Problema 09:
(Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica a continuación: P!DU"#! A
$ % &'U*A +
$% &'U*A /
$% &'U*A -
B
1
+
U#DAD 012 P! 3! 0-22 P! 3!
%i los n4mero de 5oras disponibles en las máquinas al mes son 22, /2 y +62 en el caso de la primera, se7unda y tercera, respecti8amente, determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de ma9imiar la utilidad total. %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de producción de A en unidades 9 > la "antidad de producción de B en unidades &a9 ? > 129 + @ -229 .(+) %ueto a: 9+ @ 19 C 22 ... ... () /9+ @ +9 C /2 ...(-) -9+ @ 9 C +62 ........... ........... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 10:
(Decisiones sobre producción) En el eercicio anterior, supon7a que una repentina baa en la demanda del mercado del producto A obli7a a la compaFGa a incrementar su precio. %i la utilidad por cada unidad de A se incrementa a 0H22, determine el nue8o pro7rama de producción que ma9imia la utilidad total. %olución: P!DU"#! A
$ % &'U*A +
$% &'U*A /
$% &'U*A -
B
1
+
;u< es lo que 8amos a &a9imiar=
U#DAD 0H22 P! 3! 0-22 P! 3!
9+ > la "antidad de producción de A en unidades 9 > la "antidad de producción de B en unidades &a9 ? > 129 + @ -229 .(+) %ueto a: 9+ @ 19 C 22 ... ... () /9+ @ +9 C /2 ...(-) -9+ @ 9 C +62 ........... ........... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 11:
(Decisiones sobre producción) En el eercicio 1, supon7a que el fabricante es forado por la competencia a reducir el mar7en de utilidad del producto B. ;"uánto puede baar la utilidad de B antes de que el fabricante deba cambiar el pro7rama de producción= (El pro7rama de producción siempre debe ele7irse de modo que ma9imice la utilidad total). %olución: P!DU"#! A
$ % &'U*A +
$% &'U*A /
$% &'U*A -
B 1 + ;u< es lo que 8amos a &a9imiar=
U#DAD 0H22 P! 3! 0 I P! 3!
9+ > la "antidad de producción de A en unidades 9 > la "antidad de producción de B en unidades pero pero en 129 + @ +129 .(+) (El pro7rama de producción siempre debe ele7irse de modo que ma9imice la utilidad total). %ueto a: 9+ @ 19 C 22 ... ... () /9+ @ +9 C /2 ...(-) -9+ @ 9 C +62 ........... ........... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 12:
(Decisiones sobre in8ersión) Un 7erente de Jinanas tiene 0 + ×+2H de un fondo de pensiones, parte de cual debe in8ertirse. El 7erente tiene dos in8ersiones en mente, unos bonos con8ersadores con8ersadores que producen producen un HK anual y unos bonos 5ipotecarios 5ipotecarios más
efecti8o que producen un +2K anual. De acuerdo con las re7ulaciones del 7obierno, no más del 1K de la cantidad in8ertida puede estar en bonos 5ipotecarios. &ás a4n, lo mGnimo que puede ponerse en bonos 5ipotecarios es de K+22,222. Determine las cantidades de la dos in8ersiones que ma9imiarán la in8ersión total. %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de la in8ersión en bonos conser8adores 9 > la "antidad de la in8ersión en bonos 5ipotecarios &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %uetos a: (2.2H)(+,222,222)9+ @ (2.+)(+,222,222)9 C (+,222,222)(2.1) ... () 9 +22,222 ... (-) 9+, 9 2 Problema 13:
(Decisiones sobre plantación de culti8os) Un 7ranero tiene +22 acre pies en los cuales puede sembrar dos culti8os. Dispone de 0 -222 a fin de cubrir el costo del sembrado. El 7ranero puede confiar en un total de +-12 5orasL5ombre destinadas a la recolección de los dos culti8os y en el cuadro se muestra los si7uientes datos por acre: "U#M!% "!%#! DE DE&A*DA U#DAD PA*#A $!A%L$!&BE P&E! 02 1 0 +22 %ENU*D! 0/2 2 0 -22 %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de producción del P&E "U#M! en acre pies 9 > la "antidad de producción del %ENU*D! "U#M! en acre pies &a9 ? > +229 + @ -229 .(+) (El pro7rama de producción siempre debe ele7irse de modo que ma9imice la utilidad total). %ueto a: 9+ @ 9 C +22 ......... () esta ecuación se debe a que sólo tiene +22 acre pies para los culti8os 19+ @ 29 C +-12... (-) 29+ @ /29 C -222 ......(/) lo que queda Planteado 9+, 9 2
Problema 14:
(Decisiones sobre plantación de culti8os) En el eercicio anterior, determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada culti8o si la utilidad por concepto del se7undo culti8o sube a 0 /12 por acre. %olución: "U#M!% P&E! %ENU*D!
