Problemas de Estadistica y Probabilidades

PROBLEMAS DE ESTADISTICA ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

Alumno :Garcia Verdoni Piero

código:1323110055

Problema 2.78

Una clase de física avanzada se compone de 10 esudianes de primer a!o " 30 del ulimo a!o # 10 graduados$ %as cali&caciones &nales muesran 'ue 3 esudianes de primer a!o " 10 del ulimo a!o # 5 de los graduados o(uvieron A en el curso $)i se elige un esudiane al azar de esa clase # se encuenra 'ue es uno de los 'ue o(uvieron A *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue el o ella sea un esudiane de ulimo a!o Solución

 .oal  .oal de esudianes esudianes : 50 /veno A : ue sea esudiane del ulimo a!o /veno : ue o(enga cali&cación A A 4  : ue el esudiane sea del ulimo a!o # o(enga cali&caciones : A nA 4 6 7 10 PA 4 67 10 8 50 7 185 P6 7 19 8 50 7 825 PA86 7 PA 4 6 8 P6 7 185 8 825 7 58 Problema 2.82

Un fa(ricane de una vacuna para la gripe se ineresa en la calidad de su suero$ .res deparamenos diferenes los loes de suero # ienen asas de rec;azo de 0$10 " 0$09 # 0$12 " respecivamene$ %as inspecciones de los res deparamenos son secuenciales e independienes$ •

•

A6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue un loe de suero so(reviva a la primera inspección deparamenal " pero sea rec;azado por el segundo deparameno 6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue un loe de suero sea rec;azado por el ercer ercer deparameno

Solución

A6

%a pro(a(ilidad de 'ue so(reviva a la primera inspección inspecci ón es : 1 < 0$10 7 0$ %uego la pro(a(ilid pro(a(ilidad ad de 'ue sea apro(ado por el primer deparameno # rec;azado por el segundo deparameno es : 0$ = 0$09 7 0$0>2 evenos independienes 6

6

%a pro pro(a( (a(ili ilidad dad de 'ue 'ue ese ese mismo mismo lo loe e sea sea rec; rec;aza azado do por por el el erc ercer er depa depara ramen meno o es :

0$0>2 = 0$12 7 0"009?@ Problema 2.!

/n 1>0 " 11 de los esadounidenses complearon cuaro a!os de universidad" de los cuales @3  eran muBeres $ /n 10" 22 de los esadounidenses complearon cuaro a!os de universidad de los cuales 53  fueron muBeres$ .ime " 1 de enero de 1? 6 a6

Cado 'ue una persona compleo cuaro a!os de universidad en 1>0 " *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue la persona sea muBer (6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue una muBer erminara cuaro a!os de universidad en 10 c6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue en 10 un ;om(re no ;a#a erminado la universidad Solución

a6 )e raa de una pro(a(ilida condicional " para am(os evenos son independienes " #a 'ue los porcenanBes se oman con resepeco a disinos po(laciones : PA86 7 PA6 7 @3 7 0$@3 (6 /n ese caso la persona de(e ser muBer # esadounidense a la vez : PA 4 67 PA6 $ P6   por ser evenos independienes 6 7 53  $ 22  7 0$11?? c6 A'uí la persona de(e ser ;om(re # esadounidense ala vez Dom(res 'ue erminan la universidad en 10 7 22   100 E53 6 7 0$103@ Dom(res 'ue no erminan en 10 7 1 < 0$103@ 7 0"9?? 

Problema 2."

%a pro(a(ilidad de 'ue .om viva 20 a!os mas es 0"> # la pro(a(ilidad de 'ue Fanc# viva 20 a!os mas es 0"$)i suponemos independencia para am(os" *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue ninguno viva 20 a!os m,s Solución

Por ser rminos independienes : •

•

%a pro(a(ilidad de 'ue .om no viva 20 a!os mas es : 1E0"> 7 0"3 %a pro(a(ilidad de 'ue Fanc# no viva 20 a!os mas es : 1E0$7 0"1

Problema 2.

