Uni ersidad Nacional de Rosari Fac ltad de Ciencias Veterinari s
ódulo de Física
Ejerci ios y Problemas
1. 2. 3. 4. 5. 6.
NOTAC ACII N CIE CIENTÍF TÍFICA ICA CO VE VERS RSII N DE DE U UNI NIDA DADE DES S VECTORES EN EL PLANO (Primera Parte) SIS EMAS DE COORDENADAS ELE ENTOS DE TRIGONOMETRÍA VECTORES EN EL PLANO (Segunda Parte)
2 4 4 5 5 6
Dr. Dan lo G. Renzi
Profesor djunto de la Cátedra e Física Biológica
2016 “Al fin y al cabo, omos lo que hacemos para cambiar lo que s omos.”
E uardo Galeano.
confingere hominem cogitantem
Curso de Nivelación - Módulo de Física
Al trabajar en Física, aparecen diversas magnitudes en las cuales los números que las representan pueden ser muy grandes o muy chicos. Así por ejemplo, nos encontramos con: 1) El radio del planeta Tierra 6 370 000 m 2) La velocidad de la luz 300 000 000 m/s ≈
≈
3)
El número de Avogadro 602 300 000 000 000 000 000 000 mol −1 ≈
La carga eléctrica elemental 0,0000000000000000001602 C 5) El radio de un átomo de hidrógeno 0,0000000000529177 m 6) La masa de un electrón 0,00000000000000000000000000000091096 kg 4)
≈
≈
≈
Para operar con estas cantidades de manera más cómoda y evitar posibles equivocaciones, se suele utilizar una forma más compacta de escribirlas. En general, se escribe un número de tres o cuatro cifras ( unidad , décimas, centésimas, milésimas) multiplicado por la correspondiente potencia de diez. En esta notación, denominada científica, las magnitudes anteriores toman la siguiente forma: 1) El radio del planeta Tierra 2) La velocidad de la luz 3) El número de Avogadro 4) La carga eléctrica elemental 5) El radio de Bohr 6) La masa de un electrón ≈
≈
≈
≈
≈
≈
¿Qué significa este símbolo “ ” ? ¿Cómo se lo lee? ¿Por qué usamos este símbolo y no “=”? ≈
Expresar los números siguientes en notación ordinaria: 1)
9,65x104 =
2)
8,2x10 –2 =
3)
9x109 =
4)
5,67x10 –8 =
5)
1,013x105 =
6)
3,156x107 =
¿Cómo muestra la calculadora los resultados cuando los números son muy grandes o muy pequeños? ¿Cómo se introducen en la calculadora los números en notación científica?
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Realizar las siguientes operaciones usando: (a) propiedades, (b) calculadora. 1) 3x105 + 5x105 = 2) 6,5x104 – 3,5x103 = 3) 9,85x10 –10 – 0,21x10 –9 = 4) 3x105 + 8x10 –3 = 5) (3,45x10 –7 )x(2x10 –7 ) = 6) (1,5x103 )x(4,0x104) = 7) 6,3x109 / 2,1x10 –3 = 8) 62,8x10 –13 / 3,14x10 –12 = 9) (107)4 = 10) (1,1x10 –3 )2 = Habitualmente se simplifica la escritura o mención oral de algunas cantidades, utilizando los múltiplos y submúltiplos de las unidades. En la tabla siguiente se muestran los prefijos que pueden anteponerse, el símbolo correspondiente a cada uno de ellos, y la potencia de diez que representan. Símbolo
Y Z E P T G M k h da
Nombre
yotta zetta Exa Peta Tera Giga Mega kilo hecto deca
Factor
Símbolo
1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
y z a f p n µ
m c d
Nombre
yocto zepto atto femto pico nano micro mili centi deci
Factor
10-24 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1
Empleando los prefijos de la tabla anterior, expresar adecuadamente las siguientes cantidades: 1,2x10 –15 m =
6,7x10 –4 kJ =
5,0x10 –10 s =
1,3x1017 s =
3x103 W =
5x10 –11 m =
1x10 –12 g =
0,043x102 m =
7,5x10 –2 m =
2,0x109 s = Página 3 de 8
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La observación de un fenómeno es en general incompleta, a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere realizar la medición de una o más magnitudes relacionadas con el fenómeno en estudio. La cantidad obtenida dependerá en general de la escala en la que tenga lugar el fenómeno en estudio. Sin embargo, en ciertas ocasiones podría ser necesario expresar dicha cantidad en unidades diferentes a las obtenidas en el experimento, y para esto, se deben utilizar algunos métodos o procedimientos. SI
Magnitud Nombre
CGS
Símbolo/Definición Nombre
Símbolo/Definición
Longitud
metro
m
centímetro
Masa
kilogramo
kg
gramo
g
Tiempo
segundo
s
segundo
s
Fuerza
Newton
N (kg m/s2)
dina
dina (g cm/s2)
Presión
Pascal
Pa (N/m2)
baria
baria (dina/cm2)
Energía
Joule
J (N m)
ergio
ergio (dina cm)
Cambiar de unidades a las siguientes cantidades: 1) Pasar 9,8 m/s2 a 2) Pasar 108 km/h a 3) Pasar 50 kg m/s2 a 4) Pasar 1,03 g/cm3 a 5) Pasar 3,5x106 g cm2 /s2 a 6) Pasar 1,013x105 kg/(m s2) a 7) Pasar 3,0x1010 cm/s a 8) Pasar 340 m/s a
cm
cm/s2 m/s g cm/s2 kg/m3 kg m2 /s2 g/(cm s2) km/s km/h
1) Graficar dos vectores arbitrarios a y b y obtener los vectores:
(a) suma: a + b , (b) diferencia: a − b .
2) Sobre los lados de un triángulo rectángulo, se han construido los vectores a , b y c . Obtener el vector suma a + b + c . ¿Qué
resultado obtendría si el triángulo no fuera rectángulo?
c
a
b Página 4 de 8
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3) Dibujar tres vectores cualesquiera a , b y c y obtener: a + b , a + b + c , a + b − c , a − b + c , a + c − b .
4) Dados los vectores a y b en el plano, expresar los vectores c , d y e en función de a y b o de sus opuestos −a y −b .
d
e
c
a
b
5) Dibujar un vector arbitrario a y junto a él representar gráficamente los vectores:
3 (b) c = a 2
(a) b = −2 a
1 (c) d = a − 3
(d) e =
a
2
6) Dados los vectores: a , b , c y d que coinciden con
los lados de un rectángulo, construir gráficamente los vectores:
c
(a) a + b
(b) a − b
(c) 2 ( b + d )
d
b
(d) ( a − b ) + ( c − d )
a
7) Dados dos vectores cualesquiera a y b , representar gráficamente:
(a) −b + 3 a
(b) 3 a − b
(c) −3 a + b
(d) 2 a − b + a
8) ¿Tiene dirección un vector de módulo cero?
1) Representar sobre un eje horizontal a los siguientes puntos:
0
1
5/2
–2
–3,8
π
2) Ubicar en el plano a los siguientes puntos e indicar a qué cuadrante o eje
pertenecen: A(2; 1)
B(1; –2)
C(–3; 3/2)
D(3; –1,5)
E(–2,5; 0)
F(0; –1)
G(0; 1/2)
H(–1; –3)
1) Demostrar la equivalencia 2 π rad = 360 º entre las dos unidades de ángulo plano definidas. (Ayuda: la longitud de una circunferencia es a = 2 π r ). 2) ¿Cuántos grados mide (aproximadamente) un ángulo de 1 radián? 3) Expresar a los siguientes ángulos en radianes: 0 º, 5º , 30 º, 45 º, 60 º, 90 º, 150 º. Página 5 de 8
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rad; /9 rad; 5 π /36 rad; 2 π /3 4) Expresar a los siguientes ángulos en grados: π rad. 3 π /2
5) Expresar en grados y en radianes los ángulos que forman las agujas del reloj
cuando ellas indican las horas: 1, 2, 3, 6 y 8.
6) Dos ángulos de un triángulo miden 120º y 36º. Calcular la magnitud del tercer
ángulo del triángulo. Luego, expresar a los tres ángulos del trián ulo en radianes.
7) Identificar en el trián ulo del problema 9, el lado opuesto al ángulo α y el lado adyacente al ángulo β . alcular el cos α , el sen β y la tan β . 8) Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3m de largo y uno de sus ángulos
30º. Calcular la longitud el lado opuesto y del lado adyacente al ángulo de 30º.
