estadistica y probabilidades

Probabilidad y Estadística

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTA ACULTA DE CIENCIA CIENCIAS S DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Escuela Académica Académica Profesional de Inenier!a en Ener!a

MANUAL PRO"A"ILIDAD # ESTAD$STICA

Au%or

Ms& Luis Pa'uelo (on)*les

Primera Edici+n ,-..

1


INDICE (ENERAL INTRODUCCI/N INTRODUCCI /N A LA ESTAD$STICA00 ESTAD$STICA00000000 000000000000 00000000& 00& 1 Importancia de la Estadística………………………………………………………… 5 Conceptos básicos en la estadística………………………………………………… estadística………………………………………………….... 6 Variables estadísticas…………………………………… estadísticas………………………………………………………………… …………………………… 7 Muestreo………………………………………………………………………………  PRESENTACI/N DE LOS DATOS00000 DATOS00000000000 0000000000000 0000000&& .2 !istribuci"n de #recuencias…………………………………………………………… 17 !istribuci"n de #recuencias por por inter$alos…………………………………………… 17 !istribuci"n de #recuencias por por clases……………………………………………….. clases……………………………………………….. %1 !istribuci"n de #recuencias por cate&orías…………………………………………… %% MEDIDAS ESTAD$STICAS000000000000000000000&& ESTAD$STICAS000000000000000000000&& ,3 Medidas de centrali'aci"n…………………………………………………………….. %6 Media (ritm)tica……………………………………………………………… (ritm)tica……………………………………………………………… %6 Mediana……………………………………………………………………….. % Moda………………………………………………………………………….. *% Medidas de dispersi"n………………………………………………………………… *6 Varian'a……………………………………………………………………….. *6 !es$iaci"n estándar…………………………………………………………… *7 Coe#iciente de $ariaci"n………………………………………………………. *7 Medidas de #orma……………………………………………………………………... +, (simetría………………………………………………………………………. +, -urtosis…………………………………………………………………………+% PRO"A"ILIDAD # DISTRI"UCIONES DE PRO"A"ILIDAD000000014 PRO"A"ILIDAD000000014 ese/a 0ist"rica……………………………………………………………………….. +* Conceptos básicos……………………………………………………………………... ++ !e#inici"n de probabilidad….………………………………………………………… +5 En#oues de probabilidad…………………………………………………………….. probabilidad…………………………………………………………….. +6 Propiedades de la probabilidad………………………………………………………. +7 Probabilidad condicional……………………………………………………………. condicional……………………………………………………………... +7 Partici"n del espacio muestral……………………………………………………….. + Probabilidad total…………………………………………………………….. + 2eorema de 3ayes……………………………………………………………. + Variable (leatoria……………………………………………………………………. 5, Variable aleatoria discreta……………………………………………………. 5, Variable aleatoria contin4a…………………………………………………… 51 DISTRI"UCIONES DISTRI"UCIO NES PARA PARA VARIA"LES ALEATORIAS DISCRETAS000 5. !istribuci"n 3inomial……………………………………………………… 5% !istribuci"n de Poisson……………………………………………………… 55 DISTRI"UCIONES DISTRI"UCIO NES PARA PARA VARIA"LES ALEATORIAS CONTINUAS00&& CONTINUAS0 0&& 56 !istribuci"n ormal…………………………………………………………. 5 !istribuci"n t tudent………………………………………………………... 6% !istribuci"n C0i 8 cuadrado…………………………………………………. 6+ !istribuci"n 9 de 9is0er……………………………………………………… 65 INTRODUCCI/N INTRODUCCI /N A LA ESTAD$STICA ESTAD$STICA INFERENCIAL000000 INFERENCIA L00000000&&& 00&&& 32 Es%imaci+n de Par*me%ros0000000000000000000000& Par*me%ros0000000000000000000000& 36 !istribuci"n de la media muestral…………………………………………… 6 Estimaci"n por Inter$alos de con#ian'a para la media poblacional 7000&& 38 %

Probabilidad y Estadística 2ama/os de muestra para $ariables cuantitati$as………………………………7 cuantitati$as………………………………7,, Inter$alo de con#ian'a para la $arian'a………………………………………...7+ !istribuci"n para la di#erencia de medias muestrales…………………………75 Inter$alo de con#ian'a para la di#erencia de medias 9 m1 - m % :000000&25 !istribuci"n para una proporci"n muestral……………………………………., Inter$alo de con#ian'a para una proporci"n……………………………………1 2ama/o de muestra para $ariables dicotomicas……………………………….. dicotomicas………………………………..%% !istribuci"n para la di#erencia de proporciones muestrales……………………* Inter$alo de con#ian'a para la di#erencia de proporciones…………………….. proporciones……………………..* * Prue;as de
*


Ca=!%ulo . INTRODUCCI/N INTRODUCC I/N A LA ESTAD$STIC ESTAD$STICA A ( medida ue aumenta la complepue e>puesto stoss a la presi" presi"nn con consta stante nte de proble problemas mas econ econ"m "mic icos os &alo &alopa pant ntes es y an&u an&ust stia iant ntes es== en casi casi todo todoss los los país países es desa desarro rroll llad ados os== subdesarrollados y tercermundistas= un sistema #iscal en&orroso= coerciti$o e incesi$as del ciclo econ"mico. 2odo nuestro teponencialmente e>ponencialmente creciente= por una deuda p4blica opresi$a y criminal= por un índice de delincuencia ue se incrementa sin cesar día a día como consecuencia de la perdida de $alores morales y por unos intereses impredecibles ue coadyu$an a incrementar la ya casi casi in#in in#init itaa brec brec0a 0a entr entree los los país países es desa desarro rroll llad ados os y los los país países es pobr pobres es de (sia (sia== ?atinoam)rica y @#rica. uestro periodo de )>ito en este planeta= planeta= relati$amente= bre$e no es nin&una &arantía &arantía de super$i$encia super$i$encia #utura. ( menos ue se encuentren soluciones $iables a estos apremiantes problemas. En ra'"n de lo anteriormente anteriormente e>puesto= es necesario necesario contar con 0erramientas 0erramientas altamente con#iables ue nos permitan tomar decisiones acertadas y e#icaces para poder resol$er los problemas prioritarios ue podrían enmarcarse posiblemente de acuerdo al criterio ,A%, :el ,B de todos los problemas se deben al %,B de las causas.; .!e a0í ue ue sea sea #und #undam amen enta tall ue ue todo todoss los los #utu #uturo ross pro# pro#es esio iona nale less ue ue pret preten enda dann diri diri&i &ir r correctamente los destinos de la 0umanidad= aprendan y se sir$an de los m)todos estadísticos para minimi'ar la probabilidad de error en la toma de decisiones en esta era llamada del conocimiento= ue actualmente cuentan con todas las ayudas de 4ltima &enera &en eraci" ci"nn ue a tra$)s tra$)s de e>cel e>celen entes tes so#ta so#tare re permi permiten ten a&ili' a&ili'ar ar todo todo el traba traba
Probabilidad y Estadística obli&a obli&aci" ci"nn ue los doc docent entes es y estud estudian iantes tes utilic utilicen en los di#ere di#erente ntess so#ta so#tare re ue se consi&uen en el mercado= ue le permitan estar actuali'ados con las tecnolo&ías de puntas.

.&.& IMPORTANCIA IMPORTANCIA DE LA ESTAD$STICA 2odos los campos de la in$esti&aci"n cientí#ica seria= se pueden bene#iciar del análisis estadístico ya ue las t)cnicas estadísticas se pueden utili'ar en casi todos los aspectos de la $ida. e dise/an encuestas para recopilar in#ormaci"n pre$ia al día de elecciones y así predecir el resultado de las mismas. e seleccionan al a'ar consumidores para obtene obtenerr in#orm in#ormaci aci"n "n con el #in de predec predecir ir la pre#er pre#erenc encia ia con con respe respecto cto a cierto ciertoss productos yAo ser$icios. ser$icios. ?os respon responsab sables les de la toma toma de decisi decisione oness sobre sobre la políti política ca econ" econ"mic mica= a= asesor asesores es presidenciales= presidenciales= ministeriales y de otros altos car&os car&os p4blicos= tienen en la estadística estadística una 0erramienta muy $aliosa. ?os economistas consideran $arios índices de la situaci"n econ"mica durante cierto periodo y utili'an la in#ormaci"n para predecir la situaci"n econ"mica #utura. Dnicamente con la ayuda del análisis estadístico pueden tomarse decisiones inteli&entes en relaci"n con los tipos tributarios= pro&ramas sociales= &astos de de#ensas= políticas laborales= in$ersiones prioritarias. Es #undamental para los empresarios= en su b4sueda incansable del bene#icio= donde las acti$idades de control total de calidad= minimi'aci"n de costos= combinaci"n de productos  e>istencias y multitud de aspectos empresariales se pueden &estionar con e#icacia mediante procedimientos estadísticos contrastados. ?os in&enieros muestrean las características de calidad de un producto= ito. u utilidad es e$idente tambi)n para los asesores #inancieros ue 0an de e$aluar las oportunidades de in$ersi"n a tra$)s de las bolsas de $alores. Contadores= directores de personal y #abricantes se bene#ician i&ualmente del análisis estadístico. Incluso los in$esti&adores m)dicos= sic"lo&os= siuiatras y muc0os pro#esionales del sector de la salud y del comportamiento= ue preocupados por la e#icacia de nue$os medicamentos= reali'an e>perimentos para determinar su e#ecto ba
5

Probabilidad y Estadística ambientales controladas en los 0umanos y en los animales para la determinaci"n del m)todo apropiado para curar ciertas en#ermedades= encuentran en la estadística un aliado imprescindible. En t)rmino &enerales la estadística se puede utili'ar para me
.&,& CONCEPTOS ">SICOS EN LA ESTAD$STICA Es%ad!s%ica Es una ciencia ue reuiere del conocimiento matemático y ue nos permite recopilar= or&ani'ar :clasi#icar= a&rupar;= presentar= describir y anali'ar datos a #in de reali'ar &enerali'aciones &enerali'aciones $alidas o tomar e#icientes decisiones.

