EJERCICIOS PROPUESTOS: PRUEBA DE HIPÓTESIS
7.En función de la información disponible, la dirección de un centro de secundaria ha establecido que la media de horas semanales dedicadas al estudio por el alumnado de ese centro al estudio es superior a 15horas,con una desviación típica iguala 1 hora. Durante el presente curso el departamento de Letras quiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello exige una muestra aleatoria de 150 alumnos, obteniendo una media muestral de 12.7 horas ¿Puede afirmarse, con un nivel de confianza del 90% que ha disminuido el tiempo medio dedicado al estudio por los alumnos y alumnos del centro?
1. Para estimar el rendimiento de parcelas plantadas con papa de una cierta variedad, se cosecharon ocho de ellas, obteniéndose la siguiente información expresada en kg/parcela: 4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8 ¿Se puede asegurar, con alfa =0,05, de que esta variedad de papas tiene un rendimiento promedio de 5,25 kg? 2. En una población la desviación típica es 29 contrasta la hipótesis que 347 con un nivel de significación del 1%, mediante una muestra de 200 individuos en la que se obtiene
8. Supongamos que un agente de compras desea adquirir un artículo y que ha decidido hacerlo al tomar una muestra sin reemplazo de tamaño 40, de un lote de 200 unidades, encuentra evidencias para concluir que el peso promedio es mayor de 45 kilogramos, cuando utiliza 0.05 . Si se conoce que los pesos tienen una distribución normal con una desviación estándar de 25 kilogramos y en realidad 48 ,hallar la probabilidad de cometer error tipo II y la potencia de prueba.
X 352
3. Los siguientes datos corresponden a la longitud medida en centímetros de 18 pedazos de cable sobrantes en cada rollo utilizado: 9, 3,41, 6,13, 1,99, 6,92, 3,12, 7,86, 2,01, 5,98, 4,15, 6,87, 1,97, 4,01, 3,56, 8,04, 3,24, 5,05, 7,37. Basados en estos datos ¿podemos decir que la longitud media de los pedazos de cable es mayor de 4 cm? Suponga población normal y tome el nivel de significancia 0,05. La proposición cuya validez o invalidez queremos probar es "la longitud promedio de los pedazos de cable es como mucho 4 cm."
9. El director de una biblioteca universitaria, afirma que el número medio de libros que pide prestado semanalmente cada estudiante ha cambiado últimamente. Anteriormente se prestaba una media de 3.4 libros semanales por alumno. En una muestra reciente de 40 estudiantes la media semanal fue de 4.3 libros con una desviación estándar de 1.5 libros. Al nivel de significación del 1% a. ¿Ha cambiado la media de préstamos semanales por alumno? b. Hallar el valor p de la prueba c. Si actualmente la media real fuera de 4.2 libros, ¿Cuál sería la probabilidad de cometer el error tipo II si se usa esta prueba?
4. Un agrónomo mide el contenido promedio de humedad en cierta variedad de trigo que fue secado especialmente en una muestra de 16 toneladas: 7.2, 6.8, 7.3, 7, 7.3, 7.3, 7.5, 7.3, 7.4, 7.2, 7.6, 7.1, 7.4, 6.7, 7.4, 6.9. Si el promedio de humedad excede de 7,1 el secado debe continuar. ¿Debería continuarse con el proceso de secado, de acuerdo con esta evidencia? Tome un nivel de significancia del 5%.
10. Los inspectores de INDECOPI al investigar las cargas levantadas contra una embotelladora de bebidas de que no llena adecuadamente las botellas, han tomado una muestra de 100 botellas y encontraron que el contenido tiene una media de 31.65 onzas con una desviación estándar de 2 onzas. Las botellas indican en su etiqueta que contienen 32 onzas al nivel de significación del 2% a. ¿Deberían los inspectores concluir que las botellas están siendo llenadas de menos contenido que el indicado? b. Hallar el valor p de la prueba. c. Si realmente la media es de 31 onzas, encontrar la probabilidad del error tipo II
5. En los folletos de propaganda una empresa afirma que las bombillas que fabrican tienen una duración media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la información de los folletos con un nivel de confianza del 95% 6. Según la normativa de contaminación atmosférica, los motores de los automóviles no deben emitir más de 5ppm (partes por millón) de CO 2.Dentro de sus procesos de control de calidad, un fabricante ha medido la emisión de CO2 en una muestra de 36 motores, obteniéndose una media de 5.5 ppm y una desviación típica de 0.6 ppm. Contrasta, con un nivel de significación igual a 0.05, la hipótesis de que los motores de este fabricante cumplen en media la normativa sobre contaminación.
