FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN C CC C1 SISTEMAS DE DE NU NUMERACIÓN IÓN Y CODIFIC FICACIÓN BI BINARIA P r oblem oblema a 1.- Represente posicionalmente la cantidad "dieciséis unidades" unidades" en las bases 3, 7,
8 y 16. P r oblem oblema a 2.- Represente los siguientes números decimales en base 2 y compruebe el
resultado: a) 17; b) 94. P r oblem oblema a 3.- Represente el nº decimal 23.75 en las bases 2, 5, 6, 8 y 16. 16. P r oblem oblema a 4.-
Convierta los siguientes números a base 10: a) 100.111010 (2 ; b) 50 (8; c) 101.1 (2 ; d) 198F (16 . Con p bits se pueden representar 2 p números distintos; en representación binaria sus valores van desde 0 hasta 2 p-1. Construya una tabla que indique estos números para p = 1, 2, ..., 16. P r oblem oblema a 5.-
P r oblem oblema a 6.-
¿Cuántos bits son necesarios como mínimo para representar cada uno de los siguientes números números decimales? decimales? 50, 1000, 1000, 5000, 100000 100000 y 1000000. 1000000. P r oblem oblema a 7.-
Convierta el nº binario 10110110011.10110 10110110011.10110 a las bases 4, 8 y 16; el nº 372.105 en base 8 a base 2, 4 y 16 y el nº F0.A en base 16 a base 2, 4 y 8.
P r oblem oblema a 8.- Pase los siguientes códigos hexadecimales a código binario, octal y BCD: a)
$F2.B5; b) $B02.A; c) $25.FA; d) $71.02. P r oblem oblema a 9.- Represente Represente el 6 en los siguientes siguientes casos: casos:
a) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 7. b) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 9. c) Código Gray asumiendo que se representan del 0 al 15. d) En código ASCII. e) En código ASCII con paridad par. f) En código ASCII con paridad impar. g) En código "2-out-of-5". P r oblema lema 10.10.- Represente con con el mínimo nº de bits posibles posibles los siguientes siguientes números decimales
en notación binaria, signo-magnitud, complemento complemento a 1 y complemento a 2: a) ± 122; b) ± 64; c) ± 15; d) ± 37.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN C CC C1 SISTEMAS DE DE NU NUMERACIÓN IÓN Y CODIFIC FICACIÓN BI BINARIA P r oblema lema 11.11.- Considere la palabra 10100110. Interprete, si es posible, la información de
esta palabra según sea: nº binario, representación signo-magnitud, representación complemento a 1, representación complemento a 2, código ASCII, código ASCII con paridad par, código ASCII con paridad impar impar o código BCD. BCD. P r oblema lema 12.12.- Determine el rango de valores numéricos que pueden escribirse en palabras
de 8, 16 y 32 bits, en las diferentes notaciones de números enteros con signo. P r oblema lema 13.13.- Se dispone de palabras de 10 bits. Sobre ellas se escriben números
fraccionarios en punto fijo dedicando dedicando 3 bits a la parte fraccionaria. fraccionaria. Represente Represente los siguientes siguientes números en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2, en los dos casos siguientes: a) Redondeando el valor; b) Truncando el valor. Nota: Para los números negativos, obtenga primero el valor de la magnitud, y después, aplique la notación. 1) +27.625
2) -27.625
3) +33.3
4) -33.3
5) +45.67
6) -45.67
7) +45.7
8) -45.7
P r oblema lema 14.14.- Se dispone de 30 bits para escribir números en notación exponencial
(normalización (normalización fraccionaria). De ellos se destinan 21 a la mantisa y 9 al exponente. exponente. Mantisa y exponente se escriben escriben en notación signo-magnitud. signo-magnitud. a) Determine los rangos de valores decimales (BCD) que se pueden escribir. b) Represente en BCD los siguientes números: 1. Velocidad de la luz en m/s (3x10 8 ). 2. Carga del electrón en culombios (-1,602x10 -1 9 ). 3. Masa del electrón en kilogramos (9,109x10 -31 ). 4. Aceleración de la gravedad en m/s 2 (9,807). 5. Cero. 6. Infinito. P r oblema lema 15.15.- Un registro de 30 bits almacena un número decimal en punto flotante
representado en BCD. La mantisa ocupa 21 bits del registro y se asume como un entero normalizado. Los números en la mantisa y el exponente se asumen representados en forma de signo-magnitud. ¿Cuáles son las cantidades mayores y menores que pueden ser representadas (excluyendo el cero)? Repita para representación binaria, con base 2, si se representa con fracción normalizada.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN C CC C1 SISTEMAS DE DE NU NUMERACIÓN IÓN Y CODIFIC FICACIÓN BI BINARIA P r oblema lema 16.16.- Represente el número (+31.5)1 0 con un coeficiente entero normalizado de 13
bits y un exponente de 7 bits como: a) Un número binario (asuma base 2). b) Un número octal binario codificado (asuma base 8). c) Un número hexadecimal binario codificado (asuma base 16). P r oblema lema 17.17.- Represente el número decimal 8620 (a) en BCD, (b) en código exceso 3, (c) en
código 2, 4, 2, 1 y (d) como número binario. P r oblema lema 18.18.- Un código binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dígitos
decimales. A cada dígito le asigna un código de nueve ceros y un uno. El código binario para el número 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el código binario para los números decimales restantes. P r oblema lema 19.19.- Obtenga un código binario cargado para los dígitos de la base 12 usando las
cargas 5421. P r oblema lema 20.20.- Determine el bit de paridad impar generado para cada uno de los 10 dígitos
decimales en el código 8, 4, -2, -1. P r oblema lema 21.21.- Obtenga el complemento a 1 y a 2 de los siguientes números binarios:
1010101, 0111000, 0000001, 10000, 00000. P r oblema lema 22.22.- Recientemente se ha rescatado rescatado una extrañísima extrañísima nave espacial que que provenía provenía de
los confines de la l a constelación OPHIOCUS. Tras múltiples esfuerzos, nuestros científicos han logrado deducir algunos datos sobre la civilización que la construyó. En vez de dos brazos, sus criaturas poseían uno solo que terminaba en una "mano" con un número B de dedos. En un cuaderno que encontraron en la nave había escrito: " 5 X 2 - 50X + 125 = 0
→
X 1 = 8,
X2 = 5 "
Suponiendo que tanto el sistema de numeración como las matemáticas extraterrestres hayan tenido una historia similar a las desarrolladas desarrolladas en la Tierra, ¿cuántos dedos (B) poseían?
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS P r oblem oblema a 1.- Demuestre los teoremas booleanos booleanos en base base a la definición del del álgebra. P r oblem oblema a 2.- Demuestre
los teoremas booleanos en el álgebra de conmutación comprobando su validez mediante tablas de verdad.
P r oblem oblema a 3.- Para elementos elementos del álgebra álgebra de conmutación, conmutación, pruebe pruebe la validez validez de:
a) a . b = a . c ⇒ b = c; b) a + b = a + c ⇒ b = c ; c) a . b = a . c y a + b = a + c ⇒ b = c. P r oblem oblema a 4.- Reduzca las siguientes expresiones del álgebra de Boole al nº de literales
solicitado al lado lado de cada una de ellas. ellas. a) a b c + a b c + a b c + a b c + a b c (a cinco literales) b) b c + a c + a b+ b c d (a cuatro literales) c) [ cd + a ] + a + c d + a b (a tres literales) d) [(a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b)] (a cuatro literales) P r oblem oblema a 5.-
Compruebe las siguientes igualdades:
a) x y + x z + y z = x y + x z (ley del consenso generalizado) b) x (x + y) + z + z y = y + z c) x y + (x y) z = x y + z d) ( w + w x + y z ) = w ( y + z ) e) ( w [ x + y ( z + w ) ] ) = w + x y + x z f) (w + x + y) (w + x + y) (y (y + z) (w + z) = (w + y) (y + z) z) P r oblem oblema a 6.- Represente Represente las funciones de los problemas problemas 4 y 5 de la siguiente forma:
a) por tablas de verdad y por mapas de Karnaugh todas las que sean funciones de tres o menos variables; b) por mapas de Karnaugh las de 4 o más variables; c) mediante puertas lógicas, la función del problema 5 expresiones original y reducida. P r oblem oblema a 7.- Encuentre los complementos complementos de las siguientes siguientes funciones: funciones:
a) f = (b c + a d) (a b + c d) b) f = b d + a b c + a c d + a b c c) f =
[ ( ab ) a ] [ ( ab ) b ]
d) f = a b + c d
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS Problema 8.-
Obtenga las formas normales en suma de productos y producto de sumas de las siguientes expresiones: a) f = (a b + a c) (a b) b) f = x y (v + w) [(x + y) v] c) f = x + y z d) f = (a + b + c) (d + a) + b c + a c Problema 9.-
Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones:
a) f = w y z + x y + w y b) f = (w + x + y) (x + z) (w + x) c) Las funciones del problema anterior. Problema 10.- Determine y exprese en forma de mintérminos y maxtérminos las funciones
f 1 + f 2 y f 1 . f 2 , siendo: f =
1
∏ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 15 )
f =
2
∑ ( 0, 4, 8, 9, 10, 14, 15)
Repetir para f 1 ⊕ f 2 y la equivalencia: f 1 Θ f 2. Problema 11.- Obtenga los mapas de las siguientes funciones:
a) f = b) f = c) f =
∑ ( 5, 6, 7, 12) + d (1, 3, 8, 10 ) ∏ (10, 13, 14, 15 ) ⋅ d (0, 1, 2, 8, 9 ) ∑ ( 1, 2, 3, 8, 12) + d ( 17 )
Problema 12.- Escriba las siguientes funciones como suma de mintérminos:
a) f (a, b, c) = a + b + c b) f ( a, b, c ) = ( ( a + b ) ( b + c )) c) f ( a, b, c, d ) = ( ab + bcd) + ac d Problema 13.- Exprese las siguientes funciones como producto de maxtérminos:
a) f (a, b, c, d) = (a + c) d + b d b) f (x, y, z) = (x y + z) (y + x z) c) f ( a, b, c ) = abc + abc d) f (a, b, c) = (a b + c (a + b)) (b + c)
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS Problema 14.- A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga las
expresiones algebraicas de dichas funciones y los circuitos lógicos que las realizan:
Tabla 1
Tabla 2
Tabla 3
xy
f 1
xy
f 2
xy
f 3
00 01 10 11
1 0 1 0
00 01 10 11
0 1 1 0
00 01 10 11
1 1 1 0
Problema 15.- Idem para:
Tabla 4 xyz
f1
f 2
f 3
f 4
f 5
f 6
000 001 010 011 100 101 110 111
0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0
Problema 16.- Construya las tablas de verdad, mapas de Karnaugh y circuitos lógicos de los
problemas anteriores. Problema 17.- Sea el circuito combinacional con cuatro entradas A, B, C y D, tres salidas
intermedias P, Q y R y dos salidas T 1 y T 2 , como se muestra en la figura. Sólo Q y R pueden tener inespecificaciones. Q
A B C D
G1
T1
G2
T2
P R
T =
1
T
2
∑ ( 0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15 ) = ∑ ( 2, 3, 6, 7, 11, 15 )
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC2 ÁLGEBRA Y MANEJO DE FUNCIONES BOOLEANAS a) Suponiendo que tanto G 1 como G2 son puertas AND, obtenga el mapa de la función P min (es decir, la función P que tiene el menor número de mintérminos) que permite obtener T 1 y T 2. b) Obtener los mapas para Q y R correspondientes al P min anterior. Indique, explícitamente, las posiciones de las inespecificaciones. c) Suponiendo que G1 y G 2 son puertas OR obtenga el mayor P max (la función P con mayor número de mintérminos) y sus mapas correspondientes para Q y R. d) ¿Pueden obtenerse Q, P y R si G 1 es una puerta AND y G 2 una puerta OR? ¿Y si G1 es una puerta OR y G2 una puerta AND? Problema 18.- Demuestre las siguientes cuestiones:
(a) Que un número binario fraccionario con n E bits en su parte entera y n F en su parte fraccionaria puede ser transformado en su equivalente en base 16 (binario → hexadecimal) por agrupación de 4 bits en 4 bits. Y viceversa, que el paso hexadecimal a binario se puede hacer por expansión de cada dígito hexadecimal a su correspondiente valor binario de 4 bits. (b) Sea A un número binario fraccionario con 8 bits en la parte entera y 4 en la parte fraccionaria. Determine justificadamente la regla de obtención del Ca2(A). (c) x ⊕ x ⊕ … ⊕ x
1
2
n donde a ◊ b = a ⊕ b .
= ( x 1 ⊕ … ⊕ x i ) ◊ ( x i + 1 ⊕ … ⊕ x n ) ;
Problema 19.- Verifique si se cumplen o no las siguientes igualdades:
(a) M (a, b, c) + M (d, e, f) = M (a + d, b + e, c + f) (b) M (a, b, c) . M (d, e, f) = M (a.d, b.e, c .f) (c) M (a, b, M (c, d, e)) = M [M(a, b, c), d, M(a, b, e)] donde M (x, y, z) es la función mayoría de x, y, z: M (x, y, z) = x y + x z + y z
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 1.- Analice los siguientes circuitos combinacionales. Para ello, se deberá
encontrar la función algebraica que representan, y su tabla de verdad o su diagrama de Karnaugh. Ponga también la función en suma de productos o producto de sumas y realice el nuevo circuito a partir de estas expresiones. a) x
≥ 1
& f ≥ 1
y z
1
b) &
x y
≥1 &
f
& ≥1
z
c) &
x y
=1
f ≥1
z
1
d) ≥1
x y
&
1
=1
f
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 2.- Realice un análisis lógico de los circuitos representados en la figura
correspondiente. Obtenga las expresiones en forma de suma de productos y producto de sumas. Liste los mintérminos y maxtérminos correspondientes. Determine el coste. a) &
x1 x2
& x3
≥ 1
&
x1 x2
f
& x3
&
x3 x2
&
x1 x2
b) x1 x2
&
1
≥1
1
&
f
x3 &
c) x1 x2
=1
x1
≥1
1
f 2
x3
& x4
≥1
& 1
f 1
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES d) ≥1
x1 x2
&
f &
x3 x4
e) ≥1
b2
z
f 2&
& a2 ≥1
x4
&
& ≥1
a1 b1
y
Problema 3.- Analice la función que realiza el circuito. Encuentre una expresión reducida
en dos niveles. a) x y z
w
&
z
&
w
&
x &
x 1 1
&
& y
f
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES b) c
≥ 1
e e
≥ 1 ≥ 1
f ≥ 1
a ≥ 1
d ≥ 1
≥1
a
b
Problema 4.- En el circuito de la figura, todas las puertas poseen el mismo retraso de
valor ∆. A & &
B C
&
&
F
1 & D
a) Obtenga el mapa de F(A.B,C,D). b) Considerando el retraso, determine la forma de onda de F si A=B=D=1 y C cambia periódicamente. c) Igual que b, si A=C=D=1 y B cambia periódicamente. d) Igual que b, si B=D=1 y A, C son como las representadas: A C ∆
∆
∆
e) Interprete los resultados obtenidos en los apartados b, c y d.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 5.- Responda a las siguientes cuestiones:
a) Un código binario de números decimales se dice que es un código pesado cuando la posición de cada bit lleva asociada un peso numérico y se denomina autocomplementable si el complemento a 9 de cada dígito D = d 3 d 2d 1 d 0 es Ca9(D) = d 3d 2 d 1d 0. El código BCD natural es un ejemplo de código decimal pesado pero no autocomplementable. El código exceso-3 es un ejemplo de código decimal no pesado pero es autocomplementable. Muestre que el siguiente código es ambas cosas: pesado y autocomplementable y determine el peso de cada bit. 0 = 0000
1 = 0001
2 = 0011
3 = 0100
4 = 1000
5 = 0111
6 = 1011
7 = 1100
8 = 1110
9 = 1111
b) El circuito de la figura contiene una puerta de 5 entradas que puede ser una NAND5 , una NOR5 o una XNOR5. ¿Cuál es el test más simple que se podría aplicar para averiguar a qué puerta corresponde?
?
c) Sea la función z(x 1 , x2 , ..., x n ) que se define como: z(x1 , x2 , ..., xn ) = 1 si y sólo si xi ≠ x j para algún valor de (i, j). - Si consideramos esta función como un operador de n variables, ¿podríamos decir que es funcionalmente completo? - Dé una expresión algebraica para z. Problema 6.-
Sea el siguiente circuito: S L
&
F
>1
K G
Indique razonadamente qué le sobra o le falta a cada uno de los 5 circuitos siguientes (a, b, c, d y e) para implementar la misma función que el circuito dado. Nota: Sólo hay que hacer un cambio o ninguno, en cada circuito. Ese cambio puede ser añadir o quitar una puerta o sustituir una puerta por otra distinta. S
>1 >1
L G K
G K F
>1 (a)
S L
=1
& >1 &
(b)
F
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES
S L K
&
&
S >1
&
F
&
L G
&
&
F
&
G (c)
S G L K
K
& (d)
& >1
F
(e)
Problema 7.-
Utilizando el mapa de Karnaugh, determine las relaciones mínimas en suma de productos y producto de sumas de las siguientes funciones. Implemente igualmente, un circuito mínimo en dos niveles. a) f ( x, y, z, u ) =
∑ (3, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14 ) b) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 4, 6, 7, 10, 12, 13, 14 ) c) f ( a, b, c, d ) = ∏ ( 3, 5, 7, 11, 13, 15 ) d) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 1, 3, 6, 9, 11, 12, 13, 15 ) e) f ( x, y, z, u ) = ∑ ( 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 15 ) f) = ∏ ( 0, 3, 4, 6, 7, 11, 13, 14, 15 ) g) f = ∑ ( 0, 2, 5, 7, 13, 15, 16, 18, 26, 29, 31 ) Problema 8.- Determine una expresión mínima en suma de productos equivalente a cada
una de las siguientes expresiones. a) f ( a, b, c , d , e ) = ( c e + ce ) ( a + b )d + ( a + b )dc e b) f ( w, x, y, z ) = [ ( w + z ) + ( x + z ) + ( y + z ) ]
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 9.-
a) f = b) f =
Simplifique:
∑ ( 1, 2, 7, 8, 19, 20, 25) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15, 26, 27, 28 ) ∑ ( 1, 2, 5, 6, 9) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15 )
Problema 10.- Dada la función de la figura, obtenga la mínima expresión en forma de suma
de productos. ed c ab
000
001
011
010
110
111
101
100
00
0
0
0
0
0
1
0
0
01
0
0
0
0
1
1
0
0
11
1
1
1
1
1
0
0
0
10
0
0
0
0
0
1
0
0
F Problema 11.- Diseñe de forma óptima, un circuito que genere la función f y cuya realización
sea en dos niveles.
∑ ( 0, 1, 5, 6, 9) + d (10, 11, 12, 13, 14, 15 ) b) f = ∑ ( 0, 2, 5, 7, 13, 15, 18, 26, 29, 31) + d ( 20, 24, 28 ) c) = ∑ ( 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 31 ) + d ( 1, 2, 12, 24 ) d) f = ∑ ( 0, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 18, 22, 26, 28, 30, 31 ) a) f =
e) f = v x y z + v w x y + v w y z + v w x y + v w x y + v w x y + v x y z + v w x y Problema 12.- Dada la función de la figura, obtenga la mínima expresión en la forma de
suma de productos ed c ab
000
001
011
010
110
111
101
100
00
1
0
0
1
0
0
0
1
01
1
0
0
0
0
0
0
1
11
1
0
0
0
0
0
0
0
10
1
0
0
0
1
0
0
1
F
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 13.- Las normas de seguridad de los modernos aviones exigen que para señales de
vital importancia para la seguridad del aparato, los circuitos deben estar triplicados para que el fallo de uno de ellos no produzca una catástrofe. En caso de que los tres circuitos no produzcan la misma salida, ésta se escogerá mediante votación. Diseñe el circuito “votador” que ha de utilizarse para obtener como resultado el valor mayoritario de las tres entradas. Problema 14.- En las últimas escaramuzas de la "Guerra de los Balcanes", los cascos azules
han apresado a cuatro espias: un croata, un serbio, un serbo-bosnio y un bosnio-musulmán. La prisión donde serán encarcelados dispone actualmente de dos celdas vacías con capacidad máxima de tres reclusos. Tras un estudio psicológico se ha llegado a la conclusión de que es peligroso encerrar al bosnio-musulmán y al serbo-bosnio si no está el serbio. Por otra parte, es peligroso encerrar al croata y al serbo-bosnio si no está el serbio. En dicho informe se aconseja, por motivos sentimentales, cambiar semanalmente la distribucción de los presos. Encuentre una expresión que pueda utilizar el director para saber cuando ha elegido una agrupación correcta. (Los cuatro en la misma celda será una inespecificación para la función). Problema 15.- Sea F una función de un dígito BCD y de una entrada de control X. F vale
“1” en los siguientes casos: 1) Si X=1 y el nº BCD es múltiplo de 3. 2) Si X=0 y el nº BCD tiene un nº impar de unos. Implemente F como un circuito en dos niveles utilizando puertas NAND. Problema 16.- Se pretende diseñar un circuito combinacional que tenga como entrada un nº
BCD natural y como salida la parte entera del cociente de su división por tres. Se pide: a) exprese las funciones mínimas de salida como suma de productos y como productos de sumas; b) obtenga las expresiones correspondientes a cada una de las anteriores, realizadas con un sólo tipo de puertas y represente el circuito correspondiente a la mínima de estas expresiones. Problema 17.- Se desea diseñar un circuito lógico que tenga 4 entradas y1 , y0 , x1 , x 0. Los
pares de bits (y 1 ,y0 ) y (x1 ,x0 ) representan números binarios de dos bits con y 1 y x1 como los bits más significativos. La única salida del circuito, z, debe ser 1, si y sólo si, el número x 1 x 0 es mayor o igual que el número binario y1 y0. Determine una expresión mínima de suma de productos para z. Diséñese también el circuito lógico que realiza la función pedida. Problema 18.- Realice la función f con puertas: a) NAND, b) NOR
f = ab cd + ab ce + ac de + ab ce + ab ce + ab ce + ab cd + ab ec
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 19.- Rediseñe el circuito de la figura sólamente con puertas NAND .
x
& >Š1
y
f
Š>1 z
Problema 20.- A partir de puertas de tres entradas, cómo podremos realizar operaciones de
5 variables, AND, OR, NAND, NOR, si: a) sólo disponemos de puertas OR; b) sólo disponemos de puertas NAND; c) sólo disponemos de puertas NOR. Problema 21.- Suponga que los números entre 0 y 15 están representados en binario con
cuatro bits: x3 , x2 , x1 , x0 , donde x3 es el bit más significativo. Diseñe un circuito que de salida z=1 si y sólo si el número x 3 x2 x1 x0 es un número primo. Base su diseño en la obtención de una expresión mínima en dos niveles para z. Problema 22.- Las cuatro líneas de entrada de un circuito combinacional corresponden a un
número natural codificado en binario natural. Diseñe un circuito en dos niveles que sirva para detectar cuándo un número es una potencia de dos. Problema 23.- Razone si una OR de dos entradas con inhibición puede ser funcionalmente
completa si disponemos del “0” y del “1”. Las variables se encuentran en único raíl. Implemente f=m1 +m3 +m4+m 6 usando este tipo de puertas. Problema 24.- Diseñe un circuito combinacional que acepte un número de tres bits y genere
un número binario de salida igual al cuadrado del número de entrada. Problema 25.- Se desea diseñar un circuito que, en función de una entrada de control C,
permita sumar (C=1) o multiplicar (C=0) números binarios de dos bits. Diséñese con un único tipo de puertas.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 26.- El horario laboral de una factoría es de 8 horas diarias, divididas en tres
turnos: de 8 a 11 (primer turno), de 11 a 13 (segundo turno), de 13 a 16 (descanso) y de 16 a 19 (tercer turno). Se pretende diseñar un circuito que tenga como entradas la representación binaria de la hora actual menos ocho y que proporcione a la salida el número de turno que está trabajando (si procede) o “0” si es hora de descanso. Se pide: a) Exprese las funciones mínimas de salida como suma de productos y como producto de sumas. b) Obtenga las expresiones correspondientes a cada una de las anteriores funciones realizadas con un sólo tipo de puertas y representar el circuito correspondiente a la mínima de estas expresiones. Problema 27.- Diseñe un circuito combinacional que detecte un error en la representación
de un dígito decimal en BCD. Problema 28.- Diseñe un circuito combinacional que multiplique por cinco una entrada de
dígito decimal representada en BCD. La salida debe ser también en BCD. Demuestre que las salidas pueden obtenerse de las líneas de entrada sin usar ninguna puerta lógica. Problema 29.- Diseñe un circuito combinacional cuya entrada es un número de cuatro bits y
cuya salida es el complemento a 2 del número de entrada. Problema 30.- Se pretende diseñar un circuito comparador de 2 números de 2 bits, A=(a1 ,a0 )
y B=(b1 ,b0 ). Dicho circuito deberá tener tres salidas M, I, m, de tal forma que: * M = 1 sii A>B * I = 1 sii A=B * m = 1 sii A
la alarma cuando: * Las puertas estén cerradas, el motor apagado y se abra el maletero. * El motor esté encendido, las puertas cerradas y el maletero abierto. * El freno de mano quitado, el motor encendido y algunas de las puertas abiertas. Añada una entrada que permita desactivar la alarma.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES Problema 32.- Se tiene una palabra de 5 bits: los cuatro últimos bits representan un dígito
BCD; el primero es un bit de paridad impar. Obtenga la tabla de verdad (o el K-mapa) de las funciones siguientes: 1) f 1 se hará “1” para valores de entrada que no correspondan con dígitos BCD 2) f 2 se hará “1” para palabras con paridad incorrecta. Problema 33.- Florencio va a ir a una fiesta esta noche, pero no solo. Tiene cuatro nombres
en su agenda: Ana, Bea, Carmen y Diana. Puede invitar a más de una chica pero no a las cuatro. Para no romper corazones, ha establecido las siguientes normas: - Si invita a Bea, debe invitar también a Carmen. - Si invita a Ana y a Carmen, deberá también invitar a Bea o a Diana. - Si invita a Carmen o a Diana, o no invita a Ana, deberá invitar también a Bea. Antes de llamarlas por teléfono, quiere utilizar un circuito que le indique cuándo una elección no es correcta. Ayúdale a diseñar el circuito óptimo en dos niveles con puertas NAND. Problema 34.- Un circuito que realiza la función z(a,b,c) está compuesto de dos subcircuitos
(ver figura). La combinación de entradas abc = 001 nunca ocurre. La tabla de verdad del subcircuito N 1 es la mostrada. ¿Es posible cambiar algunos valores de u,v,x a inespecificaciones sin modificar z(a,b,c)? Si es así, indicar todos ellos y realizar un buen diseño de N 1 con puertas NOR tras obtener todos los valores inespecificados.
abc
uvx
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
& z a
u
b
v
c
N1
=1
x N 2
Problema 35.- Se ha diseñado una puerta de tres entradas llamada bomba (cuyas
características se muestran) con un resultado desafortunado. Experimentalmente se encuentra que las combinaciones de entrada 101 y 010 hacen explotar la puerta. Determinar si hay que inutilizar las puertas o, por el contrario, pueden ser modificadas externamente (añadiendo un circuito) de forma que sea funcionalmente completa y que, sin embargo no explote.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES
A B C AB C
ΒΟΜΒΑ
0 1
00
01
11
10
1 0
1 1
0 0
1 0
BOMBA(A,B,C)
BOMBA(A,B,C)
Problema 36.- Dada una palabra “A” de n bits y una señal de control “C”, diseñe un
circuito combinacional cuya salida sea el Ca1 ó el Ca2, según el valor de C. Utilice exclusivamente puertas EXOR y OR. Problema 37.- Diseñe, con el menor número posible de puertas, un divisor por 2 de un dígito
BCD. De el resultado con una cifra decimal (también en BCD). Problema 38.- Una cierta puerta de cuatro entradas llamada LIMON realiza la función
siguiente: LIMON(A,B,C,D) = BC(A+D) Suponiendo entradas en doble raíl: a) Realice la función: f ( v, x, y, z ) = una OR.
∑ ( 0, 1, 6, 9, 10, 11, 14, 15 )
con sólo tres LIMON y
b) ¿ Puede realizarse cualquier función en lógica LIMON/OR? Problema 39.- En la tabla representada aparecen todas las implicantes primas y todos los
mintérminos de una función f(a,b,c,d) que también tiene inespecificaciones. Determinar cuáles son los mintérminos m,m‘ e implicantes A y B desconocidos, así como todas las inespecificaciones de la función. 3 ad ac bc cd A B
5
X X
7
8 X
12 X
m
m' X X
X X X X
X
X
Problema 40.- Una luz se enciende cuando su señal de excitación está en nivel bajo. Esta
señal está controlada por un circuito de cuatro entradas: x 1 → orden de encender la luz, activa en bajo; x 2 → orden de inhibir la luz, activa en bajo; x3 → orden de emergencia, activa en bajo; x4 → aviso del estado de la luz en la calle: “1” si es de día,”0” si es de noche. La luz se debe iluminar cuando haya orden de encenderla, el estado de la luz exterior
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES sea el apropiado y no haya inhibición, excepto si hay emergencia, en cuyo caso la luz se enciende independientemente de las otras señales. De una tabla de verdad del circuito que controla la luz, diseñándolo con los elementos que estime oportunos. Problema 41.- Diseñe un circuito cuya salida sea el resto de la división de un nº A de tres bits
entre un nº B de dos. El nº B nunca puede ser cero. Problema 42.- El circuito de la figura ha sido diseñado para comparar las magnitudes de dos
números binarios de dos bits a 2 a1 y b 2 b1 . Si z=1 e y=0, a 2 a1 es el mayor. Si z=0 e y=1, b 2 b1 es el mayor. Si z=y=0, los dos números son iguales. Sin embargo el circuito propuesto no cumple las especificaciones solicitadas. Compruebe este hecho y modifique el diseño para que sea correcto. &
b2
z
& ≥1
a2
&
& y
b 1 a1
Problema 43.- En el diseño de la función:
f =
∏ ( 4, 5, 6, 7, 8, 9 )d ( 0, 2, 13, 15 )
Se ha dado como solución el circuito de la figura. Las variables están en único raíl. a) Determine, si los hay, todos los errores de la solución y corríjalos. b) Para el circuito de la figura, dibuje la forma de onda de salida si b es una señal periódica de frecuencia 20 Mhz y acd=011 se mantienen constantes, suponiendo que todas las puertas
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES poseen un tiempo de retraso de 5ns. &
a b
&
& z
c
1 1
&
d
Problema 44.- Un sistema sencillo para hacer votación secreta es utilizar un circuito
combinacional cuyas entradas estén controladas por interruptores que puedan accionar los miembros del jurado. Cada miembro votará con un SI o un NO (no hay abstenciones). El sistema que queremos realizar es el siguiente. Hay dos tribunales: A y B. El tribunal A tiene 4 miembros (a,b,c, y d) y el tribunal B tres (e,f, y g). El veredicto deberá ser:
→ El del tribunal A en el caso de que no se produzca empate. → Si se produce empate en el tribunal A, el veredicto será el del tribunal B. Diseñe el circuito según el diagrama de bloques de la figura: a b c d
CIRCUITO A CIRCUITO C
e f g Problema 45.- Se
CIRCUITO B
desean visualizar las siguientes representaciones utilizando un visualizador de 7 segmentos. Diseñe un circuito de tres entradas que encienda correctamente
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES el segmento g. REPRESENTACIONES
VISUALIZADOR 7 - SEGMENTOS f
a g
e
b c
d
Problema 46.- Se desea enviar mensajes de tres bits de una estación a otra y, para evitar en
lo posible los errores, se ha decidido añadirle al mensaje un bit de paridad impar. Disponiendo únicamente de puertas EXOR y EXNOR de dos entradas: a) Diseñe el circuito, con el menor número de puertas posibles, que genere ese bit de paridad impar en la estación emisora; b) Diseñe también el circuito, con el menor número de puertas posibles, que compruebe, en la estación receptora, que el mensaje recibido es correcto. c) Generalice ambos apartados para n bits.
Problema 47.- La expresión algebraica
C 0 = A0 C k = (A 0 + A1 + ... + Ak-1 ) ⊕ Ak
k = 1, 2, ...
proporciona el valor de la salida C k de un circuito en función de las entradas A 0 , ..., Ak-1 , Ak . (a) Diseñe el circuito correspondiente a cuatro bits de entrada. (b) Describa verbalmente qué tarea realiza dicho circuito. (c) Utilizando como módulo el circuito diseñado en (a), realice un nuevo circuito para 12 bits de entrada, indicando las nuevas entradas y salidas que hay que añadir al módulo diseñado en (a), para que el nuevo circuito de 12 bits pueda operar correctamente. Problema 48.- Las funciones del circuito de la figura dependen, en general de las variables
(w,x,y,z). Sabiendo que f 2 ≠ 0 y f 3 ≠ 0 y que f = Σ ( 0, 4, 9, 10, 11, 12 ) a) Determine completamente las funciones (incluyendo inespecificaciones)
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC3 ANÁLISIS Y DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES b) Realice los circuitos que proporcionan f 2 y f 3 . w x
=1
z
f 1 f 2
y
& >1
f 3
f
Problema 49.- En la figura se muestra una tabla de implicantes primas para f(a,b,c,d) en la
que se desconocen algunos de los encabezamientos de las filas y columnas. Se sabe que todos los mintérminos y las implicantes primas de la función están en la tabla. a) Determine los mintérminos e implicantes primas que corresponden a las filas y columnas desconocidas. ¿Es única la solución? b) Escriba los maxtérminos de f y obtenga la expresión óptima para f. 0 7 8 10 15 c1 c2 x x x A=b d B= ? x x C=bcd x x D=? x x E=? x F=? x Problema 50.- En la figura se representa una función de 4 variables incompletamente
especificada. Asigne valores a las inespecificaciones para conseguir especificar completamente la función de la forma que se indica en cada uno de los casos siguientes. ab
00 01 11 10 cd 00 1 d d d 01 d
d
0
0
11 0
d
0
0
10 d
d
0
1
z
a) z pasa a depender de sólo dos variables. b) z tiene únicamente cinco mintérminos sin implicantes superiores. c) z tiene exactamente cuatro implicantes primas. d) z tiene una implicante prima no esencial. e) z tiene el mismo número de implicantes primas que de implicadas primas.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 1.- El circuito integrado 74138 es un circuito integrado comercial consistente en
un decodificador 3:8 con salidas activas en nivel bajo. Dicho dispositivo dispone también de tres entradas de habilitación, dos de ellas activas en nivel bajo E 1 y E 2 y una tercera activa en alto E 3. Represente la tabla de verdad del decodificador en función de las entradas de datos y de habilitación. Dé una expresión algebraica para cada una de las salidas en función de las variables de datos y de las de habilitación. Problema 2.- Realice la función f= Σ(0,3,6) de las siguientes formas distintas:
a) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel alto y puertas OR. b) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel bajo y puertas AND. c) Utilizando un decodificador con salidas activas en bajo y puertas NAND. d) Con un decodificador con salidas activas en alto y puertas NOR. Problema 3.- Realice las siguientes funciones haciendo uso de los dispositivos que se dan en
cada uno de los apartados: a) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel alto y puertas OR. b) Utilizando un decodificador con salidas activas en nivel bajo y puertas AND. c) Utilizando un decodificador con salidas activas en bajo y puertas NAND. d) Utilizando un decodificador con salidas activas en alto y puertas NOR. F= Σ(0,9,11,15) + d(1,2,3) F = Π (0,3,5) . d(1,2) F = Π (1,3,4,6,9,11) . d(7,12,14) F = Π (1,2,3,7,8,9) Problema 4.- Encuentre un diseño mínimo para cada una de las siguientes funciones si sólo
disponemos de un decodificador 3:8 y de puertas de dos entradas. a) F= Σ(0,9,11,15) + d(1,2,3) b) F = Π (0,3,5) . d(1,2) c) F = Π (1,3,4,6,9,11) . d(7,12,14) d) F = Π (1,2,3,7,8,9) Problema 5.-
Se dispone de un decodificador 3:8 con salidas activas en bajo, puertas NOR de 2 entradas y una puerta NAND de 6 entradas. Sabiendo que las entradas están en único raíl, realizar la función siguiente: f = Π (0,3,5,6,7,8,9,10,11,14) . d(1,15) Problema 6.-
Un circuito tiene como entradas dos números binarios de dos bits cada uno: Y= y y 1 0 ; X= x1 x0 .Se desea que tenga salidas 11 si Y=X, 10 si Y>X y 01 si Y
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES circuito con un decodificador de 3 a 8 con salidas activas en alto, un número no determinado de puertas NAND de dos entradas y dos puertas NAND de un número de entradas no limitado. Añada una señal de habilitación (enable). Las entradas están en único rail. Utilice obligatoriamente el decodificador. Problema 7.- Diseñe un circuito que permita multiplicar dos números binarios de dos bits.
Para ello, utilice puertas lógicas de dos entradas y un decodificador: a) con salidas activas en alto b) con salidas activas en bajo Problema 8.- Diseñe un circuito de 4 entradas y 3 salidas, z 0 ,z 1 ,z 2 que realice las siguientes
funciones: z 0 vale 1 cuando tres o más entradas sean 1. z 1 vale 1 cuando haya el mismo número de unos que de ceros. z 2 vale 0 cuando dos o más entradas sean 1. Para ello se dispone de: a) Un decodificador con salidas activas en nivel alto y puertas NOR. b) Un decodificador con salidas activas en bajo y puertas NAND. Problema 9.-
Se dispone de decodificadores 2 a 4 con señal de habilitación activa en nivel alto. Diseñe, con las mismas características: a) Un decodificador 1:2 b) Un decodificador 3:8 c) Un decodificador de 4:16 Problema 10.- Utilizando decodificadores de menos entradas que el dado, se pide:
a) ¿Cómo implementar un decodificador de 2 a 4? b) ¿Cómo implementar un decodificador de 3 a 8? c) ¿Cómo implementar un decodificador de 4 a 16? Indique en cada apartado qué alternativa conduce al menor número de decodificadores. Problema 11.- Utilizando decodificadores 74138 (ejercicio 1) y el menor número de puertas
posible, ¿cómo diseñarías... a) un decodificador 4 a 16 b) un decodificador 5 a 32?
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 12.- Se tienen dos codificadores de prioridad 4 a 2 como el de la figura. Este
dispositivo dispone de una entrada de habilitación EI y dos salidas EO y GS. EO se activa cuando el codificador está habilitado pero no hay ninguna entrada de datos activa, mientras que GS se activa cuando el codificador está habilitado y hay alguna entrada activa. Diseñar un codificador de prioridad de 8 a 3 de las mismas características de los anteriores. Además de los dos codificadores, se pueden emplear hasta un máximo de ocho puertas de dos entradas. EI
EO
I0 I1 I2 I3
GS COD
Q1 Q0
Problema 13.- Implemente un convertidor de código BCD a 7-segmentos a partir de un
decodificador y un codificador. Problema 14.- Diseñe los siguientes convertidores de código:
a) BCD - EXCESO-3 b) BCD - 2 de 5 Problema 15.- Diseñe un convertidor de código Gray a binario natural de 4 bits utilizando
sólo tres puertas EXOR de tres entradas. Problema 16.- Implemente un circuito que realice la conversión BCD a Gray utilizando
decodificadores y puertas. Problema 17.- Realice las funciones de conmutación siguientes utilizando multiplexores de 4
canales. a) F= Σ (0,1,3,4) b) F= Σ (2,4,5,7) c) F= Σ (0,3,4) d) F= Σ (1,2,3,6,7) Problema 18.- Realice las funciones del ejercicio anterior con:
a) MUX-1
b) MUX-2
c) MUX-3
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 19.- Realice con multiplexores de dos entradas de selección la función:
F= Σ (0,1,3,4,5,6,8,9,10,11,12,15,17,20,22,23,25,28,29,30,31) Problema 20.- Diseñe un circuito que a la salida de un multiplexor 8:1 realice la función:
F= Σ (3,4,5,11,12,13,14,15,16,17,24,26,28,29,31) Para el diseño se pueden usar, además de dicho multiplexor, un máximo de 8 puertas de 2 entradas. Problema 21.- Dada la función:
F(a,b,c)= Σ (0,3,7) + d(1,2,6) Diséñela, si es posible, con un sólo multiplexor 2:1, sabiendo que las entradas están en único raíl. Problema 22.- Un sistema de comunicación permite transmitir dos códigos de cuatro bits:
CA = 0010 y CB = 1101. Sin embargo, en dicha transmisión pueden aparecer errores. Diseñe un circuito con cuatro entradas ( el código de 4 bits ) y 3 salidas A, B, C. La salida A se hace igual a 1 si el código recibido es el 0010 o ese mismo código con un error en un bit. La salida B se hará 1 si el código recibido es el 1101 o ese mismo con un error en un bit. La salida C se hace 1 si el código recibido difiere en dos bits de los códigos 0010 y 1101. Diséñe la función A con MUX 2:1, la función B con puertas NAND, y la C con puertas NOR. Problema 23.- Sea la función:
F(a,b,c,d,e)= Σ (2,3,4,5,6,7,8,9,10,14,15,16,17,18,19,20,21). Realícela utilizando un único multiplexor de 4 canales, un único decodificador de 3 a 8 y puertas AND de dos entradas. Las variables están en único raíl. Problema 24.- El bloque A de la figura pone su salida yk =1 si y sólo si hay k entradas a 1.
Diseñe la unidad B para que el bloque completo C ponga z j=1 si y sólo si hay j entradas a 1. Utilice sólo MUX 2:1. C y0
X0 X1 X2 X3
A
y1 y2 y3
Z0 Z1 B
Z2 Z3 Z4
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 25.- Se quiere realizar un convertidor de un dígito BCD a un código de peso
(8,4,-2, -1). Encuentre la expresión mínima en dos niveles para cada una de las salidas y realice el convertidor con MUX 4:1. NOTA: Un número a 3a2a1 a0 en código pesado ( 8, 4, -2, -1) vale: a3a2 a1a0 = ( 8*a3 + 4*a2 - 2 *a1 - 1*a0 ) Problema 26.- En una práctica de laboratorio se pretende montar el circuito siguiente:
x y z
2 1 0 DEC
0 1 2 3 4 5 6 7
0E 1 2 310
F
Sin embargo el laboratorio es un desastre. a) El día que va el grupo M resulta que no hay multiplexores, con lo único que podemos contar es con una puerta NAND de ocho entradas además del decodificador previsto. Obtenga el circuito equivalente al dado con el material disponible. b) El día que va el grupo P ya disponemos de los multiplexores necesarios, pero ahora han desaparecido los decodificadores. Obtenga un circuito equivalente al dado utilizando un sólo multiplexor como el previsto en l a práctica. NOTA 1.- Disponemos de las variables en único raíl. NOTA 2.- La entrada de habilitación del multiplexor hace: F=0 si E=0 y F=MUX si E=1. Problema 27.- Sea F =
Σ (1,3,11,13,21,23,25,31) + d(5,19,27). Implemente esta función con
un único demultiplexor 1:8, una puerta NAND de ocho entradas y puertas NAND de dos entradas. Problema 28.- Implemente la siguiente función multisalida haciendo uso de una ROM.
F = Σ (0,1,3,7,9,12,15) G = Π (0,1,2,5,6,10,11) H = (X 3 + X 2 ) . (X 2 + X 1 + X 0 ) Problema 29.- Utilizando multiplexores de menos entradas de selección que el dado, se pide:
a) ¿Cómo implementaría un MUX de 3 entradas de selección? b) ¿Cómo implementaría un MUX de 4 entradas de selección?
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 30.- Se dispone de ROMs de n líneas de dirección y m bits por palabra, todas ellas
con CS. Diseñe una ROM con CS , n líneas de dirección y 2m bits por palabra. Problema 31.- Una ROM de 8 palabras de 2 bits tiene almacenada la siguiente información:
pos0(0,0), pos1(1,0), pos2(1,0), pos3(0,1), pos4(1,0), pos5(0,1), pos6(0,1), pos7(1,1). Dé una expresión algebraica de la función que realiza y diseñe un circuito equivalente con multiplexores de 4 canales. Problema 32.- Implemente la siguiente función multisalida usando una PLA:
F = Σ (0,1,3,7,9,12,15) G = Π (0,1,2,5,6,10,11) H = (X 3 + X 2 ) . (X 2 + X 1 + X 0 ) Problema 33.- Realice un circuito que haga la conversión de un código 2 de 5 a código
7-segmentos. Para ello se dispone de una PLA de 5 entradas, 10 términos producto y 7 salidas. Problema 34.- Se desea diseñar un circuito combinacional para que genere el producto
aritmético de dos números de dos bits A1 A0 y B1 B0. Los bits de entrada se activan en nivel alto y las salidas en bajo. Dibuje el circuito siguiendo el patrón de una PLA. Exprese las salidas como suma de productos. Problema 35.- Se desea diseñar un circuito que tenga como entradas dos números de dos bits
a=(a1 a0 ) b=(b1 b 0 ) y un bit de paridad par correspondiente a los cuatro bits anteriores. El circuito indicará en una salida si a>b, y en otra si se ha producido una entrada ilegal (con el bit de paridad mal). El circuito deberá realizarse con multiplexores de dos entradas de selección y una ROM de 8 posiciones de memoria. Problema 36.- Una llamada de teléfono puede dirigirse a cuatro secretarias. (Nunca hay
más de una llamada simultáneamente). La recepcionista distribuirá las llamadas según el siguiente criterio: Si la llamada procede de empresas de alimentación o de ropa se pasa a la secretaria n o 4. Si procede de una empresa de venta de ordenadores o de un banco se pasará a la tercera secretaria. Si se trata de una llamada procedente de una empresa de viajes o del aeropuerto deberá sonar el teléfono de la segunda secretaria. En cualquier otro caso se enviará a la primera. Diseñe un circuito que indique el número de la secretaria que deberá recibir la llamada, utilizando un único codificador 8:3, una NOR de 2 entradas y una NOR de 6 entradas.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 37.- Una puerta umbral (ver figura 1) activa su salida, Z = 1, si el valor de sus
entradas, tomadas como número binario A(10 = an- 1...a1 a0(2 , es mayor o igual al umbral interno "i". a) Diseñe una puerta umbral de n entradas utilizando subsistemas combinacionales y puertas lógicas. b) En la figura 2 aparece un circuito formado, únicamente, por puertas umbrales. Analice dicho circuito. c) Rediseñe el circuito de la figura 2 utilizando exclusivamente MUXs de 4 canales.
a n-1 A
n-1
a1 a0
1 0
i
1 si A > i Z= 0 si A < i Figura 1
Z
a b
1
c d
1
e d
1
0
0
0
2 2 1 0
1
5
F
3 Figura 2
Problema 38.- Se desea obtener el número de unos que hay en cinco señales A, B, C, D y E en
raíl simple. Diseñe el circuito si sólo dispone de dos MUX4:1, un decodificador 3:8 con salidas activas en baja, 4 puertas NAND de 6 entradas, dos inversores y cuatro puertas XOR.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 39.- Realice la función F=Σ (1,2,3,4,6,7,8,9,14), mediante la PAL de la figura .
& & &
>1
& 1
1
& & &
>1
& 1
1
& & &
>1
& 1
1
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 40.- Se desea realizar un convertidor de código, de entrada 2-entre-5 y de salida
BCD. Además, este circuito deberá poseer otra salida que detecte un error en la entrada. En el caso de que ocurra tal error, las salidas BCD se pondrán en alta impedancia. a) Realice el detector de error usando un MUX 8:1 y puertas. b) Realice el convertidor 2-entre-5 a BCD usando un PLA de no más de 10 términos producto (AND). c) Dibuje el circuito completo. Problema 41.- Un desplazador a la derecha de n bits, es un circuito combinacional que tiene
como entrada un número A de n bits, m señales de control s m- 1 ,..s0 que indican el número de posiciones que se desplazará a la derecha el número de entrada A, y genera la salida Z de n bits, correspondientes al número A desplazado. Así por ejemplo, para un desplazador de 8 bits, cuya entrada sea 10010101 y las señales de control s 2 s1 s0 = 010, se genera un desplazamiento de 2 posiciones a la derecha, dando como resultado la salida XX100101. Si s2 s1 s0 = 000 no hay desplazamiento. a) Diseñe un desplazador a la derecha de n=4 bits y m=2 bits, utilizando 4 MUX’s de 4 canales. Suponga que los bits más significativos del resultado se llenan con 0‘s.Para el ejemplo anterior, la salida sería 00100101. b) Dibuje las formas de onda de las salidas, cuando A3 A2 A1 A0=1011 y las señales s1 s 0 cambian según la secuencia "00,01,00,11,00,10" con una frecuencia de 1kHz. c) Indique una aplicación aritmética para el desplazador. Problema 42.- Sean A y B dos números de 5 bits en notación complemento a 1.
