EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? a) La distribución normal es asimétrica b) Es necesario conocer la media y la desviación estándar para construir una distribución normal específica. c) Cada combinación de media y desviación estándar define una distribución normal única. d) La distribución normal se extiende al infinito en cualquier dirección a partir de la media. e) La distribución normal se mide en una escala discreta. f) El área total bajo la curva es igual a 1,0 g) La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo la curva entre esos dos puntos. 2. ¿Por qué tienen que convertirse los valores de x en valores z?
3. Si Z es una variable aleatoria normal estandarizada, estandarizada, a) b) c) d)
¿Cuál es el rango de la variable aleatoria Z? ¿Cuál es la probabilidad de tomar un valor menor que cero? ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome un valor entre -3 y +3? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor en el rango media más menos dos desviaciones estándar? e) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome un valor comprendido entre –1,28 y +1,65.
4. Usando su tabla de probabilidad normal determine las siguientes probabilidades para la variable aleatoria normal estándar (Dibuje una curva normal y sombree el área bajo la curva): a) b) c) d) e) f) g)
P ( Z < 1,32 ) P ( -2,34 < Z < 1,76 ) P ( Z < 3,00 ) P(0 1,457 ) P ( -3 < Z < 3 ) P ( Z > -2,153 )
5. Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Determine el valor de z que resuelve las siguientes probabilidades (Dibuje una curva normal, sombree el área bajo la curva y ponga los valores correspondientes en el eje ej e horizontal): a) P (-z < Z < z ) = 0,95
b) c) d) e) f) g) h)
P ( Z < z ) = 0,9 P (-z < Z < z ) = 0,99 P ( Z < z ) = 0,5 P (-z < Z < z ) = 0,684 P( Z > z ) = 0,1 P (-z < Z < z ) = 0,9973 P ( -1.24 < Z < z ) = 0,8
6. Sea XN(200, 20). Determinar las siguientes probabilidades: a) P(185240) ; d) P(X>178). Solución: a) 0,4649 b)0,2204 c)0,0228 d) 0,8643 7. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 8. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: a) Entre 60 kg y 65 kg.; b) Más de 90 kg.; c) Menos de 64 kg.; d) 64 kg.; e) 64 kg. o menos. 9. Averigüe el valor z que corresponde a cada área descrita: a) b) c) d) e) f)
El 70% de los elementos está a la derecha de este valor z. El 20% de los elementos se encuentra a la izquierda de este valor z. El 10% de los elementos es mayor que este valor z. El 60% de los elementos es menor que este valor z. El 50% de los elementos se encuentran a la derecha de este valor z El 30% de los elementos se encuentran a la izquierda de este valor z
10. La duración de un determinado tipo de lavadora automática tiene una distribución normal, con una media de 3,1 años y una desviación estándar de 1,2 años. La compañía ofrece en su garantía que si la lavadora presenta algún defecto será reemplazada. a) Describa gráficamente esta distribución en particular. b) Si la lavadora está garantizada por un año, ¿qué proporción del total de unidades vendidas tendrá que ser reemplazada? c) Si el fabricante de las lavadoras está dispuesto a reemplazar sólo el 3% de las lavadoras que vende. ¿Por cuántos meses debe ofrecer la garantía para asegurar que no más de un 3% de las lavadoras tendrá que ser reemplazada? d) ¿Qué porcentaje de las lavadoras vendidas van a durar entre 3 y 6 años?
11. El consumo promedio de combustible de una flota de 1,000 camiones sigue una distribución normal con una media de 12 millas por galón y una desviación estándar de 2 millas por galón. a) b) c) d)
¿Cuántos camiones tendrán un promedio de 11 millas o más por galón? ¿Cuántos camiones tendrán un promedio de menos de 10 millas por galón? ¿Cuántos camiones tendrán un promedio entre 9,5 y 14 millas por galón? Averigüe la probabilidad de que un camión elegido al azar tenga un promedio de 13,5 millas por galón o más. e) ¿El 70% de los camiones tuvo un promedio más alto que cuántas millas por galón? f) ¿El 10% de los camiones tuvo un promedio menor que cuántas millas por galón? 12. El departamento de mantención de una cierta empresa tiene instrucciones de reemplazar todas las ampolletas al mismo tiempo. La experiencia anterior indica que la vida útil de las ampolletas tiene una distribución normal con una vida media de 750 horas y una desviación estándar de 40 horas. ¿Cuándo se deben cambiar las ampolletas para que sólo el 7% se funda? 13. Una empresa ha encontrado que la duración de sus llamadas telefónicas a larga distancia, tiene aproximadamente una distribución normal, con media de 3 minutos y desviación típica de 3 minutos. a) ¿En qué proporción las llamadas a larga distancia tienen una duración de más de 2 minutos, pero de menos de 3 y medio minutos? b) ¿Qué proporción de llamadas se completan en 1 minuto o menos? c) Una secretaria va a hacer una llamada a larga distancia. ¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 5 minutos? 14. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los postulantes a un puesto efectúen una prueba de aptitud y que en ella obtengan una calificación mínima de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con una media de 485 y desviación estándar de 30: a) ¿Qué porcentaje de postulantes aprobará la prueba? Se busca la Z
X
P ( X 500)
=
500 485
0.5 , por tanto se busca en la tabla, pero dado que la tabla entrega 30 probabilidades para Z “menores que”, es necesario hacer la siguiente conversión, aprovechando que la función normal es una función simétrica, por lo tanto se tiene que: P ( Z 0.5) -> = 1
P ( Z 0.5) =
1 - 0.6915 = 0.385 = 38.5%. El 38.5% de los postulantes aprobará la prueba
b) Si aquellos postulantes que obtienen un puntaje comprendido entre 471 y 499 pueden optar a una segunda oportunidad, y un total de 1.200 postulantes rindió la primera prueba, ¿cuántos de los 1.200 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez? Se busca la probabilidad de que la nota esté entre 471 y 499, es decir:
P ( X 471)
P ( X 499) P ( X
471) =
Z
X
471 485
=
30
P ( X 499) = Z
X
=
499 485 30
0.47
0.47
P ( Z 0.47)
P ( Z 0.47)
Entonces la probabilidad que Z esté entre -0.47 y 0.47 se da como: P ( Z 0.47) - P ( Z 0.47) El área bajo la curva (probabilidad) de la expresión anterior es igual al área de la siguiente expresión: P ( Z 0.47) - P ( Z 0.47) --(dado que la función normal es simétrica) P ( Z 0.47)
- [1 - P ( Z 0.47) ] , operando algebraicamente, se tiene:
2[ P ( Z 0.47) ] - 1 2(0.6808) – 1 = 0.3616 -- este es la probabilidad de que los puntajes estén entre 471 y 499, sin embargo nos están pidiendo cuantos postulantes estarían en ese rango. Por tanto se tiene: 1.200 * 0.3616 = 433,92 ≈ 434 personas.