Es%ad!s%ica Descri=%i?a Presenta un con
Es%ad!s%ica Inferencial Inferencial Presenta un con
Po;laci+n Es un con
Unidad Unidad de o;ser?aci+ o;ser?aci+n@ n@ unidad unidad es%ad!s%ica es%ad!s%ica o unidad unidad de an*lisis@ an*lisis@ es el indi$iduo= ob
6


Da%o@ ?alor o;ser?ado o;ser?ado o sim=lemen sim=lemen%e %e o;ser?ac o;ser?aci+n@ i+n@ es el resultado de medir una característica de una unidad de análisis.

Par*me%ro@ es un n4mero o una medida de resumen ue describe a una característica de % la poblaci"n= tal como la media poblacional ( m ) o la $arian'a poblacional ( s ) .

Tamao de la Po;laci+n@ por el n4mero de elementos ue la componen componen la poblaci"n se clasi#ica en #inita o in#inita. ?a =o;laci+n es fini%a cuando tiene un n4mero limitado de elementos y es infini%a caso contrario. En la práctica una poblaci"n #inita ue tiene un &ran n4mero de elementos se le considera una poblaci"n in#inita.

Mues%ra Es un sub con
Es%ad!s%ico o es%ad!rafo@ es un n4mero o una medida de resumen ue describe a una caracterí característica stica de la muestra= muestra= tal como la media muestral muestral ( X ) o la $arian'a muestral

( s % ) . .&4& VARIA"LES VARIA"LES ESTAD$STICAS as&o= característica o propiedades medibles= obser$ables con $ariabilidad ue poseen los elementos de una poblaci"n o de una muestra. na $ariable puede ser cualitati$a o cuantitati$a.

ESCALA DE MEDIDA . Es un patr"n o con
VARIA"LE CUALITATIV CUALITATIVAB AB Es aue auell llaa ue ue su medi medici ci"n "n se pued puedee e>pr e>pres esar ar normalmente por medio de una palabra o palabras y no de n4meros.

7

Probabilidad y Estadística Por eo= la pro#esi"n= la ra'a= el color de la piel de los pro#esores pro#esores de la . ?as $ariables $ariables cualitati$as cualitati$as pueden ser ;inomiales o mul%inomiales . e pueden 0acer obser$aciones solas en dos cate&orías sobre una $ariable cualitati$a binomial= por e
ir$en 4nicamente para identi#icar la di#erencia o seme
criterio para asi&nar el n4mero u el c"di&o= por e
Permite distin&uir di#erencia o semana'a y
n4mero a una $ariable ue sir$e s"lo para ordenar= por e
VARIA"LE CUANTITA CUANTITATIVA TIVAK Es auella ue su medici"n se e>presa num)ricamente. Por eportaciones de ca#)= las $entas de acero= el in&reso per cápita= la producci"n de autos= el decomiso de cocaína= cocaína= las 0ectáreas #umi&adas= etc.

Las ?aria;les cuan%i%a%i?as =ueden ser discre%as o con%inuas . VARIA"LE DISCRETA K Es auella ue solo puede tomar determinados $alores por lo &eneral= n4meros enteros= por e
VARIA"LE CONTINUAB Es auella ue toma cualuier $alor dentro de un inter$alo dado. dad o. Por muy cerca cerca ue est)n dos obser obser$ac $acion iones es siempr siempree es posibl posiblee 0acer 0acer otra otra medici"n ue cai&an dentro de esas dos. ?os $alores de una $ariable continua pro$ienen de las las medi medici cion ones es y de los los pesa pesaportaciones en d"lares del espárra&o= etc. 


DATOB Es cualuier obser$aci"n indi$idual de una característica :$ariable; especi#ica= suscep susceptib tible le de ser compa comparad rada. a. Un con'un%o de da%os es uni?ariado@ ;i?ariado o

mul%i?ariado si con%iene una@ dos@ o mas de dos ?aria;les& En el cuadro No . ue aparece a continuaci"n se muestra una base de datos donde se pueden obser$ar los di#erentes componentes :unidad elemental= tipos de $ariables= datos= muestra= etc.;.

CUADRO No . "ASE DE DATOS DE LOS EMPLEADOS DE LA EMPRESA Me%alconsul%in Inenieria L%da&

.&1& MUESTREO ?os m)todos estadísticos proponen di#erentes tipos de muestreo= aunue en &eneral pueden di$idirse en dos &randes &randes &ruposK m)todos m)todos de muestreo probabilísticas probabilísticas y m)todos de muestreo no probabilísticas.




Mé%odos de mues%reo mues%reo =ro;a;il!s%icas =ro;a;il!s%icas ?os m)todos de muestreo probabilística son auellos ue se basan en el principio de euiprobabilidad. Es decir= auellos en los ue todos los indi$iduos tienen la misma probabilidad de ser ele&idos para #ormar parte de una muestra y= consi&uientemente= consi&uientemente= todas las posibles muestras de tama/o GnH tienen la misma probabilidad de ser ele&idas. olo olo estos estos m)tod m)todos os de muestr muestreo eo proba probabil bilíst ística ica ase&u ase&uran ran la repres represent entati ati$id $idad ad de la muestra e>traída y son= por tanto= los más recomendables. !entro de los m)todos de muestreo probabilística se encuentran los si&uientes tiposK Muestreo aleatorio aleatorio simple

El procedimiento empleado es el si&uienteK 1; se asi&na un n4mero a cada indi$iduo de la poblaci"n= y %; a tra$)s de al&4n medio mecánico :bolas dentro de una bolsa= tablas de n4meros aleatorios= n4meros aleatorios &enerados con una calculadora u ordenador= etc.; se eli&en tantos su
Este Este proc proced edim imie ient ntoo e>i& e>i&e= e= como como el ante anterio riorr= nume numera rarr todo todoss los los elem elemen ento toss de la poblaci"n= pero en lu&ar de e>traer GnH n4meros aleatorios solo se e>trae uno. e parte de ese numero aleatorio i= ue es un numero ele&ido al a'ar= y los elementos ue inte&ran la muestra son los ue ocupan los lu&ares i= iL= iL%= iL*=...= iL:n1; = es decir se toman los indi$iduos de  en = siendo  el resultado de di$idir el tama/o de la poblaci"n entre el el tama/o de la muestraK muestraK NAn. El numero i ue se emplea como punto de partida será un n4mero al a'ar entre 1 y . El ries&o se este tipo de muestreo esta en los casos en ue se dan periodicidades en la poblaci"n ya ue al ele&ir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante :; se puede introducir una 0omo&eneidad ue no se da en la poblaci"n. up"n&ase ue se esta seleccionando una muestra sobre listas de 1, indi$iduos en los ue los 5 primeros son $arones y los 5 4ltimos muos. se>os. 1,

Probabilidad y Estadística Muestreo aleatorio aleatorio estratificado estratificado

2rata de ob$iar las di#icultades ue presentan los anteriores= ya ue simpli#ica los procesos y suele reducir el error muestral para un tama/o dado de la muestra. Consiste en cons consid ider erar ar cate cate&o &orí rías as típi típica cass di#e di#ere rent ntes es entr entree si :est :estra rato tos; s; ue ue pose poseen en &ran &ran 0omo&eneidad 0omo&eneidad respecto a al&una característica :se puede estrati#icar= por eo= el estado ci$il= etc.;. ?o ue se pretende con este tipo de muestreo es ase&urarse de ue todos los estratos de inter)s esta estará ránn repr repres esen enta tado doss adec adecua uada dame ment ntee en la mues muestr tra. a. Cada Cada estr estrat atoo #unc #uncio iona na independientemente= pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estrati#icado para ele&ir los elementos concretos ue #ormaran parte de la muestra. En ocas ocasio ione nes= s= las las di#ic di#icul ulta tade dess ue ue plan plante teaa son son dema demasi siad adoo &ran &rande des= s= pues pues e>i& e>i&ee un conocimiento detallado de la poblaci"n :tama/o &eo&rá#ico= se>os= edades...;.

La dis%ri;uci+n de la mues%ra en funci+n de los diferen%es es%ra%os se denomina afi'aci+n@  =uede ser de diferen%es %i=osB Afijación simple: a cada estrato Afijación proporcional: la

le corresponde i&ual n4mero de elementos muestrales.

distribuci"n se 0ace de acuerdo con el peso :tama/o; de la

poblaci"n en cada cada estrato. Afijación óptima: se tiene en cuenta la pre$isible dispersi"n de los resultados= de modo

ue se consideran la proporci"n y la des$iaci"n típica. 2iene poca aplicaci"n ya ue no se suele conocer la des$iaci"n.

