Escuela Superior Politecnica del Litoral Algebra Lineal Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #2
SUBESPACIOS VECTORIALES Definición.- Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es un espacio vectorial bajo las operaciones de cerradura de la suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio vectorial de V.
•
Si no se satisface una de la dos cerraduras, entonces H no es subespacio de V
REGLAS DE CERRADURA PARA DETERMINAR SI H ES UN SUBESPACIO DE V.
Enton tonce cess x ⊕ y ∈ H 1. − Si x ∈ H ∧ y ∈ H , En Enton tonces ces 2. − Si x ∈ H , En
α ⊗
x ∈ H para para todo escalar α
EJERCICIOS:
Sea V= P n . Determine si W = { p ( x ) ∈ V / p( 0) p ( x ) ∈ W ⇒ p ( 0) = p( 1) q( x ) ∈ W ⇒ q( 0) 1.-Cerradura de la suma
= p(1) }
= q(1) ∀ p( x ) , q( x ) ∈ W [ ( p + q) ( x) ∈ W ]
( p + q ) ( 0) = p( 0) + q( 0) ( p + q ) ( 0) = p(1) + q(1) ( p + q ) ( 0) = ( p + q) (1)
2.-Cerradura de la multiplicación por un escalar
∀α ∈ ℜ, ∀ p ∈ W [α p ( x ) ∈ W ]
( α p)() ( 0 ) = α [ p ( 0 ) ] ( α p ) ( 0 ) = α [ p (1) ] p( 0) = α p (1) α
∴Por tanto W si es un subespacio vectorial de V.
{
}
n m Sea V= ℜ n . Determine si H = x ∈ ℜ / Ax = 0 ; 0 ∈ ℜ ; Amxn es un subespacio
vectorial de V? x1 ∈ H ⇒ Ax1
=0 x 2 ∈ H ⇒ Ax 2 = 0 1.-Cerradura de la suma ∀ x1 , x 2
∈ H [ x1 + x2 ∈ H ] A( x1 + x 2 ) = 0 Ax1 + Ax 2 = 0 0 + 0 =0 0 =0 2.-Cerradura de la multiplicación por un escalar ∀α ∈ ℜ, ∀ x ∈ H [α x ∈ H ] A( α x ) = 0 α ( Ax ) = 0 α 0 = 0 0=0 ∴Por tanto H si es un subespacio vectorial de V.
Sea
V M 2 x =
Determine si
a b = A∈ M × / A= es subespacio vectorial de V. −b c
H
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∈ + ∈ A B H A B [ 1.-Cerradura de la suma ∀ a b A = ; A ∈ H b c −
,
d B = − f
f
; B ∈ H
e
a b d f + −b c − f e a + d b + f A + B = ∈ H −(b + f ) c + e A + B =
∈ ℜ ∀ ∈ ∈ A H A α α [ 2.-Cerradura de la multiplicación por un escalar ∀
,
A = α
a
α
−b α a α A = −α b
b
c b
α
∈ H
c
α
∴Por tanto H si es un subespacio vectorial de V.
Problemas: 1.- Sea el espacio vectorial V = M 3×3 . Sea el subconjunto de V:
Q
=
A ∈ M 3×3 / a ij
= a ji , ∀i
Determine si Q es un subespacio de M 3×3 2.- Sea V = M 2×2 y sea
H = A ∈ M 2×2 / a1 j
=
3a 2 j
Determine si H es un subespacio de V 3.- Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de V = M 3×2 W = A / aij = 0, i > j
U = { A / 3a11
= 2a 21 = −a31 = a 22 }
4.- Sea V= M 2×2 . Considere los conjuntos:
a c a T = c
H =
= 0; a, b, c, d ∈ R b − + − = / a 2 b c 3 d 1 d b / a − 2b + c d
¿Qué conjuntos son subespacios de V? 5.- Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas a.-Sea W= { } , entonces W no es un subespacio b.-W={f:R→R/f(x)=f(x+4)} es un subespacio del espacio V={f/f:R→R} c.- Si H es un subconjunto de un espacio vectorial V, tal que 0 ∈ H, entonces H es un subespacio vectorial de V
6.- Sea F el conjunto de todas las funciones reales que estan definidas en la totalidad de la recta real. Determine cual de las siguientes proposiciones es falsa: a.-El conjunto formado por todas las f tales que f(0)=0 es un subespacio de F b.- Todas las funciones constantes forman un subespacio de F c.- Todas las f tales que f(x)≤0, ∀ x, no forman un subespacio de F d.- El conjunto de todas las f, tales que f(0)=2, es un subespacio de F
7.- Sea P el espacio vectorial de las funciones de variable real, determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de P a.- El conjunto de las funciones periodicas b.- El conjunto de las funciones continuas en el punto X 0 c.- El conjunto de las funciones pares d.- H={f(x)=aCos(x)+bSen(x)+clog(x)/a,b,c ∈ R}