"!%#! DE PA*#A 02 0/2
DE&A*DA $!A%L$!&BE 1 2
U#DAD 0 +22 0 /12
;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de producción del P&E "U#M! en acre pies 9 > la "antidad de producción del %ENU*D! "U#M! en acre pies &a9 ? > +229 + @ /129 .(+) (El pro7rama de producción siempre debe ele7irse de modo que ma9imice la utilidad total). %ueto a: 19+ @ 29 C +-12... () 29+ @ /29 C -222 ......(-) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 15:
L L
(Planeación diet
#A&*A 2. m7 2.2O m7
%olución: Mariables: 9+ > la "antidad mas Barata del producto A 9 > la "antidad mas Barata del Producto B &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: 2.9+ @ 2.2O9 2.1... () (al menos) +229+ @ +129 +12 ......(-) lo que queda Planteado 9+, 9 2
"A!A% +22 +12
Problema 16:
(Purificación del mineral) Una compaFGa posee dos minas, P y . En el cuadro si7uiente se muestra la producción de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respecti8amente:
L L L
&*A%
"!BE
?*"
&!BDE*!
P
12 lb +1 lb
/ lb O lb
+ lb - lb
"!%#! P! #!*. DE !B#E*"* DE &*EA 0 12 0 H2
a compaFGa debe producir cada semana, al menos las si7uientes cantidades de los metales que se muestran a continuación: OQ,122 libras de cobre +H,222 libras de inc 1,222 libras de molibdeno ;"uánto mineral deberá obtenerse de cada mina con obeto de cumplir los requerimientos de producción a un costo mGnimo= %olución: Mariables: 9+ > la "antidad de &ineral de la &*A P en libras 9 > la "antidad de &ineral de la &*A en libras &a9 ? > 129 + @ H29 .(+) 129+ @ +19 C OQ,122 ......... () ("!BE) /9+ @ O9 C +H,222... (-) (?*") 9+ @ -9 C 1222 ......(/) (&!BDE*!) 9+, 9 2 lo que queda planteado Problema 17:
(Espacio de Almacenamiento) a bode7a de un depa, de quGmica industrial, almacena, al menos -22 8asos de un tamaFo y /22 de un se7undo tamaFo. %e 5a decidido que el n4mero total de 8asos almacenados no debe e9ceder de +22. Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de 8asos que pueden almacenarse y mu la "antidad de 8asos de primer tamaFo 9 > la "antidad de 8asos de se7undo tamaFo
&a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: 9+ -22... () (al menos) 9 /22 ......(-) 9+ @ 9 C +22 .......(/) 9+, 9 2 Problema 18:
(Espacio de Almacenamiento) En el eercicio anterior, supon7amos que los 8asos del primer tamaFo ocupan 6 in del anaquel y los del se7undo H in . El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de H.O ft. Determine las cantidades posibles de los 8asos y mu la "antidad de 8asos de primer tamaFo 9 > la "antidad de 8asos de se7undo tamaFo &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: 9+ -22... () (al menos) 9 /22 ......(-) 9+ @ 9 C +22 .......(/) 69+ @ H9 C H.O .......(1) 9+, 9 2 Problema 19:
(Planeación Diet la "antidad de "arne 9 > la "antidad de Jrioles de %oya &in ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: Q9+ @ -9 12 .......(1)
9+, 9 2 Problema 20:
(Ecolo7Ga) Un estanque de peces los abastecen cada prima8era con dos especias de peces % y #. $ay dos tipos de comida J + y J disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pe de cada especia está dado en el cuadro si7uiente: Especies % #
J+ Unidades - Unidades
J - Unidades + Unidades
Peso Promedio - libras libras
f t5ere are si9 5undred of J + and t5ree 5undred of J e8eryday. $oR do you debit supply t5e pool for R5at t5e total Rei75t of fis5es are at least /22 pounds= %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de abastecimiento de Peces (E%PE"E %) en Prima8era en Unidades 9 > la "antidad de abastecimiento de Peces (E%PE"E #) en Prima8era en Unidades &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: 9+ @ -9 C H22 .. () -9+ @ +9 C -22 .(-) -9+ @ 9 /22 lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 21:
Un 7ranero tiene 22 cerdos que consumen 62 libras de comida especial todos los dGas. El alimento se prepara como una mecla de maG y 5arina de soya con las si7uientes composiciones: ibras por ibra de Alimento Alimento "alcio ProteGna Jibra "osto (0Slb) &aG 2.22+ 2.26 2.2 2. $arina de %oya 2.22 2.H 2.2H 2.H os requisitos de alimento de los cerdos son: +. "uando menos +K de calcio . Por lo menos -2K de proteGna -. &á9imo 1K de fibra Determine la mecla de alimentos con el mGnimo de costo por dGa
%olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad de &aG ibra por libra de Alimento 9 > la "antidad de $arina de %oya ibra por libra de Alimento &in ? > 2.9 + @ 2.H9 .(+) %uetos a: 2.22+9+ @ 2.229 C (62)(2.2+) .. () 2.269+ @ 2.H9 C (62)(2.-) .(-) 2.29+ @ 2.2H9 (62)(2.21) .......... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 22:
Un pequeFo banco asi7na un má9imo de 02,222 para pr la "antidad Jondos de pr la "antidad fondos de pr 2.9 + @ 2.H9 .(+) %uetos a: (2.+/)(2,222)9+ @ (2.+)(2,222)9 C 2222 .. () 9 ()(2.+/)(2,222) .(-) 9+ (2.2+)(2.+)(2,222) .......... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 23:
Una planta armadora de radios produce dos modelos $iJiL+ y $iJiL en la misma lGnea de ensamble. a lGnea de ensamble consta de tres estaciones. os tiempos de ensamble en la estaciones de trabao son:
Estación de #rabao + -
&inutos por Unidad de $iJiL+ H 1 /
&inutos por Unidad de $iJiL / 1 H
"ada estación de trabao tiene una disponibilidad má9ima de /O2 minutos por dGa. %in embar7o, las estaciones de trabao requieren mantenimiento diario, que contribuye al +2K, +/K y +K de los /O2 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones +, y - respecti8amente. a compaFGa desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de $iJiL+ y $iJiL a fin de minimiar la suma de tiempos no usados (inacti8os) en la tres estaciones. %olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad de Unidades Diarias de $iJi L + 9 > la "antidad de Unidades Diarias de $iJi L &in ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: H9+ @ /9 C (2.+)(/O2) .. () 19+ @ 19 C (2.+/)(/O2) .(-) /9+ @ H9 (2.+)(/O2) .......... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 24:
Una compaFGa de productos electrónicos, produce dos modelos de radio, cada uno en una lGnea de producción de 8olumen diferente. a capacidad diaria de la primera lGnea es de H2 unidades y la se7unda es de Q1 radios. "ada unidad del primer modelos utilia +2 pieas de ciertos componente electrónicos, en tanto que cada unidad del se7undo modelos requiere oc5o pieas del mismo componente. a disponibilidad diaria má9ima del componente especial es de O22 pieas. a 7anancia por unidad de modelos + y es 0-2 y 0 2, respecti8amente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio. %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de producción del modelo + de adio
9 > la "antidad de producción del modelo de adio &a9 ? > -29 + @ 29 .(+) %ueto a: 9+ C H2 .. () +29+ @ O9 C O22 .(-) 9 C Q1 .......... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 25:
Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesi8a por tres máquina. El tiempo por máquina asi7nado a los productos está limitado a +2 5oras por dGa. El tiempo de producción y la 7anancia por unidad de cada producto son: &inutos Por Unidad Producto &áquina + &áquina &áquina Nanancia + +2 H O 0 1 2 +1 0*ota: Determine la combinación óptima de los productos. %olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad de Unidades del Producto + 9 > la "antidad de Unidades del Producto &in ? > 9 + @ -9 .(+) %ueto a: +29+ @ 19 C +2 .. () H9+ @ 29 C +2 .(-) O9+ @ +19 C +2 .......... (/) lo que queda Planteado 9+, 9 2 Problema 26:
Una compaFGa puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y tele8isión locales. %u presupuesto limita los 7astos de publicidad de 0+222 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta 01 y cada minuto de publicidad en tele8isión cuesta 0+22. a compaFGa desearGa utiliar la radio cuando menos dos 8eces más que la tele8isión. a e9periencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por tele8isión 7enerará en t
9+ > la "antidad de presupuesto mensual para el adio
9 > la "antidad de presupuesto mensual para el #ele8isor &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: 19+ @ +229 C +222 .. () 9 ()(9+) 9+ (1)(9) .(-) 9+, 9 2 Problema 27:
Una compaFGa elabora dos productos: A y B. El 8olumen de 8entas del producto A es cuando menos el H2K de las 8entas totales de los dos productos. Ambos productos utilian la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a +22 lb. os productos A y B utilian esta materia prima en los Gndices o tasas de lbSunidad y / lbSunidad, respecti8amente. El precio de 8enta de los productos es 02 y 0/2 por unidad. Determine la asi7nación óptima de la materia prima a los dos productos. %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de Unidades del Producto A 9 > la "antidad de Unidades del Producto B &a9 ? > 29 + @ /29 .(+) %ueto a: 9+ @ /9 C +22 .. () 9+ (2.H)(H2) .(-) 9+, 9 2 Problema 28:
Una compaFGa elabora dos tipos de sombreros. "ada sombrero del primer tipo requiere dos 8eces más tiempo de manos de obra que un producto del se7undo tipo. %i todos los sobreros son e9clusi8amente del se7undo tipo. a compaFGa puede producir un total de 122 unidades al dGa. El mercado limita las 8entas diarias del primero y se7undo tipos a +12 y 22 unidades. %upón7ase que la 7anancia que se obtiene por producto es 0O por el tipo + y 01 para el tipo . Determine el n4mero de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para ma9imiar la 7anancia. %olución:
;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de Unidades del %ombrero #P! + 9 > la "antidad de Unidades del %ombrero #P! &a9 ? > O9 + @ 19 .(+) %ueto a: +129+ @ 229 C 122 .. () 9+ ()(22) .(-) 9+, 9 2 Problema 29:
Una empresa pequeFa, cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. "ada producto tiene que pasar por la máquina A y despu la "antidad de Unidades del Producto A 9 > la "antidad de Unidades del Producto B &a9 ? > -129 + @ H229 .(+) %ueto a: -9+ @ +9 C 122 .. () 9+ @ 9 C H12 .. (-) 9+ @ 9 C + ....(/) 9+, 9 2 Problema 30:
El 7rupo T&PEIA, desea 5acer publicidad para su productos en tres diferentes medios: radio, tele8isión y re8ista. El obeti8o principal es alcanar tantos clientes como sea posible. $an realiado un estudio y el resultado es: *4mero
de
Durante el dGa Durante la noc5e adio e8istas clientes /12,222 O22,222 HQ1,222 22,222
potenciales que puede alcanar por unidades de publicidad 122,222
+,222,222
H12,222 12,222
T&PEIA no quiere 7astar más de 0+,22,22. Además en publicidad por tele8isión no desean 7astar más de Q12 mil pesos. %e desean comprar tres unidades de tele8isión durante el dGa y unidades durante la noc5e. Plantee el problema como un modelo de pro7ramación lineal. %olución: ;u< es lo que 8amos a &AI&?A= 9+ > la "antidad de clientes Potenciales por dGa 9 > la "antidad de clientes Potenciales por noc5e 9- > la "antidad de clientes por adio 9/ > la "antidad de clientes por re8istas &a9 ? > 9 + @ 9 @ 9- @ 9/.(+) %ueto a: (E%#""!*E% DE BAA*"E) 9+ @ 9 @ 9- @ 9/ C +,22,222 9+ @ 9 C Q12,222 9+ /12,222 9+ C 122,222 9 O22,222 9 C +,222,222 9- -Q1,222 9- C H12,222 9/ 22,222 9/ C 12,222 -9+ C 9 Problema 31:
a seFora &orales tiene una dieta a se7uir, la cual re4ne los si7uientes requisitos alimenticios. Al menos / m7. de 8itamina A Al menos H m7. de 8itamina B A lo más - m7. de 8itamina D AsG mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. a tabla si7uiente nos da los requerimientos por 8itamina en m7. asG como el costo: "ontenido en m7 por 7ramo de producto P!DU"#!
"!%#!
M#A&*A A
M#A&*A B
M#A&*A D
PA* UE%! BUEB!% "A*E
/2 -+ +6 1-
2.2 2.+1 2.+1 2.-2
2.+O 2.+2 2./2 2.-1
2.+2 2.+/ 2.+1 2.+H
%olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad a comprar de PA* 9 > la "antidad a comprar de UE%! 9- > la "antidad a comprar de $UEM! 9/ > la "antidad a comprar de "A*E &in V > /29 + @ -+9 @ +69- @ 1-9/.(+) %ueto a: 2.29+ @ 2.+19 @ 2.+19- @ 2.-29/ / 2.+O9+ @ 2.+29 @ 2./29- @ 2.-19/ H 2.+29+ @ 2.+/9 @ 2.+19- @ 2.+H9/ 9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 32:
(n8ersiones) A Wulio que es asesor de in8ersiones, se le presentan / proyectos con sus respecti8os costos en un perGodo de tres aFos, asG como la utilidad total. El requiere ma9imiar la utilidad total disponiendo de 012,222X 0/,222X y 0-2,222 en cada uno de los aFos si7uientes: P!YE"#! U#DAD "!%#! "!%#! "!%#! #!#A AZ! + AZ! AZ! I+ +22 H +/ 1 I 62 O +/ Q1 6 +6 +O X I/ O2 1 6 3
%olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad de &aG ibra por libra de Alimento 9 > la "antidad de $arina de %oya ibra por libra de Alimento &in ? > 2.9 + @ 2.H9 .(+) %ueto a: 2.22+9+ @ 2.229 C (62)(2.2+) .. () 2.269+ @ 2.H9 C (62)(2.-) .(-) 2.29+ @ 2.2H9 (62)(2.21) .......... (/) lo que queda Planteado
9+, 9 2 Disponibilidad: as cantidades disponibles por aFo se asi7nan a las diferentes 8ariables o proyectos bao estas restricciones para optimiar o ma9imiar la utilidad total.
