ESPA4122 Matematika Ekonomi Modul 9 Ppt

MATEMATIKA EKONOMI Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

Turunan Pertama • Turunan pertama dari suatu fungsi dapat

digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun. • Contoh: f(x) = 3x2+ 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f’(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0, f(x) merupakan fungsi yang menurun

Turunan Pertama • Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a,

bila f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. • Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a. • Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif. • Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan Pertama • Setiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-

titik maksimum atau minimum dengan cara: A.Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f’(x) = 0. B.Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f’(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f’(x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f’(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a,maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh Soal • Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi

y =2x3 + 3x2 – 36x + 4.  y’ = 6x2 + 6x – 36 = 0 :6 y’ = x2 + x –6 = 0 (x + 3)(x –2) = 0 x1= -3 dan x2= 2 Untuk setiap x < -3 nilai y’ > 0 (+) dan untuk setiap-3 2 nilai y’ > 0 (+) sehingga fungsi tersebut minimum pada nilai x = 2.

Turunan Kedua • Turunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari

turunan pertama suatu fungsi. • Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah. • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya positif, maka y’ = f’(x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2 ) > 0 • Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya negatif, maka y’ = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.

Turunan Kedua • Turunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk

melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum • Bila f(x) dan f’(x) kontinu pada x = a dan f’(a) = 0, maka: -Titik x = a maksimum bila f”(a) < 0 -Titik x = a minimum bila f”(a) > 0 -Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) = 0

Contoh Soal • Tentukan titik maksimum dan minimum lokal dari

y= 1/3x3 – 2x2 – 5x +2  y’ = x2 – 4x – 5 = 0 (x –5)(x + 1) = 0 x1 = 5 dan x2 = -1 Untuk x = -1  y” < 0  maksimum pada x = -1 Untuk x = 5  y” > 0  minimum pada x = 5

Keuntungan Produsen • Keuntungan merupakan selisih antara seluruh

penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: π= TR –TC • Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabila dπ/dQ= 0 dan d2π/dQ2 < 0 atau MR = MC dan dMR/dQ < dMC/dQ • Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

Contoh Soal • Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR 100Q –4Q2 dan biaya totalnya

ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum.  π = TR –TC = 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 80Q – 4Q2 – 50 π akan maksimum bila:  dπ/dQ = 0  80 –8Q = 0  Q = 10  d2π/dQ2< 0  -8 < 0 syarat terpenuhi Atau  MR = MC MR = turunan TR = 100 -8Q MC = turunan TC = 20 100 –8Q = 20  Q = 10  dMR/dQ < dMC/dQ -8 < 0  syarat terpenuhi

Contoh Soal • Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q 2 – 25Q +

500 + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang unitnya adalah P = 100?  AC = 1/3 Q2 –25Q + 500 + 600/Q TC = AC . Q = 1/3 Q3 –25Q2+ 500Q + 600 MC = turunan dari TC = Q2 –50Q + 500 MR = P = 100 Keuntungan maksimum didapat apabila:  MR = MC 100 = Q2 – 50Q + 500 Q2 –50Q + 400 = 0 (Q –10)(Q –40) = 0 Q1 = 40 dan Q2 = 10  dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 40  dMR/dQ < dMC/dQ untuk Q = 10  dMR/dQ > dMC/dQ  tidak memenuhi syarat TR = 40 x 100 = 4000 TC = 1/3 (40)3 –25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3 π = TR –TC = 2066 2/3

per