Modul dari Universitas Gunadarma kelas 1.Full description
Ebook dari Universitas Gunadarma kelas 1.Deskripsi lengkap
Ebook dari Universitas Gunadarma kelas 1.Full description
Full description
Full description
Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya: a.Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok …Full description
modul SD tentang pecahanFull description
Full description
Full description
MATEMATIKA EKONOMI Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi
Turunan Pertama • Turunan pertama dari suatu fungsi dapat
digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun. • Contoh: f(x) = 3x2+ 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f’(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0, f(x) merupakan fungsi yang menurun
Turunan Pertama • Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a,
bila f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. • Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. • Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif. • Titik minimum lokal = titik minimum relatif.
Turunan Pertama • Setiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-
titik maksimum atau minimum dengan cara: A.Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f’(x) = 0. B.Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f’(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f’(x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f’(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a,maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).
Contoh Soal • Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi
y =2x3 + 3x2 – 36x + 4. y’ = 6x2 + 6x – 36 = 0 :6 y’ = x2 + x –6 = 0 (x + 3)(x –2) = 0 x1= -3 dan x2= 2 Untuk setiap x < -3 nilai y’ > 0 (+) dan untuk setiap-3 2 nilai y’ > 0 (+) sehingga fungsi tersebut minimum pada nilai x = 2.
Turunan Kedua • Turunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari
turunan pertama suatu fungsi. • Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah. • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya positif, maka y’ = f’(x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2 ) > 0 • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya negatif, maka y’ = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.
Turunan Kedua • Turunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk
melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum • Bila f(x) dan f’(x) kontinu pada x = a dan f’(a) = 0, maka: -Titik x = a maksimum bila f”(a) < 0 -Titik x = a minimum bila f”(a) > 0 -Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) = 0
Contoh Soal • Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari
y= 1/3x3 – 2x2 – 5x +2 y’ = x2 – 4x – 5 = 0 (x –5)(x + 1) = 0 x1 = 5 dan x2 = -1 Untuk x = -1 y” < 0 maksimum pada x = -1 Untuk x = 5 y” > 0 minimum pada x = 5
Keuntungan Produsen • Keuntungan merupakan selisih antara seluruh
penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: π= TR –TC • Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabila dπ/dQ= 0 dan d2π/dQ2 < 0 atau MR = MC dan dMR/dQ < dMC/dQ • Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.
Contoh Soal • Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR 100Q –4Q2 dan biaya totalnya
ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum. π = TR –TC = 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 80Q – 4Q2 – 50 π akan maksimum bila: dπ/dQ = 0 80 –8Q = 0 Q = 10 d2π/dQ2< 0 -8 < 0 syarat terpenuhi Atau MR = MC MR = turunan TR = 100 -8Q MC = turunan TC = 20 100 –8Q = 20 Q = 10 dMR/dQ < dMC/dQ -8 < 0 syarat terpenuhi
Contoh Soal • Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q 2 – 25Q +
500 + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang unitnya adalah P = 100? AC = 1/3 Q2 –25Q + 500 + 600/Q TC = AC . Q = 1/3 Q3 –25Q2+ 500Q + 600 MC = turunan dari TC = Q2 –50Q + 500 MR = P = 100 Keuntungan maksimum didapat apabila: MR = MC 100 = Q2 – 50Q + 500 Q2 –50Q + 400 = 0 (Q –10)(Q –40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = 10 dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 40 dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 10 dMR/dQ > dMC/dQ tidak memenuhi syarat TR = 40 x 100 = 4000 TC = 1/3 (40)3 –25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3 π = TR –TC = 2066 2/3