Un sisema de circuios se muesra en la &gura 2$11 suponga 'ue los componenes fallan de manera independiene a6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue el sisema compleo funcione (6 Cado 'ue el sisema funciona " *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue el componene A no funcione -

Solucion #

a6 Para el sisema compleo funcione de(en funcionar cincos disposiivos del circuio " es decir de(e ocurrir : A44+4C4/ PA 4  4 + 4 C 4 /6 7PA6 4 P6 4 P+6 4PC6 4P/6 70"> $ 0"> $ 0"9 $0"9 $0"9 7 0"25 (6 Para 'ue el sisema función (asa 'ue el grupo AH6 o el grupo + H CH /6 funcionen " es decir :  A 4  6 U + 4 C 4 / 6 PI A 4  6 U + 4 C 4 / 6J 7 P A 4  6 K P+ 4 C 4 / 6 $ 0"> K 0"9 $ 0"9 $0"9 < 0"> $ 0"> $ 0"9 $ 0"9 $ 0"9 7 0">5 Para 'ue A no función # el sisema función de(emos ;allar : A L  8 2  son de igual pro(a(ilidad 6 PA L  8 2 6 7 PA6 K P6 < 2 PA46 70"> K 0"> < 2 $ 0"> $0"> 6 8 2 7 0"@2 8 2 7 0"21 Pperdida 6 7 0"21 8 0">5 7 0"29 Problema 2.$!!

/n la siuación del eBercicio 2$ " se sa(e 'ue el sisema no funciona$ *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue el componene A ampoco funcione Migura 2$11 : Ciagrama para el eBercicio 2$

Solución #

%a pro(a(ilidad del 'ue sisema falee es igual a : PN6 7 1 E PA 4  4 + 4 C 4 /6 7 1 < 0"25 7 0">5

PA67/s la pro(a(ilidad de 'ue A no funcione  PN6 7  %a pro(a(ilidad del 'ue el sisemano no funcione EE



P

 A Z   7

 P ( A ∩ B )  7  P z

0,3 0,75  7 0"@

Problema %.2

Un em(ar'ue for,neo de cinco auomóviles e=ranBeros coniene 2 'ue ienen ligeras manc;as de pinura $ )i una agencia reci(e 3 de esos auomóviles al azar " lise los elemenos del espacio muesral ) con las leras  # F para manc;ado  #  sin manc;a  "respecivamene H luego a cada puno muesral asigne un valor = de la varia(le aleaoria O 'ue represena el nmero de auomóviles 'ue la agencia compra con manc;as de pinura$ Solucion #

 "  7 con manc;as F"F"F 7 sin manc;as )7I ""F"F"FJ O17  " O2 7  " O3 7 F " F " F asumimos O3 por ser auomóviles idnicos 6 Por lo ano se puede comprar carros de la siguiene manera : O1 O2 O3 1 era forma O2 O3 O3 2 da forma O2 O3 O3 3 era forma 





Problema %.22

Ce una (araBa se sacan res caras sucesivamene sin reemplazo $ /ncuenre la disri(ución de pro(a(ilidad para el numero de espadas$ Solucion #

/l numero de espadas puede ser : O7Q 0 "1 "2 "3 R %uego : f06 7 P =706 7I

f16 7 P =716 7I

f26 7 P =726 7I

f36 7 P =736 7I

13 0

13 1

13 2

13 3

39 6  3 6 J8 

39 6  2 6 J8 

39 6  1 6 J8 

39 6  0 6 J8 

52 3 6 7

52 3 6 7

52 3 6 7

52 3 6 7

703 1700

7 0"@1@

171 850

7 0"201

117 1700

7 0"0?

11 850

7 0"013

Problema %.28

Un producor de cereales esa consciene de 'ue en la caBa el peso del produco varia ligeramene enre una caBa # ora $ Ce ;ec;o " daos;isoricos su&cienes ;an permiido deerminar la función de densidad 'ue descri(e la esrucura de pro(a(ilidad para el peso  en onzas 6$/nonces " si O es el peso " en onzas " de la varia(le aleaoria " la función de densidad se descri(e como :