c) Determine un puntaje “k” correspondiente al percentil 90 de la distribución. Interprete. Existe un Z para el cual el área bajo la curva (probabilidad) es de 90%. Según la tabla normal el valor de Z que tiene una probabilidad de aproximadamente 90% es Z = 1.275 (promedio de 1.27 y 1.28). Z
X
=
1.275
X
485
30
, despejando X se obtiene:
X = 523,55 ≈ 524 puntos.
15. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?; b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).; c) Si se sabe que la calificación de
un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84? 16. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15. Se pide: a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.; b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?; c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125? 17. Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0,5 años. Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal: a) ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años? Se busca la probabilidad de que la duración esté entre 2 y 4 años, es decir: P ( X
2) =
Z
X
=
23 0.5
P ( X
4) =
Z
X
43
=
0.5
2)
( X 4)
P
P ( Z 2)
2
P ( X
2 P ( Z 2)
Entonces la probabilidad que Z esté entre -2 y 2 se da como: P ( Z 2) - P ( Z 2) El área bajo la curva (probabilidad) de la expresión anterior es igual al área de la siguiente expresión P ( Z 2) - P ( Z 2) --(dado que la función normal es simétrica) P ( Z
2) - [1 - P ( Z 2) ], operando algebraicamente, se tiene:
2[ P ( Z 2) ] - 1 2(0.9772) – 1 = 0.9544 -- este es la probabilidad de que la duración esté 2 y 4 años.
Luego el porcentaje de baterías es que: 95.44% b) Si una batería lleva funcionando 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 4.5 años. Se busca la probabilidad de que la duración esté entre 3 y 4.5 años, es decir: P ( X
4.5)
P ( X 3) = Z
X
=
33
P ( X
P ( X 3)
4.5) =
Z
X
=
0.5
4.5 3 0.5
P ( Z 0)
0
3
P ( Z 3)
Entonces la probabilidad que Z esté entre 3 y 4.5 años se da como: P ( Z 3) - P ( Z 0) El área bajo la curva (probabilidad) de la expresión anterior es igual al área de la siguiente expresión P ( Z 3) - P ( Z 0) --(dado que la función normal es simétrica) (0.99865) – 0.5 = 0.49865 -- este es la probabilidad de que la dure menos de 4.5 años dado que ya ha durado 3 años.
18. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? 19. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, a) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? Se busca la probabilidad de que la cantidad esté entre 191 y 209 ml, es decir:
P ( X 191)
P ( X 209) P ( X 191) = Z
X
=
191 200 15
P ( X 209) = Z
X
=
209 200 15
0.6
0.6
P ( Z 0.6)
P ( Z 0.6)
Entonces la probabilidad que Z esté 191 y 209 ml se da como: P ( Z 0.6) - P ( Z 0.6) El área bajo la curva (probabilidad) de la expresión anterior es igual al área de la siguiente expresión P ( Z 0.6) - P ( Z 0.6) --(dado que la función normal es simétrica) P ( Z 0.6)
- [1 - P ( Z 0.6) ], operando algebraicamente, se tiene:
2[ P ( Z 0.6) ] - 1 2(0.7257) – 1 = 0.4514 -- este es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros.
b) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? Se busca la probabilidad de que la cantidad supero los 230 mll, es decir: P ( X 230) = Z
X
=
P ( X 230)
230 200
P ( Z 2) 2 15 Entonces la probabilidad que Z sea superior a 2, se da como: P ( Z 2) = 1 - P ( Z 2)
= 1 – (0.9772) = 0.0228 Sin embargo nos están pidiendo cuantos vasos superarían los 230 mll. Por tanto se tiene: 1.000 * 0.0228 = 22.8 ≈ 29 vasos.
c) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas? Existe un Z para el cual el área bajo la curva (probabilidad) es de 25%.
Según la tabla normal el valor de Z que tiene una probabilidad de aproximadamente 25% (75% -50%) es Z = 0.675 (promedio de 0.67 y 0.68), pero como es el porcentaje “menor” se toma la simétrica, es decir, -0.675 Z
X
=
0.675
X
200
15
, despejando X se obtiene:
X = 189.875 ≈ 190 ml