9) Determinar todos los lados y ángulos del triángulo rect ngulo de la figura
sabiendo que:
a
b
β α
(a) a = 15 c
β = 30º
(b) a = 20 c
α = 42º
(c) b = 8 cm
β = 35º
(d) b = 12 c
α = 45º
(e) a = 20 c
c = 12 cm b = 8 cm a = 20 cm b = 6 cm
(f) c = 15 c
c
(g) b= 10 c (h) a = 10 c
1) Hallar la proyección el vector a sobre el eje que forma con el vector un ángulo de 60º, si a = 4 . ¿Cómo obtendría la proyección si el ángulo fuera de 120º?
2) ¿Cuánto vale la proyección de un vector que es paralelo a un cierto eje? ¿Y si
fuera perpendicular? ¿Y si fuera el vector nulo?
Fm de 7 N sobre el antebrazo. El razo aparece doblado de tal manera ue esta fuerza forma un á gulo de 40º con el antebrazo. Hallar las componentes de Fm : (a) paralela al antebrazo (fue za estabilizadora) y, (b) perpendicular al antebrazo (fuerza de sosté ). 3) El tendón del bíceps de la figura ejerce una fuerza
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4) Representar gráficamente los siguientes vectores dados en forma cartesiana.
Luego, determinar el módulo y ángulo que cada uno de ellos forma con algún semieje coordenado. (a) a = (2;4)
(b) b = (1; − 1)
(c) c = (−3;0)
(e) e = (4; − 2)
(f) f = (0;1)
(d) d = (−3; − 6)
5) Expresar a los siguientes vectores en forma cartesiana:
a = 2,0
d
b = 3,0
y
c = 1,0
b
15º
e
d = 3,5
c
45º
25º
f
e = 2,2
a
10º 60º
f = 2,8
x
k
g
g = 3,0
h = 2,6
h
k = 3,0
6) Dados los siguientes vectores: a = (2;3)
c = (0;7)
b = (3;2)
e = ( −1; − 1)
d = ( −2;5)
f = (1;8)
resolver en forma gráfica y algebraica las siguientes operaciones:
(a)
g = a + b
(b) h = b − c
(c)
(e)
m = d − 2e
(f)
n = f − 2d
k = c + d
(g) q = a + b + e
1 e 2
(h) p = f − d + a
(d) l = −
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7) En el origen de coordenadas se han aplicado tres fuerzas: F 1 = ( 0; − 2 ) , F 2 = ( 4;2 )
y F 3 = ( 4; − 2 ) . Hallar la fuerza resultante R , indicando su forma con alguno de los ejes coordenados.
mó ulo y
el
ángulo que
8) Dos vectores a y b tienen igual módulo. ¿En qué circunsta cias el vector suma c = a + b tendrá el mismo módulo que a y b ? ¿Cuántas soluciones encontró?
9) Si c es la suma vectorial de a y b , c = a + b . ¿Qué condi iones se tienen que cumplir para que c = a + b ? ¿Y para que c = 0 ?
10) Un conductor recorre con su vehículo el camino indicado en la figura. (a) Representar cada tramo a través de un vector. (b) Encontrar gráficamente el vector suma. (c) ¿Qué
representa el módulo e dicho vector suma? (d) Colocar un si tema de referencia, descomponer al vector suma según cada uno de los ejes. (e) Determinar ódulo y ángulo del vector suma. 11) (a) ¿Un vector de módulo cero puede tener alguna de sus componentes distinta de cero? Explicar la respuesta. (b) ¿El módulo de un vector p ede tomar un valor
menor que el de cualqui ra de sus componentes? Explicar la res puesta. 12) ¿Pueden dos vecto es de módulos distintos tener un vector suma nulo? 13) Las partes posteri r y anterior del músculo deltoides el van el brazo al ejercer las fuerzas Fp = 40 N y Fa = 60 N que muestra l figura. ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical?
14) El abductor de la cadera, que conecta la cadera al fé ur, consta de tres
músculos independientes que actúan a diferentes ángulos. L figura muestra los resultados de medidas e fuerza ejercidas por separado para cada músculo. Hallar la fuerza total ejercida p r los tres músculos juntos.
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