Pertemuan 6 Limit, Kontinuitas, Turunan Fungsi dan Penggunaan Turunan dalam Ekonomi
• Fung Fungsi si f(x f(x)) akan akan mem mempu puny nyai ai lim limit it A unt untuk uk x mend mendek ekat atii a anpa x = a, a un u angan pos ec e mas terdapat bilangan lain d yang lebih kecil, sehingga bila: 0 < |x – a| < d, d, mak maka a |f( |f(x) x) – A| < e • Contoh: Seandainya f(x) = 4x + 3 dan x 0, maka limit dari f(x)? Nilai-nilai an mendekati nol adalah 0.1 0.001 0.001 dan seterusnya, sehingga: f(1/10) = 3,4 f(1/100) = 3,04 f(1/1000) = 3,004 , f(-1/10) = 2,6 f(-1/100) = 2,96 f(-1/1000) = 2,996 sehingga, dapat terlihat bahwa semakin x mendekati 0, . 4x + 3 adalah 3.
1. lim k = k x
a
2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + B xa
xa
xa
3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . B xa
.
xa
xa
xa
xa
xa
5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = An x
a
x
n
a
n
6. lim [ √f(x)] = √lim f(x) = A1/n xa
xa
Untuk limit x∞, maka: • Lim 1 = 0 x∞ x n u ungs peca an x g x , engan anx an pmx masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku: • lim f( f(x) = lim anxn =L x∞ x∞ g(x) pmxm L = ∞ apabila n > m L = a/p apabila n = m
, diselesaikan dengan pemfaktoran yang
• Suatu fun si dikatakan kontinu a abila rafikn a berupa kurva yang tidak patah • Suat Suatu u fun fungs gsii f(x) f(x) adal adalah ah kon kontin tinu u untu untuk k x = a, jika jika:: • f(a) te tertentu • lim lim f(x) f(x) ada ada dan dan terh terhin ingg gga a xa
• lim f( f(x) = f(a) xa
•
, maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.
• terputus-putus pada interval tersebut . • Tiga iga je jenis di diskontinu: –
s on nu as
owong
– Diskontinuitas tak terhingga –
s ont nu tas ter ngga
• titiik lowong pada x = a jika limit f(x) ada teta i f a tidak ada / tidak terdefinisikan. Contoh: = + – – merupakan fungsi diskontinuitas pada titik x = 3 karena pada titik tersebut f(3) tidak ada / tak terdefinisikan. Untuk titik x yang lain, yaitu selain x = 3, fungsi x kontinu.
• terhingga pada x = a jika f(x) menjadi tak terhingga (positif atau negatif) untuk x a. Contoh: Fun si f x = 1 / x – 3 2 diskontinuitas tak terhingga pada x = 3 karena untuk x 3 berakibat f(x) ∞ dan f(3) tidak dapat tentu an. es pun em an untu semua nilai x selain x = 3, fungsi f(x) kontinu.
• Suatu fun si adalah diskontinuitas terhin a pada x = a jika f(x) nilainya mendadak berubah pada saat xa. Di sini f(x) tidak mempunyai limit . Contoh: pada x = 0 karena f(x) tidak dapat ditentukan limitnya dan pada saat x 0, nilainya mendadak berubah. Akan tetapi untuk nilai-nilai selain x = 0 fungsi tersebut kontinu.
• merupakan curam fungsi di titik tersebut. • Cura Curam m dari dari suat suatu u aris aris luru lurus s dibe diberi ri simb simbol ol m adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal. • Cura Curam m sua suatu tu gari garis s lur lurus us besa besarn rnya ya kons konstan tan dan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y arena peru a an x sepan ang gar s mempunyai rasio yang konstan.
=
=
–
a
=
xb – xa = Δx
lim Δ diberi simbol d an dibaca turunan Δx 0 dx Δx
x = xn turunannya a a a f’(x) = n.xn-1 , maka f’(x) = 0 on o : f(x) = x2 + 3x + 2 ’ =
• dengan nol. –
’
• Jika y = xn maka y’ = nx(n-1) • Jika Jika y = k.f( k.f(x) x) maka maka y’ = k.f k.f’( ’(x) x) • Jika Jika y = f(x) f(x) + g(x g(x)) mak maka a y’ y’ = f’( f’(x) x) + g’( g’(x) x)
• Jika = U . V dimana U = f x dan V = x maka: y’ = U.V’ + U’.V • Jika Jika y = U / V dima dimana na U = f(x f(x)) dan dan V = g(x g(x)) mak maka: a: ’ ’. – . ’ V2 • Jika = Un dimana U = f x maka y’ = nUn-1 – U’ • Jika Jika y = log U dan U = f( f(x) maka y = og e U
Penggunaan Turunan dalam Ekonomi • pertama dari suatu fungsi dapat digunakan , pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat , marjinal, dll.
• Ke uasan mar inal adalah tambahan ke uasan yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. • epuasan mar na a a a turunan pertama ar kepuasan total dQ •
, konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU
Contoh: Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang barang per unit unit Rp 20,- dan kepuasan kepuasan total total konsumen konsumen ditunjukkan oleh fungsi TU = 120 120Q Q – 0.25 0.25Q Q2 – 100
Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU MU = turunan dari TU MU = 120 120 – 0.5Q 0.5Q P = MU 20 = 120 120 – 0.5Q 0.5Q . = Q = 200 Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika ,-
• •
•
•
•
Fung Fungsi si pro produ duks ksii ada adala lah h suat suatu u fun fungs gsii atau atau pers persam amaa aan n yang yang penggunaan input-input. Tamb Tambah ahan an out outpu putt yan yang g diha dihasi silk lkan an kar karen ena a ada ada pena penamb mbah ahan an pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP) MP = dQ dx Prod Produk uksi si rat rataa-ra rata ta adal adalah ah out outpu putt rata rata-r -rat ata a per per uni unit: t: AP = Q x Untu Untuk k men mengh ghas asil ilka kan n keun keuntu tung ngan an maks maksim imum um:: Harga output (Pq) Ting Tingka katt peng penggu guna naan an inp input ut har harus us pad pada a daer daerah ah dim diman ana a prod produk uksi si mar mar inal inal menu menuru run n ata atau u m = MP’ MP’ = ne ne atif atif
Contoh: . pada berbagai tingkat penggunaan penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x 2 – 1/3 x3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100, berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata? 1.
2.
Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq MP = turunan turunan dari dari fungsi fungsi Q = Q’ = 10x 10x – x2 10x – x2 = 2100 2100 / 100 100 x–x = x2 – 10x 10x + 21 = 0 (x – 7)(x – 3) x1 = 7 atau x2 = 3 Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: ’ – x1 m = -4 (men (menur urun un)) x2 m = 4 (menaik) Jadi input yang digunakan adalah 7 unit. Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3 Q = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit