ESTADISTICA - Probabilidades

Excelencia Académica

INDICE UNIDAD ACADÉMICA I

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ESTADÍSTICA – GENERALIDADES Definición de Estadística Clases de Estadística Conceptos Básicos Variable y tipos Regla de Redondeo Notación Científica Cifras Significativas Sumatoria

07 08 08 10 14 15 15 16

UNIDAD ACADÉMICA II

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ORGANIZACIÓN DE DATOS Y GRÁFICOS Tabla de Frecuencia Clases de Frecuencias Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas Construcción de Intervalos o Reducción de Datos Gráficos Clases de Gráficos Análisis Exploratorio de Datos

19 20 21 21 23 28 28 31

UNIDAD ACADÉMICA III

1. 2. 3. 4.

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (I) La Medida o Promedio Aritmético Mediana La Moda Relación Entre en Promedio Aritmético, Mediana y Moda

37 39 43 47

UNIDAD ACADÉMICA IV

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (II) Media Geométrica Media Armónica Relaciones Entre los Promedios Cuarteles Deciles Percentiles Aplicación de Cuartiles, Deciles y Percentiles

53 55 56 57 58 58 59

5


UNIDAD ACADÉMICA V

DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO 1. Medidas de Dispersión o Variabilidad 2. Rango 3. Desviación Media 4. Varianza 5. Desviación Estándar 6. Características de la Varianza y Desviación Estándar 7. Coeficiente de Variación 8. Variable Estandarizada 9. Medida de Asimetría Medida de Apuntamiento

065 066 066 068 070 071 072 073 073 076

UNIDAD ACADÉMICA VI

1. 2. 3. 4. 5. 6.

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN Correlación Coeficiente de Correlación Regresión Serie de Tendencia Rectilínea Serie de Tendencia Parabólica Aplicación de la Ecuación Exponencial

079 080 082 082 084 087

UNIDAD ACADÉMICA VII

PROBABILIDAD (I) 1. Introducción a la Teoría de la Probabilidad 2. Concepto de Probabilidad 3. Experimento 4. Espacio Muestral 5. Evento o Suceso 6. Análisis Combinatorio 7. Factorial de un Número 8. Permutación 9. Variación 10. Combinación 11. Diagramas de Árbol

091 091 092 092 093 098 101 101 104 105 106

UNIDAD ACADÉMICA VIII

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

PROBABILIDAD (II) Definición Clásica de Probabilidades Probabilidad de Frecuencia Relativa Probabilidad Subjetiva Probabilidad Frente a “Apuestas” Probabilidades de Espacios Muestrales Finitos Probabilidad Condicional Sucesos Independientes Teorema de Bayes 6

111 115 118 118 119 121 124 125


ESTADÍSTICA – GENERALIDADES Este primer fascículo esta diseñado para ayudar al lector a hacerse una idea de la estadística, para que sepa los principales conceptos, variables y sus tipos, regla de redondeo, notación científica y cifras significativas. Hoy las estadísticas están presentes en casi todas las profesiones, se han convertido en una herramienta de suma utilidad.

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante: -

Define la estadística y conoce sus clases.

-

Conceptúa lo que es población, muestra, parámetro, estadígrafo y dato.

-

Define lo que es una variable, conoce y determina sus tipos.

-

Aplica la regla de redondeo y las cifras significativas; así como, la notación científica.

-

Resuelve problemas de sumatoria.

1. Definición de Estadística La Estadística es la ciencia de la: -

Sistematización, recogida, ordenación y presentación de datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con el objeto de (Descriptiva)

-

deducir las leyes que rigen esos fenómenos, (Probabilidad)

-

y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones (Inferencia)

Definiciones etimológicas: El origen etimológico de la palabra “estadística”, no está bien determinado. Para algunos viene de la voz griega STATERA que significa “Balanza, equilibrio”, otros dicen que 7


deriva del latín STATUS que significa “situación” mientras que algunos autores afirman que procede del alemán STAAT cuyo significado es “Estado” por su función de registrar: población, nacimiento, defunción, etc. Y finalmente, otros autores dicen que proviene de una voz italiana STATISTA que significa “estadista” y que acuño Gottfried Achenwall (1719 – 1772), un profesor en Marlborough y Gottingen.

2. Clases de Estadística Estadística Descriptiva y Deductiva Es la Estadística que únicamente se ocupa de describir y analizar un conjunto determinado sin extraer ningún tipo de conclusión o inferencia sobre un conjunto mayor. El análisis se limita a si mismo a los datos coleccionados. Las gráficas, las tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación son ejemplos de este tipo de Estadística. Estadística Inferencial o Inductiva Es la Estadística que estudia las condiciones bajo las cuales tales inferencias son válidas, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimiento de estadística descriptiva, probabilidades y matemáticas. Comprende la teoría de estimación, prueba de hipótesis y análisis de varianza. Aquí, la influencia estadística incluye generalizaciones y afirmaciones sobre probabilidades de su validez.

3. Conceptos Básicos Población Es el conjunto mayor o colección completa de todos los elementos que posee al menos una característica común observable, cuyo estudio nos interesa o acerca de los cuales se desea información. La población puede ser según su tamaño de dos tipos: -

Población Finita: cuando se tiene un número determinado de elementos. Ejemplo. El conjunto de todos los alumnos de la UPLA

-

Población Infinita: Cuando el número de elementos es indeterminado o tan grande que pudiesen considerarse infinitos.

8


Ejemplo.

El conjunto de Insectos El conjunto de estudiantes

Tamaño de la población: es el número total de elementos que tiene la población estudiada y se denota con la letra “N” (ene mayúscula). Muestra Es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin de estudiar las propiedades con el fin de estudiar las propiedades de la población de la cual es obtenida. Ejemplo. Un grupo de alumnos del total de estudiantes de la UPLA. Tamaño de la muestra: Es el número de elementos de la muestra y se denota con la letra “n” (ene minúscula). Parámetro Es un número que describe alguna característica de la población o medida de resumen de una población. Se considera como un valor verdadero de la característica estudiada y para determinar su valor es necesario utilizar la información poblacional completa y por lo tanto la decisión se toma con certidumbre total. Los parámetros se representan con letras griegas. Ejemplo:

La media aritmética con “µ” La desviación estándar con “σ”

Estadígrafo o Estadístico Es el número que describe alguna característica de la muestra o medida de resumen de una muestra y la toma de decisión contiene un grado de incertidumbre. La estadística se representa con letras latinas. Ejemplo:

La media aritmética con “ x ”

Dato Es el valor, respuesta o registro que adquiere una característica o variable asociada a un elemento de la población o muestra, como resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Puede ser un símbolo, una palabra o un número. 9


Los datos pueden ser: A. Según su naturaleza a. Datos cuantitativos: Consiste en números que representan conteos o mediciones. Ejemplo.

El número de soldados del Perú La talla de los estudiantes de la UPLA

b. Datos Cualitativos: Se pueden dividir en diferentes categorías que se distinguen por alguna característica no numérica. Ejemplo.

Los grados del ejército Los colores del arco iris

B. Según su procedencia. a. Datos Primarios: Son aquellos que se obtienen directamente de la misma realidad, sin sufrir ningún proceso de elaboración previa. Ejemplo:

Lo que se recoge directamente de un muestreo o de un censo.

b. Datos Secundarios: Son registros escritos que proceden tambien de un contacto con la práctica, pero que ya han sido recogidos y muchas veces procesados por los investigadores. Ejemplo:

Lo que se obtiene de textos, revistas, etc.

4. Variable Es una característica estudiada de las unidades estadísticas (elementos de la población) Tipos de Variable Según la Naturaleza de la Variable a) Variables Cualitativas Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, sus datos se expresan mediante palabras, no es numérica. Ejemplo:

Estado civil, lugar de nacimiento, profesiones, causas de accidentes, colores, etc.

10


b) Variables Cuantitativas Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carácter numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o medir. Ejemplo:

Número de hijos, ingresos, talla, peso, producción, edad, utilidades, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser Discretas y Continuas b.1. Variable Discreta Cuando el valor de una variable resulta de la operación de contar, su valor está representado solo por números naturales (entero positivo). Ejemplo:

Número de hijos, habitaciones por vivienda, población por país. Etc.

b.2. Variable Continua Cuando la variable es susceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se obtiene por medición o comprobación con una unidad o patrón de medida. Se expresa por cualquier número real. Ejemplo:

Área de terreno, ingresos monetarios, peso, estatura, tiempo, etc.

Según la relación entre variables a) Variables Dependientes Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causa o razón de ser. Ejemplo:

El consumo. Esta variable depende de los ingresos personales. La producción. Esta variable depende del tiempo (año, meses, etc.)

b) Variables Independientes Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociación, relación o influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigación. También, son causas o antecedentes. Ejemplo:

Los ingresos personales, relacionado con el consumo. El tiempo, relacionado con la producción.

c) Variables intervinientes o interferentes Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el comportamiento de la variable dependiente. 11


Ejemplo:

El caso del Presupuesto familiar que es una variable dependiente, con relación a los ingresos que es una variable independiente y con otras variables que serían la conducta de consumo, edad de la familia, etc. Éstos últimos son variables intervinientes.

Según la escala de medición a) Variables Nominales Son aquellas variables que establecen la distinción de los elementos en diversas categorías, sin explicar algún orden entre ellas. Ejemplo:

Sexo, estado civil, profesiones, lugar de nacimiento, deportes de práctica.

b) Variables Ordinales Son aquellas variables que implican orden entre sus categorías, están referidas a un orden de jerarquía, donde la categoría expresa una posición de orden. Ejemplo:

Grado de instrucción, clases sociales, rango de agresividad, orden de mérito, etc.

c) Variable de Intervalo Son aquellos que suponen a la vez orden y grados de distancia iguales entre diversas categorías, pero no tienen origen natural, sino convencional, tiene un cero relativo. Ejemplo:

Coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuación obtenida en una escala, etc.

d) Variables de Razón Estas variables comprenden a la vez todos los casos anteriores, distinción, orden, distancia y origen único natural; el valor se expresa con un número real, tiene un cero absoluto. Ejemplo:

12

Accidentes de tránsito, edad, peso, ingresos, número de hijos, etc.


Según Amplitud de las Unidades de Observación a) Variables Individuales Son referidas a características de individuos o personas, una empresa, centro educativo, etc. Son variables para estudio de casos, donde se pueden subdividir en variables públicas y privadas. a.1. Variables Públicas Son aquellas en que los valores individuales son conocidos por otras personas y se saben que son conocidos. Ejemplo:

Edad, sexo, ocupación, estado civil, etc.

a.2. Variables Privadas Son aquellos valores individuales que pueden ser conocidos por otros, una vez averiguados. Ejemplo:

Coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la política, conducta de consumo, etc.

b) Variables Colectivas Son aquellas que se refieren a características de las unidades cuando estas son colectivas, conjuntos o grupos (ciudades, empresas, escuelas, etc.) Ejemplo:

Tasa de mortalidad, urbanización, tasa de crecimiento demográfico, escolaridad, etc.

Las variables dependientes en un momento o caso pueden ser variables independientes y viceversa.

1.1

Determinar la clase de variable que nos dan los datos de las siguientes fenómenos o hechos:

13


a) Temperatura. b) Razas. c) Nacionalidad. d) Precio del dólar en un mes. e) Número de habitaciones por familia.

5. Regla de Redondeo Cuando el número que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que 5, este tomará el valor inmediato superior. Ejemplo: 57,8



58

(redondear al entero)

1,036



1,04

(redondear a 2 decimales)

36,8079



36,808


Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra menor que 5, se quedará en el mismo valor. Ejemplo: 74,3



74


1,254



1,25


53,6182



53,618


Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra igual que 5, se tomará dos criterios: a) Si la cifra es par, queda sin alterar. Ejemplo: 24,5



24


2,385



2,38


137,612


137,6125 

b) Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior. Ejemplo: 85,5 14



86


En la práctica por lo general, cuando a la cifra que se desea redondear le sigue 5


1,315



1,32


57,5435



57,544


6. Notación Sistémica o Científica La notación científica se utiliza cuando una información es seguida o antecedida de ceros. Ejemplos:

80000000 930000000

 8  10 7  9,3  10 8 4

0,00038  3,8  10 0,000000567  5,67  10 7 80000000  80  10 6

(no es notación científica )

La notación científica solo tiene un entero

7. Cifras Significativas Son los dígitos que no precisan una medición, se consideran como cifras significativas los ceros a la derecha; no así los ceros a la izquierda. Ejemplo: 1,630 0,008 2,003 1,0000

   

4 cifras significativas 1 cifras significativas 4 cifras significativas 5 cifras significativas

1.2

1. Redondear al entero a) 4,97 d) 36,59

b) 38,49 e) 288,71

c) 127,511

b) 123,45

c) 0,06

b) 137,0056

c) 0,01351

2. Redondear a un decimal a) 36,55 3. Redondear a 3 decimales a) 0,0034

15


4. Realizar la notación científica de: a) 7 000 000 c) 0,002 937

b) 9 430 000 d) 0,000 005

5. Cuántas cifras significativas tienen los siguientes números: a) 23,000 2 c) 90,000 00

b) 0,23 d) 0,000 895 4

8. Sumatoria Es un operador que representa una suma de términos cuyos elementos se encuentran formados de acuerdo a una ley dada. NOTACIÓN: El operador sumatoria vienen representado por la letra griega sigma (∑ ) Ejemplo: 7

a) Desarrollar:

 ax a

a 4

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de “a” por “x” elevado a la “a”, variando “a” desde 4 hasta 7”. 7

 ax a  4 x 4  5 x 5  6 x 6  7 x 7

a4

4

b) Desarrollar:

  1

k

x k 1

k 0

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de -1 elevado a la k por x elevado a la (k+1), variando k desde 0 hasta 4”. 4

  1k x k 1   10 x 0 1   11 x11   12 x 2 1   13 x 3 1   14 x 4 1

k 0

 x   1 x 2   12 x 3   13 x 4   14 x 5  x  x 2  x3  x 4  x5 3

c) Desarrollar:

n

  k  a n  k

k  0



La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria del coeficiente binómico “n” sobre “k” por “a” elevado a la “n-k”, variando k desde 0 hasta 3”.

16


3

n

n

n

n

n



 

 

 

 

  k a n  k   0 a n  0   1 a n 1   2 a n  2   3 a n  3

k  0

1.3

9

1. Desarrollar

 by b

b 3 6

2. Desarrollar

  2 P 1 y P 1

P 1 4

3. Desarrollar

M 

  x c M  x

M 0



En este fascículo estudiamos la definición de Estadística como ciencia y sus clases, como la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial. También se analizó los conceptos básicos de población, muestra, parámetro, estadígrafo y dato; asimismo, de variable y sus tipos. Luego se planteó la Regla de Redondeo, la Notación científica y cifras significativas.

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CAPUÑAY C. Abelino. Sumatoria y Binomio de Newton. Editorial Ingeniería. Lima 1984. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

17


En el siguiente fascículo estudiaremos la organización de datos a través de la Tabla de Frecuencias, la interpretación de los cuadros y los gráficos. Se desarrollará los pasos para elaborar una tabla de Frecuencia.

Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Determinar la clase de variable que nos dan los datos de los siguientes fenómenos o hechos: a) Colores b) Nivel de desempleo c) Accidentes de Tránsito d) Orientación en el tiempo 2. De los siguientes enunciados. ¿Cuál probablemente exija el empleo de la Estadística Descriptiva y cuál de la Estadística Inferencial? a) En un campeonato de fútbol se desea conocer el promedio de goles de los equipos que participan. b) Un comité para la prevención de la contaminación del aire, analiza la disminución del tráfico automotriz y el grado de polución. c) Un psicólogo estudia el efecto de la asesoría personal sobre el rendimiento de un estudiante. d) Un Economista registra el crecimiento de la población en un área determinada. 3. Redondear los siguientes números a las cifras significativas siguientes: a) 23,5 a 2 cifras significativas b) 0,0008532 a 1 cifra significativa c) 0,05 a un decimal y una cifra significativa d) 90000455 a 7 cifras significativas 4. Desarrollar: 5

7

a)

 abcx a y

a2

b)

  3N x N  2

N 3

5. ¿Por qué la Estadística es probabilística e Inferencial? 6. De 4 Ejemplos de variable discreta 7. De 4 Ejemplos de Variable continua 18

6

c)

M 

  Y k MY

M 1 




ORGANIZACIÓN DE DATOS Y GRÁFICAS Los datos recogidos sobre una variable conducen, muchas veces, a una gran cantidad de números que presentados directamente dificultan su interpretación. Este problema se evita si la información se presenta en las llamadas TABLAS DE FRECUENCIA. Estas tablas permiten analizar la distribución de los elementos de la población de acuerdo al carácter en estudio y ayudan en la búsqueda del modelo teórico que mejor ajustará a los datos. A partir de la tabla de frecuencia se puede hacer representaciones gráficas.

- Organiza datos originales en una distribución de frecuencia. - Representa la distribución de frecuencia en graficas. - Interpreta las frecuencias relativas y absolutas. - Desarrolla una representación de “tallo y hoja”.

1. Tabla de Frecuencia Representación organizada de los datos que muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyentes La tabla de frecuencia consta de: a) Clase y Marca de Clase Clase Esta constituido por números o descritos por algún atributo cualitativo o cuantitativo de muestras de objetos. La información conforme a características cualitativas son: raza, religión y sexo. Así mismo, puede estar formado por intervalo de clase. Marca de Clase ( Xi ) Es la semisuma del limite inferior ( Li ) y limite superior ( Ls ) de cada intervalo de clase.

Xi 

Li  Ls 2

19


Los atributos cualitativos y cuantitativos deben ser exhaustivos y mutuamente excluyentes. b) Frecuencia Es el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen dentro de cada una de las clases. Si podemos determinar la frecuencia con que ocurren los valores en cada clases de un conjunto de datos, estaremos en condiciones de construir una distribución de frecuencia.

2. Clases de Frecuencias a) Frecuencia Absoluta Simple ( fi ) Es el número de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a la clase. b) Frecuencia Absoluta Acumulada ( Fi ) Representación tabular de los datos que muestra cuantas observaciones se hallan encima o debajo de ciertos valores. Estas son ascendente y descendente. -

Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente ( F(1) ) Sirven para decir si son iguales o menores.

-

Frecuencia Absoluta Acumulada Desscendente ( F( 2) ) Sirven para decir si son iguales o mayores

c) Frecuencia Relativa Simple ( hi ) Son datos que muestran la fracción del conjunto total de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyente. d) Frecuencia Relativa Acumulada ( Hi ) Es el tanto por uno de los elementos de la población que están en alguna clase y que presentan una modalidad inferior o superior a la clase. Estas son ascendente y descendente. - Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente ( H (1) ) Nos indica la fracción de los datos que son iguales o menores. - Frecuencia Relativa Acumulada Descendente ( H ( 2) ) Indica la fracción de los datos que son iguales o mayores.

20


e) Frecuencia Porcentual ( Pi ) Es el producto de las frecuencias relativas por 100.

3. Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas Clase

fi

hi

Pi (%)

C1

f1

h1

P1

C2

f2

h2

P2

C3

f3

h3

P3

 Cm

 fm

 hm

 Pm

Total

n

1.00

100

Ejemplo: Consideremos la muestra formada por 50 personas y en esta, la variable sexo. Si se observa que hay 30 varones y 20 mujeres, podemos trasladar esta información a la siguiente tabla de frecuencias. Clase

fi

hi

Varón Mujer Total

30 20 50

0.6 0.4 1.0

Pi (%)

60 40 100

4. Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas Clase

fi

hi

C1

f1

h1

F(11)  f1

C2

f2

h2

C3

f3

 Cm

 fm

F(1)

F( 2)

H(1)

H ( 2)

F(12 )  n

H (11)  h1

H (12 )  1.0

F(12)  f1  f 2

F( 22 )  n  f1

H (21 )  h1  h 2

H (22 )  1.0  h1

h3

F(13)  F(11)  f 3

F( 32 )  F( 22 )  f 2

H (31)  H (21)  h3

H (32 )  H (22 )  h2

 hm

 F(1m)  n

 F(m2 )  f m

 H (m1)  1.0

 H (m2 )  hm

n 1.0 Total Ejemplo: Caso cuantitativo discreto Para estudiar la producción de artículos de una fábrica se tomaron 100 lotes de 250 artículos cada uno. El número de artículos defectuosos en cada lote fue como sigue: 1 1 2 4 5 6 4 5

4 3 3 2 2 2 4 6

3 5 8 3 4 4 1 4

5 3 5 3 3 6 3 5

5 3 7 2 4 5 3 3

2 7 7 4 4 2 2 3

5 5 4 1 6 4 1 4

4 2 3 5 5 7 5 4

2 4 3 4 5 6 8 7

3 5 4 4 2 2 6 6

5 8 5 2 6 3 4 6

3 3 5 2 4 6 4 4

5 4 5 5

21


Xi

fi

hi

1 2 3 4 5 6 7 8 Total

5 14 18 25 20 10 5 3 100

0,05 0,14 0,18 0,25 0,20 0,10 0,05 0,03 1.00

Pi (%)

5 14 18 25 20 10 5 3 100

Ejemplo: Caso cuantitativo continúo Se desea estudiar la cantidad de kilómetro que recorre un automóvil modelo A por cada galón de gasolina que consume; para tal fin se anotaron las distancias recorridas por 36 automóviles de tal modelo usando un galón de gasolina. Los resultados, en kilómetros fueron así: 34,51 35,47 36,96 40,00 33,20

31,54 31,60 35,93 31,57 36,20

35,40 36,57 33,80 37,10 30,00

Distancia Recorrida

Xi

fi

38,20 33,15 36,88 34,90 38,10 hi

35,61 30,16 34,00 33,00 36,00

36,70

Pi (%)

30,6250

2

0,0556

5,6

[ 31,25 - 32,50 [

31,8750

3

0,0833

8,3

[ 32,50 - 33,75 [

33,1250

5

0,1389

13,9

[ 33,75 - 35,00 [

34,3750

8

0,2222

22,2

[ 35,00 - 36,25 [

35,6250

7

0,1944

19,4

[ 36,25 - 37,50 [

36,8750

6

0,1667

16,7

[ 37,50 - 38,75 [

38,1250

4

0,1111

11,1

[ 38,75 - 40,00 ]

39,3750

1

0,0278

2,8

36

1,0000

100

fi = Cantidad de Autos

22

34,60 37,85 33,29 36,23 33,98

[ 30,00 - 31,25 [

TOTAL

Xi 

38,24 34,50 36,80 32,91 34,55

Li  Ls Marca de Clase 2


Por convención, cada intervalo es tomado cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, a excepción del último, que es cerrado en ambos extremos.

5. Construcción de Intervalos o Reducción de Datos Regla: 1. Ordenamiento de datos (según magnitud) en forma creciente o decreciente. 2. Determinar -

Valor máximo ( X max )

-

Valor mínimo ( X min )

3. Calcular el Rango( R )

R  X max X min  1

para variable discreta

R  X max  X min

para variable continua

4. Determinar el numero de clases o intervalos (m) -

Método de STURGES ( n  50 )

m  1 3,322 log(n) -

Método de PORTUGAL

(50  n  100) m  1,8914 3,991 log(n) (n  100) m  2,766 5,815 log(n) -

Método de la RAIZ

m  2,5 4 n 23


m n

m debe ser entero (   ), si sale decimal se redondea. 5. Calcular la amplitud Interválica ( a )

a

R m

6. Corrección ( D )

D  (m * a)  R Si el resultado de D es:

 0     0   0 

Se Continua Se rehace (En la amplitud interválica se redondea por exceso)

7. Intervalo de Clase Ii  X min  a

Ejemplo: Se tiene las tallas de 41 alumnos de la facultad de Derecho de la UPLA siguientes; dados en metros: 1,73 1,70 1,71 1,70 1,60 1,65 1,61 1,64

1,80 1,87 1,87 1,87 1,55 1,55 1,55 1,55

1,70 1,72 1,70 1,71 1,65 1,60 1,67 1,68

1,74 1,70 1,78 1,71 1,60 1,85 1,82 1,80

1,87 1,75 1,75 1,75 1,86 1,73 1,57 1,75

1,59

A continuación vamos a aplicar la regla para construir los intervalos y elaborar la tabla de frecuencia. Regla: 24


1º. Ordenamiento de Datos Se obvia por ser una muestra pequeña 2º. Determinar X max  1.87 mt X min  1.55 mt

3º Calcular el Rango ( R ) R  X max  X min (variable continua).

R  1,87 1,55  0,32 4º Determinar el numero de clases; ( m ) por ser

n <50

aplicamos el método de

STURGES m  1  3 , 322 log n m  1  3 , 322 log 41 m  1  3 , 322 (1 , 613 ) m  6 ,4 m  6

( Tiene

que ser entero )

También, se puede aplicar el método de la RAIZ, por ser muestra pequeña

m n

m  2,5 4 n

m  41  6,4

m  2,5 4 41  6,3

m  6 (entero)

m  6 (entero )

5º Calcular la Amplitud Interválica ( a )

R m 0,32 a  0,0533  0,053 (regla redondeo ) 6 a  0,053 a

6º Corrección ( D )

25


D  (m  a )  R D  (6  0,053)  0,032 D  0,318  0,32 D  0,002 ( Se rehace por ser negativo) Entonces se corrige a  0,054

D  (6  0,054)  0,32 D  0,324  0,32 D  0,004 (es positivo se continua) El valor 0,004 se distribuye en la variable máximo y mínimo (se suma y se resta para ampliar el rango)

-0,002 1,548

+0,002

1,55

1,87

1,872

R=0,324

1,548

1,872

Teniendo los datos siguientes se elabora la tabla de frecuencia:

X min  1,548 mt X max  1,872 mt a  0,054 mt m6 7º Intervalo de Clase

I i  X min a I1  1,548  0,054 I1  1,602 Talla(Intervalo)

Tabulación

fi

hi

F(1)

F( 2)

H(1)

H ( 2)

Xi

[ 1.548 - 1.602 [ ||||| ||||

9

0.22

9

41

0.22

1.00 1.575

[ 1.602 - 1.656 [ ||||

4

0.10

13

32

0.32

0.78 1.629

[ 1.656 - 1.710 [ ||||| ||

7

0.17

20

28

0.49

0.68 1.683

[ 1.710 - 1.764 [ ||||| |

11

0.27

31

21

0.76

0.51 1.737

3

0.07

34

10

0.83

0.24 1.791

[ 1.764 - 1.818 [ |||

26


[ 1.818 - 1.872 ] ||||| || TOTAL Tabulación:

7

0.17

41

1.00

41

7

1.00

0.17 1.845

es ubicar los datos de la muestra en la clase interválica correspondiente.

2.1

1. Los hábitos de trabajo de la mano de obra( llevan trabajo a casa) en Huancayo se muestran a continuación: c a b a c

b b a b a

a a c b d

b a b c b

a a d c a

c d b a d

b d b c a

c a c a d

a b b c d

a b b a a

Donde a= Nunca, b= Menos de una vez al mes, c= Una vez al mes, d= todos los días. Construya un cuadro que presente la información recolectada. LLEVAN EL TRABAJO A CASA

Nº de trabajadores ( fi )

hi

pi

Nunca Menos de una vez al mes Una vez al mes Todos los días TOTAL 2. En una muestra de 40 pequeñas empresas se recoge información a cerca del número de trabajadores en cada una de ellas. Los datos fueron los siguientes: 16 15 14 14 14 13 13 14 14 15 12 15 16 12 12 13 14 17 15 13 14 13 13 14 14 15 17 16 18 13 13 14 14 15 16 15 14 16 15 14 Complete la siguiente tabla de frecuencias. Número de Trabajadores

Empresas( fi )

hi

pi

12 13 14 15 16 27


17 18 Totales 3. En el departamento de producción de una fábrica los sueldos mensuales de los empleados son los siguientes 440 453 570 224 450 574

560 650 430 340 530 500

335 407 618 558 501 462

587 376 537 460 417 380

613 470 409 560 660 518

400 560 600 607 470 480

424 321 550 382 364 625

466 500 432 667 634 507

F(1)

hi

565 528 591 512 580 645

393 526 428 492 450 382

Complete la siguiente tabla de frecuencias

Sueldo Mensual

Xi

Conteo

Empleado s

H(1)

pi

TOTAL

6. Graficas Es otra forma de presentar los datos referentes a un fenómeno. Una grafica es el idioma universal que bien presentado e ilustrado evita la fraseología. En estadística se emplea una diversidad de tipos de graficas, cuya forma dependerá de la naturaleza de los datos y de los objetivos de la presentación. Antes de elegir el tipo de grafico conviene imaginarse de antemano, el grafico a construir que en general debe tener rasgos simples y de fácil comprensión.

7. Clases de Graficas Grafica de Coordenadas Ortogonales o Cartesianos a) Diagrama de Segmentos

28


100 80 60 40 20 0

b) Histograma 50 40 30 20 10 0

c) Polígono de Frecuencia Marca de clas 50 40 30 20 10 0

d) Polígono de Frecuencia Acumulada u OJIVA 100 80 60

Punto de equ

40 20 0 0

2

4

6

e) Diagrama de Barra - Simple - Compuesta - Agrupadas Simple

29


Cantidad

100 80 60 40 20 0

Compuesta 120

Cantidad

100

Demanda de Alg

80

Exportación

60

Demanda Interna

40

Producción

20 0 1995

2000

Cantidad

Agrupadas 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Asistencia al Varon

2000

Grafica No Ortogonales a) De Superficie Circular o Torta

30

2001

Mujer


Costa 10%

Selva 60% Sierra 30%

b) Pictórica

40

20

10 0

10

20

30

40

50

Con los problemas de la actividad 2.1 elaborar graficas

8. Analisis Exploratorio de Datos El Diagrama de Tallo y Hoja Un método para iniciar el análisis exploratorio de los datos, que proporcione información rápida, visual y es relativamente nueva, es el Diagrama de Tallo y Hoja. Esta representación se basa en la ordenación de los datos a manera de grafico, pero sin llegar a ello, utilizando las decenas y las unidades. Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas en una prueba de Historia: 78 66

93 73

61 76

100 81

70 83

83 64

88 91

74 70

97 77

72 86 31


La representación del tallo y hoja se elabora de manera que las decenas se pondrán en una columna, en forma vertical y las unidades a la derecha: 6 7 8 9 10

1 8 3 3 0

6 0 8 7

4 4 1 1

2 3

3 6

6

0

7

Para entender un poco mas, hemos de decir que le primer renglón que dice 6|1 6 4 quiere decir que entre la lista de datos se encuentran los valores 61, 66, 64.

La representación de Tallo y Hoja, donde cada renglón es una posición de tallo y cada digito de la derecha es una hoja.

Reforzamiento del Aprendizaje 1. Dado la siguiente tabla de frecuencia que significa: a) f 3

d) F(42 )

b) h4

e) H(61)

c) F(15)

f) H (52)

TABLA DE FRECUENCIA DE SALARIOS POR TRABAJADOR

i

32

Salario(Intervalo)

fi

hi

F(1)

F( 2)

H(1)

H ( 2)

1 [

82 -

89 [

4

0.05

4

80

0.05

1.00

2 [

89 -

96 [

6

0.08

10

76

0.13

0.95

3 [

96 -

103 [

9

0.11

19

70

0.24

0.87

4 [

103 -

110 [

13

0.16

32

61

0.40

0.76

5 [

110 -

117 [

15

0.19

47

48

0.59

0.60

6 [

117 -

124 [

13

0.16

60

33

0.75

0.41

7 [

124 -

131 [

12

0.15

72

20

0.90

0.25


8 [

131 -

138 [

5

0.06

77

8

0.96

0.10

9 [

138 -

145 ]

3

0.04

80

3

1.00

0.04

80

1.00

TOTAL Respuesta: a)

f3 =

Hay 9 trabajadores que tienen un salario entre 96 y 103 nuevos soles.

f3 =

Hay 9 trabajadores que tienen un salario de 96 a 102.99 nuevos soles.

b) h4 = c)

El 16% de los trabajadores ganan de 103ª 109.99 nuevos soles.

F(15) = 47 trabajadores ganan menos de 117 nuevos soles.

d) F(42) = 61 trabajadores ganan más o igual a 103 nuevos soles. e) H(61) = 75% de los trabajadores ganan menos de 124 nuevos soles. f)

H (52) = 60% de los trabajadores ganan más o igual que 110 nuevos soles.

2. Una distribución de frecuencia consta de 5 intervalos de igual amplitud y de ella se conoce los siguientes datos: n=110; limite inferior de la 1ª clase 12.5; f4-f5=10; f4-f1=0; f2=f4; f1=f5 y L4f4=975, donde L4 es el limite superior de la cuarta clase. Elaborar la tabla de frecuencia

Intervalo

i

fi

hi

Pi %

1 [

12.5 - 17.5 [

20

0.1818

18.18

2 [

17.5 - 22.5 [

30

0.2727

27.27

3 [

22.5 - 27.5 [

10

0.0909

9.091

4 [

27.5 - 32.5 [

30

0.2727

27.27

5 [

32.5 - 37.5 ]

20

0.1818

18.18

TOTAL

110

1.0000 100.00

Si f 4  f 5  10 y f1  f 5  f 4  f1  10 Si f 4  f 3  f1  0  f 4  f1  f 3  10 Si f 3  10  f1  f 2  f 4  f 5  100 Si f1  f 5 y f 2  f 4  f1  f 4  f 4  f1  100

33


Entonces:

2 f 4  2 f1  100 2( f 4  f1 )  100 f 4  f1  50

Si f 4  f1  50 y f 4  f1  10  f 4  30 Si f 4  f 2  f 2  30 Luego f1  f 5  20

Si L4 f 4  975  L4 

975  32.5 30

Entonces

R4  32.5  12.5  20.0 a

20 5 4

Luego los intervalos de clases son: 12.5 + 5 = 17.5 17.5 + 5 = 22.5 22.5 + 5 = 27.5 27.5 + 5 = 32.5 32.5 + 5 = 37.5

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. 34


VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

En el siguiente fascículo se calculará los estadígrafos de posición o de tendencia central y se explicara las características y empleo de estas medidas.

Nº 2 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Se realiza una encuesta a los alumnos de la UPLA acerca de la preferencia de marcas de gaseosas, los resultados fueron los siguientes: PE IK KR PE PE IK IK PE CC CC IK PE IK IK PE PE KR CC IK KR O KR CC KR IK PE PE IK O CC PE O PE PE CC CC KR CC PE IK IK IK CC PE KR IK IK PE PE CC Donde IK= Inca Kola CC= Coca Cola a) b) c) d) 2. los

PE= Pepsi KR= Kola Real

O= otras

Construya una tabla de frecuencia ¿Qué porcentaje de estudiantes de la UPLA prefiere Kola Real? ¿Cuántos estudiantes prefieren otras gaseosas? Realizar un tipo de grafico siguientes datos muestran velocidades en km/h de 48 carros que pasaron por un

punto de control de velocidad. 60 30 31 60 45 38 35 27 45 40 30 40 46 105 29 82 72 63 36 70 65 80 25 70 108 45 120 65 39 83 70 100 55 50 64 a) Elabore una tabla de frecuencia. b) Que significa: f 4 ; h5 ; F(13) ; F(52 ) ; H(41) ; H(51)

34 45 102 31 24 72 61

54 83 60 81 85 60

c) Represente la tabla mediante un polígono de frecuencia 35


3. Los puntajes de una aprueba de aptitud se tabularon en una distribución de frecuencias de 6 intervalos de amplitud constante. Si las marcas de clases del segundo y cuarto intervalo son 40 y 80, las frecuencias relativas están relacionadas de la siguiente manera: del primero es igual al sexto intervalo, la tercera y quinta frecuencia son iguales, la cuarta frecuencia es igual a 0.25, del segundo intervalo es igual al cuarto menos el primero, el tercer intervalos es igual al primero mas 0.10 y la frecuencia absoluta acumulada del sexto intervalo es igual a 60. Completar la distribución de frecuencias.

36


37


MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (I) En el fascículo anterior aprendimos a construir tablas y gráficos donde se usaba datos brutos. Las representaciones resultantes de las distribuciones de frecuencia nos permitieron discernir las tendencias y patrones de datos. Los valores mas caracterizados corresponden a la parte central de la distribución, pero entre ellas iniciamos en este fascículo la Media o promedio aritmético, la mediana y la moda.

-

Calcula e interpreta la media aritmética, la mediana y la moda.

-

Explica las características y propiedades de las medidas.

-

Relación de media, la mediana y la moda.

Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según magnitud.

1. La Media o Promedio Aritmético La media es el valor representativo de la serie; pudiera decirse que es el punto de equilibrio o centro de gravedad de la serie. Se representa por x para una muestra y  para la población

La Media simple n

x

x i 1

n

i



x1  x2  x3    xn n

Ejemplo: x: 18, 24, 45, 12, 89, 12

x

38

18  24  45  12  89  12  33.33 6


La Media Ponderada n

x

x f i

i 1

i

n

Ejemplo: x: es la talla de 65 obreros de una empresa, se quiere saber cual es la estatura promedia.

X i (metros)

i

fi

xi f i

1

1.55

3

4.65

2

1.60

8

12.8

3

1.65

22

36.3

4

1.70

17

28.9

5

1.75

10

17.5

6

1.80

5

9.00

65

109.15

n

x

x f i 1

i

i

n 109.15 x  1.679  1.68 mt. 65 El promedio de la estatura de los obreros de la empresa, es de 1.68 metros. Propiedades de la Media Aritmética a) La media de una constante es la misma constante.

cc b) La media del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la media de la variable.

cx  c x c) La media de una variable mas o menos una constante, es igual a la media de la variable mas o menos la constante.

xc  xc d) La media de la suma o diferencia de dos o mas variables e igual a la suma o diferencia de las medias de cada una de las variables.

x y  x y 39


3.1

1. Las edades de los componentes de una familia de 7 miembros, es como sigue: 52, 42, 26, 24, 13, 8 y 1 años, se pide determinar el promedio de edad de esta familia. 2. Hallar el salario promedio correspondiente a los trabajadores de cierta fabrica, extrayendo datos de la tabla de frecuencia:

i

xi

fi

Salario(S/.)

1 [

70 -

80 [

20

2 [

80 -

90 [

30

3 [

90 -

100 [

60

4 [

100 -

110 [

90

5 [

110

120 [

100

6 [

120

130 [

85

7 [

130

140 [

70

xi f i

TOTAL

2. Mediana La mediana es el punto medio de un conjunto de datos; o es aquel valor de la variable que divide al conjunto de valores en dos partes iguales. Características de la Mediana a) Localiza mejor el centro de distribución para lo cual es necesario ordenar. b) Su cálculo es fácil y poco sensible a los valores extremos. c) Puede ser calculado inclusive cuando los intervalos son abiertos. d) Pueden ser calculados cuando las variables son cualitativos, susceptibles de ordenar de acuerdo a alguna propiedad, categoría, etc. e) No puede ser manejada algebraicamente para cálculo posteriores. f)

Se halla inclusive cuando las amplitudes son diferentes.

La Mediana simple o No Agrupados a) Datos Impar

Me  x n  1 2

40


Ejemplo: Se tiene los gastos de 7 personas siguientes: x: s/. 120, s/. 140, s/. 100, s/. 150, s/. 145, s/. 135, s/. 160 Calcular la mediana. Solución PASOS: 1º. En la mediana se ordenan los datos: x: s/. 100, s/. 120, s/. 135, s/. 140, s/. 145, s/. 150, s/. 160 2º. En datos impar se toma el valor centradle acuerdo a la formula.

Me  x n 1  x 7 1  x 4  S / . 140 2

2

Interpretación: el 50% gastan menos de s/140 y el otro 50% restante gasta mas de s/140 b) Datos Par

 1 Me   x n  x n 2  2 2 2  Ejemplo: Se tiene los pesos de 8 personas siguientes: x: 70, 65, 83, 62, 94, 75, 79, 86 kg Calcular la mediana. Solución PASOS: 1º. Se ordenan los datos x: 62, 65, 70, 75, 79, 83, 86, 94 kg 2º. Se aplica la formula

 1  1 Me   x n  x n 2    x 8  x 8 2  2 2 2 2 2  2  1 1 Me  x4  x5   75  79 2 2 154 Me   77 Kg 2 41


Interpretación: el 50% de personas pesan menos de 77kg y el restante 50% pesan mas de 77kg. La Mediana Agrupada o Ponderado

n  Fk(11) Me  Li  a 2 fk Li

= limite inferior de la clase mediana

a n

= intervalo de clase = número de elementos (tamaño de la muestra)

Fk(11) = frecuencia absoluta acumulada ascendente anterior a la clase mediana. fk

= frecuencia absoluta de la clase mediana.

Pasos Para Hallar la Mediana 1º. Determinar la clase mediana, a través del cociente de

n cuyo resultado se la 2

ubica en la frecuencia acumulada absoluta ascendente F (1) , que le contenga mas próximo. 2º. determinar la amplitud del Intervalo “ a ”, restando el Limite superior menos el Limite inferior de la clase mediana. a  Ls  Li

O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.

a  X i 1  X i 3º. Determinar en la clase mediana el Límite inferior del intervalo o clase.

Li  Ls Si solo tuviera la marca de clase x i entonces el límite inferior seria:

Li  Xi 

a 2

x i = valor de la marca de clase de la clase mediana.

a 42

= amplitud del intervalo


4º. Determinar la Frecuencia Acumulada Absoluta ascendente anterior a la clase (1)

mediana Fk 1 5º. Determinar la frecuencia absoluta simple de la clase mediana f k 6º. Remplazar los valores en la formula de la mediana. Ejemplo: Se tiene la tabulación de los pesos en kg., de 110 obreros de una fabrica se pide determinar la mediana. Peso

xi

F(1)

fi

50 55 60

5 15 28

5 20 48

65 70 75 80

22 19 11 10 110

70 89 100 110

 Fk(11) Clase mediana

n  Fk(11) 2 Me  Li  a fk PASOS 1º.

n 110   55 2 2 55 esta contenido F(1)  70 este determina la clase mediana.

2º. a  xi 1  xi  x11  x1  x 2  x1 a  55  50  5

3º. Li  xi 

a 2

5 Li  65   65  2.5 2

Li  62.5 Kg 4º. Fk 1  48 (1)

43


5º. f k  22 6º. Me  62.5  5

55  48 22

Me  64.09  64.1 Kg Interpretación:

el 50% de los obreros pesan menos de 64.1 kg y el otro 50% de los obreros pesan mas de 64.1 kg

3.2

1. Hallar la mediana de los salarios mensuales de 6 trabajadores: s/1000, s/1300, s/1100, s/1150, s/1200, s/970 2. hallar la mediana de las alturas de 100 alumnos de la UPLA Altura (m) Intervalo

F(1)

fi

[ 1.57 - 1.61 [

4

[ 1.61 - 1.65 [

28

[ 1.65 - 1.69 [

43

[ 1.69 - 1.73 [

18

[ 1.73 - 1.77 ]

7

TOTAL

100

3. La Moda La moda es el valor de la variable que mayor veces se repite o con mayor frecuencia sucede. Un grupo de datos puede tener una moda, dos modas, etc. En tales casos la distribución se llama, respectivamente, unimodal, bimodal, etc. También, la moda puede no existir, en caso de haber valores que se repitan. 3.1. La Moda Serie Simple Ejemplo: Hallar la moda de los números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

44


El número que más veces se repite es 5. Por consiguiente, 5 es la moda (unimodal). Ejemplo: Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Ningún número se repite más que los otros. Por consiguiente, no hay moda. Ejemplo: Las calificaciones de un estudiante en 8 asignaturas fueron: 6, 5, 7, 6, 8, 5, 9, 10 Hallar la moda de las calificaciones. Las calificaciones que más veces se repiten son 5 y 6. Por consiguiente, 5 y 6 son las calificaciones moda (bimodal) 3.2. La Moda serie Ponderada o agrupada:

Mo  Li  a

1 1   2

Li

= Limite inferior de la clase modal

a

= Amplitud del intervalo de clase

1

= Variación 1

2

= Variación 2

Pasos Para Hallar la Moda 1º. Determinar la clase modal, a través de la frecuencia absoluta simple mayor. 2º. Determinar la amplitud del intervalo “ a ” restando el limite superior menos el limite inferior de la clase modal.

a  Ls  Li O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.

a  X i 1  X i 3º. Determinar en la clase modal el limite inferior de la clase. 45


Li  Ls Si solo tuviera la marca de clase x i entonces el límite inferior seria:

Li  Xi 

a 2

x i = valor de la marca de clase de la clase modal.

a

= amplitud del intervalo

4º. Determinar la variación 1, 1 , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior inmediata.