Problema 33:
%upón7ase que el Banco de "r la "antidad de in8ersión de ries7o a una aFo i 9i# > la "antidad de in8ersión #emporal en aFos i donde i > +, , -, /, 1, H. &a9 ? > 9 + @ 9 @ 9- @ 9/.(+) %ueto a: (E%#""!*E% DE BAA*"E) 9+ @ 9+# C +22,222 9 @ 9# C +.-29+ 9- @ 9-# C +.-29 @ +.H19+# 9/ @ 9/# C +.-29- @ +.H19# 91 @ 91# C +.-29/ @ +.H19-# 9H C +.-291 @ +.H19 /# 9+#, 9 2 Problema 34:
Una compaFGa de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y tele8isión. %u presupuesto limita los 7astos de publicidad a 0+,122 por mes. "ada minuto de anuncio en la radio cuesta 0+1 y cada minuto de publicidad en tele8isión cuesta 062. a compaFGa desearGa utiliar la radio cuando menos dos 8eces más que la tele8isión. os datos 5istóricos muestran que cada minuto de publicidad por tele8isión 7enerará en t
%olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad de presupuesto mensual para el adio 9 > la "antidad de presupuesto mensual para el #ele8isor &a9 ? > 9 + @ 9 .(+) %ueto a: +19+ @ 629 C +122 .. () 9 ()(9+) 9+ (-2)(9) .(-) 9+, 9 2 Problema 35:
Una #ienda de animales 5a determinado que cada $ámster deberGa recibirla menos Q2 unidades de proteGna. +22 unidades de carbo5idratos y 2 unidades de 7rasa. %i la tienda 8ende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla. ;u< mecla de alimento satisface las necesidades a un costo mGnimo para la tienda= Alimento A B " D E J
ProteGnas "arbo5idratos (Unidades S !na) (Unidades S !na) 2 -2 /2 /2 /1 -2
12 -2 2 1 12 2
Nrasa (Unidades S !na) / 6 ++ +2 6 +2
%olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad a meclar de A 9 > la "antidad a meclar de B 9- > la "antidad a meclar de " 9/ > la "antidad a meclar de D 91 > la "antidad a meclar de E 9H > la "antidad a meclar de J &in V > 9 + @ -9 @ 19- @ H9/ @ O91 @ O9H.(+) %ueto a: 29+ @ -29 @ /29- @ /29/ @ /191 @ -29H C Q2 ......... P!#E[*A 129+ @ -29 @ 29- @ 19/ @ 1291 @ 29H C +22 LLLLLL "AB!$DA#!% /9+ @ 69 @ ++9- @ +29 / @ 691 @ +29H C 2 LLLLLLLLLL NA%A
"osto (!na) 1 H O O
9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 35:
Una compaFGa manufacturera local produce cuatro deferentes productos metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. a necesidades especGficas de tiempo (en 5oras) para cada producto son las si7uientes: Producto Producto Producto Producto M
&aquinado /
Pulido + + -
Ensamble + +
a compaFGa dispone semalmente de /O2 5oras para maquinado, /22 5oras para el pulido y /22 5oras para el ensamble. as 7anancias unitarias por producto son 0H, 0/, 0H y 0O respecti8amente. a compaFGa tiene un contrato con un distribuidor en el que se compromete a entre7ar semanalmente 12 unidades del producto + y +22 unidades de cualquier combinación de los productos y , se74n sea la producción, pero sólo un má9imo de 1 unidades del producto M. ;cuántas unidades de cada producto deberGa fabricar semanalmente la compaFGa a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y ma9imiar la 7anancia total= "onsidere que las pieas incompletas como un modelo de Pro7ramación ineal. %olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad a fabricar del producto 9 > la "antidad a fabricar del producto 9- > la "antidad a fabricar del producto 9/ > la "antidad a fabricar del producto M &in V > H9 + @ /9 @ H9- @ O9/.(+) %ueto a: -9+ @ 9 @ 9- @ /9/ C /O2 +9+ @ +9 @ 9- @ -9/ C /22 9+ @ +9 @ 9- @ +9/ C /22 9+ 12 9 @ 9- +22 9/ C 1 9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 36:
%e procesan cuatro productos sucesi8amente en dos máquina. os tiempos de manufactura en 5oras por unidad de cada producto se tabulan a continuación para las dos máquinas:
&áquina +
Producto + -
Producto
Producto / +
Producto /
El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina. %upon7a que el costo por 5ora para las máquina + y es 0+2 y 0+1. as 5oras totales presupuestadas para todos os productos en las máquina + y son 122 y -O2. si el precio de 8enta por unidad para los productos +, , - y / en 0H1, 0Q2, 011 y 0/1, formule el problema como modelo de pro7ramación lineal para ma9imiar el beneficio neto total. %olución: ;u< es lo que 8amos a &a9imiar= 9+ > la "antidad a fabricar del producto + 9 > la "antidad a fabricar del producto 9- > la "antidad a fabricar del producto 9/ > la "antidad a fabricar del producto / &a9 V > H19 + @ Q29 @ 119- @ /19/.(+) %uetos a: 9+ @ -9 @ /9- @ 9/ C 122 -9+ @ 9 @ +9- @ 9/ C -O2 9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 37:
a compaFGa Delta tiene maquinaria especialiada en la industria de plástico. a compaFGa se dispone a iniciar operaciones el pró9imo mes de enero y cuenta con 0-22,222 y die máquinas. a operación de cada máquina requiere de 0/,222.22 al inicio de un mes para producir y al fin del mes la cantidad de 06,222.22 sin embar7o, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de 0-222.22 pa7ando al principio del mes. a compaFGa se propone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, al má9imo n4mero de máquina en operación. Al principio de cada mes la compaFGa tiene disponibles tres alternati8as para adquirir maquinaria. En la primera alternati8a puede comprar máquina de 02,222.22 cada una con un periodo de entre7a de una mes. Esto es, si al principio de cada mes Tt se pide y pa7a la maquinaria, está se entre7ará al principio del mes t @ +. En la se7unda alternati8a, se puede comprar en 0+1,222.22 cada maquinaria, pero el periodo de entre7a es en dos meses. a 4ltima alternati8a s comprar en 0+2,222.22 cada máquina con un periodo de entre7a en tres meses.
Jormule un modelo de pro7ramación lineal que permita determinar la polGtica de compra de maquinaria, producción y pa7o de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes siete ten7a el má9imo n4mero de máquina en operación. %olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad a fabricar del producto 9 > la "antidad a fabricar del producto 9- > la "antidad a fabricar del producto 9/ > la "antidad a fabricar del producto M &in V > H9 + @ /9 @ H9- @ O9/.(+) %ueto a: -9+ @ 9 @ 9- @ /9/ C /O2 +9+ @ +9 @ 9- @ -9/ C /22 9+ @ +9 @ 9- @ +9/ C /22 9+ 12 9 @ 9- +22 9/ C 1 9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 38:
Una compaFGa de productos quGmicos que labora las / 5oras del dGa tiene las si7uientes necesidades de personal t
$ora del dGa
Personal t
+ / 1 H
H \ +2 +2 \+/ +/ \ +O +O \ \ 2 2 L 2H
2 /2 O2 /1 1 +2
Personal Especialiado O + +1 6
!bser8e que el periodo + si7ue al periodo H. "onsidere que cada persona en la compaFGa labora O 5oras consecuti8as. %upon7a que I t y ?t, denotan el n4mero de personas t
9i > la "antidad de personal t la "antidad de personalidad especialiado donde i > +, , -, /, 1, H. &in ? > 9 + @ 9 %uetos a: 29+ @ O9 H2 /29+ @ +9 +2 O29+ @ +19 /2 /19+ @ 69 -(/1) 19+ @ -9 Q1 +29+ @ 9 -2 Problema 39:
Jerrocarriles *acionales de &<9ico tiene al inicio del pró9imo aFo la si7uiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el paGs: #rimestre ocomotoras Diesel
+ Q12
O22
QO2
a 7erencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante la combinación de las si7uientes alternati8as: a) b)
Uso de la e9istencia de locomotoras diesel en estado de trabao "ompra de locomotoras al e9tranero las cuales pueden entre7arse al principio de cualquier trimestre c) eparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de H meses. d) eportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter ur7ente. El tiempo de reparación es de - meses. a alternati8a b tiene un costo de 01,222,222 por locomotora a alternati8a c tiene un costo de 0+22,222 por locomotora a alternati8a d tiene un costo de 012,222 por locomotora %e estima que al principio del aFo se tendrán H12 locomotora en estado de trabao y el presupuesto de operación para ese aFo es de 0+22,222,222 entre7ado en partidas trimestrales de /2, -2, 2 y +2 millones respecti8amente. %e supone que al final de cada trimestre el 1K de las locomotoras debe mantenerse a reparación y el 1K quedan fuera de ser8icio. Jormule un problema de pro7ramación lineal que permita determinar la combinación de polGticas que debe tomar en cuenta la 7erencias de J.J.".". para minimiar costos y satisfacer la demanda de locomotoras.
