Ejercicios prueba de hipotesis.pdf

Estadística Inferencial I.

PRUEBA DE LA MEDIA M EDIA DE UNA POBLACIÓN POB LACIÓN . Prueba de Hipótesis con Muestra rande ! n ≥ 30 " re#ati$a a una Media de Pob#ación µ Prueba de un Extremo

Prueba de los dos Extremos

= µ o Ho : µ = > µ o ó Ha : µ < < µ o Ha : µ >

= µ o Ho : µ = ≠ µ o Ha : µ ≠

Estadística de Prueba : z =

y − µ o σ y

≈

Estadística de Prueba :

y − µ o s

z =

n

Región de Rechazo z > z α ( o sea z < z α )

y − µ o σ y

≈

y − µ o s

n

Región de Rechazo z > z α 2

> z α ! α " # z α 2 es el valor de z tal donde z α es el valor de z tal tal que P( z > tal > z α 2 ! α 2 $ %&ota µ o es nuest que P( z > nuestro ro símbo símbolo lo 'ara 'ara el valo valorr numrico 'articular es'ecificado 'ara µ en la hi'ótesis nula)$

Prue Prueba ba de Hipó Hipóte tesi siss con con %ues %uestr traa Pe&u Pe&ue' e'aa re#a re#ati ti$a $a a una una Me Medi diaa de Pob#ación µ Prueba de un Extremo

Prueba de los dos Extremos

= µ o Ho : µ = > µ o ó Ha : µ < < µ o Ha : µ >

= µ o Ho : µ = ≠ µ o Ha : µ ≠

Prueba de un extremo

Prueba de los dos extremos

H* : σ 2 = σ 02 Ha : σ 2 > σ 02 %o Ha : σ 2 < σ 02 )

H* : σ 2 = σ 02 Ha : σ 2 ≠ σ 02

Estadística de 'rueba : x = 2

( n − 1) s 2 2

σ 0

Estadística Inferencial El radio ++, es un elemento radiactivo que ocurre naturalmente$ En fechas recientes se investigaron los niveles elevados de radio ++, en el condado -ade metro'olitano (.lorida (.lorida /cientist0 verano1oto2o de 3443$ 5os datos de la tabla son niveles de radio ++, (medidos en '6i15 'ara +, es'ecimenes de suelos recolectados en el sur del condado -ale$ 5a 7gencia de Protección 7mbiental (EP7 de Estados 8nidos ha establecido como nivel de ex'osición m9ximo a radio ++, $* '6i15$ 8tilice la información del listado de ;I&I<7= que se 'resenta a continuación 'ara determinar si el nivel medio de radio ++, en los es'ecimenes de suelos recolectados en el sur del condado -ade son menores que el límite de $* '6i15 de la EP7$ 8tilice α = 0.10 $ 1.

3$, 3$@* >$4+

*$>? ?$+ 3$?,

$@3 @$>3 3$3

N

*$3A 3$@ +$*+

+$3@

3$>>>

+$+,

MIN

MAX

Q1

Q3

*$3A*

?$+*

*$44@

@$,?>

-atos n = 26 x = 2.413 s = 2.081

3 H 0 : µ ≥ 4.0 H a : µ < 4.0

+ α = 0.10 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o

=

 Bonas

*$43 *$@ $4 $+3 3$* *$A>

*$43 3$?

MEANMEDIANTRM MEANMEDIANTRMEANS EANSTDEV TDEVSEM SEMEAN EAN

so#ución

t c

+$4+ 3$ 3$,>

+,

RadLe$e# RadLe$e#

3$*+ ,$?A 3$A*

x − µ 2.413 − 4.0 = 2.081 s n 26

= −3.89

+$*?3

*$*?

Estadística Inferencial tc

t = -1.316

5)

01 0

α = . /e rechaza la H *0 el nivel medio del radio ++, son menores Conc#usión( que el limite de $*'6i15 de la EP7$

/e investigó el efecto de las descom'osturas de m9quinas sobre el rendimi rendimient ento o de un sistema sistema de fabric fabricaci ación ón em'lea em'leando ndo simula simulació ción n 'or com'ut com'utado adora ra (Indu Indust stria riall Engi Enginee neeri ring ng,, agost agosto o de 1990 1990 $  $ El est estudio udio de simulación se concentró en un solo sistema de m9quina herramienta con varias varias caract caracterí erísti sticas0 cas0 inclui incluido do un tiem'o tiem'o medio medio entre entre llegada llegadass de 3$+> 3$+> minutos0 minutos0 un tiem'o de 'rocesamiento 'rocesamiento constante constante de un minuto minuto # una tasa de descom'ostura de la m9quina de 3*C del tiem'o$ -es'us de n ! > series de simulación con duración de 3,* horas0 la 'roducción media 'or semana de * horas fue y = 1,908.8 'ie 'iezas zas$ En el caso de un sistema sin descom'osturas0 la 'roducción media es de 304+* 'iezas$ /u'oniendo que la desviación est9ndar de las cinco series de muestra fue s = 18 'iezas 'or semana de * horas0 'ruebe la hi'ótesis de que la verdadera 'roducción media 'or semana de * horas 'ara el sistema sistema es menor que 304+* 'iezas$ 8tilice α = 0.05 $ 2.

so#ución -atos n=5 x = 1,908.8 s = 18

3 H 0 : µ = 1920 piezas H a : µ < 1920 piezas

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o tc

t c



=

x − µ 1908 .8 − 1920 = s 18 n 5

t = -2.132

= −1.39 Bonas

Estadística Inferencial

5)

'roducción media 'or Conc#usión( /e ace'ta la H*0 #a que la verdadera 'roducción semana de * horas 'ara el sistema no es menor que 304+* 'iezas$

5os resultados del segundo Estudio &acional 'ara Examen de la &utrición # la /alud en Estados 8nidos indican que la concentración media de 'lomo en la sangre de individuos con edades entre , meses # A a2os es μg / dl (7nal#tical 6hemistr#0 febrero de 34?,$ /in embargo0 se observó de 14 μg / que la concentración media de 'lomo en la sangre de ni2os de raza negra de menos de > a2os de edad es significativamente m9s alta que esta cifra$ /u'onga que en una muestra aleatoria de +** ni2os negros de menos de > μg / dl # a2os de edad la concentración media de 'lomo en la sangre es de 21 μg / μg / dl $ DHa# 'ruebas suficientes 'ara indicar la desviación est9ndar es de 10 μg / que la verdadera concentración media de 'lomo en la sangre de ni2os μg / dl  Pruebe con α = 0.01 $ negros 'eque2os es ma#or que 14 μg / 3.

so#ución -atos n = 200 x = 21 μg / dl s = 10 μg / dl

3 H 0 : µ = 14 H a : µ > 14

+ α = 0.01 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o Z c

=

x − µ 21 − 14 = s 10 n 200

= 9.90

Estadística Inferencial  Bonas Zc

Z = 2.35 5)

Conc#usión( /e rechaza la H *0 si ha# 'ruebas suficientes$

α = 0.0

5a EP7 establece un límite de > ''m 'ara la concentración de ). P6= (una sustancia 'eligrosa en el agua$ 8na em'resa manufacturera im'ortante que 'roduce P6= como aislante elctrico descarga 'eque2as cantidades de su 'lanta$ 5a gerencia de la com'a2ía" en un intento 'or controlar la cantidad de P6= en sus descargas0 ha girado instrucciones de 'arar la 'roducción si la cantidad media de P6= en el efluente es ma#or que @ ''m$ 8n muestreo aleatorio de >* es'ecimenes de agua 'roduFo las siguientes estadísticas: y

= 3.1

s = 0.5 ''m

DPro'o DPro'orcio rcionan nan tales tales estadí estadísti sticas cas sufici suficient entes es 'ruebas 'ruebas 'ara 'ara detener el 'roceso de 'roducción 8tilice α = 0.01 $

a.

/i usted fuera el gerente de la 'lanta0 Dquerría utilizar un valor de α grande o 'eque2a 'ara la 'rueba del inciso a Ex'lique$

b.

so#ución -atos n = 50 x = 3.1 ppm s = 0.5 ppm

a"

3 H 0 : µ = 3 ppm H a : µ > 3 ppm

+ α = 0.01 @ Prue Prueba ba # cal calcu culo lo Z c

=

x − µ 3.1 − 3 = s 0.5 n 50

= 1.41

1


 Bonas Zc

Z = 2.35

Conc#usión( /e ace'ta la H *0 no 'resentan 'ruebas suficientes 'ara α detener el 'roceso de 'roducción$

5)

b"

8tilizaría un valor de α grande 'orque de esta manera la zona de ace'tación se reduce haciendo que la 'rueba sea mas confiable$

El taladrado de GaguFero 'rofundo es una familia de 'rocesos de taladrado que se utilizan cuando la razón entre la 'rofundidad del aguFero # el di9metro del mismo es ma#or que 3*$ El xito en el taladrado de aguFero 'rof 'rofun undo do de'e de'end nde e de que que la desc descar arga ga de las las viru viruta tass del del tala taladr dro o sea sea satisfactoria$ /e realizó un ex'erimento con el 'ro'ósito de investigar el desem' desem'e2o e2o del taladro taladro de aguFero aguFero 'rofun 'rofundo do cuando cuando ha# conges congestió tión n de virutas (Journal (Journal of Egineering for Industry, mayo de 1993$ 1993$ 5a longitud (en mm de >* virutas de taladro arroFo las siguientes estadísticas resumidas: y = 81.2 mm0 s = 50.2 mm$ mm$ Real Realic ice e una una 'rue 'rueba ba 'ara 'ara det determi ermina narr si la μ verdadera longitud media de las virutas0 0 es diferente de A> mm$ 8tilice un nivel de significancia de α = 0.01 $ 5.

so#ución -atos n = 50 x = 81.2 mm s = 50.2 mm

3 H 0 : µ = 100 H a : µ < 100


=

x − µ 81.2 − 75 = s 50.2 n 50

= 0.87

= 0.0




Bonas

Zc

α Z = -2.58 =

5)

0.0 0 5

Z = 2.58

α

Conc#usión( /e ace'ta la H*0 la longitud media de las virutas no es 2 diferente de A> mm$

2

En Environmental Science & Technology (octubre de 344@ se informó de un estudio de suelos contaminados en los Países =aFos$ /e muestreó un total de A+ es'ecimenes de tierra de **g$ los cuales se seca secaron ron # anal analiz izar aron on 'ara 'ara medi medirr el nivel nivel del del cont contam amin inan ante te cian cianur uro$ o$ /e determinó determinó la concentració concentración n de cianuro cianuro (miligramos (miligramos 'or ilogramos ilogramos de tierra tierra en cada es'cimen de suelo em'leando un mtodo de microsco'ia de infrarroFo$ 5a muestra arroFó un nivel medio de cianuro de y = 84mg / kg # una desvia desviació ción n est9nda est9ndarr s = 80mg / kg $ 8tilice esta información 'ara 'robar la hi'ótesis de que el verdadero nivel medio de cianuro en los suelos de los mg / kg $ Pruebe con α = 0.10 $ Países =aFos es menor que 100mg / 6.

so#ución -atos n = 72 x = 84 mg / kg s = 80 mg / kg

3 H 0 : µ = 100 H a : µ < 100


=

x − µ 84 − 100 = s 80 n 72

= −1.66

=

0.005 00 5


Z = -1.29 5)

α=

0.1 0

Conc#usión( /e rechaza la H *0 el verdadero nivel medio de cianuro en los suelos de los Países =aFos es menor de 3** mg1g$

5as es'ecificaciones de construcción en cierta ciudad requieren *. que las tuberías de desagJe em'leadas en 9reas residenciales tengan una resistencia media a la ru'tura de m9s de +0>** libras 'or 'ie lineal$ 8n fabr fabrica icante nte que que quis quisie iera ra 'rove 'roveer er a la ciud ciudad ad de tubo tuboss 'ara 'ara desa desagJ gJe e ha 'resentado una licitación Funto con la siguiente información adicional: un contratista inde'endiente seleccionó al azar siete secciones de los tubos del fabricante # determinó su resistencia a la ru'tura$ 5os resultados (libras 'or 'ie lineal son los siguientes: +0,3*

+0A>*

+0+*

+0>3*

so#ución -atos n=7 x = 2,571.46 s = 115.1

3 H 0 : µ = 2,500 H a : µ > 2,500

+ α = 0.10 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o t c

=

x − µ 2571 .46 − 2500 = s 115.1 n 7

= 1.642

+0>*

+04*

+0,?*

Estadística Inferencial 

Bonas

tc

t = 1.44 5)

Conc#usión( Rechazamos la H*0 los tubos cum'len las es'ecificacionesα = requeridas$

/e requiere que la tensión de ru'tura de un hilo utilizado en la +. fabricación de material de ta'icería sea al menos de 3** 'si$ 5a ex'eriencia ha indicado que la desviación desviación est9ndar de la tensión de ru'tura es + 'si$ /e 'rueba una muestra aleatoria de nueve es'ecimenes0 # la tensión de ru'tura 'romedio observada en ella es de 4? 'si$ a.

D-ebe considerarse la fibra como ace'table con α = 0.05 

b.

D6u9l es el valor P de esta 'rueba

so#ución -atos n=9 x = 98 psi s = 2 psi

a"

3 H 0 : µ = 100 psi H a : µ < 100 psi

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # cal calcu culo lo Z c

=

x − µ 98 − 100 = s 2 9 n

= −3

0.1 0


Z = -1.65

5)

b"

00 5

α = /e. rechaza la H *0 no debe de considerarse ace'table Conc#usión( la fibra$

,a#or de P ( P = o/ [ ( Z c

)] ⇒ P = o/ [ ( − 3 )] ⇒ P = 0.9987

/e est estudia udia el rend rendim imie ient nto o de un 'roc 'roces eso o quími uímico co$$ -e la ex'eriencia 'revia con este 'roceso0 se sabe que la desviación est9ndar del rendimiento es @$ en los cinco días anteriores de o'eración de la 'lanta0 se han observado los siguientes siguientes rendimientos rendimientos:: 43$,C0 43$,C0 ??$A>C0 ??$A>C0 4*$?C0 ?4$4>C # 43$@C$ 8tilice α = 0.05 . 9.

a$

DExiste evidencia de que el rendimiento no es del 4*C

b.


so#ución -atos n=5 x = 90.48% s = 3

a"

3 H 0 : µ = 90% H a : µ ≠ 90%


=

x − µ 90.48 − 90 = s 3 5 n

= 0.36


 Bonas

Z = -1.96 5)

b"

Zc

Z = 1.96

α

0.0 2 5 Conc#usión( 7ce'tamos la H*0 efectivamente el rendimiento del 'roceso químico es 4*C$ 2 =

,a#or de P ( P = 1 − o/ ( Z 0 ) ⇒ P = 1 − 0.6406 ⇒ P = 0.3594

/e sabe que el di9metro de los aguFeros 'ara una montura de cable tiene una desviación est9ndar de *$*3 in$ /e obtiene una muestra aleatoria de diez monturas0 donde el di9metro 'romedio resulta ser 3$>*> in$ 8tilice α = 0.01 . 10.

a$ Pruebe la la hi hi'ótesis de de qu que el el di di9metro 'r 'romedio ve verdadero del aguFero es 3$>* in$ D6u9l es el valor P de esta 'rueba

b.

so#ución -atos n = 10 x = 1.5045 in s = 0.01in

a"

3 H 0 : µ = 1.50 in H a : µ ≠ 1.50 in

+ α = 0.01

α

2

= 0.0 2

Estadística Inferencial @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o t c

=

x − µ 1.5045 − 1.50 = s 0.01 n 10

 Bonas

t = -2.58 5)

b"

α

= 1.42

tc

t = 2.58

= 0.0 0 5 /e ace'ta la H*0 efec efectitiva vame ment nte e el di9m di9met etro ro Conc#usión(

2'romedio verdadero del aguFero es 3$>* in$

,a#or de P ( P = 2[1 − o/ [ ( t c

)]] ⇒ P = 2[1 − ( 0.9222 ) ] ⇒ P = 0.1556

/e sabe que la duración0 en horas0 de un foco de A> Katts tiene una distribución a'roximadamente normal0 con una desviación est9ndar de σ = 25 horas$ /e toma una muestra aleatoria de +* focos0 la cual resulta tener una duración 'romedio de x = 1014 horas$

11.

a$ 6onstru#a un un in intervalo de de co confianza bi bilateral de del 4> 4>C 'a 'ara la la duración 'romedio$ b$ 6onstru#a un un in intervalo de de co confianza in inferior de del 4> 4>C 'a 'ara la la duración 'romedio$

so#ución -atos n = 20 x = 1014 horas σ = 25 horas

α

2

= 0.0 0


a" I ( 95%) x − t .

⇒ x ± t

σ n

1014 − t .

σ n

< µ < x + t . 25

20 1014 − t ( 5.59 )

σ n

< µ < 1014 + t .

25

20 < µ < 1014 + t ( 5.59 )

*$4>

α t = -2.093

2

=

0.0 2 5

α

1014 − ( 2.093) ( 5.59 )

< μ < 1014 + ( 2.093) ( 5.59 ) 1014 − 11.70 < μ < 1014 + 11.70 1002 .3 < μ < 1025 .7

(

2

=

t = v , α

0.0 2 5

) (1 9, 0.0 2 5) =

Conc#usión( 7l 4>C de confianza0 la duración 'romedio de los focos se encuentra en el intervalo %3**+$@ L 3*+>$A) b"

I ( 95%) x − t .