 1  f Mo  f Mo 1 5º. Determinar la variación 2,  2 , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior inmediata.

 2  f Mo  f Mo 1 6º. Remplazar los valores en la formula. Ejemplo: Las temperaturas tomadas en la ciudad de Huancayo, cada semana, durante un año, hallar la temperatura Moda. Temperaturas (ºC) 5 10 15 20 25 30

fi 12 8 16 7 5 4

Clase modal

Mo  Li  a

1 1   2

PASOS 1º.

La clase modal queda determinada por la frecuencia absoluta simple que mas veces se repite, en este caso es 16.

46


2º.

a  xi 1  xi  x31  x3  x 4  x3 a  20  15  5

3º.

Li  xi 

a 2

5 Li  15   15  2.5 2

Li  12.5 º C 4º.

 1  f Mo  f Mo 1

1  16  8 1  8 5º.

 2  f Mo  f Mo 1

 2  16  7 2  9 6º.

Reemplazando en la fórmula

8 89 Mo  14.85 º C Mo  12.5  5

Interpretación: la temperatura que mayor veces se repite en el año es 14.85ºC

Cuando en una frecuencia absoluta simple ( f i ) existen 2 o mas frecuencias mayores iguales, se toma cualquiera para determinar la clase modal.

3.3

1. Al finalizar sus estudios de Derecho, 60 estudiantes tenían 22 años, 50 tenían 23 años, 17 tenían 24años, y 8 tenían 25 años. Hallar la moda de las edades. 2. Hallar la moda del cuadro siguiente:

47


Intervalo

fi

[

220 -

240 [

48

[

240 -

260 [

60

[

260 -

280 [

60

[

280 -

300 ]

30

TOTAL

198

4. Relacion Entre el Promedio Aritmético, Mediana y Moda a) Para curvas de frecuencias unimodales que sean ligeramente asimétricas, se tiene la siguiente relación empírica:

x  Mo  3( x  Me) b) Cuando la curva de frecuencia es unimodal y simétrica:

x  Me  Mo c) La Media aritmética esta influenciada por los valores extremos, en cambio la Mediana y la Moda no lo están.

d) Una curva de distribución solo tiene una x y una Me , pero puede tener mas de una Mo .

Reforzamiento de Aprendizaje 1. La inversión anual ( en niveles de soles) de un grupo de pequeñas empresas de la ciudad fueron: 10 13 12 17 Calcular: a) Media b) Mediana c) Moda

48

38 21 10 14

30 14 15 19

16 27 20 22

25 14 28 11

30 13 26 15

30 18 10 20

18 30 17 39

23 25 26 23

25 18 28 38

38 37


Solución Tenemos que desarrollar una tabla de frecuencia 1º. R  X max  X min R  39  10  29

2º. m  1 3.322 logn

m  1 3.322 log42 m  6 .4  6

3º. a 

R 29  m 6

a  4 . 83

4º. D  (m  a)  R

D  (6  4.83)  29 D  28 .98  29   0 .02

Por ser negativo se rehace Entonces a  4 . 84

D  (6  4.84)  29  0.02 D  29.04  29  0.04  0.02 -0,002 9.98

10

+0,002 39

39.02

Resumen:

X min  9.98 X max  39.02 a  4.84 m6 Tabla de Frecuencia 49


Intervalo [

Tabulación

F(1)

fi

Xi

X i fi

9.98 - 14.82 [ |||||

10

10

12.40 124.00

[ 14.82 - 19.66 [ ||||| ||||

9

19

17.24 155.16

[ 19.66 -

6

25

22.08 132.48

8

33

26.92 215.36

[ 29.34 - 34.18 [ ||||

4

37

31.76 127.04

[ 34.18 - 39.02 ] |||||

5

42

36.60 183.00

[

24.5 [ ||||| |

24.5 - 29.34 [ ||||| |||

TOTAL

42

937.04

Luego, calculamos: a) La Media n

x

x f i

i 1

i

n

En la tabla determinamos

x f i

i

937.04 42 x  22.31 miles de soles x

Interpretación: la inversión anual de las pequeñas empresas de la ciudad fue de 22.31 (miles de soles) = s/22,310.00 b) La Mediana

n  Fk(11) Me  Li  a 2 fk

n 42   21 Determina la clase mediana en F(1) de la tabla que es 25 2 2 a  4.84 Li  19.66 Fk(11)  19 fk  6

50


2119 6 Me  21.27 miles de nuevos soles Me  19.66  4.84

Interpretación: el 50% de las pequeñas empresas invierten menos de s/21,270.00 y el otro 50% invierten más de s/21,270.00 c) La Moda

Mo  Li  a

1 1   2

Determinamos la clase modas en f i mayor = 10

a  4.84 Li  9.98 1  10  0  10  2  10  9  1

10 10  1 Mo  14.38 miles de soles Mo  9.98  4.84

Interpretación: la inversión mas frecuente es de 14.38 (miles de soles) = s/14,380.00

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

51


En el siguiente fascículo continuamos con medidas de posición, como otros promedios, cuartiles, deciles y percentiles.

Nº 3 Nombre____________________________________________________________ Apellidos_________________________________________Fecha ______________ Ciudad _______________________________________Semestre______________ 1. En el departamento de producción de una fábrica tienen los siguientes sueldos hasta fines del mes de julio. Sueldo Mensual (S/.) Empleados 485 -

585

15

585 -

685

25

685 -

785

30

785 -

885

20

885 -

985

5

985 TOTAL

1085

5

Calcular e interpretar: a) La Media b) La Mediana c) La Moda d) 2. Los siguientes datos dan las cantidades gastadas (en nuevos soles) en alimentación de una muestra de familia. 22.7 7.6 29.5 15.19 31.9 19.9 26.6 16.2 27.9 23.2 24.6 30.9 5.0 32.1 4.0 47.4 24.0 17.0 15.1 18.8 29.9 34.2 43.4 57.0 12.3 33.7 27.1 36.3 25.0 17.7 27.9 20.5 32.5 27.8 42.9 18.1 32.0 29.7 19.2 10.0 30.3 23.5 11.6 29.4 33.5 52


Calcular e interpretar: a) La Media b) La Mediana c) La Moda 3. De un total de 100 números, 15 eran 4; 45 eran 5; 25 eran 6; 15 eran 7 Calcular: a) La Media b) La Moda c) La Mediana

53


MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (II) Continuando con las medidas de tendencia central, en el presente fascículo se desarrolla otros tipos de promedios como la geométrica y la armónica, luego complementaran con otras medidas como cuartiles, deciles y percentiles cuyos valores dividen a la distribución en grupos de igual numero de términos.

-

Identifica y aplica los medios geométricos y armónica.

-

Reconoce y calcula los conceptos de cuartil, decil y percentil.

1. Media Geométrica El promedio geométrico se usa cuando hay que promediar razones o proporciones. Asimismo, se aplica cuando en la serie interviene el factor tiempo, como sucede en el cómputo de intereses; en el cálculo de números índices y en series que presentan una progresión geométrica. La media geométrica de una serie de n números es la raíz enésima del producto de dichos números.

Xg 

n

x1  x 2  x 3   x n

Ejemplo: Hallar la media geométrica de los números 3, 9 y 27

X g  3 3  9  27 X g  3 729 Xg  9 Para simplificar los cálculos es necesario aplicar logaritmos (recuérdense que con logaritmos, la multiplicación se transforma en suma y la raíz en división).

54


Media Geométrica Serie Simple n

X g  anti log

 log x i 1

i

n

Ejemplo: x: 2, 4, 6, 8, 10

log xi

xi 2 4 6 8 10 Total

0.30103 0.60206 0.77815 0.90309 1.00000 3.58433

3,58433 5 X g  anti log 0.71687 X g  anti log X g  5.21 La Media Geométrica serie Ponderada n

X g  anti log

 (log x ) f i

i 1

i

n

Ejemplo: En un examen de Psicología, 6 alumnos obtuvieron un 3; 8 obtuvieron un 4; 13 un 5; 8 un 6; 5 un 7; 3 un 8 y 1 un 9. Hallar la media geométrica. Calificación

Alumnos

xi

fi

3 4 5 6 7 8 9 Total

6 8 13 8 5 3 1 44

log xi

(log xi ) f i

0.47712 0.60206 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424

2.86272 4.81648 9.08661 6.22520 4.22550 2.70927 0.95424 30.88002

55


30.88002 44 X g  anti log 0.70182 X g  anti log Xg  5

4.1

1. Las velocidades de 100 metros planos de 6 estudiantes de una clase son: 11.6; 12.4; 11.8; 13.5; 13.0; 12.8 segundos. Hallar la media geométrica de las velocidades. 2. Cuatro grupos de estudiantes, formados por 2, 10, 12, 10 alumnos, registraron una media de pesos de 65, 70, 75 y 80kg, respectivamente. Hallar la media geométrica de los pesos de los estudiantes. 3. En una fábrica hay 50 empleados, 30 de los cuales son casados y 20 solteros. Si el salario mensual de un empleado casado es de s/1200 y el de un soltero s/1000 ¿Cuál es la media geométrica del salario de un empleado de la fábrica?

2. Media Armónica Es el reciproco del promedio aritmético de los recíprocos de los valores de la serie. Se utiliza para promediar velocidades y cuando los datos de la serie siguen una progresión armónica. 2.1. La Media Armónica Serie Simple

 n 1    xi   X a   i 1  n   

1

Ejemplo: x: 2, 4, 6, 8, 10

56

xi

xi1

2 4 6 8

0.500 0.250 0.167 0.125

1.142  Xa    5  5 Xa  1.142

1


10

0.100 1.142

Total

2.2. La Media Armónica Serie Ponderada

 n 1    xi f i   X a   i 1 n    

1

Ejemplo

xi 3 6 9 12 15 Total

xi1

fi 8 22 30 25 5 90

xi1 f i

0.333 0.167 0.111 0.083 0.067

12.078  Xa     90  90 Xa  12.078 X a  7.45

2.664 3.674 3.330 2.075 0.335 12.078

1

4.2

Hallar la media armónica de los problemas de la actividad 4.1

3. Relaciones Entre los Promedios El promedio aritmético esta más influenciado por los elementos grandes de la serie, que el promedio geométrico y el promedio armónico. Los tres promedios quedan ordenados por su magnitud del siguiente modo.

x  X g  Xa

57


4. Cuartiles Los cuartiles, son tres valores que dividen la distribución (ordenada en forma creciente) en cuatro grupos de igual número de términos. El primer valor se denomina primer cuartil ( Q1 ) y los otros segundo cuartil ( Q 2 ) y el tercer cuartil ( Q3 ). El segundo cuartil es igual a la mediana. O sea Q2  Me Cuartiles Serie Simple a) Primer Cuartil

Q1 

n

n 1 4

es el número de términos

b) Segundo Cuartil

Q2 

n 1 2

c) Tercer Cuartil

Q3 

3(n  1) 4

Ejemplo: x: 2, 5, 6, 8, 11, 14, 15, 17, 21, 24, 26

Q1 

11  1 = 3º término de la serie 4

Q1  6

Q2 

11  1 = 6º término de la serie 2

Q2  14

Q3 

3 (11  1) = 9º término de la serie 4

Q3  21

58


Cuartiles Serie Ponderada a) Primer Cuartil

n  Fk(11) 4 Q1  Li  a fk b) Segundo Cuartil (Mediana)

n  Fk(11) Q2  Li  a 2 fk c) Tercer Cuartil

3n  Fk(11) Q3  Li  a 4 fk Los pasos de solución de los problemas de cuartiles, son iguales a los aplicados para obtener la mediana.

5. Deciles Llámese deciles a 9 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma creciente) en 10 grupos de igual número de términos. Para Deciles de serie ponderada, la formula es:

dn  Fk(11) Dd  Li  a 10 fk La solución es igual a los pasos de la Mediana

6. Percentiles Los percentiles son 99 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma creciente) en 100 grupos de igual numero de términos. Para percentiles de serie ponderada la formula es:

59


pn  Fk(11) Pp  Li  a 100 fk La solución es igual a los pasos de la Mediana

7. Aplicación de Cuartiles, Deciles y Percentiles Se tiene los sueldos mensuales de 60 empleados del departamento de ventas de una compañía de seguros, cuya Tabla de Frecuencia es: Sueldo Mensual (S/.) 319 -

369 [

344

4

4

[

369 -

419 [

394

8

12

[

419 -

469 [

444

12

24

[

469 -

519 [

494

11

35

[

519 -

569 [

544

10

45

[

569 -

619 [

594

9

54

[

619 -

669 ]

644

6

60

Halla: a) Cuartil 1 b) Cuartil 3 c) Decil 3 d) Decil 8 e) Percentil 27 Percentil 83

g) Percentil 1

Solución a) Cuartil 1 60

F(1)

fi

[

TOTAL

f)

xi

Hallamos la clase cuartil 1

60


n 60   15 4 4 La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 15

a  50 Li  419 Fk(11)  12 f k  12 n  Fk(11) Q1  Li  a 4 fk 60  12 Q1  419  50 4 12 Q1  431.50 Nuevos soles b) Cuartil 3 -

Hallamos la clase cuartil 3

3n 3 (60)   45 4 4 La clase se ubica en la frecuencia acumulada 45 por contener a 45

a  50 Li  519 Fk(11)  35 f k  10 3n  Fk(11) 4 Q3  Li  a fk 3 (60)  35 4 Q3  519  50 10 Q3  569.00 nuevos soles c) Decil 3 -

Hallamos la clase decil 3

3n 3 (60)   18 10 10 61


La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 18

a  50 Li  419 Fk(11)  12 f k  12 3n  Fk(11) 10 Dd  Li  a fk 3(60)  12 D3  419  50 10 12 D3  444.00 Nuevos soles d) Decil 8 -

Hallamos la clase decil 8

dn 8 (60)   48 10 10 La clase se ubica en la frecuencia acumulada 54 por contener a 48

a  50 Li  569 Fk(11)  45 fk  9 dn  Fk(11) 10 Dd  Li  a fk 8(60)  45 D8  569  50 10 9 D8  585.67 Nuevos soles e) Percentil 27 -

Hallamos la clase percentil 27

pn 27 (60)   16.20 100 100 La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 16.20

62


a  50 Li  419 Fk(11)  12 f k  12 pn  Fk(11) 100 Pp  Li  a fk 27(60)  12 P27  419  50 100 12 P27  436.50 Nuevos soles f)

Percentil 83 -



a  50 Li  569 Fk(11)  45 fk  9 pn  Fk(11) 100 Pp  Li  a fk 83(60)  45 100 P83  569  50 9 P83  595.67 Nuevos soles g) Percentil 1 -



a  50 Li  319 Fk(11)  0 fk  4 63


pn  Fk(11) Pp  Li  a 100 fk 1(60) 0 P1  319  50 100 4 P1  326.50 Nuevos soles


En el siguiente fascículo estudiaremos las medidas de variabilidad o estadígrafos de dispersión, medidas de asimetría y de apuntamiento, sus conceptos, fórmulas y solución de problemas.

