MATEMATIKA EKONOMI
Dalam suatu perekonomian, hubungan antara variable-variabel variable-variabel ekonomi yang ang satu satu den dengan lain lainn nya sang sanga at komp omplek. lek. Unt Untuk memu memuda dah hkan hubungan antar variable ini, maka cara yang terbaik adalah memilih seki sekian an ban banyak vari variab able le ekon ekonomi omi yang ang sesu sesuai ai deng dengan an perma permasa sala laha han n ekonom ekonomi, i, kemudia emudian n menghu menghubun bungk gkann annya ya sedemik sedemikian ian rupa rupa sehingg sehingga a ben bentuk tuk hubu hubung ngan an anta antarr vari variab abel el ekon ekonom omii menj menjad adii sede sederh rhan ana a dan dan relevan dengan keadaan ekonomi yang ada. Penyederhanakan hubungan antar variabel ini disebut model ekonomi. dapatt berb berben entu tuk k mode modell mat matemat ematik ika. a. Mode Modell Mode Mo dell ekon onom omii ini ini dapa ekonomi berbentuk model matematika ini terdiri dari sejumlah variabel, konstanta, koefisien, dan/atau parameter p arameter..
A. VARIABEL, ARIABEL, KONST ONSTANTA, ANTA, KOEFISIE OEFISIEN, N, DAN PARAMETER Variab ariabel el adala adalah h ses sesua uatu tu yang yang nilai nilainy nya a dapa dapatt beruba berubah-u h-uba bah h dala dalam m suatu suatu masalah tertentu. Variabel dilambangkan dengan huruf. Variabel dalam model ekono ekonomi mi terdiri terdiri dari dua jenis: a. variabel variabel endogen endogen b. variabel variabel eksog eksogen. en. Variabel endogen adalah suatu variabel yang nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model. Variabel eksogen adalah suatu variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.
Untu Untuk k memb membed edak akan ann nya penu penulis lisan an varia variabe bell endo endoge gen n tida tidak k dibe diberi ri simb simbol ol subscr subscript ipt 0, tetapi tetapi untuk variabel variabel eksogen eksogen diberi simbol simbol subscr subscript ipt 0.
A. VARIABEL, ARIABEL, KONST ONSTANTA, ANTA, KOEFISIE OEFISIEN, N, DAN PARAMETER Variab ariabel el adala adalah h ses sesua uatu tu yang yang nilai nilainy nya a dapa dapatt beruba berubah-u h-uba bah h dala dalam m suatu suatu masalah tertentu. Variabel dilambangkan dengan huruf. Variabel dalam model ekono ekonomi mi terdiri terdiri dari dua jenis: a. variabel variabel endogen endogen b. variabel variabel eksog eksogen. en. Variabel endogen adalah suatu variabel yang nilai penyelesaiannya diperoleh dari dalam model. Variabel eksogen adalah suatu variabel yang nilai-nilainya diperoleh dari luar model, atau sudah ditentukan berdasarkan data yang ada.
Untu Untuk k memb membed edak akan ann nya penu penulis lisan an varia variabe bell endo endoge gen n tida tidak k dibe diberi ri simb simbol ol subscr subscript ipt 0, tetapi tetapi untuk variabel variabel eksogen eksogen diberi simbol simbol subscr subscript ipt 0.
Konstanta adalah suatu bilangan nyata yang nilainya tidak berubah-ubah dalam suatu model tertentu. Koefisien adalah angka pengali konstan terhadap variabelnya. Parameter didefinisikan sebagai suatu nilai tertentu dalam suatu masalah terte tertent ntu u dan mungk mungkin in akan akan menjad menjadii nilai nilai yang yang lain lain pada pada suatu suatu masala masalah h lainnya. B. PERSAMAAN DAN DAN PERTID PERTIDAK AKSA SAMAAN Modeldel-m model del matema ematik tika serin ering g menc encakup akup satu pern perny yataan atau sekelompok sekelompok pernyataan pernyataan ( statement) yang meliputi berbagai simbol dari variabel-variabel variabel-variabel dan konstant konstanta-ko a-konstan nstanta. ta. Pernyataan-pernyataan dalam bentuk matematika dianggap sebagai lambang ( expresions). expresions). Jika suatu lambang mempunyai bagian-bagian yang dipisahkan tand ta nda a posi positif tif dan/ dan/at atau au negat negatif if,, mak maka bagi bagian an-b -bag agia ian n ini seca secara ra indi individ vidu u disebut suku ( terms). terms). Faktor-faktor sering disajikan dalam setiap suku. Suatu faktor adalah satu dari pengali-pengali yang dipisahkan dalam suatu hasil kali.
