HUKUM GAUSS 23-1 PENDAHULUAN Hukum Gauss adalah sebuah alternatif untuk menjelaskan bagaimana muatan listrik dan medan listrik berperilaku. Satah satu konsekuensi dari hukum ini adalah bahwa muatan statik pada konduktor terdapat pada permukaan konduktor itu, bukan di bagian dalamnya. Itulah sebabnya mengapa anak ini mendapatkan muatan listrik ketika menyentuh bola logam bermuatan. Rambut pada kepala anak itu saling tolak-menolak dan berdiri. Seringkali, ada dua cara, yaitu cara yang mudah dan cara yang sukar untuk melakukan sebuah pekerjaan; cara mudah itu melibatkan tak lebih daripada p enggunaan alat-alat yang tepat. Dalam fisika, sebuah alat penting untuk menyederhanakan soal adalah penggunaan sifat-sifat simetri dari sistem. sistem. Banyak sistem fisika mempunyai simetri; contohnya, sebuah silinder tidak kelihatan berbeda setelah Anda merotasikannya mengelilingi sumbunya, dan sebuah bola logam bermuatan keliliatan sama saja setelah Anda memutarkannya terhadap sebarang sumbunya yang melalui pusatnya. Hukum Gauss adalah bagian dari kunci penggunaan pertimbangan simetri untuk menyederhanakan perhitungan medan-listrik. Misalnya, medan distribusi muatan garis lurus atau distribusi muatan lembar bidang, yang kita turunkan dalam Subbab 22-7 dengan menggunakan beberapa integrasi yang sangat rumit, dapat d iperoleh dalam beberapa beberapa baris dengan bantuan hukum Gauss. Sebagai tambahan untuk membuat perhitungan tertentu lebih mudah, hukum Gauss akan memberikan juga kepada kita pandangan ke dalam (insight) mengenai bagaimana muatan listrik mendistribusikan dirinya pada benda penghantaf (konduktor). Berikut ini diterangkan diterangkan tentang tentang apa sebenarnya hukum Gauss itu. Jika
ada suatu distribusi muatan yang umum, kita mengelilinginya dengan sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan itu. Kemudian kita perhatikan medan listrik di berbagai titik pada permukaan khayal ini. 23 - 1 Hukum Hu kum Gauss adalah sebuah hubungan antara medan di semua titik pada permukaan dengan muatan total yang tercakup di dalam permukaan itu. Hal ini mungkin kedengarannya menyerupai sebuah cara yang cenderung tidak langsung untuk menyatakan menyatakan sesuatu, tetapi tetapi terbukti akan merupakan sebuah hubungan yang sangat berguna. Selain kegunaannya sebagai alat perhitungan Hukum Gauss aka n mem-bantu kita mendapatkan penglihatan (insight) yang lebih dalam mengenai medan listrik. Kita akan memanfaatkan penglihatan tersebut berulang-ulang dalam beberapa bab berikutnya berikutnya seiring kita meneruskan pengkajian kita mengenai elektromagnetisme. 23-2 MUATAN DAN FLUKTUASI LISTRIK Dalam Bab 22 kita mengajukan pertanyaan, pertanyaan, "Jika ada suatu distribusi muatan, berapakah medan listrik yang dihasilkan oleh distribusi tersebut di sebuah titik P?" Kita telah telah mengetahui bahwa jawabannya dapat dicari dengan menyatakan distribusi itu sebagai kumpulan muatanmuatan titik, yang masingmasing menghasilkan menghasilkan sebuah medan medan listrik E yang diberikan oleh Persama ar(22-7. Medan total di P akan sama dengan jumlah vektor dari medan-medan yang ditimbulkan oleh semua muatan titik itu. Tetapi ada sebuah hubungan alternatif di antara distribusi muatan dan medan listrik. Untuk menemukan hubungan ini, marilah kita mempertahankan pertanyaan pertanyaan Bab 22 dan bertanya, "Jika pola medan listrik itu diketahui pada sebuah daerah tertentu, apa yang dapat kita tentukan mengenai distribusi muatan dalam daerah itu?"
ada suatu distribusi muatan yang umum, kita mengelilinginya dengan sebuah permukaan khayal yang mencakup muatan itu. Kemudian kita perhatikan medan listrik di berbagai titik pada permukaan khayal ini. 23 - 1 Hukum Hu kum Gauss adalah sebuah hubungan antara medan di semua titik pada permukaan dengan muatan total yang tercakup di dalam permukaan itu. Hal ini mungkin kedengarannya menyerupai sebuah cara yang cenderung tidak langsung untuk menyatakan menyatakan sesuatu, tetapi tetapi terbukti akan merupakan sebuah hubungan yang sangat berguna. Selain kegunaannya sebagai alat perhitungan Hukum Gauss aka n mem-bantu kita mendapatkan penglihatan (insight) yang lebih dalam mengenai medan listrik. Kita akan memanfaatkan penglihatan tersebut berulang-ulang dalam beberapa bab berikutnya berikutnya seiring kita meneruskan pengkajian kita mengenai elektromagnetisme. 23-2 MUATAN DAN FLUKTUASI LISTRIK Dalam Bab 22 kita mengajukan pertanyaan, pertanyaan, "Jika ada suatu distribusi muatan, berapakah medan listrik yang dihasilkan oleh distribusi tersebut di sebuah titik P?" Kita telah telah mengetahui bahwa jawabannya dapat dicari dengan menyatakan distribusi itu sebagai kumpulan muatanmuatan titik, yang masingmasing menghasilkan menghasilkan sebuah medan medan listrik E yang diberikan oleh Persama ar(22-7. Medan total di P akan sama dengan jumlah vektor dari medan-medan yang ditimbulkan oleh semua muatan titik itu. Tetapi ada sebuah hubungan alternatif di antara distribusi muatan dan medan listrik. Untuk menemukan hubungan ini, marilah kita mempertahankan pertanyaan pertanyaan Bab 22 dan bertanya, "Jika pola medan listrik itu diketahui pada sebuah daerah tertentu, apa yang dapat kita tentukan mengenai distribusi muatan dalam daerah itu?"
Berikut adalah sebuah contoh. contoh. Tinjaulah kotak yang yang diperlihatkan dalam Gambar23-1a,yang mungkin mungkin atau mungkin tidak berisi muatan muatan listrik. Kita akan membayangkan bahwa kotak itu, dibuat dari material yang tidak mempunyai efek pada setiap medan listrik; kotak itu sama seperti tali tak bermassa, bidang miring tanpa gesekan, dan pendidikan tinggi yang gratis. Lebih baik b aik lagi, andaikanlah kotak itu menyatakan sebuah permukaan khayal yang mungkin mungkin atau mungkin tidak mencakup 23 - 2 sejumlah muatan. Kita akan merujuk merujuk pada kotak itu sebagai permukaan tertutup (closed surface) karena kotak itu secara lengkap mencakup sebuah volume. Bagaimanakah Anda dapat menentukan berapa banyak muatan listrik (ika ada) yang terdapat di dalam kotak itu? Dengan mengetahui bahwa sebuah distribusi muatan menghasilkan sebuah medan listrik dan bahwa sebuah medan listrik mengerahkan gaya pada muatan uji, maka Anda dapat menggerakkan sebuah muatan uji qo mengitari tepi tepi kotak itu. Dengan Dengan mengukur gaya F yang dialami oleh muatan uji itu di kedudukan yang berbeda-beda, maka Anda membuat membuat sebuah peta berdimensi berdimensi tiga dari medan listrik listrik E Flqo = di luar kotak itu. Dalam kasus yang diperlihatkan dalam Gambar 23-1b, peta itu terbukti sama seperti medan listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik positif (Gambar 22-22a). Dari rincian peta itu, Anda dapat mencari nilai eksak dari muatan titik di dalam kotak itu. Untuk menentukan kandungan kotak itu, kita sesungguhnya hanya hanya perlu mengukur E
pada permukaan kotak. Dalam Gambar 23-2a ada sebuah muatan titik positif tunggal, dan dalam Gambar 23-2b ada dua 23 - 3 muatan positif tunggal. Pola-pola medan pada permukaan kotak itu berbeda rinciannya, tetapi dalam kedua kasus, medan listrik itu menunjuk ke luar dari kotak tersebut. Gambar-gambar 23-2c dan 23-2d memperlihatkan kasus-kasus berturut-turut dengan satu dan dua muatan titik negatif, di dalam kotak tersebut. Sekali lagi, rincian dari E pada permukaan kotak itu berbeda, tetapi dalam kedua kasus medan itu menunjuk ke dalam kotak. Dalam Subbab 22-6 kita menyebutkan analogi di antara vektor medan listrik dan vektor kecepatan fluida yang bergerak. Analogi ini dapat membantu, walaupun medan listrik sebetulnya tidak "mengalir". Dengan menggunakan analogi ini, dalam Gambar 23-2a dan 23-2b, di mana vektor medan listrik menunjuk ke luar dari permukaan itu, kita mengatakan bahwa ada sebuah fluks listrik (electric flux) ke arah luar. (Kata flux berasal dari kata Latin yang berarti "aliran".) Dalam Gambar 23-2c dan Gambar 23-2d vektor E menunjuk ke dalam permukaan, dan fluks listrik itu ke arah dalam. 23 - 4 . Gambar 23-2 menyarankan sebuah hubungan yang sederhana: Muatan positif di dalam kotak itu bergerak bersama sebuah fluks listrik yang arahnya ke luar melalui permukaan kotak itu, dan muatan negatif
di dalam kotak itu bergerak bersama sebuah fluks listrik yang arahnya ke dalam. Apa yang terjadi jika ada muatan nol di dalan kotak itu? Dalam Gambar 23-3a kotak itu kosong dan di mana-mana E = 0 , sehingga tidak ada fluks listrik ke dalam atau ke luar kotak itu. Dalam Gambar 23-3b, satu muatan titik positif dan satu muatan titik negatif yang besarnya sama dicakup di dalam kotak itu, sehingga muatan netto di dalam kotak itu adalah nol. Ada sebuah medan listrik, tetapi medan listrik itu "mengalir ke dalam" kotak pada setengah permukaannya dan" mengalir ke luar" kotak pada setengah permukaan lainnya. Maka tidak ada fluks listrik netto ke dalam atau ke luar kotak tersebut. Kotak itu sekali lagi kosong dalam Gambar 23-3c. Akan tetapi, ada muatan yang hadir di luar kotak itu; kotak itu telah ditempatkan dengan satu ujungnya sejajar dengan sebuah le mbaran tak berhingga yang bermuatan homogen, yang menghasilkan sebuah medan listrik homogen 23 - 5 yang tegak lurus terhadap lembar itu (seperti yalg telah kita pelajari dalam Contoh 22-12 dan Subbab 22-7). Pada satu ujung kotak itu, E menunjuk ke dalam kotak; pada ujung yang berlawanan, E menunjuk ke luar kotak itu; dan pada sisi-sisi kotak itu, E sejajar dengan permukaan sehingga tidak menunjuk baik ke dalam maupun ke luar kotak itu. Seperti dalam Gambar 23-3b, fluks listik yang menuju ke dalam pada
satu bagian kotak itu secara eksak mengkompensasi fluks listrik yang menuju ke luar pada bagian lain kotak itu. Maka dalam semua kasus yang diperlihatkan dalam Gambar 23-3, tidak ada fluks listrik netto yang melalui permukaan kotak itu, dan tidak ada muatan netto tercakup dalam kotak itu. Gambar 23-2 dan 23-3 mendemonstrasikan hubungan di antara tanda (positif, negatif atau nol) dari muatan netto yang dicakup oleh sebuah permukaan tertutup dan arah (ke luar, ke dalam, atau tidak ke mana-mana) dari fluks listrik netto yang melalui p ermukaan itu. Ada juga hubungan di antara besar (magnitude) muatan netto di permukaan tertutup itu dan kekuatan (strength) "aliran" netto dari E pada permukaan itu. Dalam kedua Gambar 23-4a dan23-4b ada sebuah muatan titik tunggal di dalam kotak itu, tetapi dalam Gambar 23-4b besar muatan itu adalah dua kali besar muatan dalam Gambar 23-4a, sehingga E di mana-mana adalah dua kali besar E dalam Gambar 23-4a. Dengan mengingat analogi aliran fluida, ini berarti bahwa fluks listrik ke arah luar netto dalam Gambar 23-4b adalah dua kali besar fluks listik ke arah luar netto Gambar 234a. Hal tersebut menunjukkan bahwa fluks listrik netto yang melalui permukaan kotak itu berbanding langsung dengan besarnya muatan netto yang tercakup oleh kotak itu. Kesimpulan ini tidak bergantung pada ukuran kotak itu. Dalam
Gambar 23-4c muatan titik +q dicakup oleh sebuah kotak yang dimensi linearnya dua kali dimensi linear dari kotak dalam Gambar 23-4a. Besar medan listrik dari sebuah muatan titik berkurang seiring makin besarnya jarak, sesuai dengan 1/r² , sehingga besar E rata-rata pada setiap muka 23 - 6 kotak besar dalam Gambar 23-4c persis sama dengan ¼ dari besar rataratanya pada muka yang bersangkutan dalam Gambar 23-4a. Tetapi setiap muka kotak besar itu secara eksak mempunyai luas yang besarnya empat kali luas muka yang bersangkutan dari kotak kecil itu. Maka fluks listrik ke arah luar akan sama untuk kedua kotak itu jika kita mendefinisikan fluks listrik sebagai berikut: Untuk setiap muka kotak itu, ambillah hasil kali dari komponen tegak lurus rata-rata dari E dan luas muka tersebut; kemudian jumlahkan hasil-hasil dari semua muka kotak itu. Dengan definisi ini, fluks lisfik netto yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik tunggal di dalam kotak itu tak bergantung pada ukuran kotak dan hanya bergantung pada muatan netto di dalam kotak itu' Kita telah melihat bahwa ada hubungan di antara jumlah netto dari muatan di dalam sebuah permukaan tertutup dan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Untuk kasus khusus dari sebuah permukaan tertutup dalam bentuk sebuah kotak persegi dan distribusi muatan yang dibentuk oleh muatan-muatan titik atau lembaran bermuatan yang luasnya tak berhingga, kita tetah mendapatkan hal-hal sebagai berikut: 1. Apakah fluks listrik netto yang mengalir arahnya ke luar atau ke dalam melalui sebuah permukaan tertutup bergantung pada tanda dari muatan yang dicakup itu.