⇒ x ± t

σ n

1014 − t .

σ n

< µ < x + t . 25

20 1014 − t ( 5.59 )

σ n

< µ < 1014 + t .

20 < µ < 1014 + t ( 5.59 )

*$4> *

-t = 1.729 t ===1.729

α=

25

0.0 5

=

2 .0 9

Estadística Inferencial 1014 − (1.729) ( 5.59 ) < μ < 1014 + (1.729 ) ( 5.59 ) 1014 − 9.665 < μ < 1014 + 9.665 1004 .335 < μ < 1023.67

Conc#usión( 7l 4>C de confianza0 la duración 'romedio de los focos se encuentre en el intervalo de %3**$@ L 3*+@$,A)$ 8n ingeniero que trabaFa 'ara un fabricante fabricante de llantas llantas investiga la -. duración 'romedio de un com'uesto nuevo de caucho$ Para ello0 constru#e 3, llantas # las 'rueba en una carretera hasta alcanzar el fin de la vida Mtil de stas$ 5os datos0 en m0 obtenidos son los siguientes: ,*0,3@ >40A? ,*0>> ,4 ,404A

>40?@, ,*0++3 ,*0+>A ,*03@>

>40>> ,*0@33 ,*0*** ,*0++*

,*0+>+ >*0** >4044A ,*0>+@

7l ingeniero le gustaría demostrar que la vida Mtil 'romedio de la nueva llanta excede los ,* mil m$ Pro'onga # 'ruebe hi'ótesis a'ro'iadas$ Nbtenga una conclusión con α = 0.05 $

a.

/u'onga que si la vida media es de ,3 mil m0 al ingeniero le gustaría gustaría detectar esta diferencia con una 'robabilidad 'robabilidad de al menos *$4*$ DEs adecuado el tama2o de la muestra0 n!3,0 utilizado en el inciso a 8tilice la desviación est9ndar muestral s como una estimación de σ 'ara llegar a una decisión$

b.

so#ución -atos n = 16 x = 60139 .69 s = 3645 .94

a"

3 H 0 : µ = 60000 H a : µ > 60000



t c

=

x − µ 60139 .69 − 60000 = s 3645 .94 n 16

 Bonas

= 0.153

tc

t = 1.753 5)

b"

Conc#usión( /e ace'ta la H *0 la vida Mtil 'romedio de la nueva llanta no excede los ,**** m$

α=

0.0

3 H 0 : µ = 61000 H a : µ ≠ 61000


=

x − µ 60139 .69 − 61000 = s 3645 .94 n 16

= −0.944

 BonZas c

Z = -1.65

α 5)

2

Z = 1.65

005

/e ace'ta la H*0 no es adecuado0 tiene que ser Conc#usión( = . ma#or$

/e efectMa una 'rueba de im'acto Izod sobre +* muestras de tube tuberí ría a PO6$ PO6$ El est9 est9nd ndar ar 7/<; 7/<; 'ara 'ara este este mate materi rial al requ requie iere re que que la 13.

α =

2

0.0 5

Estadística Inferencial resistencia al im'acto Izod sea ma#or que 3$* ftlb1in$ El 'romedio # la desv desvia iaci ción ón est9 est9nda ndarr mus mustr tral ales es son son x = 1.25 # s = 0.25 0 res'ectivamen res'ectivamente$ te$ Pruebe H 0: μ = 1.0 contra H 1: μ > 1.0 utilizando α = 0.01$ Nbtenga conclusiones$

so#ución -atos n = 20 x = 1.25 s = 0.25 H 0 : µ = 1.0

3

H a : µ > 1.0

+

α = 0.01

@

Prueba # calculo

t c



=

x − µ 1.25 − 1 = s 0.25 n 20

= 4.47

Bonas tc

t = 2.539 5)

Conc#usión( /e rechaza la H *0 el material tiene una resistencia ma#or de 3$* ftlb1in =

α

5a bril brilla lant ntez ez de un cine cinesco sco'io 'io de tele televi visi sión ón 'uede 'uede eval evalua uarse rse midiendo la corriente necesaria 'ara alcanzar un nivel de brillantez 'articular$ 8n ingeniero ha dise2ado un cinesco'io 'ara el que cree que requiere @** microam'eres de corriente 'ara 'roducir el nivel deseado de brillantez$ /e toma una muestra de 3* cinesco'ios # se obtienen los resultados siguientes: x = 317.2 # s = 15.7 $ Pro'onga # 'ruebe una hi'ótesis a'ro'iada utilizando α = 0.05 $ Encuentre el valor P de esta 'rueba$

14.

0.0 1


so#ución -atos n = 10 x = 317.2 s = 15.7 H 0 : µ = 300 micro amperes

3

H a : µ ≠ 300 micro amperes

+

α = 0.05

@

Prueba # calculo t c



-t = 2.262 5)

=

x − µ 317.2 − 300 = 15.7 s n 10

Bonas

α

= 3.46

tc

t = 2.262

Conc#usión( /e rechaza la H*0 el ingeniero esta equivocado$

=

2

0.0 2 5

,a#or de P ( P = 2[1 − o/ ( t c

)] ⇒ P = 2[1 − ( 0.9997 ) ] ⇒ P = 0.0006

α =

2

/e anal analiz iza a una marc marca a 'art 'artic icul ular ar de mand mandar arina ina diet diett tic ica a 'ara 'ara -/. determinar el nivel de 9cido graso 'oliinsaturado (en 'orcentaFe$ /e toma una muestra de seis 'aquetes # se obtienen los siguientes datos: 3,$?0 3A$+0 3A$0 3,$40 3,$>0 3A$3$ Pruebe be la hi'ó hi'óttesis esis H 0: μ = 170 contra H 1: μ ≠ 17.0 $ 8tilice α = 0.01 $ a. Prue D6u9les son sus conclusiones b.

-atos

Encuentre el valor P de la 'rueba del inciso a$ so#ución

0.0 2


n=6 x = 16.98 s = 0.32

a"

3 H 0 : µ = 17.0 H a : µ ≠ 17.0

+

α = 0.01

@

Prueba # calculo t c



=

x − µ 16.98 − 17 = s 0.32 n 6

= −0.153

Bt onas c

-t = 4.032 5)

b"

α

t = 4.032

'oliinsaturadoα Conc#usión( /e ace'ta la H*0 el nivel de 9cido graso 'oliinsaturado = . es 3A$

000 5

2,a#or de P ( P = 2[1 − o/ ( t c

2 )] ⇒ P = 2[1 − ( 0.5596 ) ] ⇒ P = 0.8808

=

0.0 0

Estadística Inferencial I.

PRUEBA DE LA DI0ERENC D I0ERENCIA IA EN1RE LA2 MEDIA2 ME DIA2 DE DO2 POBLACIONE POB LACIONE2 2. B" MUE21RA2 INDEPENDIEN1E2. Prueba con co n %uestra Pe&ue'a Pe&ue 'a de Hipótesis Hipóte sis re#ati$as re#ati$ as a ( µ 1 − µ 2 ) Prueba de un Extremo Ho : Ha : ó Ha :

Prueba de los dos Extremos Ho : Ha :

Estadística de Prueba :

Región de rechazo:

Región de rechazo :

donde d # la distribución de t se basa en gl.

Prueba con co n %uestra Pe&ue'a Pe&ue 'a de Hipótesis Hipóte sis re#ati$as re#ati$ as a ( µ 1 − µ 2 ) cuando σ 1 2 ≠ σ 2 2 n1

= n2 = n

Estadística de 'rueba t =

( x1 − x 2 ) − D0 s1

2

n1 n1

+

s 2

2

rados de libertad : v ! n1 + n 2 − 2

n2

≠ n2

Estadística de Prueba t =

( x1 − x 2 ) − D0 s1

2

n1

+

s 2

2

n2

2

 s12 s 22  n + n   1 2 gl =   s12  2    s 22  2              n1     n2   n −1  +  n −1   1   2         

Estadística Inferencial El 'orcentaFe de grasa cor'oral 'uede ser un buen indicador del estado metabólico energtico # la salud general de un individuo$ En un estudio ( merican merican Journal of !hysical nthro"ology, enero de 19#1 19#1 del 'orcentaFe de grasa cor'oral de estudiantes universitarios en la India se seleccionaron al azar # de forma inde'endiente dos gru'os de estudiantes saludables de sexo masculino inscritos en universidades urbanas # rurales del este de la India$ /e midió el 'orcentaFe de grasa cor'oral en cada uno0 con los resultados que se resumen en la tabla$ D5a información de muestra 'ro'orciona suficiente información 'ara llegar a la conclusión de que el 'orcentaFe medio de grasa cor'oral en estudiantes universitarios saludables de sexo masculino que residen en 9reas urbanas de la India difiere de la media media corres'o corres'ondi ndient ente e 'ara 'ara estudia estudiante ntess que reside residen n en 9reas 9reas rurales rurales  8tilice un nivel de significancia de α = 0.05 $ 1.

Estudiantes ur urbanos

Estudiantes ru rurales

n1 = 193

n2 = 188

y1 = 12.07

y 2 = 11.04

s1 = 3.04

s2 = 2.63

so#ución -atos

= 193 y 1 = 12.07 s1 = 3.04

= 188 y 2 = 11.04 s1 = 2.63

n1

n2

3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

≠ µ 2


=

( y1 − y 2 ) − ( μ1 − μ 2 ) σ 1

2

n1



+

σ 2

2

n2

=

(12.07 − 11.04) − 0 = 3.54 2 2 ( 3.04) ( 2.63) 193

Bonas

+

188

Zc

α -Z = 1.96 =

002 5

Z = 1.96

α

002

Estadística Inferencial 5)

Conc#usión( /e rechaza la H *0 efectivamente el 'orcentaFe medio de gras grasa a cor' cor'or oral al de estu estudi dian ante tess que que resi reside den n en 9rea 9reass urbanas de la India difiere con res'ecto a los estudiantes que residen en 9reas rurales$

/egMn un modelo mu# utilizado de com'ortamiento gerencial0 el nivel actual de automatización de una em'resa manufacturera influ#e en la forma en que los gerentes 'erciben los 'roblemas de la automatización$ 6on obFe obFeto to de inve invest stiga igarr esta esta 'ro' 'ro'ue uest sta0 a0 inve invest stig igado adore ress de la 6onco 6oncordi rdia a 8niversit# 8niversit# (;ontreal (;ontreal encuestaron a gerentes gerentes de em'resas em'resas con un alto nivel de automatización # de em'resas con un baFo nivel de automatización ( IEEE $ /e 'idió a cada Transactions on Engineering $anagement, agosto de 1990 $ gerente que indicara cómo 'ercibe los 'roblemas de la automatización en su em'resa$ 5as res'uestas se midieron en una escala de cinco 'untos (3: &o ha# 'roblema0 $ $ $0 >: Problema Problema grave$ 5as estadística estadísticass resumidas 'ara los dos gru'os de gerentes (las cuales se 'resentan en la tabla se utilizaron 'ara 'robar la hi'ótesis de que no ha# diferencia entre la 'erce'ción media de los 'roblemas de la automatización entre los gerentes de em'resas manufactureras altamente automatizadas # menos automatizadas$ 2.

;edia @$+A @$+?*

-esviación est9ndar *$A,+ *$A+3

Realice la 'rueba que llevaron a cabo los investigadores0 su'oniendo que las varianzas de la 'erce'ción 'ara los dos gru'os de gerentes son iguales$ 8tilice α = 0.01 $

a.

b$ Realice la la 'r 'rueba qu que llllevaron a cabo lo los in investigadores0 si si se sabe sabe que que las las vari varian anza zass de la 'erc 'erce' e'ci ción ón 'ara 'ara los los gere gerent ntes es de em'resas con alto nivel # baFo nivel de automatización son diferentes$

so#ución -atos

= 17 x  = 3.274 s  = 0.762

=8 x B = 3.280 s B = 0.721

n 

a"

n B

3 H 0 : µ  = µ B H a : µ 

+ α = 0.01

≠ µ B


=

sp 2

( x  − x B ) − ( μ  − μ B ) ( 3.274 − 3.280) − 0 = = −0.0187  1 1   1 1  0.56 +  sp 2  +    17 8   n  n B  2 2 2 2 s  ( n  − 1) + s B ( n − 1) ( 0.762) (16) + ( 0.721) ( 9) = = = 0.56 n  + n B − 2 17 + 8 − 2 B

BonasZc



-t = 2.807

t = 2.807

α

α 0 0 0 5 . efectivame vamente nte no ha# difere diferencia ncia 5) Conc#usión( /e ace'ta la H 0 efecti 0.0 0 entr en tre e la 'erc 'e rce' e'ci ción ón medi me dia a de los lo s 'rob 'r oble lema mas s de 2 auto automa matitizac zació ión n entr entre e los los gere gerent ntes es de em're em'resa sass2 =

*

manufactureras manufactureras altamente automatizada automatizadass # menos automatizadas$

b"

3 H 0 : µ  = µ B H a : µ 

≠ µ B

+ α = 0.01 @ Prue Prueba ba # calc calculo ulo

− x B )− ( μ  − μ B ) (3.274 − 3.280)− 0 = −0.019 =  s  2 s B 2   (0.762 )2 (0.721)2      +   n  + n B  8  17    2 2 2  s " s!  n + n   " !  = 15 gl = 2 2 2 2   s "     s!             n n   "     !   n −1  +  n −1   "   !          t ' =

( x



=

Estadística Inferencial  Bonas

α 2

tc

= 0.005

α 2

-t = 2.947 5)

= 0.005

t = 2.947

efectivam vament ente e no ha# difere diferencia ncia Conc#usión( /e ace'ta la H*0 efecti entr entre e la 'erc 'erce' e'ci ción ón medi media a de los los 'rob 'roble lema mass de auto automa matitizac zació ión n entr entre e los los gere gerent ntes es de em're em'resa sass manufa manufactu cturera rerass altame altamente nte automa automatiz tizadas adas # menos menos automatizadas$

8na 'lanta industrial quiere determinar cual de dos ti'os de fuente de energía0 gas o electricidad electricidad00 'roduce m9s energía Mtil a menor costo$ 8na medida de la 'roducción económica de energía0 llamada inversi%n inversi%n de "lanta "or uad suministrado0 suministrado0 se calc calcula ula divi dividi dien endo do la cant cantid idad ad de dine dinero ro (en (en dólares invertida 'or la 'lanta en la fuente de energía en cuestión entre la cantidad suministrada de energía (en quads0 miles de billones de unidades trmicas brit9nicas % =<8 ) $ 6uanto menor sea este cociente0 menos 'agar9 una 'lanta industrial 'or la energía suministrada$ /e seleccionaron muestras aleatorias de 33 'lantas que utilizan electricidad # 3, 'lantas que utilizan gas0 # se calculó la inversión de 'lanta 'or uad 'ara 'ara cada una$ 5os datos se 'resentan 'resentan en la tabla0 seguidos seguidos de un listado de ;I&I<7= con el an9lisis de los datos$ 3.

+*$3> *$@> $@?

Electricidad *$>A ,+$A, ?>$, *$A? 4$+? A?$,*

?4$A+ *$,>

so#ución -atos

= 11 x g = 52.4 s g = 62.4

= 16 x e = 37 s e = 49

n g

a"

ne

3 H 0 : µ g = µ e H a : µ g

≠ µ e

*$A? *$> *$?+ *$A

'as 3,$,, A$4 +@$>4 ??$A4 43$? A$+* ,$,A 3,>$,*

*$*3 *$, ,,$, *$@,

Estadística Inferencial + α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o @$3$ 7'licando 7'licando 7n9lisis 7n9lisis de Oarianza Oarianza 'ara el ti'o ti'o de Prueba t(t ó tQ tQ s g

se

σ

62.4

σ 2

3893 .76

49 2401

Hi'ótesis

= σ e 2 2 2 H a : σ g ≠ σ e H 0 : σ g

2

α = 0.05

Prueba # calculo # c

=

gl g gl e

σ g σ e

2

2

3893 .76

=

2401

= 1.62

= n g − 1 = 10 = ne − 1 = 15

.unción Inversa # α α ( v1 , v 2 )

=

1 # (1 − $ ) ( v 2 , v1 )

=

1 # ( 0.05) (15,10 )

=

1 2.85

= 0.35

Bonas !c

! = 2.54

! = 0.35

α

6onclusión

2

002 5

. /e ace'ta la Ho0 las varianzas son iguales$

=

α =

2

0.0 2


t c

=

( x g − x e ) − ( μ g − μe σ g

2

n g gl = n g + ne

+

σ e

2

=

( 52.4 − 37 ) − 0 = 0.69 2 2 ( 62.4) ( 49) 11

ne

+

16

− 2 = 25

@$+$

 Bona Bonass

α 2

tc

α

= 0.025

2

-t = 2.060

= 0.025

t = 2.060

> 6oncl 6onclus usió ión n /e ace'ta la H o0 efectivamente no existe diferencia en la inversión quad quad medi media a entr entre e las las 'la 'lantas ntas que que usan usan gas gas # las las que usan san electricidad$ /e llevó a cabo un ex'erimento de cam'o 'ara evaluar evaluar el im'acto de los granívoros (animales que se alimentan de semillas semillas del desierto sobre la densidad # distribución de semillas en el suelo ( Ecology 0 diciembre de 34A4$ En vista del hecho conocido de que algunos roedores del desierto alma almace cena nan n semi semillllas as en rese reserv rvas as su'e su'erf rfic icia iale les0 s0 el estu estudi dio o se dise dise2o 2o es'ecíficamente 'ara determinar si tales reservas llegan a 'roducir m9s 'lantas0 en 'romedio0 que un 9rea de control ad#acente$ /e localizaron * 9rea 'eque2as excavadas 'or roedores # se cubrieron con Faulas de 'l9stico 'ara evitar que los roedores reutilizaran reutilizaran las reservas$ reservas$ /e estableció estableció un 9rea de cont contro roll ence encerr rrad ada a en una una Faul Faula a Funt Funto o a cada cada una una de las las rese reserv rvas as encontradas$ -es'us se observó el nMmero de 'lantas que germinaron en las reservas # en las 9reas de control$ En la tabla se 'ro'orciona un resumen de los los dato datos$ s$ DHa# DHa# sufic suficie ient ntes es 'rue 'rueba bas(c s(con on α = 0.05  de que el nMmero medio de 'lantas que germinaron en las reservas de semillas de roedores del desierto es significativamente ma#or que el 'romedio corres'ondiente 'ara las 9reas de control 4.

