UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL ´ ESCUELA PROFESIONAL DEL MATEMATICA ´ EJERCICIOS DE CALCULO DE PROBABILIDADES I Prof. V.Contreras T. 1. Sea F una σ - ´algebra de subconjuntos de Ω. Demuestre que la colecci´on Fc = {F c / F ∈ F} es una σ - ´algebra. Compruebe que Fc y F coinciden. 2. Sean Ω1 y Ω2 dos conjuntos arbitrarios, y sea X : Ω1 → Ω2 una funci´on en donde (Ω2 , F2 ) es un espacio medible. Demuestre que la siguiente colecci´on es una σ - ´algebra de subconjuntos de Ω1 X −1 F2 = {X −1 F / F ∈ F2 } 3. F1 y F2 dos σ - ´algebras de subconjuntos de Ω tales que F1 ⊂ F2 . Demuestre que F1 ∪ F2 . 4. Sea = un σ - ´algebra de subconjuntos de Ω y supongamos que B ∈ =. Muestre que ℵ = {A ∩ B : A ∈ =} es un σ− ´algebra de subconjuntos de B 5. Sea = un σ− ´algebra de conjuntos de un espacio muestral y sea {An } una colecci´on numerable de elementos de =. Demuestre que si se define ∞ B = l´ım inf An = ∪∞ n=1 ∩k=n Ak n→∞
entonces es B ∈ = 6. Si Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, ..., 6} ¿es la familia de conjuntos β = {A ⊂ Ω : (2, 4) ∈ A} es un σ− a´lgebra ? 7. Sea Ω = {x real : 0 ≤ x ≤ 1}. ¿Es σ− ´algebra de la familia definida como la colecci´on de todos los intervalos no degenerados que son subconjuntos de Ω?. ´ 8. Algebra ; σ-´algebra. Sea Ω = (0, 1] y defina la colecci´on F de subconjuntos de la forma n [ (ai , bi ], 1
en donde (ai , bi ] ⊂ (0, 1] con (ai , bi ] ∩ (aj , bj ] = φ para i 6= j y n ∈ N. Demuestre que F es una ´algebra pero no una σ - ´algebra. 1
9. Determine completamente un espacio de probabilidad (Ω, F, P ) para el experimento aleatorio de a) lanzar una moneda equilibrada. b) lanzar un dado equilibrado. c) escoger al azar un numero real dentro del intervalo unitario [0, 1]. d ) extraer dos bolas de una urna en donde hay dos bolas blancas y dos negras. e) lanzar una moneda honesta repetidas veces hasta que hayan aparecido ambas caras. 10. Considere el espacio (N, 2N ). Demuestre en cada caso que P es una medida de probabilidad para cada A ∈ 2N defina: P a) P (A) = n∈A 2/3n P b) P (A) = n∈A 1/2n 11. Sea P una medida de probabilidad definida sobre la σ-´algebra F. Demuestre que la colecci´on {A ∈ F : P (A) = 0 o P (A) = 1} es una sub σ-´algebra de F 12. Demuestre que P (A ∩ B) − P (A)P (B) = P (Ac )P (B) − P (Ac ∩ B). 13. Demuestre que P (A∩B) ≤ min{P (A), P (B)} ≤ P (A) ≤ max{P (A), P (B)} ≤ P (A ∪ B). 14. Demuestre que P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (Ac ∩ B) + (Ac ∩ B c ∩ C). 15. Demuestre que ∞ [ P ( Ai ) = P (A1 ) + P (Ac1 ∩ A2 ) + P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) + ... 1
+P (Ac1 ∩ ... ∩ Acn−1 ∩ An ) + ... 16. Dados los espacios de probabilidad (Ω , = , P1 ) y (Ω , = , P2 ), a) ¿Es una funci´on probabilidad aP+ bP2 ? b) Demuestre que la funci´on aP1 + bP2 con a y b n´ umeros reales no negativos cuya suma es igual a 1, es una funci´on probabilidad. 2
17. Muestre que la probabilidad que exactamente uno de los eventos A y B ocurra es P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B) 18. Sea B1 , B2 , ..... una partici´on dl espacio muestral Ω , cada B − i tiene probabilidad positiva, muestre que P (A) =
∞ X
P (A / Bj )P (Bj )
j=1
19. Pruebe las desigualdades de Boole P (∪ni Ai )
≤
∞ X
P (Ai )
,
P (∩ni Ai )
≥1−
i=1
∞ X
P (Aci )
i=1
20. Se lanza una moneda honesta una infinidad de veces. Demuestre que la probabilidad de que eventualmente cada una de las dos caras aparezca es uno. 21. Se lanza un dado equilibrado una infinidad de veces. Demuestre que la probabilidad de que eventualmente cada una de las seis caras aparezca es uno. 22. En una mesa se distribuyen 52 cartas en 4 grupos iguales. Calcule la probabilidad de que cada jugador tenga un As. 23. Dos de 4 v´alvulas de un aparato que funcionan independientemente han fallado. Halle la probabilidad de fallo de las v´alvulas primera y segunda, si las probabilidades de fallo de las v´alvulas primera, segunda tercera y cuarta son respectivamente iguales a p1 = 0, 1 ,
p2 = 0, 2 ,
p3 = 0, 3 ,
p4 = 0, 4
24. La probabilidad de que una m´aquina produzca una pieza defectuosa es de 0,01 si el obrero que la maneja sigue con exactitud las instrucciones para operarla y de 0,03 sino es as´ı. Si el obrero sigue las instrucciones 90 % de las veces, a) ¿Qu´e porcentaje de las piezas producidas por la m´aquina ser´an defectuosas? b) Si se escoge una pieza al azar y esta resulta ser no defectuosa, ¿Cual es la probabilidad de que esta provenga de la m´aquina mal operada?. 3