Por e'em=lo@ se esta interesado en estudiar el &rado de aceptaci"n ue la implantaci"n de la re#orma educati$a 0a tenido entre los padres de un municipio. ( tal e#ecto se selecciono una muestra de 6,, padres de #amilia. e conoce por los datos del Ministerio de Educaci"n ue de los 1,,,, ni/os escolari'ados en la básica= 7,,, acuden a cole&ios p4blicos y *,,, a cole&ios pri$ados. Como el inter)s es ue en la muestra est)n representados todos los tipos de cole&io= se reali'a un muestreo estrati#icado empleando como $ariable de estrati#icaci"n el tipo de cole&io. i se emplea una a#i
11

Probabilidad y Estadística di#erencia en el tama/o de los estratos. Por consi&uiente= se calcula la proporci"n para cada uno de los estratos respecto r especto de la poblaci"n= para poder re#le
7,,,A1,,,, N ,.7,

Cole&ios pri$adosK

*,,,A1,,,, N ,.*,

Para conocer el tama/o de cada estrato en la muestra se multiplica la proporci"n por el tama/o muestral. Cole&ios p4blicosK ,.7,>6,, N +%, padres de #amilia Cole&ios pri$adosK ,.*,>6,, N 1, padres de #amilia Muestreo aleatorio aleatorio por conlomerados conlomerados

?os m)todos presentados 0asta a0ora están pensados para seleccionar directamente los elementos de la poblaci"n= es decir= ue las unidades muestrales son los elementos de la poblaci"n. En el muestreo por con&lomerados la unidad muestral es un &rupo de elementos de la poblaci"n ue #orman una unidad= a la ue se denomina con&lomerado. ?as unidades 0ospitalarias= los departamentos uni$ersitarios= una ca
Por e'em=lo@ en una in$esti&aci"n se trata de conocer el &rado de satis#acci"n laboral de los empleados de una cadena de almacenesF se toma una muestra de 7,, empleados. (nte la di#icultad de acceder indi$idualmente a estos empleados= se decide 0acer una muestra por con&lomerados. con&lomerados. abiendo ue el n4mero de empleados por almac)n es apro>imadamente de *5= los pasos a se&uir se&uir serianK 

eco&er un listado de todos los almacenes.



(si&nar un n4mero a cada uno de ellos.



Ele&ir por muestreo aleatorio simple o sistemático los %, almacenes :7,,A*5 N %,; ue proporcionaran los 7,, empleados ue se necesitan.

9inalmente= ante lo comple
1%

Probabilidad y Estadística caracteri'a por operar en sucesi$as etapas= empleando en cada una de ellas el m)todo de muestreo probabilística mas adecuado.

Mé%odos de mues%reo no =ro;a;il!s%icas ( $eces= para estudios e>ploratorios= el muestreo probabilística resulta e>cesi$amente costoso y se acude a m)todos no probabilísticas= aun siendo conscientes de ue no sir$en para reali'ar &enerali'aciones= pues no se tiene certe'a de ue la muestra e>traída sea sea repr repres esen enta tati ti$a $a== ya ue ue no todo todoss los los su
2ambi)n denominado en ocasiones OaccidentalO. e asienta &eneralmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la poblaci"n yAo de los indi$iduos más Orepresentati$osO o OadecuadosO para los #ines de la in$esti&aci"n. Mantiene= por tanto= seme o #emenino y residentes en una misma ciudad. na $e' determinada la cuota= se eli&en los primeros ue se encuentre ue cumplan esas características. Este m)todo se utili'a muc0o en las encuestas de opini"n.

Por e'em=lo@ e'em=lo@ una una uni$ uni$er ersi sida dadd dese deseaa estu estudi diar ar la inci incide denc ncia ia de las las dro& dro&as as en la adolescencia. ?o ue debería 0acer seriaK conocer por los in#ormes del Estado cuales son los centros educati$os mas a#ectados por el problema= #i
Este tipo de muestreo se caracteri'a por un es#uer'o deliberado de obtener muestras Orepresentati$asO mediante la inclusi"n en la muestra de &rupos supuestamente típicos. Es muy #recuente su utili'aci"n en sondeos preelectorales de 'onas ue en anteriores $otaciones 0an marcado tendencias de $oto.

1*

Probabilidad y Estadística Muestreo casual casual o incidental incidental

e trata de un proceso en el ue el in$esti&ador selecciona directa e intencionadamente los indi$iduos de la poblaci"n. El caso mas #recuente de este procedimiento es el utili'ar como como mues muestr traa los los indi indi$i $idu duos os a los los ue ue se tien tienee #áci #ácill acce acceso so :los :los pro# pro#es esor ores es de uni$ersidad emplean con muc0a #recuencia a sus propios alumnos;. n caso particular es el de los $oluntarios. !ola de nie"e

e locali'a a al&unos indi$iduos= los cuales conducen a otros= y estos a otros= y así 0asta conse&uir una muestra su#iciente. Este tipo se emplea muy #recuentemente cuando se 0acen estudios con poblaciones Omar&inalesO= delincuentes= sectas= determinados tipos de en#ermos= e&resados de una instituci"n= etc.

E?aluaci+n del ?alor de una encues%a Cotidianamente se oye o se lee sobre resultados de encuestas en los di#erentes medios de comunicaci"n. Es e$idente ue los a$ances tecnol"&icos en las comunicaciones 0an pro$ocado la proli#eraci"n de in$esti&aciones in$esti&aciones por medio de encuestasF sin embar&o= embar&o= no todas son aceptables= si&ni#icati$as o importantes. Para e$itar encuestas carentes de obaminarse el $alor de la encuesta= e$aluando los si&uientes aspectosK 

Prop"sito de la encuestaK por ue y para uien se reali'a. n resultado de opini"n o una encuesta reali'ada para satis#acer la curiosidad pertenece a la es#era de la di$ersi"n. u resultado es un #in en si mismo= no un medio para lo&rar un #in. !ebe e>istir escepticismo ante tales encuestas porue el resultado no tiene una aplicaci"n posterior. posterior.



!ete !e term rmin inar ar si la encu encues esta ta esta esta basa basada da en una una mues muestra tra prob probab abil ilís ísti tica ca o no probabilísticaK el 4nico medio disponible para 0acer in#erencias estadísticas correctas a partir de una muestra es el uso de un muestreo probabilística. ?as encuestas ue emplean m)todos de muestreo no probabilística están su
1+


Errores en las encues%as (un cuando en las encuestas se utili'an m)todos de muestreo probabilística= están su
?a cla$e para una selecci"n apropiada en la muestra es un marco de poblaci"n adecuado o una lista actuali'ada de todos los elementos ue participaran en el muestreo. El error de cobertura ocurre si se e>cluyen ciertos elementos de la lista de poblaci"n= de manera ue no tienen oportunidad de ser seleccionados en la muestra. El error de cobertura conduce a un ses&o de selecci"n. i el listado es inadecuado porue no se incluyeron al&u al&uno noss elem elemen ento toss de la pobl poblac aci" i"n= n= cual cualu uie ierr mues muestr traa prob probab abil ilís ísti tica ca alea aleato toria ria proporcionara una estimaci"n de las las características del del marco= no de la poblaci"n poblaci"n real. #rror o seso seso de no respuesta respuesta

o todas las personas personas están dispuestas dispuestas a contestar una encuesta. encuesta. El error de no respuesta respuesta sur&e del #racaso al recopilar datos de todos los su
El error de muestreo se presenta cuando se encuesta una muestra y no la poblaci"n= es decir= cuando no se aplica un censo. (un cuando no se puede e$itar este error= si se puede controlarF una #orma importante de controlarlo es seleccionar seleccionar un m)todo o un dise/o adecuado de muestreo. El error de muestreo muestra la 0etero&eneidad o las Gdi#erencias aleatoriasH de una muestra a otra= se&4n la probabilidad de ue elementos especí#icos sean seleccionados en unas muestras determinadas.

15

Probabilidad y Estadística #rror de medición medición

e re#iere a la #alta de precisi"n en las respuestas re&istradas= debido a #allas en la redacci"n del enunciado de las pre&untas= la in#luencia del entre$istador en la persona ue responde= o por el es#uer'o ue reali'a la persona ue responde.

As=ec%os é%icos del mues%reo En la actualidad se e>iste una tendencia a la proli#eraci"n de in$esti&aciones ue se apoyan en encuestasF no todas son buenas= si&ni#icati$as o importantes= y no todas son )ticas. !ebe intentarse distin&uir entre un dise/o de encuesta de#iciente y un dise/o carente de )tica. ?as consideraciones )ticas sur&en con relaci"n a cuatro tipos de errores potenciales ue pueden ocurrir cuando se dise/an encuestas ue utili'an muestras probabilísticas aleatoriasK error de cobertura o ses&o de selecci"n= error o ses&o de no respuesta= error de muestreo y error de medici"n. El error de cobertura o ses&o de selecci"n selecci"n se con$ierte en un problema )tico= solo si se e>cluyen a prop"sito &rupos especí#icos de indi$iduos del marco de poblaci"n= para obtener resultados ses&ados= ue indican una oposici"n más #a$orable para los intereses del in$esti&ador. in$esti&ador. !e i&ual manera= el error o ses&o de no respuesta se con$ierte en un problema )tico= solo solo si es menos menos probab probable le ue ue &rupos &rupos o indi$i indi$iduo duoss espec especí#ic í#icos os respon responda dann a una encuesta= y si el in$esti&ador la dise/a a prop"sito con el #in de e>cluir &rupos o elementos. El error de muestreo se con$ierte en un problema )tico= solo cuando los resultados se presentan= a prop"sito= sin re#erencia al tama/o de muestra o al mar&en de error= de modo ue el in$esti&ador puede promo$er un punto de $ista ue de otra manera seria insi&ni#icante. El error de medici"n se con$ierte en un problema )tico en cualuiera de las si&uientes situacionesK 

n in$esti&ador puede ele&ir pre&untas orientadas ue &uían las respuestas 0acia una direcci"n especí#ica.



n in$esti&ador= in$esti&ador= mediante actitudes y tono de $o'= puede crear un e#ecto deliberado de 0alo o puede &uiar las respuestas en cierta direcci"n.



(l&uien ue responde= pero no esta de acuerdo con la encuesta= puede proporcionar in#ormaci"n #alsa a prop"sito.

