . bnp cina p trat a unui num r natural p trat perfect: x2 =| x |
Extragerea r cinii p trate dintr-un num r ra ional pozitiv; algoritmul de extragere a r cinii p trate; scrierea unui num r real pozitiv ca radical din tratul s u. Ordinea efectu rii opera iilor i folosirea parantezelor. Factorul comun:
2 4 33 + 2 4 3 2 = 2 4 3 2 (3 + 1) = 2 2 31 4 = 12 4 = 24
Reguli de calcul cu radicali : a b = ab ,
a = b
a b
cu b≠0
Introducerea factorilor sub radical: a b = a 2 b Scoaterea factorilor de sub radical: a 4 b 3 c 51 = a 2 bc 25 bc Radicali suprapu i – formula de calcul: a± b =
a+c a −c ± 2 2
cu c = a 2 − b
Ra ionalizarea numitorului de forma (a b ) ; (a ± b ) cu a ∈ Z *, b ∈ N . Media aritmetic i media aritmetic ponderat : ma =
x+y+z 3
mp =
p1 x + p 2 y + p 3 z p1 + p 2 + p 3
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
unde p1 , p2 , p3 = ponderi
4
Media geometric a dou numere reale pozitive se mai nume te i medie propor ional : m g = ab
mg a = mg b
⇔
Rapoarte i propor ii Raport : Câtul neefectuat al dou numere : Propor ie : Egalitatea a dou rapoarte :
a b
a c = b d
Proprietatea fundamental a propor iilor : ad = bc Propor ii derivate:
Cu aceea i termeni Cu termeni schimba i
Aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor ie: ir de rapoarte egale :
x y z x+y+z =k = = = b c d b+c+d x = bk y = ck z = dk
rimi direct propor ionale:
rimi invers propor ionale:
x c = b d
=> x =
bc d
x y z = = b c d x y z = = 1 1 1 b c d
Regula de trei simpl : m............................................a n.............................................x _________________________ Dac : m,a i n,x sunt m rimi direct propor ionale =>
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
m a na = ⇒ x= n x m
5
m
a
n
x
mn
Dac : m,a i n,x sunt m rimi invers propor ionale => 1 = 1 ⇒ x = a
Procente: Afla i 12% dintr-un num r real : 140 : 140................................100% x..................................12% __________________________ x=
140 ⋅12% 1680 % = = 16,8 100% 100%
Aflarea unui num r ra ional y, când cunoa tem c 15% din el este 12: y..................................100% 12....................................15% _________________________ 12 ⋅100 % 1200 y= = = 80 15 % 15 Aflarea raportului procentual. Dac num rul n=150, cât la sut reprezint num rul m=60 din num rul n ? 150…………………….100% 60……………………..x% ________________________ 60 ⋅100 % 6000 % = = 40% 150 150 Rezolvarea problemelor în care intervin procente. x% =
Calculul probabilit ii de realizare a unui eveniment utilizând raportul: num rul cazurilor favorabile = m / num rul cazurilor posibile = n. 0
m <1 n
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
6
Calcul algebric Calculul cu numere reprezentate prin litere: adunarea, sc derea, înmul irea, împ irea, ridicarea la putere cu exponent num r întreg. Formule de calcul prescurtat: ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2 ( a + b )( a – b ) = a2 – b2 ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelor de calcul prescurtat; gruparea termenilor : Suma i diferen a de cuburi : a3 + b3 = ( a + b )(a2 ab + b2) a3 b3 = ( a b )(a2 + ab + b2) Binomul la puterea a treia :
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ( a b )3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere: x2 + 5x + 6 (x + 2) ⋅ (x + 3) E(x) = = x3 + 8 (x + 2) ⋅ (x2 − 2x + 4) (x + 3) E(x) = 2 (x − 2x + 4)
(C. ∃) (x + 2) ⋅ (x2 − 2x + 4) ≠ 0 ⇒ x ≠ -2 ⇒
Rezolvarea ecua iei : x2 + 5x + 6 = 0 a=1; b=5; c=6; 2 ∆ = b – 4ac ∆ = 52 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 x 1, 2 =
− b ± ∆ − 5 ± 1 − 5 ±1 = = 2a 2 2
⇒
x1 = −2 x 2 = −3
ax2 + bx + c ≡ a.(x – x1).(x – x2)
x2 + 5x + 6 ≡ 1.[x – (–2)].[x – (–3)] = (x+2)(x+3) Simplificare. Opera ii cu rapoarte (adunare, sc dere, înmul ire, împ ridicare la putere cu exponent num r întreg).