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11. Una encuesta revela que los 100 autos particulares, que constituyen una muestra aleatoria, se condujeron a un promedio de 2400km.Con base en esta información, docimar la hipótesis donde, en promedio, los autos particulares se condujeron a 12000 km durante un año, frente a la alternativa de que el promedio sea superior. Utilizar el nivel de significación del 0.05.
El comerciante se encuentra temeroso de comprar un producto de bajo precio, por lo cual ha decidido efectuarla compra solamente si al tomar una muestra de tamaño 40, encuentra evidencias para concluir que el peso promedio es mayor del especificado, para 0.05 .Si los pesos tienen una distribución aproximadamente normal con una desviación estándar de 24 kilogramos, determinar la función de potencia
12. El control de calidad de una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica. ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 1%?
17. Los estatutos ambientales aplicables a una planta nuclear, especifican que la temperatura media del agua reciclada no debe exceder los 84 °F. En una muestra de tamaño 25 se encuentra que la temperatura del agua reciclada tiene una media de 88.6°F y una desviación estándar de 12°F.Se ha determinado que la temperatura del agua reciclada puede modelarse con una distribución normal. A un nivel de significación del 5% ¿diría usted que la planta excede las limitaciones del estatuto?
13. La duración de las bombillas de 100 Watts que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01 ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?
18. En una embotelladora la desviación estándar de la cantidad de líquido llenado debe ser menor que 0.1 onzas. El supervisor del control de calidad tomó una muestra de 12 botellas y encontró que la cantidad de líquido llenado tenía una desviación estándar muestral de 0.07 onzas. A un nivel de significación del 10% ¿Se puede aceptar que hay evidencia suficiente de que la desviación estándar de la cantidad del líquido llenado es menor que 0.1 onzas? Suponga que la distribución de la cantidad de líquido llenado en las botellas se distribuye normalmente.
1 4 . Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tendrá una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?
19. Los empleados de la compañía P&G sostienen que ellos en promedio completan una determinada tarea en a lo más 70 minutos. Sin embargo el Gerente general cree utilizan un tiempo mayor en perjuicio de la compañía. Para terminar con el problema, él realizó un estudio estadístico escogiendo una muestra de 36 tareas de los empleados en la que encontró una media de 72 minutos con una desviación estándar de 4.8 minutos. Resuelva usted las siguientes preguntas
15. Los depósitos mensuales en dólares, en una entidad bancaria sigue una distribución normal de media y desviación típica 5.1.Con el fin de contrastar si la media de los depósitos mensuales es $20 se toma una muestra de tamaño 16 resultando ser la media muestral $22.4 ¿se puede aceptar la hipótesis de que la media es 20 a un nivel de significación del 5%?
a. Plantee las afirmaciones de los empleados y el gerente como hipótesis a docimar e indique la estadística apropiada de la prueba. b. Si el gerente de la compañía decide dar la razón a los empleados sólo si el tiempo promedio de la muestra no supera cierto valor k ¿Cuánto es el valor de k, al nivel de significación alfa=0.05? c. ¿Cuál es la decisión del gerente de la compañía? d. ¿Con qué probabilidad el cometerá el error tipo II si realmente 72.34 ?
16. Suponga que un comerciante desea adquirir un artículo, el cual según las especificaciones del fabricante presenta un peso neto promedio de 800 gramos.