16


.&5& PRESENTACION DE LOS DATOS DISTRI"UCION DE FRECUENCIA na distribuci"n de #recuencia es un m)todo para or&ani'ar= clasi#icar y resumir datos. 2ambi)n se conoce con el nombre de distribuci"n de #recuencia a una tabulaci"n de datos en clases= inter$alos de clase o cate&oríaF con la #recuencia correspondiente a cada una= a #in de reali'ar una especial descripci"n y análisis. Para elaborar los cuadros o tablas de la distribuci"n de los datos se debe= antes ue todo Identi Identi#ic #icar ar las carac caracter teríst ística icass ue se in$est in$esti&a i&aron ron== ya ue esto esto permi permite te una me
Cuan%i%a%i?as& Com=onen%es de una Dis%ri;uci+n de Frecuencias Frecuen Frecuencia cia a;solu%a a;solu%a sim=le@ representa el n4mero de $eces ue se repite la clase= inter$alo de clase o cate&oría. e denota por f i &

Frecuen Frecuencia cia a;solu%a a;solu%a acumulada acumulada@@ se obtien obtienee sumand sumandoo las #recue #recuenci ncias as absol absoluta utass simples= y siempre nos da un acumulado i&ual al tama/o de la muestra. e denota por F i .

Frecuencia rela%i?a sim=le@ representa la proporci"n de unidades de análisis en la clase= inter$alo de clase o cate&oría y resulta de di$idir cada una de las #recuencias absoluta simples por el tama/o de la muestra. e denota por hi =

f i n

.

Frecuencia Frecuencia rela%i?a acumulada@ resulta de la acumulaci"n de las #recuencias relati$as simples= esta #recuencia siempre tiende a la unidad. e denota por H i .

n B 2ama/o de la muestra= es el n4mero de obser$aciones.

xi B ?a $ariable= es cada uno de los di#erentes $alores ue se 0an obser$ando o tambi)n puede ser la marca de clase.

DISTRI"UCI/N DE FRECUENCIA POR INTERVALOS Como se 0a $isto= un con
17

Probabilidad y Estadística si&ni#icado= lo&rarse una mayor síntesis= tabulando o a&rupando los datos. Para a&rupar a un con
?a di#erencia entre el dato mayor y el dato menor se llama RECORRIDO o RAN(O de los datos. Esto esK R = Dato Dato ma or – Dato Dato menor menor

%aso II: Hallar el número de Intervalos (m)

?a pre& pre&un unta ta es cuá cuánt ntos os inte inter$ r$al alos os $an $an a incl inclui uirs rseQ eQ !e !ema masi siad adoo o poco poco no es con$eniente debido a ue 0ay p)rdida de in#ormaci"n. Por otra parte= si se usan demasiados inter$alos= no se lo&ra ob
STUR(ES= con la cual se obtiene una apro>imaci"n aceptable sobre el n4mero de inter$alos necesarios para a&ruparlos. Esto esK

m = 1 + 3,33log(n)

!onde n nos representa el tama/o de muestra o n4mero de datos considerados= esta re&la de STUR(ES no se considera como #inal= sino s"lo como una &uía. El n4mero de inter$alos especi#icado por medio de esta re&la debe aumentarse o disminuirse se&4n con$en&a y el bene#icio de una presentaci"n clara. %aso III: Hallar la Amplitud del Intervalo (A)

(unue a $eces es imposible= por lo &eneral= los inter$alos deben tener amplitudes i&uales. i&uales. Puede determinars determinarsee esta amplitud amplitud 9A: di$idi di$idiend endoo el recorr recorrido ido 9R: entre el n4mero de inter$alo 9m:& Esto esK

ARm

Como re&la= este procedimiento proporciona una amplitud ue no es con$eniente usarla. na $e' más= debe aplicarse el buen ima a la dada por la ecuaci"n; ecuaci"n; ue sea más con$eniente. con$eniente. Consideramos el si&uiente E'em=lo .K

1


Colec%i?oB 6, cilindros #abricados por una máuina en el taller el Mila&ro. C0imbote. %,11. Varia;le GB lon&itud en centímetros Valores obser$adosK 239, 254, 255, 248, 246, 249, 242, 250, 249, 244, 253, 248 250, 258, 252, 251, 250, 253, 247, 243, 245, 251, 247, 250 248, 250, 260, 260, 249, 249, 250, 251, 253, 241, 251, 249, 252 250, 247, 251, 259, 250, 246, 252, 238, 251, 238, 235, 235, 259 249, 257, 249, 247, 251, 246, 245, 243, 250, 249, 242, 238

Soluci+nB a; Identi#icar la unidad de análisis= $ariable de estudio= clasi#icaci"n de la $ariable= el lu&ar y tiempo.

Unidad de an*lisis Varia;le de es%udio Clasificaci+n de la ?aria;le Luar Tiem=o

B El cilindro B ?on&itud B Cuantitati$a continua B 2aller el Mila&ro  C0imbote B %,11

b; Construir la distribuci"n distribuci"n de #recuencias #recuencias y sus respecti$os respecti$os &rá#icos.

Rano

B

Nme Nmerro de In%e In%er? r?al alos os B

Am=li%u Am=li%ud d del In%e In%er?a r?alo lo B

 N !ato má>imo 8 !ato mínimo  N %6, 8 %*5  N %5 m N 1 L *=**lo&:n;

mN1 L *=**lo& :6,;

m N 1 L *=**R1=77

m N 6=% @ 5= 6 " 7

A =

R

A =

m

%5 5

=5

Construyendo la 2abla de #recuencias con datos a&rupados en inter$alosK

Ta;la -. ?on&itud en centímetros de los cilindros #abricados por una máuina en el taller el Mila&ro= C0imbote 8 %,11 %,11.. Intervalos

S  1   ; i-

i

235 - 240 240 - 245 245 - 250 250 - 255 255 - 260

Marcas de clase

Frecuencias absolutas

Frecuencias relativas

Frecuencia porcentual

!i

f i

F i

hi

H i

hi R1,,B

237,5 242,5 247,5 252,5 257,5

5 8 27 15 5

5 13 40 55 60

0,08 0,13 0,45 0,25 0,08

0,08 0,22 0,67 0,92 1,00

8 13 45 25 8

1

Probabilidad y Estadística !otal

n"60

1,00

100

F#$%!$& !aller !aller el Mila'ro

Presen%aci+n Presen%aci+n r*ficaB En distri distribuc buci"n i"n de #recue #recuenci ncias as por por inter$ inter$alo aloss de clase clase los &rá#icos a presentar sonK His%orama de #recuencias y Pol!ono de #recuencias (r*fico -. ?on&itud en centímetros de los cilindros #abricados por una máuina en el taller el Mila&ro= C0imbote 8 %,11 %,11.. TI2U(M(

9E2EK 2abla ,1

(r*fico -, ?on&itud en centímetros de los cilindros #abricados por una máuina en el taller el Mila&ro= C0imbote 8 %,11 %,11.. PU?IUU

%,


9E2EK 2abla ,1

DISTRI"UCI/N DE FRECUENCIA POR CLASES n con con
E'em=lo ,& nos &randes almacenes en la ciudad de ue$o C0imbote disponen de un aparcamiento para sus clientes. ?os si&uientes datos ue se re#ieren al n4mero de 0oras ue permanecen en el aparcamiento una serie de coc0es se re&istro en !iciembre del %,11= los cuales se muestran a continuaci"nK continuaci"nK + + % + 5 * 6 * 5 * % 1 * 7 * 1 5 1 7 % 5 % + 7 * 6 % % + 1 6 + * * + 5 + * % + * % + + * 6 6 + 5 5 + 5 5 1 7 + + * 6 5 e pideK (. Ubtener la tabla de #recuencias para ese con
Soluci+n Unidad de an*lisis B El coc0e Varia;le de es%udio B 4mero de 0oras ue permanecen en el aparcamiento Clasifica Clasificaci+n ci+n de la ?aria;le ?aria;le B Cuantitati$a discreta Luar B (lmacenes (lmacenes 8 ue$o C0imbote Tiem=o B !iciembre= %,11 (; Ubtener la tabla tabla de #recuencias #recuencias para ese con
%1


Ta;la -, 4mero de 0oras ue permanecen en el aparcamiento una serie de coc0es en &randes almacenes de ue$o C0imbote 8 !iciembre= %,11. %( de )oras*



!i

f i

F i

hi

H i

hi R1,,B

1 2 3 4 5 6 7

5 8 12 15 10 6 4 n"60

5 13 25 40 50 56 60

0,08 0,13 0,20 0,25 0,17 0,10 0,07 1,00

0,08 0,21 0,41 0,66 0,83 0,93 1,00

8 13 20 25 17 10 7 100

!otal


F#$%!$& Municipalidad %uevo +ibote

3. Elaborar la &rá#ica.

Presen%aci+n r*ficaB En distribuci"n de #recuencias por clases el &rá#ico a presentar se denomina "as%ones (r*fico -4 4mero de 0oras ue permanecen en el aparcamiento una serie de coc0es en &randes almacenes de ue$o C0imbote 8 !iciembre= %,11.