%olución: ;u< es lo que 8amos a &inimiar= 9+ > la "antidad de Demanda en el trimestre + 9 > la "antidad de Demanda en el trimestre 9- > la "antidad de Demanda en el trimestre &in V > 1,222,2229 + @ +22,2229 @ 12,2229 - .(+) %ueto a: 9+ @ 9 @ 9- C +22,222,222 Q129+ @ O229 @ QO29- H12 9+ (2.21)(Q12) 9 (2.21)(O22) 9- (2.21)(QO2) 9+, 9, 9-, 9/ 2 Problema 40:
Una compaFGa produce a4car morena, a4car blanca, a4car pul8eriada y melaas con el arabe de la caFa de a4car. a compaFGa compra /222 toneladas de arabe a la semana y tiene un contrato para entre7ar un mGnimo de 1 toneladas semanales de cada tipo de a4car. El proceso de producción se inicia fabricando a4car morena y melaas con el arabe. Una tonelada de arabe produce 2.- toneladas de a4car morena y 2.+ toneladas de melaas. Despu
a producción de cada tipo de a4car de acuerdo al proceso de producción se detalla a continuación por cada tonelada de material empleado. Producción por tn.
Warabe (+tn) A. &orena (+tn) A. Blanca (+tn)
a.morena 2.-
melaa 2.+
a.blanca
a.pul8eriada
2.O 2.61
Determinamos las 8ariables de decisión: Ii > producto obtenido (toneladas por semana), donde i: +, , -, /X representa los diferentes tipos de productos. +: a4car morena, : melaa, -: a4car blanca, /: a4car pul8eriada.
as restricciones: I+ S 2.- @ I S 2.+ C> /222
(estricción para tn. de arabe)
I+ >1222 (estricción para tn. de a4car morena) I- S 2.O > 1222 (estricción para tn. de a4car blanca) I/ S 2.61 >1222 (estricción para tn. de a4car pul8eriada) I+, I, I-, I/ >2 (estricción de no ne7ati8idad) a función obeti8o para ma9imiar las utilidades: f.o: ma9. > +12I+ @ 22I- @ -2I/ @ -1I a estructura del modelo es la si7uiente: Ii > producto obtenido (toneladas por semana) i: +, , -, / J.! &a9 > +12I+ @ 22I- @ -2I/ @ -1I
%.a: I+ S 2.- @ I S 2.+ C> /222 I+ >1222 I- S 2.O > 1222 I/ S 2.61 >1222 I+, I, I-, I/ >2
(estricción para tn. de arabe) (estricción para tn. de a4car morena) (estricción para tn. de a4car blanca) (estricción para tn. de a4car pul8eriada) (estricción de no ne7ati8idad)
Problema 41:
"uatro productos se procesan en secuencia de dos maquinas. a si7uiente tabla proporciona los datos pertinentes al problema. Máquina 1 Precio de %enta Por unidad (#)
Tiempo de fabricación por unidad (hora) Costo Prod. 1 Prod. Prod. ! Prod. " (#) $ hora
+2 1
H1
Q2
/ + 11
/1
Capacidad (hora)
122 -O2
Jormular el modelo como un modelo de pro7ramación lineal. Solución:
Determinamos las 8ariables de decisión: Ii: unidades producidas por tipo de producto : +, , -, /. utiliando cada maquina i: +, . as restricciones: I++@ -I+ @ /I+- @ I+/ C> 122 (estricción de capacidad de la maq. +) -I+ @ I @ +I- @ I/ C>-O2 (estricción de capacidad de la maq. ) a función obeti8o para ma9imiar las utilidades: &a9 > H1(I++ @ I+) @ Q2(I+ @ I) @ 11(I+- @ I-) @ /1(I+/ @ I/) L +2 (I++ @ -I+ @ /I+1 @ I+/) L 1(-I+ @ I @ +I- @ I/) %implificando: ma9 > /1I++ @ 12I+ @ /2I+ @ H2I @ +1I+- @ 12I- @ 1I+/ @-1I/