2. Muatan di luar permukaan permukaan itu tidak memberikan sebuah fluks listrik netto melalui permukaan tersebut. 23 - 7 3. Fluks-fluks listrik netto netto itu berbanding langsung dengan jumlah netto dari muatanyang tercakup di dalam permukaan itu tetapi tidak bergantung pada ukuran permukaan tertutup tertutup itu. Pengamatan-pengamatan ini adalah pernyataan kualitatif dari hukum Gauss. Apakah pengamatan-pengamatan ini berlaku untuk jenis lainnya dari disribusi muatan dan untuk permukaan permukaan tertutup yang bentuknya bentuknya sebarang? Jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini adalah "ya". Tetapi untuk menerangkan mengapa demikian, kita memerlukan sebuah pernyataan matematika yang teliti dari apa yang kita maksud dengan fluks listrik. Hat ini dikembangkan dikembangkan dalam subbab selanjutnya' 23-3 MENGHITUNG FLUKS LISTRIK Dalam subbab sebelumnya sebelumnya kita memperkenalkan memperkenalkan konsep fluks listrik. Secara kualitatif fluks listrik yang melalui sebuah permukaan adalah sebuah gambaran gambaran mengenai apakah medan medan listrik E menunjuk ke dalam atau ke luar permukaan itu. Kita menggunakan hal ini untuk memberikan pernyataan kualitatif kasar dari hukum Gauss: Fluks listrik netto yang melalui sebuah permukaan tertutup berbanding lan gsung dengan muatan netto di dalam permukaan tersebut. Untuk mampu memanfaatkan sepenuhnya hukum ini, kita perlu mengetahui bagaimana menghitung fluks listrik. Untuk melakukan ini, marilah sekali lagi kita memanfaatkan analogi analogi di antara medan medan listrik E
dan medan vektor kecepatan V dalam sebuah fluida yang mengalir. (Sekali lagi, ingatlah bahwa ini hanyalah sebuah sebuah analogi; medan listrik bukanlah sebuah aliran.) 23 - 8 Gambar 23-5 memperlihatkan memperlihatkan sebuah fluida yang mengalir secara tetap dari kiri ke kanan. Marilah kita memeriksa kecepatan aliran volume dV/dt (dalam, katakanlah, meter kubik per detik) melalui segiempat siku-siku kawat yang luasnya adalah A. Bila luas itu tegak lurus terhadap kecepatan aliran V (Gambar 23-5a) dan kecepatan aliran itu sama di semua titik dalam fluida, f luida, maka kecepatan aliran volume dV/dt adalah luas A dikalikan dikalikan dengan laju
aliran v:
vA dt dV = Bila segiempat siku-siku dimiringkan pada sudut (Gambar 23-5b) sehingga mukanya tidak tidak tegak lurus terhadap terhadap V maka luas yang diperhitungkan adalah luas bayangan hitam yang kita lihat bila kita memandangnya dalam arah arah V luas ini, yang digambarkan d igambarkan berwarna
merah dan ditandai dengan A, dalam Gambar 23-5b, adalah proyeksi dari luas A pada sebuah permukaan yang tegak lurus terhadap V Dua sisi dari . segiempat siku-siku yang diproyeksikan itu mempunyai p anjang yang sama seperti sisi aslinya, tetapi kedua sisi l ainnya dipendekkan oleh sebuah faktor sebesar sebesar cos , sehingga luas panjang diproyeksikan diproyeksikan itu sama dengan A cos . Maka kecepatan aliran volume melalui melalui A adalah
A
23 - 9
vA
dt dV = cos Jika = 90", dv/dt = 0; segiempat segiempat siku-siku kawat itu sejajar dengan aliran, dan tidak tidak ada fluida yang yang lewat melalui melalui segiempat sikusiku itu. Juga, v cos adalah adalah komponen dari vektor V yang tegak lurus terhadap bidang dari dari luas A. Dengan Dengan menamakan ini komponen komponen maka kita dapat menuliskan kembali kecepatan aliran volume itu sebagai
V
vA dt dV
=
Kita dapat menyatakan kecepatan aliran volume itu secara lebih rapi dengan menggunakan konsep luas vektor A , yakni tegak lurus pada bidang luas yang kita jelaskan. Luas vektor A menjelaskan baik ukuran sebuah area maupun orientasinya dalam ruang. Dinyatakan dalam A kita dapat menuliskan kecepatan aliran volume fluida yang melalui segiempat siku-siku dalam Gambar 23-5b sebagai vA dt dV .= Dengan menggunakan analogi di antara medan listrik dan aliran fluida, kita sekarang mendefinisikan fluks listrik dengan cara yang sama seperti kita baru saja mendefinisikan kecepatan aliran volume sebuah fluida; kita gantikan saja kecepatan fluida V tersebut dengan medan listrik E . Simbol yang kita gunakan untuk fluks listrik adalah E (huruf besar Yunani "phi"; E yang dicetak subskrip adalah untuk mengingatkan bahwa ini adalah fluks Iistrik). Tinjaulah mula-mula sebuah luas rata A
yang tegak lurus terhadap sebuah medan listrik E (Gambar 23-6a). Kita mendefinisikan fluks listrik yang melalui luas ini sebagai hasilkali dari besarnya medan E dengan luas A: E = EA 23 - 10 Secara kasarnya kita katakan, kita dapat menggambarkan E dalam garis-garis medan yang lewat melalui A. Penambahan luas berarti bahwa lebih banyak garis E yanq lewat melalui luas itu, yakni penambahan fluks; medan yang lebih kuat berarti garis-garis E yang semakin rapat sehingga lebih banyak garis per satuan luas, sehingga fluks itu akan bertambah. Jika luas A itu rata tetapi tidak tegak lurus terhadap medan E , maka lebih sedikit garis medan yang lewat melaluinya. Dalam kasus ini luas yang diperhitungkan adalah luas b ayangan hitam (silhouette) yang kita lihat bila memandangnya dalam arah E Inilah luas . 23 - 11
A dalam Gambar 23-6b) dan sama dengan A cos ø (bandingkan dengan
Gambar 23-5b). Bentuk umum dari definisi kita mengenai fluks listrik untuk sebuah medan listrik homogen Adalah E = EA cos (f luks listrik untuk B yang homogen, permukaan rata). (23I) Karena E cos adalah komponen dari E yang tegak lurus terhadap luas itu, maka kita dapat menuliskan kembali Persamaan (23-I) sebagai E
=E
A (fluks listrik untuk E yang homogen, permukaan rata), (23-2) Dinyatakan dalam luas vektor A yang tegaklurus terhadap luas itu, kita dapat menuliskan fluks listrik itu sebagai produk skalar dari E dan A E EA = . (fluks listrik untuk E yang homogen, permukaan rata). (23-3) Persamaan (23-l), (23-2), dan (23-3) menyatakan fluks listrik untuk
sebuah permukaan rata dan sebuah medan listrik yang homogen dengan cara yang berbeda tetapi ekuivalen satu dengan lainnya. Satuan SI untuk fluks listrik adalah 1 N.m /C 2 Kita dapat menyatakan arah sebuah luas vektor A dengan menggunakan vektor satuan yang tegak lurus terhadap luas itu singkatan untuk "normal". Maka n n A = An Sebuah permukaan mempunyai dua sisi, sehingga ada dua arah yang mungkin untuk n dan A Kita harus selalu menetapkan arah mana yang . kita pilih. Dalam Subbab 23-2 kita mengkaitkan muatan di dalam sebuah permukaan tertutup dengan fluks listrik yang melalui permukaan itu. Dengan sebuah permukaan tertutup kita akan selalu memilih arah ke arah luar dan kita akan berbicara mengenai fluks yang ke luar dari sebuah permukaan tertutup. Jadi, apa yang kita namakan "fluks listrik yang arahnya ke luar" dalam Subbab 23-2 bersesuaian dengan sebuah n 23 - 12 nilai E yang positif, dan apa yang kita namakan "fluida listrik yang arahnya ke dalam" bersesuaian dengan sebuah nilai E
yang negatif. Apa yang terjadi jika medan listrik E tidak homogen tetapi berubah dari titik ke titik pada luas A? Atau apa yang terjadi jika A adalah bagian dari sebuah permukaan lengkung? Maka kita membagi A ke dalam banyak elemen kecil dA , yang masing-masing mempunyai sebuah vektor satuan yang tegak lurus terhadap elemen luas itu dan sebuah luas vektor n dA = n.dA Kita menghitung fluks listrik yang melalui setiap . elemen dan mengintegralkan hasil-hasil itu untuk mendapatkan fluks total: = =
= E E cos dA E dA E.dA(definisi _ umum _ dari _ fluks _ listrik ) (23-5) Kita menamakan integral ini integral permukaan (surface integral) dari komponen E
pada luas itu, atau integral permukaan dari E dA Berbagai bentuk . . integral itu semuanya menyatakan hal yang sama dalam suku-suku yang berbeda. Dalam soal spesifik, satu b entuk kadang-kadang lebih memudahkan daripada bentuk lainnya. Contoh 23-3 di akhir subbab ini melukiskan penggunaan ?persamaan (23-5). Dalam Persamaan (23-5) fluks listrik I nt dA persis sama dengan nilai rata-rata dari komponen tegak lurus dari medan listrik itu, dikalikan oleh luas permukaan tersebut. Ini adalah definisi yang sama dari fluks listrik yang kita dapatkan dalam Subbab 23-2, yang sekarang dinyatakan secara lebih matematis. Dalam subbab b erikutnya kita akan melihat hubungan di antara fluks listrik total yang melalui sebarang permukaan bertutup, tak peduli bagaimanapun bentuknya, dan banyaknya muatan yang tercakup di dalam permukaan tersebut. . 23 - 13 CONTOH 23-1 Fluks listrik melalui sebuah cakram Sebuah cakram den gan jari-jari 0,10 m diorientasikan dengan vektor satuan normalnya membentuk sudut 30" dengan sebuah medan listrik homogen n E yang besarnya 2,0 x 10r N/C (Gambar 23-:7). (Karena ini bukanlah sebuah permukaan tertutup, maka permukaan itu tidak mempunyai "di dalam" atau "di luar". Itulah sebabnya mengapa kita harus menetapkan arah dari n dalam
gambar itu.) a) Berapa fluks listrik yang melalui cakram itu? b) Berapa fluks yang melalui cakram itu. Jika cakram itu diputar sehingga normalnya tegak lurus terhadap E c)Berapa fluks yang melalui cakram itu jika normalnya sejajar dengan E PENYELESAIAN a) luas adalah A= . Dari persamaan (23-1), 22 (0,10m) = 0,0314m cos (2,0 10 / )(0,0314 )(cos30 ) 320 E = EA = x N C m = 54 N . m 2 /C b) Normal terhadap cakram itu sekarang tegak lurus terhadap E,sehingga Dalam kasus ini tidak ada fluks yahg melalui cakram itu. c) Normal terhadap cakram itu sejajar 90 ,cos 0, 0 0 = = danE =
dengan E, sehingga = 0, cos = 1 dan fluks itu mempunyai nilai 23 - 14 CONTOH 23-2 Fluks listrik melalui sebuah kubus Sebuah kubus yang sisinya E ditempatkan dalam sebuah daerah yang medan listrik E nya homogen. Carilah fluks listrik yang melalui setiap sisi kubus itu dan carilah fluks total yang melalui kubus itu bila a) kubus itu diorientasikan dengan dua mukanya tegak lurus terhadap medan E , seperti dalam Gambar 23-8a; b) bila kubus itu diputarkan sejauh sudut 4 seperti dalam Gambar 23-8b. PENYELESAIAN a) Karena E adalah homogen, kita dapat menghitung fluks yang melalui setiap sisi kubus itu dengan menggunakan Persamaan (23-3) dn (234). Vektor-vektor satuan untuk setiap sisi diperlihatkan dalam gambar itu; arah dari setiap vektor satuan adalah ke arah luar dai permukaan kubus yang tertutupi itu. Sudut di antara ( _ _ ) 16 n sampai n E
dan n 1 adalah 180 o ; sudut di antara E dan n 2 adalah 0º; dan sudut di antara E dan setiap keempat vektor satuan lainnya adalah 90º. Setiap sisi kubus itu mempunyai luas L², sehingga fluks yang melalui masing-masing muka itu adalah cos90 0. . cos0 ; . cos180 ; 20 3456 202 22 202 11 ===== ===+
=== EL E n A EL EL E n A EL EL EEEE E E Fluks itu negatif pada sisi l. Dimana E diaralkan ke dalam kubus, dan positif pada sisi 2, di mana E diaralkan ke luar dari kubus. Fluks total yang melalui kubus itu adalah jumlah dari fluks-fluks yang melalui keenam sisi tersebut: E E1 E2 E3 E4 E5 E6 =+++++ = 0 0 0 0 0. 22 EL + EL + + + + = 23 - 15 b) Fluks yang melalui sisi I dan sisi 3 adalah negatif, karena E diarahkan ke dalam sisi-sisi tersebut: medan itu diarahkan ke luar dari sisi 2 dan sisi 4, sehingga fluks-fluks yang melalui sisi-sisi tersebut
adalah positif. Kita mendapatkan cos90 0. . cos(90 ) cos ; . cos(90 ) cos ; . cos ; . cos(180 ) cos ; 20 56 202 44 202 33 2 22 202 11 === ===+ ==+= ==+ === EL E n A EL EL E n A EL EL E n A EL E n A EL EL EE
E E E E Fluksl total E E1 E2 E3 E4 E5 E6 = + + + + + yang melalui permukaan kubus itu sekali lagi adalah nol. Kita sampai pada kesimpulan yang sama ini dalam pembicaraan kita mengenai Gambar 23-30 dalam Subbab 23-2; dalan subbab tersebut kita mengamati bahwa sebuah medan listrik homogen yang melalui sebuah permukaan tertutup yang tidak berisi muatan listrik fluks nettonya adalah nol. CONTOH 23-2 23 - 16 Fluks listrik melalui sebuah bola Sebuah muatan titik positif q =3,0 µC dikelilingi oleh sebuah bola dengan jari-jari 0,20 m yang beryusat pada muatan itu (Gambar 23-9). Carilah fluks listrik yang melalui bola itu yang ditimbulkan oleh muatan ini. PENYELESAIAN Di setiap titik pada bola itu, besar E adalah
2 6 92 2 0 (0,20 ) 3,0 10 (9,0 10 . / ) 4m xC xNmC r q E =
= 6,75x10 N /C 5 = Berdasarkan simetri, medan itu tegak lurus terhadap permukaan bola di tiap-tiap titik. Arah positif untuk kedua sehingga n E
dan ke arah luar,
E
= +E dan fluks yang melalui sebuah elemen permukaan dA adalah E dA. Dalarn Persamaan (23-5), E adalah sama di tiaptiap titik dan dapat dikeluarkan dari integral; apa yang tersisa adalah dA yang tak lain dari luas total dari permukaan bola itu. Jadi, fluks total yang ke luar dari bola itu adalah 2 A = 4r 52 E = EA = (6,75x10 N / C)(4 )(0,20m) 3,4 10 . / . 52 =xNmC Perhatikan bahwa kita membagi dengan untuk mencari 22 r = (0,20m) E kemudian mengalikannya dengan untuk mencari 22 r = (0,20m) E maka jari-jari r dari bola itu saling meniadakan dalam hasil untuk @". Kita akan
memperoleh fluks yang sama dengan bola yang jari-jarinya 2,0 m atau 200 m. Pada pokoknya kita sampai pada kesimpulan yang s.rma dalam pembicaraan kita mengenai Gambar 23-4 dalam Subbab 23-2, di mana kita meminjam permukaan-permukaan tertutup yang berbentuk segi empat siku-siku yang mempunyai dua ukuran yang berbeda yang mencakup sebuah muatan 23 - 17 titik. Di sana kita mendapatkan bahwa fluks dari E tidak bergantung pada ukuran permukaan itu; hasil yang sama berlaku untuk sebuah permukaan bola. Sesungguhnya, fluks yang melalui sebarang permukaan yang mencakup sebuah muatan titik tunggal tidak bergantung pada bentuk atau ukuran permukaan itu, seperti yang akan segera kita lihat. 23-4 HUKUM GAUSS Hukum Gauss (Gausss law) adalah sebuah alternatif dari hukum Columb untuk menyatakan hubungan antara muatan listrik dan medan listrik. Hukum itu dirumuskan oleh Carl Friedrich 11.8 Gauss (1777-1855), salah seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang Hukum matematika yang dipengaruhinya, dan dia membuat kontribusi yang s:rma pentingnya untuk fisika teoritis. Hukum Gauss menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebarang permukaan tertutup (sebuah permukaan yang mencakup volume tertentu) sebanding dengan muatan li sfiik (netto) total di dalam permukaan itu. Dalam Subbab 23-2ktta mengamati hubungan ini secara kualitatif untuk kasus-kasus khusus; kita sekarang akan mengembangkan secara lebih tepat. Kita akan mengawalinya dengan medan sebuah
muatan titik positif tunggal q. Garis-garis medan itu dipancarkan ke luar sama besar dalam semua arah. Kita menempatkan muatan ini di pusat 23 - 18 sebuah permukaan bola khayal yang jari-jarinya R. Besar E dari medan listrik di tiap-tiap titik pada permukaan itu d iberikan oleh
0 4 1
= E 2 R q Di setiap titik pada permukaan itu, E tegak lurus terhadap pennukaan, dan besarnya sama di tiap-tiap titik persis seperti dalam Contoh23-3 (Subbab 23-3). Fluks listrik total adalah hasil kali dari besarnya medan E dan luas total dari bola itu: 2 A = 4R
0 2 2
0 (4 ) 4 1
=
== q R R q E EA
(23-6)
Fluks tersebut tidak bergantung pada jari-jari R dari bola itu. Fluks tersebut hanya bergantung pada muatan q yang dicakup oleh bola itu. Kita dapat juga menafsirkan hasil ini dalam hal garis-garis medan. Gambar 23-10 memperlihatkan dua bola berturut-turut dengan jari-jari R dan 2R, yang berpusat pada muatan titik 4 itu. Tiap-tiap garis medan yang lewat melalui bola yang lebih kecil akan lewat juga melalui bola yang lebih besar, sehingga fluks total yang melalui setiap bola adalah sama. 23 - 19 Hal yang benar bagi keseluruhan bola itu adalah juga benar di setiap bagian permukaannya. Dalam Gambar 23-10 sebuah luas d,A 23 - 20 digambarkan pada sebuah U-ota yang jari-jarinya R dan kemudian
diproyeksikan pada bola yang jari-jarinya 2R dengan111"nuril garis-garis dari pusat melalui titik-titik pada batas dari dA. Luas yang diproyeksikan pada bola yang lebih besar jelas adalah 4 dA. Tetapi karena medan listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik berbanding terbalik dengan f, maka besarnyamedan itu pada bola yang jari-jarinya 2R adalah sebesar ¼ dari besarnya medan pada bola yang jarijarinya R. Maka f luks lisftik adalah sama untuk ikedua luas itu dan tidahbergantung pada jari-jari bola tersebut. Cara proyeksi ini memperlihatkan kepada kita bagaimana memperluas diskusi ini untuk permukaan yang tidak b erbentuk bola. Sebagai ganti dari sebuah bola, marilah kita mengelilingi bola yang jarijarinya R dengan sebuah permukaan yang bentuknya tak teratur, seperti dalam Gambar 23-IIa. Tinjaulah sebuah sebuah elemen luas dA ya-ng kecil pada permukaan yang tak teratur itu; kita perhatikan bahwa luas ini lebih besar daripada elemen luas yang bersangkutan pada sebuah permukaan bola yang berada pada jarak yang sama dari q. Iika sebuah arah normal terhadap dA{ membentuk sudut dengan sebuah garis radial dari q, maka dua sisi dari luas yang diproyeksikan pada permukaan Uota itu disusutkan oleh sebuah faktor cos (Gambar 23-llb). Kedua sisi lainnya tidak berubah. Jadi, fluk s listrik melalui elemen permukaan bola itu sama dengan fluks E dA cos yang melalui elemen permukaan tak teratur yang bersangkutan. Kita dapat membagi keseluruhan permukaan tak teratur itu ke dalam elemen-elemen dA, menghitung fluks listrik E dA cos untuk setiap elemen, dan menjumlahkan hasil-hasil itu dengan mengintegralkannya, seperti dalam Persamaan (23-5). Setiap elemen luas itu diproyeksikan pada sebuah elemen p ermukaan bola yang bersangkutan. Jadi, fluks listrik total yang melalui permukaan tak teratur
itu, yang diberikan oleh setiap bentuk dari persamaan (23-5)' harus sama dengan fluks total yang melalui sebuah bola, yang diperlihatkan oleh 23 - 21 Persamaan (23-6) sama dengan q/ o. Jadi, untuk permukaan tak teratur itu.