Pers Persam amaan aan adalah adalah suatu suatu perny pernyat ataan aan bahwa bahwa dua lamban lambang g adalah adalah sama, sama, sedang sedangk kan pertida pertidaks ksam amaan aan adalah adalah suatu suatu perny pernyat ataa aan n yang yang meny menyat atak akan an bahwa bahwa dua lamban lambang g adalah adalah tidak tidak sama. sama. Persam ersamaan aan disim disimbol bolka kan n deng dengan tanda ta nda = (sama (sama deng dengan), an), sedang sedangka kan n pertida pertidaks ksam amaa aan n disimb disimbolk olkan an deng dengan tanda < (lebih kecil dari) atau > (lebih besar dari). C.
SISTEM BILANGAN BILANGAN
NYATA
IRASIONAL
KHAYAL
RASIONAL
BULAT
PECAHAN
Bilangan
nyata adalah bilangan yang mengandung salah satu sifat yaitu positif atau negatif , dan tidak kedua-duanya. Bilangan khayal adalah bilangan yang berupa akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif, sehingga tidak jelas sifatnya, apakah positif ataukah negatif. (misal: (-4) = ±2).
rasional adalah hasil bagi antara Bilangan rasional antara dua, yang berupa bilangan bil angan bulat atau berupa pecahan dengan desimal terbatas, atau desimal berulang. (misal: 2; ½; 0,857142857142). ilangan irrasiona irrasionall adalah Bilangan adalah hasil hasil bagi bagi anta antara ra dua bilang bilangan, an, berupa berupa bilang bilangan an pecahan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang, termasuk bilangan p dan bilangan e=2,718281828459... (misal: 0,1492525393993999.....). Bilangan
bulat mencakup semua bilangan bulat positif, negatif dan nol.
Bilangan pecahan adalah bilangan yang terletak di antara bilangan di antara bilangan bulat baik bilangan positif maupun negatif (hanya desimal berakhir dan berulang).
Selain penggolongan di atas terdapat tiga jenis pembagian dalam bilangan bulat, yaitu : 1. Bilangan cacah 2. Bilangan asli 3. Bilangan prima OPERASI BILANGAN 1. Penjumlahan 2. Pengurangan 3. Perkalian 4. Pembagian 5. Pemangkatan 6. Pemfaktoran D. PANGKAT Kaidah pemangkatan 0
1. x = 1 ; bila ( x 0) 1 2. x = x 3. 0X = 0 4. x a = 1/ x a 5. x = b x a a/b
6. ( x/y )a = x a/ y a 7. ( x a)b = x ab KAIDAH PERKALIAN BILANGAN BERPANGKAT
x a × x b = x a+b x a × y a = ( xy )a KAIDAH PEMBAGIAN BILANGAN BERPANGKAT
x a ÷ x b = x a-b x a ÷ y a = ( x/y )a AKAR Kaidah Pengakaran Bilangan
1. 2. 3.
(1/b)
x = x
b
(a/b)
x = x
b
a
( x / y ) = b x / b y
b
Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Akar 1. 5 Kaidah Perkalian Bilangan Berakar b b b 1. x × y = ( xy )
2.
c x
b
a
=
bc
a
x
Kaidah Pembagian Bilangan Berakar b b b 1. x / y = ( x/y ) LOGARIT MA Logaritma
dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
x a = m Basis
a=
x
Log m; dimana
x adalah basis dan a adalah pangkat.
logaritma yang paling lazim digunakan karena pertimbangan praktis dalam perhitungan adalah bilangan 10.
