EJERCICIOS DE PRUEBA DE CALCULO III Y VECTORIAL
Herme Soto Segura
2004
Cap´ıtulo 1
Ejercicios de prueba C´ alculo 3 y vectorial 1.1
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
1. Considere el campo escalar
f (x, y) =
x2 + y 2 x2 + y2 + 1
−1
k
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
(a) Determine para qu´e valor de k ser´a cont´ınua la func´on f en (0, 0). (b) Determine
∂f (0, 0), ∂x
∂f (0, 0) ∂y
2. Dada la funci´on: f (x, y) = 1
√ xy 3
´ 3 Y VECTORIAL 2 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
(a) Determine si los vectores unitarios u de tal modo que la derivada direccional D u f (0, 0) exista (b) Calcule la derivada direccional de f en (0, 0) para aquellos vectores
u
encontrados en la parte (a).
3. Determine la validez de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta. (a) Dada x y F ( , ) = 0, z z entonces x
∂z ∂z + y = z ∂x ∂y
(b) Si F (x,y,z) = 0,
z = f (x, y), y = g(x, z), ∂z ∂ x ∂ y h(y, z), F x , F y , F z = 0, entonces =1 ∂x ∂y ∂z
x =
· ·
4. La temperatura de una placa met´ alica en un puntos (x,y,z) est´a 2
dada por T (x,y,z) = 200e−x
−3y 2 −9z 2 .
Un insecto, sensible a la
temperatura, se encuentra sobre esta placa en el punto P (2, 1, 2).
−
(a) Determine la raz´on en que cambia la temperatura en el punto
−−→
P (2, 1, 2), en la direcci´on de P Q, donde Q(3, 3, 3).
−
−
(b) Si el insecto desea incrementar lo m´ as r´ apido posible su temperatura, en qu´e direcci´on deber´a moverse (recuerde que el insecto est´a en el punto P ). (c) Determine cual ser´a la raz´on m´axima de incremento de la temperatura en P . 5. (a) Determine la ecuaci´on de la recta que pasa por (5, 1, 0) y que es perpendicular al plano 2x
− y + z = 1.
1.1
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
3
(b) Determine los puntos en que la recta de la parte a) intersecta los planos coordenados. 6. (a) Dada la recta L : x
− 1 = y3 = z − 2, determine otra recta
paralela a L, y que est´e a una distancia de 2 unidades de L. x 1 (b) Calcule la distancia de la recta = y + 1 = z, al eje y. 2
−
7. Dada la curva α(t) = (2cos t, sen t, t) (a) Determine la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en el punto (0, 1, π2 ). (b) Dibuje la curva. (c) Determine y dibuje los vectores T, B, N , en el punto (0, 1, π2 ) (d) Determine la curvatura y torsi´on de la curva en el punto (0, 1, π2 ) 8. Determine la validez de las siguientes afirmaciones y justifique las falsas, mediante un contraejemplo: (a) El producto escalar de dos vectores unitarios es igual a 1. (b) El producto vectorial de dos vectores unitarios es un vector unitario. (c) Dos planos paralelos a un tercero son paralelos entre si. (d) Dos planos paralelos a una recta son paralelos entre si. (e) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos entre si 9. (a) Determine la validez de las siguientes afirmaciones, justikficando su respuesta. i. Si z = f (uv2 ). Entonces 2u
∂z ∂z = v ∂u ∂v
´ 3 Y VECTORIAL 4 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
ii. Si w = f ( r−s s ), entonces r
∂w ∂w +s =0 ∂r ∂s
iii. Si z = xy + f (x2 , y 2 ), entonces y
∂z ∂x
∂z = y 2 − x2 − x ∂y
(b) Si xu + yv
− uv = 0,
yu
− xv + uv = 0
con u = u(x, y), v = v(x, y). Hallar
∂u ∂u ∂v ∂v , , , , ∂x ∂y ∂x ∂y
10. (a) Determine la validez de las siguientes afirmaciones, justikficando su respuesta. i. Si z = f (uv2 ). Entonces 2u ii. Si w = f ( r−s s ), entonces r
∂z ∂z = v ∂u ∂v
∂w ∂w +s =0 ∂r ∂s
iii. Si z = xy + f (x2 , y 2 ), entonces y
∂z ∂x
∂z − x ∂y = y 2 − x2
(b) Si xu + yv
− uv = 0,
yu
− xv + uv = 0
con u = u(x, y), v = v(x, y). Hallar
∂u ∂u ∂v ∂v , , , , ∂x ∂y ∂x ∂y
11. (a) En cierta regi´on la temperatura en un punto (x,y,z), est´a dada por: T (x,y,z) = 100
− xy − xz − yz
Determine los puntos m´as frios del plano x + y + z = 10 .