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20. Un fabricante afirma que el consumo promedio de gasolina de su motor es menos de 4 galones por tarea fija. Pero los usuarios contradicen al fabricante. Si a usted le piden su opinión estadística aplicando la siguiente muestra al Azar de los consumos (en galones) por tarea de 15 unidades de motor 4.25 3.45 4.05 3.8 3.5 4 3.75 2.5 6.1 2.5 2.5 3.4 3.2 2.8 5 ¿Cree usted que los consumidores tienen la razón? Asuma supuestos del método y use la probabilidad de error tipo I igual a 0.05
para regular la máquina. Si el peso en gramos Xi de 10 cajas seleccionadas al azar de la producción ha dado las siguientes estadísticas 10
10
i 1
i 1
X i 1580 , X i2 249658 ¿es razonable detener la producción? Use el nivel de significación alfa=0.01 y una prueba unilateral cola izquierda, asumiendo los supuestos del método si fuera necesario.
21. La cadena Kentucky emite su propia tarjeta de crédito. la gerente de crédito, quiere encontrar si la media mensual de saldos no pagados es mayor que $400.El nivel de significancia es de 0.05.Una revisión al azar de 172 saldos reveló que la media muestral es $407 y la desviación estándar muestral es $38 ¿La gerente debe concluir que la población media es mayor que $400? o es razonable suponer que la diferencia de $7 ($407- $400) se debe al azar?
PH PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 1. Varianzas conocidas. Se llevó a cabo un estudio para comparar el tiempo que toma a los hombres y mujeres efectuar determinada maniobra en una línea de ensamble. Se utilizaron muestras independientes e 50 hombres y 50 mujeres en un experimento en el cual se tomaba a cada persona el tiempo para hacer tareas idénticas. Los resultados fueron los siguientes: Datos N 2 x
22. Supongamos que una máquina empacadora de harina produce bolsas con un contenido de 50 kg. Para controlar el funcionamiento de la máquina se tomó una muestra de 20 bolsas de harina y el peso medio resultó ser de 42 kilogramos con un desvío estándar de 11 kilogramos. ¿Está la máquina trabajando correctamente? (α= 0.10)
Hombres1 Mujeres2
50 50
18 14
42s 38s
¿Presentaron estos datos la evidencia suficiente como para decir que hay una diferencia entre los verdaderos tiempos de terminación para hombres y mujeres? A un nivel se significancia del 5%
23. Un proceso automático de llenado de frascos de un producto tiene la siguiente especificación del contenido: media 20 onzas y desviación estándar de 0.6 onzas. En forma periódica un ingeniero controla la especificación de la media seleccionando una muestra de 36 frascos del producto y concluye que el proceso está fuera de control si la media de los contenidos de la muestra está afuera del intervalo (19.85;20.15) En caso contrario, concluye que el proceso está controlado
2. Varianzas desconocidas iguales. El diseñador de una troqueladora nueva de lámina afirma que su máquina puede trabajar con determinado producto con más rapidez que la máquina que está en uso. Se hicieron nueve ensayos independientes troquelando el mismo artículo en cada máquina y se obtuvieron los siguientes resultados de tiempos de terminación Máquina normal Máquina nueva n1=9 n2=9
a. Formule la hipótesis nula y alternativa de este problema de decisión. b. Describa en qué consiste los errores tipo I y tipo II c. Indique la estadística apropiada para esta prueba d. Calcule la probabilidad alfa de cometer el error tipo I e. Calcule la probabilidad beta de cometer error tipo II cuando la verdadera media sea 20.4 onzas. f. Si el ingeniero quiere alfa=0.05 y beta=0.10 cuando la verdadera media del proceso es 20.3 ¿qué tamaño de muestra requiere?
x =35.22 (n1-1)S21=195.50
x =31.56seg (n2-1)S22=160.22
Aquí S21=27.72 y S22=17.8.al nivel de significación del 5% ¿puede respaldar la afirmación del diseñador? Asuma que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.