Kaidah kaidah Logaritma 1. x Log x = 1 2. x Log 1 = 0 a 3. x Log x = a a 4. x Log m = a x Log m 5. x x Log m = m 6. x Log mn = x Log m + x Log n 7. x Log (m/n) = x log m x Log n m 8. x Log m × Log x = 1 9. 10Log x = x A. PEMFAKTORAN Suatu faktor adalah satu di antara pengali-pengali yang terpisah dalam suatu hasil kali. Proses pemfaktoran dimulai dengan cara mencari nilainilai bersama pada suatu pernyataan matematika kemudian menuliskannya kembali sebagai suatu hasil kali dari faktor-faktornya. Pemfaktoran ini adalah suatu teknik yang digunakan untuk menyederhanakan pernyataan-pernyataan matematika dan pemecahan masalah lainnya dalam operasi matematika.
Misal: 1. ab + ac = a( b + c ) 3 2 2 2. 2 y 3 xy + 4 y = y ( 2 y 3 xy + 4 ) 2 3. y = x 25 = ( x - 5 )( x + 5 ) 2 4. y = x 9 x + 20 = ( x - 4 )( x - 5 ) Latihan: 1. Sederhanakanlah pernyataan matematika berikut ini: ½ 4 -3 a. ( x ) ( x ) ( x ) x 3 ) × ( x 2 / 3 x ) b. ( 1/
FUNGSI Penerapan fungsi dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal di antara dua himpunan data. Jika himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel. A.
FUNGSI
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur yaitu: variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap fungsi. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor (data) tertentu, dilambangkan dengan huruf-huruf latin. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas ( independent variable) dan variabel terikat ( dependent variable).
Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta adalah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan (tidak terkait pada suatu variabel tertentu). y = b x + a y : variabel terikat x : variabel bebas b : koefisien variabel x a : konstanta ) Sedangkan notasi sebuah fungsi secara umum adalah: y = f ( x
B. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat). Misal: y = 3 + 2 x x
1
2
3
4
y
5
7
9
11
12
10
8
6
4
2
0 1
2
3
4
Jenis-jenis fungsi aljabar antara lain: 1. Fungsi linier
: y = a + bx
2. Fungsi kuadrat : y = ax 2 + bx + c 3. Fungsi kubik
: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Latihan
1. Jika diketahui f( x) = x 2 2x + 3 , tentukan: f ( -2); f ( 0); f (3 ); f ( 4); dan f (8 )
FUNGSI LINIER Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + b x ; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b 0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisit berikut: A x + By + C = 0
A. KEMIRINGAN DAN PENGGAL GARIS
Sesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y=a+bx. Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal (sumbu y ). Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m.
Jadi : K emiringan =
m = y / x
= ( y 2 y 1 ) / ( x 2 - x 1 ) Sebagai contoh y = 15 2x, kemiringannya adalah 2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y .
a. Kemiringan positip
b. Kemiringan negatip
c. Kemiringan nol
d. Kemiringan tak tentu
B. MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS
Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, antara lain: (1) metode dua titik; dan (2) metode satu titik dan satu kemiringan. Metode Dua Titik
Apabila diketahui dua titik A dan B dengan koordinat masing-masing ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ), maka rumus persamaan liniernya adalah:
(y - y 1) ( x-x 1)
=
( y 2 - y 1) ( x 2 - x 1)
misal diketahui titik A (2,3) dan titik adalah: ( y 3) ( x 2)
=
(5 3) (6 2)
B
(6 ,5), maka persamaan liniernya
( y 3 )
( x - 2)
=
2 4
4y 12 = 2x 4 4y = 2x + 8 y = 0,5x + 2 Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan
Dari sebuah titik A ( x 1 , y 1 ) dan suatu kemiringan (m) dapat dibentuk sebuah persamaan linier dengan rumus sebagai berikut:
y y1 = m( x x 1 ) diketahui titik A ( 2,3)
Misal liniernya adalah:
y y1 = m( x x 1 ) y 3 = 0,5 ( x 2) y 3 = 0,5x 1 y = 0,5x + 2
dan kemiringan m = 0,5 maka persamaan
C.