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
ire,
7
1 2 1 2 ( x + 3) + 2 x+5 + 2 = + = = ( x − 3) x − 9 ( x − 3) ( x − 3)(x + 3) ( x − 3)(x + 3) ( x − 3)(x + 3)
Diferen e de puteri : x2 – 1 = ( x – 1 )( x + 1 ) x3 – 1 = ( x – 1 )( x2 + x + 1 ) x4 – 1 = ( x – 1 )( x3 + x2 + x + 1 ) ………………………………….. xn – 1 = ( x – 1 )( xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1 ) Deci suma
S = xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1
se poate calcula
=>
x n −1 S= x −1
Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + bx = 0 (c = 0) 2x2 + 6x = 0 => 2x.(x + 3) = 0 => x1 = 0 x2 = – 3 –x2 + 4x = 0
=> –x.(x – 4) = 0 => x1 = 0
x2 = 4
Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + c = 0 (b = 0) 3x2 + 5 = 0 => Suma a dou numere pozitive este pozitiv oricare ar fi x real, deci ecua ia 3x2 + 5 = 0 nu are r cini reale –x2 + 5 = 0 =>
–x2 = –5 =>
x2 = 5
x 1, 2 = ± 5
–x2 + 5 = − ( x + 5 )( x − 5 ) Sau : 4x2 – 25 = 0
=>
(2x+5)(2x–5) = 0 =>
x1 =
−5 2
x2 =
–x2 + 4 = 4 – x2 = ( 2 – x)( 2 + x) 1 1 1 3 3 2 ⋅ x 2 − = ( 2x − )( 2 x + ) = ( 2x − )( 2 x + ) 3 3 3 3 3 MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
5 2
8
Func ii Sistem de axe ortogonale: xx` ⊥ yy` i xx` ∩ yy` = {O}, O(0 ; 0) Reprezentarea punctelor în plan: A(1 ; 2) A∈ Cadran I B(–3 ; 5) B∈ Cadran II C(–7 ; –2) C∈ Cadran III D(8 ; –9) D∈ Cadran IV Rezolvarea unor probleme de geometrie plan pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale. No iunea de func ie; func ii de tipul f : A → R , f (x ) = ax + b, unde a, b ∈ R i A mul ime finit sau A = R ; Reprezentarea grafic a acestor func ii. Aflarea mul imii valorilor unei func ii de tipul f : A → R , f ( x) = ax + b, Exemplu 1: f(x) = 2x 6 f(x) : R → R Gf ∩ xx` y=0 2x – 6 = 0 => A(3 ; 0) Gf ∩ yy` x=0 y = –6 => B(0 ; –6) Trasez dreapta (d) prin cele dou puncte A, B unde (d) = Gf ( graficul func iei f(x) ) Exemplu 2: a, b ∈ R i A mul ime finit . f(x) = –3x + 9 f(x) : [–1 ; 2] → R f(-1) = –3(–1) + 9 = 3 + 9 = 12 f(2) = –3(2) + 9 = –6 + 9 = 3 Gf ∩ xx` y=0 –3x + 9 = 0 Exemplu 3: g(x) = | x 2 | x 2 g(x) = 0 (x 2)
g(x) : R → R dac x dac x dac x
=> => =>
A(–1 ; 12) B(2 ; 3) x = 3 ∉ [–1 ; 2]
2 > 0 x∈(2 ; +∞) 2=0 x=2 2 < 0 x∈ ∞ ; 2)
Se reprezint grafic g(x) pe intervalele specificate mai sus.