F#$%!$& F#$%!$ & !abla 02

DISTRI"UCI/N DE FRECUENCIA POR CATE(ORIAS n con
%%

Probabilidad y Estadística obser$ obser$ac acion iones= es= se selec seleccio ciona na las cate& cate&orí orías as con conti& ti&ua uas= s= tales tales ue cada cada $alor $alor en el con
E'em=lo 4& e e#ect4a una encuesta sobre el ni$el de estudios de personas ue reciben planes
NIV& NIV& EST Estudios Primarios Estudios Primarios in Estudios Estudios Primarios Estudios Primarios in Estudios Estudios ecundarios Estudios ecundarios Estudios ecundarios in Estudios Estudios Primarios Primario s in Estudios Estudios Primarios Estudios ecundarios Estudios ecundarios Estudios ni$ersitarios in Estudios Estudios ni$ersitarios Estudios ecundarios Estudios Primarios Estudios Primarios Estudios Primarios Estudios ni$ersitarios Estudios Primarios Estudios Primarios in Estudios Estudios ecundarios Estudios ecundarios Estudios Primarios Estudios Primarios

e pideK (. Ubtener la tabla de #recuencias para ese con
Soluci+n Unidad de an*lisis B We#e o We#a del 0o&ar Varia;le de es%udio B i$el de estudios Clasifica Clasificaci+n ci+n de la ?aria;le ?aria;le B Cualitati$a ordinal Luar B ue$o C0imbote %*


Tiem=o

B Mar'o= %,1%

3; Ubtener la tabla tabla de #recuencias #recuencias para ese con
Ta;la -4 i$el de estudios del
.in estudios /riaria .ecundaria #niversitarios !otal




f i

hi

hi R1,,B

6 13 8 3 n"30

0,20 0,43 0,27 0,10 1,00

20 43 27 10 100

F#$%!$& $ncuesta aplicada

3. Elaborar las &rá#icas.

Presen%aci+n r*ficaB En distribuci"n de #recuencias por cate&orías los &rá#icos a presentar se denominan denominan "arras  Sec%or circular& (r*fico -1 i$el de estudios del
F#$%!$& F#$%!$ & !abla 03

(r*fico -5 i$el de estudios del
%+


F#$%!$& F#$%!$ & !abla 03

E'ercicios =ro=ues%os 1. !etermine u) tipo son las si&uientes $ariables. i son $ariables cualitati$as :nominal u ordinal; o cuantitati$as :discretas o continuas;. a; Marca de autom"$il. b; !uraci"n de un compacto :se&undos;. :se&undos;. c; 4mero de temas de un compacto. d; i$el educacional educacional :básica= media= uni$ersitaria;. e; 2emperatura al mediodía en 2alara :&rados Celcius;. #; Estado ci$il :soltero= casado= di$orciado= $iudo;. &; Cantidad de llu$ia en un a/o en Iuitos :mm*;. 0; Peso de los coc0es. i; 4mero de coc0es $endidos de las di#erentes marcas %. 2enemos las resistencias de la tensi"n de 6, muestras de aleaci"n (luminio?itio. Elaborar la 2abla 2abla de !istribuci"n de 9recuencias. !ibu
%%1 11 1*+ 16*

16 1%1 11 1, 7 15 176 11, 1*1 15+ 17 76 167 1+ 1*5 1+5 171 1+ 15 16,

15+ %, 1+6 175

15* 17+ 1%, 16 167 15 1** %,7 1, 1, 1 , %1 1,1 171 165 15 1+ 7 16, %*7 15,

1+1 1* 16 16

%% 1** 1 %,1

*. n #abr #abric ican ante te de neum neumát átic icos os 0a reca recaba bado do== de los los di#e di#ere rent ntes es conc conces esio iona nario rios= s= in#ormaci"n sobre la cantidad de miles de il"metros recorridos por un modelo concreto de esos neumáticos 0asta ue se 0a producido un pinc0a'o o un re$ent"n del neumático. ?os concesionarios la 0an proporcionado los si&uientes datosK

%5

Probabilidad y Estadística 5% 5, * 5% 7+ 61 *6 57 + 66 76 *7 76 6 61 66 6% + +% 6% 51 * *+ * 51 75 5 + 67 +% 61 5 7+ 61 56 6 1 5+ 76 6 + +1 5, 61 6 +5 56 56 +7 67 e pideK a; Construir una taba de #recuencias para esos datos tomando como n4mero de inter$alos el ue proporciona la #"rmula de tur&ess. Interpretas la tabla. b; !ibupliue si crees ue la uni$ersidad lo esta 0aciendo bien. b; Elabore sus &rá#icos. 5. Etraerse de este estudioQ

.&3& MEDIDAS ESTAD$STICAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ?as ?as medi medida dass de tend tenden enci ciaa cent centra rall son son $alo $alore ress de resu resume menn ue ue dete determ rmin inan an apro>imadamente el centro de un con
A: Medi Mediaa Ari% Ari%mé mé%i %icca Definici+n .B 9Da%os no aru=ados o no %a;ulados: Es la suma de todos los $alores obser$ados de una $ariable cuantitati$a= di$idido por el n4mero de datos.

Media ari%mé%ica =o;lacional 9 m :

Media ari%mé%ica mues%ral 9

x

:

%6


m

=

 xi

x =

"

 xi n

!ondeK xi

K Valores obser$ados en una poblaci"n o muestra.

K 2ama/o 2ama/o de la poblaci"n. poblaci"n. n K 2ama/o de la muestra.

Definici+n ,B 9Da%os aru=ados o %a;ulados: Es la suma de todos los productos entre la marca de clase o $alor num)rico y la #recuencia absoluta simple= di$idida por el n4mero de datos.

Media ari%mé%ica =o;lacional 9 m : m

=

Media ari%mé%ica mues%ral 9 x :

!i f i

# =

"

!i f i n

!ondeK !i K Marca de clase

de cada inter$alo o $alor num)rico de cada clase.

Uso de la media ari%mé%ica ?a media aritm)ti aritm)tica ca

es recome recomenda ndable ble utili'a utili'arr en datos cuantita cuantitati$ ti$os os ue ue tienen tienen

tendencia aritm)tica= es decir en datos cuya $ariabilidad es peue/a.

Des?en%a'a de la media ari%mé%ica 

?a media aritm)tica se a#ecta por $alores e>tremos= en casos de datos no a&rupados.



?a media aritm)tica se a#ecta por inter$alos ue no tienen de#inidos sus límites in#erior o superior= en caso de datos a&rupados por inter$alos.

E'em E'em=l =loo .B ?a utilidad neta por la muestra de pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata #ueron los si&uientesK a; 1.75= 1.75= %,.5= %,.5= 15.,= 15.,= *1.%= *1.%= %5.1= %5.1= %.,= %.,= 17.*= 17.*= *%.5 b; 5.5= 1,.6= 1+.,= %7.7= %%.= %,.1= 15.= ., Calcular e interpretar la media aritm)tica.

%7


SOLUCI/NB a: x

xi

=

=

n

1= 75 + %,= 5 + 15= , + ... + *%= 5 

X = %*=67

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a utilid utilidad ad neta neta promed promedio io por ped pedido ido es apro>i apro>imad madame amente nte %*=67 %*=67 nue$os soles. b; x

=

� x

i

=

n

5= 5 + 1,= 6 + 1+= , + ... + = ,

X = %6=5



In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a utilid utilidad ad neta neta promed promedio io por ped pedido ido es apro>i apro>imad madame amente nte %6=5 %6=5 nue$os soles.

E'em=lo ,B ?a utilidad neta de una muestra de 5, pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la si&uiente tablaK Calcular Stilidad neta; ,5 8 1, 1, 8 15 15 8 %, %, 8 %5 %5 8 *, *, 8 *5 *5  +,

e

interpretar

la

media

aritm)tica.

f i

* 1, 7 15 5  %

SOLUCI/NB Paso .B Tallar las marcas de clase de cada inter$alo Paso ,B Multiplicar cada marca de clase por su respecti$a #recuencia absoluta simple

Paso 4B umar los productos

Paso 1B eempla'ar en la #ormula #tilidad neta 05  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35 35 - 40

# =

!i f i n

=

!i

f i

!i f i

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

3 10 7 15 5 8 2

22,5 125 122,5 337,5 137,5 260 75

7= 5 x* + 1%= 5 x1, + ... + *7= 5 x% 5,

=

1,, 5,

# = %1=6

In%er=re%aci+nB ?a utilidad neta promedio por pedido es apro>imadamente %1=6 nue$os soles.

%


E'em E'em=l =loo 4B El n4mero de pauetes del pedido re&istrado en una muestra de 6,= distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la l a si&uiente tablaK Calcular e interpretar la media aritm)tica.

Y de pauetes pauetes !i

f i

1 % * + 5 6 7

6  %, 15 5 * %

SOLUCI/NB Paso .B Multiplicar cada clase por su respecti$a #recuencia absoluta simple Paso ,B umar los productos Paso 4B eempla'ar en la #ormula %( de pauetes

# =

!i

f i

!i f i

1 2 3 4 5 6 7

6 9 20 15 5 3 2

6 18 60 60 25 18 14

!i f i n

=

1x 6 + % x + ... + 7 x % 6,

=

%,1 6,

# = *= *5 �*

In%er=re%aci+nB El n4mero promedio de pauetes por pedido pedido es apro>imadamente apro>imadamente *. ": Mediana Es un $alor &eneralmente denotado por Me@ ue di$ide a un con
Calculo de la mediana Da%os no aru=ados o no %a;ulados Para obtener el $alor de la mediana en datos no a&rupados se debe cumplir por lo menos los si&uientes pasosK

Paso IB Urdenar en #orma # orma creciente o decreciente los datos.

%


Paso IIB Ubser$ar si el n4mero de datos es par o impar. Paso IIIB eempla'ar en las #ormulas

 X  n+1  = siOnOimpar    %   $e =  X + X n n  % % +1  % = siOnO par Da%os aru=ados o %a;ulados 9solamen%e en in%er?alos: e debe cumplir tambi)n por lo menos los si&uientes pasosK

Paso IB Urdenar en #orma # orma creciente o decreciente los inter$alos. Paso IIB Tallar

n %

ue indica la posici"n de la mediana. mediana.

Paso IIIB !eterminar la primera #recuencia absoluta acumulada : F i ; ue supera

n %

a

#in de determinar el inter$alo ue contiene la mediana.

Paso IVB Identi#icar todos los componentes de la #ormula en el inter$alo ue contiene la mediana y reempla'ar. n   % - F a  $e =  I +   R A  f i   

!ondeK  I K ?ímite in#erior del inter$alo n %

ue contiene la mediana.

K Mitad de la muestra

F a K 9recuencia absoluta acumulada anterior a

la #recuencia absoluta acumulada

: F i ; del inter$alo ue contiene la mediana. f i K 9recuencia absoluta simple del inter$alo ue

contiene la mediana.

( K (mplitud del inter$alo ue contiene la mediana.

Ven%a'as de la mediana 

?a mediana a di#erencia de la media aritm)tica no depende de los $alores= sino del n4mero de datos= en consecuencia no se a#ecta por $alores e>tremos.