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus.
a. Berimpit
a. Berpotongan
a. Sejajar
a. Tegak Lurus
Berimpit, dua buah garis akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari (proporsional terhadap) persamaan garis yang lain. Sejajar, dua buah garis akan sejajar apabila kemiringan garis yang satu sama dengan kemiringan garis yang lain (m 1 = m2). Berpotongan, dua buah garis akan berpotongan apabila kemiringan garis yang satu tidak sama dengan kemiringan garis yang lain (m1 m2). Tegak lurus, dua garis akan saling tegak lurus apabila kemiringan garis yang satu merupakan kebalikan dari kemiringan garis yang lain dengan tanda yang berlawanan adalah:
(m1 = -( 1 / m 2 )) Atau nilai perkalian kemiringannya menghasilkan 1 (m1 x m2 = -1). Latihan:
1. Carilah kemiringan dan titik potong sumbu berikut ini: a. 3 x 2 y + 12 = 0 b. 2 x 5 y 10 = 0 c. 4 x 6 y = 10
y pada
persamaan garis
2. Untuk setiap pasangan titik-titik koordinat berikut carilah persamaan garis lurusnya: a. (3,5) dan (10,2) b. (-6,-4) dan (10,8) 3. Untuk setiap pasangan titik koordinat dan kemiringan (m) berikut ini tentukan persamaan garis lurusnya: a. (2,6), m = 0,4 b. (5,8), m = -1,6
SISTEM PERSAMAAN LINIER Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari dua persamaan linier. Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu: (1). Metode Substitusi, (2). Metode Eliminasi, dan (3). Metode Determinan. Metode Substitusi
Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2 x +3 y =21 dan x +4 y =23 ! Jawab: Salah satu persamaan dirubah dahulu menjadi y = ... atau x = .... Misal persamaan x +4 y =23 dirubah menjadi x =23-4 y . Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang satu.
x = 23-4 y ; 2 x + 3y = 21 2(23-4 y ) + 3 y = 21 46 8 y + 3 y = 21 46 5 y = 21 25 = 5 y y = 5 mendapatkan nilai x , substitusikan y =
Untuk 5 ke dalam salah satu persamaan. y = 5 2 x + 3 y = 21 2 x + 3(5) = 21 2 x + 15 = 21 2 x = 21 15 x = 6/2 x = 3 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,5)
Metode Eliminasi Misal: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 3 x -2 y =7 dan 2 x +4 y =10 ! Jawab: Misal variabel yang hendak dieliminasi adalah y 3 x - 2y = 7 (x 2) 6 x 4 y = 14 2 x + 4 y = 10 (x 1) 2 x + 4 y = 10 + 8 x + 0 = 24 x = 3 Untuk mendapatkan nilai y , substitusikan x = 3 ke dalam salah satu persamaan. x = 3 3(3) - 2 y = 7 -2 y = 7 9 2 y = 2 y = 1 Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1)
Metode Determinan a x + b y = c d x + e y = f
c b D x f e ce - f b Nilai x adalah ; x = = = D a b ae - db d e a
Nilai y adalah ; y =
D y D
c
d f a f - dc = a b = ae - db d e
Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3 x - 2 y = 7 dan 2 x + 4 y = 10 akan diselesaikan dengan cara determinan:
-2
7
Nilai x adalah ; x =
D D
x
=
10 3
2
4 -2 4
= 3
3
Nilai y adalah ; y =
7 2 10 D y = D 3 -2 2 4
=
( -2) 7.4 - 10. 48 = 3.4 - 2.( -2) 16
=
3.10 - 2.7 3.4 - 2.( -2)
=
16 16
= 1
Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan (3,1).