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
9
Determinarea unei func ii de tipul f : R → R, f (x ) = ax + b , unde a, b ∈ R , al rei grafic con ine dou puncte: Fie A(1 ; 2) i B(2 ; -3). Se cere f(x) = ax + b al c rei grafic trece prin punctele men ionate: f(1) = 2 = a.(1) + b f(2) = –3 = a.(2) + b Se rezolv sistemul de ecua ii a+b= 2 2a + b = 3 => a = 5 b = 7 => f(x) = 5x + 7 Exerci ii de investigare a coliniarit ii unor puncte cunoscând coordonatele acestora. Intersec iile graficului unei func ii liniare cu axele de coordonate. Intersec ia graficelor a dou func ii liniare: Fie f(x) = 3x 9 g(x) = x 5 Se cere punctul de intersec ie al celor dou grafice Gf ∩ Gg => Se rezolv sistemul de ecua ii : y = 3x 9 y= x 5 3x – 9 = –x – 5 4x = 4 x = 1, y = –6, deci M(1 ; –6) = Gf ∩ Gg Drepte perpendiculare : Gf ⊥ Gg cu f(x) = ax + b g(x) = cx + d ⇔ ⇔
c=−
1 a
Exemplu : fie f(x) = 4x + 5 Atunci orice func ie g ( x ) =
−1 x+d 4
cu d orice num r real, are graficul, o dreapt perpendicular pe graficul func iei f(x). Drepte paralele în planul xOy: Gf || Gg ⇔ dac coeficien ii lui x sunt egali. Exemplu : f(x) = 3x+8 g(x) = 3x+11 Gf || Gg h(x) = 4x+7 k(x) = 4x 1 Gh || Gk
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
10
Ecua ii i inecua ii Rezolvarea în R a ecua iilor de forma ax + b = 0, a ∈ R *, b ∈ R . Ecua ii echivalente. Rezolvarea în R a ecua iilor de forma ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 . Dac a≠0 b≠0 c≠0 se rezolv forma complet a ecua iei de gradul II : Calculez ∆ = b2 4ac −b± ∆ Dac ∆ ≥ 0 atunci calculez r cinile x1 i x2 astfel : x 1, 2 = 2a i trinomul (ax2 + bx + c) se mai poate scrie astfel : ax2 + bx + c = a.(x x1)(x x2) , form factorizat . Rezolvarea în R x R a sistemelor de ecua ii de forma: a1 x + b1 y = c1 , a1 , a 2 , b1, b2 , c1 , c2 ∈ R . Condi ie a1b2 a 2 x + b2 y = c2
a2b1 ≠ 0
-metoda reducerii, metoda substitu iei i metoda grafic de rezolvare. Rezolvarea în R a inecua iilor de forma ax + b ≤ 0 (<, ≥, >) , a ∈ R *, b ∈ R . x>a ⇔ x∈( a ; +∞) x≥a ⇔ x∈[ a ; +∞) x
b ≤ a⋅b ≤
a+b ≤a 2
Inecua ii simultane ax + b ≤ 0 (<, ≥, >) 4.x – 2 > 0 x ∈ ( 2 ; +∞) . 2x + 6 > 0 x ∈ ( ∞ ; 3) ⇒ x∈(2 ; +∞) ∩ ( ∞ ; 3) = (2 ; 3) ; Probleme cu caracter aplicativ care se rezolv cu ecua ii, inecua ii i al sistemelor de ecua ii. Aplica ii în geometrie plan i în spa iu. Utilizarea metodei algebric pentru rezolvarea unei probleme : Vol Lucrare q= debit( viteza de curgere); n = norma ( viteza de lucru); t t s v = ( viteza de deplasare) unde t = timp. t
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
11
GEOMETRIE surare i m suri (lungime, unghi, arie, volum): - transform ri (inclusiv 1dm3 = 1 litru). 1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreapt , unghiul - Pozi ii relative, clasificare; - Paralelism i perpendicularitate în plan i în spa iu; - Axioma paralelelor : Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singur paralel la acea dreapt . - Unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau suplementare. - Unghiul a dou drepte în spa iu se ob ine ducând o paralel la una din drepte printr-un punct situat pe cealalt dreapt . - Dreptele perpendiculare au m sura unghiului dintre ele de 90°. - Dreapta perpendicular pe un plan : O dreapt este perpendicular pe un plan dac este perpendicular pe dou drepte concurente din plan. - O dreapt este || cu un plan dac este || cu o dreapt con inut în plan. - Distan a de la un punct la un plan : Este lungimea segmentului de dreapt , coborât din acel punct perpendicular pe plan. - Plane paralele; distan a dintre dou plane paralele; - Teorema celor trei perpendiculare T3P : Fie o dreapt d i planul α a.î. d⊥α, d∩α=A, d1⊂α, d2 ⊂α, A∈d1, d1∩d2=B, d1⊥d2, Atunci oricare ar fi M∈d, segmentul MB⊥d2. - Distan a de la un punct la o dreapt este lungimea segmentului de dreapt , coborât din acel punct perpendicular pe dreapta dat . - Proiec ia ortogonal a unui punct, segment sau a unei drepte pe un plan; - Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul dintre dreapt i proiec ia ei în acel plan. - Lungimea proiec iei unui segment : Lp = L.cosϕ, unde L = lungimea segmentului i ϕ este unghiul dintre segmentul de dreapt i plan. - Unghi diedru: Este unghiul dintre dou plane. Este determinat de dou drepte, situate fiecare în câte un plan i perpendiculare în acela i punct M, pe dreapta de intersec ie dintre cele dou plane.