Estadística Inferencial (eservas n1 = 40 y 1 = 5.3 s1 = 1.3

)reas de control

= 40 y 2 = 2.7 s 2 = 0.7 n2


so#ución -atos

= 40 y % = 5.3 s % = 1.3

= 40 y  = 2.7 s  = 0.7

n %

n 

3 H 0 : µ % = µ  H a : µ % 〉 µ 

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o Z &

=

( x % − x  ) − ( μ % − μ  ) σ %

2

n %

+

σ 

2

n 

=

( 52.4 − 37 ) − 0 = 0.69 2 2 ( 62.4) ( 49) 11

+

16

 Bonas Zc

t = 1.65

5)

Conc#usión( 7ce'tamos la H*0 no existen 'ruebas suficientes

α

/e utilizan dos maquinas 'ara llenar botellas de 'l9stico con un = volumen neto de 3,$* onzas$ 5as distribuciones de los volMmenes de llenado 'ued 'ueden en su'o su'one ners rse e norm normal ales es00 con con desv desvia iaci cion ones es est9 est9nd ndar ar σ 1 = 0.020 # σ 2 = 0.025 onzas$ 8n miembro del gru'o de ingeniería de calidad sos'echa que el volumen neto de llenado de ambas m9quinas es el mismo0 sin im'ortar si ste es o no es de 3, onzas$ -e cada maquina se toma una muestra aleatoria de 3* botellas$ 5.

;aquina 3 3,$*@ 3,$*3 3,$* 3>$4, 3,$*> 3>$4? 3,$*> 3,$*+ 3,$*+ 3>$44

;aquina + 3,$*+ 3,$*@ 3>$4A 3,$* 3>$4, 3,$*+ 3,$*3 3,$*3 3>$44 3,$**

0.0 5


a. D/e encuentra el ingeniero en lo correcto 8tilice α !*$*> b. D6u9l es el valor de P de esta 'rueba so#ución -atos

= 10 x 1 = 16.015 σ 1 = 0.020 n1

n2 x 2 σ 2

= 188 = 16.005 = 0.025

a" 3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

≠ µ 2


=

( x1 − x 2 ) − ( μ1 − μ 2 ) σ 1

2

n1

+

σ 2

2

+

10

10

Zc

α

= 0.025

2

-Z = 1.96 5)

(16.015 − 16.005) − 0 = 0.99 2 2 ( 0.020) ( 0.025)

n2

 Bonas

α

2

=

= 0.025

Z = 1.96

Conc#usión( /e ace'ta la H*0 efectivamente el ingeniero se encuentra en lo correcto$

b"

Oalor Oal or de P

Z c

= 0.99 area ! *$?@?4

P = 2 1 − φ ( Z c

) = 2 1 − φ ( 0.99 ) P = 2[1 − 0.8389] = 0.322


Existen dos ti'os de 'l9sticos a'ro'iados 'ara su uso 'or un fabrica fabricante nte de com'on com'onent entes es electr electróni ónicos$ cos$ 5a tensió tensión n de ru'tura ru'tura de este este 'l9s 'l9stitico co es un 'ar9 'ar9met metro ro im'o im'ort rtan ante te$$ /e sabe sabe σ 1 = σ 2 = 1.0 'si$ -e una muestr muestra a aleato aleatoria ria de tama2o tama2o n1 = 10 # n2 = 12 0 se tiene tiene que que x1 = 162.5 # x 2 = 155.0 . 5a com'a2ía no ado'tar9 el 'l9stico 3 a menos que la tensión de ru'tura de ste exceda a la del 'l9stico + al menos 'or 3* 'si$ 6on base en la informa informació ción n obteni obtenida da en la muestr muestra0 a0 D5a com'a2í com'a2ía a deber9 deber9 utiliz utilizar ar el 'l9stico3$ 8tilice α = 0.05 'ara llegar a una decisión$ 6.

so#ución -atos

= 1.0 psi n1 = 10 x 1 = 162.5

= 1.0 psi n2 = 12 x 2 = 1556.0

σ 1

σ 2

3 H 0 : µ 1 − µ 2 = 10 H a : µ 1 − µ 2

〉

10


=

( x1 − x 2 ) − ( μ1 − μ 2 ) σ 1

2

n1

+

σ 2

2

n2

=

(162.5 − 155) − 10 = −5.84 2 2 (1.0 ) (1.0 ) 10

+

12

 Bonas Zc

Z = 1.65

Conc#usión( /e ace'ta la H*0 la com'a2ía debe usar el 'l9stico 3$ En la fabricación de semiconductores0 a menudo se utilizaα una = *. sustancia química 'ara quitar el silicio de la 'arte trasera de las obleas antes

5)

0 .0 5

Estadística Inferencial de la metalización$ En este 'roceso es im'ortante la ra'idez con la que actMa la sustancia$ /e han com'arado dos soluciones químicas0 utilizando 'ara ello dos muestras aleatorias de 3* obleas 'ara cada solución$ 5a ra'idez de acción observada es la siguiente (en mils min:

2o#ución 4$4 3*$, 4$ 3*$@ 4$@ 3*$* 4$, 3*$@ 3*$+ 3*$3

2o#ución  3*$+ 3*$* 3*$, 3*$+ 3*$A 3*$A 3*$ 3*$ 3*$> 3*$@

.

D5os datos a'o#an la afirmación de que la ra'idez 'romedio de acción es la misma misma 'ara ambas ambas soluci solucione ones s Para Para obtene obtenerr sus conclus conclusion iones0 es0 utilic utilice e α = 0.05 # su'onga que las varianzas de ambas 'oblaciones son iguales$

so#ución -atos

= 10 x 1 = 9.97 s1 = 0.42

= 10 x 2 = 10.4 s 2 = 0.023

n1

n2

3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

≠ µ 2


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2  1 1   ' p2  +  n n  1 2  '

=

t c

=

2 p

( 0.42 ) 2 ( 9 ) + ( 0.23) 2 ( 9 ) 18

( 9.97 − 10.4) − 0

 2  0.115   10 

2 p

'

= 0.115

= − 2.83

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2


 Bonas tc

-t = 2.101

5)

t = 2.101

α /e rechaza la H*0 la ra'idez 'romedio de acción no Conc#usión( α es la = . misma 'ara ambas soluciones$ = .

2

002 5

002 5

2 /e investiga la tem'eratura de deflexión baFo carga 'ara dos ti'os

+. diferentes de tubería de 'l9stico$ Para ello se toman dos muestras aleatorias0 cada cada una de 3> es'e es'eci cime mene nes0 s0 anot anotan ando do las las tem'e tem'era ratu tura rass de defl deflex exió ión n observadas (en .$ 5os resultados son los siguientes: 1ipo 34@ +*A 3?> 3?4 +3@

+*, 3?? +*> 3?A 34

34+ +3* 34 3A? +*>

3AA 34A +*, +*3 3?*

1ipo  3A, 3?> +** 34A 34+

. 34? 3?? 3?4 +*@ 34+

D5os datos a'o#an la afirmación de que la tem'eratura de deflexión baFo carga 'ara la tubería de ti'o + es ma#or que 'ara la tubería de ti'o 3 Para llegar a una conclusión0 utilice α = 0.05 # su'onga que las varianzas de ambas 'oblaciones son iguales$

a.

b.

6alcule el valor P 'ara la 'rueba del inciso a$

so#ución -atos

= 15 x 1 = 196.4 s1 = 10.48 n1

a" 3 H 0 : µ 2 = µ 1 H a : µ 2 〉 µ 1

= 15 x 2 = 192.07 s 2 = 9.44 n2



( x1 − x 2 ) − ( μ1 − μ 2 ) s 22 ( n 2 − 1) + s12 ( n1 − 1) 2 t c = ' p = n1 + n 2 − 2 1  2  1   ' p  +   n1 n2  ( 9.44) 2 (14 ) + (10.48) 2 (14 ) 2 = 99.472 ' p = t c

=

28 (192.07 − 196.4) − 0

 2  99.472   15 

= − 1.19

 Bonas tc

α = 0.05 t = 2.101

Conc#usión( /e rechaza la H*0 la ra'idez 'romedio de acción no es la misma 'ara ambas soluciones$

5)

b Oalor de P

= −1.19 P = 1 − φ ( Z c ) P = 0.117 t c

se realizó un estudio sobre economización de combustible 'ara 3. dos automóviles alemanes: ;ercedes # OolsKagen$ Para ello se escogió un vehículo de cada marca # se observó el rendimiento en ilometraFe 'ara 3* tanques de combustible en cada automóvil$ 5os datos son los siguientes (en ilómetros 'or galón:


Mercedes +$A +$4 +$? +$, +$4 +@$4 +$A +$4 +$> +$?

,o#4s5a6en 3$A +$? +$@ +$ 3$, @4$4 @4$> *$? 3$4 +4$,

.

D5os datos a'o#an la afirmación que de el rendimiento en ilometraFe del Ool OolsK sKag agen en es al meno menoss 3> iló ilóme metr tros os 'or 'or galó galón n ma#o ma#orr que que el del del ;ercedes 8tilice α = 0.05 'ara llegar a una conclusión$

so#ución -atos

= 10 x " = 24.67 s " = 0.30

= 10 x ! = 40.25 s! = 3.89

n "

n!

3 H 0 : µ " − µ ! = 15 H a : µ "

− µ ! < 15

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calculo ulo @$@$ 7'licando 7'licando 7n9lisis 7n9lisis de Oarianza Oarianza 'ara el ti'o ti'o de Prueba t(t ó tQ tQ

σ 2

σ

s "

s!

0.30

3.89

0.09

15.132

Hi'ótesis

= σ ! 2 2 2 H a : σ " ≠ σ ! H 0 : σ "

α = 0.05

2

Estadística Inferencial Prueba # calculo # c

=

gl " gl e

σ " σ !

2

2

=

0.09 15.1321

= 0.0059

= n " − 1 = 9 = n! − 1 = 9

.unción Inversa # α α ( v1 , v 2 )

=

1 # (1 − $ ) ( v 2 , v1 )

=

1 # ( 0.05 ) ( 9,9 )

=

1

= 0.31

3.18

Bonas !c

α 2

= 0.025

α 2

= 0.025

! = 3.18

! = 0.31

6onclusión /e rechaza la Ho0 las varianzas son diferentes$ t ' =

( x

"

− x ! )− ( μ " − μ v ) = 2 2  s " s !     n + n  !   " 2

( 24.67)− 0 . . 40.25  ( 0.30 ) ( 3.89 ) .  + 3.89 2

 

10

2

10

 s " 2 s! 2  n + n  2.317123284  " !  gl = = =9   s " 2  2    s! 2  2  0.254431722          n    n "    +  !   n −1   n −1   "   !         

   

=

-24.79

Estadística Inferencial  Bonas Bonas gl. = 9

tc

t = -1.833

0 .0 5

α = : /e rechaza la Ho0 efectivamen 6onclusión efectivamente te el rendimiento rendimiento en ilometraFe del OolKagen es al menos 3> Sm 'or ma#or que el mercedes$ 5)

/e fabrica una 'elícula fotoconductora con un es'esor nominal de +> mils$ El ingeniero del 'roducto desea aumentar la velocidad 'romedio de la 'elícula0 # cree que 'uede lograra esto al reducir el es'esor de sta a +* mils$ En un 'roceso de 'roducción 'iloto se fabrica ocho muestras de cada es'esor de 'elícula0 # des'us se mide la velocidad de cada una de ellas (en μ( 1 in+$ Para la 'elícula de +> mils0 los datos de la muestra son x1 = 1.15 # s1 = 0.11 0 mientras que 'ara la 'elícula de +* mils los resultados son x 2 = 1.06 # s2 = 0.09 $ &ote que un aumento en la velocidad de la 'elícula debe reducir el valor de las observaciones en μ( 1 in+$ 10.

D5os datos a'o#an la afirmación de que la disminución en el es'esor de la 'elícula aumenta la velocidad 'romedio de la misma Haga uso de α = 0.05 # su'onga que las varianzas de las dos 'oblaciones son iguales$ a.


b.

so#ución -atos

=8 x 1 = 1.15 s1 = 0.11

=8 x 2 = 1.06 s 2 = 0.09

n1

n2

a" 3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

> µ 2

+ α = 0.05


@ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o t c

( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2  1 1   ' p2  +  n n  1 2  ' p

= 0.0101

t c

=

2

(1.15 − 1.06 ) − 0

 1  0.0101   4 

2 p

'

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2

= 1.79

 Bonas gl. = 14 tc

t = 1.761

rechaz aza a la H*0 en el sent sentiido que que no aumen umα enta ta = la Conc#usión( /e rech velocidad 'romedio de las 'elículas fotoconductoras al reducir el es'esor de las 'elículas$ b Oalor de P 5)

P = (1 − φ t c

)

P = 1 − 0.95 P = 0.05

-os 'roveedores fabrican fabrican un engrane de 'l9stico 'l9stico utilizado en una im'res im'resora ora l9ser$ l9ser$ 8na caracte característ rística ica im'ort im'ortant ante e de estos estos engrane engraness es la resistencia resistencia al im'acto0 im'acto0 la cual se mide en 'iesTlibras$ 'iesTlibras$ 8na muestra aleatoria de 3* engranes suministrados 'or el 'rimer 'roveedor arroFa los siguientes resultados: x1 = 290 # s1 = 12 $ -el segundo 'roveedor se toma una muestra aleatoria de 3> engranes0 donde los resultados son x 2 = 321 # s2 = 15 $ a. DExi DExist ste e evid eviden enci cia a que que a'o# a'o#e e la afir afirma maci ción ón de que que los los engrane engraness del 'rovee 'roveedor dor + tienen tienen una ma#or ma#or resist resistenc encia ia 'romedi 'romedio o al 11.

0 .0 5

Estadística Inferencial im'a im'act cto o 8til 8tilic ice e α = 0.05 # su'o su'ong nga a que que las las vari varian anza zass de las las dos dos 'oblaciones son iguales$ b$ D5os datos a'o#an la afirmación de que la resistencia 'romedio al im'acto de los engranes del 'roveedor + es al menos +> 'iesTlibras ma#or que la del 'roveedor 3 Haga las mismas su'osiciones que en el inciso a$

so#ución -atos

= 10 x 1 = 290 s1 = 12

= 15 x 2 = 321 s 2 = 15

n1

n2

a" 3 H 0 : µ 2 = µ 1 H a : µ 2 〉 µ 1


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2 1  2  1  ' p  +  n n  1 2 

t c

'

=

t c

=

2 p

(15) 2 (14 ) + (10 ) 2 ( 9 ) 23

( 321 − 290 ) − 0

 1 + 1    15 10 

2 p

'

=

= 176.09 =

5.72

176.09

 Bonas tc

gl. = 23

t = 35.17

s 22 ( n 2

− 1) + s12 ( n1 − 1) n1 + n2 − 2


/e ace'ta la H*0 no exis existe ten n Conc#usión( evidencias suficientes$

5)

b" 3 H 0 : µ 2 − µ 1 = 25 H a : µ 2

− µ 1 < 25


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2  1 1   ' p2  +  n n  1 2 

t c

'

=

t c

=

2 p

(15) 2 (14 ) + (10 ) 2 ( 9 ) 23

( 321 − 290 ) − 25

 1 1  176.09 +   15 10 

2 p

'

=

s 22 ( n 2

− 1) + s12 ( n1 − 1) n1 + n2 − 2

= 176.09 = 1.11

 Bonas tc

gl. = 23

α = 0.05 t = -35.17 5)

Conc#usión( /e ace'ta la H*0 no existen evidencias suficientes$

/e investigan los 'untos de fusión de dos aleaciones utilizadas en la fabricación de soldadura$ Para ello0 se funden +* muestras de cada material$ 5a media muestral # la desviación est9ndar de la aleación 3 son x1 = 421° # # s1 = 4° # 0 mientras que 'ara la aleación + los resultados son x 2 = 426° # # s2 = 3° # $ D5os datos contenidos en la muestra a'o#an la afirmación de que las dos aleaciones tienen el mismo 'unto de fusión

12.