a) Diseñe un comparador (A>B, A=B, A
verdad. Se desea obtener un comparador de números de 6 bits utilizando exclusivamente comparadores de 1 bit. El diseño debe contemplar que el tiempo de retraso no supere 4T, donde T es el retraso asociado al comparador de 1 bit. Bi Ai Ci A i B i E i 0 1 1 1 1
X 0 0 1 1
X 0 1 0 1
0 1 0 0 1
Ci
Comparador de 1 bit
Ei
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES Problema 44.- Un sistema que mide periódicamente la temperatura de un experimento de
laboratorio da la información utilizando números de 4 bits en notación complemento a dos. Diseñe un circuito que detecte el intervalo cerrado de códigos [-5,4] utilizando exclusivamente comparadores de magnitud de cualquier nº de bits y puertas de dos entradas que no sean operadores lógicos universales. Problema 45.- En un determinado sistema microcomputador, existen 3 subsistemas que
procesan la información de forma independiente a través de cuatro fases de operación. Por propósitos de control, es necesario conocer: a) Cuándo dos o más subsistemas están en la misma fase. b) Cuando exactamente dos subsistemas están en la misma fase. Cada subsistema genera una señal de dos bits para indicar en que fase se encuentra (00,01,10,11). Diseñe un circuito que permita conocer cuando el conjunto de subsistemas se encuentra en alguna de las situaciones a) y b). Problema 46.- Diseñe un circuito con MUX de 4 canales que realice la función del circuito
de la figura. a
&
b a c
&
& c
& f
b c
&
& d & b
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Problema 47.- Analice los siguientes circuitos:
a) 1 x2 0 0
0 1 2 31 0
1 x2 0 1
0 1 2 31 0
0 0 x2 0
0 1 2 3 1 0
0 x2 x2 0
0 1 2 3 1 0
0 1 2 31 0
f
x1 x3
x 4 x5
b) x3
0 0
1
f
1 1
x2
x1
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c)
y
1
z
0
0 1 2 3
&
E 0 f 1
x Problema 48.- Para el circuito de la figura, se pide:
a) representar el diagrama de Karnaugh de la función f, b) rediseñarlo utilizando MUX de 4 canales.
x u E2 E1
x y z
2 1 0
0 1 2 3 4 5 6 7
& 0 1 2 3 1 0
& &
f
&
v z
Problema 49.- Analice el circuito de la figura
x
CS
y
0 1
y
0 1
D3 0 1 z
A2 A1 A0
D2
f
D1 D0
>1
y
0 1
0
0 1 x
POS CONT 0 F 1 3 2 8 3 0 4 0 5 0 6 5 7 7
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Problema 50.- Analice el circuito de la figura
a b c
>1 e1 b c e
0 1 2 e2
d f
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3
f 1 0
0 1s
a Problema 51.- Interprete la utilidad del sistema mostrado en la figura.
a
A3 A2 A1 A0
ROM
D4 D3 D2 D1 D0
conv BCD/ 7 seg
convertidor binario a BCD
a b c d e f g
f
b
g
e
c d a
conv BCD/ 7 seg
a b c d e f g
f
b
g
c
e d
Problema 52.- Describa con palabras el funcionamiento del circuito
x1 x0 y1 y0
x>y G x=y E x
>1
y1
1
210 0 1 2 3 4 5 6 7
>1 f
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Problema 53.- Rediseñe en dos niveles el cicuito de la figura
ROM x y z
D4 D3 D2 D1 D0
A2 A1 A0
A 2A 1A 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 2 31 0
>1
f
u v
D4 D3 D2 D1 D0 0 0 0 0 0 1 1 X 1 0 0 1 X 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 X 1 0 0 1 0 0 0 1 0 X 0 1
Problema 54.- Represente las salidas del siguiente circuito como suma de productos
ROM b a c
A2 A1 A0
D3 D2 D1 D0
0 1 2 3
s1s 0
>1 f 1 f 2
POS 0 1 2 3 4 5 6 7
CONT A D 2 B C 7 3 7
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Problema 55.- Para el circuito de la figura se pide:
a) Analizarlo b) Rediseñarlo utilizando MUX de 8 canales. X0 X1
&
X2 X3
>1
0 1s
X0 X1
ROM
E 0 1 0 2 1 3 DEC
D0 D1
A0 A1 A2 A3
>1
D2 D3
F
1
POS
CONT(HEX)
POS
CONT(HEX)
0 1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 0 1 2 3
8 9 10 11 12 13 14 15
C D E F 8 9 A B
Problema 56.- Analice el circuito de la figura
y x
0 1s
u
E y x
1 0
0 1 2 3
d0 d1 d2 d3
0 1
0 1s
x 0
0 1 s
0 1s
u
f
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Problema 57.- Rediseñe el circuito de la figura utilizando MUX de 4 canales.
x
pos cont 0 B 1 0 2 F 3 C
0 1s
y E z y
1 0
ROM 0 1 2 3
>1
A1 A0
&
D3
>1
D2 D1
f
>1
D0
Problema 58.- Analice el circuito de la figura describiendo con palabras la función que
realiza. ¿Puede diseñarse con una ROM un circuito que realice la misma tarea? En caso afirmativo, indicar cómo se haría, así como el contenido de la ROM para los siguientes valores en hexadecimal de X e Y. XY: 10, 11, 12, 67, 84, AA ,DF y3 x3 y3 y2 y1 y0
A3 A2 A1 A0
x3 x2 x1 x0
B3 B2 B1 B0
A>B A=B A
y2 x2 y1 x1 y0 x0
0 1s
&
0 1s
&
0 1s
&
0 1s
&
z3
z2
z1
z0
1
Problema 59.- Sean A= A4 A3 A2 A1 A0 y B=B4 B3 B2 B1 B0
dos números binarios que nunca pueden representar el valor "-0". Hay dos señales, S 1 y S 0 , que indican el tipo de representación numérica, de acuerdo con el siguiente código. S 1S 0 = 00 A y B números sin signo S 1S 0 = 01 A y B números en signo-magnitud S 1S 0 = 10 A y B números en complemento a S 1S 0 = 11 A y B números en complemento a 1 Diseñe un comparador (A>B, A=B, A
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Problema 60.- Diseñe la función multisalida
f 1 ( a, b, c ) = f 2 ( a, b, c ) = f 3 ( a, b, c ) =
∑ ( 0, 2, 4, 6 ) ∏ ( 1, 2, 3, 6) ∏ ( 2, 5, 6, 7)
Haciendo uso de: a) una ROM; b) una PLA;c) una PLA del tipo AND-NOR. Problema 61.- Sean
f ( a, b, c, d, e ) = g ( a, b, c , d , e ) =
∑ (2, 4, 5, 9, 10, 11, 13, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 29, 31 ) + d ( 0 ) ∏ (4, 6, 7, 10, 11, 14, 17, 20, 22, 24 ) + d ( 0, 25, 26, 27, 28, 29, 30 )
Disponemos de una ROM de tres líneas de dirección y hasta 10 MUX 2:1. a) Diseñe las funciones f y g b) Obtenga, además, la función h =f . g Las variables están en único raíl. Problema 62.- Necesitamos un circuito lógico con cuatro entradas que genere una salida z
que se activa cuando se satisface una de las dos condiciones siguientes, pero no las dos: 1) Ambas entradas, a y b, son activas. 2) O bien c o d o ambas son activas. Diseñe este circuito en cada uno de los casos siguientes: a) Con MUX´s de 4 canales, suponiendo que a y b son activas en nivel alto, c y d activas en bajo y z activa en bajo. b) Con un DEC 3:8 con salidas activas en alto, una puerta NAND de 6 entradas y un número no mayor de 8 puertas NAND de dos entradas, suponiendo que todas las entradas y salidas son activas en alto. Problema 63.- Rediseñe el circuito de la figura, utilizando sólo MUX´s 2:1. Deberá reducirse
en lo posible el número de multiplexores. La única entrada disponible en doble raíl es "e". 1 0 e 0 e
0 1 2 3 4
1 e 1
5 6 7
b
0 1
z s
c 2 1 0 a b d
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Problema 64.- Demuestre algebraicamente cómo se obtiene, si es posible, una puerta EXOR
de dos entradas utilizando exclusivamente dos decodificadores de 2:4. Problema 65.- Cinco soldados A,B,C,D y E son voluntarios para una importante misión si se