*,

Probabilidad y Estadística 

?a mediana a di#erencia de la media aritm)tica no depende de todos los inter$alos= sino de un inter$alo ue contiene la mediana= en consecuencia &eneralmente no se a#ecta por inter$alos ue no tienen límite in#erior o superior de#inido.

E'em E'em=l =loo .B ?a utilidad neta por la muestra de pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata #ueron los si&uientesK a; 1.75= 1.75= %,.5= %,.5= 15.,= 15.,= *1.%= *1.%= %5.1= %5.1= %.,= %.,= 17.*= 17.*= *%.5 b; 5.5= 1,.6= 1+.,= %7.7= %%.= %,.1= 15.= Calcular e interpretar la mediana.

Soluci+n 9a:B Paso IB Urdenar en #orma creciente los datos. 15=, 17=* 1=75

%,=5

%5=1 %=,

*1=%

*%=5

Paso IIB Ubser$ar si el n4mero de datos es par o impar. n N  par

Paso IIIB eempla'ar en las #ormulas

$e =

xn A % + xn A %+1 x+ + x5 %,= 5 + %5=1 = = % % %

$e = %%=

In%er=re%aci+nB El 5,B de los pedidos tienen una utilidad neta de a lo más %%= nue$os soles y el 5,B restante superior a este. olucionar la parte :b; estimado alumno.

E'em=lo ,B ?a utilidad neta de una muestra de 5, pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la si&uiente tablaK Calcular #tilidad neta

f i

F i

05  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35 35 - 40

3 10 7 15 5 8 2

3 13 20 35 40 48 50

e

interpretar

la

mediana 

Soluci+nB Paso IB Urde rdenar nar en #orm #ormaa crec recient ientee los los inter$alos.

Paso IIB Tallar

n %

=

5, %

= %5

ue ue indi indica ca la

posici"n de la mediana. mediana.

*1


Paso IIIB !eterminar la primera #recuencia absoluta acumulada : F i ; ue supera entonces la primera #recuencia absoluta acumulada ue supera a

n %

n %

=

es F + N *5 al cual

le corresponde el inter$alo S%, 8 %5;= donde se ubica el $alor de la mediana.

Paso IVB Identi#icar todos los componentes de la #ormula en el inter$alo ue contiene la mediana y reempla'ar. n � � F a � � %5 - %, % = + R % , R5 $e =  I + � A � 15 � f i � � � $e  ,.@32

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB El 5,B de los pedidos tienen una utilidad neta de a lo más %1=67 nue$os soles y el 5,B restante superior a este.

E'em E'em=l =loo 4B El n4mero de pauetes del pedido re&istrado en una muestra de 6,= distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la l a si&uiente tablaK Calcular e interpretar la mediana.

%( de pauetes xi

f i

F i

1 2 3 4 5 6 7

6 9 20 15 5 3 2

6 15 35 50 55 58 60

Soluci+nB Paso IB Urdenar en #orma # orma creciente las clases. Paso IIB Tallar

n %

=

6, %

= *, ue indica la posici"n de la mediana. mediana.

Paso IIIB !eterminar la primera #recuencia absoluta acumulada : F i ; ue supera entonces la primera #recuencia absoluta acumulada ue supera a

n %

n %

=

es F * N *5 al cual

le corresponde la clase num)rica *F siendo este el $alor de la mediana= es decirK $e N

*

*%


In%er=re%aci+nB El 5,B de los pedidos tienen a lo más * pauetes y el 5,B restante superior a este.

C: Moda Es un $alor ue &eneralmente se denota por= Mo= y ue de#ine comoK El $alor cuantitati$o o cualitati$o nominal ue más $eces se repite. El $alor cuantitati$o o cualitati$o nominal más #recuente. El $alor cuantitati$o o cualitati$o nominal más com4n. ?a moda a $eces no e>iste y si e>iste a $eces es 4nica o m4ltiple.

Calculo de la moda Da%os no aru=ados o no %a;ulados o e>iste #ormula al&una= se obtiene por simple obser$aci"n= teniendo en cuenta la de#inici"n de moda.

Da%os aru=ados aru=ados o %a;ulados 9solamen%e en in%er?alos: in%er?alos: e debe identi#icar por lo menos los si&uientes pasosK

Paso IB Tallar Tallar

la mayor mayor #recue #recuenci nciaa absol absoluta uta simple= simple= el cual se denotar denotaráá como

#recuencia absoluta simple modal : f $o ;

Paso IIB !eterminar el inter$alo ue contiene la moda. Paso IIIB Identi#icar todos los componentes de la #ormula en el inter$alo ue contiene la moda y reempla'ar.  d 1   R A d d +  1 %

$o =  I + 

d 1 = f $o - f a d % = f $o - f p

!ondeK  I K ?ímite in#erior del inter$alo

ue contiene la moda.

d 1 K Primer incremento. d % K e&undo incremento. f $o f a

K 9recuencia absoluta simple modal del inter$alo ue contiene la moda.

K 9recuencia absoluta simple anterior a la #recuencia #r ecuencia absoluta simple modal. **

Probabilidad y Estadística f p

K 9recue 9recuenci nciaa absolu absoluta ta simple simple poste posterio riorr a la #recu #recuenc encia ia absolu absoluta ta simple simple modal.

( K (mplitud (mplitud del inter$alo ue contiene la moda.

E'em E'em=l =loo .B ?a utilidad neta por la muestra de pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata #ueron los si&uientesK a; 1.75= 1.75= %,.5= %,.5= 15.,= 15.,= *1.%= *1.%= %5.1= %5.1= %.,= %.,= 17.*= 17.*= *%.5 b; 5.5= 1,.6= 1+.,= 1,.6= %%.= %,.1= %%.= %%= Calcular e interpretar la moda.

Soluci+n 9a:B o e>iste moda= moda= dado ue nin&uno nin&uno se repite más ue otro.

E'em=lo ,B ?a utilidad neta de una muestra de 6, pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la si&uiente tablaK Calcular #tilidad neta

f i

05  10 10  15 15  20 20  25 25  30 30  35 35 - 40

3 10 7 15 5 8 2

e

interpretar

la

moda.

Soluci+nB Paso IB Tallar Tallar la mayor mayor #recuen #recuencia cia absol absoluta uta simple simple== f $o

N 15

Paso IIB El inter$alo ue contiene la moda esK S%, 8 %5;. Paso IIIB Identi#icar todos los componentes de la #ormula

en el inter$alo ue contiene la moda y reempla'ar.

� d �  R A = %, + R5 $o =  I + � 1 � d1 + d % �  + 1, � $o 

,,@,,

d1

=

f $o

-

f a

d%

=

f $o

-

f p

=

15 - 7

=

15 - 5

= =

 1,

In%er=re%aci+nB ?a utilidad neta más #recuente #r ecuente de entre todos los pedidos re&istrados es apro>imadamente apro>imadamente %%=%% nue$os soles.

E'em E'em=l =loo 4B El n4mero de pauetes del pedido re&istrado en una muestra de 6,= distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la l a si&uiente tablaK *+


Calcular e interpretar la moda.

%( de pauetes xi

f i

1 2 3 4 5 6 7

6 9 20 15 5 3 2

Soluci+nB Por simple obser$aci"n y aplicando el concepto de moda se tieneK $o N *

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB El n4mero de pauetes más #recuente de entre todos los pedidos re&istrados es apro>imadamente *.

E'ercicios =ro=ues%os 1. Para lan'ar un nue$o producto al mercado= una empresa estudia el tiempo de publicidad= en se&undos= empleando en los medios audio$isuales audio$isuales por otra empresa ue produce un producto similar. uracin 0 - 20 20 - 25 25  30 30  40 40 - 60

%( de de nuncios 3 17 13 9 8

a; Cuál es la duraci"n media apro>imada de los anunciosQ Es representati$aQ b; Cuál es la duraci"n duraci"n más #recuenteQ #recuenteQ c; ( partir de ue $alor un anuncio es de los $einte más lar&osQ d; Estudiad la #orma de la distribuci"n. e; i cada se&undo cuesta mil cuatrocientas pesetas= cuál es el &asto apro>imado ue reali'a la otra empresa en la publicidad de ese productoQ %. ?a distribuci"n distribuci"n del importe de las #acturas por reparaci"n de carrocería carrocería :en miles de ptas.; de una muestra muestra de , $e0ículos $e0ículos en un taller= taller= $iene $iene dad por la si&uiente si&uiente tablaK Iporte 0 - 60 60 - 80 80 - 120 120 - 180

%( de veculos 10 20 40 10

a; Calcular el importe medio. Estudiar la representati$idad en esta medida. b; Calcular la mediana mediana y estudiar su representati$idad. representati$idad. c; Cuál es el importe más 0abitualQ d; Xu) interpretaci"n tiene en este caso los decilesQ Calcular el tercer decil. *5

Probabilidad y Estadística e; Cuál es el importe mínimo pa&ado por las 75 reparaciones más baratas. #; Estudiar la concentraci"n del importe de las #acturas.

.&2& MEDIDAS DE DISPERSI/N DEFINICI/N ?as medidas de dispersi"n son $alores de resumen ue determinan apro>imadamente la $ariabilidad o el &rado de separaci"n de los datos respecto de su medida central= ue &eneralmente es la media aritm)tica. Estas medidas sonK Varian'a= !es$iaci"n estándar y Coe#iciente de $ariaci"n.

A: Varia arian) n)aa Definici+n .B 9Da%os no aru=ados o no %a;ulados: Es la suma de las separaciones o distancias al cuadrado de todos los $alores num)ricos obser$ados respecto respecto de su media= di$idido por el n4mero de datos menos uno.

Varian)a mues%ral 9 % % : %

%

( x - x ) = 

%

i

n -1

!ondeK xi

K Valores num)ricos obser$ados en una muestra.

x K Media aritm)tica

 K 2ama/o de la poblaci"n. n K 2ama/o de la muestra.