Latihan Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi: a. 2 x 3 y = 5 dan 3 x 2 y = -4 b. 4 x + 3 y = 16 dan x 2 y = 4 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode substitusi: a. x y = 2 dan 2 x + 3 y = 9 b. x y = -1 dan 3 x + 2 y = 12 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut dengan metode determinan:
5 dan 2 x + 3 y = 12 a. x + y = b. 2 x 3 y = 13 dan 4 x + y = 15
FUNGSI TAK LINIER
Polinom atau suku banyak dalam x atau f( x) adalah ungkapan yang n mengandung suku k.x , dimana k = konstanta dan n = bilangan bulat. Derajat polinom adalah nilai tertinggi dari n dalam f( x). Fungsi polinom mempunyai bentuk umum sebagai berikut;
y = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ................... + an x n Fungsi polinom berderajat dua atau fungsi kuadrat adalah fungsi tak linier yang grafiknya berbetuk parabola. Fungsi polinom berderajat tiga adalah fungsi tak linier yang variabel bebasnya berpangkat paling tinggi = 3. Demikian pula polinom berderajat empat, lima, enam dan seterusnya.
FUNGSI KUADRAT 2
: y=ax + b x + c a, b dan c adalah konstanta; y = variabel tak bebas; x = variabel bebas.
Bentuk umumnya adalah
1. Jika a > 0 ; maka parabola terbuka ke arah y positip (terbuka ke atas) Jika a < 0 ; maka parabola terbuka ke arah y negatip (terbuka ke bawah) 2. Titik potong dengan sumbu y x = 0 y = c ( 0,c), maka titik potongnya = c. Hanya ada satu titik potong. 3. Titik potong dengan sumbu x y = 0, maka diperoleh rumus a b c adalah sebagai berikut:
x 1,2 =
- b ± (b 2 4ac) 2a
ax 2 + bx + c = 0 , sehingga
Bentuk (
2
b 4ac ) disebut diskriminan, maka D = b 4ac. 2
Dari rumus di atas ada tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu sebagai berikut: 2
a. Jika D = b 4 a c > 0, terdapat 2 harga x atau ada dua titik potong dengan
- b + (b 2 4ac) - b - ( b 2 4ac) sumbu x , yaitu di ( , 0) dan ( , 0). 2a 2a b. Jika D = 0 terdapat x 1 = x 2 = -b/2a, satu titik potong yaitu di (-b/2a,0) artinya parabola menyinggung pada sumbu x . c. Jika D < 0 parabola tidak memotong sumbu x , sebab harga-harga x-nya adalah imajiner.
4. Mencari sumbu parabola adalah sebagai berikut;
x 1 + x 2 b substitusikan ke dalam persamaan x = = 2 2a 2 Parabola y=ax + b x + c diperoleh hasil sebagai berikut; y=a ( - b 2a
)
2
2 b +c 2a
= -
b 2 + c = -b 2 + 4ac 2a 4a
-( b 2-4ac) y= = - D , maka didapat titik ekstrim sbb: 4a 4a (-
b 2 2a
,-
D 4a
).
Jika a > 0 terdapat titik ekstrim bentuk minimum Jika a < 0 terdapat titik ekstrim bentuk maksimum.
sb y
sb y a<0 D>0
0
x 1
a<0 D=0
x 2
sb x
sb y
0
0
x 1 = x 2
x 1
x 2
sb x
0
sb x
0
Tidak ada harga x
sb y a>0 D=0
sb x
a<0 D>0
sb y a>0 D>0
0
sb y
x 1 = x 2
a>0 D<0
sb x
Tidak ada 0 harga x
sb x
Contoh 1.