64


Nº 4 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Dado la distribución de frecuencia de alturas de 449 plantas en centímetros. f

[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [

Clases 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90 90 95 95 - 100 100 - 105

[

105 -

TOTAL

i

fi [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [

2 7 18 36 59 74 88 72 44 30 11 5

110 ]

3 449

En forma hipotética calcular: a) Media geométrica b) Media armónica c) Media aritmética d) Cuartil 1 e) Cuartil 3 f)

Decil 4

g) Decil 7 h) Percentil 2 i)

Percentil 93

j)

La Moda y Cuartil 2

65


MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO Una de las características común a todas las poblaciones es la variabilidad, dispersión o falta de uniformidad de datos de los individuos que constituyen las poblaciones. Para conocer el tipo de curva de una distribución, es necesario calcular tres valores. El primero es la medida del grado en que los datos de la distribución discrepan del valor central o promedio, esto se consigue con la determinación de la Desviación Estándar. El segundo valor es la medida del grado de asimetría de la distribución, o sea la falta de equilibrio sobre el promedio aritmético. El tercer valor es la medida de la Kurtosis o grado de concentración en los valores centrales de la curva.

-

Calcula varias medidas de dispersión para datos simples y agrupados.

-

Explica las características, uso de las medidas de dispersión.

-

Calcula y explica el uso del coeficiente de variación.

-

Calcula, explica y determina los coeficientes de Asimetría y Apuntamiento.

1. Medidas de Dispersión o Variabilidad Las medidas de dispersión dan idea de la separación de los datos numéricos alrededor de un valor medio (estadígrafos de posición), ó mide el grado de concentración o dispersión de los valores. Clases de Medidas de Dispersión que estudiaremos: A. Dispersión Absoluta a) Rango b) desviación Media c) Varianza d) Desviación estándar B. Dispersión Relativa 66


a) Coeficiente de Variación b) Variable Estandarizada

2. Rango (R) El rango o recorrido es la diferencia entre los valores extremos, máximo y mínimo.

R  X max  X min Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de números: 4, 5, 7, 9.9, 10, 12, 15

R  15  4 R  11

La dispersión de los datos será mayor cuanto mayor sea el recorrido. El rango no es una buena medida de dispersión, puesto que basta con que un dato se aleje mucho de la media para que el rango resulte muy afectado, ya que únicamente depende de dos valores, sin que influyan para nada los datos restantes.

3. Desviación Media (DM) La desviación media es una buena medida de dispersión. Desviación Media Simple n

DM 

x i 1

i

x

n

xi

= elementos o la observación

x

= media

n

= número de elementos

(Valor Absoluto)

Ejemplo: Hallar la desviación media de las tallas 1.47; 1.58; 1.60; 1.62; 1.53 metros. Hallamos:

67


1.47  1.58  1.60  1.62  1.53 5 x  1.56

x

DM  DM 

1.47  1.56  1.58  1.56  1.60  1.56  1.62  1.56  1.53  1.56 5  0.09  0.02  0.04  0.06   0.03

5 0.09  0.02  0.04  0.06  0.03 0.24  DM  5 5 DM  0.048 metros Desviación Media Ponderada n

DM 

x i 1

 x fi

i

n

Ejemplo:

Xi  peso Kg

Total

fi

xi f i 4

160

5.88

23.52

43

5

215

2.88

14.40

46

8

368

0.12

0.96

49

6

294

3.12

18.72

52

3

156

6.12

18.36

26

1193

1º. n

x

x i 1

i

fi

n 1193 x  45.88 Kg 26

68

xi  x f i

40

Hallamos:

2º.

xi  x

75.96


n

x

DM 

i 1

i

 x fi

n 75.96 DM  26 DM  2.92 Kg

4. Varianza La varianza es la medida del cuadrado de la distancia promedio entre las media y cada elemento de la población. Varianza Simple a) Varianza de una Población N

2 

 x i 1

 

2

i

N

b) Varianza de una Muestra

 x n

S2 

i 1

 x

2

i

n

Ejemplo: Calcular la varianza de 4, 5, 6, y 7.

x

x

x

i

n

4  5  6  7 22   5.5 4 4

 x n

S2 

i 1

 x

2

i

n

69


S2 

4  5.52  5  5.52  6  5.52  7  5.52

4 2 . 25 0 . 25 0 . 25 2 .25 5     S2  4 3 2 S  1.25 Varianza Ponderada a) Varianza de Una Población

 x    N

  2

2

i

i 1

fi

N

b) Varianza de Una Muestra

 x n

S2 

i 1

i

2

n

 x n

S2 

 x fi

i 1

i

 x fi

n 1

para n  30

2

para n  30

Ejemplo: Talla(mts)

fi

xi

Total

70

xi f i

x

xi  x 2

xi  x

 x fi 2

i

1.52

3

4.56

-0.08

0.0064

0.0192

1.56

5

7.80

-0.04

0.0016

0.0080

1.60

9

14.40

0

0

0

1.64

6

9.84

0.04

0.0016

0.0096

1.68

4

6.72

0.08

0.0064

0.0256

27

43.32

0.0624


n

x

x f i

i 1

i

n

 x



n

S2 

43.32  1.60 27

 x fi 2

i

por ser n  30 n 1 0.0624 0.0624 S2   27  1 26 2 S  0.0024 metros i 1

5. Desviación Estandar Es la Raíz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la dispersión, expresada en las mismas unidades que los datos originales y no en las unidades cuadradas de la varianza. En general, la Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

   2 para población S  S 2 para muestra Ejemplo: (de los ejemplos de la varianza)

S  S2 S  1.25 S  1.12 Ejemplo:

S  S2 S  0.0024 S  0.049 metros

71


Las formulas de las Desviación Estándar son iguales a la Varianza pero aplicándole la raíz cuadrada.

6. Características de la Varianza y Desviación Estandar a) Son siempre un valor positivo. b) Son influenciado por todos los valores de la muestra o población. c) Mayor influencia ejercen los valores extremos que los que están próximo a los promedios. d) Si en una distribución normal se levanta una ordenada a uno y otro lado del promedio a una distancia igual a la desviación estándar.

x  S  68.26% x  2 S  95.46% x  3S  99.73% El porcentaje de esos valores quedan incluidos dentro de estos límites. e) La varianza y la desviación estándar de una constante es cero. f)

La desviación estándar del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante tomada en valor absoluto por la desviación estándar de la variable.

g) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al cuadrado de la constante por la varianza de las variables. h) La desviación estándar de la suma de una variable y una constante, es igual a la desviación estándar de las variables. i)

La varianza de una función lineal, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

7. Coeficiente de Variación (CV) Es una medida relativa de dispersión, semejante entre las distribuciones, que expresa la desviación estándar en un porcentaje de la media.

72

CV 

 100 

para población

CV 

S 100 x

para muestra


Ejemplo: Si la desviación estándar de la población P es 5 y media población es 40 el coeficiente de variación es:

5 100 40 CV  12.5%

CV 

8. Variable Estandarizada La variable estandarizada se calcula:

Zi  Zi 

xi  



xi  x S

para población para muestra

Ejemplo: En un examen de Estadística, la nota media fue de catorce y la desviación estándar de 1.6. Determinar las variables estandarizadas para los valores o notas de X: 12, 17, 20, 13

Zi 

xi  



Z1 

12 14  2   1.25 1.6 1.6

Z2 

17  14 3   1.87 1.6 1.6

Z3 

20 14 6   3.7 1.6 1.6

Z1 

13 14 1   0.625 1.6 1.6

La variable estandarizada se aplica en la probabilidad de la Distribución Normal.

73


5.1

1) Las ventas diarias (miles de dólares) de una tienda de artefactos eléctricos es: Ventas

f

i

Dias

xi

fi

F (

Calcular:

[

20 -

24 [

9

[

24 -

28 [

12

[

28 -

32 [

8

c) Desviación Estándar

[

32 -

36 [

3

d) Varianza

[

36 -

40 [

3

e) coeficiente de Variación

[

40 -

44 ]

2

TOTAL

a) Rango b) Desviación Media

37

2) Las estaturas de 12 estudiantes de una clase son: 165, 160, 164, 155, 160 y162 cm. Calcular: a) Rango b) Desviación Estándar c) Coeficiente de Variación

9. Medida de Asimetría La medida o estadígrafo de asimetría indica el grado de deformación de la curva de frecuencia, puede ser inclinada a la derecha o izquierda. La curva de frecuencia puede ser simétrica, caso determinado por la posición de la media, mediana y moda (

x  Me  Mo ) Tipo de Medida de Asimetría. a) Curva asimétrica positiva o con cola a la derecha, hay predominio de los valores menores.

74


100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

f x b) Curva asimétrica negativa o con cola a la izquierda, indica predominio de los valores mayores. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

c) Curva simétrica o campana de GAUSS (curva teórica de análisis). 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

0.5

1

1.5

Coeficiente de Asimetría de PEARSON a) En función de la moda.

As1 

x  Mo S

x

= Media aritmética 75


Mo

= Moda

S

= desviación estandar

Resultados:

-

Si el valor es cero, la curva es simétrica.

-

Si el valor es igual a  0 . 1 , la curva es asimétrica moderada positiva o negativa. Si el valor es igual a  0 . 3 , la curva es asimétrica muy marcada positiva o

-

negativa. Si el valor es igual a  1 , la curva es asimétrica máxima positiva o negativa.

-

Ejemplo: La media de los salarios es s/.109.50, la moda s/.108.30 y su desviación estándar s/.4,00 calcular el coeficiente de asimetría

109.50  108.30 4.00 As1  0.3 As1 

Como el valor es positivo es una curva asimétrica positiva muy marcada. b) En Función de la Mediana

As2 

3( x  Me) S

x

= Media aritmética

Me

= Mediana

S

= desviación estandar

Resultados:

-

Si el valor es igual a cero, la curva es simétrica.

-

Si el valor es mayor que cero, la curva es asimétrica positiva.

-

Si el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.

Ejemplo: La media de los pesos de los trabajadores de una fabrica es de 68kg, la mediana 71kg y la desviación estándar de 3.5kg. Calcular el coeficiente de asimetría.

76


3(68  71)  9  3.5 3.5 As2  2.57 As2 

Como el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.

10.

Medida de Apuntamiento

La medida de apuntamiento o estadígrafo de Kurtosis es el grado de deformación vertical de una curva de distribución de frecuencia. Se analiza comparando la curva de distribución con una curva normal o campana de Gauss. Tipos de Curvas de Distribución a) Leptokurticas (LK) Es cuando su elevación es muy pronunciada o sea superior a la curva normal. Se presenta cuando la desviación estándar de dicha distribución es mínima. b) Mesokurticas (MK) Es cuando la elevación es la de una curva normal. c) Platikurticas (PK) Es cuando la elevación es inferior o queda por debajo de una curva normal, se presentan cuando la desviación estándar de la distribución es relativamente grande. 140 120 100 80 60 40 20 0

LK MK PK 0

0.5

1

1.5

Coeficiente de Kurtosis

K Q3

Q3  Q1 2P90  P10 

= Cuantil 3

Q3 = Cuantil 1 P90 = Percentil 90 P10 = Percentil 10 Resultados El valor de K no pasa de 1 tampoco puede ser negativo. 77


PK

0

MK

1 8

LK

3

1 4

1

8

2

Si K esta de cero a1/8 la curva es platikurtica Si K esta de 1/8 a 3/8 la curva es mesokurtica Si K esta de 3/8 a1/2 la curva es leptokurtica Ejemplo: Se tienen las tallas de los estudiantes de la UPLA, cuyos cuartiles 1 y 3 son 1.575 y 1.725 metros, respectivamente, y los percentiles calculados son: P90 = 1.77m y P10 =1.53m Calcular el coeficiente de kurtosis.

1.7525  1.575 0.15  21.77  1.53 0.48 K  0.3125 K

El valor se encuentra en intervalo de mesokurtosis

5.2

La inversión anual (miles de dólares) de un grupo de empresarios de Huancayo, fueron: 12 14 13 18 42 22 Determinar e interpretar. a) Coeficiente de Kurtosis b) Coeficiente de Pearson

78

-

Por la moda

-

Por la mediana

10 16 32 15 14 19

16 27 22 24 27 15

28 13 31 14 28 17

32 19 10 23 21 29

18 38 37 36 37 25

40 18



En el siguiente fascículo estudiaremos las relaciones que

existen entre variables y los

ajustes de curvas para poder inferenciar.

Nº 5 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. El consumo mensual de agua en m3 de 80 familias se tabuló en una distribución de frecuencias de 7 intervalos de amplitud iguales a 3, siendo la marca de clase del cuarto intervalo igual a 19. Si las frecuencias del primer y tercer intervalo son iguales al 5% y 15% del total respectivamente, y si la quinta frecuencia porcentual acumulada es 85% del total. Calcule e interprete: a) Rango. b) Desviación Media. c) Varianza. d) Desviación Estándar. e) Coeficiente de Variación. f) Coeficiente de Asimetría de Pearson. g) Coeficiente de Kurtosis. 79


CORRELACIÓN Y REGRESIÓN En el presente fascículo se estudiara el caso en el que tomar dos variables o características, una puede ser considerada como independiente y la otra como dependiente de la anterior. Por medio de la correlación se puede estudiar la interrelación entre dos características con el fin de medir el grado de asociación que existe entre ellos. Con frecuencia se desea saber si las variaciones de una característica provocan variaciones en la magnitud de otra característica, esta se puede representar de acuerdo a su tendencia: lineal o parabólica, finalmente, se estudiará la aplicación de la ecuación exponencial.

-

Define, calcula e interpreta al coeficiente de correlación.

-

Calcula, interpreta e infiere las tendencias de las variables o características.

-

Calcula e interpreta la aplicación de la ecuación exponencial.

1. Correlación Se llama correlación entre las variables a la relación que existe entre las variables de una distribución bidimensional. Dependiendo de esta aproximación de la nube de puntos a la recta de regresión, tendremos tres clases de correlación. a) Correlación Positiva Es cuando al aumentar una variable, la otra también aumenta. La recta de regresión en este caso es una recta creciente. y

300 250 200 150 100

50 0 0

80

0.5

1

1.5x


b) Correlación negativa Es cuando aumentan una de las variables, la otra disminuye. En este caso la recta de regresión es decreciente. y

300 250 200 150 100

50 0 0

0.5

1

x

1.5

c) Correlación Nula Se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables. y

250 200 150 100

50 0 0

0.5

1

x

1.5

2. Coeficiente de Correlación Trata de determinar matemáticamente la existencia de la relación entre dos factores o fenómenos, averiguar si uno de ellos influye en el otro o si no hay ninguna relación o dependencia entre un hecho y el otro. Ejemplo: Se trata de establecer si están relacionados:

-

El alcoholismo y la criminalidad

-

El analfabetismo y el bajo ingreso.

-

La temperatura veraniega y enfermedades intestinales.

-

La edad y la presión arterial.

