PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA I Komang Adi Aswantara Fall 2013 UT Korea
Materi • Pangkat • Kaidah pemangkatan bilangan • Kaidah perkalian bilangan berpangkat • Kaidah pembagian bilangan berpangkat • Akar • Kaidah pengakaran bilangan • Kaidah penjumlahan bilangan terakar • Kaidah perkalian bilangan terakar • Kaidah pembagian bilangan terakar • Logaritma
- Basis Logaritma - Kaidah-kaidah Logaritma - Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Pangkat • Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang
menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. • Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.
Kaidah Pemangkatan Bilangan a
1. x 0 1
( x 0)
2. x1 x 3. 0 0 x
4. x
a
a b
1 a x
5. x b X a
x xa 6. a y y 7. x a b x ab
8. x
ab
x
c
dimana c a
b
Kaidah perkalian bilangan berpangkat
x a x b x a b contoh: 32 34 32 4 36 729 x a y a xy
a
contoh: 32 52 (3 5) 2 152 225
Kaidah pembagian bilangan berpangkat x a : x b x a b contoh: 3 : 3 3 2
x x y y a
4
24
1 3 9 2
a
a
2
9 3 contoh: 3 : 5 25 5 2
2
Akar • Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan
bilangan berpangkat. • Akar dari sebuah bilangan ialah basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a). • Bentuk umum : a
m x jika x m
m = radikan
a
Kaidah pengakaran bilangan 1.
b
xx
1 b a b
2.
b
x x
3.
b
xy x y
a
b
b
4.
b
x x y b y
Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar • Bilangan-bilangan terakar hanya dapat
ditambahkan atau dikurangkan apabila akarakarnya sejenis.
m x n x (m n) x b
a
b
a
b
a
Kaidah perkalian bilangan terakar Hasil kali bilangan - bilangan terakar adalah akar dari hasil kali bilangan - bilangannya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar - akarnya berpangkat sama. b
x b y b xy
Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat - baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar - akar sebelumnya. b
c
x a bc x a
Kaidah pembagian bilangan terakar • Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah
akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. b b
x x b y y
Logaritma Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.
Bentuk pangkat
Bentuk akar
xa m
a
mx
Bentuk Logaritma x
log m a
Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk
Basis Logaritma • Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.
• Biasanya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan • • •
•
satu. Basis logaritma yang paling lazim dipakai adalah 10 (common logarithm)/(logaritma briggs) logm berarti 10 log m, log 24 berarti 10 log 24 Logaritma berbasis bilangan e (2,72) disebut bilangan logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier ln m berarti elogm
Kaidah-kaidah Logaritma 1. x log x 1
6. x log mn x log m x log n
2. log 1 0 3. x log x a a
m x x 7. log log m log n n 8. x log mm log x 1
4. x log m a a x log m
9. x log mm log nn log x 1
x
5. x log m m x
x
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma • Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang
belum diketahui (bilangan anu) dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik. • Persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh : log (3x + 298) = 3
Latihan • Dengan melogaritmakan kedua ruas, hitunglah x untuk
3x+1 = 27 • Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3
17
DERET I Komang Adi Aswantara Spring 2013 UT Korea
Materi • Deret Hitung
- Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku • Deret Ukur - Suku ke-n dari DU - Jumlah n suku Dan penerapannya dalam dunia ekonomi
18
Definisi • Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun
secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. • Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret. • Macam-macam deret : - Deret Hitung - Deret Ukur - Deret Harmoni 19
Deret Hitung Deret hitung : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5) 90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10) 20
Suku ke-n dari Deret Hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 S1, S2, S3, S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
21
Sn = a + (n - 1)b a = suku pertama / s1
b = pembeda n = indeks suku
22
Jumlah n Suku • Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan
suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya. n
J n S i S1 S 2 ........... S n i 1 4
J 4 S i S1 S 2 S 3 S 4 i 1 5
J 5 S i S1 S 2 S 3 S 4 S 5 i 1 6
J 6 S i S1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 i 1
Berdasarkan rumus suku ke-n Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 6a + 15b
23
24
Masing-masing Ji dapat ditulis
4 J 4 4a 6b 4a (4 1)b 2 5 n J 5 5a 10b 5a (5 1)b J n na (n 1)b 2 2 6 J 6 6a 15b 6a (6 1)b 2 n atau J n 2a (n 1)b 2 n a a (n 1)b 2 n (a S n ) 2
Sn
Deret Ukur Deret ukur : deret yang perubahan suku-
sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda. Contoh : 1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2) 2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
25
Suku ke-n dari Deret Ukur S1 5 a
2 1 S 2 10 ap ap S3 20 app ap 2 ap 31 n-1 S ap 3 4 1 n S 4 40 appp ap ap 4 51 S5 80 apppp ap ap S 6 160 appppp ap 5 ap 61 a suku pertama p pengganda n indeks suku 26
Jumlah n Suku n
J n Si S1 S 2 S3 S 4 ........... S n i 1
berdasarkan rumus S n ap n-1 maka : J n a ap ap 2 ap 3 ....... ap n 2 ap n 1
(1)
jika dikalikan dengan bilangan pengganda p, maka : pJ n ap ap ap ap ....... ap 2
3
4
n 1
selisih antara persamaan(1) dan persamaan(2) 27
ap
n
(2)
selisih antara persamaan(1) dan persamaan(2)
J n pJ n a ap
n
J n (1 p) a(1 p ) n
a(1 p ) a( p 1) Jn atau J n 1 p p 1 n
n
p 1
p 1
28
Model Perkembangan Usaha • Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam
kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.
• Pelajari Kasus 1 dan 2
29
30
Model Bunga Majemuk Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku
bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah: setelah 1 tahun : F1 P P.i P(1 i ) setelah 2 tahun : F2 P(1 i ) P(1 i )i P(1 i ) 2 setelah 3 tahun : F3 P(1 i ) 2 P(1 i ) 2 i P(1 i ) 3 setelah n tahun : Fn (.........) (..........) P(1 i ) n
• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
Fn P(1 i ) n
S n ap n-1
Bunga dibayar 1x setahun
31
Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m
kali, maka :
i mn Fn P(1 ) m m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.
32
• Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai
sekarang (present value) :
1 P F n (1 i )
1 atau P F mn (1 i / m)
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.
Model Pertumbuhan Penduduk Pt = P1 R t-1 Dimana R =1+r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)
33
TERIMAKASIH Selamat Belajar
34