== 0 . q E E dA
(23-7)
Persamaan (23-7) berlaku untuk sebuah permukaan yang bentuk dan ukuranny a sebarang, asalkan permukaan itu ad alah sebuah permukaan tertutup yang mencakup muatan q. Lingkaran pada tanda integral itu mengingatkan kita bahwa integral itu selalu diambil dari sebuah permukaan tertutup. Elemen luas dA dan vektor satuan yang bersangkutan selalu menunjuk ke luar volume yang dicakup oleh permukaan itu. Maka fluks listik itu positif pada daerah di mana medan listrik itu menunjuk ke luar dari permukaan dan fluks listrik itu negatif pada daerah Garis norrnal yang arahnya ke luar permukaan. Fluks listrik itu negatif pada daerah n
di mana modan lisftik inr menunjuk ke dalam. Juga E adalah positif di titik-titik di mana E menunjuk ke luar dari permukaan itu dan nagatif di mana E menunjuk ke dalam permukaan itu. Jika muatan titik dalam Gambar 23-lI adalah negatif, medan E diarahkan secara Radial ke arah dalam; maka sudut lebih besar daripada 90º, cosinusnya negatif dan integral dalam Persamaan (23--7) adalah negatif. Tetapi karena q juga adalah negatif, maka Persamaan (23-7 ) masih berlaku. Untuk sebuah permukaan tertutup yang mencakup tidak ada muatan, E = E.dA = 0 Inilah pernyataan matematika yang menyatakan bila sebuah daerah tidak berisi muatan,maka setiap garis medan yang disebabkan oleh muatan di luar daerah itu yang memasuki daerah itu pada satu sisi akan meninggalkan daerah itu lagi pada sisi lainnya. (Dalam Subbab 23-2 h'rta sampai kepada kesimpulan yang sama dengan meminjam kasus khusus
23 - 22 mengenai sebuah kotak persegi dalam sebuah medan homogen.) Gambar 23-12 melukiskan hal ini. Garis medan listrik dapat mulai atau berakhir di dalam sebuah daerah ruang hanya bila tidak ada nuatan dalam daerah tersebut. Sekarang kita sampai ke langkah terakhir dalam mendapatkan bentuk umum dari hukum Gauss. Misalkan permukaan itu mencakup bukan satu muatan titik q saja tetapi beberapa muatan q ,q ,q ,.... Medan listrik (resultan) total 123 E di sebarang titik adalah jumlah vektor dari medan-medan E dari muatan-muatan individu tersebut. Misalkan Q tercakup adalah muatan total yang dicakup oleh permukaan isi Q tercakup= q1 +q2 + q3 + .. Juga misalkan E adalah medan total di kedudukan elemen luas p'ermukaan dA, dan misalkan E adalah komponennya yang tegak lurus terhadap bidang elemen tersebut (yakni, sejajar dengan a.d). Vtat
Persamaan (23-:l) untuk setiap muatan dan medannya yang bersangkutan dan menambahkan hasil-hasil tersebut. Bila kita melakukannya, kita mendapatkan pernyataan umum dari hukum Gauss:
== 0 . tercakup E Q E dA (hukum Gauss)
(23-8)
Fluks listrik total yang melalui sebuah pemukaan tertutup sama dengan muatan listrik (netto) total di dalam permukaan itu, dibagi oleh o PERHATIAN => Ingatlah bahwa permukaan tertutup dalam hukum Gauss adalah permukaan khayal; tidak perlu ada sebuah objek material di posisi pada permukaan itu. Kita seringkali merujuk permukaan tertutup yang digunakan dalam hukum Gauss sebagai permukaan Gaussian (Gaussian surface).<= 23 - 23 Dengan menggunakan definisi Q tercakup dan berbagai cara untuk menyatakan fluks listrik yang diberikan dalam Persamaan (23-5), kita dapat menyatakan hukum Gauss dalam b entuk-bentuk ekuivalen yang
berikut:
==
== 0 cos . tercakup E Q E dA E dA E dA (berbagai bentuk hukum Gauss) (23-9) Seperti dalam Persamaan (23-5), berbagai bentuk integral itu menyatakan hal yang sama, yakni fluks lisnik total yang melalui permukaan Gaussian itu, dalam suku-suku yang berbeda. Satu bentuk rumus kadang-kadang lebih nyaman untuk digunakan daripada bentuk yang lainnya. Dalam Persamaan (23-8) dan (23-9), Q tercakup selalu merupakan jumlah aljabar dari semua m\atan positif dan semua muatan negatif yang dicakup oleh permukaan Gaussian itu, dan E adalah medan total di setiap titik pada permukaan itu. Juga perhatikan bahwa umunmya, medan ini sebagian disebabkan oleh muatan di dalam permukaan dan sebagian disebabkan oleh muatan di luar permukaan itu. Tetapi seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 23-12, muatan yang di luat tidak
memberikan kontribusi ierhadap fluks (netto) total yang melalui permukaan itu. Maka persamaan (23-g) d,an (23-9) adalah benar walau ada muatan di luar permukaan yang memberikan kontribusi terhadap medan listrik di permukaan itu. Bila ot"1"urop = 0, fluks total yang melalui permukaan Gaussian itu harus nol , walaupun beberapa kawasan dapat mempunyai fluks positif dan kawasan lainnya dapat mempunyai fluks negatif. Hukum Gauss adalah jawaban yang pasti untuk pertanyaan yang kita ajukan pada permulaan Subbab 23-2: "Jika pola medan listrik diketahui dalam sebuah daerah yang tertentu, apayang dapat kita tentukan mengenai distribusi muatan dalam daerah tersebutf Hukum Gauss menyediakan hubungan antara listrik pada sebuah permukaan tertutup dari.distribusi muatan di dalam permukaan 23 - 24 tersebut. Tetapi dalam beberapa kasus kita dapat menggunakan hukum Gauss untuk menjawab pertanyaan yang dibalik susunannya: ., Jika distribusi muatan diketahui, apa yang dapat kita tentukan mengenai medan lisirik yang dihasilkan oleh distribusi muatan itu?" Hukum Gauss mungkin-kelihatannya merupakan cara yang tak menarik untuk mengalamatkan pertanyaan ini, karena mungkin kelihatannya seakanakan penghitungan integral dalam persamaan (23-g) adalah sebuah tugas yang sia_ sia' Kadang-kadang memang sepertitu, tetapi dalam kesempatan lain penghitungan iniegral itu sangat mudah. I nilah sebuah contoh di mana tidak aia integrasi yang terlibat sama sekali: kita akan mengerjakan beberapa lagi contoh dalam bagian- berikutnya. CONTOH 23-4 Fluks listrik dan muatan yang tercakup Gambar 23_13 memperlihatkan medan yang dihasilkan oleh dua muatan titik +4 dan -q yang besarnya sama tetapi yang tandanya berlawanan sebuah dipol listrik). Carilah fluk s
lisfrik yang melalui masing_masing per_ mukaan oertutup A, B, C, dan D. PENYELESAIAN Definisi fluks listrik yang diberikan dalam persamaan (235) melibatkan sebuah integral permukaan, dan mungkin kelihatannya integrasi tersebut diperlukan. Tetapi hukum Gauss mengatakan bahwa 23 - 25 fluks listrik total yang melalui sebuah permukaan tertutup sama dengan muatan yang dicakup total dibagi oleh e^. Melalui pemeriksaan Gambar 23-13, permukaan A (yang diperlihatkan berwarna merah ) mencakup muatan positif sehingga Q tercakup = + q . permukaan B (yang diperlihatkan berwarna biru) mencakup kedua muatan mempunyai Q tercakup = -q permukaan C (yang diperlihatkan berwarna kuning), iari6 mencakup kedua muatan, memPunYai Q tercakup = .+q + (-q) = 0 .; permukaan D (yang diperlihatkan berwarna ungu), yang tidak mempunyai muatan yang tercakup di dalamnya, juga mempunlai Q.tercakup =0. Maka tanpa melakukan integrasi apa pun kita dapat menyimpulkan bahwa fluks total untuk berbagai permukaan itu adalah E= +q / o untuk permukaan A, E= -q / o untuk permuk aan B, E = 0 untuk kedua permukaan C di permukaan D. Hasil-hasil ini hanya bergantung pada muatan yang tercakup didalam setiap permukaan Gaussian, bukan pada bentuk dari permukaanitu. Contohnya, bandingkanlah permukaan C terhadap permukaan persegi yang diperlihatkan dalam Gambar 23_3b, yang j rtga mencakup kedua muatan sebuah dipol listrik. Dalam kasus liu pun, kita menyimpulkan bahwa fluks netto dari B adalah nol; fluks yang arahnya ke dalam pada satu bagian permukaan itu secara eksak diimbangi oleh fluks yang arahnya ke luar pada bagian selebihnya permukaan itu. Kita dapat menarik kesimpulan serupa dengan memeriksa garis
garis medan listrik itu. permukaanA hanya mencakup muatan positif; dalam Gambar 23-13, l8 garis digambarkan menyeberang A datam arah ke luar. Permukaan B hanya mencakup muatan negatif; permu]kaan itu 23 - 26 diseberangi oleh lg garis yang sama ini, tetapi daiam arah ke dalam. Permukaan C mencakup kedua muatur. Permukaan itu dipotong oleh garis-garis di 16 titik; di g perpotongan, garis_garis itu mengarah ke dalam. Jumlah netto dai- garis_garis menyebeiang ke arah luar adalah nol, dan muatan netto di dalam permukaan itu juga adalah nol. Permukaan D dipotong di 6 titik; di 3 titik garis-garis itu mengarah ke luar, dan di 3 titik lainnya, garis- garis itu mengarah ke dalam. Jumlah netto dari garis yang menyeberang ke arah luar dan muatan total yang tercakup keduanya adalah nol. Ada titik-titik pada permukaan itu di mana E tidak t%ak lurus terhadap permukaan itu, tetapi hal ini tidak mempengaruhi penghitungan garis-garis medan. 23-5 Apurnst Huxuwt Gruss Hukum Gauss berlaku untlk sebarareg distribusi muatan dan untuk sebarang permukaan tertutup. Hukum G auss dapat digunakan dengan dua cara. Jika kita mengetahui distribusi muatan, dan jika distribusi itu mempunyai simetri yang cukup untuk memungkinkan k ita menghitung integral dalam hukum Gauss, maka kita dapat mencari medan tersebut. Atau jika kita mengetahui medan itu, kita dapat menggunakan hukum Gauss untuk mencari distribusi muatan seperti muatan pada permukaan konduksi. Dalam subbab ini kita menyajikan contoh-contoh dari kedua macam aplikasi. Sewaktu Anda mengkajinya, perhatikanlah peranan yang dimainkan oleh sifat-sifat simetri dari setiap sistem. Kita akan menggunakan hukum Gauss untuk menghitung medal listrik yang
disebabkan oleh beberapa distribusi muatan sederhana; hasil-hasil itu dikumpulkan dalam sebuah tabel dalam ringkasan bab Dalam soal-soal praktis kita seringkali menjumpai situasi dalam mana kita ingin mengetahui medan listrik yang disebabkan oleh distribusi muatan pada sebuah konduktor. Perhitungan ini dibantu oleh kenyataan mengagumkan yang berikut: Bila muatan yang berlebih ditempatkan pada sebuah konduktor padat dan berada dalam keadaan diam, maka 23 - 27 muatan yang berlebih itu seluruhnya berdiam pada permukaan, bukan di bagian dalam mnterial itu. (Yang kita artikan dengan muatan yang berlebih adalah muatan selain ion-ion dan elektron-elektron bebas yang membentuk konduktor netral itu.) I nilah buktinya. Kita mengetahui dari Subbab 22-6 bahwa dalam situasi elektrostatik (dengan semua muatan berada dalam keadaan diam) medan listrik E di tiap+iap titik di bagian dalam sebuah material konduksi adalah nol. Seandainya E tidak sama dengan nol, muatan-muatan itu akan bergerak. Misalkan kita membangun sebuah permukaan.Gaussian di dalam konduktor itu, seperti permukaan A dalam Gambar 23-14. Karena E = 0 di setiap tempat pada permukaan ini, maka hukum Gauss mengharuskan bahwa muatan muatan netto di dalam permukaan itu adalah nol. Sekarang bayangkanlah penyusutan permukaan yang menyerupai sebuah balon yang mengempis sampai permukaan itu mencakup sebuah daerah yang begitu kecil sehingga kiia dapat menganggapnya sebagai sebuah titik P; maka muatan di titik tersebut harus sama dengan nol. Kita dapat melakukan ini di mana saja di dalam konduktor itu, sehingga tidak terdnpat muaten yang berlebih di setiap titik di dalam sebuah kon'duktor padqt; setiap muatan yang berlebih akan berada pada permukaan konduktor irz. (Hasil ini adalah untuk sebuah konduktor padat. Dalam
subbab berikutnya kita akan membicarakan apa yang terjadi ji ka 23 - 28 konduktor itu mempunyai rongga di dalamnya.) Kitl akan sering memanfaatkan fakta ini dalam contoh-contoh b erikutnya CONTOH 23-5 Medan sebuah bola konduksi bermuatan Kita menempelkan muatan positif 4 pada sebuah bola konduksi padat dengan jari-jari R (Gambar 23-15). Tentukan B di sebarang titik di dalam dan di luar bola itu. PENYELESAIAN Seperti yang kita bicarakan sebelumnya dalam subbab ini, semua muatan harus berada pada permukaan bola itu' Kita dapat menggunakan simetri bola untuk memperlihatkan bahwa muatan itu harus didistribusikan secara homogen pada permukaan bola dan bahwa arah medan listrik di sebarang titik P di luar bola itu harus berada sepanjang gais radial di antara pusat dan titik P Peranan simetri itu pantas dibicarakan secara hati-hati. Bil a kita mengatakan bahwa sistem itu bersifat simetri bola, maka kita mengartikan bahwa jika kita merotasikannya melalui sebarang sudut terhadap sebarang sumbu yang melalui pusat, maka setelah rotasi, sistem itu tidak dapat lagi dibedakan dari sistem semula yang tidak dirotasikan. Tidak ada dalam sistem itu yang membeda kan satu arah atau orientasi dalam ruang dari arah lainnya. Muatan itu bebas bergerak pada konduktor, dan tidak ada sesuatu mengenai konduktor itu yang akan membuat muatan cenderung berkonsentrasi lebih dalam suatu daerah daripada dalam daerah lainnya' Seandainya muatan itu tidak terdistribusi homogen pada permukaan bola, maka bila kita merotasikan sistem itu, maka bola itu akan kelihatannya sama tetapi distribusi muatan itu akan kelihatannya berbeda, dan tidak ada sifat bola itu yang
dapat membuat ini terjadi. Maka kita menyimpulkan bahwa distribusi muatan permukaan itu haruslah homogen. Alasan yang serupa memperlihatkan bahwa medan itu harus radial. Jikakita merotasikan sistem itu lagi, maka pola medan d ari sistem yang dirotasikan itu harug identik dengan pola medan dari sistem 23 - 29 semula. Jika sistem itu mempunyai sebuah komponen di suatu titik yang tegak lurus terhadap arah radial, maka komponen itu harus berbeda setidak-tidaknya setelah beberapa rotasi. Jadi, tidak ada komponen seperti itu, dan medan itu harus dalam arah radial. Karena alasan yang sama, besamya E dari medan itu hanya dapat bergantung pada jarak r dari pusat dan harus mempunyai nilai yang sama di semua titik pada sebuah permukaan bola yang konsenfris dengan kondukor itu. Untuk mengambil keuntungan dari sifat simetri ini' kita mengambil sebagai permukaan Gaussian kita sebuah bola khayal yang pusatnya pada konduktor dengan jari-jari r yang lebih besar daripada jari-jari R dari konduktor itu sehingga muatan.yang dicakup itu adalah 4. Lout permukaan Gaussian adalah r E 4; 2 adalah homogen pada permukaan dan tegak lurus terhadap permukaan itu d i setia titik' integral fluks E dA
dalam hukum Gauss adalah dan Persamaan (23-8) memberikan (4 )
2 E r 23 - 30 Pernyataan ini untuk medan di sebarang nnkdi luarbola itu (r > R) adalah sama seperti untuk sebuah muatan titik; medan yang ditimbulkan oleh bola bermuatan itu adalah sama, seakan-akan keseluruhan muatan itu terkonsentrasi di pusatnya. Persis di luar permukaan bola itu, di mana r = R, 2 0 4 1 R q E
= (pada permukaan bola konduksi bermuatan) PERHATIAN=> Ingatlah bahwa kita telah memilih muatan q itu sebagai suatu muatan positif. Jika muatan itu negatif, medan listrik itu mengarah ke dalam secara radial alih-alih ke arah luar Bagian permukaan Gaussian secara radial, dan fluks listrik yang melalui permukaan Gaussian itu negatif. Besarnya medan listrik di luar dan di permukaan bola itu diberikan oleh pernyataan yang sama seperti di atas kecuali bahwa 4 menyatakan besar (nilai mutlak) muatan itu.<= Di dalam bola (r < R) medan listrik itu nol, seperti halnya dengan setiap konduktor padat bila muatan itu diam. Gambar 23_15
memperlihatkan E sebagai fungsi dari jarak r dari pusat bola itu. Perhatikan bahwa dalam limit untuk R --> 0, bola itu menjadi sebuah muatan titik; maka hanya ada "bagian luar,' dan medan itu di setiap tempat diberikan oleh . Jika kita telah menyimpulkan menyimpulkan hukum Coulomb dari hukum Gauss. (Dalam Subbab 234 krta menyimpulkan hukum Gauss dari hukum Coulomb, sehingga hal ini melengkapi demonstrasi bahwa hukum Coulomb dan hukum Gauss adalah dua hukum yang ekuivalen satu sama lain.) 2 0 E = q / 4
r
Kita juga dapat menggunakan metode ini untuk sebuah kulit bola konduksi (sebuah konduktor bola dengan sebuah lubang bola konsentris di pusatnya) jika tidak ada muatan di dalam lubang itu. Kita menggunakan sebuah permukaan kecil dengan jari-jari r yang lebih kecil daripada jari-jari lubang itu. Seandainya ada medan di dalam lubang i tu, maka medan itu harus radial rad ial dan bersifat simetri bola seperti 23 - 31 sebelumnya, sehingga . Tetapi tidak ada muatan yang tercakup, sehingga 2 0 EQ/4r tercakup =
Qtercakup = 0 dan di dalam lubang itu.
