1
HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN I Komang Adi Aswantara Fall 2013 UT Korea
2
Definisi • Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek
yang berbeda. • Objek
di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
• UT Korea adalah contoh sebuah himpunan, di
dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.
3
Cara Penyajian Himpunan 1.
Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
4
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. • Contoh 2. • Misalkan:
}, K = {{}} • maka 3A {a, b, c} R cR {} K {} R
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c}
5
Contoh 3. Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, maka a P1 a P2 P1 P2 P1 P3 P2 P3
6
Simbol-Simbol Baku P= N= Z= Q= R= C=
himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } himpunan bilangan rasional himpunan bilangan riil himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
7
Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5 A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
8
Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn: U
A 1 3
B 2 5
7 8 6
4
9
Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh 6. (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3
10
Himpunan kosong (null set) Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh 7. (i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
11
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U
A
B
12
Contoh 8. (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x , y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C
13
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
14
A B berbeda dengan A B (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3} (ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
15
• Latihan
[LIP00] Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan semua kemungkinan himpunan C sedemikian sehingga A C dan C B, yaitu A adalah proper subset dari C dan C adalah proper subset dari B.
16
Jawaban: C harus mengandung semua elemen A = {1, 2, 3} dan sekurang-kurangnya satu elemen dari B. Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atau C = {1, 2, 3, 5}. C tidak boleh memuat 4 dan 5 sekaligus karena C adalah proper subset dari B.
17
Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A
18
Contoh 9. (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C
19
Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B
Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4
20
Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A
B
Contoh 11. Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
21
Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika A = m, maka P(A) = 2m. Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
22
Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
23
2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh 15. (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A
24
3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
25
Contoh 17. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E A) (E B) atau E (A B) (ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A C D (iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” C D B
26
4. Selisih (difference) B Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A
Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
Sistem Bilangan • Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam
sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal • Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan yang paling familiar dengan kita karena berbagai kemudahannya yang kita pergunakan sehari – hari.
Sistem
Radiks
Himpunan/elemen Digit
Desimal
r=10
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Biner
r=2
{0,1}
Contoh 25510 111111112
Konversi • Contoh:
• 11012 = 123 + 122 + 120
= 8 + 4 + 1 = 1310
Konversi Bilangan Desimal ke Biner • Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner:
Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).
• Contoh: Konersi 17910 ke biner: • 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) • / 2 = 44 sisa 1 • / 2 = 22 sisa 0 • / 2 = 11 sisa 0 • / 2 = 5 sisa 1 • / 2 = 2 sisa 1 • / 2 = 1 sisa 0 • / 2 = 0 sisa 1 (MSB) • 17910 = 101100112 • • MSB LSB
Pertidaksamaan
Bila
P x
dan
Qx
adalah dua pernyataan matematika, maka
masing – masing pernyataan P x Q x ,
P x Q x
P x Q x ,
P x Q x
disebut pertidaksamaan dalam satu variabel (x)
Sebuah bilangan real disebut penyelesaian
dari sebuah pertidaksamaan bila substitusi nilai itu pada variabel dalam pertidaksamaan memberikan pernyataan yang benar. Himpunan dari semua penyelesaian sebuah pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian. Dua pertidaksamaan disebut ekuivalen bila himpunan penyelesaiannya sama.