1.1
5
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
(b) Una Placa tiene la forma de la regi´on limitada por las curvas y = x2
− 1, y = x, y est´a inmersa en una caja en la cual la
temperatura interior esta. da por T (x, y) = 4
− 2x2 − y2
Hallar los puntos m´as frios y m´as calientes de la placa. (c) Hallar los extremos absolutos de la funci´on 2
f (x, y) = e x
−y 2
12. Dada la relaci´ on x2 z + z 2 y 2 Determine:
∂z ∂z , . ∂x ∂y
− xy = 0
13. Sean las relaciones: u + v = 2x + y, Determine
xu + yv = 3
∂u ∂v , . ∂x ∂y
14. Determine m´aximos y minimos absolutos de la funci´on f (x, y) = 4x3
− 2x2y + y2
en la regi´on limitada por las curvas y = x 2 , y = 9. 15. Encuentre la ecuaci´on del plano tangente y recta normal a la superficie y = e x cos z en el punto (1, e, 0)
´ 3 Y VECTORIAL 6 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
16. El paraboloide z = 6
− x − x2 − 2y2, cruza el plano x = 1 en
una par´ abola. Determine la ecuaci´on de la recta tangente a esta par´abola en el punto (1,2,-4). 17. Considere el campo escalar
f (x, y) =
Determine:
3x2 y2 x4 + y 4 0
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
(a) Continuidad del campo en (0, 0). (b)
∂f (0, 0), ∂f (0, 0). ∂x ∂y
(c) Diferenciabilidad del campo f en (0, 0) 18. Determine m´aximos y/o minimos de la funci´on f (x, y) = y 3 + 3x2 y
− 3x2 − 3y2
19. Sea f (x, y) campo escalar, con derivadas parcial˜nes continuas y considere los puntos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7); D = (6, 15). La derivada direccional de f en A en direcc´on del vector
−AB −→ es 3 y la derivada direccional en
−→
A en direcci´on AC es 26.
Encuentre la derivada direccional de f en A en direcci´on del vector
−AD. −→ 20. Calcule la integral
2
2x
0
0
cos(y2 )dydx
21. Dada la funci´ on: f (x, y) = xexy
1.1
7
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
(a) Muestre que f es diferenciable en (1,0) (b) Determine la ecuaci´on del plano tangente a f en (1,0). (c) Aproxime mediante una aproximaci´on lineal f (1.1, 0.1).
−
22. Sea f (x, y) campo escalar, con derivadas parciales continuas y considere los puntos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7), D = (6, 15).
−−→
La derivada direccional de f en A en direcci´on del vector AB es 3
−→
y la derivada direccional en A en direcci´on de AC es 26. Encuentre
−−→
la derivada direccional de f en A en direcci´on del vector AD 23. Determine los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = 4xy 2
− x2y2 − xy3
en la regi´on triangular cuyos v´ertices son los puntos (0,0), (0,6), (6,0). 24. Determine los puntos de la superficie z 2 = xy + 1, que est´en m´as pr´ oximos del origen. 25. (a) Determine la ecuaci´o n de la recta que pasa por (3, 2, 7) y
−
que intersecta perpendicularmente al eje x.