E=0 Dapatkah Anda menggunakan cara yang sama ini untuk mencari medan listrik dalam ruang-antara di antara sebuah bola bermuatan dan sebuah bola konduksi kosong konsentris yang mengelilingi bola bermuatan itu? CONTOH 23-6 Medan sebuah muatan garis Muatan listrik didistribusikan secara homogen sepanjang sebuah kawat tipis yang panjangnya tak berhingga. Muatan per satuan panjang adalah ),(yang dianggap positif. Cari medan listrik yang dihasilkan. (Ini adalah sebuah representasi aproksimasi medan dari kawat berhingga yang bermuatan homogen, asalkan jarak dari titik medan ke kawat itu jauh lebih kecil daripada panjang kawat) PENYELESAIAN Medan itu harus menunjuk menjauhi muatan positif pada kawat, tetapi ke arah yang mana? Kita bertanya lagi, "Bagaimana simetrinya?" Kita dapat merotasikan sistem itu meUul sebarang sudut mengelilingi sumbunya dan kita dapat menggeserkannya menggeserkannya sejauh berapapun sepanjang sumbu itu; dalam setiap kasus sistem yang dihasilkan tidak dapat dibedakan dari sisrem semula. Dengan menggunakan alasan yang sama seperti datam Contoh 23-5, klrta menyimpulkan bahwa d pada tiap ritik r itik tidak berubah bila salah satu dari operasi-operasi ini dilaksanakan. Medan itu tidak dapat mempunyai komponen yang sejajar dengan kawat; jika medan itu mempunyai komponen yang sejajar dengan kawat, kita harus menerangkan mengapa garis-garis medan yang bermula pada kawat menunjuk dalam satu arah yang sejajar dengan kawat itu dan bukan menunjuk ke arah lainnya. Juga, medan itu tidak dapat mempunyai komponen yang menyinggung sebuah lingkaran dalam sebuah bidang yang tegak l urus terhadap kawat
23 - 32 dengan pusatnya pada kawat itu. Jika medan itu mempunyai mempunyai komponen seperti itu, kita harus meneJangkan meneJangkan mengapa komponen itu menunjuk dalam satu arah mengitari kawat itu d an bukan dalam arah lainnya. Apa yang masih tersisa adalah komponen yang arahnya ke fuar secara radial dari kawat itu di setiap titik. Maka garis-garis medan di luar sebuah kawat tak berhingga yang diberi muatan secara homogen adalah radial dan terletak dalam bidang yang tegak lurus terhadap terhadap kawat itu. Besarnya medan hanya bergantung pada jarak radial dari kawat itu. Sifat simetri menyarankan bahwa kita menggunakan sebuah silinder sebagai permukaan Gaussian denganjari-jari r yang sebarang dan panjang / yang sebarang, dengan ujung-ujungnya tegak lurui terhadap kawat (Gambar 23-16). Kita memecahkan integral integral permukaan untuk fluks @, ke dalam sebuah integral pada setiap ujung rata dan sebuah integral integral pada dinding samping yang melengkung itu. Tidak ada fluks yang melalui kedua ujung karena .d timbul Jalam bidang pennukaan dan E_r = 0. Untuk mencari fluks yang melalui dinding samping, perhatikin bahwa d tegak lurus terhadap perrnukaan di setiap titik, sehingga E = El karena simetri, d mempunyai nilai yang sama di setiap tempat pada dinding i tu. Luas dinding samping adalahZnrl. (Untuk membuat seb uah silinder kertas densan jari-jari r dan tinggi I Anda memerlukan segi segi empat siku-siku kertas dengan lebar 2nr, tinggi / dan luas 2ttrl.) Maka fluks total eE yang melalui keseluruhan silinder itu adalah jumlah fluks yang ,rretatoi dinding samping, yang sama dengan (Dettrl), dan fluks nol yang melalui 23 - 33 kedua ujung, kita memerlukan memerlukan muatan yang tercakup total, yakni muatan per satuan panjang dikalikan o leh panjangnya kawat di dalam permukaan Gaussian, atau Q tercakup =l ).l.Dari hukum Gauss,
0 ( )(2 )
== E E rl dan
r E 0 2 1
= (medan sebuah muatan garis tak berhingga). Ini adalah hasil yang, sama yang kita dapatkan dalam Contoh 22-11 (Subbab 22--7) dengan cara yang jauh lebih terinci. Kita telah menganggap bahwa , positif . Jlka ), negatif, E diarahkan secara radial ke dalam menuju garis muatan, dan dalam pemyataan di atas untuk besar medan Z kita harus menafsirkan sebagai besar (nilai mutlak) muatan per sa tuan panjang. Perhatikan bahwa walaupun keseluruhan muatan pada k awat itu memberi konstribusi terhadap medan tersebut, hanya bagian muatan total yang ada di dalam permukan Gauss yang ditinjau bila kita
memakaikan hukum Gauss. Hal ini kelihatannya aneh; kelihatan seakanakan kita telah mendapatkan jawaban yang benar dengan mengabaikan sebagian muatan itu dan bahwa medan sebuah kawat pendek yang panjangnya / akan sama seperti medan sebuah kawat yang sangat panjang. Tetapi kita memasukkan keseluruhan muatan pada kawat bila kita memanfaatkan simetri soal itu. Jika kawat itu pendek, simetri terhadap penggeseran sepanjang sumbu itu tidak ada, dan besarnya medan itu tidak homogen pada permukaan Gaussian kita. Maka hukum Gauss tidak lagi berguna dan tidak dapat digunakan untuk mencari medan; soal itu paling baik ditangani dengan cara integrasi yang digunakan dalam Contoh 22-11' Kita dapat menggunakan permukaan Gaussian seperti permukaan dalam Gambar 23-16 untuk memperlihatkan bahwa medan di titik-titik di luar sebuah silinder panjang yang bermuatan homogen adalah sama, 23 - 34 seakan-akan semua muatan itu dikonsentrasikan pada sebuah garis sepanjang sumbunya. Kitajuga dapat menghitung medan listrik dalam ruang di antara sebuah silinder bermuatan dan sebuah silinder konduksi kosong sesumbu yang mengelilingi silinder bermuatan itu. (Ini adalah sebuah model kabel sesumbu, seperti kabel yang digunakan untuk menyambungkan TV Anda ke sebuah "jalur" televisi kabel.) Kami meninggalkan perhitungan ini sebagai latihan soal untuk A nda. CONTOH 23-7 Medan sebuah lembaran muatan bidang tak berhingga Cari medan listrik yang disebabkan oleh sebuah lembaran tak berhingga yang rata dan tipis yang memiliki muatan positif homogen per satuan luas . PENYELESAIAN Medan itu harus menunjuk menjauhi lembaran bermuatan positif itu. Lebih j auh lagi, kita harus sekali lagi menanyakan, "Bagaimana simetrinya?" Distribusi muatan itu tidak berubah jika kita
mendorongnya dalam sebarang arah yang sejajar dengan lembaran itu. Dari hal ini kita menyimpulkan bahwa di setiap titik, B tegak lurus terhadap lembar itu. Simetri itu juga memberi tahu kita bahwa medan itu harus mempunyai besar E yang sama di sebarang jarak pada masing-masing sisi lembaran. Untuk mengambil keuntungan dari sifat simetri ini, kita menggunakan sebuah silinder sebagai permukaan Gaussian dengan sumbunya tegak lurus terhadap lembaran muatan itu, dengan ujungujung yang luasnya A (Gambar 23-17). Lembaran bermuatan itu lewat melalui pertengahan panjang silinder, sehingga ujung-ujung sil inder itu berjarak sama dari lembaran tersebut. Di setiap ujung silinder, dtegak lurus terhadap permukaan, dan dr sama dengan E; maka fluks yang melalui setiap ujung adalah +EA. Karena f tegak lurus terhadap lembar bermuatan itu, maka sejajar dengan slsi yang melengkung dari silinder, sehingga E, di dinding ini adalah nol, dan tidak ada fl uks yang melalui dinding ini. Integral fluks total dalam hukum Gauss adalah2EA (EA darr 23 - 35 setiap ujung dan nol dari dinding samping). Muatan netto di dalam permukaan Gaussian itu adalah muatan per satuan luas dikalikan dengan luas lembaran yang dicakup oleh permukaan itu, atau Qtercakup = A Maka hukum Gauss, Persamaan (23-8), memberikan Ini adalah hasil yang sama yang kita peroleh dalarn Contoh 22-12 (Subbab 22J) dengan menggunakan sebuah perhitungan yang jauh lebih rumit. Medan itu homogen dan diarahkan tegak lurus terhadap bidang lembar. Besarnya tak bergantung pada jarak dari lembar itu' Maka garis-garis medan itu lurus, sejajar satu sama lain, dan tegak lurus terhadap lembar itu. Jika kerapatan muatan itu negatif, maka E diarahkan menuju lembar itu, fluks yang melalui permukaan Gaussian dalam Gambar 23-17
addahnegatif, dan odalam pemyataan E = /2o menyatakan besar (mulai mutlak) kerapatan muatan itu. Anggapan bahwa ukuran lembaran itu adalah tak berhingga merupakan sebuah pengandaian ideal, dan tidak ada sesuatupun di atam ini yang besarnya benar-benar tak berhingga. Tetapi hasil E = /2o adalah sebuah aproksimasi yang baik untuk titik yang begitu dekaidengan lembar itu (dibandingkan dengan dimensi lembar) dan tidak terlalu dekat ke tepi-tepi lembarnya. Di titik seperti itu, medan itu sangat hampir homogen dan tegak lurus terhadap bidang lembar. 23 - 36 CONTOH 23-8 Medan di antara pelat-pelat konduksi sejaiar yang bermuatan berlawanan Dua pelat konduksi sejajar bidang yang b esar diberi muatan yang besamya sama dan tandanya berlawanan; muatan per satuan luas adalah + untuk satu pelat dan untuk pelat lainnya.Tentukan medan listrik dalam daerah di antara pelat-pelat itu. PENYELESAIAN Medan di antara dan di sekitar pelat-pelat itu secara aproksimasi diperlihatkan dalam Gambar 23-18a. Karena muatan-muatan yang berlawanan itu tarik-menarik, maka kebanyakan muatan itu berkumpul di sisi-sisi yang berhadapan dari pelat-pelat itu. Sejumlah kecil muatan itu berdiam pada permukaan sebelah luar dari, pelat-pelat tersebut, dan ada suatu penyebaran atau "peminggiran fiinging)" dari medan itu di tepi-tepi pelat. Tetapi jika pelat-pelat itu sangat besar dibandingkan dengan jarak di antara pelatpelat tersebut, maka jumlah muatan pada permukaan sebelah luar sangat kecil, dan peminggiramya itu dapat diabaikan kecuali di dekat tepi-tepr pelat tersebut. Dalam kasus ini kita dapat menganggap bahwa medan itu homogen dalam daerah sebelah dalam di antara pelatpelat,
seperti pada Ganbar 23-18b, dan bahwa muatan itu didistribusikan secara homogel @a pemukan-permukaan yang berhadapan. Untuk mengeksploitasi simetri ini, kita dapat menggunakan permukaan-permukaan Gaussian yang dinamai Sl, 52, 53, dan S4 23 - 37 Permukaan-permukaan ini adalah silinder dengan ujung-ujung yang luasnya A yang menyerupai permukaan yang perspektifnya diperlihatkan dalam Gambar 23-17; permukaan-permukaan itu diperlihatkan dalam pandangan samping dalam Gambar 23-18b. Satu ujung dari setiap permukaan terletak di dalam salah satu pelat konduksi itu. Untuk permukaan yang ditandai S,, ujung sebelah kiri berada di dalam pelat I (pelat positif). Karena medan itu nol di dalam volume dari setiap konduktor padat di bawah kondisi elektrostatik, maka tidak ada fluks listrik yang melalui ujung ini. Medan listrik di antara pelat-pelat itu tegak lurus terhadap ujung sebelah kanan, sehingga pada ujung tersebut, E, sama de'ngan E dan fluks itu adalah EA; fluks ini positif, karcta E diarahkan ke luar dari permukaan Gaussian itu. Tidak ada fluks yang metalui dinding samping silinder itu, karena dinding i ni sejajar dengan E. Maka integral fluks total dalam hukum gauss adalah EA{. Muatan netto yang dicakup oleh silinder itu adalah A, sehingga Persamaan (23-8) menghasilkan 0
= A EA dan
0
= E (medan di antara pelat-pelat berkonduksi yang bermuatan berlawanan) Medan itu homogen dan tegak lurus terhadap pelat-pelat, dan besarnya tak bergantung pada jarak dari setiap pelat. Hasil yang sama ini dapat diperoleh dengan menggunakan permukaan Gaussian ,S4 lagipula, permukaan S2, dan S3, dapat digunakan untuk memperlihatkan bahwa E = 0 ke sebelah kiri dari pelat I dan ke sebelah kanan dari pelat2. Kami meninggalkan perhitungan ini sebagai soal bagi Anda. Kita mendapatkan hasil-hasil yang di atas dalam Contoh22-13 (Subbab 22-7) dengan menggunakan prinsip superposisi medanmedan listrik. Medan yang ditimbulkan oleh kedua l embaran muatan itu (satu lembaran pada setiap pelat) adalah E dan E, dari Contoh 23-7, kedta 23 - 38 medan ini mempunyai besar /2o, Medan listrik (resultan) total di sebarang titik adalah jumlah vektor d= E1+ E2, Di titik a dan titik c dalam Gambar 23-18b, E1dan E2 mempunyai arah-arah yang berlawanan, dan resultannya adalah nol. Ini juga benar di tiap-tiap titik di dalam material setiap pelat, yang konsisten dengan persyaratan bahwa d engan muatan yang berada dalam keadaan diam maka tidak ada medan di dalam sebuah konduktor padat. Di sebarang titik , di antara pelat-pelat iu, Erdan .d, mempunyai arah yang sama; resultannya mempunyai besar E = /2o, persis seperti yang kita dapatkan di atas dengan menggunakan hukum Gauss. CONTOH 23-9
Medan sebuah bola yang bermuatan homogen Muatan listrik positif Q didistribusikan secara homogen di seluruh volume sebuah bola pengisolasi dengan jari-jari R. Tentukan besarnya medan listrik itu di sebuah titik P yang berjarak r dari pusat bola tersebut.