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
12
- Unghiul plan corespunz tor unui unghi diedru; m sura unghiului a dou plane este m sura unghiului ascu it format de cele dou plane. - Plane perpendiculare : α⊥β ⇔ m sura unghiului diedru este 90°. - Simetria fa de o dreapt în plan, simetria fa de un punct în plan; 2. Triunghiul ab sin C - Perimetrul i aria : P∆ABC = a + b + c ; A = ; A = r .p ; 2 abc Baza ⋅ h P A= ; A= r = raza cercului înscris ; unde p = 4R 2 2 R = raza cercului circumscris ∆ ABC, a = BC, b = CA, c = AB. A = p(p − a )(p − b)(p − c) formula lui Heron - Suma m surilor unghiurilor unui triunghi este de 180°. - Unghi exterior unui triunghi are ca m sur suma unghiurilor neadiacente lui. - Linii importante în triunghi i concuren a lor: In imea este perpendiculara coborât dintr-un vârf al ∆ ABC pe latura opus . In imile sunt concurente în punctul H, numit ortocentru. Bisectoarea unui unghi al ∆ ABC este segmentul de dreapt ce împarte unghiul în dou p i congruente. Bisectoarele sunt concurente în punctul I, centrul cercului înscris în ∆ ABC. Mediana este segmentul de dreapt ce une te un vârf al ∆ ABC cu mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente în G, numit centrul de greutate al ∆ ABC. Punctul G este situat la o treime de baz i dou treimi de vârf, distan e m surate pe fiecare median . Mediatoarea este perpendiculara ridicat pe mijlocul unei laturi al ∆ ABC. Mediatoarele sunt concurente în punctul O, centrul cecului circumscris ∆ ABC. - Linia mijlocie în triunghi une te mijloacele a dou laturi i este paralelel cu a treia latur . Are lungimea egal cu jum tate din latura a treia a ∆ ABC. - Triunghiul isoscel i triunghiul echilateral – propriet i; - Criteriile de congruen a triunghiurilor : LUL, ULU, LLL. - Triunghiul dreptunghic – Teorema în imii: Lungimea în imii AD este medie geometric (propor ional ), între lungimile segmentelor determinate de ea pe ipotenuz : h2 = BD.DC
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
13
Teorema catetei : Lungimea unei catete AB, este medie geometric (propor ional ) între lungimile iptenuzei i proiec ia ei pe ipotenuz : AB2 = BD.BC Teorema lui Pitagora i reciproca ei : BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BC2 AC2 - Trigonometrie : sinx, cosx, tgx, ctgx; Triunghiul dr. ABC. Fie ∆ ABC cu m(∠A) = α = 90° atunci m(∠B)+ m(∠C)= 90° m(∠B)=β i m(∠C)= δ ⇒ sin β =
b a
cosβ =
sin2β + cos2β = 1 1 tgβ = ctgβ sin(90° β) = cosβ
c a
tgβ =
b c
c b
ctgβ =
(β + δ) = 90°
A α
c
b
β B
tg(90° β) = ctgβ
δ a