(b) Determine la ecuaci´ on de la recta que pasa por A(1, 1, 1), es paralela al plano x
− y + z − 3 = 0 ,e intersecta a la recta
x = 1 y
= 3
z
=
t
(c) Sea la recta dada por la intersecci´on de los planos
3x 2x
−
y
+ z
=
0
z
=
−3
−
´ 3 Y VECTORIAL 8 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
y sea el plano x
a
− y + 4z − 2 = 0
. i. Determine, si existe, alg´un valor de a de tal modo que la recta sea paralela al plano. ii. Determine, si existe alg´un valor de
a
de tal modo que la
recta sea perpendicular al plano. 26. El plano z = y, intersecta la superficie z = x 2
− y + 2.
(a) Parametrice la curva correspondiente a dicha intersecci´on (b) Determine la ecuaci´ on de la recta tangente a dicha curva en el punto (0, 1, 1). (c) Determine(si es que existen) los puntos en que esta curva intersecta a los planos coordenados. 27. (a) Determine la ecuaci´on de la recta que pasa por (5, 1, 0) y que es perpendicular al plano 2x
− y + z = 1.
(b) Determine los puntos en que la recta de la parte a) intersecta al plano que contiene al punto (1, 2, 1) y al eje x.
28.
− y (a) Dada la recta L : x − 1 = = z − 2, determine otra recta 3
paralela a L, y que est´e a una distancia de 5 unidades de L. x 1 (b) Calcule la distancia de la recta = y + 1 = z, al eje z. 2
−
29. Dada la curva α(t) = (cos t, 2sen t,t) (a) Determine la ecuaci´on de la recta tangente a la curva en el punto (0, 2, π2 ).
1.1
9
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
(b) Dibuje la curva. (c) Determine y dibuje los vectores T, B, N , en el punto (0, 1, π2 ) (d) Determine la curvatura y torsi´on de la curva en el punto (0, 1, π2 ) 30. Considere el campo escalar
f (x, y) =
x3 y xy3 x2 + y 2 0
−
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
(a) Determine f x (x, y), f x (0, 0), f y (0, 0). (b) Determine f xy (0, 0), f yx (0, 0) 31. Descomponga el n´umero 120 en tres enteros positivos x, y, z tal que el producto xy2 z sea m´aximo 32. Determine la valid´ez de las siguientes afirmaciones y justifique brebemente su respuesta. (a) Si f es un campo que tiene un minimo local en (a, b) y es diferenciable en (a, b) entonces f (a, b) = 0. x y 1 1 (b) lim = lim = y2 (x,y)→(1,1) x + y 2 (x,y )→(1,1) x2
∇
− −
(c) Si f (x, y) = Ln y, entonces
∇f (x, y) = 1 y
(d) Si (2, 1) es punto critico de f y f xx (2, 1)f yy (2, 1) < [f xy (2, 1)]2 , entonces f tiene un punto silla en (2, 1). 33. (a) La temperatura en un punto (x,y,z) del espacio est´a dada por T (x,y,z) = 4x2
− y2 + 16z2.
i. Calcular la raz´on de cambio de T en el punto (4, 2, 1) en la direcci´on del vector u = (2, 6, 3).
−
−
´ 3 Y VECTORIAL 10 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
ii. ¿En qu´e direcci´on aumenta o disminuye m´as r´apidamente T en (4, 2, 1)?.
