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Control de la orientación de un artefacto espacial
PhD MSc Ing Iván Ramírez
Control de la orientación de un artefacto espacial
=
Para controlar este artefacto se dispone de una tobera que puede girar alrededor de su base sobre un pivote especial. El ángulo de orientación de la tobera respecto al eje principal del cuerpo de la astronave es . La tasa de variación del ángulo de la tobera es directamente proporcional a u . Se supone que la fuerza F de reacción, debida a la expulsión de los gases de la combustión del motor del artefacto, está aplicada sobre el punto de apoyo de la tobera. Como consecuencia de la fuerza F el artefacto gira alrededor de su centro de gravedad en uno u otro sentido.
El problema de control consiste en mantener el ángulo en un valor fijo usando como control la velocidad de variación u del ángulo de la tobera 2
Control de la orientación de un artefacto espacial
==
x3 = ±k también califica como punto de equilibrio, pero no es físicamente factible “introducir la tobera dentro de la nave"
Puntos de operación
Variables de desviación
3
Control de la orientación de un artefacto espacial La linealización del sistema alrededor de su punto de equilibrio constante está dada por las ecuaciones:
las cuales se reescriben en términos matriciales en la forma:
= 1 0 0 El sistema linealizado es independiente del punto de equilibrio. También es fácil ver que el sistema es completamente controlable
4
Un ejemplo de linealización analítica del problema anterior se puede calcular usando el Symbolic Math Toolbox de Matlab de la siguiente forma: syms R F J x1 x2 xdot3 x3 u system = [x2;F*L/J*cos(x3);R*u] states = [x1 x2 x3] inputs = [u] outputs=[x1] A = jacobian(system,states) B = jacobian(system,inputs) C = jacobian(outputs,states) D = jacobian(outputs,inputs)
5
El sistema posee una forma particular llamada forma canónica de controlabilidad: la matriz A induce una representativa forma en cascada (la derivada de se ve afectada por , la derivada de se ve afectada por ); finalmente el control afecta únicamente a la última variable de estado .
Proponemos una ley de control del tipo lineal especificada mediante la expresión
= − − −
Esta ley de control conlleva en consecuencia la siguiente expresión para el sistema controlado en lazo cerrado
El polinomio característico del sistema lineal en lazo cerrado está dado 6 por
−1 0 − − = 0 − + = + + + Puesto que nuestro interés fundamental está en inducir una dinámica controlada de naturaleza asintóticamente estable a cero, en función del vector de estado, los valores de las ganancias k 1 , k 2 , k 3 deben especificarse de tal manera que los autovalores del sistema autónomo anterior tenga parte real negativa. Im
+c
-b
-a
Re
-c
7
Con el objeto de obtener las ganancias Ki del controlador, calculamos el polinomio característico y lo igualamos a un polinomio deseado. Supongamos que deseamos contar con una localización de polos como la que se muestra en la figura, es decir deseamos que el polinomio característico p d en lazo cerrado este dado por
= + + − + + = ( +)( +2+ + ) = (+)( +2 + Donde a,b y c son conocidos y se escogen de tal manera que la respuesta temporal, por ejemplo, tenga características deseables. Igualando los coeficientes de las mismas potencias de los polinomios, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones para los parámetros de diseño
2 CERCA DEL PUNTO DE OPERACION 1.5 LEJOS DEL PUNTO DE OPERACION 1
0.5
10
Diseño del Observador
El sistema linealizado es observable pues la matriz de observabilidad tiene rango completo:
= 1 0 0
Esto significa que podemos construir un observador para el sistema linealizado cuyo error de reconstrucción es asintóticamente estable a cero.
= −11 − 22 − 33
El error de observación satisface entonces:
Proponemos entonces el observador siguiente
11
La estabilidad del sistema dinámico anterior dependerá de la ubicación en el plano complejo de sus autovalores (que corresponden también a las raíces del polinomio característico) de la matriz del sistema A - LC. En este caso, el polinomio característico está dado por:
2 3 (−(−))= + 1 + 2 + 3
La ganancia L garantiza un observador cuyo error de reconstrucción es asintóticamente estable. Los valores de las componentes del vector L se obtienen a partir de una igualación del polinomio característico con un polinomio cuyas raíces sabemos están ubicadas en el semiplano izquierdo. Podemos escoger tales raíces como las del polinomio siguiente:
Con estos valores el vector de estado estimado convergerá al valor del estado verdadero de una manera asintótica. El estado estimado se utilizará entonces para alimentar la ley lineal de control realimentado que dedujimos en el ejemplo anterior. 12
POLOS DEL OBSERVADOR Pole-Zero Map 15
10
) -1
5 s
POLOS DEL CONTROLADOR
d n o c is
(s
e
0 x A ry a in Im
a
g
-5
-10
-15 -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
Real Axis (seconds -1)
13
-1.5
-1
-0.5
0
Control de la orientación de un artefacto espacial mediante un observador de Luenberger Posición angular