Estadística Inferencial 8tilic ilice e α = 0.05 # su'o su'onga nga que amba ambass 'obla 'oblaci cion ones es tien tienen en las las mism mismas as desviaciones est9ndar$ Encuentre el valor P de esta 'rueba$

so#ución -atos

= 20 o x 1 = 421 # s1 = 4 o #

= 20 o x 2 = 426 # s 2 = 3 o #

n1

n2

a" 3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

≠ µ 2


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2 1  2  1  ' p  +  n n  1 2  ' p2

= 12.5

t c

=

( 421 − 426 ) − 0

 1  12.5   10 

2 p

'

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2

= − 4.47

 Bonas gl. = 38 tc

-t = 2.001

5)

t = 2.101

α /e rechaza la H*0 en el sentido que las aleaciones Conc#usión( α no = . tienen el mismo 'unto de fusión$ = .

2

002 5

2

002 5

Estadística Inferencial b Oalor de P

= −2.83 P = 2[1 − 1.000] P = 0.00 t c

/e cree que el es'esor (en mils de la 'elícula de 'l9stico que recubre un sustrato0 est9 influenciado 'or la tem'eratura con la que se a'lica el recubrimiento$ /e recubre doce sustratos a una tem'eratura de 3+> .0 lo que da como resultado resultado un es'esor 'romedio 'romedio del recubrimient recubrimiento o de x1 = 103.5 # una desviación desviación est9ndar est9ndar s1 = 10.2 $ /e recubre otros 3> sustratos a 3>* .0 # se tiene que que x 2 = 99.7 # s2 = 9.4 $ Inicia Inicialme lmente nte se sos'ec sos'echaba haba que el aumento en la tem'eratura del 'roceso reducía el es'esor 'romedio del recu recubr brim imie ient nto$ o$ D5os D5os dato datoss a'o# a'o#an an esta esta afir afirma maci ción ón  8til 8tilic ice e α = 0.01 # su'onga que la desviación est9ndar de ambas 'oblaciones es la misma$ 13.

so#ución -atos

= 12 x 1 = 103.5 s1 = 10.2

= 15 x 2 = 99.7 s 2 = 39.4

n1

n2

3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

> µ 2


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2 1  2  1  ' p  +  n n  1 2  2 p

'

=

(10.2) 2 (11) + ( 9.4 ) 2 (14 ) 25

2 p

'

= 95.26

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2

Estadística Inferencial t c

=

(103.5 − 99.7 ) − 0

 1 1  92.26 +   12 15 

= 1.005

Estadística Inferencial  Bonas tc gl. = 25

t = 2.101

α 5)

Conc#usión( /e ace'tare la H*0 en el sentido que las aleaciones no tienen el mismo 'unto de fusión$

-os com'a2ías fabrican un material de caucho 'ara su uso en a'licaciones automovilísticas$ 5a 'ieza estar9 suFeta a un desgaste abrasivo en el cam'o de a'licación0 así que se decide com'arar en una 'rueba el material 'roducido 'or cada com'a2ía$ Para ello se toma +> muestras de material 'rovenientes de cada com'a2ía # se someten a una 'rueba de abrasión" donde se observa el desgaste des'us de 3*** ciclos$ Para la com'a2ía 30 la media # la desviación est9ndar muestral de desgaste son x1 = 20mg / 1000 ciclos # s1 = 6mg / 1000 ciclos0 mientras que 'ara la com'a2ía + se tiene que x 2 = 15mg / 1000 ciclos # s2 = 8mg / 1000 ciclos$ 14.

D5os datos a'o#an la afirmación de que ambas com'a2ías 'roducen material que tiene el mismo desgaste 'romedio 8tilice α = 0.05 # su'onga que las varianzas de las 'oblaciones son iguales$

a.

b$ D5os da d atos a' a 'o#an la l a af a firmación de d e qu q ue el el ma m aterial de de la la com'a2ía 3 tiene un desgaste 'romedio ma#or que el de la com'a2ía + 8tilice las mismas su'osiciones que en el inciso a$

so#ución -atos

= 25 x 1 = 20 mg / 1000 c"clos s1 = 6 mg / 1000 c"clos n1

a" 3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

≠ µ 2

= 25 x 2 = 15 mg / 1000 c"clos s 2 = 8 mg / 1000 c"clos

n2

=

0 .0 1



( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2  1 1   ' p2  +  n n  1 2  '

=

t c

=

2 p

2

48

( 20 − 15) − 0

 2  330.5   25 

=

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2

= 330.5

0.97

tc

gl. = 48

α

= 0.025

2

-t = 2.0126 5)

'

( 6) 2 ( 24 ) + ( 25 ) 2 ( 24 )

 Bonas

α

2 p

= 0.025

t = 2.0126

Conc#usión( /e ace'ta la H *0 si los datos a'o#an la afirmación de que ambas com'a2ías 'roducen material que tiene el mismo desgaste$

b" 3 H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1

> µ 2


( x − x ) − ( μ1 − μ 2 ) = 1 2  1 1   ' p2  +  n n  1 2 

2 p

'

=

s12 ( n1

− 1) + s 22 ( n 2 − 1) n1 + n2 − 2


'

=

t c

=

2 p

( 6) 2 ( 24 ) + ( 25 ) 2 ( 24 ) 48

( 20 − 15) − 0

 2    25 

=

= 330.5

0.97

330.5

 Bonas tc gl. = 48

α = 0.05 t = 1.6788

5)

afirman que el desgaste desgaste de Conc#usión( /e ace'ta la H*$ &o0 los datos afirman ambas com'a2ías son iguales$


C" MUE21RA2 PAREADA2 O PARE2 COINCIDEN1E2. Prueba de un Extremo Prueba con muestra Peque2a de Hi'ótesis acerca de ( µ 1 − µ 2 ) Ho : Ha :


ó Ha :

Estadística E de Prueba : donde # re'resentan la media # la desviación est9ndar de la muestra de diferencias$ Región de rechazo: Región de rechazo : %o sea ) donde la distribución de t se basa en ( n T3  grados de libertad.

Investigadores de la Purdue 8niversit# com'araron la 'lanificación humana en tiem'o real en un entorno de 'rocesamiento con un enfoque automa automatiz tizado ado que utiliz utiliza a robots robots com'ut com'utari arizad zados os # dis'os dis'ositi itivos vos sensore sensoress (IEEE marzo de 344@ 344@$ $ El ex'e ex'erim rimen ento to cons consist istió ió enoc enocho ho IEEE Trans Transact actio ions, ns, marzo 'roble 'roblemas mas de 'lanif 'lanifica icació ción n simula simulados$ dos$ 6ada 6ada tarea tarea fue realiz realizada ada 'or un 'lanificador 'lanificador humano # 'or el sistema sistema automatizado$ automatizado$ El desem'e2o desem'e2o se midió en trminos de la tasa de rendimiento0 rendimiento0 definida como el nMmero de trabaFos ace'tables 'roducidos 'onderado segMn la calidad del 'roducto$ 5as tasas de rendimiento obtenidas se muestran en las siguientes tabla$ 7nalice los datos em'leando una 'rueba de hi'ótesis$ 1.

Planificador Método Tarea humano automatizado automatizado

3 + @ 

3?>$ 3,$@ 3A$ 3?$4

3?*$ +?$> 3?>$> +3,$

Planificador Tarea humano

> , A ?

+*$* +>@$? +@?$? +,@$>

Método automatizado automatizado

+,4$@ +4$, +?+$* @3>$4


so#ución 1area 3 + @  > , A ?

P. Hu%ano 3?>$ 3,$@ 3A$ 3?$4 +*$* +>@$? +@?$? +,@$>

M. Auto%ati7ado 3?*$ +?$> 3?>$> +3,$ +,4$@ +4$, +?+$* @3>$4

!di" +> 3*$? 3+@$+3 44+$+> ?>?$4 3A$, 3?,,$+ +A>$A, 3A*A@$@

di > T3*+$+ T33$3 T@3$> T+4$@ $+ T@$+ T>+$ T+,*$>

3 H 0 : µ h − µ  = 0 H a

= µ h − µ  ≠ 0


t c

= =

∑ di

d a − D0 'd n

d a =

( − 32.56) 8

8 d a = −32.56

35.04 t c = −2.63

d a =

n − 260.5

∑ ( di )

− n( d a ) 2 'd = n −1 2 17073 .43 − 8( − 32.56 ) 'd = 2

7

'd = 35.04 gl = n − 1 gl = 7

 Bonas tc

-t = α -2.365 5)

=

t = 2.365

0.0 2 5

α

= Rechazamo amoss Ho en el sent sentid ido o que que las med medias ias son so n Conc#usión( Rechaz diferentes$

2

2

0.0 2 5

Estadística Inferencial Para Para la 'erce 'erce'c 'ció ión n del del habl habla a las las 'ers 'erson onas as con con sorde sordera ra tota totall de'e de'end nden en 'rinc 'rinci' i'al alme ment nte e de la lect lectura ura del del habl habla0 a0 es deci decirr 'erc 'ercibe iben n el leng lengua uaFe Fe habl hablan ando do obse observ rvan ando do los los movi movimi mien ento toss de arti articu cula laci ción ón00 las las ex'r ex'res esio ione ness faci facial ales es # los los adem ademan anes es de quie quien n habl habla$ a$ DEs DEs 'osi 'osible ble la 'erce'ción del habla su'lementando la lectura del habla con información 'resentada 'resentada auditivamente auditivamente acerca de la 'rosodia de la se2al del habla 7 fin de investigar esta 'osibilidad0 3* suFetos con oído normal 'artici'aron en un ex'erimento en el que se les 'idió re'roducir verbalmente frases habladas 'ero no escuchadas en un monitor de video (Journal ( Journal of the coustical Society of merica, febrero de 34?,$ 5as frases se 'resentaron a los suFetos en una de dos condiciones: (3 lectura del habla con información acerca de la frecuencia # am'litud de la se2al del habla (denotada 'or / U . U 70 # (+ sólo lectura del habla (denotada 'or /$ Para cada uno de los 3* suFetos se cal calculo culo la dif diferen erenci cia a entr entre e el 'orc 'orcen enta taFe Fe de síla sílaba bass re'r re'ro oduci ducida dass correctamente en la condición / U . U 7 # en la condición /$ 5a media # la desviación est9ndar de las diferencias son: 2.

d = 20.4

sd

= 17.44

Pruebe la hi'ótesis de que el 'orcentaFe medio de sílabas correctas en la condición condición / U . U 7 es ma#or que la media corres'ondiente corres'ondiente en la condición condición /$ 8tilice α = 0.05 $

so#ución -atos

= 20.4 'd = 17.44 n = 10

d a

3 H 0 : µ ' + # +  − µ ' ≤ 0 H a

= µ ' + # +  − µ ' > 0


=

t c

=

d a − D0 'd n ( 20.4) − 0 17.44 10

t c

=

( 20.4) 10

17.44 t c = 3.70

gl = n − 1 gl = 9


 Bonas tc

00 5

t = 1.833

5)

α = meFor . la Conc#usión( Rechazamos la H *0 en el sentido que es 'osible 'erce'ción del habla$

5a tetraclorodibenzoT'Tdioxina (<6-- es una sustancia altamente tóxi tóxica ca 'res 'resen ente te en dese desech chos os indu indust stri rial ales es$$ /e real realiz izó ó un estd estdio io 'ara 'ara determinar la cantidad de <6-- 'resente en los teFidos de ranas toro que habitan en el arro#o Roc# =ranch en el centro de 7ransas0 un 9rea que se sabe est9 contaminada con <6-- (*he ( *hemos mos"her "here, e, febrero de 34?,$ /e midió el nivel de <6-- (en 'artes 'or billón en varios teFidos es'ecíficos de cuat cuatro ro rana ranass toro toro hembr hembra" a" en cada cada caso caso se regi regist stró ró la razó razón n entr entre e la concentración de <6-- en el teFido # la concentración de <6-- en los mMsculos de las 'atas de la rana$ En la siguiente tabla se 'resentan las razones relativas del contaminante 'ara dos teFidos0 hígado # ovarios0 'ara cada una de las cuatro ranas$ /egMn los investigadores0 Gel conFunto de datos sugiere que el nivel relativo %medio) de <6-- en los ovarios de las ranas hembra es ma#or que el nivel %medio) en el hígado de las ranas$ Pruebe esta aseveración utilizando α = 0.05 $ 3.

Rana Hígado Nvarios

7 33$* @$+

= 3$, 3$+

6 3$@ @+$>

3+$+ +,$+

so#ución Rana 3 + @ 

H86ados 33$* 3$, 3$@ 3+$+

3 H 0 : µ H − µ )v ≥ 0 H a

= µ H − µ )v < 0

+ α = 0.05

O$arios @$+ 3$+ @+$> +,$+

di T+@$+ T+,$, T3?$+ T3 T?+

!di" >@?$+ A*A$>, @@3$+ 34,$** 3AA@$*


t c

= =

d a − D0 'd n

∑ di d a =

( − 20.5) 4

d a

5.53895297 t c = −7.40

=

n − 82

4 d a = −20.5

∑ ( di )

− n( d a ) 2 'd = n −1 2 1773 .04 − 4( − 20.5) 'd = 2

3

'd = 5.53895297

gl = n − 1 gl = 3

 Bonas tc

00 5

t = -2.35 5)

α = . Rechazamos la H*0 en el sentido que los investigadores Conc#usión( tienen razón al afirmar que el nivel relativo medio de <6-en los ovarios de las ranas hembras es ma#or$

Refi Refir ras ase e al estu estudi dio o (Journal Journal of Enviro Environmen nmental tal Engine Engineerin ering, g, febrero de 34?, sobre 'rdida invernal de calor en los clarificadores 'ara el trat tratam amie ient nto o de agua aguass de dese desech cho0 o0 eFer eFerci cici cio o ?$* ?$*$$ 5os 5os dato datoss que que se re'roducen en la tabla0 se utilizaron 'ara com'arar los niveles de irradiación solar media (en =<81ft + de día com'leto con cielo des'eFado en dos lugares del ;edio Neste estadounidense$ -es'us de la tabla se inclu#e un listado /7/ de una 'rueba 'ara com'arar las medias$ Inter'rete los resultados de la 'rueba$ 4.

.echa +3 de diciembre , de enero +3 de enero , de febrero +3 de febrero A de marzo +3 de marzo

/t$ Vose'h ;o$ A?+ 4,> 4? 3$3?3 3$3 3$,@@ 3$?>+

IoKd randes 5agos >4@ ,A+ A>* 4?? 3$++, 3$,+ 3$,4?


so#ución 2t. :osep9 Mo A?+ 4,> 4? 303?3 303 30,@@ 30?>+

0ec9a +3 de diciembre , de enero +3 de enero , de febrero +3 de febrero A de marzo +3 de marzo

Io5a rande7 La6os ,4@ ,A+ A>* 4?? 30++, 30,+ 30,4?

di

!di"

3?4 +4@ 34? 34@ 3?? 3A3 3> 30@?,

@>0A+3 ?>0?4 @40+* @A0+4 @>0@ +40+3 +@0A3, +?,0@+

3 H 0 : µ 1 − µ 2 = 0 H a

= µ 1 − µ 2 ≠ 0


t c

= =

d a − D0 'd n

d a

= ∑

(198) 7

d a

=

7 d a = 198

44.53 t c = 11.76

di

n 1386

∑ ( di )

− n( d a ) 2 'd = n −1 2 286324 − 7(198) 'd = 2

6

'd = 44.53

gl = n − 1 gl = 6

 Bonas tc

α

0.0 2 5

-t = -2.447 =

2

5)

t = 2.447

α =

Rechazamos Ho en el sentido que la irradiación solar que Conc#usión( Rechazamos reciben ambos lugares del medio oeste son diferentes$

2

0.0 2


/. ;uince 9o 9o%bres ad adu#tos< cu cu=as ed edades ># >#uct?an en entre @/ @/ = / / a'os< participan en un estudio para e$a#uar e# e>ecto de #a dieta = e# eercicio sobre #os ni$e#es de co#estero# en #a san6re. E# co#estero# tota# >ue %edido a# inicio en cada sueto< = tres %eses despus de participar en un pro6ra%a pro6ra%a de eercicio eercicio aeróbico = de 9aber ca%biado ca%biado a una dieta baa en 6rasas. Los datos aparecen aparecen en #a tab#a si6uiente. si6uiente. Estos datos apo=an #a a>ir%ación de &ue #a dieta baa en 6rasas = e# eercicio aeró ae róbi bico co son son de 6ran 6ran $a $a#o #orr en #a dis% dis%in inuc ució ión n de #os #os ni$e ni$e#e #ess de co#estero# Uti#ice α = 0.05 . Ni$e# de co#estero# en #a san6re 2ueto Antes Despus 3 +,> ++4 + +* +@3 @ +>? ++A  +4> +* > +>3 +@? , +> +3 A +?A +@ ? @3 +>, 4 +,* +A 3* +A4 +@4 33 +?@ +, 3+ +* +3? 3@ +@? +34 3 ++> ++, 3> +A +@@ so#ución 2ueto 3 + @  > , A ? 4 3* 33 3+ 3@ 3 3>

Antes +,> +* +>? +4> +>3 +> +?A @3 +,* +A4 +?@ +* +@? ++> +A

Despus ++4 +@3 ++A +* +@? +3 +@ +>, +A +@4 +, +3? +34 ++, +@@

di @, 4 @3 >> 3@  >@ >? 3@ * @A ++ 34 T3 3

!di" 30+4, ?3 4,3 @0*+> 3,4 3, +0?*4 @0@, 3,4 30,** 30@,4 ? @,3 3 34,

Estadística Inferencial *@

3>04*3

3 H 0 : µ  − µ Dv ≤ 0 H a

= µ  − µ )D > 0

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o d a − D0 'd n 26.87 − 0 t c = 19.04 15 t c = 5.47 t c

=

∑ di d a = d a

=

n 403

15 d a = 26.87

∑ ( di )

− n( d a ) 2 'd = n −1 2 15901 − 15( 26.87 ) 'd = 2

14

'd = 19.04

gl = n − 1 gl = 14

 Bonas tc

t = 1.761 5)

0.0 5

Conc#usión( Rechazamos la H *0 en el sentido de que los datos a'o#an la α= afirmación$

/e 'ued 'ueden en util utiliz izar ar dos dos 'rue 'rueba bass anal analít ític icas as dife difere rent ntes es 'ara 'ara determinar el nivel de im'ureza en aleaciones de acero$ /e 'rueban ocho es'eci es'ecimen menes es con ambos ambos 'roced 'rocedimi imient entos" os" los result resultado adoss a'arece a'arecen n en la sigu siguie ient nte e tabl tabla$ a$ DExi DExist ste e sufic suficie ient nte e evid eviden enci cia a 'ara 'ara concl conclui uirr que que amba ambass 'ruebas dan el mismo nivel de im'ureza 'romedio0 utilizando α = 0.01  6.