81


 x  y 

 ( xy ) 

r

x

 x  

2

2

n

n

y

 y  

2

2

Donde:

r = Coeficiente correlación

x

= Variable independiente

y = Variable dependiente

n

= numero de datos

Resultados: El coeficiente de correlación varía de los valores  1 para la correlación perfecta al valor cero, para ausencia absoluta de correlación. Ejemplo: Hallar la correlación entre los siguientes datos referentes a edades y presión sanguínea de un grupo de mujeres.

n

Edad

Presión Sanguínea

x

y

x2

y2

1

56

147

8232

3136

21609

2

42

125

5250

1764

15625

3

72

160

11520

5184

25600

4

36

118

4248

1296

13924

5

63

149

9387

3969

22201

6

47

128

6016

2209

16384

7

55

150

8250

3025

22500

8

49

145

7105

2401

21025

9

38

115

4370

1444

13225

10

42

140

5880

1764

19600

11

68

152

10336

4624

23104

12

60

155

9300

3600

24025

Total

628

1684

89894

34416

238822

Aplicando la formula

82

xy


89894 

r

34416 

r

6282 12

6281684 12 238822 

16842 12

1765 1550.7 2501

r  0 .896

Interpretación: existe una fuerte relación entre la edad y la presión sanguínea por que 0.896 esta cerca de 1

6.1

Experimentalmente se han encontrado las siguientes cifras, durante el proceso de estudio del secado de cierta madera por el método del vapor recalentado, el tiempo ha sido medido en medias horas. Tiempo

x

Contenido de humedad

y

0 50% 1 34% 2 24% 3 18% 4 14% 5 11% Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.

3. Regresión Proceso general de predecir una variable a partir de otra con medios estadísticos, usando datos anteriores. Regresión Lineal Línea ajustada a un conjunto de puntos de datos para estimar la relación entre dos variables.

4. Series de Tendencia Rectilinea y  a  bx

Ecuación General 83


y

=

variable dependiente

x ayb

=

variable independiente

=

parámetros

Para hallar los parámetros a y b, aplicamos:

a b

 y  b x n n xy   y  x n x 2   x  x

Ejemplo: En el cuadro representa las ventas anuales el los años indicados. Años 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Venta (millones de soles) 4 6 8 10 12 14

-

Año

Ventas Anuales (millones de soles)

x

y

x1

x2

xy

1998

4

1

4

1

1999

6

2

12

4

2000

8

3

24

9

2001

10

4

40

16

2002

12

5

60

25

2003

14

6

84

36

54

21

224

91

Los años con la finalidad de reducir números grandes se remplaza por la serie correlativa de 1 al…, siempre que los años seas correlativo de 1 en 1.

-

Definir siempre, que variable es dependiente e independiente.

-

Graficar los datos, con la finalidad de determinar la tendencia de la serie.

Para encontrar los parámetros a y b determinamos los componentes de las fórmulas en el cuadro y luego planteamos la ecuación general.

84


6224  54(21) 6(91)  21(21) 1344  1134 210 b  546  441 105 b2 b

54  2(21) 6 54  42 12 a  6 6 a2 a

Ecuación general

y  a  bx y  2  2x Si uno desea proyectar las ventas, por ejemplo al 2005, se hace lo siguiente.

y 2005  2  2(8) Como se denota en el cuadro: Al 2001 le corresponde el 4 Al 2002 le corresponde el 5 Al 2003 le corresponde el 6 Al 2004 seria el 7 Al 2005 es el 8

y 2005  2  2(8)  18 Interpretación:

las ventas al 2005 seria de 18 millones de soles.

5. Serie de Tendencia Parabólica Si después de graficar una serie estadística en un plano coordenado y unir los diversos puntos, observamos que ha formado una figura parabólica, la ecuación de ajuste será.

y  a  bx  cx 2

Ecuación General

Para hallar los parámetros aplicamos.

85


 y  c x a

2

n

 xy x n x y   x  y c n x   x  x

b

2

2

2

4

2

2

Ejemplo: Las paredes de un horno de una ladrillera varia de espesor y con el auxilio de un pirómetro se han encontrado las siguientes temperaturas. Temperatura (En centenar ºC)

Espesor de la pared (dm) x

y

0 1 2 3 4 5

1.0 1.3 2.0 3.1 4.6 6.5

1º. Graficamos 7 6 5 4 3 2 1 0 0

0.5

1

2

1

3

4

1.5

5

6

Es una parábola 2º Aplicamos la ecuación

y  a  bx  cx 2 3º Hallamos los parámetros a, b y c, a partir de los datos y componentes de las ecuaciones.

86


Espesor Temperatura

n

x2

xy

x4

x2y

1

0

1.0

0

0

0

0

2

1

1.3

1.3

1

1.3

1

3

2

2.0

4.0

4

8.0

16

4

3

3.1

9.3

9

27.9

81

5

4

4.6

18.4

16

73.6

256

6

5

6.5

32.5

25

162.5

625

15

18.5

65.5

55

273.3

979

Total

c

y

x

n x 2 y   x 2  y n x 4   x 2  x 2

c

6( 273 .3)  55(18.5) 6(979 )  55(55)

c

1639.8  1017.5 622.3  5874.0  3025.0 2849.0

c  0 . 22

 y  c x a

2

n

a

18.5  0.22(55) 6

a

18.5  12.1 6.4  6 6

a  1 .1

b

 xy x

b

65.5 55

2

b  1 .2 Luego

y  1.1  1.2 x  0.22 x 2

87


Ahora si queremos saber cuanto seria la temperatura en una pared de 9dm.

y  1.1  1.2(9)  0.22(9) 2 y  1.1  10.8  17.82 y  29.72 Interpretación: en un horno de 9 dm. De grosor de la pared, la temperatura se elevaría a 29.72 centenares de ºc

6.2

La densidad del agua “d” varia con la temperatura “t” (en grados centígrados), tal como se muestra en el cuadro.

t

d 0.9998 0.9999 0.9997 0.9992 0.9983 0.9971

0 5 10 15 20 25

Hallar e interpretar a) El coeficiente de correlación. b) Cuanto seria la densidad del agua a una temperatura de 30ºc

6. Aplicación de la Ecuación Exponencial Caso Población

Pt  Po 1  r 

t

Pt

= población final

Po

= población año base

r

= tasa de crecimiento medio poblacional

t

= número de periodos

Deducción de Formulas

rt

t 88

Pt 1 P0

log Pt  log Po log(1  r )


La tasa de crecimiento medio r puede ser negativo, si una ciudad baja su población. Caso de Interés Compuesto

M  C1  i  M

= Monto

C

= Capital

i

= Tasa de intereses

n

= numero de periodos

n

Ejemplo: La población del departamento de Junín hipotéticamente en 1983 fue 849300 habitantes y en 1998 fue de 1010700 habitantes. ¿Cuánto seria la población en el 2005? 1º

Hallamos la tasa de crecimiento medio.

t  1998  1983  15 Pt  1010700 Po  849300

rt

Pt 1 Po

1010700 1 849300 r  0.0117 ( se multiplica por 100) r  1.17% de crecimiento promedio anual r  15

2º

Proyectamos

t  2005  1998  7 Pt  1010700 Po  0.0117

Pt  Po 1  r 

t

P2005  10107001  0.0117 

7

P2005  1096439 habitantes 89


Luego, la población crece a 1.17% promedio anual y en el 2005, Junín tendría 109643 habitantes.


En el siguiente fascículo iniciamos el estudio de la teoría de la probabilidad, conceptos básicos; análisis combinatorio y diagrama de árbol.

90


Nº 6 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Los gastos de publicidad de una empresa y las ventas efectuadas vienen dadas por la siguiente tabla(los datos están expresados en millones de nuevos soles). Publicidad Venta

1 10

2 12

5 15

6 16

7 17

9 18

12 22

14 24

a) Obtenerla recta de regresión. b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. c) Calcular las ventas estimadas si se invierten 10 millones de nuevos soles en publicidad.

2. Demostrar que la correlación es perfecta entre el tiempo y el capital de s/1,00 impuesto a una tasa de interés del 6% anual a interés compuesto. Año Monto a interés compuesto

1

2

3

4

5

6

7

1.00

1.060

1.124

1.191

1.262

1.338

1.419

3. La población de Jauja hipotéticamente fue de 42350 habitantes en 1993 y para el año 2000 tuvo 38970 habitantes. a) ¿Cuánto ha sido su tasa de crecimiento medio anual? b) ¿Cuánto seria la población en el año 2006?

91


PROBABILIDAD (I) El propósito de este fascículo es determinar los modelos matemáticos que permita descubrir concretamente las pruebas regidas por el azar y que proporcione un apoyo teórico en el tratamiento de la Estadística Inferencial. En esta primera parte nos orientaremos a la teoría de la probabilidad, a los principales conceptos y al análisis combinatorio.

-

Define lo que es probabilidad.

-

Explica los términos experimento, espacio muestral y evento.

-

Maneja los principios de probabilidad.

-

Cuenta el número de subconjunto que se puede armar a partir de un conjunto.

-

Analiza y calcula problemas de permutación, variación y combinación.

1. Introducción a la Teoría de la Probabilidad Jacob Bernoulli, Abraham de Moure, Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron fórmulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX Pierre Simon, Marquis de Laplace, unificó esas primeras ideas y formuló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juegos y, lo que es más importante para nuestro estudio con el tiempo, también se aplicó a otros problemas socioeconómicos. La teoría matemática de la probabilidad constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación social como en la toma de decisiones.

2. Concepto de Probabilidad La probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo. Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales entre 0 y 1. Asignar una probabilidad de cero

92


significa que algo nunca ocurrirá; una probabilidad de 1 indica que algo sucederá siempre. La noción de probabilidad viene de la necesidad de medir de alguna manera la certeza o la duda de que algún suceso ocurra o no. El fin de la teoría de probabilidades es examinar las formas y los medios de obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos para combinarlos cuando intervienen varios sucesos en un experimento.

3. Experimento Experimento es la prueba, ensayo u observación de un hecho o fenómeno. Los experimentos pueden ser 3.1. Experimento Determinístico Es cuando anticipadamente sabemos lo que va a ocurrir, o sea donde entra la voluntad del hombre, el resultado puede determinarlo, la persona. Ejemplos:

-

Cuando se lanza una flecha hacia arriba, se sabe que va a caer.

-

Cuando se suma números pares, el resultado será también un número par.

3.2. Experimento Aleatorio Son aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. En este experimento no funciona la voluntad del hombre. Ejemplos:

-

Cuando lanzamos un dado, no sabemos que numero va a salir.

-

Predecir la duración de una conversación telefónica.

-

Lanzar un proyectil hacia un blanco determinado, no sabemos si dará en el blanco.

4. Espacio Muestral ( S ) (Ω) Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

93


Ejemplo:

-

Experimento E: lanzar un dado Espacio Muestral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

-

E: lanzar dos monedas S:{(cara, cara), (sello, sello), (cara, sello), (sello, cara)}

-

E: elegir una persona en la calle, en cuanto a su estado civil S:{casado, soltero, viudo, divorciado, conviviente}

5. Evento o Suceso (A) El evento o suceso es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio; o sea, un resultado que presenta cierto atributo o característica que nos interesa para su análisis. El evento o suceso en un subconjunto del Espacio Muestral. Ejemplos:

-

Al lanzar una moneda y un dado, obtener cara y un número par. Suceso A= {(c, 2), (c, 4), (c, 6)}

-

Al lanzar dos dados, dé como resultado 7. A= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

-

De un grupo de personas A, B; C; D, elegir una comisión de tres personas en el que este A. A= {(ABC), (ABD), (ACD)}

-

De cuatro libros A, B, C, D, se quieren guardar en un estante, donde C siempre este ultimo. A= {ABDC, ADBC, DABC, BADC, BDAC, DBAC}

Cualquier suceso que sea igual al conjunto vació

se llama suceso imposible, y por tanto,

será un suceso que no se produce nunca. Cualquier suceso que sea igual al espacio muestral se llama suceso seguro (es el suceso que ocurre siempre). Ejemplos: En el lanzamiento de una moneda:

94


Obtener cara y sello es un suceso imposible. Obtener cara o sello es un suceso seguro. -

En el lanzamiento de un dado: Obtener un número negativo es un suceso imposible Obtener un número menor que siete es un suceso seguro.

7.1

Realizar 10 ejemplos de experimentos aleatorios con un suceso y determinar su espacio muestral y el suceso o evento por extensión. 5.1. Operaciones con Eventos o Sucesos En el conjunto de todos los eventos o sucesos del espacio muestral, se pueden definir operaciones entre los eventos. Estudiaremos brevemente las siguientes operaciones: a) Reunión o Unión de Eventos Es designado por A  B, es el evento que esta formado por los elementos del espacio muestral que están en A, en B o en ambos eventos a la vez.

A

B

AB b) Intersección de Eventos Es la designación por A  B o AB, es el evento formado por los elementos comunes a A y B.

95


A

B

AB c) Complemento de un Evento El complemento de A se denota con A ,A’ o A c , se define con el evento formado por los elementos del espacio muestral que no están en A. El evento A se realiza cuando el evento A no se realiza.

A

c A ,A’ o A

Ejemplos: En el experimento aleatorio lanzar un dado, sean los sucesos: K: obtener número par L: obtener múltiplo de 3 Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} K= {2, 4, 6} L= {3, 6} Se tiene: KL

= {2, 3, 4, 6}

KL

= {6}

K =K’

= {1, 3, 5}

L = L’

= {1, 2, 4, 5}

Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente, es decir, si AB = Ø 96


5.2. Propiedades a) Asociatividad A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C b) Conmutatividad AB = BA AB = BA c) Simplificación A  (B  A) = A A  (B  A) = A d) Idempotencia AA = A AA = A e) Complementación A  A’= Ω A  A’= Ø f)

Universal e Ínfimo AΩ = Ω AΩ = A AØ = A AØ = Ø

g) Distributiva A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) h) Leyes de Morgan (A  B)’=A’  B’ (A  B)’=A’  B’

7.2

Se lanzan 2 monedas. Sean: 97


A = {salgan 2caras} B = {salgan 2 sellos} C = {salgan una cara y un sello} Obtener los siguientes sucesos: a) A  B b) A  C d) A’ e) C’ g) A  B  C h) A  B  C 5.3. Relaciones Entre Sucesos O Eventos

c) A-B f) (A  B)’

a) Inclusión de Suceso Diremos que el suceso A esta incluido en B si todas las ocurrencias de A esta incluido en B si todas las ocurrencias de A son también ocurrencias de B, se escribe AB Ejemplo: A= {1, 2, 3} B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

AB

b) Suceso Mutuamente Excluyente Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando no tiene ocurrencias comunes. Se escribe: AB = Ø Ejemplo: No puede ocurrir que un abogado sea analfabeto. Abogados y analfabetos son sucesos excluyentes. c) Suceso Mutuamente Exhaustivo Dos sucesos A y B son mutuamente exhaustivos cuando son a la vez mutuamente excluyentes y complementarios. Entonces diremos: A y B son mutuamente exhaustivos sí solo sí: A  B = Ø  A  B = Ω d) Partición de Sucesos

98


Diremos que el espacio muestral esta particionado en A1, A2, A3, etc. .Sí solo sí cumple las siguientes condiciones: 1º

A1 ≠ Ø, A2 ≠ Ø, A3 ≠ Ø, … Esto quiere decir que tiene ocurrencias

2º

A1  A2 = Ø, A1  A3 = Ø, A2  A3 = Ø, … O sea que no comparten ocurrencias, no tienen elementos comunes.