a estructura del modelo es la si7uiente: Ii: unidades producidas por tipo de producto : +, , -, /. Utiliando cada maquina i: +, . J: ! &a9 > /1I++ @ 12I+ @ /2I+ @ H2I @ +1I+- @ 12I- @ 1I+/ @-1I/ %.a: I++@ -I+ @ /I+- @ I+/ C> 122 (estricción de capacidad de la maq. +) -I+ @ I @ +I- @ I/ C>-O2 (estricción de capacidad de la maq. ) I++, I+, I+-, I+/, I+, I, I-, I/ >2 (estricción de no ne7ati8idad) Problema 42:
"on rubGes y afiros un empresario produce dos tipos de anillos. Un anillo tipo + requiere rubGes, - afiros y + 5ora de trabao de un oyero. Un anillo tipo requiere - rubGes, afiros y 5oras de trabao de un oyero. "ada anillo tipo + se 8ende a /22 dólares, y cada anillo tipo , a 122 dólares. %e pueden 8ender todos los anillos producidos. Actualmente, se dispone de +22 rubGes, +2 afiros y Q2 5oras de trabao de un oyero. %e puede comprar más rubGes a un costo de +22 dólares el rubG. a demanda del mercado requiere de una producción de por lo menos 2 anillos del tipo + y por lo menos 1 anillos del tipo . Jormular el problema para ma9imiar la 7anancia.] %olución: &equerimiento por unidad
#ipo de anillo #ipo + ubGes (unid) ?afiros (unid) $rsL5ombre + Precio (0Sunid) /22 Demanda (unid) 2
Disponibilidad #ipo 122 1
Q2
Determinamos las 8ariables de decisión: Ii: cantidad de anillos de tipo i > +, as restricciones: I+ @ -I \ I- C> +22 (estricción para la cantidad de rubGes) -I+ @ I C> +2 (estricción para la cantidad de afiros) I+ @ I C> Q2 (estricción de 5oras de trabao de un oyero) I+ > 2 (estricción para la demanda del tipo +) I > 1 (estricción para la demanda del tipo ) a función obeti8o para ma9imiar las utilidades: &a9 > /22I+ @ 122I L +22Ia estructura del modelo es la si7uiente: Ii: cantidad de anillos de tipo i > +, J.!: &a9 > /22I+ @ 122I \ +22I-
%.a: I+ @ -I \ I- C> +22 -I+ @ I C> +2 I+ @ I C> Q2 I+ > 2 I > 1 I+, I, I- >2
(estricción para la cantidad de rubGes) (estricción para la cantidad de afiros) (estricción de 5oras de trabao de un oyero) (estricción para la demanda del tipo +) (estricción para la demanda del tipo ) (estricción de no ne7ati8idad)
Problema 43:
Para una ornada de / 5oras un 5ospital esta requiriendo el si7uiente personal para el área de enfermerGa, se define H turnos de / 5oras cada uno. 'mero mnimo de personal
Turno
:22 L H:22 H:22 L +2:22 +2:22 L +/:22 +/:22 L +O:22 +O:22 L 2:22 2:22 L /:22
/ O +2 Q + /
os contratos laborales son de O 5oras consecuti8as por dGa. El obeti8o es encontrar el n4mero menor de personas que cumplan con los requerimientos. Jormule el problema como un modelo de pro7ramación lineal. Solución:
Determinamos las 8ariables de decisión: Ii > "antidad de personal por cada turno i > +, , -, /, 1, H. 'ecesidades de personal por horario
$oras Persona l
:22 L H:22 H:22 L +2:22 I+ I+ I
+2:22 L +/:22 I I-
+/:22 L +O:22 II/
+O:22 L 2:22
I/ I1
IH /
O
+2
as restricciones de personal por turno son: I+ @ IH > / I+ @ I >O I @ I- >+2 I- @ I/ >Q I/ @ I1 >+
Q
+
2:22 L /:22
I1 IH /
I1 @ IH >/ a función obeti8o para minimiar la cantidad de personal &in > I+ @ I @ I- @ I/ @ I/ @ I1 @ IH a estructura del modelo es la si7uiente: Ii > "antidad de personal por cada turno i > +, , -, /, 1, H. J :! &in > I+ @ I @ I- @ I/ @ I/ @ I1 @ IH %.a: I+ @ IH > / I+ @ I > O I @ I- > +2 I- @ I/ > Q I/ @ I1 > + I1 @ IH > / I+, I, I-, I/, I1, IH > 2 (estricción de no ne7ati8idad)