Misalkan a, b dan c bilangan – bilangan real 1
Jik a a b d a n b c , m a k a a c
2
Jik a a b , m a k a a c b c
3
Jik a a b d a n c 0, m a k a a c b c
4
Jik a a b d a n c 0, m a k a a c b c
Sifat – sifat di atas juga berlaku untuk tanda
, d an
Misalkan a dan b bilangan – bilangan real
1
Jika a b 0 ma ka a 0 d a n b 0, a ta u a 0 d a n b 0
2
Jika a b 0 ma ka a 0 d a n b 0, a ta u a 0 d a n b 0
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut
1
2x 3 7
2
3 2 x 5
3
3 x 5 x 13
Soal 1 2x 3 7 2x 3 3 7 3
tambahkan – 3 pada kedua ruas
2x 4
2x 4 2 2
kalikan kedua ruas dengan
1 2
x 2 Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan
2 Hotel Ever Green Bogor,Agustusi 2006 Ary Surfyanto SSi SMA Muhammadiyah 4, Jakarta
Soal 2
3 2 x 5 3 2 x 3 5 3
tambahkan – 3 pada kedua ruas
2 x 8 2 x 8 2 2
kalikan kedua ruas dengan
x 4 Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan
4
1 2
Soal 3 3 x 5 x 13 3 x 5 x 5 x 13 x 5
4x 8
4x 8 2 2
tambahkan x – 3 pada kedua ruas
kalikan kedua ruas dengan
x 2
Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan
2
1 2
Contoh Soal 2 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut
4
x 2 5x 6 0
5
2 x 2 x 15 0
x 2 5x 6 0
x 2 x 3 0
faktorkan
faktor
tanda
tanda
tanda
x 2
negatif
positif
positif
x 3
negatif
negatif
positif
x 2 x 3
positif
negatif
positif
Himpunan penyelesaian
2 x 2 atau
3
x 3
2 x 2 x 15 0
2 x 5 x 3 0
faktorkan
faktor
tanda
tanda
tanda
x 3
negatif
positif
positif
2 x 5
negatif
negatif
positif
2 x 5 x 3
positif
negatif
positif
3 Himpunan penyelesaian
3 x 5 2
5 2
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan yang memuat bentuk linear atau kuadrat
Misalkan a dan b bilangan – bilangan real, dan b0
1
a 0 jika dan hanya jika a dan b keduanya positif b atau keduanya negatif (tandanya sama)
2
a 0 b
jika dan hanya jika a dan b tandanya berbeda
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut
7
x 1 0 x 2
8
x 2 0 x 1
9
x 2 5x 6 0 2 x 4x 5
x 1 0 x 2 faktor
tanda
tanda
tanda
x 2
negatif
positif
positif
negatif
negatif
positif
positif
negatif
positif
x 1 x 1 x 2
Himpunan penyelesaian
2 x 1
x 2 0 x 1 faktor
tanda
tanda
tanda
x 1
negatif
positif
positif
x 2
negatif
negatif
positif
x 2 x 1
positif
negatif
positif
Himpunan penyelesaian
x 1 atau
x 2
LATIHAN SOAL Untuk x { himpunan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x – 5 > x + 3 adalah. . . a. { 0, 1, 2, 3 } b. { 0, 1, 2, 3, 4 } c. { 4, 5, 6, 7, . . .} d. { 5, 6, 7, 8, . . .}
Pembahasan: x { himpunan cacah }, Hp dari 3x – 5 > x + 3 3x – 5 > x + 3 pakai cara cepat 3x – x > 3 + 5 2x > 8 x>4 jadi, himpunan penyelesaiannya : = { 5, 6, 7, 8, . . .}
LATIHAN SOAL Penyelesaian dari pertidaksamaan ⅔ ( 6 + 3x ) > 8, adalah. . . . a. x > 2 b. x > 4 c. x < 2 d. x < 4
Pembahasan: Penyelesaian ⅔ ( 6 + 3x ) > 8 ⅔ ( 6 + 3x ) > 4 + 2x > 2x > 2x > x >
8 pakai cara cepat 8 8-4 4 2
LATIHAN SOAL Diketahui pertidaksamaan 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . . . a. y > - 6 c. y > 6
b. y < - 6 d. y < 6
Pembahasan: 13 – 2( y + 1) > ( y + 1 ) – 8. 13 – 2y – 2 > y - 7 11 – 2y > y - 7 - 2y - y > - 7 - 11 - 3y > - 18 y<6
LATIHAN SOAL Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebarnya x cm, maka batas-batas nilai x adalah . . . a. 0 < x 7 c. x > 7
b. x 7 d. 7 x 9
Pembahasan: lebar ( l ) = x cm dan panjang (p) = x + 5 cm • p + l = ½ keliling. • x + 5 + x ½ ( 38 ) • 2x + 5 19 • 2x 19 – 5 • 2x 14 • x 7 •