3º

A1  A2  A3…= Ω Es la unión de todos al unir todos los elementos y dar como resultado el espacio muestral.

A1 A3

A2 A4

…

Ω

e) Potencia de un Suceso o Algebra de Elemento (2S)

2 S  A A  S  Ejemplo: Experimento= {lanzar una moneda}

S    c, s 2S  22  4  2 S   , c, s, c, s

6. Analisis Combinatorio Es una parte del algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con cierto numero de objetos, atendiendo a determinados criterios. Principios a) Principio de Adición

99


Consiste en que dado dos o más sucesos mutuamente excluyente puede ocurrir de la primera o segunda forma.

A

#A = m

B

#B = n

Ocurrencia de A o B = m+n maneras Ejemplos: -

Se viaja de Lima a Huancayo, hay 2 compañías aéreas y 12 empresas terrestres. M=2, n=12 Hay 14 formas de viajar (son excluyentes o mutuamente excluyentes).

-

Para ir

de un punto de la ciudad a otro hay avenidas

y jirones que son

excluyentes. Si hay 5 avenidas y 2 jirones de cuantas maneras se puede desplazar. Avenidas

m=5

Jirones

n=2

m+n = 5+2 = 7 maneras b) Principio de Multiplicación #A = m y #B = n Ocurrencia de A y B = m Ejemplos: -

Se quiere combinar 4 chompas y 2 faldas de diferentes colores, donde: A = 4 chompas (azul, negra, blanca, verde) B = 2 faldas (roja, marrón) m × n = 4 × 2 = 8 formas diferentes de combinar

-

Cuantos números pares de 3 cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, y 6.

100


3

4

3 Dígitos pares Restamos un dígito (Un dígito par se ubica al final) Restamos dos dígitos del total

La cantidad de número de 3 cifras diferentes es: 3 × 4 × 3 = 36 -

Dado los dígitos 0, 3, 5, 6, 8: 

Cuantos números de 4 cifras se pueden escribir

5 El cero no puede ubicarse 

6

6

6

5 × 6 × 6 × 6 =1080

Cuantos números de 4 cifras múltiplos de 5 se pueden escribir

5

6

6

2 2 dígitos múltiplo de 5 (el 0 y 5)

El cero no puede ubicarse 5 × 6 × 6 × 2 =360 

Cuantos números de 4 cifras impares se pueden escribir

5 El cero no puede ubicarse

6

6

3 Ubicación de los impares

101


7.3

1. Con los 10 dígitos (0, 1… 9) a) Cuantos números de 3 cifras se pueden escribir. b) Cuantos números de 3 cifras múltiples de 5 se pueden escribir. 2. Un producto se vende en 3 mercados: en el primer mercado se tiene disponible 5 tiendas, en el segundo mercado 4 y en el tercer mercado 6 tiendas, ¿De cuantas maneras puede venderse el producto? 3. Una persona puede viajar de una ciudad A a otra B de 5 formas y de B a C de 6 formas diferentes. ¿De cuantas formas puede ir de A a C pasando por B?

7. Factorial de un Número Se llama factorial

de un numero “m” o “m factorial” al producto de los m factores

decrecientes a partir de m hasta 1. Se designa por: ! m factorial= m! Ejemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 3! = 3 × 2 × 1 = 6 OBSERVACIÓN 0!=1

8. Permutación Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, se distingue de los otros en el orden. Ejemplo: Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar a, b y c Hay 6 posibles agrupaciones: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (c, a, b), (c, b, a)

102


8.1. Permutación Ordinaria Pm = m! Ejemplos:

-

Cuantos números de 4 cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos 3, 4, 5y6 P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 P4 = 24

-

De cuantas maneras diferentes pueden colocarse, en un estante 5 libros diferentes de Estadística y tres de Biología. a) Si no hay ninguna condición sobre las ubicaciones. b) Si los libros de cada curso deben estar juntos. c) Si solo los libros de Biología deben estar juntos. Solución: a) Pm = m! P8 = 8! = 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1 P8 = 40320 maneras b) Libros de Estadística

P5 (bloque)

Libros de Biología

P3 (bloque)

Entre grupos de libros de Estadística y de Biología. P2 P5 × P3 × P2 = 5! 3! 2! = 120 × 6 × 2 = 1440 c) Los libros de Biología permutan entre 3 y forman un solo bloque P3 Los libros de Estadística permuta entre los 5 y también permuta con el bloque de Biología. P6 P5 × P6 = 3! 3! = 6 × 7202 = 4320

103


8.2. Permutación Circular PmC = (m-1)! Se refiere al cambio de posición pero en una circunferencia. Se toma cualquier punto de referencia por que no hay centro. Ejemplo: De cuantas formas diferentes pueden sentarse 10 ministros alrededor de una mesa si: a) Si pueden sentarse de cualquier forma. b) Dos ministros determinados deben estar juntos. c) Dos ministros determinados no deben estar juntos. Solución a) PmC = P10C = (10-1)! = 9! = 362880 formas b) Dos ministros siempre juntos se considera como 1. Pero permutan en ellos P2 y luego permutan con los 8 restantes formando como si fueran 9 ministros.

P9C  P2  (9  1)!  2! 8! 2! 80640 formas c)

P10 C  P9 C  P2   362880  80640  282240

8.3. Permutación con Repetición

Pmm1m2 

m! m1! m2 !

m = total de elementos Repetición: Por que los elementos pueden entrar varias veces en las agrupaciones. Ejemplo:

-

Cuantos numeros de cuatro cifras se pueden escribir con dos 5 y dos 7

Pmm1 ,m2  P24, 2  104

4! 24   6 maneras 2! 2! 4


Por extensión: 5775 5757 5577

-

7557 7575 7755

Cuantos signos diferentes, cada una de 6 banderas, colocadas en línea vertical pueda formarse con un conjunto de 4 banderas rojas y 2 banderas blancas.

P46, 2 

6! 720 720    15 maneras 4! 2! 24  2 48

9. Varicación Es una forma de permutación, en el cual no interviene todos los elementos. 9.1. Variación Simple o General

Vnm 

m! (m  n)!

m = todos los elementos n = parte de m Ejemplos:

-

De cuantas maneras diferentes se pueden presentar a, b, c y d tomados de dos en dos.

V24 

-

4! 24   12 maneras (4  2)! 2

De un conjunto de 6 candidatos, de cuantas maneras se pueden elegir 3, Presidente, secretario y tesorero.

V36 

6! 720   120 maneras (6  3)! 6

9.2. Variación con Repetición

Vnm r  m n Ejemplos:

105


-

De cuantas maneras diferentes pueden presentarse a, b, y c tomados de dos en dos con repetición. V23 r = 32 = 9 maneras

-

Cuantos números de dos cifras, con repetición se pueden escribir con 5, 6, 7 y 8 V42 r = 42 = 16 maneras

10.

Combinación

Son ciertos arreglos que se hacen con una parte del total de elementos, en el cual no interesa el orden, o sea un grupo del otro se diferencia de elemento en elemento. 10.1. Combinación Simple O General

C nm 

m! n!( m  n )!

m = total de elementos n = parte de m Ejemplos:

-

En una reunión hay 15 personas. Cuantos apretones de manos se darán al saludarse todos ellos entre sí.

C215 

15! 15! 15  14  13   210     105apretones 2!(15  2)! 2! 13! 2  1  13   2

(se puede simplificar)

-

En una reunión hay 10 varones y 6 damas. De cuantas maneras pueden colocarse en una fila de grupo de 5; de los cuales 3 sean varones y 2 mujeres. Solución: Forma de escoger varones

C 310

Forma de escoger damas

C 26

En la fila se pueden permutar entre 5

P5

Total de maneras

= C3  C 2  P5 ! 10

= 106

6

10! 6!   5! 3!(10  3)! 2!(6  2)!


= 120  15  120  216 10.2. Combinación Con Repetición

Cnm r 

(m  n  1)! (m  1)! n!

Ejemplo: -

Cuantas combinaciones con repetición, obtendremos dados 4 símbolos diferentes, tomados de tres en tres.

C34 r 

( 4  3  1)! 6! 720   ( 4  1)! 3! 3! 3! 36

 20 combinaciones 11.

Diagramas de Arbol

Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras. La construcción de diagramas de árbol se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo: Marcos y Enrique intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane dos juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente muestra los posibles resultados del torneo.

M

M M

M

E

E E

E

M

M M

M E

M

E E

E E

107


Nótese que hay 10 puntos finales que corresponden a los 10 resultados posibles del torneo: MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EE El recorrido desde el principio del árbol a los puntos finales indica quién ganó cada juego en el torneo individual. 7.4

1. A una reunión asistieron, 2 damas y 3 caballeros. a) ¿De que maneras pueden sentarse en una fila? b) ¿De cuantas maneras se pueden sentar alrededor de una mesa circular? c) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los caballeros también? d) ¿De cuantas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los caballeros también, pero alrededor de una mesa circular? e) ¿De cuantas maneras pueden sentarse en fila si las damas siempre están juntas? 2. En una carrera de caballos participan 19 ejemplares, si se trata de que usted acierte los tres primeros puestos en la clasificación final. ¿De entre cuantas posibilidades tendría que escoger una? 3. Con 6 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consta de tres consonantes y tres vocales?. NO interesando que las palabras así formadas tengan significado. 4. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) ¿De cuantas maneras tiene que escoger? b) ¿De cuantas maneras, si las tres primeras son obligatorias? d) ¿De cuantas maneras, si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas? 5. De un total de 5 preguntas teóricas y 7 preguntas prácticas, un estudiante debe resolver 2 de teoría y 3 de práctica. a) ¿De cuantas formas puede escoger? 108


b) ¿De cuantas formas si debe resolver obligatorio una pregunta practica? c) ¿De cuantas maneras debe escoger si dos preguntas teóricas determinadas no deben resolver? 7.5

1. Se corre una carrera en la que dan premios a los dos primeros participantes que crucen la línea de la meta. Si hay cuatro corredores (K, L, M, N) ¿De cuantas maneras diferentes pueden repartirse las copas los participantes?

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966. GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16, Edición El Popular, Lima-Perú, 2005. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum. Colombia. 1970 MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

En el siguiente fascículo, continuaremos con la teoría de probabilidades y estudiaremos: probabilidad método clásico, método de la frecuencia relativa, probabilidad condicional y teorema de BAYES.

109


Nº 7 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. El testigo de un atropello recuerda que la placa del auto tiene 65 dígitos diferentes y solamente ha memorizado los tres primeros que son: 3, 4, 7, …¿ Cuantos números de placas diferentes tendrá que investigar la policía? 2. Siete varones y cinco mujeres van a formar comités de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden formarse si: a) En el comité hay tres mujeres? b) Cuando como mínimo 3 mujeres? 3. En un examen de Estadística, un estudiante debe responder 6 preguntas de 10 dadas. ¿De cuantas maneras diferentes debe escoger si debe responder por lo menos 2 de las 5 primeras preguntas? 4. Un club de voley cuenta con 12 jugadoras. ¿De cuantas maneras diferentes puede formar un equipo el entrenador, sabiendo que siempre tiene que estar Rosa que es la preparadora? 5. En una reunión hay tres jóvenes y tres señoritas. a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca, tanto los jóvenes como las señoritas si deben estar juntos? b) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si solamente las señoritas deben estar juntas? d) ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si los jóvenes ocupan los lugares pares? 6. Una joven tiene 6 amigas, de las cuales invitará para su cumpleaños solamente a tres ¿De cuantas maneras debe hacer la invitación, ni dos de ellas solamente pueden asistir juntas. 7. Tres señoritas Maria, Magna y Maritza, compiten en un curso de belleza. Los premios solamente son otorgados a solas que ocupen el primer y segundo lugar. a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento al “Elegir las dos ganadoras” b) Liste el Evento o suceso “Magna y Maria ganan los premios”.

110


111


PROBABILIDAD (II) Vivimos en un mundo donde somos incapaces de pronosticar el futuro con absoluta certeza. La necesidad de sortear la incertidumbre nos lleva a estudiar y aplicar la teoría de la probabilidad. En este fascículo continuamos con la teoría de probabilidades a través del método clásico, método de frecuencia relativa, Método subjetivo y probabilidades frente a apuestas y de espacios muestrales finitos.

-

Describe los enfoques clásicos de frecuencia relativa y subjetiva para probabilidad.

-

Define los términos de probabilidad condicional, frente a apuestas y de espacios muestrales finitos.

-

Calcula posibilidades utilizando el teorema de Bayes.

1. Definición Clásica De Probabilidades Si un espacio muestral tiene n eventos sencillos o elementales, todos igualmente factibles, posibles o equiprobables entonces las probabilidad del evento A es igual al número de casos favorables (elementos de A) sobre el numero de casos posibles (elementos del espacio muestral)

P A  

Número de casos favorables # A  # Número de casos posibles

Ejemplo:

-

Al lanzar un dado cual es la probabilidad de obtener un número par. Ω =

S = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}  #S = 6 A = {2, 4, 6}  #A = 3

P A  112

#A 3 1   ó 0.5 #S 6 2


-

En una urna hay 3 bolas negras y 4 bolas rojas. Si se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea roja? S= {N, N, N, R, R, R, R} A= {R}

P A 

#A 4  ó 0.57 #S 7

Axiomas de Probabilidad a) La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo

0  P( A) b) La probabilidad del espacio muestral es 1

P( S )  1 c) La probabilidad de un evento vacío es igual a cero

P()  0 d) Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes; esto es si: A B  

Entonces:

P( A  B)  P( A)  P(B) Teoremas de Probabilidad. a) La probabilidad del complemento de un evento es igual a unión menos la probabilidad de dicho evento.