2
Gambar grafik fungsi y = x 5 x + 6
Jawab:
Memotong sumbu y x = 0 , y = 6 A( 0,6) Memotong sumbu x y = 0 , 0 = x 2 5 x + 6
5 ± ( 25-24) X 1,2 = 2 x 1 = 2 B1 ( 2,0) x 2 = 3 B 2 ( 3,0) 2 b D Titik ekstrim P ( , 2a 4a
sb y A(0,6)
0
)
A = +1 > 0
D = -( b 24ac) = 0,25 Terdapat
3
2
titik ekstrim di P(2,5 ; 0,25)
P(2,
5 ; -0,25)
sb x
BARISAN DAN DERET Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:
a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya. b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri. Misal: a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya. b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............. dikalikan ½ dari suku di depannya.
Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal: - Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 - Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62
BARISAN DAN DERET ARITMETIKA Barisan Aritmatika
Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an a1 = 2 = a a2 = 5 = 2 + 3 = a + b a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b an = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:
an = a1 + ( n - 1 ) b
atau
Sn = a1 + ( n - 1)b
dimana: Sn = an = Suku ke-n a1 = suku pertama b = beda antar suku n = banyaknya suku Latihan:
1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, ................. 2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya ! 3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-11 = 23.
Deret Matematika deret hitung Misal
Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ..............+ (S n 2b) + (Sn b) + Sn Dn = Sn + (Sn b) + (Sn 2b) ..............+ (s + 2b) + (a + b) + a 2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) .............. Sebanyak n 2 Dn = n (a + Sn) n Dn = + ( a + Sn) atau 2 n Dn = + ( a + a + ( n 1)b) 2 n Dn = + ( 2a + ( n 1)b) dimana 2
+
Dimana Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n) Latihan: 1. Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ......... 2. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan D60 !
BARISAN DAN DERET GEOMETRI Barisan Geometri
Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ................. a1 = 3 = a a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar 2
2
a4 = 24 = 12 x 2 = ar x r = ar
3
n-1
an = ar
Jadi rumus ke-n dari barisan geometri adalah :
n-1
an = ar Dimana :
an = adalah suku ke-n a = adalah suku pertama r = adalah rasio antar suku berurutan n = banyaknya suku
Latihan:
1. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2. 2. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768
Deret Geometri (Deret Ukur) Misal:
2
3
n-1
2
3
n-1
Dn = a + ar + ar + ar + ............ + ar r Dn =
ar + ar + ar + ............ + ar
Dn - rDn = a - ar
n
+ ar
n n
(1-r)Dn = a(1 r ) n
Dn
=
a( 1 r ) ( 1 r)
= dimana:
Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)
PENERAPAN BARISAN DAN DERET A. MODEL PERKEMBANGAN USAHA
Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (misalnya: produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, penanaman modal) berpola seperti barisan aritmetika, maka prinsip-prinsip barisan aritmetika dapat digunakan untuk menganalisa perkembangan variabel tersebut. Berpola seperti barisan aritmetika maksudnya bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. Contoh soal: 1. Perusahaan genteng nglames menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
2. Besar penerimaan PT ABC dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan hasil penjualan tersebut berpola seperti barisan aritmetika, Berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp 460 juta ? 3. Pabrik sepatu Bagus memproduksi 10.000 pasang sepatu pada tahun pertama operasinya. Namun karena situasi perekonomian yang tidak menguntungkan, produksinya terus menyusut 500 pasang setiap tahun. Berapa produksinya: a. pada tahun keempat ? b. pada tahun ke - lima belas ? c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan tahun kesepuluh ?
4. Pabrik kecap XYZ memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurun secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a. Berapa botol penurunan produksinya per tahun ? b. Pada tahun keberapa pabrik kecap XYZ ini tidak berproduksi lagi (tutup) ? c. Berapa botol kecap yang dihasilkan selama operasinya ? 5. Seorang pedagang memperoleh laba sebesar Rp 700 ribu pada bulan kelima kegiatan usahanya. Sedangkan jumlah seluruh laba yang diperoleh selama tujuh bulan pertama sebanyak sebanyak Rp 4.620 ribu. Hitunglah: a. Laba yang diperoleh pada bulan pertama dan peningkatan labanya per bulan.
