MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 6 Limit, Kontinuitas, Turunan Fungsi dan Penggunaan Turunan dalam Ekonomi I Komang Adi Aswantara UT Korea Fall 2013
Konsep Limit • Fungsi f(x) akan mempunyai limit A untuk x mendekati a
tanpa x = a, jika untuk bilangan positif kecil e masih terdapat bilangan lain d yang lebih kecil, sehingga bila: 0 < |x – a| < d, maka |f(x) – A| < e • Contoh: Seandainya f(x) = 4x + 3 dan x 0, maka limit dari f(x)? Nilai-nilai yang mendekati nol adalah 0.1, 0.001, 0.001, dan seterusnya, sehingga: f(1/10) = 3,4 f(1/100) = 3,04 f(1/1000) = 3,004 dan seterusnya, atau dalam nilai negatif: f(-1/10) = 2,6 f(-1/100) = 2,96 f(-1/1000) = 2,996 sehingga, dapat terlihat bahwa semakin x mendekati 0, maka f(x) semakin dekat dengan 3. Jadi limit dari f(x) = 4x + 3 adalah 3.
Kaidah-Kaidah Limit 1. lim k = k xa
2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = A + B xa
xa
xa
3. lim (f(x).g(x)) = [lim f(x)].[lim g(x)] = A . B xa
xa
xa
4. lim [f(x)/g(x)] = [lim f(x)] / [lim g(x)] = A / B xa
xa
xa
5. lim [f(x)]n = [lim f(x)]n = An xa
xa
6. lim [n√f(x)] = n√lim f(x) = A1/n xa
xa
Kaidah-Kaidah Limit Untuk limit x∞, maka: • Lim 1 = 0 x∞ x Untuk fungsi pecahan f(x) / g(x), dengan anxn dan pmxm masing-masing adalah suku dalam pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat x tertinggi berlaku: • lim f(x) = lim anxn = L x∞ x∞ g(x) pmxm Dimana L = 0 apabila n < m L = ∞ apabila n > m L = a/p apabila n = m
Contoh Soal
Kaidah-Kaidah Limit Untuk limit berbentuk 0/0, dapat diselesaikan dengan pemfaktoran yang pada umumnya berbentuk seperti:
Kontinuitas • Suatu fungsi dikatakan kontinu apabila grafiknya
berupa kurva yang tidak patah • Suatu fungsi f(x) adalah kontinu untuk x = a, jika: • f(a) tertentu • lim f(x) ada dan terhingga xa
• lim f(x) = f(a) xa
• Apabila salah satu syarat di atas tidak dipenuhi,
maka fungsinya tidak kontinu atau disebut juga diskontinu.
Diskontinuitas • Suatu fungsi yang kurvanya patah atau terputus-putus
pada interval tersebut merupakan fungsi yang diskontinu. • Tiga jenis diskontinu: • Diskontinuitas titik lowong • Diskontinuitas tak terhingga
• Diskontinuitas terhingga
Diskontinuitas Titik Lowong • Suatu fungsi f(x) disebut diskontinuitas titiik lowong pada
x = a jika limit f(x) ada tetapi f(a) tidak ada / tidak terdefinisikan. Contoh: Fungsi f(x) = (2x + 1)(x – 3) / (x – 3) merupakan fungsi diskontinuitas pada titik x = 3 karena pada titik tersebut f(3) tidak ada / tak terdefinisikan. Untuk titik x yang lain, yaitu selain x = 3, fungsi x kontinu.
Diskontinuitas Tak Terhingga • Suatu fungsi f(x) adalah diskontinuitas tak
terhingga pada x = a jika f(x) menjadi tak terhingga (positif atau negatif) untuk xa. Contoh: Fungsi f(x) = 1 / (x – 3)2 diskontinuitas tak terhingga pada x = 3 karena untuk x3 berakibat f(x) ∞ dan f(3) tidak dapat ditentukan. Meskipun demikian untuk semua nilai x selain x = 3, fungsi f(x) kontinu.
Diskontinuitas Terhingga • Suatu fungsi adalah diskontinuitas terhingga
pada x = a jika f(x) nilainya mendadak berubah pada saat xa. Di sini f(x) tidak mempunyai limit untuk xa. Contoh: Fungsi f(x) = 2 / (1 + 21/x) adalah diskontinuitas pada x = 0 karena f(x) tidak dapat ditentukan limitnya dan pada saat x0, nilainya mendadak berubah. Akan tetapi untuk nilai-nilai selain x = 0 fungsi tersebut kontinu.