P( A' )  1  P( A) b) Si Ay B  2 S (algebra de los elementos) y A  B entonces: 113


P(B)  P( A) c) Si Ay B  2 S entonces

P( A  B)  P( A)  P( A  B) d) Si Ay B  2 S entonces

P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B) Ejemplos: -

Sean A y B, dos eventos que no sean mutuamente excluyentes, tal que:

P ( A)  0.20 P ( B )  0.30 P ( A  B )  0.10 S

A

B 0.10

0.10

Hallar: a) P(A' ) b) P( A'  B' ) c)

P( A'  B' )

d) P( A'  B) e) P( A  B' ) f)

P( A'  B)

Solución: a)

P( A' )  1  P( A)  1  0.20  0.80 b)

P( A'  B' ) De la ley de Morgan 114

0.20


A'B'  ( A  B)'  P( A'B' )  P( A  B)' Pero de:

P( A  B)'  1  P( A  B)  1  0.40  0.60 c)

P( A'  B' ) P( A' B' )  P( A' )  P( B' )  P( A' B' )  0.80  0.70  0.60  0.90 Otra forma de obtener: De la ley de Morgan

P ( A' B ' )  P ( A  B )'  1  P( A  B)  1  0.10  0.90 d) P( A'  B)

P ( A' B)  P( A' B ) significa iguales  P( B  A)  P ( B )  P ( A  B ) teorema  0.30  0.10  0.20 e) P( A  B' )

P( A  B' )  P( A  B)  P( A)  P( A  B)  0.20  0.10  0.10 f)

P( A'  B) P( A'  B)  P( A' )  P( B)  P( A'B)  0.80  0.30  0.20  0.90 115


8.1

Sean A y B cualesquiera, tal que:

P( A  B)  3 4 P( A' )  23 P( A  B) 

1

4

Hallar: a) P(B) b) P( A  B' ) c)

P( A'B' )

d) P( A'  B)

2. Probabilidad De Frecuencia Relativa Cuando nos planteamos ciertas preguntas ¿Cuál es la Probabilidad de vender 2 cocinas en esta semana o de vender una cocina y una refrigeradora? ¿Cuál es la probabilidad de que Rubén apruebe la asignatura de Estadística? Para contestar estas dos preguntas no nos sirve la definición clásica, en este caso necesitamos más información, para lo cual recurrimos a otros tipos de definiciones, por ejemplo, a la definición por frecuencia relativa, la cual se define de la siguiente manera: Sea A  2 S A pertenecer al algebra de elementos. La frecuencia absoluta ( fi ) es el número de veces que ocurre este evento en una serie de n repeticiones similares del experimento y denotamos por f A , entonces la frecuencia relativa ( h i ) del evento A esta dado por: Luego: 1º 0  h A  1 116

hA 

fA  P(A) n


2º La frecuencia relativa de todo el espacio muestral será:

hS 

fS n  1 n n

3º h A B  h A  hB Ejemplos:

-

Al escoger al azar un trabajador de la tabla ¿Cuál es la probabilidad de que este gane de S/205 a S/233? Tabla de Frecuencia de Salarios de Trabajadores Salario

i

fi

hi

1 [ 163 - 177 [

4 0.06

2 [ 177 - 191 [

6 0.08

3 [ 191 - 205 [

9 0.12

4 [ 205 - 219 [

13 0.18

5 [ 219 - 233 [

15 0.21

6 [ 233 - 247 [

13 0.18

7 [ 247 - 261 ]

12 0.17

TOTAL

72

1

P ( 4   5 )  P ( 4 )  P ( 5 )  h4  h5  0.18  0.21  0.39  39% La probabilidad de encontrar un trabajador que ganes de s/205 a s/233 es del 39%

-

El siguiente cuadro contiene la clasificación de 321 obreros de una empresa respecto a dos características: 1º

El numero de años que están trabajando en la empresa.

2º

Su respuesta a la pregunta “Desea usted ir a la huelga para obtener un aumento de salario”. Respuesta

Número de Años de la Empresa

Total 117


Si No No se Total

Menos de 1 año 27 14 3 44 A

1a3 54 18 2 74

4 a 10 137 34 1 172

B

C

Más de 10 28 3 0 31 D

246 69 6 321

¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar: a) Tenga de 1 a 3 años en la empresa. b) Haya contestado “si” a la pregunta. c) Contesto “si” y esta trabajando en la empresa de 1 a 3 años d) Contesta “si” y pertenece por lo menos 4 años a la empresa. Solución: Para facilitar la solución ponemos letras mayúsculas a las filas y columnas. a) P( B) 

74  0.2305  23.05% 321

b) P( M )  c)

246  0.7663  77% 321

P(M  B) 

54  0.1682  17% 321

d)

PM  C  D   PM  C   M  D   P( M  C )  P( M  D) 137 28   321 321 165   0.514  51.4% 321 8.2

En una encuesta se determino que la probabilidad de que una persona consuma el producto A es 0.5, que consuma B es 0.37, que consuma el producto C es 0.3, que consuma A y B es 0.12 que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15 ¿Calcular la probabilidad de que una persona escogida al azar consuma: 118


a) Solamente consuma el producto B b) Por lo menos dos de los productos c) Exactamente dos productos d) Que consuma A o B pero no C

3. Probabilidad Subjetiva En la vida diaria hay ciertas preguntas que se hacen ciertos especialistas. Ejemplo: a) Un medico investigador dirá que al término de esta década se va a obtener una vacuna contra el SIDA. b) Un ingeniero de la NASA dirá que dentro de 20 años estaremos viajando a Venus. Este tipo de probabilidad no se puede contestar con la definición clásica ni con la de frecuencia relativa, porque no dio anteriormente y el enfoque es subjetivo por que hay una sola oportunidad de ocurrencia de este evento. La probabilidad subjetiva de la ocurrencia de un evento A es un numero asignado por un individuo de acuerdo a las evidencias que dispone otra persona con otras evidencias podría asignar a la ocurrencia del mismo evento A, otra probabilidad diferente (número diferente al anterior).

4. Probabilidad Frente a Apuestas Sea A un evento cualquiera. Si las a apuestas a favor de A son de 5 a 3, esto significa que la probabilidad de A es: 5 a 3 a favor de A P ( A) 

Interpretación:

5 5  53 8

de 8 ocurrencias, 5 es a favor de A.

Ejemplo: En una carrera de caballos, el caballo A tiene la apuesta 3 a 5, mientras que el caballo B tiene 1 a 4 ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de estos dos caballos gane?.

119


3 3  35 8 1 1 P( B)   1 4 5 P( A) 

Pero como son mutuamente excluyentes

P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) 3 1   8 5 23   0.575  57.5% 40 8.3

En una carrera de autos, el auto K tiene las apuestas 5 a 1 en su contra, mientras que el auto M las tiene 9 a 1 en su contra. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de estos autos gane?

5. Probabilidades De Espacios Finitos Otro método para asignar probabilidades en espacios muestrales finitos.

S  W1 , W 2 , W3 , W n  donde

n =finito 



n

W   1 , la 

Se asigna a cada W i una probabilidad Pi , tal que la probabilidad de P

i 1

i

suma de las probabilidades asignados a los elementos y espacio muestral es la unidad, además cada uno es mutuamente excluyente y relativamente exhaustivo. Ejemplo: En el hipódromo los caballos A, B, C, D compiten en una carrera. A tiene 2 veces mas probabilidad de ganar que B; B tiene 2 veces mas probabilidad que C y C tiene 2 veces mas probabilidad que D. a) Cuales son las probabilidades de ganar de cada uno de los caballos. b) Cual es la probabilidad de que B o C gane. Solución: S= {gana A, gana B, gana C, gana D} Este espacio muestral lo reemplazamos por: 120


S= { W1 , W 2 , W3 , W 4 } a) P (W1 )  P (W 2 )  P (W3 )  P (W 4 )  1 Pero

P(W4 )  x P(W3 )  2 x P(W2 )  4 x P(W1 )  8 x

x  2 x  4 x  8x  1 15 x  1 x

1 15

Todos tienen la misma capacidad de ganar, así tenemos:

1  0.067  7% 15 P(W3 )  2 x  2  115   215  0.13  13% P(W4 ) 

P(W2 )  4 x  4 415   215  0.27  27% P(W1 )  8 x  8 815   215  0.53  53%

b)

P(W2  W3 )  P(W2 )  P (W3 ) 4 2 15 15 6   0.4  40% 15 8.4

En una competencia participan 3 jóvenes 4 señoritas y 2 niños. Si los jóvenes tienen el doble de habilidad de las señoritas y estas el triple de habilidad de los niños. ¿Cuál es la probabilidad de que: 121


a) Gane un joven b) Gane una señorita c) Gane un niño d) Gane un niño o una señorita

6. Probabilidad Condicional Mide la proposición de veces que ocurre B de entre las que ha ocurrido A. Sea A un suceso cuya probabilidad es distinta de creo; y sea B cual suceso: se llama probabilidad de B condicionado a A al cociente:

 A  P(PA(A)B)

PB 6.1. Axiomas I)

Para cualquier suceso E

 A  P(PE(A)A)  0

PE

Por ser cociente de números no negativos.

II)

Sean B y C dos sucesos incompatibles ( B C  ) . Entonces:



P BC

A

  PB P(CA)  A

PB  A  C  A P ( A) PB PC A A 

   

III)

 A  PP(A)A  PP(( AA))  1

P

Por ser   A  A

122


6.2. Probabilidad de la Intersección de dos sucesos. Consecuencia:

 A

P ( A  B )  P  A  P B Ejemplo:

En una encuesta que se hace a 112 personas sobre el color de los ojos se obtiene la siguiente tabla de resultado. Asunto Varones (V) Mujeres (M) Total

Ojos Azules (A) 20 22 42

Ojos Negros (N) 30 40 70

Total 50 62 112

Si la elección se hace sin condiciones, la probabilidad de elegir una persona con los ojos azules es:

P( A) 

42 3  112 8

De elegir una persona con los ojos negros será:

P( N ) 

70 5  112 8

Sin embargo, si la elección la hacemos solo entre los varones, la probabilidad de ojos azules y los ojos negros respectivamente son:

P( A) 

20 2  50 5

y

P( N ) 

30 3  50 5

Lo anterior se denota que son probabilidades calculadas sobre el conjunto de los

 V  que se lee “Probabilidad de A condicionada a V”; por lo

varones, se escribe P A

tanto, las condicionadas son:

   

2 PA  V 5 3 PN  V 5 Considerando lo anterior se dan otras probabilidades condicionadas, ejemplo:

123


22 11  M   62  31 30 3 P V    N 70 7

PA

Luego, podemos ver:

 

2 PA  V 5 50 25 P(V )   112 56 20 5 P A  V    112 28 Entonces:

P A  V  PA  V P V  5 5(56) 2  28   25 25(28) 5 56 2 PA  V 5

   

-

Se extraen dos cartas de una baraja de 52. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. Solución: Hacemos A al evento que “la primera carta es un rey” y B al evento que “la segunda carta es un rey”, nos piden calcular que A  B son reyes”.

 A

P( A  B)  P( A)  P B 4 3  52 51 1  221 

La probabilidad es de 1

8.5

124

221

o sea “ambas cartas


1. Una urna contiene 10 bolas rojas y 6 negras. Se sacan dos bolas sin posibilidad de reemplazarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra si se sabe que la primera ha sido negra? 2. Calcular la probabilidad de obtener cuatro 2 al lanzar cuatro dados.

7. Sucesos Independientes

 A  PB es decir, el

Se dice que un suceso B es independiente de otro A cuando P B

suceso A no influya en B por lo tanto: diremos que A y B son independientes cuando ocurre que:

P( A  B)  P( A)  P( B) Ejemplo: Se extraen sucesivamente y con devolución dos bolas de una bolsa que contiene 4 bolas enumeradas del 1 al 4. Sea A el suceso de “obtener numero par en la primera extracción” y B el suceso “de extraer la segunda bola sea impar” ¿Son A y B independientes? Solución: Se tiene que verificar que:

P( A  B)  P( A)  P( B) P( A) 

1 2

P( B) 

1 2

Los casos favorables de A  B “par en la primera e impar en la segunda” es:

A  B  2,1, 2,3, 4,1, 4,3 En total son 4 casos de un total de VR4, 2  4 2  16 casos posibles, por tanto

125


P( A  B) 

4 1  16 4

Luego

P( A  B) 

1 1 1 1     P( A)  P( B) 4 2 2 4

Los sucesos son independientes.

8. Teorema De Bayes El teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al teorema de probabilidad total. El teorema de Bayes dice:

P  

Ai

 B 

 Ai 

P ( Ai )  P B

 P ( A )  P B A  n

i 1

i

i

Donde:

Ai , A2 ,  , An

son sucesos tales que

A1  A2    An  E ,

siendo E el espacio muestral

Y donde Ai  A j   si i  j , y V es un suceso del que se conocen las probabilidades condicionales P B

 , además de conocerse las probabilidades   Ai 

P  Ai  . Ejemplo: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50% b) Que nieva: probabilidad de 30% c) Si hay niebla: probabilidad de 20% Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) si llueve: probabilidad de accidente 10% b) si nieva: probabilidad de accidente 20% c) si hay niebla: probabilidad de accidente 5%

126


Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo. El teorema de Bayes nos permite calcular estas posibilidades.

1) Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denomina “Probabilidad a priori” (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). 2) Una ves que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso a cambian, son probabilidades condicionadas P  AB  que se denominan “Probabilidades a posteriori”. Solución: Aplicamos la formula:

P  

Ai

 B 

 Ai 

P ( Ai )  P B

 P ( A )  P B A  n

i 1

i

i

a) La probabilidad de que estuviera lloviendo

P 

Ai

0.50  0.20  B  (0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)  0.714

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad posteriori) es del 71.4% b) Probabilidad de que estuviera nevando

P 

Ai

0.30  0.10   B  (0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)  0.214 127


La probabilidad de que estuviera nevando es 21.4% c) Probabilidad de que hubiera niebla

P 

Ai

0.20  0.05  B  (0.50  0.20)  (0.30  0.10)  (0.20  0.05)  0.071

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.1%

8.6

Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de tránsito a un test de “dopaje etílico”. Se ha determinado que:

-

Cuando el chofer está ebrio, el test proporciona resultado positivo en el 95% de los casos.

-

Cuando el chofer no está ebrio, el test proporciona resultado negativo en el 94% de los casos.

-

El 2% de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.

¿Cuál es la probabilidad de que el chofer esté ebrio dado que el resultado fue positivo?

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966. GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16, Edición El Popular, Lima-Perú, 2005. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum. Colombia. 1970 MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.

128


VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

Nº 8 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. 10 libros son colocados aleatoriamente en un estante. Determinar la probabilidad que 4 libros determinados sean colocados juntos. 2. En una carrera de caballos, el caballo Q tiene la apuesta 7 a 2 , en su contra, mientras que el cabalo R 8 a 5, en su contra¿ Cual es la probabilidad que cualquiera de esto gane? 3. Una clase consta de 10 varones y 20 mujeres de los cuales, la mitad de los varones y la mitad de las mujeres viven en Huancayo. Hallar la probabilidad que una persona escogida al azar sea un varón o sea de Huancayo. 4. Sean los eventos A y B

P ( A)  1

2

P( A  B)  5

8

Hallar: a) P( A'  B' ) b) P( A'  B) 5. Una compañía comercial tiene 130 sucursales localizados en las tres regiones naturales del país, se dedican a la venta de diversos artículos, tales como aparece en el cuadro. Se selecciona al azar una sucursal para colocar en el mercado un nuevo producto que puede ser vendido por cualquiera de las sucursales. Hallar la probabilidad que las sucursales seleccionadas no esten localizada en la selva o vendan repuestos Regiones Costa Sierra

Autos 50 10

Repuestos 20 5

Artefactos 30 10

Total 100 25 129


Selva Total

130

1 61

0 25

4 44

5 130

ESTADISTICA - Probabilidades

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