Ejercicios y problemas de la distribución normal 1Si
X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ),
hallar:
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
2En
una distribución normal de media 4 y desviación típica 2,
calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
3En m es es
una ciudad se estima que la temperatura máxima en el
d e j un u n iio o
s ig i g ue ue
u n a d is i s tr t r iib b uc u c ió i ó n n or o r m al a l , c on on
m ed e d ia ia
23° y
desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
4La
media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es
70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 75 kg.
2.Más de 90 kg.
3.Menos de 64 kg.
4.64 kg.
5.64 kg o menos.
5Se
s up u p on o n e q ue u e l o s r es e s ul u l ta t a do d o s d e u n e xa x a me m e n s ig i g ue ue n u n a
distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:
1. ¿ Cu ál e s l a p ro ba bi li da d d e q ue u na p er so na q ue s e presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
2. C a l c u l a r
la
p r o po rc i ó n
de
estudiantes
qu e
t i e n en
p un tu ac io n es q ue e xc ed en p or l o m en o s e n c in co p un to s d e l a puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son d e c la r a d o s N o - A p t os e l 2 5 % d e l o s e s t u d i an t e s q u e o b t u vi e r o n l a s puntuaciones más bajas).
3. S i s e s a b e q u e l a c a l i f i c a c i ó n d e u n e s t u d i a n t e e s m a y o r q ue 7 2 ¿ cu ál e s l a p ro ba bi li da d d e q ue s u c al if ic ac ió n s ea , d e hecho, superior a 84?
6Tras
un
test
de
cultura
general
se
observa
que
las
p u n t u ac i o n e s o b t e n i d a s s i g u e n u n a d i s t ri b u c ió n u n a d i s t ri b u c i ó n N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de b a j a c u l t u r a g e n e r a l , d e c u l t u ra g e n e ra l a c e p ta b l e , d e e x c e l en t e c ul tu ra
g en er al )
de
m od o
q ue
h ay
en
el
p ri me ro
un
2 0%
la
población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
7Varios
t e s t d e i n t e li g e n ci a d i e r o n u n a p u n t ua c i ó n q u e s i g u e
una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
1. D e t e r m i n a r e l p o r c e n t a j e d e p o b l a c i ó n q u e o b t e n d r í a u n coeficiente entre 95 y 110.
2. ¿ Q ué i n te r va l o c e n t ra d o e n 1 0 0 c o n t i en e a l 5 0 % d e l a población?
3. E n u n a p o b l a c i ó n d e 2 5 0 0 i n d i v i d u o s ¿ c u á n t o s i n d i v i d u o s se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
8En
una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si
se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.
9E n m úl ti pl e,
un
e xa me n
c ad a
t ip o
p re gu nt a
t es t
t ie ne
de u na
2 00
p re gu nt as
r es pu es ta
de
c or re ct a
e le cc ió n y
u na
i n co r r ec t a. S e a p ru e ba s i s e c o nt e st a a m á s d e 1 1 0 r e sp u es t as c or re ct as .
S up on ie nd o
q ue
se
c on te st a
al
a za r,
c al cu la r
la
probabilidad de aprobar el examen.
10Un
estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60%
de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
1. ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a l m e n o s 2 0 d e l o s c i t a d o s hogares tengan cuando menos dos televisores?
2. ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n t r e 3 5 y 4 0 h o g a r e s tengan cuando menos dos televisores?
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal. •
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Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…) de una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros… Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.
Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio…… Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales… Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores. •
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