cos(90° β) = sinβ
α
0°
30°
45°
60°
sinα
0
1 2
cosα
1
2 2 2 2
3 2 1 2
tgα
0
1
3
+∞
ctgα
+∞
1
3 3
0
3 2 3 3 3
sin β = 1 − cos 2 β
Formule de calcul :
C
tgα =
sinβ cosβ
90° 1 0
cosβ = 1 − sin 2 β ctgβ =
1 cos β = tgβ sin β
Teorema sinusurilor : (∆ ABC scalen) a b c = = = 2R sin A sin B sin C
unde R = raza cerc circumscris
Teorema cosinusurilor : (∆ ABC scalen) a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cosA
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
14
Teorema bisectoarei : Fie ∆ ABC scalen i AD bisectoarea ∠A, Atunci exist egalitatea :
DB DC = BA CA
- Teorema lui Thales i reciproca ei : O paralel la o latur a unui ∆ ABC determin pe celelalte dou laturi segmente propor ionale. A
AM AN = Atunci MN || BC Reciproca: Dac : MB NC
M
N C
B
- Teorema fundamental a asem rii : Dac dou triunghiuri ABC i MNP sunt asemenea atunci triunghiurile au laturile propor ionale i unghiurile corespunz toare congruente : AB BC CA = = MN NP PM
- Triunghiuri asemenea – criteriile de asem nare a triunghiurilor : dou triunghiuri sunt asemenea dac : • au câte dou unghiuri congruente (I) • câte un unghi congruent i laturile ce formeaz acest unghi sunt propor ionale (II) • au toate laturile propor ionale (III) 3. Patrulaterul convex - Paralelogramul : P = 2. (AB + CD) A ABCD =
A = AB.h
AC ⋅ BD ⋅ sin α , 2
unde α este m sura unghiului
dintre diagonalele paralelogramului AC i BD i h este în imea. Paralelogramul – propriet i referitoare la laturi, unghiuri, diagonale: AB || CD, BC || DA, AB = CD, AD = BC, m(∠D)+m(∠A)=180°, A B Deoarece: sinα = sin(180° α) = sinβ α
O h
β=180°-α
D
C
W
AO ⋅ DO ⋅ sin α A∆AOD = 2
⇒
A∆AOD = A∆AOB = A∆BOC = A∆COD
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
15
A ABCD =
AC ⋅ BD ⋅ sin α , Diagonalele se înjum 2
esc, m(∠D)=m(∠B)
m(∠A)=m(∠C) - Dreptunghiul : P = 2. (AB + CD), A=AB.BC. - Rombul : P = 2. (AB + CD), A = tratul : P = 4.L,
-
A = L2,
AC ⋅ BD , 2
AC ⊥ BD (diagonale).
AC ⊥ BD (diagonale).
- Trapezul : P = AB + BC + CD + DA, A = L M ⋅ h , L M = B
A R M
B+b 2
LM = MN = linie mijlocie
O P
D
T N Q
B − b CD − AB = 2 2 2Bb 2 ⋅ CD ⋅ AB RT = = B + b CD + AB PQ =
C
Lungimea segmentului RT este medie armonic între B i b. Trapeze particulare: Isoscel: AC = BD , m(∠A)=m(∠B), m(∠C)=m(∠D) Dreptunghic : m(∠A)=m(∠C) = 90° - Suma m surilor unghiurilor unui patrulater convex = 360° C
4. Cercul
R
- Centru O, raz R, diametru AB=CD, LC = 2.π.R AC = π.R2
A
O
G ϕ
B
D
- Unghiul la centru : ϕ = m(GB) unde ϕ=m(∠GOB) i GB = arc π ⋅ R ⋅ no - LGB = 180 o
reprezint lungimea arcului de no.