−
iii. ¿Cu´al es la m´axima raz´on de cambio correspondiente?. (b) Suponga que z = f (x, y), x = g(s, t), y = h(s, t), g(1, 2) = 3, ∂g (1, 2) ∂s ∂h (1, 2) ∂t
=
∂g (1, 2) = 4, h(1, 2) ∂t ∂f (1, 2) = 7, ∂f (1, 2) = ∂x ∂y
− 1,
= 10,
∂h (1, 2) = ∂s Calcule: ∂z , ∂z , ∂s ∂t
= 6, 8,
−5, en
s = 1, t = 2 (c) Si yz 4 + x2 z 3 = e xyz , hallar
∂z ∂z , ∂x ∂y
34. Determine los m´ aximos y minimos absolutos de la funci´on f (x, y) = x 2
− 2xy + 2y sobre el rect´angulo D = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2} 35. Considere el s´olido D, limitado inferiormente por el plano z = 1, y superiormente el paraboloide z = 4
− x2 − y2.
(a) Exprese el volumen delm s´olido D, en coordenadas rectangulares, cil´ındricas y esf´ericas (b) Exprese
·
f dσ, donde f (x,y,z) = (y, 0, x), y S es la
−
S
superficie que limita al s´olido D. 36. Sea la transformaci´on T (u, v) = (u + v, u
− v).
(a) Complete la integral de la derecha y calc´ulela 1
0
{
x
0
(x + y)dydx =
}
{
{
}
{
} }
{
}dudv
(b) De acuerdo a las integrales anteriores, determine y dibuje la regi´ on de integraci´on en los planos xy y uv.
1.1
11
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
37. Sea S la superficie parametrizada por r(u, v) = (ucos v, usen v,v ), π con (u, v) R = [0, 1] [0, ]. Exprese f dα, donde C es el 2 C borde de la superficie S , con f (x,y,z) = (z,x,y).
∈
·
×
38. Considere el s´olido D, limitado inferiormente por el plano z = 1, y superiormente el paraboloide z = 4
− x2 − y2.
(a) Exprese el volumen delm s´olido D, en coordenadas rectangulares, cil´ındricas y esf´ericas (b) Exprese
·
f dσ, donde f (x,y,z) = (y, x, 0), y S es la
−
S
superficie que limita al s´olido D. 39. Un
objeto
se
mueve
en
el
campo
de
fuerzas
f (x, y) = (y 2 , 2xy + 2y); en el sentido antihorario desde el punto (2, 0) sobre el camino eliptico x 2 + 4y 2 = 4 hasta el punto ( 2, 0)
−
y luego vuelve al punto (2, 0) moviendose sobre el eje x. ¿Cu´al es el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el objeto? 40. Dado el campo vectorial f (x,y,z) = (exy yz,exy xz,exy ) (a) Demuestre que el campo es conservativo. (b) Encuentre una funci´on potencial φ(x,y,z), de modo que f
∇φ =
(c) Encuentre el trabajo realizado por el campo f para mover un objeto desde el punto P (1, 1, 1) hasta el punto Q(2, 1, 0). 41. Considere el campo escalar
f (x, y) =
x2 y x2 + y 2 0
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
´ 3 Y VECTORIAL 12 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
(a) Determine si f es diferenciable en (0, 0) (b) Determine D u f (0, 0) para u que tiene la misma direcci´on que el vector
v
= (1, 1)
42. Dadas las rectas L1 :
x a
− 3y + 6 = 0 , y − 3z + 3 = 0
L2 :
x
− 2 y + 4 − 1 = 0 2y − z − 4 = 0 a
(a) Determine, si es posible, los valores de
a
a
para los cuales las
a
para los cuales las
a
para los cuales las
rectas son paralelas. (b) Determine, si es posible, los valores de rectas se intersectan. (c) Determine, si es posible, los valores de
rectas est´an contenidas en un mismo plano, y determine en este caso la ecuaci´on del plano. 43. Considere la funci´on f (x, y) = (a) Muestre que f (x, y) de cero.