24. Las cajas de avena llenadas por un proceso automático deben tener un contenido de 160 gramos en promedio, si no es así, debe detenerse la producción
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3. Varianzas desconocidas distintas. Muchos estudiantes se han quejado de que la máquina vendedora de refrescos A despacha menos bebidas que la máquina B. Los siguientes son los datos de las muestras Máquina A n1=10 x 1=5.38 S21=1.59 Máquina B
n2=12
Al nivel de significación del 5% y realizando los supuestos necesaria ¿Cuál sería la decisión de la firma si el criterio de la selección es el menor promedio de porcentajes de impurezas por saco? Realice una prueba de hipótesis unilateral.
2 x 2=5.92 S 1=0.83
8. Existen dos tipos de plásticos apropiados para el uso de un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de este plástico es un parámetro importante. Se sabe que Plástico1 x =155.0 n1=10 =1
Con alfa=0.05 ¿respalda la evidencia la hipótesis de que la cantidad media despachada por la máquina es menor que la despachada por la máquina B?
1
4. El salario medio semanal de una muestra de n 1=30 empleados de una gran firma es X 1 $180 .00 con una desviación estándar de s1=$14.00 .En otra gran firma una muestra aleatoria de n2=40 empleados tiene un salario medio de X 2 $170 .00 con una desviación estándar de s2=$10.00.No se puede suponer que las desviaciones estándar de las dos poblaciones de montos de salarios son iguales. Probar la hipótesis de que no hay diferencia entre los dos montos medios de los salarios en las dos firmas, utilizando un nivel de significación del 5%.
Plástico2
x =162.5 n2=12 2 =1
La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de este exceda a la del plástico 2 al menos por 10psi.Con base a la información contenida en la muestra ¿la compañía debería utilizar el plástico1? Utilizar alfa=0.05 para llegar a una decisión 9. En un colegio mixto, una prueba que consiste en armar rompecabezas, fue aplicada a 21 estudiantes hombres y 17 mujeres, seleccionados al azar. Los tiempos en la prueba, en minutos mostraron x =16 y s=2.0 para los jóvenes y
5. Antes de ver los resultados de la muestra del ejemplo 1 , un analista creía que el salario medio de la primera firma era mayor que el de la segunda. Para someter su afirmación a una prueba crítica, el analista da el beneficio de la duda a la posibilidad opuesta y formula la hipótesis nula de que el salario promedio en la primera firma es igual o menor que el promedio de la segunda firma. Probar esta hipótesis a un nivel de significación del 1% sin suponer que las desviaciones estándar de las dos firmas son iguales.
x =14.5 y s=1.8 para las mujeres. a. ¿Puede concluirse que la capacidad para completar el rompecabezas difiere entre hombres y mujeres? b. Si hubiera que realizar una tarea industrial similar a la del rompecabezas ¿Cuál sería un intervalo e confianza de 90% para el tiempo que se ahorraría usando mujeres en lugar de hombres para realizar la tarea? Calcúlelo e interprételo.
6. Para una muestra aleatoria de n1=10 bombillos, la vida útil media del bombillo fue X 1 4000 hr con s1=200 .Para otra marca de bombillos, cuya vida útil se supone también normalmente distribuida, una muestra aleatoria de n2=8 tiene una media de la muestra de X 2 4300 hr con s2=250.Probar la hipótesis de que no hay diferencia entre la vida útil media de operación de las os marcas de bombillos, empleando un nivel de significación del 1%.
10. En un estudio sobre la eficacia de ciertos ejercicios para reducir d peso un grupo de 16 personas hicieron estos ejercicios durante un mes y mostraron los siguientes resultados. Peso antes Peso después Peso antes Peso después 211 198 172 166 180 173 155 1545 171 172 185 181 214 209 167 164 182 179 203 201 194 192 181 175 160 161 245 233 182 182 146 142
7. Una firma exportadora debe decidir exportar café de A: Chanchamayo o B: San Martín. Para tomar una decisión escogió os muestras independientes, una de 11 sacos de A y otra de 10 sacos de B encontrando los siguientes porcentajes de granos con impurezas por saco de café de 50 kg: A: 2 4 6 7 7 7 8 8 9 9 10 B :2 2 3 3 3 4 4 5 6 8
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d. Si se encuentra en la muestra que un 24% de los entrevistados están dispuestos a matricularse en el seminario ¿Cuál sería su decisión acerca de desarrollar el proyecto? Use alfa= 0.05. e. Cambiaría su respuesta si supiera que la población que está siguiendo estudios de secundaria está creciendo muy rápidamente? ¿Por qué?