25. Una caja contiene ocho bolas rojas, tres blancas y nueve azules. Si se sacan tres bolas al azar, determinar la probabilidad de que: a) las tres sean rojas; b) las tres sean blancas; c) dos sean rojas y una blanca; d ) al menos una sea blanca; e) sean una de cada color; f ) salgan en el orden roja, blanca, azul. 26. De una baraja de 52 naipes se sacan 5. Hallar la probabilidad de que: a) cuatro sean Ases; b) cuatro sean Ases y uno Rey; c) tres sean Dieces y dos Sotas; d ) salgan Nueve, Diez, Sota, Caballo y Rey en cualquier orden; e) tres sean de un palo y dos de otro; y f ) al menos uno sea un As. 27. En una urna que contiene n bolillas se echa una bolilla blanca, despu´es de lo cual se extrae una bolilla. Halle la probabilidad de que la bolilla extraida resulte blanca, si son igualmente probables todas las suposiciones posibles sobre la composici´on inicial de las bolillas(por color) 28. En un laboratorio de c´alculo hay 6 m´aquinas autom´aticas de tecla. La probabilidad de que durante la realizaci´on de cierto c´alculo la m´aquina autom´atica no ponga fuera de servicio, es igual a 0,95; para la semiautom´atica esta probabilidad es igual a 0,8. Un estudiante calcula en una m´aquina tomada al azar. Halle la probabilidad de que hasta el final del c´alculo la m´aquina no quede fuera de servicio. 29. Sobre una pir´amide se instalan 5 fusiles, 3 de los cuales estan equipados con visor ´optico. La probabilidad de que un tirador haga blanco al tirar mediante un fusil con visor, es igual a 0,95; para el fusil sin visor ´optico esta probabilidad es igual a 0,7. Halle la probabilidad de que se haga impacto en el blanco, si el tirador dispara una vez con un fusil tomado al azar.
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30. El n´ umero de camiones por una carretera donde hay una estaci´on surtidora de gasolina con respecto al n´ umero de ortos autom´oviles guarda una relaci´on de 3:2. La probabilidad de que se abastezca un cami”on es igual a 0,1: para el automovil esta probabilidad es igual a 0,2. Al surtidor llega una m´aquina para abastecerse. Halle la probabilidad de que esta m´aquina sea un cami´on. 31. Dos personas encargadas de la perforaci´on llenan en distintos perforadores igual juego de tarjetas perforadoras. La probabilidad de que la primera persona cometa un error es igual a 0,1. Al verificar las tarjetas se descubri´o el error. Halle la probabilidad de que se haya equivocado la primera de las encargadas de la perforaci´on. Se supone que ambos perforadores estaban en buen estado. 32. Uno de dos peritos mercantiles verifica el estandar de un art´ıculo. La probabilidad de que el art´ıculo caiga en manos del primer perito es igual a 0,55, y el segundo, 0,45. La probabilidad de que el art´ıculo estandarizado sea reconocido como tal por el primer perito es igual 0,9, y por el segundo 0,98. Durante la verificaci´on el art´ıculo fue reconocido como estandarizado. Halle la probabilidad de que el art´ıculo lo haya examinado el segundo perito. 33. Hay tres partidas de piezas de 20 piezas en cada partida. El n´ umero de piezas est´andares en la primera, segunda y tercera de las partidas es respectivamente igual a 20,25 y 10. De una partida tomada al azar se ha escogido al azar una pieza que result´o estandar. Despu´es de restituir la pieza a la partida, de esta misma partida se extrajo por segunda vez al azar una pieza que tambi´en result´o estandar. Halle la probabilidad de que las piezas se han tomado de la tercera partida. 34. Dos de cuatro v´alvulas de un aparato que funcionan independientemente han fallado. Halle la probabilidad de que fallen las v´alvulas primera y segunda, si las probabilidades de fallo de las v´alvulas primera, segunda tercera y cuarta son respectivamente iguales a p1 = 0, 1 ; p2 = 0, 2 ; p3 = 0, 3 y p4 = 0, 4. 35. En el momento en que unos art´ıculos llegan al final de una linea de producci´on un inspector elige los que se someter´an a revisi´on completa. El 10 % de los art´ıculos producidos est´an defectuosos, 60 % de estos se env´ıa a revisi´on completa y 80 % de los que estan en buen estado no se envian a revisi´on completa. Si un art´ıculo se ha enviado a revisi´on completa, mida la factibilidad de que resulte defectuoso. 5
36. La vida u ´til de dos componentes que integran un sistema var´ıa cada una indistintamente entre 20 y 40 meses. Si la segunda comienza a funcionar en el instante en que la primera falla, calcule la confiabilidad del sistema en un periodo de 44 meses (probabilidad de que dure m´as de 44 meses). 37. Un papel rayado tiene a sus rectas paralelas equidistantes a distancia a cm. Se vuelve a rayar el papel con rectas paralelas equidistantes como los anteriores pero formando ´angulo de 45o con las otras. El papel oficia de forro de una mesa y se lanza sobre ella una moneda de r cm. de radio, halle la probabilidad que la moneda no corte ninguna linea (r es suficientemente peque˜ na para cumplir las condiciones).
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