1 1+x
−y
≈ 1 − x + y, cuando x e y est´an pr´oximos
(b) Determine si es que es posible darle alg´un valor a la funci´on en el punto (1,2) de tal modo que f (x, y) tenga posibilidad de ser cont´ınua, diga qu´e valor le daria, en caso de que se pueda. 44. Considere el campo escalar
f (x, y) =
xy2 x2 + y 4 0
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
1.1
13
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
(a) f x (0, 0), f y (0, 0) (b) Probar que D u f (0, 0) existe para cualquier direcci´on dada por un vector unitario u. (c) Determine si f es diferenciable en (0, 0) 45. La forma de una colina viene dada por la funci´on f (x, y) = 200
− y2 − 4x2
¿En qu´e direcci´on se mover´a la lluvia que cae sobre el punto (1, 1, 195). (x 46. Determine si existe o no lim (x,y )→(1,1) (x tivo, calc´ulelos:
− 1)2Ln x , en caso afirma− 1)2 + y2
47. El plano x + y + z = 12 corta al paraboloide z = x2 + y 2 en una elipse. Hallar el punto de dicha elipse que est´ a m´ as pr´oximo del origen. 48. Ud.
est´a encargado de instalar un radiotelescopio en un plan-
eta recientemente descubierto.
Para minimizar la interferencia,
Ud. quiere situarlo donde el campo magn´ etico del astro sea m´ as d´ebil. El planeta es esf´erico con radio
√ 38 unidades.
Considere
un sistema de coordenadas rectangulares con origen en el centro del planeta, la intensidad del campo magn´ etico est´ a dada por M (x,y,z) = 6x rediotelescopio?.
− y + z + 60.
Indique donde deber´ıa instalar el
49. Considere el campo escalar
f (x, y) =
2xy 3 x2 + 8y 6 0
, si(x, y) = (0, 0)
, si(x, y) = (0, 0)
´ 3 Y VECTORIAL 14 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
(a) f x (0, 0), f y (0, 0) (b) Determine si f es cont´ınua en (0, 0) 50. En cada punto (x, y) de un plano, la temperatura est´ a dada por la funci´on T (x, y) = 1
− y2 − 4x2
Un insecto friolento est´a situado en el punto (1, 2). ¿En qu´e direcci´on se debe mover para estar lo m´ as caliente posible?. 51. Sea la funci´ on z , que depende de las variables x e y, dada por ecuaci´on F (x
− az,y − bz) = 0. Demuestre que se satisface: a
∂z ∂z + b =1 ∂x ∂y
. 52. (a) Determine
los
f (x, y) = xy 2 (4
extremos
absolutos
de
la
funci´on
− x − y), en el conjunto R dada por la regi´on
triangular en el plano xy con v´ertices (0, 0), (0, 6) y (6, 0). (b) Encuentre el m´ aximo de la funci´on f (x,y,z) = x + 2y + 3z, sobre la curva de intersecci´on del plano x cilindro x 2 + y2 = 1.
− y + z = 1 con el
53. Calcule la integral 1
|y|
−1 0
y sen( )dxdy x
54. Considere el s´olido D limitado en el primer octante por los cilindros x2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1.
1.1
15
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
(a) Exprese el volumen de dicho s´olido en coordenadas rectangulares completanto los l´ımites de integrac´o n y la funci´on a integrar seg´un se indica
i)
{
}dy dx,
ii)
{
}dx dz
(b) Calcule el volumen del s´olido. v v 2 55. Considere la transformaci´ on T (u, v) = ( , ) = (x, y). u u 2 Sea T (D) = (x, y)/x 1, x y 4x2 , y 9 .