Turunan Pertama • Turunan pertama suatu fungsi di suatu titik
merupakan curam fungsi di titik tersebut. • Curam dari suatu garis lurus (diberi simbol m) adalah tangens dari sudut yang dibentuk oleh garis tersebut dengan garis horisontal. • Curam suatu garis lurus besarnya konstan dan dapat diartikan bahwa tingkat perubahan y karena perubahan x sepanjang garis mempunyai rasio yang konstan.
Turunan pertama m = tan α = yb – ya = Δy xb – xa = Δx
Penurunan fungsi lim Δy diberi simbol dy yang dibaca turunan Δx0 Δx dx f(x) = xn turunannya adalah f’(x) = n.xn-1 Apabila f(x) = a, dimana a adalah nilai konstan maka f’(x) = 0 Contoh: f(x) = x2 + 3x + 2 f’(x) = 2x + 3
Kaidah-Kaidah Turunan Pertama • Turunan dari suatu konstan adalah sama dengan nol. • Jika y = k maka y’ = 0 atau dy/dx = 0 • Jika y = xn maka y’ = nx(n-1) • Jika y = k.f(x) maka y’ = k.f’(x) • Jika y = f(x) + g(x) maka y’ = f’(x) + g’(x)
Kaidah-Kaidah Turunan • Jika y = U . V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka:
y’ = U.V’ + U’.V • Jika y = U / V dimana U = f(x) dan V = g(x) maka: y’ = U’.V – U.V’ V2 • Jika y = Un dimana U = f(x) maka y’ = nUn-1 – U’ • Jika y = log U dan U = f(x) maka y’ = U’ log e U
Penggunaan Turunan dalam Ekonomi • Dalam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu
fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan marjinal, elastisitas, hasrat menabung marjinal, hasrat mengkonsumsi marjinal, dll.
Perilaku Konsumen • Kepuasan marjinal adalah tambahan kepuasan
yang diperoleh konsumen karena ada tambahan konsumsi satu unit barang. • Kepuasan markinal adalah turunan pertama dari kepuasan total MU = dTU dQ • Jika P menunjukkan harga barang, maka konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum apabila dipenuhi syarat P = MU
Perilaku Konsumen Contoh: Berapakah jumlah barang yang akan diminta oleh konsumen apabila harga barang per unit Rp 20,- dan kepuasan total konsumen ditunjukkan oleh fungsi TU = 120Q – 0.25Q2 – 100 Kepuasan total akan diperoleh konsumen bila syarat P = MU MU = turunan dari TU MU = 120 – 0.5Q P = MU 20 = 120 – 0.5Q 0.5Q = 100 Q = 200 Jadi konsumen akan memperoleh kepuasan total yang maksimum jika ia membeli barang sebanyak 200 unit pada harga Rp 20,-/unit
Perilaku Produsen • Fungsi produksi adalah suatu fungsi atau persamaan yang
•
•
•
•
menunjukkan hubungan antara tingkat output yang dihasilkan dan penggunaan input-input. Tambahan output yang dihasilkan karena ada penambahan pemakaian satu unit input disebut dengan produksi marjinal (MP) MP = dQ dx Produksi rata-rata adalah output rata-rata per unit: AP = Q x Untuk menghasilkan keuntungan maksimum: MP = Harga input (Px) Harga output (Pq) Tingkat penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun atau m = MP’ = negatif
Perilaku Produsen Contoh: Suatu perusahaan memproduksi suatu barang dengan input x. Output yang dihasilkan pada berbagai tingkat penggunaan ditunjukkan dengan fungsi Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3. Jika harga input adalah Rp 2.100,-/unit dan harga output per unit Rp 100, berapa unit yang harus diproduksi oleh perusahaan agar keuntungan yang diperoleh maksimum? Berapakah produksi rata-rata? 1. Syarat keuntungan maks MP = Px / Pq MP = turunan dari fungsi Q = Q’ = 10x – x2 10x – x2 = 2100 / 100 10x – x2 = 21 x2 – 10x + 21 = 0 (x – 7)(x – 3) x1 = 7 atau x2 = 3 Penggunaan input harus pada daerah dimana produksi marjinal menurun sehingga: m = MP’ = 10 – 2x x1 m = -4 (menurun) x2 m = 4 (menaik) Jadi input yang digunakan adalah 7 unit. 2. Q = 75 + 5x2 – 1/3 x3 x = 7 Q = 205 2/3 = 205 unit Q = 205, x = 7 maka AP = Q/x = 205/7 = 29 2/7 = 29 unit