Espci%en

Prueba -

Prueba 

3 + @  > , A

3$+ 3$@ 3$> 3$ 3$A 3$? 3$

3$ 3$A 3$> 3$@ +$* +$3 3$A

Estadística Inferencial ?

3$@

3$,

so#ución Espci%en 3 + @  > , A ?

Prueba 3$+ 3$@ 3$> 3$ 3$A 3$? 3$ 3$@

di T*$+ T*$ * *$3 T*$@ T*$@ T*$@ T*$@ T3 T3$A

!di" *$* *$3, * *$*3 *$*4 *$*4 *$*4 *$*4 *$>A

'd =

∑

2

Prueba  3$ 3$A 3$> 3$@ +$* +$3 3$A 3$,

3 H 0 : µ 1 − µ 2 = 0 H a

= µ 1 − µ 2 ≠ 0

+ α = 0.01 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o d a − D0 'd n − 0.2125 − 0 t c = 0.1727 8 t c = −3.48 t c

=

∑ di d a = d a

=

n − 1.7

8 d a = −0.2125

'd =

( di ) 2 − n( d a ) n −1

0.57 − 8( − 0.2125 )

2

7

'd = 0.17268882

gl = n − 1 gl = 7

 Bonas tc

-tα= -3.499 =

2

0.0 0 5 5)

t = 3.499

7ce'ta tamo moss la H* # decimos decimos que efecti efectivame vamente nte existe existe Conc#usión( 7ce' suficiente evidencia que ambas 'ruebas dan el mismo nivel de im'ureza$

α =

2

0.0 0

Estadística Inferencial -iez individuos 'artici'an en un 'rograma de modificación de dieta *. dise2ado 'ara estimular la 'erdida de 'eso$ En la tabla siguiente se indica el 'eso de cada 'artici'ante antes # des'us de haber 'artici'ado en el 'rograma$ 'rograma$ DExiste evidencia evidencia que a'o#e la afirmación afirmación de que este 'rograma de modificación de dieta es eficaz 'ara reducir el 'eso$ 8tilice α = 0.05 $

2ueto 3 + @  > , A ? 4 3*

Antes

Despus

34> +3@ +A +*3 3?A +3* +3> +, +4 @3*

3?A 34> ++3 34* 3A> 34A 344 ++3 +A? +?>

so#ución 2ueto 3 + @  > , A ? 4 3*

Antes 34> +3@ +A +*3 3?A +3* +3> +, +4 @3*

Despus 3?A 34> ++3 34* 3A> 34A 344 ++3 +A? +?>

3 H 0 : µ  − µ D ≤ 0 H a

= µ  − µ D > 0

+ α = 0.05

di ? 3? +, 33 3+ 3@ 3, +> 3, +> 3A 3A*

!di" , @+ ,A, 3+3 3 3,4 +>, ,+> +>, ,+> @+,*

Estadística Inferencial @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o d a − D0 'd n 17 − 0 t c = 6.412 10 t c = 8.38 t c

=

∑ di d a = d a

=

∑ ( di )

− n( d a ) 2 'd = n −1 2 3260 − 10(17 ) 'd =

n 170

10 d a = 17

2

9

'd = 6.412

gl = n − 1 gl = 9

 Bonas tc

t = 1.833 5)

Rechazamo amoss la H *0 en tal sentido existe evidencia que Conc#usión( Rechaz a'o#a esta afirmación$

6onsidere los datos de 'erdida de 'eso del eFercicio A$ DExiste evidencia que a'o#e la afirmación de que este 'rograma de modificación de dieta en 'articular reduce el 'eso 'romedio al menos en 3* libras 8tilice α = 0.05 $

8.

so#ución 3

H 0 : µ 

H a : µ 

− µ D ≤ 10

− µ D > 10

+

α = 0.05

@

Prueba # calculo

t c

=

t c

=

t c

=

d a − 10 'd n n ( d a − 10 ) 'd n (17 − 10 )

6.412 t c = 3.45




Bonas tc

t = 1.833

0 .0 5 decir

α= 5)

Rechaz azam amos os la H*0 es Conc#usión( Rech exis existte evide videnc ncia ia que que a'o# a'o#e e la afirm firmac ació ión n de este este 'rograma de modificación de dieta que reduce el 'eso 'romedio al menos en 3* libras$

Estadística Inferencial II.

PRUEBA DE LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN. Prueba con %uestra rande de Hipótesis acerca de una Proporción de una Pob#ación Prueba de un Extremo Ho : Ha :


ó Ha :

Estadística E de Prueba : donde Región de rechazo: %o sea )


/e estu estudi dia a la frac fracci ción ón de circ circui uito toss inte integr grad ados os defe defect ctuo uoso soss 'roducidos en un 'roceso de fotolitografía$ Para ello se somete a 'rueba una muestra de @** circuitos0 en la que 3@ son defectuosos$ 8tilice los datos 'ara 'ara 'robar 'robar H 0 : p = 0.05 contra H 1 : p ≠ 0.05 $ 8tilice α = 0.05 $ Encuentre el valor P 'ara esta 'rueba$ 9.

so#ución -atos

n = 300 x = 13

3 H 0 : p = 0.05 H a : p ≠ 0.05


=

p − P Px$ n

=

0.043333333 − 0.05

( 0.05) ( 0.95) 300

= −0.53


α

Z = -1.96

2

Z = 1.96

. 7ce'tamos la H *0 en el sentido que la 'ro'orción es igual alα Conc#usión( >C$ ,a#or de P ( 5)=

00 25

2

P = 2[1 − o/ ( Z 0

)] ⇒ P = 2[1 − ( − 0.2981) ] ⇒ P = 2[1 + 0.2981] ⇒ P = 2.596

6onsidere los datos de circuitos defectuosos del eFercicio 3$ D5os datos a'o#an la afirmación de que la fracción de unidades defectuosas 'roducidas es menor que *$*>0 utilizando α = 0.05  Encuentre el valor P de esta 'rueba$ so#ución 10.

3 H 0 : p ≥ 0.05 H a : p < 0.05


= −0.53

 Bonas Zc

0.0 5

Z = -1.65 5)

α=

Conc#usión( 7ce'tamos la H *0 en tal sentido los datos no a'o#an la afirmación$

,a#or de P (

P = 0.2981

=

0.0 2

Estadística Inferencial 8n artículo 'ublicado en +ortune (se'tiembre +ortune (se'tiembre +3 de 344+ afirma que casi la mitad de todos los ingenieros continMan sus estudios acadmicos des'us de obtener la licenciatura0 lo que los lleva0 a fin de cuentas0 a recibir un grado de maestro maestro o un doctorado$ doctorado$ El eFercicio eFercicio AT, 'resenta datos de un artículo artículo 'ublicado 'ublicado en Engineering orizons ('rimavera de 344*0 donde se indica que 33A de ? recin graduados 'lanean continuar con sus estudios$ D5os D5os datos datos 'ublicado 'ublicadoss en Engine Engineerin ering g orizon orizonss son consistentes con los 'ubl 'ublic icad ados os en +ortune +ortune 8tilice α = 0.05 'ara 'ara lleg llegar ar a una una conc conclu lusi sión ón$$ Encuentre el valor P P de esta 'rueba$ 11.

so#ución -atos

n = 484 x = 117

3 H 0 : p = 0.5 H a : p ≠ 0.5


=

p − P Px$ n

=

0.24174 − 0.50

( 0.50) ( 0.50)

= −11.36

484

 Bonas Zc

α

Z = -1.96

2

5)=

Z = 1.96

. Rechazamos la H *0 en tal sentido los datos 'ublicados enα Conc#usión( Engineering Horizons son consistentes con los 'ublicados en .ortune$

00 25

2

,a#or de P ( P = 0

=

0.0 2

Estadística Inferencial 8n investigador afirma que al menos el 3*C de los cascos de fMtbol tienen defectos de fabricación que 'ueden 'rovocar da2os a quien los usa$ 8na muestra de +** cascos revela que 3, de ellos contienen tales defe defect ctos os$$ DEste DEste hall hallaz azgo go a'o# a'o#a a la afirm afirmac ació ión n del del inve invest stiga igado dor r 8til 8tilic ice e α = 0.01 $ Encuentre el valor P de esta 'rueba$ 12.

so#ución -atos

n = 200 x = 16

3 H 0 : p ≥ 0.10 H a : p < 0.10


=

p − P Px$

=

n

0.08 − 0.10

( 0.10) ( 0.90)

= −0.94

200

 Bonas Zc

0.0 1

Z = -2.33 5)

α=

Conc#usión( 7ce'tamos la H *0 este hallazgo no a'o#a la afirmación del investigador$

,a#or de P ( P = −0.1736

Investigado Investigadores res de la 8niversit# 8niversit# of Rochester Rochester estudiaron estudiaron la fricción fricción que ocurre en el 'roceso de alimentación de 'a'el de una fotoco'iadora (Journal of Engineering for Industry, ma#o de 344@$ El ex'erimento im'licó vigi vigila larr el des' des'la laza zami mien ento to de hoFa hoFass de 'a'e 'a'ell indi indivi vidu dual ales es en una una 'ila 'ila alimentada alimentada a una co'iadora$ /i ninguna hoFa exce'to exce'to la su'erior su'erior se movía m9s de +>C de la distancia total de la carrera0 la alimentación se 13.

Estadística Inferencial consideraba correcta$ En una 'ila de 3** hoFas de 'a'el0 el 'roceso de alimentació alimentación n tuvo xito 4 veces$ 5a tasa de xito dise2ada del alimentador alimentador es de *$4*$ haga una 'rueba 'ara determinar si la verdadera tasa de xito del alimentador es ma#or que *$4*$ utilice α = 0.10 $

so#ución -atos

n = 100 x = 94

, H 0 : p ≤ 0.90 H a : p > 0.90

A α = 0.10 ? Prue Prueba ba # calc calcul ulo o Z c

=

p − P Px$ α # α 2

n Z c

=

0.94 − 0.90

( 0.90) ( 0.10) 100

Z c

= 1.33

4 Bonas Zc

Z = 1.28

01 0

α = la tasa . de la H *0 es decir que efectivamente xito del alimentador es ma#or que *$4*$

10) Conc#usión( Rechazamos

/i una 'ersona 'ermanece demasiado tiem'o en una 'iscina de agua aguass terma termale less 'ued 'uede e sobre sobreca cale lent ntar arse se00 lo que que en el caso caso de muFe muFere ress embarazadas 'uede causar malformaciones al feto$ Pero0 Dqu tanto es dema demasi siad ado o tiem tiem'o 'o  6on 6on base base en sus sus trab trabaF aFos os en esta esta 9rea 9rea00 vari varios os inve invest stig igad ador ores es 'ro' 'ro'on onen en la hi'ó hi'óte tesi siss de que que A>C A>C de las las muFe muFere res0 s0 sumergidas en una 'iscina termal con tem'eratura del agua de *60 sienten 14.

Estadística Inferencial un calor incómodo incómodo cuando la tem'eratura tem'eratura de su canal auditivo (tem'eratura (tem'eratura central llega a *6$ En consecuencia0 se sugiere que la incomodidad subFet subFetiva iva 'uede 'uede ser una 'rotec 'rotecció ción n contra contra el sobreca sobrecalen lentam tamien iento$ to$ Este Este resultado fue a'arentemente contradicho 'or un estudio australiano en el que 'artici'aron + muFeres saludables0 no embarazadas (-e. ( -e. England Journal of $edicine, /0 de se"tiemre de 19#0 $ $ /ólo 33 de las + muFeres (,C sintieron un calor incómodo cuando su tem'eratura central llegó a *6 *6$$ 'rueb 'ruebe e la hi'ó hi'óte tesi siss de que que el verda verdade dero ro 'orce 'orcent ntaFe aFe de muFe muFere ress saludables no embarazadas0 que sienten un calor incómodo cuando su tem'eratura central llega ha *6 es menor que A>C$ 8tilice α = 0.10 $

so#ución -atos

n = 24 x = 11

, H 0 : p ≥ 0.75 H a : p < 0.75

A α = 0.10 ? Prue Prueba ba # calc calcul ulo o Z c

=

p − P Px$

=

n

0.46 − 0.75

( 0.75) ( 0.25)

= −3.28

24

4 Bonas Zc

0.1 0

Z = -1.28

α=

10) Conc#usión( Rechazamos la H*0 en efecto la tem'eratura es menor$

5as distorsiones que ocurren en la 'antalla de una terminal 'ara gr9ficos 'or com'utadora com'utadora con frecuencia se deben a la 'rdida de datos datos en el 'roceso de enlace de comunicación entre la terminal # la com'utadora el fabricante de un nuevo controlador de errores de comunicación de datos asegura que la 'robabilidad de 'erder datos cuando el controlador est9 o'erando es de sólo *$*3$ 7 fin de 'robar esta aseveración0 se vigila el 15.

Estadística Inferencial enlace de comunicación entre una terminal de gr9ficos # una com'utadora con el controlador controlador de errores funcionando$ funcionando$ -e una muestra aleatoria aleatoria de +** elementos gr9ficos en 'antalla0 seis sufrieron distorsiones a causa de errores de datos en el enlace de comunicación$ comunicación$ D5as 'ruebas de la muestra refutan refutan la aseveración del fabricante 8tilice α = 0.10 $

so#ución -atos

n = 200 x = 6

3 H 0 : p = 0.01 H a : p ≠ 0.01


=

p − P Px$ n

=

0.03 − 0.01

( 0.01) ( 0.99)

= 2.84

200

 Bonas Zc

Z = -2.58 α 5)

000 5

Z = 2.58

= Rechazamos . la H *0 las 'ruebas refutan la aseveración del Conc#usión( fabricante$

2

α =

2

5a fundación &acional de 6iencias de Estados 8nidos en una encuesta de +0+@A estudiantes de 'ostrado de ingeniería que obtuvieron sus grados de doctor0 encontró que ,*A eran ciudadanos estadounidenses" la ma#oría ma#oría (30,@* de los grados de doctor se otorgaron a ciudadanos ciudadanos de otros 'aíses (Sc (Scie ienc nce, e, + de se'tiembre de 344@$ Realice una 'rueba 'ara determinar si la verdadera 'ro'orción de grados de doctor en ingeniería otorgados a ciudadanos de 'aíses distintos de Estados 8nidos es ma#or que *$>$ 8tilice α = 0.01 $ 16.