Definici+n ,B 9Da%os aru=ados o %a;ulados: Es la suma de las separaciones o distancias al cuadrado de todos los $alores num)ricos obser$ados respecto de su media= multiplicado por su #recuencia absoluta simple y di$idido por el n4mero de datos menos uno. Varian)a mues%ral 9 % % :

�( !i - # ) R f i %

% % =

n -1

!ondeK

*6

Probabilidad y Estadística !i K Marca de clase de cada inter$alo o $alor num)rico de cada clase.

Pro=iedades de la ?arian)a 

?a $arian'a es un n4mero no ne&ati$o y $iene e>presado en unidades cuadráticas.



?a $arian'a puede calcularse tambi)n en distribuciones de #recuencias de inter$alos de amplitud di#erente= siempre ue puedan determinarse las marcas de clase.



?a $arian'a se a#ecta por $alores e>tremos= ya ue depende de todos los datos.

": Des?iaci+n es%*ndar Definici+nB Es la raí' cuadrada positi$a de la $arian'a y nos indica Jcuan%oK es la $ariabilidad. e denota por GH. Esto esK % %

% =

Pro=iedades Pro=iedades de la des?iaci+n es%*ndar 

?a des$iaci"n estándar es un n4mero no ne&ati$o y $iene e>presada en las mismas unidades en las ue $ienen e>presados los datos.



?a des$iaci"n estándar puede calcularse tambi)n en distribuciones de #recuencias de inter$alos de amplitud di#erente= siempre ue puedan determinarse las marcas de clase.



?a des$iaci"n estándar se a#ecta por $alores e>tremos= ya ue depende de todos los datos.

C: Coeficien%e de Variaci+n Definici+nB Es una medida de dispersi"n relati$a :libre de unidades de medida;= ue se de#i de#ine ne como como la des$ des$ia iaci ci"n "n está estánd ndar ar di$i di$idi dido do por por la medi mediaa arit aritm) m)ti tica ca.. Com4nmente se denota por GCVH. Esto esK &' =



% X

R 1,,

El coe#iciente de $ariaci"n es una medida 4til para comparar la $ariabilidad de dos o más series de datos ue ten&an i&ual o distintas unidades de medida= con i&ual o distinta media aritm)tica.



El coe#iciente de $ariaci"n permite tambi)n indicar la alta :0etero&)nea; o ba

E'em=lo . La siuien%e %a;la =resen%a =resen%a los resul%ados resul%ados o;ser?ados del nmero de =l*n%ulas de male)as =or m, en una mues%ra de %amao % amao n,-&

La siuien%e %a;la mues%ra la dis%ri;uci+n de frecuencias frecuencias de la ?aria;le salarios mensuales 9en =esos:@ o;%enida en un mues%reo alea%orio de 35 em=leados de una firma aro=ecuariaB

E'em E'em=l =loo .B ?a utilidad neta por la muestra de pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata #ueron los si&uientesK a; 1.75= 1.75= %,.5= %,.5= 15.,= 15.,= *1.%= *1.%= %5.1= %5.1= %.,= %.,= 17.*= 17.*= *%.5 b; 5.5= 1,.6= 1+.,= %7.7= %%.= %,.1= 15.= ., Calcular e interpretar la $arian'a= des$iaci"n estándar estándar y coe#iciente de $ariaci"n.

Soluci+n 9a:B Varian)a Para 0allar la $arian'a se necesita primero calcular la media aritm)tica muestral= esto esK x

=

xi n

=

1= 75 + %,= 5 + 15= , + ... + *%= 5 

X N %*=67 %

%

�( x =

% % N

i

-x

)

%

n -1

=

:1= 75 - %*= 67; % + :%,= 5 - %*= 67; % + ... + :*%= 5 - %*= 67; %  -1

+%=*7 soles %

*


Des?iaci+n es%*ndar %  %

% %



+%=*7

 3@5. soles

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a $ariabilidad o &rado de separaci"n de cada utilidad del pedido respecto de su promedio es apro>imadamente 6=51 soles.

Coeficien%e de ?ariaci+n &'

=

% R1,, X

=

6=51 %*== 67 %*

R1,,

&' N %7=5,

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a $ariabilidad relati$a indica ue las utilidades de los pedidos son altamente dispersos= toda $e' ue el CV N %7=5,B [ 15B.

Soluci+n 9;: Para el estudiante o lector= resu)l$alo y re#le>ione lo #ácil ue es.

E'em=lo ,B ?a utilidad neta de una muestra de 5, pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la si&uiente tablaK Calcular e interpretar la $arian'a= des$iaci"n estándar y Stilidad neta; ,5 8 1, 1, 8 15 15 8 %, %, 8 %5 %5 8 *, *, 8 *5 *5  +, # = # N %

%

!i f i n

coe#iciente

* 1, 7 15 5  %

Soluci+nB

de

$ariaci"n.

Varian)a Tallando primero la media aritm)tica

7= 5 x* + 1%= 5 x1, + ... + *7= 5 x% 5,

=

1,, 5,

%1=6

�( ! =

% % =

=

f i

%

- # ) R f i

i

n -1

*1+=5 +

:7= 5 - %1= 6; x* + :1%= 5 - %1= 6; x1, + ... + :*7= 5 - %1= 6; x % %

=

%

%

5, - 1

% % = 6+=

*


Des?iaci+n es%*ndar % = = =,6

% = % % = 6+=

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a $ariabilidad o &rado de separaci"n de cada utilidad del pedido respecto de su promedio es apro>imadamente =,6 soles.


=

% R1,, X

=

= ,6 %1== 6 %1

R1,,

CV N *7=*1B

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a $ariabilidad relati$a indica ue las utilidades de los pedidos son altamente dispersos= toda $e' ue el CV N *7=*1B [ 15B.

E'em E'em=l =loo 4B El n4mero de pauetes del pedido re&istrado en una muestra de 6,= distribuidos por la empresa Xuemalapata se presenta en la l a si&uiente tablaK Calcular e interpretar la media aritm)tica.

Y de pauetes pauetes f i

xi

1 % * + 5 6 7

6  %, 15 5 * %

Soluci+nB Varian)a # =

%

%

!i f i n

�( ! =

% % =

i

=

1x 6 + % x + ... + 7 x %

-#

6,

)

%

R f i

n -1

11=65 5

=

%,1

:1 - *= *5; x6 + :% - *= *5; x + ... + :7 - *= *5; x% %

=

# = *= *5 �*

6, %

%

6, - 1

% % = %=,*

Des?iaci+n es%*ndar % % = % = %=,*

% N

1=+%

+,


In%er=re%aci+nB ?a $ariabilidad o &rado de separaci"n del n4mero de pauetes en cada pedido respecto respecto de su promedio es apro>imadamente apro>imadamente 1=+%.


=

% R1,, X

=

1= +% *= *5

R1,,

CV N +%=*B

In%er=re%aci+nB ?a $ariabilidad relati$a indica ue el n4mero de pauetes por pedido son altamente dispersos= toda $e' ue el CV N +%=*B [ 15B.

D: Medida Medidass de de For Forma ma Asime%r!a Definici+nB Es una medida ue ue estudia la de#ormaci"n de#ormaci"n 0ori'ontal de los $alores $alores de la $ariable respecto al $alor central de la media. ?as medidas de #orma pretenden estudiar la concentraci"n de la $ariable 0acia uno de sus e>tremos. De la relaci+n en%re la media ari%mé%ica@ mediana  moda se puede obtener la asimetría de un con
X  $e  $o = los datos tienen

i

$o  $e  X = los datos tienen

asimetría ne&ati$a. asimetría positi$a.

Coeficien%e Asime%r!a de Pearson Definici+nB e de#ine como el cociente de * $eces de la di#erencia entre la media y la mediana sobre la des$iaci"n estándar. Esto esK As =

(

* R X - $e

)

%

In%er=re%aci+nB i (s N , los datos se distribuyen sim)tricamente i (s [ , los datos se distribuyen asim)tricamente o ses&ado positi$amente i (s Z , los datos se distribuyen asim)tricamente o ses&ado ne&ati$amente

E'em=lo .,B Calcular e interpretar el coe#iciente de asimetría de la utilidad neta de una muestra de 5, pedidos distribuidos por la empresa Xuemalapata y presentado en la tabla por inter$alos. +1


Soluci+nB As =

*R ( # - $e )

%

Por resultados r esultados anteriores se tieneK # N

%1=6

% = = =,6 $e N %1=67

eempla'ando eempla'ando en la #ormulaK As =

* x: %1= 6 - %1= 67 67; =,6

As   -@-,3

In%er=r In%er=re%aci e%aci+nB +nB ?a utilidad neta de los pedidos distribuidos muestra un li&erísimo ses&o o asimetría 0acia la i'uierda o ne&ati$a.

E'em=lo ,B Ubten&a los coe#icientes de asimetría de los restantes e
ur%osis Definici+nB ?a urtosis mide el &rado de a&ude'a o ac0atamiento de una distribuci"n con con rela relaci ci"n "n a la dist distri ribu buci ci"n "n norm normal al== es deci decirr= mide mide cuán cuán punt puntia ia&u &uda da es una una distribuci"n. Ti=os de ur%osis ?a urtosis determina el &rado de concentraci"n ue presentan los $alores en la re&i"n central de la distribuci"n. (sí puede serK

Le=%ocr%ica& E>iste una &ran concentraci"n. Mesocr%ica& E>iste una concentraci"n normal. Pla%icr%ica& E>iste una ba
+%

Probabilidad y Estadística m

�: !

i -

+

# ; xf i

i =1

n % % : % ;

( =

-

*

In%er=re%aci+nB i - N , los datos tienen distribuci"n mesocurtica o normal i - [ , los datos datos tienen distribuci"n distribuci"n leptoc4rtica o son más apuntada ue la ormal ormal i - Z ,

los datos datos tienen tienen distribuci distribuci"n "n platic4rtic platic4rticaa o son menos menos apun apuntada tada ue la

ormal

Ca=!%ulo , PRO"A"ILIDAD # DISTRI"UCIONES DE PRO"A"ILIDAD Resea His%+rica na disputa entre istía una teoría &eneral antes de esa #amosa correspondencia. +*


El cientí#ico 0oland)s C0ristian Tuy&ens= enterado de esa correspondencia public" rápidamente en 1657 el primer libro de probabilidadesF #ue un tratado de problemas relacionado con los iomática establecida por el matemático ruso (ndrei -olmo&oro$= uien consider" la relaci"n entre la #recuencia relati$a de un suceso y su probabilidad cuando el n4mero de $eces ue se reali'a el e>perimento es muy &rande.