b. Laba pada bulan kesepuluh. c. Jumlah laba selama setahun pertama dari kegiatan usahanya ? 6. Jumlah hasil produksi sebuah perusahaan selama 5 tahun pertama operasinya sebanyak 3.000 unit, pada tahun ke-6 perusahaan tersebut tutup. Hitunglah produksi pada tahun pertama dan prosentase kenaikan atau penurunan produksinya. 7. Perusahaan X memulai produksinya dengan 1.000 unit, dan berkurang 100 unit setiap bulannya. Sedangkan perusahaan Y mengawali produksinya dengan 500 unit, meningkat 25 unit setiap tahun. a. Pada tahun keberapa produksi mereka sama jumlahnya ? b. Kapan perusahaan X akan memproduksi sebanyak 0 ? c. Berapa produksi perusahaan Y pada tahun tersebut ?
B. MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penghitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.
P n
r n-1
= P
Dimana : P : populasi penduduk pada tahun basis (tahun pertama / ke-1) Pn : populasi penduduk pada tahun ke-n r : (1+ persentase pertumbuhan penduduk per tahun) n : jumlah penduduk
Contoh soal: 1. Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2004 dan tahun 2010 ! 2. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun 2000. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun ? 3. Penduduk sebuah kota tercatat 2,5 juta jiwa pada tahun 1992, dan diperkirakan menjadi 3 juta jiwa pada tahun 1996. Jika tahun 1990 dianggap merupakan tahun basis a. Berapa persen tingkat pertumbuhannya ? b. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1980 ? c. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1991 ? d. pada tahun berapa penduduknya berjumlah 5 juta jiwa ?
C.
BUNGA MAJEMUK
Penghitungan bunga majemuk merupakan penerapan dari barisan geometri (barisan ukur). Misal suatu modal sebesar Rp 1.000,- (P) dibungakan secara majemuk dengan suku bunga 10% per tahun (i) , maka besarnya modal tersebut di masa datang (F) dapat dihitung sebagai berikut: setelah 1 tahun: F1 = 1000 + (1000 X 0,10) = 1100 F1 = P + Pi
= P(1 + i)
setelah 2 tahun: F2 = 1100 + (1100 X 0,10) = 1210 F2 = (P + Pi) + (P + Pi) i 2
2
= P + Pi + Pi + Pi 2
= P + 2 Pi + Pi = P (1 + 2i + i ) 2
= P (1 + i) setelah 3 tahun: F3 = P (1 + i)
3 n
setelah n tahun: Fn = P ( 1 + i)
dengan demikian nilai nilai di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah:
F n
= P( 1 + i )
n
Dimana: Fn = nilai di masa depan P = jumlah sekarang i = suku bunga per tahun n = jumlah tahun Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali (misalkan m kali) dalam satu tahun maka rumus nilai di masa depan menjadi:
nm i ) F n = P( 1+ m
m: frekwensi pembayaran dalam 1 tahun
Secara matematis rumus di atas dapat dimanipulasi untuk menentukan nilai sekarang dari nilai di masa datang.
P =
F ( 1 + i)
n
atau
P
=
F i mn ( 1 + m )
Latihan: 1. Nona Fina menabung uangnya Rp 1.500.000 di Bank dengan tingkat bunga 15% per tahun. Berapakah nilai uangnya di masa datang setelah 10 tahun kemudian jika dibunga-majemukkan secara: a). Semesteran, b). Kuartalan, dan c). Bulanan.
2. Seorang pengusaha berharap lima tahun mendatang memperoleh laba sebesar Rp 25.000.000. Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan secara kuarta, berapakah jumlah laba pengusaha tersebut saat ini ?
D. NILAI MASA DATANG DARI ANUITAS Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam jumlah uang yang tetap atau sama. Dalam anuitas diasumsikan bahwa semua pembayaran dibuat pada akhir periode dengan bunga majemuk. Ilustrasi:
Nina menabung uangnya sebanyak 1 juta setiap permulaan tahun, dimana bunga 12% per tahun secara majemuk. Berapa jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun (akhir tahun ke-3 atau awal tahun ke-4) ? 1
2
3
1jt
1jt (1,12) +
1jt (1,12) +
1jt = 2.120.000,-
1
4 2
1jt (1,12) +
3
1jt (1,12) +
1
1jt (1,12) +
1 jt
1jt (1,12) +
= 3.374.400,-
1jt
2 1
= 4.779.328,-
Ingat rumus Deret Geometri:
Dn =
a ( 1 r n ) ( 1 r)
Dapat ditulis sebagai
Dn =
r <1
a ( rn - 1) ( r 1)
r >1
Maka jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun dapat dihitung sbb:
Sn =
a ( rn 1) ( r 1)
1jt (( 1,12)4 1) S4 =
( 1 ,12 1)
S4 = 4.7 83.333
1 jt × 0,574 0,12
Sehingga di dapat rumus nilai masa datang dari anuitas adalah:
1 + i) 1) i
P ((
S n =
Dana
Cadangan
Dana cadangan disebut juga sebagai sinking fund yaitu dana yang di si sihkan (dicadangkan) untuk pembayaran nilai tertentu dimasa yang akan datang. Misalkan perusahaan menyisihkan sebagian labanya untuk membayar utang sejumlah tertentu setelah sekian tahun di masa datang. Rumus dana cadangan diperoleh dari rekayasa rumus nilai masa datang dari anuitas di atas, yaitu: P
=
S n n
( 1 + i)
i
-1
atau
P
= S n
i n ( 1 + i) - 1
Latihan: 1. Nona Debby menabung uangnya di Bank setiap awal bulan sebesar Rp 500.000 selama 8 tahun. Jika tingkat bunga yang berlaku sebesar 18% per tahun, berapakah jumlah uang nona Debby di masa datang bila bunga dibayarkan (diperhitungkan)secara bulanan ?
2. Suatu perusahaan ingin menyisihkan dananya setiap bulan selama 5 tahun untuk pembayaran pinjaman perusahaan. Jumlah nilai pinjaman perusahaan tersebut diperkirakan 5 tahun mendatang sebesar Rp 75.000.000. Bunga dibayarkan secara majemuk sebesar 15% per tahun. Berapa jumlah dana yang harus disisihkan atau dicadangkan setiap bulan oleh perusahaan agar dapat melunasi pinjaman tersebut ?
E. NILAI SEKARANG DARI ANUITAS
Nilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai- nilai sekarang dari setiap periode pembayaran atau penerimaan uang tertentu.
An = P ( 1 +i)-1 +P (1 +i)-2 +............+P (1 +i)-n -n
Jika difaktorkan dengan ( 1+i) , maka persamaan di atas menjadi:
An = P ( 1 + i )-n ( 1+i)n-1 + ( 1+i)n-2 ........... ( 1 +i) 2 + ( 1 +i)1 + ( 1 +i)+1 1
2
Karena S n = 1+( 1+i)+( 1+i) +( 1+i)
An = P ( 1+i)-n Sn An = P ( 1+i) An = P
-n
( 1+i)
1 -( 1+i)-n i
i
n
-1
+.........( 1+i)n-1
persamaan diatas menjadi:
Jadi rumus nilai sekarang dari anuitas adalah:
An = P
1 -( 1+i)-n i
Dimana:
An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode
i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran Penyi sihan P injaman
Konsep penyisihan pinjaman (loan amortization) hampir sama dengan dana cadangan (sinking fund). Untuk dana cadangan pembayaran cicilan hutang secara periodik dilakukan saat ini, agar di masa mendatang akan terlunasi jumlah tertentu utang atau pinjaman; sedangkan penyisihan pinjaman jumlah tertentu utang atau pinjaman sudah diterima saat ini, kemudian dilakukan pembayaran cicilan atau angsuran utang secara periodik.
Rekayasa rumus nilai sekarang dari anuitas akan diperoleh rumus penyisihan pinjaman (loan amortization) yaitu: -n ( 1 1 +i) An P = P = An atau i -n 1 -( 1+i)
i Dimana: An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran
