Hugo Suárez López 6IM16 E jercicios resueltos de la distribución normal 1.- El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa
se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días. t1 = -¥ y t2 = (7 -5)/1 = 2 En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.
2.- La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación
típica de 5. Se supone que se distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antes de 60 meses? a) t = (75 -68)/5 = 1,4 P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses
b) t = (60 -68)/5 = -1,6 P (X 60) = (t -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t 1,6) = 0,0548 Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar 60 meses.
3.- El consumo medio bimestral de energía eléctrica en una ciudad es de 59 Kw/h., con una
desviación típica de 6 Kw/h. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) ¿Cuántos Kw/h. tendría que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la población que más consume? b) Si usted consume 45 Kw/h. ¿qué % de la población consume menos que usted? a) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante. Este valor corresponde a t = 1,645. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada: 1,645 = (X -59)/6 Þ X = 67,87 Por lo tanto, tendría usted que consumir más de 67,87 Kw/h. bimestralmente para pertenecer al 5% de la población que más consume.
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Hugo Suárez López 6IM16 b) Vamos a ver en qué nivel de la población se situaría usted en función de los 45 Kw/h. consumidos. Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 Kw/h. t = (45 -59)/9 = -2.333 P (X 45) = P (t -2,333) = P (t > 2,333) = 1 - P (t 2,333) = 1 - 0,9901 = 0,0099 Luego, tan sólo un 1,39% de la población consume menos que usted.
4.-
Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminación. La duración de
una bombilla sigue una distribución normal con media 302 días y desviación típica 40 días. Calcular. a) ¿Cuántas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán más de 400 días? Explica razonadamente las respuestas. a) Tipificamos el valor 365 Þ t = (365 -302)/40 = 1,575 P (X 365) = P (t 1,575) = 0,9418 Luego el 94,18% de las lámparas, es decir 20.000 · 0.9418 = 18.836 bombillas se fundirán antes de 365 días
b) Tipificamos el valor 400 Þ t = (400-302)/40 = 2,45 P (X > 400) = P (t >2,45) = 1- P (t 2,45) = 1 - 0,9929 = 0,0071 Entonces el 0,71% de las lámparas, es decir 20.000 · 0.0071 = 142 bombillas durarán más de 400 días.
5.- El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un
determinado cuadro eléctrico es de 4 días, con una desviación típica de 1 día. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de electricistas que tardan menos de 3 días. b) Tiempo a partir del cual del cual se sitúa el 10% de los electricistas que más tiempo emplean en realizar el cuadro. c) Tiempos mínimo y máximo que engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio. a) t= (3 -4)/1 = -1 P (X 3) = P (t -1) P (t -1) = P (t > 1) P (t > 1) = 1 - P (t 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587 Luego, el 15,87 % de los electricistas emplean un tiempo inferior a 3 días. 2
Hugo Suárez López 6IM16 b) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior. Este valor corresponde a t = 1,282. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada: 1,282 = (X -4)/1 Þ X = 5,282 Despejando X, su valor es 5,282. Por lo tanto, el 10% de los electricistas que más tardan en realizar un cuadro lo hacen en 5.28 días.
c) Buscamos en la tabla el valor de t cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor hay un 30% de probabilidad. Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -t y la media hay otro 30% de probabilidad. Por lo tanto, el segmento (-t, +t) engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio. El valor de t que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842, por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de t. -0,842 = (X -4)/1 Þ X = 3,158 0,842 = (X -4)/1 Þ X = 4,158 Los valores de X son 3,158 y 4,158. Por lo tanto, los electricistas con tiempos comprendidos entre 3,158 días y 4,158 días constituyen el 60% de la población con un tiempo medio de realización del cuadro.
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