Problemas y ejercicios resueltos: Principio de Arquímedes En el contexto del Principio de Arquímedes, les presentamos una serie de problemas con solución, los cuales ayudan a comprender múltiples aplicaciones del concepto estudiado en este sitio web, así como también permiten familiarizarse con el comportamiento de distintos tipos de fluidos.
Problemas resueltos
!. "na bola de acero de # cm de radio se sumer$e en a$ua, calcula el empu%e que sufre y la fuerza resultante.
&olución
El empu%e 'iene dado por E ( )a$ua *sumer$ido *sumer$ido $, la masa específica del a$ua es un 'alor conocido +! -$m/0, lo único que se debe calcular es el 'olumen sumer$ido, en este caso es el de la bola de acero. &e utiliza la fórmula del 'olumen de una esfera. *olumen #,1/2 3 !45 m/ E ( )a$ua3*sumer$ido3$ ( ! 3 #,1/2 3 !45 3 6,7 ( #,!/! 8
El empu%e es una fuerza diri$ida 9acia arriba, y el peso de la bola 9acia aba%o. :a fuerza resultante ser; la resta de las dos anteriores. <( m$ ( )'$ )acero ( =,6 $cm/ ( =6 -$m/ m ( )acero 3 * ( =6 3 #,1/5 3 !45 ( 5,!/# -$ P ( m 3 $ ( 5,!/# 3 6,7 ( 5,#1 8 >uerza ?esultante P 4 E ( /#,/6 8, 9acia aba%o, por lo que la bola tiende a ba%ar y sumer$irse.
1. &e desea calcular la nasa específica de una pieza met;lica, para esto se pesa en el aire dando como resultado !6 8 y a continuación se pesa sumer$ida en a$ua dando un 'alor de != 8.
&olución
&e sabe por enunciado que la fuerza de empu%e corresponde a 1 8. @e acuerdo a esto, se calcula el 'olumen sumer$ido E ( )a$ua3*sumer$ido3$ :ue$o se calcula la masa m ( P$ ( !66,7 ( !,6/6 -$.
1 ( ! 3 * 3 6,7
* ( 1,5! 3 !45 m/
>inalmente, se calcula la masa específica ya que tenemos m y * )( m* ( !,6/61,5! 3 !45 ( 6566 -$ m/
/. "n recipiente contiene una capa de a$ua +)1 ( !,/$cm/0, sobre la que flota una capa de aceite, de masa específica )! ( ,7/ $cm/ . "n ob%eto cilíndrico de masa específica desconocida )/ cuya ;rea en la base es A y cuya altura es 9, se de%a caer al recipiente, quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el a$ua, sumer$ido en esta última 9asta la profundidad de 1 9/. @eterminar la masa específica del ob%eto. &olución
El cuerpo est; sumer$ido parcialmente tanto en a$ua como en aceite. Est; siendo afectado por / fuerzas el peso y dos empu%es +del 'olumen de aceite desplazado y el 'olumen de a$ua desplazado0. El cuerpo est; en equilibro, y ocurre que E! E1 4 P ( E!( )!B$B9BA E1( )1B$B9BA ?eemplazando )!$ A 9 )1 $ A 9 4 ) $ A 9 ( )! )1 ( ) ) ( .6// $rcm/
PRINCIPIO DE PASCA En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matem;tico francés Claise Pascal +!21/4!2210 que se resume en la frase lapresión e%ercida en cualquier lu$ar de un fluido encerrado e incompresible se transmite por i$ual en todas las direcciones en todo el fluido, es decir, la presión en todo el fluido es constante! a presi"n en todo el #luido es constante esta frase que resume de forma tan bre'e y concisa la ley de Pascal da por supuesto que el fluido est; encerrado en al$ún recipiente, que el fluido es incompresible... El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera 9ueca, p erforada en diferentes lu$ares y pro'ista de un émbolo. Al llenar la esfera con a$ua y e%ercer presión sobre ella mediante el émbolo, se obser'a que el a$ua sale por todos los a $u%eros con la misma presión. Dambién podemos 'er aplicaciones del principio de Pascal en las prensas 9idraulicas.
APICACION DE PRINCIPIO DE PASCA El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la 9idrost;tica y del car;cter altamente incompresible de los liquidos. En esta clase de fluidos la densidad es pr;cticamente constante, de modo que de acuerdo con la ecuación
p ( p r9o $ 9 , @onde
p, , presión total a la profundidad
9, medida en Pascales +Pa0.
p , , presión sobre la superficie libre del fluido.
r9o , , densidad del fluido.
$, , aceleración de la $ra'edad. &i se aumenta la presión sobre la superficie libre, por e%emplo, la presión total en el fondo 9a de aumentar en la misma medida, ya que el término )gh no 'aría al no 9acerlo la presión total +ob'iamente si el fluido fuera compresible, la densidad del fluido respondería a los cambios de presión y el principio de Pascal no podría cumplirse0
PRENSA $IDRA%ICA :a prensa 9idr;ulica es una m;quina comple%a seme%ante a un camión de Arquímides, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de ele'adores, prensas, frenos y muc9os otros dispositi'os 9idr;ulicos de maquinaria industrial. :a prensa 9idr;ulica constituye la aplicación fundamental del p rincipio de Pascal y también un dispositi'o que permite entender me%or su si$nificado. Fonsiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior est; completamente lleno de un líquido que puede ser a$ua o aceite. @os émbolos de secciones diferentes se a%ustan, respecti'amente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Fuando sobre el émbolo de menor sección S! se e%erce una fuerza F ! la presión p! que se ori$ina en el líquido en contacto con él se transmite ínte$ramente y de forma +casi0 instant;nea a todo el resto del líquido. Por el principio de Pascal esta presión ser; i$ual a la presión p1 que e%erce el fluido en la sección S1, es decir
p! ( p1 ,
con lo que, las fuerzas fueron siendo, siendo S! G S1
>! ( p! &! G p! &1 ( p1 &1 ( >1,
y por tanto, la relación entre las fuerza resultante en el émbolo $rande cuando se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeHo ser; tanto mayor cuanto mayor sea la relación entre las secciones
>! ( >1 left+ fracI&!JI&1J ri$9t0
Aunque los dos sean fluidos 9ay una diferencia importante entre los $ases y los líquidos, mientras que los líquidos no se pueden comprimir en los $ases sí es posible. Esto lo puedes comprobar f;cilmente con una %erin$uilla, llénala de aire, empu%a el émbolo y 'eras cómo se comprime el aire que est; en su interior, a continuación llénala de a$ua +sin que quede nin$una burbu%a de aire0 obser'ar;s que por muc9o esfuerzo que 9a$as no 9ay manera de mo'er en émbolo, los líquidos son incompresibles.
Esta incompresibilidad de los líquidos tiene como consecuencia el principio de Pascal +s. K*LL0, que dice que si se 9ace presión en un punto de una masa de líquido esta presión se transmite a toda la masa del líquido.
Fomo puedes 'er en esta experiencia si se 9ace presión con la %erin$uilla en un punto del líquido que contiene la esfera, esta presión se transmite y 9ace salir el líquido a presión por todos los orificios. :a aplicación mas importante de este principio es la prensa 9idr;ulica, ésta consta de dos émbolos de diferente superficie unidos mediante un líquido, de tal manera que toda presión aplicada en uno de ellos ser; transmitida al otro. &e utiliza para obtener $randes fuerzas en el émbolo mayor al 9acer fuerzas pequeHas en el menor.
:a presión e%ercida en el émbolo ! se transmitir; al émbolo 1, así pues p! ( p1 y por tanto
que constituye la fórmula de la prensa 9idr;ulica, siendo > y & fuerza y superficie respecti'amente. Fomo &1 es $rande, la fuerza obtenida en ese émbolo >1 también lo ser;. E%emplo &e desea ele'ar un cuerpo de ! -$ utilizando una ele'adora 9idr;ulica de plato $rande circular de # cm de radio y plato pequeHo circular de 7 cm de radio, calcula cu;nta fuerza 9ay que 9acer en el émbolo pequeHo. En este e%ercicio nos dan datos para calcular las dos superficies y para el peso a le'antar, es decir calculamos pre'iamente &!, &1, >1 y calculamos >! despe%ando.
&1 ( M ?1 ( M ,#1 ( ,=7# m1 m1
&! ( M ?1 ( M ,71 ( ,1!
>1 ( m $ ( ! 3 6,7 ( 67 8 &i multiplicamos en cruz y despe%amos >! ( >1 3 &! &1 1#! 8
introduciendo los datos anteriores >! (