M=6 7

{

2

  23,75 ≤ x ≤ 26,25 50 , en cualquier otro caso 0,

a6 Vere&'ue 'ue sea una función de densidad valida $ (6 Ceermine la pro(a(ilidad de 'ue el peso sea menor 'ue 2@ onzas c6 %a compa!ía (usca 'ue un peso ma#or 'ue 2? onzas sea un caso e=raordinariamene raro $ *+u,l ser, la pro(a(ilidad de 'ue ese  caso e=raordinariamene raro  en verdad ocurra Solucion # a&

si la función de densidad es valida la inregal de(e ser igual a 1 "enonces se de(e cumplir 'ue : 26,25

∫ f  ( x ) dx = ∫

23,75

2 5

dx  ' $

2

7

 ( )

5

2

' 5

{

26,25 23,75

 &

( 26,25−23,75 )

2

7 5 2"56 7 1

24

(6

P=S2@6 7

∫ 23,75

2 5

 d=

2

P=S2@6 7

2@E23">5 6

5

P=S2@6 7 0"1 26,25

c6

POT2? 6 7

∫ 26

2 5

 d=

2

POT2? 67

5

POT2?6 7 0"1 Problema %.%2

2?"25 E 2? 6

 es validad #a 'ue es igual ala unidad



%a proporción del presupueso para ciera clase de compa!ía indusrial 'ue se asigna a conroles am(ienales # de conaminación ;a esado (aBo escruinio$Un pro#eco de recopilación de daos deermina 'ue la disri(ución de ales proporciones esa dada por f  ( x )=

{∧

5 ( 1− y ) , ∧0 ≤ y ≤ 1

0,

4

en cualquier otro caso

a6 (6

Veri&'ue 'ue la densidad anerior sea valida *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue una compa!ía elcrica al azar gase menos del 10  de su presupueso en conroles am(ienales # de conaminación c6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue una compa!ía seleccionada al azar gase mas del 50  en conroles am(ienales # de la conaminación Solución #

a6 )i la función de densidad es valida se de(e de cumplir lo siguiene :

1

∫ f  ( x ) dx =1 0

1

∫ 5 (1 −Y ) dy =1 4

0

5

EI

( 1−Y )4 5

 $E16

¿10  7 1

( 1−1 )5−( 1 −0 )5 ¿=1

EI 0

5

E 1

5

J71

1 7 1  por lo ano es valida la función 6 0,1

∫ 5 (1−Y  ) dy =1 4

(6 P=S0"167

0

5

P=S0"167 E ( 1−Y  )

¿0,1 0

( 1 −0,1 ) 5  P=S0"16 7 E [¿ ¿ 5 −( 1−0 ) ] ¿  P=S0"16 70"@05

1

∫ 5 (1−Y  ) dy =1 4

c6 P=T0"567

0,5

¿10,5

5 P=T0"567 E ( 1−Y  )

( 1 −1 ) 5  P=T0"56 7 E [¿ ¿ 5 −( 1−0,5 ) ] ¿  P=T0"56 70"0313 Problema %.%*

/s una area de la(oraorio cuando el e'uipo esa operando la función de densidad del resulado o(servado " O " es

f  ( x )=

{ ∧( − )∧ 2 1  x ,

0,

0≤ x ≤ 1

en cualquier otrocaso

a6 +alcule PO ≤ 1836 (6 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue O e=ceder, 0"5c6 Cado 'ue O0"5 *+u,l es la pro(a(ilidad de 'ue O ser, menor 'ue

0">5Solución 1/ 3

a6 P=S18367

∫ 2 (1 − x ) dx 0

P=S18367 2=

− x 2

1 /3

 6 ¿0

2

1 1

P=S1836 7 2I 3

−

1

3

 $ ¿

2

¿

5

P=S1836 7 9 1

(6 P=T0"567

∫ 2 ( 1− x ) dx 0 ,5

P=T0"567 2=

− x 2 2

1

 6 ¿0,5

1

2

P=T0"56 7 2I ( 1− 2 )  E ¿ 1

P=T0"56 72I 2  < 0"3>5J P=T0"56 70"25 0,75

c6 P0"5S=S0">567

∫ 2 (1 − x ) dx 0 ,5

P0"5S=S0">567 2=

− x 2 2

0,75 ¿  6 0,5

0,75

2

P0"5S=S0">56 7 2I ( 0,75 − 2 )  E ¿ P0"5S=S0">56 70"19>5