0.0 0


so#ución -atos

n = 2237 x = 607

3 H 0 : p ≤ 0.5 H a : p > 0.5


=

p − P Px$ n

=

0.27 − 0.5

( 0.5) ( 0.5)

= 21.63

2237

 Bonas Zc

Z = 2.33

5)

0.0 1

αn =de Rechazamo amoss la H * en el sentid sentido o que la 'ro'o 'ro'orc rció ión Conc#usión( Rechaz grados de doctor en ingeniería otorgados a ciudadanos de distintos 'aíses es ma#or que el >*C$

Preo Preocu' cu'ad ada a 'or 'or la segu seguri rida dad d en los los aero' aero'ue uerto rtoss # las las líne líneas as areas0 la 7dministración .ederal de 7viación (.77 de Estados 8nidos ha comenzado a im'oner sanciones contra las líneas areas que no 'asan cier cierta tass 'rueb 'ruebas as de segur segurid idad ad$$ 8na 8na seri serie e de 'rueb 'ruebas as real realiz izada adass en el 7ero'uerto Internacional de los Wngeles (57X reveló que los guardias de segu seguri rida dad d sólo sólo dete detect ctar aron on A+ de las las 3** 3** arma armass fals falsas as que que llev llevab aban an ins' ins'ec ecto tore ress de la .77 .77 o que que se guar guarda daro ron n en su equi equi'a 'aFe Fe de mano mano ('ainesville 'ainesville Sun, Sun, 33 de diciembre de 34?A$ /egMn la .770 Gesta tasa de detención estuvo mu# 'or debaFo de la media nacional de *$?*$ DHa# suficientes 'ruebas 'ara llegar a la conclusión de que la detención de armas falsas en 57X es menor que la tasa nacional de *$?* 'ruebe con α = 0.10 $ 17.

so#ución

Estadística Inferencial -atos

n = 100 x = 72

3 H 0 : p ≥ 0.80 H a : p < 0.80


=

p − P Px$

=

n

0.72 − 0.80

( 0.80) ( 0.20)

= −2.0

100

 Bonas Zc

0.1 0

Z = -1.28 5)

α=

Conc#usión( Rechazamos la H*0 'or tanto ha# suficientes 'ruebas$

6omo 6omo 'art 'arte e de la eval evalua uaci ción ón de una una 'ro' 'ro'ue uest sta a de dise dise2o 2o hidroelctrico en el Río /tiine de la 6olumbia =rit9nica en cuanto a su im'acto ambiental0 ciertos investigadores realizaron trabaFos 'reliminares de los efectos de alteraciones inducidas 'or el hombre sobre el com'ortamiento de la 'oblación de cabras monteses residentes en la zona ( Environmental $anagement 0 marzo de 34?@$ /e registraron las res'uestas de n ! ?* cabras a las actividades actividades de ex'loración0 ex'loración0 incluidos incluidos helicó'teros helicó'teros que vuelan vuelan a 'oca altura0 aviones de ala fiFa0 movimiento bí'edo humano # ex'losiones ruid ruidos osas as causa causada dass 'or 'or las las acti activi vida dade dess geol geológ ógic icas as de 'erf 'erfora oraci ción ón$$ 5os 5os investigadores observaron una res'uesta severa de huida hacia lugares 'rotegidos 'or rocas o 'lantas locales en +,> cabras$ Pruebe la hi'ótesis de que que m9s m9s de@* de@*C C de las las cabra cabrass mont montese esess resid residen ente tess 'res 'resen enta tar9n r9n una res'ue res'uesta sta severa severa a las 'erturba 'erturbacio ciones nes induci inducidas das 'or el hombre$ hombre$ 8tilic 8tilice e α = 0.05 $ 18.

so#ución -atos

n = 804 x = 265


3 H 0 : p ≤ 0.5 H a : p > 0.5


=

p − P Px$ n

=

0.32960199 − 0.30

( 0.30) ( 0.70)

= 1.83

804

 Bonas Zc

Z = 1.65

5)

0.0 5

α las = Conc#usión( Rechazamos la H *0 en tal sentido m9s del @*C de cabras cabras montes monteses es resist resistent entes es 'resent 'resentar9 ar9n n una res'ue res'uesta sta severa a las 'erturbaciones inducidas 'or el hombre$

5os arquitectos e ingenieros0 ante los recortes del sector 'Mblico (gobierno0 est9n recurriendo a clientes del sector 'rivado 'ara ocu'ar una fracción creciente de su carga de trabaFo$ /egMn algunos investigadores0 la disminución en 'o'ularidad del trabaFo de sector 'Mblico entre las em'resas 'eque2as0 medianas # grandes de arquitectura e ingeniería (7TI ha sido es'e es'ecta ctacul cular ar hace hace dos dos a2os a2os00 un terci tercio o de toda todass las las em're em'resa sass de 7TI 7TI informaron informaron que de'endían de los 'ro#ectos 'ro#ectos del sector 'Mblico 'ara la ma#or 'arte de su trabaFo (si no todo$ En una encuesta reciente de ,* em'resas de 7TI0 3* indicaron que de'endían en gran medida de los contratos del gobierno$ D5os datos de muestra 'ro'orcionan 'ruebas suficientes 'ara lleg llegar ar a la conc conclu lusi sión ón de que que el 'orc 'orcen enta taFe Fe de em'r em'res esas as de 7TI 7TI que que de'enden mucho de los clientes del sector 'Mblico ha declinado los Mltimos dos a2os 8tilice α = 0.05 $ 19.

so#ución -atos

n = 60 x = 10

Estadística Inferencial 3 H 0 : p ≥ H a : p <

1 3 1 3


=

p − P Px$ n

=

0.166666667

− 0.333333333

( 0.33) ( 0.67 )

= −2.74

60

 Bonas Zc

= 0.0 5 α Rechaz azam amos os Conc#usión( Rech

Z = -1.65 5)

la H*0 es decir los datos de mues uestra 'ro'orcionan 'ruebas suficientes$

Estadística Inferencial III.

PRUEBA DE D E LA PROPORCIÓN PROP ORCIÓN DE DO2 D O2 POBLACIONE2 POBLA CIONE2 . Prueba con %uestra rande de Hipótesis a ( p1 − p 2 ) : Muestras Independientes

Prueba de un extremo H* : Ha :

Prueba de dos extremos

H* : Ha : %o Ha : )

Estadística de 'rueba : Región de rechazo : Región de rechazo: 6uando 6 donde 6uando 0 donde el nMmero total de xitos en la muestra combinada es #

/e utilizan dos maquinas diferentes diferentes de moldeo moldeo 'or in#ección in#ección 'ara la fabri fabrica caci ción ón de de 'iez 'iezas as de 'l9st 'l9stic ico$ o$ 8na 8na 'iez 'ieza a se cons conside idera ra defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si le falta color$ Retoman dos muestras aleatorias" cada una de tama2o @**0 # se encuentran 3> 'iezas defectuosas en la muestra de la maquina 30 mientras que silo ocho en la en maquina +$ DEs razonable concluir que ambas maquinas 'roducen la misma fracción fracción de 'artes 'artes defectuosas defectuosas00 utilizando utilizando α = 0.05 Encuentre el valor de P 'ara esta 'rueba$ 20.

2o#ución

Estadística Inferencial -atos

= 300 x 1 = 15 n1

2 

$2

= 300 =8

3 H 0 : &1 = &2 H a : &1

@ Z c

α = 0.05

+

≠ &2 Prueba # calculo

=

p1 

− p2



P (1 − P )(

1 n1

+

1 n2

 p 1 =

) 

&=

Z c

x1 n1 

15 300



x1 + x 2 n1

0.05 − 0.02667

=

=

 1 + 1    300 300 

+ n2

=

= 0.05

 ' p 2 =

15 + 8 300 + 300

=

23 600

x2 n2

=

8 300

= 0.02667

= 0.038334

= 1.49

0.0383(1 − 0.0383 ) 

 Bonas Zc

Z = -2.58

α

Z = 2.58

α 0 0 0 5 . sentido do que amba ambass maquina maquinass 5) Conc#usión( 7ce'tamos la H en el senti 0 .0 0 'roducen la misma fracción$ 2 ,a#or de P ( 2 =

o

=

Estadística Inferencial P = 2[1 − o/ ( Z 0

)] ⇒ P = 2[1 − ( 0.93189 ) ] ⇒ P = 0.1362

muestra aleatoria aleatoria de >** residentes residentes de cierto condado0 condado0 se muestra . En una muestra que @?> est9n a favor de aumentar el limite de velocidad de la auto'ista a A* m'h m'h mien mientr tras as que en otras otras muest muestra ra de ** adult adultos os reside resident ntes es en un cond condad ado o veci vecino no se encu encuen entr tra a que que +,A +,A est9 est9n n a favo favorr del del aume aument nto o de velocidad DEstos datos indican que existe una diferencia en el a'o#o al aumento del limite de velocidad entre los residentes de ambos condados 8tili 8tilice ce α = 0.05.'ara llegar a una conclusión . Encuentre el valor de P 'ara esta 'rueba$ 2o#ución -atos

= 500 x 1 = 385

= 400 $ 2 = 267

2

n1



3 H 0 : &1 = &2 H a : &1

+

α = 0.05

≠ &2

@ Prueba # calculo Z c

=

p1 

− p2



P (1 − P )(

1 n1

+

1 n2

 p 1 =

) 

&=

Z c

=

0.77 − 06675

 1 + 1    500 400 

0.724(1 − 0.724) 

x1 n1

=

385 500

x 1 + x 2



n1

+ n2

= 3.42

=

= 0.77

 ' p 2 =

385 + 267 500 + 400

=

23 900

x2 n2

=

267 400

= 0.6675

= 0.7244444


 Bonas Zc

Z = -1.96

α 5)

2

0.0 2 5 Conc#usión(

=

Z = 1.96

Recha Rechaza zamo moss la diferencia$

α Ho

en

el sent sentid ido o que que exis existe te una una

2

,a#or de P ( P = 2[1 − o/ ( Z 0

)3

)] ⇒ P = 2[1 − ( 0.99969 ) ] ⇒ P = 0.0006

7lgunos científicos han vinculado la disminución d isminución catastrófica en el numero n umero de rana ranass que que habi habita tan n en el mund mundo o con con la radi radiac ació ión n ultr ultrav avio iole leta ta no bloqueada 'or la maltrecha ca'a de ozono del 'laneta (Tam"a (Tam"a Triune, 1 de marzo de 1992$&o 1992$&o obstante0 la rana arbórea del 'acífico no 'arece esta estarr en decl declin inac ació ión n 'or 'or que 'rod 'roduce uce una enzi enzima ma que que a'ar a'aren ente teme ment nte e 'rotege 'rotege a los huevos de la radiaci radiación ón ultrav ultraviol ioleta eta$$ Invest Investiga igador dores es de la Nregon /tate 8niversit# com'araron las tasas de eclosión de dos gru'os de huevos de rana arbórea arbórea del 'acífico$ 'acífico$ 8n gru'o gru'o de huevos se 'rotegió 'rotegió con 'antallas que bloquean la luz ultravioleta0 mientras que el segundo gru'o se deFó deFó sin 'rotecció 'rotección$ n$ En la tabla se 'resent 'resenta a el numero de huevos huevos que eclosionaron con xito en cada gru'o$ 6om'are las tasas de eclosión de los dos gru'os de huevos de rana arbórea del Pacífico mediante una 'rueba de hi'ótesis$ 8tilice α ! *$*3 Huevos 'rotegidos del sol Huevos sin sombra &Mmero total

A*

&Mmero de eclosiones

@

so#ución -atos

= 70 x 1 = 34 n1

n2 x B

= 80 = 31

=

?* @3

0.0 2

Estadística Inferencial 3

Z c

H 0 : p1

=

p2

H a : p1

≠

+

α = 0.01

@

Prueba # calculo p1

=



p2

− p2



P (1 − P )(

1 n1

+

1 n2

 p 1 =

) 

&=

Z c

0.485714286 − 0.3875

=

 1

0.4334(1 − 0.4334 ) 

 70



+

  80  1

x1 n1

=

34 70

x 1 + x 2



n1

+ n2

=

= 0.49 65 150

 ' p 2 =

x 2 n2

=

31 80

= 0.39

= 0.43333333 3

= 1.21

Bonas Zc

α Z = -2.58 5)

).

Z = 2.58

α 0 .0 0 5 Conc#usión( 7ce'tamos la H 0 en efecto las tasas de eclosión de

=

2

*

los + gru'os de huevos de rana son iguales$

2

5os bloq bloque uead ador ore es de calc calciio 'ert 'erten enec ecen en a una de vari varia as clas clases es de medicamentos medicamentos que comMnmente comMnmente se 'resentan 'resentan 'ara aliviar la 'resión 'resión arterial arterial elevada$ 8n estudio realizado en -inamarca reveló que los bloqueadores de calcio calcio tambin tambin 'odrían 'odrían ser efectivo efectivoss 'ara 'ara reducir reducir el riesgo riesgo de ataques ataques cardiacos (
=

0.0 0

Estadística Inferencial son efectivos 'ara reducir el riesgo de ataques cardiacos Pruebe con α ! *$*3$

so#ución -atos

= 897 x 1 = 146 n1

n2 x 2

3 H 0 : p1 ≥ p 2 H a : p1

<

+ α = 0.01

p2

= 878 = 180

Estadística Inferencial @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o

Z c

p1

=



− p2



P (1 − P )(

1 n1

+

 p 1 =

1 n2

) 

&=

Z c

x1 n1 

=

146 897



x1 + x 2 n1 + n2

0.162765 − 0.20501

=

 1 + 1    897 878 

=

= 0.162765 326

1775

 ' p 2 =

x 2 n2

=

180 878

= 0.20501

= 0.183662

= −2.30

0.183662 (1 − 0.183662 ) 

 Bonas Zc

Z = -2.33 5)

00 1

α = . 7ce'tamos la H*0 en el sentido que los datos no Conc#usión( 'ro'orcionan 'ruebas suficientes$

/. 6ada 3* a2os la división de mec9nica de la 7/EE lleva acabo una encuesta que abarco todo estados unidos sobre la educación en mec9nica a nivel de lice licenc ncia iatu tura ra en univ univer ersi sida dade des$ s$ En 34?> 34?>00 ,, de la 3** 3** univ univer ersi sida dade dess encuestados cubrían la estatica de fluidos en su 'rograma de ingeniería a nive nivell de lice licenc ncia iatu tura ra00 en com' com'ar arac ació ión n con con @C @C en la encu encues esta ta 34A> 34A> (Engi (Engine neer erin ing g educa educatition on00 abri abrill de 34?, 34?,$$ /u'o /u'oni nien endo do que tamb tambi in n se encuestaron encuestaron 3** universidade universidadess en34A>0 en34A>0 realice realice una 'rueba 'ara determinar el 'orcentaFe que cubre la est9tica de fluidos aumento entre 34A> # 34?>$ 8tilice α ! *$*3$ so#ución -atos

= 100 x 1 = 66 n1

n2 x 2

= 100 = 43


3 H 0 : p1 ≤ p 2 H a : p1

>

p2


Z c

=

p1 

− p2



P (1 − P )(

Z c

1 n1

+

1 n2

)

0.66 − 0.43

=

 1 + 1   100 100  

= 3.27

0.545(1 − 0.545) 

 Bonas

Zc

Z = 2.33 5)

α

=

0.0 1

Rechaz aza amos mos la H*0 es decir que el 'orcentaFe de Conc#usión( Rech universidades que cubren la est9tica fluidos aumento$

F. /e llevo acabo un estudio 'ara determinar el im'acto de una estación de trabaFo de multifunción (;.Y/0 multifuction Korstation sobre la forma que trabaFan los gerentes (-amation0 3> de febrero de 34?,$ En el estudio 'artici'aron dos gru'os de gerencia de una agencia de defensa con base en /t$ 5ouis 5ouis ;issouri ;issouri:: un gru'o de 'rueba 'rueba formada formada 'or 3+ gerent gerentes es que #a utilizan softKare de ;.Y/ # un gru'o de control de +> gerentes que no utilizan ;.Y/$ 8na 'regunta de la encuesta se refería a las fuentes de información de los gerentes$ En el gru'o de 'rueba (usuarios de ;.Y/0 cuatro de los 3+ gerentes indicaron que su 'rinci'al fuente de información era la com'utadora0 en tanto que dos de los +> gerentes del gru'o de control (no usuarios de la ;.Y/ de'enden de la com'utadora como 'rinci'al fuente de información$

Estadística Inferencial DHa# DHa# 'rueb 'ruebas as de que que exis exista ta una dife diferen renci cia a entr entre e las las 'ro' 'ro'or orcio ciones nes de usuari uario os de ;.Y/ # no usuari uario os de ;.Y/ que que de'e de'end nde en de la com'ut com'utado adora ra como como 'rinci 'rinci'al 'al fuente fuente de informa informació ción n Pruebe Pruebe utiliz utilizando ando α = 0.10 $

so#ución -atos

= 12 x 1 = 4

= 25 x 2 = 2

n1

n2

3 H 0 : p1 = p 2

≠

H a : p1

p2


=

Z c

p1 

− p2



P (1 − P )(

n1

+

1 n2

)

0.3333 − 0.08

=

Z c

1

 1 + 1    12 25 

= 1.96

0.162(1 − 0.162) 

 Bonas Zc

Z = -1.65 α =

5)

0.0 5

Z = 1.65

2 Recha Rechaza zamo moss Conc#usión(

la H*0 ento entonce ncess signi signififica ca que que exis existe te una una diferencia entre las 'ro'orciones$

α

2

=

0.0 5


*. 5os sistemas domesticos de calefacción solar se 'ueden dividir en dos gru'os gru'os sistem sistemas as de calefa calefacció cción n solar solar 'asivo 'asivoss # sistema sistemass de calefacci calefacción ón solar activos$ En un sistema 'asivo la casa misma en su calefactor de ener energí gía a sola solar0 r0 en tant tanto o que que en un sist sistem ema a acti activo vo se util utiliz izan an equi equi'o 'oss mecanicos com'licados 'ara convertir los ra#os del sol en calor$ 6onsidere la diferencia entre las 'ro'orciones de sistema de calefacción solar 'asivos # activos que requieren menos de +** galones de combustible al a2o$ /e sele selecc ccio ionan nan mues muestr tras as alea aleato tori rias as inde inde'e 'end ndie ient ntes es de >* hoga hogare ress con con calefacción solar 'asiva # >* con activa0 # se registra la 'ro'orción de hoga hogare ress que que requi requiri rier eron on meno menoss de +** +** galo galone ness de comb combust ustib ible le el a2o a2o anterior0 con los resultados que se 'resentan en la tabla$ DHa# 'ruebas de una diferencia entre las 'ro'orciones de casas con calefacción solar 'asiva # activa que requirieron menos de +** galones de combustible el a2o anterior Pruebe con un nivel de significancia de α !*$*+$

&Mmero de hogares &Mmero que requirieron menos de +** galones de combustible el a2o anterior

/olar 'asivo >* @A

/olar activo >* ,

so#ución -atos

= 50 x 1 = 37 n1

n2 x 2

= 50 = 46

3 H 0 : p1 = p 2 H a : p1

≠

p2


Z c

=

p1 

− p 2



P (1 − P )(

1 n1

+

1 n2

)

Zc

Z c

0.74 − 0.92

=

 1 + 1    50 50 

= −2.40

0.83(1 − 0.83)  Z = -2.33 α =

001

Z = 2.33

 Bonas

α

001


5)

IV.