PENYELESAIAN Seperti dalam Contoh 23-5, sistem itu bersifat simetri bola. Untuk memanfaatkan simetri ini, kita memilih sebuah bola dengan jari-jari r sebagai permukaan Gaussian kita, yang konsentris dengan distribusi muatan itu. Dari simetri maka besar E dari medan listrjk itu mempunyai nilai yang sama di tiaptiap titik pada permukaan Gaussian tersebut, dan arah E adalah radial di tiaptiap titik pada permukaan, sehingga EL= E. Maka fluks listrik yang melalui permukaan Gauss tersebut adalah hasil kali dari E dan luas total dari permukaan A = 4²r, yakni, E = 4²E Banyaknya muatan yang tercakup di dalam permukaan Gaussian itu bergantung pada jari-jari r. Marilah kita mula-mula mencari besarnya medan di dalam bola bermuatan yang jari-jarinya R; besarnya E dihitung di jari-jari permukaan Gaussian itu, sehingga kita memilih r < R. Kerapatan muatan volume p adalah muatan Q dibagi oleh volume dari keseluruhan bola bermuatan yangjari-jarinya R: 23 - 39 4/3 3 R Q =
Volume Vtercakup yang dicakup oleh permukaan Gaussian itu adalah 4/3 r³ , selmgga muatan total Qtercakup yang dicakup ol eh permukaan tersebut adalah
3 3 3 3 3 4 4R r r Q R Q Qtercakup Vtercakup
=
== Maka hukum Gauss, Persamaan (23-8), menjadi
3 3 0 2 4 R Qr rE
= atau
3 0 4 1 R Qr E
=
(medan di dalam sebuah bola bermuatan homogen) Besarnya medan itu sebanding dengan jarak r dari titik medan dari pusat bola. Di pusat bola (r = 0), E = 0' Untuk mencari besarnya medan di luar bola bermuatan itu, kita menggunakan sebuah permukaan Gaussian bola yangjari-jarinya r > R. Permukaan ini mencakup keseluruhan bola bermuatan itu, sehingga Q tercakup= - Q, dan hukum Gauss memberikan
0 2 4
= Q r E atau
2 0 4 1 R Qr E
=
(medan di luar sebuah bola bermuatan homogen) Untuk setiap benda bermuatan yang bersifat simetri bola, medan listrik di luar benda itu adalah sama, seakan-akan keseluruhan muatan itu dikonsentrasikan dibagian pusat. (Kita membuat pengamatan yang sama ini dalam Contoh 23-5.) 23 - 40 Gambar 23-19 memperhhatkan sebuah grafik dari E sebagai fungsi dari r untuk soal ini. Untuk r < R, E berbanding langsung dengan r dan untuk r > R, E berubah sebagai 1/r² muatan itu negatif sebagai ganti dari muatan positif, E ke arah dalam radial dan p dalam pemyataan untuk E ditafsirkan sebagai besar ( nilai mutlak) muatan itu. Perhatikan bahwa jika kita membuat r = R dalam salah satu dari kedua pernyataan itu untuk E (di dalam atau di luar bola)' kita mendapatkan hasil yang sama E = Q/4oR² untuk besamya medan di permukaan bola itu; ini karena besarnya E adalah sebuah fungsi kontinu dari r Bertentangan dengan itu, untuk bola konduksi yang bermuatan dari Contoh 23-5 besar medan listrik ittt diskontinu di r = R (besar medan listrik itu melompat dari E = 0 di dalam bola menjadi E = Q/4oR² persis di dalam bola itu). Umumnya, besar medan listrik. arah medan listrik, atau baik besar maupun arah medan listrik itu diskontinu bilamana ada lembaran muatan, seperti di permukaan sebuah bola konduksi yang bermuatan (Contoh 23-5), di permukaan sebuah lembaran bermuatan tak berhingga, atau di permukaan sebuah pelat konduksi yang bermuatan (Contoh 23-8). Cara umum yang digunakan dalam contoh ini dapat dipakaikan untuk sebarang distribusi muatan yang bersifat simetri bola' baik
23 - 41 distribusi itu homogen ataupun tidak. Distribusi muatan seperti itu terjadi di dalam banyak atom dan inti atom, dan inilah sebabnya mengapa hukum Gauss merupakan sebuah alat yang berguna dalam fisika atom dan fisika nuklir. 23-6 MUATAN PADA KONDUKTOR Kita telah mempelajari bahwa dalam situasi elektostatik (di mana tidak ada gerak netto dari muatan) medan listrik di tiap-tiap titik di dalam sebuah konduktor adalah nol dan bahwa setiap muatan yang berlebih pada sebuah konduktor diletakkan seluruhnya pada p ermukaannya (Gambar 2320a). Tetapi apa yang terjadi jika ada sebuah rongga di dalam konduksi itu (Gambaf 23-2Ob)? Jika tidak ada muatan di dalam rongga itu, kita dapat menggunakan sebuah per mukaan Gaussian seperti A (yang sepenuhnya terletak di dalam material konduktor itu) untuk memperlihatkan bahwa muatan netto pada permukaan rongga i Tu harus nol, karena E= 0 di setiap tempat pada permukaan Gaussian tersebut. Ternyata, kita dapat membuktikan dalam situasi ini bahwa tidak boleh ada sebarang muatan dr manapun pada permukaan rongga itu. Kita akan menunda bukti terperinci dari pernyataan ini sampai Bab 24, Misalkan kita menempatkan sebuah benda kecil dengan muatan 4 di dalam rongga dibagian dalam sebuah konduklor (Gambar 23-20c). Konduktor itu tidak bermuatan dan diisolasi dari muatan 4. Sekali lagi E = 0 di setiap tempat pada permukaan A, sehingga menurut hukum Gauss muatan total di dalam permukaan itu harus nol. Maka harus ada sebuah muatan -q yarrg didistribusikan pada permukaan rongga itu, yang ditarik ke sana oleh muatan q yang berada di d alam rongga. Muatan total pada konduktor harus tetap nol, sehingga sebuah muatan +4 harus muncul baik pada permukaan luar maupun di dalam material itu. Tetapi kita
memperlihatkan dalam Subbab 23-5 bahwa dalam situasi elektrostatistik tidak boleh ada muatan yang berlebih di dalam material sebuah konduktor. Maka kita menyimpulkan bahwa muatan + q harus muncul pada permukaan sebelah luar. Dengan alasan yang sama, jika konduktor 23 - 42 itu pada mulanya mempunyai muatan Qs, maka muatan total pada permukaan sebelah luar sama dengan q = qc setelah muatan 4 disisipkan ke dalam rongga itu. CONTOH 23-10 Konduktor yang penampangnya diperlihatkan dalam Ganrbat 23-21 mengangkut muatan total sebesar +3 nC . Muatan di dalam rongga itu, diisolasi dari konduktor, adalah -5 nC. Berapabanyakkah muatan yang ada pada setiap permukaan (sebelah dalam dan sebelah luar) konduktor itu? PENYELESAIAN Jika muatan dalam rongga itu adalah q = -5 nC, muatan pada permukaan rongga sebelah dalam harus sama dengan -q = -(-5 nC) = +5 nC. Konduktor itu mengangkut muuatan total sebesar +3 nC, yang semuanya tidak berada di bagian dalam material itu. Jika +5 nC b erada pada permukaan sebelah dalam rongga itu, maka harus ada (+3 nc) - (+5 nc) = -2 nc pada permukaan konduktor sebelah luar. 23 - 43 MENGUJI HUKUM GAUSS MELALUI EKSPERIMEN Kita sekarang dapat meminjam sebuah eksperimen bersejarah, yang diperlihatkan dalam Gambar 23-22. Kita meletakkan sebuah wadah konduksi, misalnya sebuah ember logam ndengan sebuah penutup, di atas sebuah tempat kedudukan pengisolasi. Wadah itu pada mulanya tidak bermuatan. Kemudian kita menggantungkan sebuah bola lo gam bermuatan dengan seutas benang pengisolasi (G ambar 23-22a), menurunkannya ke dalam ember itu, dan menaruh penutupnya (Gambar
23-22b). Muatan diinduksi pada dinding wadah, seperti yang diperlihatkan. Tetapi sekarang kita membiarkan bola itv menyentuft dinding sebelah dalam (Gambar 23-22c). Efeknya, permukaan bola itu menjadi bagian dari permukaan rongga. S ituasi itu sekarang sama seperti Gambar 23-20b;jika hukum Gauss benar, muatan netto pada permukaan rongga harus sama dengan nol. Jadi bola itu harus kehilangan semua muatannya. Akhirnya, kita mengeluarkan bola itu; kita mendapatkan bahwa bola itu sungguh telah kehilangan semua muatannya. Eksperimen ini dilakukan dalam abad k esembilan belas oleh saintis Inggris Michael Faraday, dengan menggunakan sebuah ember es logam 23 - 44 dengan sebuah penutup, dan eksperimen itu dinamakan eksperimen ember es Faraday (Faraday's icepail experiment). (Eksperimen yang serupa dilakukan pada abad kedelapan belas oleh Benjamin Franklin di Amerika dan Joseph Priestley di Inggris, walaupun dengan ketelitian yang jauh lebih kecil.) Hasil itu memastikan berlakunya hukum Gauss dan juga hukum Coulomb. Hasil eksperimen Faraday merupakan hasil yang penting karena metode ekperimen Coulomb, dengan menggunakan sebuah neraca puntiran (torsion balance) dan pembagian muatan, tidak sangat teliti; sangat sukar untuk memastikan kebergantungan Lll dari gaya elektrostatik dengan ketelitian besar melalui pengukuran gaya langsung. Bertentangan dengan itu, eksperimen seperti eksperimen Faraday menguji berlakunya hukum Gauss, yang berarti juga menguji berlakunya hukum Coulomb, dengan ketelitian yang jauh lebih besar. Sebuah versi modern dari eksperimen Faraday diperlihatkan dalam Gambar 23-23. Rincian kotak yang bertanda "sumber daya" ("power supply") tidaklah penting; kerja kotak itu adalah untuk menempatkan muatan pada bola sebelah luar dan menghilangkan muatan itu bila
diinginkan. Kotak sebelah dalam dengan sebuah muka arloji (dial) adalah sebuah elektrometer yang peka, yakni sebuah instrumen yang dapat mendeteksi gerak muatan yang jumlahnya sangat kecil di antara bola sebelah luar dan bola sebelah dalam. Jika hukum Gauss benar, maka tidak akan pernah ada muatan p ada permukaan sebelah dalam dari bola sebelah luar itu. Jika demikiano maka seharusnya tidak ada aliran muatan di antara bolabola ketika bola sebelah lu ar itu sedang diberi muatan atau sedang dikosongkan muatannya. Kenyataan bahwa sesungguhnya tidak ada aliran diamati merupakan sebuah konfirmasi yang sangat peka dari hukum Gauss dan dengan demikian juga adalah sebuah kepastian dari hukum Coulomb. Ketelitian eksperimen ini terutama dibatasi oleh elektrometer itu, yang dapat peka secara mengherankan. Eksperimen selalu memperlihatkan bahwa eksponen 2 dalam 1/r² dari hukum Coulomb tidak berbeda lebih daripada 10-16 dari 23 - 45 2 persisnya. Maka tidak ada alasan untuk mencurigai bahwa eksponen itu adalah sesuatu yang secara eksak lain daripada 2. Prinsip yang sama yang melatarbelakangi eksperimen ember es Faraday digunakan dalan generator elektrostatik Van de Graaff (Gambar 23-24). Bola konduksi bermuatan dari Gambar 23-22 digantikan oleh sebuah ikat pinggang bermuatan yang secara terus menerus mengangkut muatan ke bagian dalam sebuah kulit konduksi, hanya untuk mengangkut muatan itu ke permukaan luar kulit itu. Sebagai akibatnya, muatan pada kulit dan medan listrik di sekitarnya dapat menjadi sangat besar secara sangat cepat. Generator Van d e Graaff itu digunakan sebagai akselerator partikel bermuatan dan untuk demonstrasi fisika. Prinsip ini juga membentuk dasar untuk pelindung elektrostatik (electrostatic shield'lng), Misalkan kita mempunyai sebuah instrumen
elektronik yang sangat sensitif yang kita inginkan untuk dilindungi dari medan listrik yang kesasar yang dapat menyebabkan pengukuran yang salah. Kita mengelilingi instrumen itu dengan sebuah material konduksi seperti selembar tembaga. Medan listrik luar mendistribusikan kembali elektron-elektron bebas dalam konduktor itu, yang meninggalkan sebuah muatan positif netto pada permukaan sebelah luar dalam beberapa daerah dan sebuah muatan ne gatif netto dalam daerah lainnya (Gambar 23-25). Distibusi muatan ini menyebabkan sebuah me dan listrik tambahan sehingga medan total di tiap+iap titik dalam kotak sama dengan nol, seperti yang dikatakan oleh hukum Gauss. Distribusi muatan pada kotak juga mengubah bentuk dari garis-garis medan di dekat kotak itu seperti yang diperlihatkan oleh gambar. Susunan seperti itu seringkali dinamakan sangkar Faraday (Faraday cage). Peistiwa Fisika yang sama memberitahu Anda bahwa salah satu tempat yang paling aman sewaktu badai halilintar adalah di dalam 23 - 46 23 - 47 sebuah mobil; jika mobil itu disambar oleh halilintar, maka muatan itu cenderung berdiam pada kulit logam kendaraan tersebut, dan medan listrik kecil atau tidak ada medan listrik yang dihasilkan dalam ruangan penumpang. MEDAN DI PERMUKAAN SEBUAH KONDUKTOR Terakhir, kita memperhatikan bahwa ada sebuah hubungan langsung di antara medan di sebuah titik yang persis berada di luar sebuah konduktor dan kerapatan muatan permukaan di titik tersebut. Umumnya, berubah dan titik ke titik pada permukaan itu. Kita akan memperlihatkan dalam Bab 24 bahwa di sebarang titik seperti itu, arah
selalu tegak lurus terhadap permukaan. Untuk mencari sebuah hubungan di antara di sebarang titik pada permukaan dan komponen tegak lurus dari medan listrik di titik tersebut, kita mengkonstruksi sebuah permukaan Gaussian dalam bentuk sebuah silinder kecil (Gambar 2326). Satu sisi ujung, dengan luas A, terletak di dalam konduktor itu, dan sisi ujung yang lainnya terletak persis di luar konduktor itu. Medan listrik adalah nol di semua titik di dalam konduktor. Di luar konduktor itu komponen dari yang tegak lurus terhadap dinding samping silinder itu adalah nol, dan pada muka ujung itu komponen yang tegak lurus tersebut sama dengan E
(Jika adalah positif maka medan listrik itu akan menunjuk ke arah luar konduktor dan E
akan positif; jika adalah negatif, medan itu akan 23 - 48 menunjuk ke arah dalam dan akan negatif.) Maka fluks total yang melalui permukaan itu adalah . Muatan yang tercakup dalam permukaan Gaussian itu adalah
E
E
A A, sehingga dari hukum Gauss, Kita dapat memeriksa ini dengan hasil-hasil yang telah kita dapatkan
untuk permukaan bola, permukaan silinder, dan permukaan bidang. Kita memperlihatkan dalam Contoh 238 bahwa besarnya medan di antara dua pelat konduksi rata tak berhingga yang bermuatan berlawanan juga menyamai 0 r / . Dalam kasus ini besarnya medan itu sama di semua jarak dan pelat-pelat itu, tetapi dalam semua kasus lainnya, besamya medan itu berkurang dengan jarak yang semakin bertambah dan permukaan itu. CONTOH 23-11 Buktikan Persamaan (2310) untuk sebuah bola konduksi dengan jari-jari R dan muatan total q. PENYELESAIAN Dalam Contoh 235 (Subbab 235) kita memperlihatkan bahwa medan listrik persis di luar permukaan itu adalah 23 - 49 Densitas muatan permukaan itu adalah homogen dan sama dengan q dibagi oleh luas permukaan bola: Dengan membandingkan kedua pernyataan ini, kita mengetahui bahwa 0 E=/
adalah seperti yang dinyatakan oleh Persamaan (23I 0).