{
≥
≤ ≤
≤ }
(a) Determine y dibuje en el plano uv, la regi´on D 1 (b) Calcule la integral dxdy, utilizando la transformaci´on T (D) x
T (u, v) 56. Dada la regi´on R = (x, y)
{
∈ IR2/0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ √ 3},
exprese su ´area mediante una integral doble en coordenadas polares 57. Calcule la integral 1
1
−1 |y |
cos(
πy )dxdy 2x
58. Sea W la regi´on en el primer octante de IR3 acotada por los planos x = 0, z = 0, x + y = 2, x + 2y = 6 y el cilindro x 2 + z 2 = 4. (a) Exprese la integral
f (x,y,z), completanto los l´ımites
W
de integraci´on en el orden que se indica.
i)
f (x,y,z)dzdxdy,
ii)
f (x,y,z)dydxdz
´ 3 Y VECTORIAL 16 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
(b) Calcule el volumen del s´olido W . 59. Sea
D la
regi´on
del
IR3
espacio
dentro
de:
x2 + y2 = 4, y fuera de: 25(x2 + y2 ) = z 2 . (a) Escriba la integral
D
y esf´ericas (b) Calcule
60. Calcule
dxdydz x2 + y 2
D
dxdydz en coordenadas cil´ındricas x2 + y 2
2xydx + (x2 + y 2 )dy, siendo C el arco de la elipse
C
x2 y2 + = 1, que va desde el punto (0, 4) a (5, 0), recorrido en 25 16 sentido horario. 61. Sea W la regi´on en el primer octante de IR3 acotada por los planos x = 0, z = 0, x + y = 2, x + 2y = 6 y el cilindro x 2 + z 2 = 4. (a) Exprese la integral
f (x,y,z), completanto los l´ımites
W
de integraci´on en el orden que se indica.
i)
f (x,y,z)dzdxdy,
ii)
f (x,y,z)dydxdz
(b) Calcule el volumen del s´olido W . (c) Hallar los extremos relativos y/o puntos silla si es que existen para la funci´on f (x, y) = x 3 + y 2
− 6xy + 6x + 3y
(d) Considere el s´olido D limitado en el primer octante por los cilindros x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1.
1.1
17
Ejercicios de c´ alculo en varias variables
i. Exprese el volumen de dicho s´olido en coordenadas rectangulares completanto los l´ımites de integrac´on y la funci´on a integrar seg´un se indica
i)
{
}dy dx,
ii)
{
}dx dz
ii. Calcule el volumen del s´olido. (e) Considere el s´olido D ubicado sobre el plano z = 0, y limitado por el cono 9x2 + z 2 = y 2 , y el plano y = 9. Exprese el volumen de dicho s´olido, mediante integral doble o triple. (f) Dada la siguiente suma de integrales √
2 2
0
1
arcsen y
0
dxdy +
arccos y
√
2
2
dxdy
0
Expresela como una sola integral, invierta el orden de integraci´ on y calcule el valor de la integral. (g) Considere el s´olido D limitado en el primer octante por los cilindros x 2 + z 2 = 1, y 2 + z 2 = 1. i. Exprese el volumen de dicho s´olido en coordenadas rectangulares completanto los l´ımites de integrac´on y la funci´on a integrar seg´un se indica
i)
{
}dy dx,
ii. Calcule el volumen del s´olido.
ii)
{
}dx dz
´ 3 Y VECTORIAL 18 Cap. 1: EJERCICIOS DE PRUEBA C ALCULO
(h) Considere el s´olido D ubicado sobre el plano z = 0, y limitado por el cono 9x2 + z 2 = y 2 , y los planos y =
−9,
y = 9.
Exprese el volumen de dicho s´olido, mediante integrales doble o triple y usando coordenadas ci´ındricas y esf´ericas 62. Sea
D la
regi´on
del
espacio
IR3
dentro
de:
x2 + y2 = 4, y fuera de: 25(x2 + y2 ) = z 2 . (a) Escriba la integral
D
y esf´ericas (b) Calcule
63. Calcule
dxdydz x2 + y 2
D
dxdydz en coordenadas cil´ındricas x2 + y 2
2xydx + (x2 + y 2 )dy, siendo C el arco de la elipse
C
x2 y2 + = 1, que va desde el punto (0, 4) a (5, 0), recorrido en 25 16 sentido horario.