Use el nivel 0.05 de significancia para probar la hipótesis de diferencia de medias y así juzgar si los ejercicios son eficaces en la reducción de peso. 11. Los siguientes son las pérdidas semanales promedio de horas de trabajo a causa de accidentes en 10 plantas industriales antes y después de poner en operación cierto programa de seguridad Antes 45 73 46 124 33 57 83 34 26 17 después 36 60 44 119 35 51 77 29 24 11 Pruebe si el programa de seguridad es eficaz a una significancia de 0.05
4. Una compañía petrolera afirma que menos de 20% de los propietarios de autos no han probado su gasolina. Pruebe esta afirmación en el nivel0.01 de significancia si una comparación aleatoria revela que 22 por 200 propietarios de autos no han probado la gasolina de la compañía.
PH DE UNA PROPORCION
PH DIFERENCIA DE PROPORCIONES
1. Se debe reparar una máquina en una fábrica cuando produce más de 10% de piezas defectuosas en un gran lote de artículos producidos diariamente. Una muestra aleatoria de 100 artículos de la producción del día contiene 15 piezas defectuosas y el supervisor dice que se debe reparar la máquina ¿La
1. Un vendedor de una nueva marca de radios afirma que el número de aparatos defectuosos en sus lotes de producción será no mayor que el de un competidor Se toman muestras aleatorias de ambos productos para contrastar esta aseveración. Producto N° defectuosos N° revisados Del vendedor1 8 100 Del vendedor2 2 100 ¿Puede rechazarse la afirmación del vendedor al nivel de significación 0.05?
evidencia de la muestra respalda su decisión al nivel valor p para esta prueba.
0.01 .Calcule
el
2. En el 2000 en cierto país se reportó que dos de cada cinco personas pensaban que debería incrementarse el poder nuclear. En una encuesta reciente realizada en el 2006 a 1225 personas se encontró que 478 de ellas pensaban que debería aumentar el poder nuclear a. Encontrar un IC al 90% para la proporción poblacional en el 2006 b. Piensas que hay evidencia de que la opinión de la gente en 2006 ha cambiado con respecto a l 2000? Justificar su respuesta c. Calcular el p-valor
2. Supongamos que un fabricante necesita cierta pieza que puede ser proporcionada por dos abastecedores A y B, a un mismo precio. Las piezas de A son defectuosas con probabilidad p1 y las de B con probabilidad p2. Supongamos además que de 100 piezas del proveedor A se encontraron 10 piezas defectuosas, mientras que de 150 del proveedor B se encontró 11 defectuosas. ¿Cuál es el proveedor con menor proporción de piezas defectuosas?
3. Un instituto técnico está interesado en desarrollar un seminario de preparación para el examen de admisión universitario.de acuerdo con sus cálculos paraqué ese proyecto sea rentable y pueda ser establecido, se necesita más de un 20% de los bachilleres que se graduarán este año y el siguiente decidan tomar el seminario. Para llegar a una decisión, decide realizar una encuesta entre 200 estudiantes de 4to y 5to año de los colegios del país. a. En este caso particular ¿Cuál será la hipótesis nula y la hipótesis alterna? b. ¿Cuál sería el error de tipo I y cuál sería el error de tipo II? c. ¿Cuáles de estos errores consideras que es más importante en este caso?
3. Un agente de ventas por teléfono, trata de decidir entre dos ofertas alternativas de venta, y cambia de manera aleatoria entre ellas durante un día de llamadas. Con el método A, 20% de 100 llamadas condujeron a solicitudes de envío de información adicional de producto. Para el método B en otras 100 llamadas, sólo 14% condujeron a solicitudes de envío de información del producto .con un nivel de 0.05 a. ¿Podemos concluir que la diferencia en los resultados se debió a una casualidad? b. Determine e interprete el valor p para esta prueba c. Construya e interprete un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de proporciones.
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