CONTOH 23-12 Medan listrik bumi Bumi mempunyai muatan listrik netto. Medan listrik yang dihasilkan di dekat permukaan bumi dapat diukur dengan instrurnen elektronik yang peka: nilai rata-ratanya adalah 150 N/C, yang diarahkan menuju pusat bumi. a) Berapakah kerapatan muatan perrnukaan yang bersangkutan? b) Berapakah muatan perrnukaan total dan bumi itu? PENYELESAIAN a) Kita rnengetahui dan arah medan itu bahwa adalah negatif (yang bersesuaian dengan yang diarahkan k e dalam permukaan sehingga
adalah negatif). Dan Persamaan (2310), 922 12 12 / 2 0 / 1,33 10 / 1,33 ... (8,85 10 )( 150 /) C m nC m ECNmN =×=
×= =
b) Muatan total Q adalah hasil kali dan luas perrnukaan , di mana adalah jari-jari bumi, dan kerapatan muatan 2 4B R RB m 6 = 6,38×10 C kC QmCm 6,8 10 680 ...
4 (6,38 10 ) ( 1,33 10 / 5 2 2 9 2) =×= ××= Kita dapat juga menggunakan hasil dan Contoh 235. Pernecahan untuk Q, kita ternukan Sebuah elektron bermuatan 1,60 x 109C/m2 maka banyaknya kelebihan muatan untuk negatif bersesuaian dengan (6,8 x C)/ (1,60 x ) = 4,2 x kelebihan elektron pada bumi, atau sekitar 7 mol dan kelebihan elektron. Nilai ini seimbang dengan 5 10 19 10 24 10 23 - 50 persarnaan defisiensi elektron dalam atmosfir bumi, jadi kombinasi bumi dan atmosfir adalah netral secara listrik. RINGKASAN KATA KUNCI permukaan tertutup (closed surface), 121 fluks llstrik (electric flux), 122 integral permukaan (surface integral), 125
hukum Gauss, 127 Gaussian (Gaussian surface), 129 Eksperimen ember es Faraday (Faradays icepail experiment), 138 Fluks listrik adalah ukuran aliran medan listrik yang melalui sebuah permukaan. Fluks listrik itu sama dengan hasil perkalian elemen luas dan komponen tegak lurus dari , yang diintegralkan pada sebuah permukaan: Hukum Gauss secara logika adalah ekuivalen dengan hukum Coulomb, tetapi penggunannya sangat menyederhanakan soalsoal yang mempunyai derajat simetri yang tinggi. Hukum itu menyatakan bahwa fluks listrik total yang melalui sebuah permukaan tertutup, yang dapat dituliskan sebagai integral permukaan dan komponen dari yang normal terhadap permukaan itu, menyamai sebuah konstanta kali muatan total yang dicakup oleh permukaan itu: tercakup Q Hukum Gauss dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yang ekuivalen: 23 - 51 Bila muatan yang berlebih ditempatkan pada sebuah konduktor dan berada dalam keadaan d iam, muatan yang berlebih itu seluruhnya terdapat pada permukaan, dan E = 0 di setiap
tempat dalam material konduktor itu. Tabel berikut mendaftarkan medan listnik yang disebabkan oleh beberapa distribusi muatan. Dalam tabel itu, q, Q, dan a menunjuk pada besar kuantitas-kuantitas tersebut. PERTANYAAN DISKUSI P231 Sebuah permukaan Gaussian berbentuk bola mencakup sebuah muatan titik q. Jika muatan titik itu dipindahkan dan pusat bola ke sebuah titik menjauhi pusat itu, apakah medan listrik di sebuah titik pada permukaan itu berubah? Apakah fluks total yang melalui permukaan Gaussian itu berubah? Terangkan. P232 Sebuah daerah ruang tertentu dibatasi oleh sebuah permukaan tertutup khayali yang tidak berisi muatan. Apakah medan listrik selalu nol di setiap tempat pada pemukaan itu? Jika tidak, di bawah keadaan apakah medan itu nol pada permukaan? 23 - 52 P233 Sebuah balon karet mempunyai sebuah muatan titik tunggal di dalamnya. Apakah fluks listrik yang melalui balon itu bergantung pada apakah balon itu sepenuhnya dipompa atau tidak? Terangkan alasan Anda. P234 Apakah hukum Coulomb dan hukum Gauss seluruhnya ekuivalen? Apakah ada situasi dalam elektrostatika di mana salah satu dari kedua hukum itu berlaku dan hukum yang lainnya tidak berlaku? Terangkan alasan Anda. P235 Dalam Gambar 2313, misalkan sebuah muatan titik ketiga ditempatkan di luar permukaan Gaussian C yang berwana kuning. Apakah ini akan mempengaruhi fluks listnik yang melalui salah satu permukaan A, B, C, atau D dalam gambar itu? Mengapa atau mengapa tidak? P236 Seandainya medan listrik da n sebuah titik sebanding dengan
bukannya , akankah hukum Gauss masih berlaku? Terangkan alasan Anda. (Petunjuk: Tinjaulah sebuah permukaan Gaussian bola yang berpusat pada sebuah muatan titik tunggal.) 2 1/ r 2 1/ r P237 Sebuah silinder Iingkaran tegak yang padat yang jari-jarinya R dan tingginya h = R mempunyai muatan yang didistribusikan secara homogen di seluruh volumenya. Dapatkah hukum Gauss digunakan untuk menghitung medan listnik di semua titik di dalam silinder itu? Bagaimana tentang medan listrik di semua titik di luar silinder itu? Terangkan alasan Anda. P238 Diperlihatkan dalam buku pelajaran ini bahwa medan listrik di dalam sebuah rongga kosong dalam sebuah konduktor adalah nol. Apakah pernyataan ini benar, tak peduli bagaimanapun bentuk rongga itu? Mengapa atau mengapa tidak? P239 Medan listrik E adalah homogen di seluruh daerah tertentu dan suatu ruang. Sebuah bola konduksi kecil yang mengangkut sebuah muatan netto Q kemudian ditempatkan dalam daerah ini. Berapakah medan listrik di dalam bola itu? Terangkan alasan Anda. P2310 Dalam sebuah konduktor, satu atau lebih elektron dan setiap atom bebas bergerak mondar-mandir di seluruh volume konduktor itu. 23 - 53 Apakah ini menentang penyataan bahwa setiap muatan yang berlebih pada sebuah konduktor padat harus berada pada permukaannya?
Mengapa atau mengapa tidak? P2311 Terangkan pernyataan yang berikut: Dalam sebuah situasi statis, medan listnik di permukaan sebuah ko nduktor tidak dapat mempunyai komponen yang sejajar dengan permukaan itu, karena hal ini akan melanggar syarat bahwa muatan pada permukaan itu diam. Apakah pernyataan yang sama ini merupakan pernyataan yang berlaku juga untuk medan listrik di permukaan sebuah isolator? Terangkan jawaban Anda, dan alasan untuk setiap perbedaan di antara kasus sebuah konduktor dan kasus sebuah isolator. P2312 Besar E di permukaan sebuah konduktor padat yang b entuknya tak teratur harus paling besar d alam daerah di mana permukaan itu melengkung paling tajam, seperti pada titik A dalam Gambar 2327, dan harus paling kecil dalam daerah rata seperti titik B dalam Gambar 23 27. Terangkan mengapa hal ini harus demikian dengan meninjau bagaimana garis-garis medan listrik harus diatur di dekat sebuah permukaan di titik A dibandingkan dengan kerapatan muatan permukaan di titik B? Terangkan. P2313 Sebuah penangkal petir adalah sebuah batang tembaga yang tajam yang dinaikkan ke atas sebuah bangunan dan dipatri pada sebuah kabel tembaga yang berat, yang memanjang ke bawah ke dalam tanah. Penangkal petir digunakan untuk melindungi rumah dan gudang dari sambaran petir; arus petir itu berjalan melalui tembaga dan bukan melalui bangunan. Mengapa? Mengapa ujung penangkal plat itu harus tajam? (Petunjuk: Jawaban untuk P2312 mungkin dapat membantu.) P2314 Sebuah konduktor padat mempunyai sebuah rongga di
dalamnya. Apakah kehadiran sebuah muatan titik di dalam rongga itu akan mempengaruhi medan listrik di luar ko nduktor tersebut? Mengapa atau mengapa tidak? Apakah k ehadiran sebuah muatan titik di luar konduktor itu akan mempengaruhi medan listrik di dalam rongga itu? Sekali lagi, mengapa atau mengapa tidak? 23 - 54 P2315 Beberapa pesawat udara modern dibuat terutama dari material komposit yang tidak menghantarkan listrik. Administrasi Penerbangan Federal Amerika Serikat mengharuskan pesawat udara seperti itu mempunyai kawat-kawat konduksi yang ditanamkan dalam permukaannya untuk menyediakan perlindungan ketika terbang di dekat hujan badai yang disertai petir dan guruh. Terangkan peristiwa fisika yang melatarbelakangi persyaratan ini. LATIHAN SUBBAB 233 MENGHITUNG FLUKS LISTRIK 231 Selembar kertas rata yang luasnya 0,250 diorientasikan sehingga normal ke lembar itu membentuk sudut sebesar 60° terhadap sebuah medan listrik homogen yang besamya 14 N/C. a) Carilah besar fluks listrik yang melalui lembar itu. b) Apakah jawaban untuk bagian (a) bergantung pada bentuk lembar itu? Mengapa atau mengapa tidak? c) Untuk sudut 2 m berapakah di antara normal ke lembar itu dan medan listrik terdapat besar fluks yang melalui lembar tersebut i ) paling besar? ii) paling kecil? Terangkan jawaban Anda. 232 Kubus dalam Gambar 2328 mempunyai sisi-sisi yang panjangnya L = 10,0 cm. Medan listrik itu adalah homogen, mempunyai besar E = 4,00
N/C, dan sejajar dengan bidang-xy pada sudut sebesar 36,9° yang diukur dari sumbu x positif menuju sumbu y positif. a) Berapakah fluk listrik yang melalui masing-masing keenam muka 3 ×10 23 - 55 kubus dan ? b) Berapakah fluks listrik total yang melalui semua sisi kubus itu? 12345 S,S,S,S,S6 S 233 Sebuah kubus mempunyai sisi-sisi yang rusuknya L. Kubus itu ditempatkan dengan satu titik sudut di titik asal seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2328. Medan listrik itu adalah homogen dan diberikan oleh E = Bi + Cj Dk di mana B, C, dan D adalah konstantakonstanta yang positif. a) Carilah fluks listrik yang melalui masing-masing keenam sisi kubus itu b dan ? b) Carilah fluks listrik yang melalui seluruh kubus itu. 12345 S,S,S,S,S6 S 234 Sebuah lembar rata mempunyai bentuk sebuah segi empat sikusiku dengan sisi-sisi yang panjangnya 0,400 m dan 0,600 m. Lembar itu dicelupkan dalam sebuah medan listrik homogen yang besarnya 75,0 N/C, yang membentuk sudut 20° dari bidang lembar itu (Gambar 2329). Carilah besarya fluks listrik yang melalui lembar itu. 235 Diperlihatkan dalam Contoh 2211 (Subbab 227) bahwa medan
listrik yang ditimbulkan oleh sebuah garis muatan tak terhingga adalah tegak lurus terhadap garis muatan itu d an mempunyai besar
23 - 56 E = / 2 0 r . Tinjaulah sebuah silinder khayal dengan jari-jari r = 0,250 m dan panjang l = 0,400 m yang mempunyai sebuah garis muatan positif tak berhingga yang terletak sepanjang sumbu silinder itu. Muatan per satuan panjang pada garis itu adalah = 6,00µC / m. a) Berapakah fluks listrik yang melalui silinder itu yang ditimbulkan oleh garis muatan tak berhingga ini? b) Berapakah fluks yang melalui silinder itu jika jarijarinya ditambah menjadi r = 0,500 m? e) Berapakah fluks yang melalui silinder itu jika panjangnya ditambah menjadi l = 0,800 m? SUBBAB 234 HUKUM GAUSS 236 Ketiga bola kecil yang diperlihatkan dalam Gambar 2330 mengangkut muatan q1 = 4,00nC,q2 = 7,80nC,danq3 = 2,40nC . Carilah fluks listrik netto yang melalui masing-masing permukan tertutup yang penampangnya diperlihatkan dalam gambar f) Apakah jawaban Anda untuk bagian (a) sampai bagian (e) bergantung pada bagaimana muatan itu didistribusikan pada setiap bola kecil? Mengapa atau mengapa tidak? 1 2 3 4 5; a)S ;b)S ;c)S ;d)S ;e)S 23 - 57 237 (a) Sebuah muatan tertutup mencakup sebuah muatan netto sebesar
3,60 µC . Berapa fluks listrik netto yang melalui permukaan
itu? b) Fluks listrik yang melalui sebuah permukaan tertutup adalah sebesar 780 N /C. Berapakah kuantitas dan muatan yang dicakup
oleh permukaan itu? c) Permukaan tertutup dalam bagian (b) adalah sebuah kubus dengan sisi-sisi yang panjangnya 2,50 cm. Dan informasi yang diberikan dalam bagian (b), apakah mungkin untuk mengetahui di mana di dalam kubus itu muatan tersebut diletakkan? Terangkan. 2 m 238 Sebuah muatan titik q = 4,00 nC diletakkan pada sumbu x di x = 2,00 m, dan sebuah muatan titik kedua = 6,00 nC berada pada sumbu y di y = 1,00 m. Berapakah fluks listrik total yang ditimbulkan oleh kedua muatan titik ini melalui sebuah permukaan bola yang berpusat di titik asal dan dengan jari-jari a) 0,500 m? b)1,50 m? c)2,50 m? 2 q 239 Dalam sebuah daerah ruang tertentu medan listrik E adalah homogen. a) Gunakan hukum Gauss untuk membuktikan bahwa daerah ruang ini secara listrik harus netral; yakni, kerapatan muatan volume harus nol. b) Apakah pernyataan kebalikannya benar? Yakni, dalam sebuah daerah ruang di mana tidak ada muatan, haruskah E homogen? Terangkan. 2310 a) Dalam sebuah daerah ruang tertentu, kerapatan muatan volume mempunyai nilai positif homogen. Dapatkah E
homogen dalam daerah ini? Terangkan. (b) Misalkan dalam daerah yang positif homogen ini ada sebuah gelembung di dalam di mana = 0. Dapatkah E homogen di dalam gelembung ini? Terangkan. 2311 Sebuah muatan titik sebesar 9,60 mC berada di pusat sebuah kubus dengan sisi-sisi yang rusuknya 0,500 m. a) Berapakah fluks listrik yang melalui salah satu dan keenam muka kubus itu? b) Bagaimana perubahan jawaban Anda untuk bagian (a) seandainya sisi-sisi itu mempunyai rusuk 0,250 m? Terangkan. 23 - 58 SUBBAB 23-5 APLIKASI HUKUM GAUSS SUBBAB 236 MUATAN PADA KONDUKTOR 2312 Sebuah bola l ogam padat yang jari-jarinya 0,450 m mengangkut muatan netto sebesar 0,250 nC. Carilah besamya medan listrik a) di sebuah titik 0,100 m di luar permukaan bola itu; b) di sebuah titik di dalam bola itu; 0,100 m di bawah permukaan. 2313 Dalam sebuah demonstrasi kuliah fisika, sebuah muatan sebesar 0,180 µC ditempatkan pada kubah bola sebuah generator Van de Graaff. a) Seberapa jauh dari pusat kubah itu seharusnya Anda duduk supaya medan listrik di tempat duduk Anda mempunyai besar di dalam nilai maksimum yang direkomendasikan sebesar 614 N/C ( Latihan 22 28)? b) Jawaban untuk bagian (a) tidak bergantung pada jari-jari kubah itu. Mengapa tidak? 2314 Drum silinder pembentuk citra dan sebuah mesin fotokopi harus mempunyai sebuah medan listrik persis di luar permukaan drum itu sebesar 1,40 N/C. a) Jika drum itu mempunyai luas permukaan
sebesar 0,0610 (luas selembar kertas berukuran 5 +10 2 m 2 1 8 x 11 in), berapakah kuantitas muatan total yang harus berdiam pada permukaan drum itu? b) Jika luas permukaan drum itu ditambah menjadi 0,122 m 2 sehingga lembar-lembar kertas yang lebih besar d apat digunakan, berapakah kuantitas muatan total yang diperlukan untuk menghasilkan medan listrik yang sama sebesar 1,40 x N/C persis di atas permukaan itu? 5 10 2315 Berapa banyak elektron berlebih yang harus ditambahkan pada sebuah konduktor bola yang terisolasi yang diameternya 32,0 cm untuk menghasilkan sebuah medan listrik sebesar 1.150 N/C persis di luar permukaan itu? 2316 Sebuah konduktor dengan sebuah rongga di b agian dalamnya, seperti konduktor yang diperlihatkan dalam Gambar 2320c, mengangkut sebuah muatan total sebesar +5,00 nC. Muatan di dalam rongga itu, yang diisolasi dan konduktor tersebut adalah - 6,00 nC. 23 - 59 Berapakah banyak muatan yang berada pada a) permukaan sebelah dalam dari konduktor itu? b) permukaan sebelah luar dari konduktor itu?