Conc#usión( Rechazamos la H*0 es decir que existen 'ruebas de una diferencia entre las 'ro'orciones$

PRUEBA DE LA ,ARIANGA DE UNA POBLACIÓN ( σ 2 ) . Prueba de un extremo


H* : σ 2 = σ 02 Ha : σ 2 > σ 02 %o Ha : σ 2 < σ 02 )

H* : σ 2 = σ 02 Ha : σ 2 ≠ σ 02

Estadística de 'rueba : x = 2


( n − 1) s 2 2

σ 0

Región de rechazo

x 2 < x12−α 2 o o x 2 < xα 2 2 > x ( o x < x ) donde xα 2 < x12−α son valores de x 2 que ubican un 9rea de α x

2

2 α

2

2 1−α

a la derecha # α a la izquierda0 res'ectivamente0 de una distribución Fi cuadrada basada en (nT3 grados de libertad

Estadística Inferencial 1.

/e inserta un remache en un aguFero$ /i la desviación est9ndar del di9metro del del aguF aguFer ero o es ma#o ma#orr de *$*3 *$*3 mm0 mm0 ento entonc nces es exis existe te la 'rob 'robab abililid idad ad inace'tablemente grande de que el remache no entre en el aguFero$ /e toma una muestra aleatoria de n ! 3> 'iezas # se mide el di9metro del aguFero$ 5a desviación est9ndar muestral de las desviaciones de estos di9metros es s ! *$**? mm$ DExiste evidencia fuerte que indique que la desviación est9ndar del di9metro del aguFero es ma#or que *$*3 utilice α = 0.01 Encuentre el valor de P 'ara esta 'rueba$ so#ución -atos

n = 15

 = 0.08

3 H 0 : σ 2 ≤ 0.01mm. H a : σ 2

> 0.01mm.

+ α = 0.05 @

Prueba # calculo 2 c

*

=

( n − 1) s 2 σ

2

⇒

2 c

*

=

(15 − 1) ( 0.08 ) 2 0.01

= 8.96

 gl =  - 1 = 14

@ Bonas * c2

α

= 0.01

2 = 29.14 3)

tal sentido sentido no existe existe evidencia evidencia Conc#usión( 7ce'tamos la Ho en tal fuerte que indique que la desviación est9ndar del di9metro del aguFero sea ma#or a *$*3mm$

. El contenido de azMcar de almíbar de los duraznos enlatados tiene una distribución normal0 donde se cree que la varianza es σ 2 ! 3?(mg+$ Pruebe la hi'ótesis  o: σ 2 !3? contra  1: σ 2 ≠ 3? si al tomar una muestra de n ! 3* latas latas la desvia desviació ción n est9nd est9ndar ar muestr muestral al es s 2,# 2,# mg0 mg0 con con α = 0.05 0.05 D6ual es el valor de esta 'rueba so#ución


-atos

n = 10

 = 4.8*g.

3 H 0 : σ 2 = 18 H a : σ 2

+

α = 0.05

≠ 18

@ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o 2 c

*



=

( n − 1) s 2 σ

2

⇒

2 c

*

=

(10 − 1) ( 4.8 ) 2 18

= 11.52

 gl =  - 1 = 9

Bonas * c2

2 = 2.70

α

=

2

2 = 19.02

α

0.0 2 5

> Conc#usión( 7ce'tamos la Ho en tal sentido la varianza es igual a3?(mg+$

=

2

mtodo mas comMn comMn de desinfección desinfección de agua 'ara 'ara uso 'otable 'otable im'lic im'lica a la @. El mtodo adición de cloro residual libre$ En fechas recientes0 la 'reamonificación (esto es0 la adición de amoniaco al agua antes de agregar el cloro libre ha recibido una atención considerable como tratamiento alternativo $ en un estu studio dio se obse bservo que  es'eci 'ecim menes de agua gua sometidos dos a 'reamonific 'reamonificación ación tenían tenían una turbiedad turbiedad media en el efluente efluente de 3$? 3$? # una desvia desviació ción n est9nd est9ndar ar de *$3, *$3, (7meri (7merican can Yater Yater Yors Yors Vournal Vournal00 enero enero de 34?,$ DHa# suficientes 'ruebas de que la varianza de turbiedad del efluente en es'ecímenes de agua desinfectados con el mtodo de 'reamonificación excede excede *$**3, *$**3,  (El valor *$**3, *$**3, re'rese re'resenta nta la varianza varianza conocida conocida de la turbiedad del efluente en es'ecímenes de agua tratados con cloro libre$ 'ruebe con α ! *$*3$

so#ución

0.0 2 5


-atos

n = 44

 = 0.16

3 H 0 : σ 2 ≤ 0.0016 H a : σ 2

@

> 0.0016


*



α = 0.01

+

Bonas

=

( n − 1) s 2 σ

2

⇒

2 c

*

=

( 44 − 1) ( 0.16 ) 2 0.0016

= 688

 gl =  - 1 = 43

* c2

α

= 0.01

2 = 63.69

> Conc#usión( Rechazamos la Ho # consideramo consideramoss que existen existen 'ruebas 'ruebas suficientes 'ara decir que la varianza excede en *$**3, cualquierr 'roceso 'roceso de enlatado0 enlatado0 el fabricant fabricante e 'ierde 'ierde dinero dinero si las latas latas ). En cualquie contienen significativamente mas o significativamente menos de la cantidad que se es'ecifica en la etiqueta0 'or ello los enlatadores vigilan de cerca la cantidad de su 'roducto entregadas 'or las maquinas que llenan las latas$ 6onsidere una com'a2ía un cemento de hule de secado r9'ido en latas de aluminio de @+ onzas$ 7 un ins'ector de control de a calidad le interese 'robar si la varianza del a cantidad de cemento de hule entregadas a las latas latas es ma#or que *$@ $ -e ser así 0 habr9 necesidad de aFustar aFustar la maquina maquina que entrega el cemento$ cemento$ Puesto que la ins'ección ins'ección del 'roceso de enlatados enlatados requ requie iere re a'ag a'agar ar las las maqu maquin inas as de entr entreg ega0 a0 # las las sus'e sus'ensi nsion ones es dura durant nte e 'eriodos 'rolongados le cuestan ala com'a2ía miles de dólares en ingresos 'erdidos0 el ins'ector solo 'uede obtener una muestra aleatoria de 3* latas 'ara realizar la 'rueba$ -es'us de medir el 'eso del contenido el ins'ector calcula las siguientes estadísticas resumidas : x = 31.55 onzas

s ! *$? onzas DEstos 'ar9metros de muestra indican que las maquinas de entrega requieren un aFuste Pruebe con un nivel de significancia α ! *$*>$


so#ución -atos

n = 10

 = 0.48

3 H 0 : σ 2 ≤ 0.30 H a : σ 2

@

> 0.30


*



α = 0.05

+

=

( n − 1) s 2 σ

2

⇒

2 c

*

=

(10 − 1) ( 0.48) 2 0.30

= 6.912

 gl =  - 1 = 9

Bonas * c2

α

= 0.05

2 = 16.92

> Conc#usión( 7ce'tamos la H o es decir la varianza no es ma#or 'or tanto no habr9 necesidad de aFustar la maquina$ 5os bifenilos 'oliclorados 'oliclorados (P6= que se em'lean en la fabricación fabricación /. de transformad transformadores ores # condensadores condensadores elctricos elctricos grandes son contaminant contaminantes es extremadamente 'eligroso cuando se liberan al ambiente$ 5a 7gencia de Protección 7mbiental (EP7 de Estados 8nidos est9 ex'erimentando un dis'ositivo nuevo que mide la concentración de P6= en 'eces$ 7 fin de com'robar la 'recisión del nuevo instrumento0 se tomaron siete lecturas de P6= con la misma lectura de 'eces los datos (en 'artes 'or millón son: ,$+ >$? >$A ,$@ >$4 >$? ,$* /u'onga que la EP7 necesita necesita un instrumento instrumento que 'roduzca lecturas lecturas de P6= con una varianza menor que *$3$ DEl nuevo instrumento cum'le con las es'ecificaciones del la EP7 Pruebe con α !*$*>


so#ución -atos n=7

 = 0.2225

3 H 0 : σ 2 ≥ 0.10 H a : σ

@

α = 0.05

< 0.10


*



2

+

Bonas

=

( n − 1) s 2 σ

2

⇒

2 c

*

=

( 7 − 1) ( 0.04950625 ) 2 0.10

= 2.97

 gl =  - 1 = 6

* c2

2 = 1.64

>

α

00 5

instrumento no Conc#usión( . 7ce'tamos la Ho en tal sentido el nuevo instrumento = cum'le con las con las es'ecificaciones de la EP7

Estadística Inferencial V.

PRUEBA DE LA ,ARIANGA DE DO2 POBLACIONE2 ( σ 12 = σ 22 ) . Prueba de un extremo H* : Ha :

σ 12 2

σ 2

σ 12 2

σ 2


=1

H* :

σ 12 2

σ 2

=1

2

>1

Ha :

σ 1

2

σ 2

≠1

2

%o sea Ha :

σ 1

2

σ 2

< 1)

Esta Estadí díst stic ica a de una una 'rue 'rueba ba :

= # =

2 1 2 2

s s

= %o sea0 # =

2 1 2 2

s s

)

Esta Estadí díst stic ica a de una una 'rue 'rueba ba : # =

a+"aa e *est+a *a#o+ a+"aa e *est+a *eo+

 s12  s 2 =  22  s 2  s12 Región de rechazo : # > > # α

cao s12

> s 22

2

> s12

cao s 2

Región de rechazo : # > > # α 2

donde # α # # α 2 son valores que ubican un 9rea α # α 2 res'ectivamente en el extremo derecho de la distribución . con v3 ! grados de libertad de numerador # v + ! grados de libertad de denominador$

Estadística Inferencial 5as com'a2ías de com'uestos químicos 'ueden surtir materia 'rima$ 5a concentración de un elemento en 'articular en este material es im'ortante$ 5a concentración 'romedio de ambos 'roveedores es la misma0 'ero se sos'echa que la variabilidad en la concentración 'uede diferir entre las dos com'a2 com'a2ías ías 5a desvia desviació ción n est9nda est9ndarr de la concent concentrac ración ión en una muestr muestra a alea aleato tori ria a de n ! 3> lotes lotes 'roduc 'roducid idos os 'or la com'a com'a2í 2ía a 3 es s1 ! 0A g1l0 mientr mientras as que 'or la com'a2 com'a2ía ía +0 una muestr muestra a aleat aleatoria oria de n ! +* lotes 'ro'orciona una s/  >$?g1l$ DExiste evidencia suficiente 'ara concluir que las varianzas varianzas de las dos 'oblaciones 'oblaciones son diferentes 8tilice 8tilice α = 0.05 Encuentre el valor de P 'ara esta 'rueba$ 1.

so#ución -atos

= 15 s 1 = 4.7 2 s1 = 22.09

= 20 s 2 = 5.8 2 s 2 = 33.64

n1

n2

H 0 : σ 12

)1 H a : σ 12

= σ 22

≠ σ 22

α = 0.05 +

@ # c

Prueba # calculo

=

s12 s 22

⇒

 Inversa

# c

=

22.09 33.64

= 0.66

 gl1

=  1 - 1 = 14

, gl 2

Bonas

.unción

# &

# α (1 -  2 ) =

α 2

# 0.975 (14,19)

=

=

1

= 0.025

# ! = 0.35

=  2 - 1 = 19

1 # (1 - α )( 2 - 1 ) 1

# ( 0.025 )(19,14)

2.84

= 0.35

! = 2.62

Conc#usión( 7ce'tamos la Ho0 es decir no existe evidencia suficiente 'ara concluir α que las varianzas de las dos 'oblaciones sean diferentes$

=

2

0.0 2 5

Estadística Inferencial 5os muestreadores de de'osición hMmeda son dis'ositivos est9ndar que sirve 'ara medir la com'osición química de la 'reci'itación$ /in embargo0 la exactitud de las las lecturas de de'osición hMmeda 'uede de'ender del numero numero de muestreadotes muestreadotes instalado instaladoss en el cam'o ex'erimentad ex'erimentadores ores de los 'aíses baFos recolectaron mediciones de de'osición hMmeda utilizando cualquier cant cantid idad ad entr entre e uno uno # ocho ocho mues muestr trea eado dote tess idn idntitico coss (7tm (7tmos os'h 'her eric ic Environment0 vol$ +70 344*$ 6on cada muestreador (o combinación de muestreadores se recolectaron datos cada + horas durante todo un a2o" 'or tanto0 se obtuvieron @,> lecturas (o combinación de muestreadotes$ 6uando se utilizó un solo muestreador0 la desviación est9ndar de las lecturas de hidrogeno (medida como 'orcentaFe relativo a la lectura media de los ocho muestreadores muestreadores fue ,$@C$ 6uando se utilizaron utilizaron tres muestreadote muestreadotes0 s0 la desviación est9ndar de las lecturas de hidrogeno (medidas de la misma forma fue de ,$+C$ Realice una 'rueba 'ara com'arar la variación en las lecturas de hidrogeno 'ara los dos esquemas de muestreo (es decir0 un muestreador vs$ 2.

so#ución -atos

= 365 s 1 = 0.063 s12 = 0.003969

= 1095 s 2 = 0.026 s 22 = 0.000676

n1

n2

= σ 22 H a : σ 12 ≠ σ 22

2 1) H 0 : σ 1

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o # c

=

s12 s

2 2

⇒

 Bona Bonass

# c

=

0.003969 0.000676

= 5.87

 gl1

=  1 - 1 = 364

2

# 0.975 (364,1094) = 0.025

# ! = 0.74

=  2 - 1 = 1094

.unci .unción ón Inve Invers rsa a

# &

# α (1 -  2 ) =

α

, gl 2

=

1 1.35

=

1 # (1 - α )( 2 - 1 ) 1 # ( 0.025)(1094 ,364 )

= 0.74

! = 1.35

α =

0025

Estadística Inferencial 5)

Conc#usión( Rechazamos la Ho0 es decir existe variación en las lecturas de hidrogeno 'ara los dos esquemas de muestreo$

realiz izó ó un ex'e ex'eri rime ment nto o 'ara 'ara estu estudi diar ar el efec efecto to del del las las brid bridas as @. /e real reforz reforzada adass sobre sobre la ca'aci ca'acidad dad torsion torsional al de vigas vigas < de hormig hormigón ón armado armado (Vournal of the 7merican 6oncrete Institute0 eneroTfebrero de 34?,$ /e utilizaron varios ti'os de vigas < en el ex'erimento0 cada uno con diferente anchura de brida$ 5as vigas se 'robaron sometindolas a torsión # flexión combinadas hasta la falla (agrietamiento$ 8na variable de inters es el momento de torsión de agrietamiento en la 'arte su'erior de la brida de la viga viga <$ 7 cont contiinuac nuació ión n se 'rese resent nta an los los mome moment nto os de torsi orsión ón de agrietamiento 'ara ocho vigas con ancho de 'lancha de A* cm$ Z ocho vigas con ancho de 'lancha de 3** cm: 7ncho de 'lancha de A* cm: ,$**0A$+*03*$+*03@$+*033$*03@$,*04$+*033$+* 7ncho de 'lancha de 3** cm: ,$?*04$+*0?$?*03@$+*033$+*03$4*03*$+*033$?* a. DHa# 'ruebas de una diferencia en la variación de los momentos de torsión de agrietamiento de los dos ti'os de vigas < 8tilice α !*$3*

so#ución -atos

=8 s 1 = 2.689 2 s1 = 7.231 n1

=8 s 2 = 2.581 2 s 2 = 6.662

n2

= σ 22 H a : σ 12 ≠ σ 22

2 1) H 0 : σ 1

+

α = 0.10

@ Prue Prueba ba # calc calcul ulo o # c

=

s12 s 22

⇒

# c

=

7.231 6.662

= 1.09

 gl1

= 1 - 1 = 7

, gl 2

=  2 -1 = 7

Estadística Inferencial  Bona Bonass

.unc .unció ión n Inve Inversa rsa

# &

# α (1 -  2 ) =

α 2

α

= 0.05

2

= 0.05

# 0.95 (7,7) #

! = 3.79

! = 0.26 5)

=

=

1 # (1 - α )( 2 - 1 ) 1

# ( 0.05)( 7 , 7 ) 1

3.79

= 0.26

Conc#usión( 7ce'tamos la Ho0 es decir no ha# 'ruebas de una diferencia en la vari varia ación de los mome momen ntos de torsi rsión del del agrietamiento de los dos ti'os de vigas <$

Refir rase ase al estu estudi dio o de vigi vigila lanci ncia a de traz trazas as de com'u com'ues esto toss org9 org9ni nico coss ). Refi mencionado mencionado en el eFercicio A$+3$ /e midió el nivel de carbono org9nico org9nico total total ( =edford

.oxcote

= 61 y 1 = 5.35 s1 = 0.96

= 52 y 2 = 4.27 s 2 = 1.27

n1

n2

so#ución -atos

= 61 s 1 = 0.96 s12 = 0.9216 n1

= 52 s 2 = 1.27 s 22 = 1.6129 n2

H 0 : σ 22

1) 2

H a : σ 2

≠ σ 12

= σ 12

Estadística Inferencial α = 0.05 +

@ # c



Prueba # calculo

=

s 22 2

s1

⇒

# c

=

1.6129 0.9216

= 1.75

 gl1

=  1 - 1 = 51

, gl 2

=  2 - 1 = 60

Bonas

# & α = 0.05 ! = 1.56

Conc#usión( Rechazamos la Ho0 es decir que .oxcote tendr9 una ma#or variación que los medidos en =edford$

5)

Estadística Inferencial VI.

PRUEBA CON 1ABLA2 1AB LA2 DE CON1INENCIA CON1INE NCIA . 0or%a enera# de un An#isis de 1ab#a de Contin6encia ( Prueba de Independencia Ho ! 5as dos clasificaciones son inde'endientes Ha ! 5as dos clasificaciones son de'endientes

[ n − , ( n )] = ∑∑ , ( n ) = = r

Estadística de 'rueba : x

2

c

i 1 i 1

donde : , i =

ni $  + n

i

i+

2

i+

i+

! total 'ara la linea linea iTsima

 + !

total 'ara la columna FTsima

Región de rechazo : x 2 〉 xα 2 donde xα 2 tiene (r T3 (c T3 gl$

/egMn investigaciones informadas en el Vournald of the &ational -. 6ancer Institute (abril 34430 la investigación de alimentos ricos en fibras 'uede a#udar a 'rotegerse contra el c9ncer de mama$ 5os investigadores dividieron dividieron al azar 3+* ratas de laboratorio laboratorio en cuatro gru'os de @* cada uno$ 7 todas las ratas se le in#ecto un f9rmaco que causa c9ncer de mama0 # luego se le sometió a una dieta de grasa # fibra durante 3> semanas$ /in embargo0 los niveles de grasa # fibra variaron en los distintos gru'os$ 7l final del 'eriodo de alimentación0 se determino el numero de rata con tumores cancerosos en cada gru'o$ 5os datos se resumen en la siguiente tabla de contingencia$

/í &o

7lta en grasa1 /in fibra +A @ @

-ieta 7lta en =aFa en grasa1 grasa1 6on fibra /in fibra +* 34 3* 33 @ @

=aFa en grasa1 6on fibra 3 3, @

+ ) -

DHa# 'ruebas que indican que la dieta # la 'resencia1ausencia de c9ncer son inde'endientes$ Pruebe con α = 0.05

a.


so#ución 7lta en grasa1 /in fibra +A1+* @13* @

/í &o

-ieta 7lta en =aFa en grasa1 grasa1 6on fibra /in fibra +*1+* 341+* 3*13* 3313* @ @

=aFa en grasa1 6on fibra 31+* 3,13* @

+ ) -

.recuencia Es'erada: , i

1)

=

r i $ ci

⇒

n

80 $ 30

=

, 4

= 10  , 5 = 20  , 6 = 10  , 7 = 20 

120

= 20 ' , 2 =

30 $ 40

, 1

120

= 20 ' , 3 = , 8

80 $ 30 120

= 20 '

= 10

Ho ! 5a dieta # la 'resencia1ausencia de c9ncer c9ncer son inde'endientes Ha ! 5a dieta # la 'resencia1ausencia de c9ncer c9ncer no son inde'endientes

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # 6alc 6alcul ulo o x

2

x

2

x

2

rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 27 − 20 ) 2 20

+

( 3 − 10 ) 2 10

+ ........ +

(16 − 10 ) 2 10

= 12.9

 Bonas

gl ! (r T3 (c T3 ! (T3 (+ T 3 gl ! @ xc2 α = 0.05 x 2

5)

= 7.81

Conc#usión( Rechazamos la H *0 &o ha# 'ruebas que indiquen que la 'resencia1ausencia de c9ncer son inde'endientes$

Estadística Inferencial 6uat 6uatro ro 'lag 'lagui uici cida dass que que se em'l em'lea ean n en huer huerta tass late latent ntes es de . 6ali 6alifo forn rnia ia son son chol chol'# '#ri rifo fos0 s0 diaz diazin inon on00 meth methid idat athi hion on # 'ara 'arath thio ion$ n$ En Envi Enviro ronme nment ntal al /cien /cience ce [
7lmendros 3 0*AA 3*+ 04@> +30+* 3@,00*,

Wrboles frutales -uraznos  034 4 0,>3 > 034? >@0@?

&ectarinos 330 >4 > 04+? 3 0A4* +03A

8tilice la información del listado de /7/ que se 'resenta enseguida 'ara determ determina inarr (con (con α = 0.01 0 si el 'laguicida em'leado de'ende del ti'o de huerto$

so#ución Wrboles .rutales 7lmendros -uraznos 3 0*AA1  0341 33?@$+? 44+4$4@ 3*+ 04@>1 4 0,>31 ?>4+$44 +*,3@$,4 +30+*1 > 034?1 +*@,+$4, 4*4$?@ 3@,00*,1 >@0@?1 3>+A,$A? @A34?$> @-< @-F *< F/

/ustancias 6hol'#rifos -iazinon ;ethidathion Parathion
&ectarinos 330 >41 >4A,$A4 > 04+?1 3+*A$@+ 3 0A4*1 +4>>$+3 +03A1 ++@?4$,? )@< *3

/*< 3 --+< /-) +< + -@< +F/ )-*< F3*

.recuencia Es'erada : , i

=

r i $ ci n

⇒

, 1

=

30,1316 $ 57,090 417,697

= 411,183.28



, 12

=

213,865 $ 43,729 417,697

= 22,389.68

Ho ! El 'laguicida em'leado em'leado en un ti'o ti'o de huerto es inde'endiente Ha ! El 'laguicida em'leado en un ti'o de huerto no es es inde'endiente 6)

Estadística Inferencial A

α = 0.01

Estadística Inferencial ? x x

2

2

x 2

4

Prueba # 6alculo rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 41,077 − 41,183.28) 2 41,183.28

+ ........ +

( 24,417 − 22,389.68) 2 22,389.68

= 31,000 Bonas

gl ! (r T3 (c T3 ! (@ (+ gl ! , xc2 α = 0.01 x 2

= 16.81

Conc#usión( Rechazamos la H*0 es decir que el 'laguicida em'leado de'ende del ti'o de huerto$

10)

Investigadores del Na Ridge (* (Health Ph#sics0 enero de 34?,$ -e las a'roximadamente +@0 *** 'ersonas ex'uestas a las 'reci'itaciones radioactivas de las 'ruebas0 se es'eraba que >? desarrollaran c9ncer de la tiroides$ /egMn el 'rograma de com'utadoras0 los >? casos se 'ueden clasificar 'or sexo # a nivel de radiación (dosis en el momento de las ex'osición0 como se muestra en la tabla$ /u'onga que los datos re'resentan una muestra aleatoria de >? 'acientes con c9ncer de la tiroides seleccionados de la 'oblación obFetiva$ Realice una 'rueba 'ara determinar si las dos direcciones de clasificación0 sexo # dosis en el momento de la ex'osición0 son inde'endientes$ 8tilice α = 0.01

-osis0 rads$
;enos de 3 3T3* 33 o m9s

nero ;asculino .emenino , 3@ ? 3? @ 3* -* )-

so#ución

-3 F -@ /+


nero ;asculino .emenino ,1>$>,?4A 3@13@$@3* ?1A$,+*A 3?13?$@A4@ @1@$?3*@ 3*14$3?4A -* )-

;enos de 3 3T3* 33 o m9s

-osis0 rads$

-3 F -@ /+


=

r i $ ci n

⇒

, 1

=

19 $ 17 58

= 5.56897



, 6 1)

=

13 $ 41 58

= 9.1897

Ho ! 5as direcciones de sexo # dosis en la ex'osición son Inde'endientes Ha ! 5as direcciones de sexo # dosis en la ex'osición no son Inde'endientes

+ α = 0.01 @ Prue Prueba ba # 6alc 6alcul ulo o x

2

x

2

x

2

rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 6 − 5.5689 ) 2 5.5689

+ ........ +

(10 − 9.1897 ) 2 9.1897

= 0.32

 Bonas

x

gl ! (r T3 (c T3 ! (+ (3 gl ! +

2 c

α = 0.01 x 5)

2

= 9.21

Conc#usión( 7ce'tamos la H *0 esto quiere decir que las direcciones de sexo sexo # dosi dosiss en el mome moment nto o de la ex'o ex'osi sici ción ón son son inde'endientes$


)" El estudio de satisfacción de los usuarios de la tecnología de ingeniería de soft softKa Kare re asis asisti tida da 'or 'or com' com'ut uta adora dora (67/ (67/E E (Vou (Vourn rnal al of /#te /#tems ms ;anagement0 Fulio de 34?4$ En una encuesta se 'regunto a una muestra de usuarios de 67/E con que frecuencia utilizaban diagramas de fluFo de datos en su trabaFo # que tan satisfecho estaban con las tcnicas de diagramación de dise dise2o 2oss que que esta staban ban usan usando do$$ 7 cont contin inua uaci ció ón se 'res 'resen enta tan n los los 'orcentaFes que res'ondieron en cada una de las celdas de la tabla de contingencia analice los datos de la encuesta su'oniendo que 'artici'aron 30 *** usuarios del 67/E en el estudio$ Em"leo de diagramas diagramas de flu4o de datos /iem're eneralmente Ncasionalmente &unca
Satisfacci%n de usuarios con las t5cnicas de diagramaci%n de dise6o Satisfechos Insatisfecho +A$> *$* @3$@ +$> @3$+ @$? +$> 3$+ 3./ *./

*./ @@.+ @/. @.* -.

so#ución Em"leo de diagramas diagramas de flu4o de datos /iem're eneralmente Ncasionalmente &unca
Satisfacci%n de usuarios con las t5cnicas de diagramaci%n de dise6o Satisfechos Insatisfecho +A$>1+>$@A> *$*1+$*@+> @3$@1@3$+,> +$>1+$,+> @3$+1@+$@A> @$?1+$,+> +$>1@$++> 3$+1*$+AA> 3./ *./

*./ @@.+ @/. @.* -.


=

r i $ ci n

⇒

, 1

=

2.75 $ 92.5 100

= 5.56897



, 8 1)

=

3.7 $ 7.5 100

= 0.2775

Ho ! 5as tcnicas de diagramación de dise2o # el em'leo de diagrama de fluFo de datos son inde'endientes Ha ! 5as tcnicas de diagramación de dise2o # el em'leo de diagrama de fluFo de datos no son inde'endientes

+ α = 0.05

Estadística Inferencial @ Prue Prueba ba # 6alc 6alcul ulo o x

2

x

2

x

2

rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 27.5 − 25.4375 ) 2 25.4375

+ ........ +

(1.2 − 0.2775) 2 0.2775

= 61.14 gl ! (r T3 (c T3 ! (@ (3 gl ! @

 Bonas

2

x c α = 0.05 x 2 5)

= 7.81

Conc#usión( Rechazamos la H*0 es decir las tcnicas de diagramas de dise2o # el em'leo del diagrama de fluFo de datos no son inde'endientes$

8n criterio que se utiliza 'ara evaluar a los em'leados que trabaFan en la secc secció ión n de ensa ensamb mble le de una una fabr fabric ica a gran grande de es el nume numero ro de 'iez 'iezas as defectuosas 'ara cada mil com'onentes 'roducidos$ El de'artamento de control de calidad desea averiguar si ha# una relación entre los a2os de ex'e ex'erie rienci ncia a # la tasa tasa de defe defect ctos os$$ Pues Puesto to que el trab trabaF aFo o es m9s bien bien re'eti re'etitiv tivo0 o0 des'us des'us del 'eriodo 'eriodo de ca'aci ca'acitac tación ión inicia iniciall cualqui cualquier er meFora meFora debido debido al a'rend a'rendiza izaFe Fe 'odría 'odría contra contrarres rrestar tarse se 'or una dismin disminuci ución ón en la moti motiva vaci ción ón del del trab trabaF aFad ador or$$ /e calc calcul uló ó la tasa tasa de defe defect ctos os 'ara 'ara cada cada trabaFador en una evaluación anual$ 5os resultados 'ara 3** trabaFadores se 'resentan en la tabla$ En el listado del ;I&I<7= se 'ro'orciona un an9lisis de los datos$ DHa# 'ruebas de que exista una relación entre la tasa de defectos # los a2os de ex'eriencia$ 8tilice α = 0.05 $ 5)

7lta ;edia =aFa

72os de ex'eriencia (des'us del 'eriodo de ca'acitación / F- , 4 4 4 34 +@ A ? 3*

so#ución


72os de ex'eriencia (des'us de 'eriodo de ca'acitación / F- ,1>$+? 41?$, 413*$*? 4133$++ 3413?$@, +@1+3$+ A1>$> ?14$** 3*13*$>  @F )

) // -


=

r i $ ci n

⇒

, 1

=

24 $ 22 100

= 5.28



, 9 1)

=

25 $ 42 100

= 10.5

Ho ! 5as tcnicas de diagramación de dise2o # el em'leo de diagrama de fluFo de datos son inde'endientes Ha ! 5as tcnicas de diagramación de dise2o # el em'leo de diagrama de fluFo de datos no son inde'endientes

+ α = 0.05 @ Prue Prueba ba # 6alc 6alcul ulo o x x

2

2

x 2

rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 6 − 5.28) 2 5.28

+ ........ +

(10 − 10.5) 2 10.5

= 1.351 gl ! (r T3 (c T3 ! (+ (+ gl ! 

 Bonas

xc2

α = 0.05 x 2 5)

= 9.49

Conc#usión( 7ce'tamos la H *0 en tal sentido son inde'endientes0 es decir que no existe relación entre la tasa de defectos # los a2os de ex'eriencia$


F" En los Mltimos a2os0 muchas com'a2ías estadounidenses han utilizado la conv conver ersi sión ón al sist sistem ema a mtr mtric ico o de medi medici ción ón$$ 7 fin fin de inve invest stig igar ar este este fenómeno0 =$ -$ Philli's0 H$ 7$ $ 5ahani # /$ 5$ eorge analizaron datos recolectados de A>A 'eque2os fabricantes 'ara un estudio de la 8$ /$ ;etric =oard (
/í convirtieron &o convirtieron

-e no no alta te tecnología +4, @**

DHa# suficientes 'ruebas que indiquen que las distribuciones de 'orcentaFe de em'resas que hicieron la conversión al sistema mtrico # las que no la hicieron difieren 'ara las em'resas de alta tecnología # de no alta tecnología$ Pruebe con α = 0.01

a.

so#ución /í convirtieron &o convirtieron
-e alta tecnología ?31?*$3?*4 ?*1?*$?34* -F-

-e no alta tecnología +4,1+4,$?34* @**1+44$3?*4 /3F


=

r i $ ci n

⇒

, 1

=

377 $ 161 757

= 80.1809



, 4

=

377 $ 596 757

= 299.1809

Ho ! 5as em'resas que hicieron la conversión # las que no lo hicieron0 las em're 'resas de alta tecno cnología # de no alta tecno cnología son inde'endientes 2) Ha ! 5as em'resas que hicieron la conversión # las que no lo hicieron0 las em'r em'res esas as de alta alta tecn tecnol olog ogía ía # de no alta alta tecn tecnol olog ogía ía no son son inde'endientes 1)

@ α = 0.01

Estadística Inferencial  Prue Prueba ba # 6alc 6alcul ulo o x

2

x

2

x

2

rc

( )i − , i ) 2

i =1

, i

=∑ =

( 81 − 80.1809 ) 2 80.1809

+ ........ +

( 300 − 299.1809 ) 2 299.1809

= 0.021 gl ! (r T3 (c T3 ! (3 (3 gl ! 3

> Bonas

xc2

α = 0.01 x 2 6)

= 6.63

Conc#usión( 7ce'tamos la H *0 en tal sentido son inde'endientes las em're em'resa sass que hicier hicieron on la conv conver ersi sión ón # las las que que no lo hicieron0 # las em'resas de 7lta tecnología # de no alta son inde'endientes0 entonces 'odemos afirmar que existe suficientes 'ruebas que indican la diferencia


2 16 0 274 280 019 762 721 17 15 1 7 74 80 19 62     )( 83t.+='2c 521


Ejercicios prueba de hipotesis.pdf

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