cumplen todas las siguientes condiciones: 1) A o B o ambos, tienen que ir. 2) C o E, pero no ambos, tienen que ir. 3) O van A y C, o no van ni A ni C. 4) Si D va, entonces E también tiene que ir. 5) Si B va, entonces también A y D tiene que ir. a) Obtenga la expresión mínima de la función que indica cuándo se cumplen las condiciones. b) Diseñe un circuito que realice la función utilizando únicamente multiplexores 8:1 (las variables están en único raíl). Problema 66.- Se dispone de circuitos comparadores de magnitud de 4 bits
y puertas
lógicas. Diséñese un comparador de números de 16 bits. Problema 67.- Empleando un multiplexor de tres entradas de selección y todos los
multiplexores que hagan falta de dos entradas de selección, realice la función lógica f(x1 ,x2 ,..x6 ) que se caracteriza por tomar el valor 1 si y sólo si se cumple: x 1+x 2+x3 +2x4 +2x5+3x6 > 4 donde xi ={0,1} para i={1,2,..,6} y las operaciones de adición y multiplicación indicadas son aritméticas. Problema 68.- Diseñe un circuito combinacional que tenga como entradas tres números sin
signo A, B y C de n bits cada uno, y una salida Z que indique cuál de los números B o C es más próximo al número A. Haga un diseño con subsistemas combinacionales. Suponga que A≠ B, A≠C y C ≠ B. Problema 69.- Determinado proceso químico es controlado por dos sistemas idénticos S 1 y
S 2 . Cada sistema mide dos parámetros: valor de ajuste (A 1 y A2 , cada uno de dos bits) y valor base (B 1 y B2 , cada uno de cuatro bits). La operación es de la siguiente forma: - Si los valores base medidos por ambos sistemas difieren en menos de tres unidades, el valor de salida corresponderá a la base medida por S 1. - Si los valores base de S 1 y S 2 difieren en tres o más unidades, el valor de salida corresponderá a la resta "valor base menos valor de ajuste" del sistema que haya medido mayor valor base. Muestre un diagrama de bloques y realice un diseño utilizando subsistemas combinacionales.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1 o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC4 SUBSISTEMAS COMBINACIONALES
Problema 70.- Sea el bloque lógico A que compara la magnitud de dos números de tres bits,
X 3 = x1 x 2 x3 e Y 3 = y1 y2 y3 donde x3 e y3 son los bits menos significativos. El bloque A tiene dos salidas G3 y S 3 tales que G3 = 1 si y sólo si X 3>Y 3; S 3 = 1 si y sólo si X 3
x1 x2 x3 y1 y2 y3
G3 S3 A
x4 y4
B
G4 S4
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC5 CIRCUITOS ARITMÉTICOS Problema 1.- Realice las siguientes sumas sin pasar a base decimal:
a) 1110 (2 + 1001
(2
b) 100.1(2 + 111 (2 c) F02B(16 +1021(16 d) 1230(4 + 23 (4 Problema 2.- Multiplique los números del problema anterior sin pasar a base decimal.
¿Qué regla puede encontrarse para multiplicar o dividir números binarios por o entre números que sean potencias de 2? Problema 3.-
Sean A y B dos números binarios. Determine en función del número de bits de A y B el mayor número de bits de A+B y A* B. Realice en binario las sumas 110 + 35 y 110+73 suponiendo que se dispone de un solo byte. Problema 4.- Realice la substracción de los siguientes números binarios usando el
complemento a dos Compruébese la respuesta por substracción directa. a) 11010 - 1101 b) 11010 -10000 c) 10010 - 10011 d) 100 - 110000 Problema 5.- Diseñe a nivel de puertas un sumador completo de tres bits ( además de
posibles acarreos). Utilizando el diseño anterior, realice un sumador paralelo de 3 números de n bits. Problema 6.- Realice las operaciones aritméticas siguientes en binario utilizando la
notación en complemento a 2 y compruebe el resultado usando la aritmética decimal. 1) (+42) + (-13) 2) (+42)-(-13) 3) (-42)+(-13) Problema 7.- Realice las siguientes operaciones utilizando 10 bits, 3 de ellos para la parte
fraccionaria, usando la notación en complemento a 2. Compruebe el resultado verificando los posibles errores. a) (+22.25) +(+13.13) b) (+22.25) - (+13.13) c) (-22.25) + (+13.13)
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC5 CIRCUITOS ARITMÉTICOS Problema 8.- Los números binarios listados a continuación corresponden a números con
signo en notación complemento a 2. Realice las operaciones y compruebe los resultados operando en decimal. a) 001110 + 110010
b) 010101 + 000011
c) 111001 + 001010
d) 101011 + 111000
e) 011101 + 001010
f) 010101 - 000111
g) 001010 - 111001
h) 111001 - 001010
i) 101011 - 100110
j) 100110 - 011101 Problema 9.- Realice las siguientes operaciones en binario comprobando el resultado:
a) 22 x 18
c) 18 x 40
e) 168 :14
b) 75 x 8
d) 61 : 16
f) 168 : 20
Problema 10.- Las sumas y restas en complemento a 10 tienen las mismas reglas que las
sumas y restas en complemento a 2. a) Represente (+149 y -178) en complemento a 10 con 4 dígitos, el más significativo de los cuales actúa como digito de signo. b) Sume ((+149) +(-178)) en complemento a 10. c) Represente (+149 y -179) en BCD bajo complemento a 10, usando un bit como signo. d) Sume en BCD y en complemento a 10 ((+149) + (-178)), interpretando la respuesta. Problema 11.- La ALU de 4 bits de la figura se incluye dentro de un circuito integrado.
Muestre las conexiones entre 3 CI pra formar una ALU de 12 bits. Asigne los arrastres de entrada y salida en la ALU de 12 bits.
S2 S1 S0 Cin
A3 A2 A1 A0 B3 B 2 B1 B0 ALU F 3 F 2 F1 F0
Cout
Problema 12.- Diseñe un circuito aritmético con una variable de selección s y dos entradas
de datos A y B. Cuando s=0 el circuito realiza la operación de suma F= A+B. Cuando s=1, el circuito realiza la operación de incremento F=A+1. Suponga A y B números de 4 bits.
FUNDAMENTOS DE COMPUTADORES (1o INGENIERO EN INFORMÁTICA) BOLETÍN CC5 CIRCUITOS ARITMÉTICOS Problema 13.- Diseñe un circuito aritmético con dos variables de selección s1 y s0 que
genera las siguientes operaciones aritméticas. Dibuje el diagrama lógico de una etapa típica. s1 s0 Cin = 1 Cin = 0 0 0 1 1
0 1 0 1
F = A+B F=A F =B F = A+B
F = A+B+1 F = A+1 F = B+1 F = A+B+1
Problema 14.- En el circuito de la figura hay, entre otros, un sumador paralelo de "n" bits y
un bloque "transfiere/complementa" B (representado por n XOR). Describa funcionalmente el circuito. (Esto es, represente su operación en forma de tabla y explíquelo verbalmente). B
A
a Cout
x3
0
b
n bits a+b
x1
&
n XOR
Cin 1 x2
F
Problema 15.- Se dispone de una ALU de 8 bits muy simple, ya que sólo hace las operaciones
de "suma" y " transfiere el complemento", como se indica en la figura adjunta B
A
X Cin Cout V
X ALU[8] Cin
0 0 0 1 1 -
F A+B A+B+1 A
Considere dos números con signo de 16 bits ( K y L), representados en complemento a dos. Cada uno está escrito en dos palabras de 8 bits, una con la parte más significativa (H) y otra con la menos significativa (L), es decir, (K= K H K L y L=L H L L ). a) Utilizando una sola ALU, indique justificadamente, qué hay que realizar para obtener M=K+L (M=M M L ) incluyendo la posiblidad de desbordamiento (oveflow). No hay que H explicar cómo se almacenan los resultados intermedios, sino que, simplemente, hay que decir que se almacenan. b) Repita el apartado anterior para obtener M=K-L. c) Diseñe la ALU con puertas y sumadores completos (Full Adder) de 1 bit.