2317 Gunakanlah hukum Gauss pada permukaan Gauss S2, S3, dan S4 dalam Gambar 2318b untuk menghitung medan listrik antara pelatpelat dalam dan pelat-pelat luar. 2318 Sebuah lembar pengisolasi yang berbentuk buju r sangkar yang sisinya 80,0 cm dipegang secara horizontal. Lembar itu mempunyai muatan sebesar 7,50 nC yang tersebar secara homogen pada luasnya. a) Hitunglah medan listrik di sebuah titik yang berada 0,100 m di atas pusat lembar itu. b) Perkirakanlah medan li strik di sebuah titik yang berada 100 m di atas pusat lembar itu.
c) Apakah jawaban untuk bagian (a)
dan (b) akan berbeda seandainya lembar itu dibuat dari material yang bersifat konduktor? Mengapa atau mengapa tidak? 2319 Sebuah konduktor silinder yang panjangnya tak berhingga mempunyai jari-jari R dan kerapatan muatan permukaan U yang homogen. a) Dinyatakan dalam dan R, berapakah muatan per satuan panjang, yakni , untuk silinder itu? b) Dinyatakan dalam , berapakah besarnya medan listrik yang dihasilkan oleh silinder yang bermuatan itu di suatu jarak r > R dan sumbunya?
c) Nyatakan hasil dari
bagian (b) yang dinyatakan dalam dan perlihatkan bahwa medan listrik di luar silinder itu adalah sama seakan-akan semua muatan itu berada pada sumbu. Bandingkan hasil Anda dengan hasil untuk sebuah garis muatan dalam Contoh 236 (Subbab 235). 2320 Sebuah kubus mempunyai sisi-sisi yang rusuknya L = 0,30 m. Kubus itu ditempatkan dengan satu titik sudut di titik asal seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2328. Medan listrik itu tidak homogen tetapi diberikan oleh E = (5,00 N/C m)xi + ( 3,00 N/C m)zk a) Carilah fluks listrik yang melalui masing-masing keenam sisi kubus
b dan b) Carilah muatan listrik total di dalam kubus itu. 12345 S,S,S,S,S6 S 2321 Sebuah permukan bujur sangkar yang rata dengan sisi-sisi yang rusuknya L dilukiskan oleh persamaan 23 - 60 x = L,
0 y L,
0 z L,
a) Gambarkan bujur sangkar ini dan perlihatkan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. b) Carilah fluks listrik yang melalui bujur sangkar itu yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik positif q yang diletakkan di titik asal (x = 0, y = 0, z = 0). (Petunjuk: Pikirkanlah bujur sangkar itu sebagai bagian dari sebuah kubus yang berpusat di titik asal.) 2322 Medan listrik E dalam Gambar 23i di setiap tempat sejajar dengan sumbu x, sehingga komponen dan adalah nol. Komponen dari x dan medan itu, yakni , bergantung pada x tetapi tidak bergantung pada y dan x. Di titik-titik dalam bidang yz (di mana x = 0), = 125 N/C. a) Berapakah fluks listrik yang melalui permukaan I dalam Gambar 2331? b) Berapa fluks listrik yang melalui permukaan II? c) Volume yang diperlihatkan dalam gambar itu adalah sebuah bagian kecil dari sebuah lempeng pengisolasi yang sangat besar yang tebalnya 1,0 m. Jika ada muatan total 24,00 nC di dalam volume yang diperlihatkan, berapakah besar y Ex
E z E x E E dan kemanakah arahnya di sisi yang berhadapan dengan pemukaan I? d) Apakah medan listrik yang dihasilkan itu hanya oleh muatan di dalam lempeng tersebut, atau apakah medan itu juga ditimbulkan oleh muatan di luar lempeng? Bagaimana Anda dapat mengetahuinya? 23 - 61 2323 Medan listrik 1 E pada salah satu sisi dan sebuah paralelpipedum adalah homogen pada keseluruhan sisi itu dan diarahkan ke luar dan sisi itu. Di sisi yang berhadapan dengan sisi tersebut, medan listrik 2 E adalah juga homogen pada keseluruhan sisi dan diarahkan ke dalam sisi tersebut (Gambar 2332). Kedua sisi dalam soal ini dimiringkan pada sudut 30,0° dan arah horizontal, sedangkan kedua 1 E dan 2 E
adalah horizontal; mempunyai besar 2,50 N/C, dan 4 ×10 2 E mempunyai besar 7,00 N/C. a) Dengan menganggap bahwa tidak ada garis medan listrik lain menyeberang permukaan paralelpipedum itu, tentukanlah muatan netto yang terkandung di dalam paralelpipedum. b) Apakah medan listrik itu dihasilkan hanya oleh muatan di dalam paralelpipedum, atau apakah medan itu juga ditimbulkan oleh muatan di luar paralelpipedum? Bagaimana Anda d apat mengatakannya? 4 ×10 2324 Sebuah Bola dalam sebuah Bola. Sebuah bola konduksi padat yang mengangkut muatan q mempunyai jari-jari a. Bola itu berada di dalam sebuah bola konduksi kosong yang konsentris yang jari-jari dalamnya b dan jari-jari luarnya c. Bola kosong itu tidak mempunyai muatan netto. a) Turunkan pernyataan untuk besarnya medan listrik yang dinyatakan dalam jarak r dan pusat untuk daerah-daerah r < a, a < r < b, b < r < c, dan r> c. b) Gambarkan grafik besar medan listrik itu sebagai fungsi r dan r = 0 ke r = 2c. c) Berapakah muatan pada permukaan sebelah dalam dari bola kosong itu? d) Pada permukaan sebelah luar? e) Nyatakanlah muatan bola kecil itu dengan empat tanda 23 - 62 plus. Gambarkanlah sketsa garis-garis medan dan sistem itu di dalam
sebuah volume medan yang janjarinya 2c. 2325 Sebuah bola konduksi padat yang jari-jarinya R dan mengangkut muatan positif Q adalah konsentris dengan sebuah kulit pengisolasi yang sangat tipis yang jari-jarinya 2r yang juga mengangkut muatan Q. Muatan Q itu didistribusikan secara homogen pada kulit pengisolasi tersebut. a) Carilah medan listrik (besar dan arahnya) dalam masing-masing daerah 0 < r 2R. b) Gambarkanlah grafik dari besarnya medan listrik sebagai fungsi dari r. 2326 Sebuah kulit bola konduksi dengan jari-jari dalam a dan jari-jari luar b mempunyai sebuah muatan titik positif q yang diletakkan di pusatnya. Muatan total pada kulit itu adalah 3Q dan kulit itu diisolasi dari sekitanya (Gambar 2333). Turunkan pernyataan untuk besar medan listrik yang dinyatakan dalam jarak r dan p usat itu untuk daerah-daerah r < a, a < r < b, dan r > b. b) Berapakah kerapatan muatan permukaan pada permukaan sebelah dalam d ari kulit konduksi itu? c) Berapakah kerapatan muatan permukaan pada permukaan sebelah luar dari kulit konduksi itu? d) Gambarkan sketsa garis-garis medan listrik dan letak dan semua muatan. e) Gambarkan grafik besar medan listrik sebagai fungsi dari r 2327 Kulit Bola Konsentris. Sebuah kulit bola konduksi yang kecil dengan jari-jari dalam a dan jari-jari luar b konsentris dengan sebuah kulit bola konduksi yang lebih besar dengan jari-jari dalam c dan jari-jari luar d (Gambar 2334). Kulit sebelah dalam mempunyai muatan +4q. a) Hitunglah medan listrik (besar dan arahnya) yang dinyatakan dalam q 23 - 63 dan jarak r pusat bersama kedua kulit itu untuk i) r < a; ii) a < r < b; iii) b < r < c; iv) c < r < d; v) r > d. Perlihatkan hasil Anda dalam sebuah grafik dari komponen radial dari E
sebagai fungsi r. b) Berapakah muatan total pada i) permukaan sebelah dalam dari kulit kecil itu; ii) permukaan sebelah luar dari kulit besar itu; iii) permukaan sebelah dalam dari kulit b esar itu; iv) permukaan sebelah luar dari kulit besar itu. 2328 Ulangilah Soal 2327, tetapi sekarang anggaplah kulit sebelah luar itu mempunyai muatan 2q. Seperti dalam Soal 2327, kulit sebelah dalam mempunyai muatan +2q. 2329 Ulangilah Soal 2327, tetapi sekarang misalkan kulit sebelah l uar mempunyai muatan 4q . Seperti dalam Soal 2327, kulit sebelah dalam mempunyai muatan +2q. 2330 Sebuah bola konduksi padat yang jari-jarinya R mengangkut muatan total positif q. Bola itu dikelilingi oleh sebuah kulit pengisolasi dengan jari-jari dalam R dan jari-jari luar 2R. Kulit pengisolasi itu mempunyai kerapatan muatan homogen p. a) Carilah nilai p sehingga muatan netto dari keseluruhan sistem itu adalah nol. b) Jika p mempunyai nilai yang didapatkan dalam bagian (a), carilah medan listrik (besar dan arahnya) dalam masing-masing daerah
0 < r < R, R < 2R,
dan r > 2R. Perlihatkan hasil-hasil Anda dalam sebuah grafik dan komponen radial dari E sebagai fungsi dan r. c) Sebagai kaidah urnum, medan listrik itu hanya diskontinu di tempat di mana ada sebuah lembar muatan tipis. Terangkan bagaimana hasil Anda dalam bagian (b) cocok dengan kaidah ini. 23 - 64 2331 Muatan negatif -Q didistribusikan secara homogen pada permukaan sebuah kulit pengisolasi bola tipis dengan jari-jari R.