π ⋅ R 2 ⋅ no - Sector de cerc = Suprafa a GOB => AGOB = 360 o
- Coarde i arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente i reciproc); - Proprietatea diametrului perpendicular pe o coard : Împarte coarda în dou p i congruente. MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
16
- Propr. arcelor cuprinse între dou coarde paralele: sunt congruente. - Proprietatea coardelor egal dep rtate de centru: sunt congruente. sura unghiului înscris în cerc este egal cu m sura arcului cuprins între raze ( vezi mai sus unghiul ϕ ) - Pozi iile relative ale unei drepte fa de un cerc : - Exterioar cercului : nu intersecteaz cercul. - Tangent cecului : intersecteaz cercul într-un singur punct în care raza i tangenta la cerc sunt ⊥. - Secant cercului : intersecteaz cercul în dou puncte . - Cercul înscris într-un triunghi are centrul la intersec ia bisectoarelor unghiurilor triunghiului, notat I i raza r egal cu : r=
A ∆ABC p
unde A ∆ABC = Aria ∆, p =
a+b+c = semiperimetrul 2
- Cercul circumscris unui triunghi are centrul la intersec ia mediatoarelor, notat O, i raza R egal cu : R=
a ⋅b⋅c 4 ⋅ A∆
unde A ∆ = Aria ∆,
a, b, c = Laturile ∆ABC
Lungimea cercului = LC = 2.π.R - Aria discului = AC = π.R2 ( Aria cercului ) - Calculul elementelor în poligoane regulate: triunghi echilateral, p trat, hexagon regulat (Latur , Apotem , Perimetru, Arie, tiind raza: R). L
a
∆ ABC
R⋅ 3
R 2
Patrat
R⋅ 2
Hexagon
R
R⋅ 2 2 R⋅ 3 2
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
P
A
3⋅ R ⋅ 3
3⋅ R 2 ⋅ 3 4
4⋅R ⋅ 2
2⋅R2
6. R
3⋅ R 2 ⋅ 3 2
17
5. Corpuri geometrice Poliedre: • Prisma dreapt cu baza triunghi echilateral, dreptunghi, p trat sau hexagon regulat; • Cubul; • Piramida regulat (baza triunghi echilateral, p trat sau hexagon regulat). • Trunchiul de piramid regulat (baza triunghi echilateral, p trat sau hexagon reg.). Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume. -
reprezentarea lor prin desen; elementele lor (vârfuri, muchii, fe e laterale, baze, diagonale, în imi); desf ur ri; sec iuni paralele cu baza; aria lateral , aria total , volumul.
Prisma
AL = Pbazei . h AT = AL + 2Abazei V = Abazei . h d =
Cubul
L2 + l 2 + h 2
AL = 4.a.a = 4.a2 AT = 6.a2 V = a3 d =
Piramida regulat
( lungimea diagonalei paralelipipedului dr.) ( latura cubului se noteaz
a )
3 ⋅ a 2 = a ⋅ 3 ( lungimea diagonalei cubului )
AL =
Pbazei ⋅ a p 2
unde a p = apotema piramidei
AT = AL + Abazei h V = ⋅ A bazei 3
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
18
Trunchiul de piramid regulat
AL =
(PB + Pb ) ⋅ a tr. 2
AT = AL + AB + Ab h tr. ⋅ (A B + A b + A B ⋅ A b ) V = 3 (aB – ab)2 + htr.2 = atr.2 Corpuri rotunde: • Cilindrul circular drept, • Conul circular drept, • Trunchiul de con circular drept Raport de asem nare liniar k, k2 pt. arii, k3 pt. volume • Sfera. -
reprezentarea lor prin desen; elementele lor (raze, generatoare, baze, în desf ur ri; sec iuni paralele cu baza; sec iuni axiale; aria lateral , aria total , volumul.
imi);
Cilindrul circular drept
AL = 2.π.R.G AT = 2.π.R.G + 2π.R2 = 2.π.R(G+R) V = Abazei . h = π.R2.h
Conul circular drept
AL = π.R.G AT = π.R.G + π.R2 = π.R(G+R)
h 2 V = ⋅π ⋅ R 3 L arc =
π ⋅ G ⋅ no = 2 ⋅π ⋅ R 180o
A sect =
π ⋅ G2 ⋅ no =π ⋅R ⋅G 360o
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
sinα =
R no = G 360o
19
Trunchiul de con circular drept
AL = π.(R+r).G AT = π.(R+r).G + π.(R2+r2)
h ⋅π ⋅ ( R 2 + r 2 + R ⋅ r ) V = 3 (R – r)2 + h2 = G2
Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume.
N
Sfera
AS = 4.π.R2 4 ⋅π ⋅ R 3 VS = 3
O
V
E
P
OP = OV = OE = ON = OS = R S
P = punct curent de pe sfer .
OK ! Succes la Examen ! 01.05.2006 [email protected]
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006
20