Hitunglah gaya (besar dan arahnya) yang dikerahkan oleh kulit itu pada sebuah muatan titik positif q yang diletakkan a) sejauh r > R dari pusat kulit itu (di luar kulit itu); b) sejauh r < R dari pusat kulit itu (di dalam kulit itu). 2332 Sebuah kulit bola pengisolasi yang kecil dengan jari-jari dalam a dengan jari-jari luar b konsentris dengan sebuah kulit bola pengisolasi yang lebih besar dengan jari-jari dalam c dan jari-jari luar d (Gambar 2334). Kulit sebelah dalam mempunyai muatan total +q yang didistribusikan secara homogen pada volumenya, dan kulit sebelah luar mempunyai muatan q yang didistribusikan secara homogen pada volumenya. a) Hitung kerapatan muatan pada kulit sebelah dalam dan pada kulit sebelah luar. b) Hitung medan listnik (besar dan arahnya) yang dinyatakan dalam q dan jarak r dari pusat bersama kedua kulit itu untuk i) r < a; ii) a < r < b; iii) b < r < c; iv) c < r < d ; v) r > d. Perlihatkan hasil Anda dalam sebuah grafik dari komponen radial dari E sebagai fungsi dari r. 2333 Kabel Sesumbu. Sebuah kabel sesumbu yang panjang terdiri dari sebuah konduktor silinder dalam dengan jari-jari a dan sebuah silinder sesumbu luar dengan jari-jari dalam b dan jari-jari luar c. Silinder luar itu dinaikkan pada penopang pengisolasi dan tidak mempunyai muatan netto. Silinder dalam mempunyai muatan positif homogen per unit panjang . Hitung medan listrik a) di sebarang titik di antara silindersilinder itu sejauh r dan sumbu; b) di sebarang titik di luar silinder sebelah luar. c) Gambarkan grafik besarnya medan listrik itu sebagai fungsi dari jarak r dari sumbu kabel itu, dan r = 0 ke r = 2c. d) Carilah muatan per satuan panjang pada permukaan sebelah dalam dan
permukaan sebelah luar dari silinder luar itu. 2334 Sebuah tabung konduksi yang sangat panjang (silinder kosong) mempunyai jari-jari dalam a dan jari-jari luar b. Tabung itu mengangkut 23 - 65 muatan per satuan panjang + , di mana adalah sebuah konstanta positif dengan satuan C/m. Sebuah garis muatan terletak sepanjang sumbu tabung itu. Garis muatan itu mempunyai muatan per satuan panjang + . a) Hitunglah medan listrik yang dinyatakan dalam dan jarak r dari sumbu tabung itu untuk i) r < a ; ii) a < r < b; iii) r> b. Perlihatkan hasil-hasil Anda dalam sebuah grafik dari E sebagai fungsi dari r. b) Berapakah muatan per satuan panjang pada i) permukaan dalam dari tabung itu; ii) permukaan luar dari tabung itu? 2335 Ulangilah Soal 2334, tetapi sekarang anggaplah tabung konduksi itu mempunyai muatan per satuan panjang . Seperti dalam So al 23 24, garis muatan itu mempunyai muatan per satuan panjang + . 2336 Sebuah silinder padat yang sangat panjang yang jari-jarinya R mempunyai muatan positif yang didistribusikan secara h omogen di seluruh silinder itu, dengan muatan per satuan volume . a) Turunkanlah pernyataan untuk medan listrik di dalarn volume itu sejauh r dari sumbu silinder yang dinyatakan dalam kerapatan muatan . b) Berapakah medan listrik di sebuah titik di luar volume itu yang dinyatakan dalam muatan per satuan panjang dalam silinder itu? c) Bandingkanlah jawaban-jawaban Anda pada bagian (a) dan bagian (b) untuk r = R. d) Gambarkanlah grafik besar medan listrik sebagai fungsi r dari r = 0 ke r = 3R. 2337 Sebuah pelat konduksi tunggal yang besar dan terisolasi (Gambar 2325) mempunyai muatan per satuan luas pada permukaannya. Karena pelat itu adalah sebuah konduktor maka medan listrik di
permukaannya tegak lurus terhadap permukaan itu dan mempunyai besar E= 0
/ 2 , a) Dalam Contoh 237 (Subbab 235) diperlihatkan bahwa medan yang disebabkan oleh sebuah lembar besar yang diberi muatan secara homogen dengan muatan per satuan luas mempunyai besar E =0
/ 2 , yang secara eksak adalah setengah dari besar medan untuk sebuah pelat konduksi yang bermuatan. Mengapa ada perbedaannya? b) Dengan memandang distribusi muatan pada pelat konduksi itu sebagai 23 - 66 dua lembar muatan (satu lembar pada setiap permukaan), yang masingmasing dengan muatan per satuan luas , gunakanlah hasil dari Contoh 237 dan pninsip superposisi untuk memperlihatkan bahwa E = 0 di dalam pelat itu dan E= 0
/ 2 di luar pelat itu. 2338 Model Atom Thomson. Dalam tahun-tahun awal abad kedua puluh, sebuah model utama dari struktur atom adalah model yang dikemukakan oleh fisikawan Inggris J.J. Thomson (penemu elektron). Dalam model Thomson, sebuah atom terdiri dari sebuah bola material bermuatan positif yang ke dalamnya dibenamkan elektron-elektron bermuatan negatif, yang menyerupai keping-keping cokelat dalam sebuah bola adonan kue. Tinjaulah sebuah atom seperti itu yang terdiri dari satu elektnon yang massanya m dan muatannya e, yang dapat dipandang sebagai sebuah muatan titik, d an sebuah bola yang diberi muatan secara homogen yang muatannya +e dan jari-jarinya R. a) Terangkan mengapa kedudukan kesetimbangan dan elektron itu berada di pusat inti. b) Dalam model Thomson, dianggap bahwa material positif itu memberikan hambatan kecil atau tidak ada hambatan untuk gerak
elektron itu. Jika elektron itu digeserkan dari kesetimbangan dengan jarak yang lebih kecil daripada R, perlihatkan bahwa gerak elektron yang dihasilkan akan merupakan gerak harmonik sederhana, dan hitunglah frekuensi isolasi itu. (Petunjuk: Tinjau ulanglah definisi gerak harmonik sederhana dalam Subbab 133. Jika dapat diperlihatkan bahwa gaya netto pada elektron itu mempunyai bentuk seperti ini, maka diperoleh bahwa gerak itu adalah gerak harmonik sederhana. Sebaliknya, jika gaya netto pada elektron itu tidak mengikuti bentuk ini, maka gerak itu bukan gerak harmonik sederhana.) c) Pada saat Thomson hidup, diketahui bahwa atom-atom yang terisolasi memancarkan gelombang-gelombang cahaya yang hanya mempunyai frekuensi tertentu. Dalam model Thomson, frekuensi cahaya yang dipancarkan itu adalah sama seperti frekuensi osilasi elektron atau frekuensi osilasi elektron-elektron dalam atom itu. Berapakah seharusnya jari-jari sebuah atom model Thomson supaya atom itu menghasilkan cahaya merah yang frekuensinya 4,57 23 - 67 14 ×10 Hz? Bandingkan jawaban Anda dengan jari-jari atom yang sebenarnya, yang ordenya m. (Lihat Appendiks F untuk data mengenai elektron itu.) d) Seandainya elektron itu digeserkan dan kesetimbangan dengan jarak yang lebih besar daripada R, apakah elektron itu akan berosilasi? Apakah geraknya akan merupakan gerak harmonik sederhana? Terangkan alasan Anda. (Catatan Sejarah: Dalam tahun 1910, inti atom ditemukan, yang membuktikan model Thomson itu tidak benar. Sebuah muatan positif atom tidak tersebar pada volumenya seperti yang dianggap oleh Thomson, tetapi terkonsentrasi dalam inti kecil yang jari-jarinya sampai m.) 10
10 14 10 15 10 2339 Model Atom Thomson, Lanjutan. Dengan menggunakan model atom (kuno) Thomson yang dijelaskan dalam Soal 2338, tinjaulah sebuah atom yang terdiri dari dua elektron, yang masing-masing bermuatan e, yang dibenamkan dalam sebuah bola muatan +2e dan jari-jari R. Dalam kesetimbangan, setiap elektron berada sejauh d dari pusat atom itu (Gambar 233 6). Carilah jarak d yang dinyatakan dalam sifat-sifat lain dari atom itu. 2340 Medan Listrik di dalam sebuah Atom Hidrogen. Sebuah atom hidrogen dibuat dari sebuah proton yang muatannya +Q = 1,60 C dan sebuah elektron yang muatannya Q = 1,60 C. Proton itu dapat dipandang sebagai sebuah muatan titik di r = 0, yakni pusat atom itu. Gerak elektron itu menyebabkan muatannya dioleskan ke dalam sebuah distribusi bola di sekitar proton itu, sehingga elektron ito 19 10 × 19 10
× 23 - 68 ekuivalen dengan sebuah muatan per satuan volume sebesar di mana m dinamakan jari-jari Bohr. a) Carilah jumlah total dari muatan atom hidrogen itu yang tercakup di dalam sebuah bola yang jarijarinya r yang berpusat pada proton itu. Perlihatkan bahwa jika r 11 0 5,29 10 a=× , muatan yang tercakup itu menjadi nol. Jelaskan hasil yang diperoleh itu. b) Carilah medan listrik (besar dan arahnya) yang disebabkan oleh muatan atom hidrogen itu sebagai fungsi r. c) Gambarkan grafik besar medan listrik E sebagai fungsi r. 2341 Menyelidiki Inti Atom dengan Hamburan Elektron. Untuk mengkaji struktur inti timah, elektron-elektron (muatan e = 1,60 C, massa 9,11 kg) ditembakkan ke sasaran timah. Beberapa dari elektron itu betul-betul memasuki inti sasaran itu dan penyimpangan elektron-elektron ini diukur. Penyimpangan itu disebabkan oleh muatan inti, yang secara aproksimasi didistribusikan secara homogen pada volume bola dari inti itu. Sebuah inti timah mempunyai muatan sebesar +82e dan jari-jari sebesar R = 7,1 x 1015 m. Carilah percepatan sebuah elektron di jarak-jarak yang berikut dari pusat kalsium: a) 2R; b) R; c) R/2; d) nol (di pusat). 19 10 31
10 × 2342 Sebuah Lempeng yang diberi Muatan Secara Homogen Sebuah lempeng material pengisolasi mempunyai tebal 2d dan diorientasikan sehingga sisi-sisinya sejajar dengan bidang yz dan yang diberikan oleh 23 - 69 bidang x = d dan
x = d. Dimensi y dan dimensi x dari lempeng itu
sangat besar dibandingkan dengan d dan pada pokokoya dapat diperlakukan sebagai tak berhingga. Lempeng itu mempunyai kerapatan muatan positif yang homogen. a) Terangkan mengapa medan listrik yang ditimbulkan oleh lempeng itu di pusat lempeng (x = 0) adalah nol. b) Dengan menggunakan hukum Gauss, carilah medan listrik yang ditimbulkan oleh lempeng itu (besar dan arahnya) di semua titik dalam ruang. 2343 Sebuah Lempeng yang Diberi Mnatan Secara Tak Homogen. Ulangilah Soal 2342, tetapi sekarang anggaplah kerapatan muatan lempeng itu diberikan oleh (x) = 0 (x/d) , di mana 2 0 adalah sebuah konstanta positif. 2344 Dapatkah Gaya-gaya Listrik Saja Memberikan Kesetimbangan Stabil? Dalam Bab 22, beberapa contoh diberikan untuk menghitung gaya yang dikerahkan pada sebuah muatan titik oleh muatan-muatan titik lain di sekelilingnya. a) Tinjaulah sebuah muatan titik positif +q. Berikanlah sebuah contoh bagaimana Anda akan menempatkan dua muatan titik lain
yang Anda pilih sehingga muatan netto pada muatan +q akan sama dengan nol. b) Jika gaya netto pada muatan +q adalah nol, maka muatan itu berada dalam kesetimbangan. Kesetimbangan itu akan stabil jika, saat muatan +q digeserkan sedikit dalam sebarang arah dan kedudukan kesetimbangannya, maka gaya netto pada muatan itu mendoron gnya kembali menuju kedudukan kesetimbangan itu. Supaya kasusnya seperti demikian, ke manakah seharusnya arah medan listrik E yang ditimbulkan oleh muatan lainnya di titik-titik yang mengelilingi kedudukan kesetimbangan dari +q? c) Bayangkanlah bahwa muatan +q dipindahkan sangat jauh, dan bayangkan sebuah permukaan Gaussian yang kecil yang berpusat pada kedudukan di mana +q berada dalam kesetimbangan. Dengan menerapkan hukum Gauss pa da permukaan ini, perlihatkan bahwa tidak mungkin untuk memenuhi syarat stabilitas yang dijelaskan dalam bagian (b). Dengan kata lain, sebuah muatan +q tidak dapat 23 - 70 dipegang dalam kesetimbangan stabil oleh gaya-gaya elektrostatik saja. Hasil ini dikenal sebagian teorema Earnshaw d) Bagian (a) sampai dengan bagian (c) merujuk kepada kesetimbangan sebuah muatan titik positif +q. Buktikan bahwa teorema Earnshaw juga berlaku pada sebuah muatan titik negatif q. 2345 Sebuah distribusi muatan nonhomogen tetapi si metri bola mempunyai kerapatan muatan (r) yang diberikaa sebagai berikut: (r) = 0 (1 r / R) untuk r < R (r) = 0
untuk r > R
di mana adalah sebuah konstanta positif. a) Perlihatkan
bahwa muatan total yang terkandung dalam distribusi muatan total yang terkandung dalam distribusi muatan itu adalah Q. b) Perlihatkan bahwa medan listrik dalam daerah r 3 0 = 3Q/R > R adalah identik deagan medan listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik Q di r = 0. c) Dapatkanlah sebuah pernyataan untuk medan listrik dalam daerah r < R. d) Gambarkanlah grafik besar medan listrik E sebagai fu ngsi r. e) Carilah nilai r di mana medan listrik itu masimum, dan carilah nilai medan maksimum itu. 2346 Sebuah distribusi muatan nonhomogen tetapi berbentuk si metris bola mempunyai kerapatan muatan p(r) yang diberikan sebagai berikut: (r) = 0 (1 4r / 3R) untuk r < R (r) = 0
untuk r > R
di mana p0 adalah sebuah konstanta positif. a) Carilah muatan total yang terkandung dalam distribusi muatan itu. b) Temukan sebuah pernyataan untuk medan listrik dalam daerah r > R. c) Temukan sebuah pernyataan untuk medan listrik dalam daerah r < R. d) Gambarkan grafik besarnya medan listrik E sebagai fungsi dan r. e) Carilah nilai r di mana medan listrik itu adalah maksimum, dan carilah nilai medan maksimum i tu. 2347 Hukum Gauss untuk Gravitasi. Gaya gravitasi di antara dua massa titik yang terpisah sejauh r adalah sebanding dengan 1/ 2 r , persis
23 - 71 seperti gaya listrik di antara dua muatan titik. Karena keserupaan di antara interaksi gravitasi dan interaksi listrik ini maka ada juga hukum Gauss untuk gravitasi. a) Anggaplah g adalah percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi yang disebabkan oleh sebuah massa titik m di titik asal, sehingga g (Gm/ r ) r 2 = Tinjaulah sebuah permukaan . Gaussian bola yang jari-jarinya r yang berpusat pada massa titik ini, dan perlihatkanlah bahwa fluks dari g melalui permukaan ini diberikan oleh b) Dengan mengikuti langkah-langkah logika yang sama yang digunakan dalam Subbab 234 untuk mendapatkan bukum Gauss untuk medan listrik, perlihatkan bahwa fluks dari g melalui sembarang permukaan tertutup diberikan oleh di mana adalah massa total yang tercakup di dalam permukaan tertutup itu. tercakup M 2348 Menerapkan Hukum Gauss untuk Gravitasi. Dengan menggunakan hukum Gauss untuk gravitasi (yang diturunkan dalam
bagian (b) Soal 2347), perlihatkan bahwa pernyataan-pernyataan yang berikut adalah benar: a) Untuk setiap distribusi massa simetri bola yang massa totalnya M, percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi di luar distribusi itu adalah sama, seakan-akan semua massa itu terkonsentrasi di pusat bola. (Petunjuk: Lihat Contoh 235 dalam Su bbab 235.) b) Di setiap titik di dalam sebuah kulit massa berbentuk bola simetris, percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi adalah nol. (Petunjuk: Lihat Contoh 235.) c) Jika kita dapat membor sebuah lubang melalui sebuah planet berbentuk bola simetri ke pusatnya, dan seandainya massa jenis bintang itu adalah homogen, kita akan mendapatkan bahwa besarnya g adalah berbanding langsung dengan jarak r dari pusat. (Petunjuk: Lihat Contoh 239 dalam Subbab 23 5.) Kita telah membuktikan hasil-hasil 23 - 72 ini dalam Subbab 127 dengan menggunakan analisis yaag sangat berat; bukti yang menggunakan hukum Gauss adalah jauh lebih mudah. 2349 a) Sebuah bola pengisolasi yang jari-jarinya mempunyai kerapatan muatan homogen a . Bola itu tidak berpusat di titik asal, tetapi di r b = . Perlihatkan bahwa medan listrik di dalam bola itu dibenikan oleh 0
E = (r b) /3
. b) Sebuah bola pengisolasi yang jarijarinya R mempunyai sebuah lubang bola yang jari-jarinya yang diletakkan di dalam volumenya dan berpusat sejauh b dan pusat bola itu,
di mana a < b < R (sebuah penampang bola itu diperlihatkan dalam Gambar 2337). Bagian yang padat dari bola itu mempunyai kerapatan muatan volume a yang homogen. Carilah dan arah medan listrik E di dalam lubang itu, dan perlihatkan bahwa adalah homogen di seluruh lubang itu. (Petunjuk: Gunakan prinsip superposisi dan hasil dan bagian (a).) 2350 Sebuah silinder pengisolasi padat yang sangat panjang dan jarijarinya R mempunyai sebuah lubang silinder yang jari-jarinya , yang dibor sepanjang keseluruhan panjang silinder itu. Sumbu lubang itu berada sejauh b dari sumbu silinder, di mana a < b < R (Gambar 233 8). Material padat silinder itu mempunyai kerapatan muatan volume a yang homogen. Carilah besarnya dan arahnya medan listrik E di dalam lubang itu, dan perlihatkan bahwa E adalah homogen pada keseluruhan lubang itu. (Petunjuk: Lihat Soal 2349.) 23 - 73 2351 Muatan positif Q didistribusikan secara homogen pada masingmasing volume dua bola yang jari-jarinya R. Satu bola muatan berpusat di titik asal dan bola lainnya berpusat di titik x = 2R (Gambar 2339). Carilah besar dan arahnya medan listrik netto yang ditimbulkan oleh kedua distribusi muatan ini di titik-titik yang berikut pada sumbu x: a) x = 0; b) x = Rj2; c) x = R; d) x = 3R.
2352 Ulangilah Soal 235 1, tetapi sekarang anggaplah bola sebelah kiri mempunyai muatan positif Q dan anggap bola sebelah kanan mempunyai muatao negatif - Q. SOAL TANTANGAN 23 - 74 2353 Sebuah daerah dalam ruang mengandung muatan positif total Q yang didistribusikan dalam bentuk bola sehingga kerapatan muatan volume (r) diberikan oleh (r) = untuk r < R/2, (r) = 2(1 R / 2) untuk R/2 < R, (r) = 0 untuk r < R, Di sini adalah sebuah konstanta positif yang mempunyai satuan / . a)Tentukan 3 C m yang dinyatakan dalam Q dan R. b) Dengan menggunakan hukum Gauss, turunkanlah sebuah pernyataan untuk besar sebagai fungsi r Kerjakanlah hal ini secara terpisah untuk ketiga daerah itu. Nyatakan jawaban Anda dalam muatan total Q. Pastikanlah untuk memeriksa bahwa hasil-hasil Anda cocok pada batas-batas daerah-daerah tersebut. c) Pecahan berapakah dari muatan total itu yang dikandung di dalam daerah r < R/2r d) Jika sebuah elektron dengan muatan q = - e berosilasi bolak balik terhadap r = 0 (pusat distribusi itu) dengan amplitudo yang lebih kecil daripada R/2, perlihatkanlah bahwa gerak itu adalah gerak harmonik sederhana. (Petunjuk: Tinjau ulanglah diskusi mengenai gerak harmonik sederhana dalam Subbab 13-3. Jika, dan hanya jika, gaya netto pada elektron itu sebanding dengan pergeserannya dari kesetimbangan, maka gerak itu adalah gerak harmonik sederhana.) c) Berapakah periode gerak dalam bagian (d)? f) Jika amplitudo dari gerak