Conce=%os "*sicos E=erimen%o Alea%orioB Conperimentos aleatorios sonK i. 2odos 2odos los resultados del e>perimento son conocidos conocidos con anterioridad a su reali'aci"n. ii. o se puede predecir el resultado del e>perimento. iii. El e>perimento puede repetirse en condiciones id)nticas.

++


Es=acio Mues%ralB Es el conperimento aleatorio. e denota &eneralmente por W y se clasi#ica enK i. CardinalidadB 9inito= In#inito numerable= In#inito no numerable. ii. Discre%oB (uel (uel cuyo resultado puede ponerse ponerse en una correspondencia correspondencia uno a uno= con el con
Suceso o e?en%o alea%orioB Es cualuier subconperimento e>perimento aleatorio.

a: Suce Suceso so o e?en e?en%o %o seu seurroB Es un e$ento ue siempre ocurre. ;: Suces ceso o e?en% ?en%oo im=o im=ossi;le i;leBB Es au auel el ue inde#e inde#ecti ctible blemen mente te no ocu ocurri rrirá= rá= se denomina con
c: E?en E?en%o %oss iua iualm lmen en%e %e =r =ro;a; o;a;le lesB sB 2odos tienen la misma probabilidad de ocurrir :euiprobables;.

d: E?en E?en%o %oss de=e de=end ndie ien% n%es esBB (uellos (uellos en ue la ocurrencia de uno a#ecta la probabilidad de ocurrencia de los demás.

e: E?en E?en%o %oss inde= inde=en endi dien en%e %esB sB ?a ocurr ocurrenc encia ia de uno no a#ecta a#ecta la probab probabili ilida dadd de ocurrencia o no de los demás.

>le;ra de sucesos de =ro;a;ilidad (l&unos conceptos de teoría de contendidos a sucesos de probabilidad se deben recordar

La uni+n de dos sucesos ( y 3 en un espacio muestral W se de#ine comoK (

3 N { > A > �( " > �3 = el con
3 si&ni# si&ni#ica ica ue

ocurre (= ocurre 3 u ocurren ( y 3.

La in%ersecci+n de dos sucesos ( y 3 en un espacio muestral W se de#ine comoK (

3 N (3 N { > A > �( y > �3 = (

]3 si&ni#ica ue ocurren ( y 3 con
simultáneamente.

El com=lemen%o del suceso ( en el espacio muestral W se de#ine como la di#erencia entre el con A > �W y > � A

y si&ni#ica ue no ocurre (.

+5


Lees de De Moran ( A �) )

c

= A �) c

c

y ( A �) )

c

= A �) c

c

.

Definici+n de Pro;a;ilidad !e#inici"n a>iomática debida a (ndrei -olmo&oro$= -olmo&oro$= 1,* a 17= probabilista ruso. ea W el espacio muestral muestral asociado asociado a un e>perimento e>perimento aleatorio aleatorio y sean Ai �W para i N1= N1= %=.. %=...=.= n e$en e$ento tos. s. ( cada cada suce suceso so Ai le asi& asi&na nare remo moss un n4me n4mero ro real real * ( Ai ) = denominada probabilidad de Ai = ue satis#ace las propiedades si&uientesK 1; , * ( Ai )

1

%; P : W ; N 1

*; i A1 e>cluye a A% entonces P : A1 �A% ; N * : A1 ; + * : A% ; +; i los Ai son mutuamente e>cluyentes= es decir Ai �A+ N f par paraa tod todoo i < N1= N1= %=.. %=..== n �n � n entonces * � UAi �= �* ( Ai ) �i =1 � i =1

Ubser$e ue estas propiedades no dependen de c"mo se calculen las probabilidades * ( Ai )

Enfoues de Pro;a;ilidad Definici+n Cl*sica o Ja =rioriKB !ice ue si 0ay > posibles posibles resultados resultados #a$orables #a$orables a la ocurrencia de un e$ento ( y ' posibles resultados a la ocurrencia del e>perimento aleatorio= y todos los resultados son i&ualmente posibles y mutuamente e>cluyente :no pueden ocurrir los dos dos al mismo tiempo;= tiempo;= entonces la probabilidad probabilidad de ue ocurra ocurra ( esK *: A; =

n: x ; n: , ;

=

n: x; n:W;

El en#oue clásico de la probabilidad se basa en la suposici"n de ue cada resultado sea i&ualmente probable. Este en#oue es llamado en#oue a priori porue permite= :en caso de ue pueda aplicarse; calcular el $alor de probabilidad antes de obser$ar cualuier e$ento de muestra.

E'em=loK i tenemos en una ca

* : A; =

 %+

N ,=*75 " *7=5B

Defini Definici+ ci+n n Frec Frecuen uencia ciall o Ja =os%e =os%erio rioriK riKBB 2ambi)n ambi)n llamado llamado En#oue En#oue Empírico= Empírico= determina la probabilidad sobre la base de la proporci"n de $eces ue ocurre un e$ento #a$orable en un n4mero de obser$aciones. En este en#oue no ese utili'a la suposici"n pre$ia de aleatoriedad= porue la determinaci"n de los $alores de probabilidad se basa en la obser$aci"n y recopilaci"n de datos.

E'em=loK e 0a obser$ado ue  de cada 5, $e0ículos ue pasan por una esuina no tienen cintur"n de se&uridad. i un $i&ilante de transito se para en esa misma esuina un día cualuiera Cuál será la probabilidad de ue deten&a un $e0ículo sin cintur"n de se&uridadQ

2anto el en#oue clásico como el en#oue empírico conducen a $alores ob
El enfoue su;'e%i?o !ice ue la probabilidad de ocurrencia de un e$ento es el &rado de creencia por parte de un indi$iduo de ue un e$ento ocurra= basado en toda la e$idencia a su disposici"n. 3a
Pro=iedades de la =ro;a;ilidad Pro=osici+n .& ?a probabilidad de un suceso imposible f es cero. c Pro=osici+n ,& * ( A ) = 1 - * ( A )

Pro=osici+n 4& i ( y 3 son sucesos no necesariamente e>cluyentes entonces P :(

3; N P :(; L P :3;  P :(

3;

Pro=osici+n 1& P :( 3 C;NP C;NP:( :(;L ;L P:3; P:3; LP:C LP:C;;  P:( P:(

Pro=osici+n 5& P :(3; N P:(; 8 P:(

3;  P:( P:(

C;  P:3 P:3

C; L P:( P:(

3

C;

3; +7


Pro;a;ilidad Condicional ean ( y 3 dos sucesos de un espacio muestral W . ?a e>presi"n P :( A 3; indica la probabilidad de ue ocurra el e$ento ( dado ue ya 0a ocurrido el e$ento 3. Puede determinarse de la si&uiente maneraK P :( A 3; 3; N P :(

3; A P :3; :3;

P :( 3; se inte interp rpre reta ta como como la proba probabi bili lida dadd de ue ue los los suce suceso soss ( y 3 ocur ocurra rann con
E'ercicioB Para obtener licencia para conducir= es necesario aprobar tanto el e>amen te"rico como el práctico. e sabe ue la probabilidad ue un alumno apruebe la parte te"rica es ,=6= la de ue apruebe la parte práctica es ,=7% y la de ue 0aya aprobado al&una de las dos partes es ,=%. i se eli&e un alumno al a'ar= cuál es la probabilidad de ue apruebe el e>amen para obtener licenciaQ

E?en%os Inde=endien%es Inde=endien%es !os o más e$entos son independientes cuando la ocurrencia o noocurrencia de un e$ento o suceso no tiene e#ecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro e$ento :o e$entos;. n caso típico de e$entos independiente independiente es el muestreo con reposici"n= es decir= una $e' tomada la muestra se re&resa de nue$o a la poblaci"n donde donde se obtu$o.

E'em=loK ?an'ar al aire dos $eces una moneda son e$entos independientes por ue el resultado del primer e$ento no a#ecta sobre las probabilidades e#ecti$as de ue ocurra cara o sello= en el se&undo lan'amiento.

E?en%os de=endien%es !os o más e$entos serán dependientes cuando la ocurrencia o noocurrencia de uno de ellos a#ecta la probabilidad de ocurrencia del otro :o otros;. Cuando tenemos este caso= emplea empleamos mos enton entonces ces== el con conce cepto pto de probab probabili ilida dadd con condic dicion ional al para para den denomi ominar nar la probabilidad del e$ento relacionado. ?a e>presi"n P :(_3; indica la probabilidad de ocurrencia del e$ento ( sí el e$ento 3 ya ocurri". e debe tener claro ue (_3 no es una #racci"n. +


P :( A 3; N P:(

3; A P :3; o P :3 A(; N P:(

3; A P:(;

Pro=osici+n 5B e&la de la multiplicaci"n de probabilidades E?en%os de=endien%esB P :( 3; N P :3; :3; P :(A :(A 3; 3; " P :( 3; N P :(; :(; P :3 A (; Sucesos inde=endien%esB inde=endien%esB Considere Consideremos mos dos e$entos ( y 3 no $acíos en W . ?as si&uientes proposiciones son eui$alentes ( es indepe independi ndient entee de 3 P :( 3; N P :(; P :3; P :(A 3; N P:(; P :3A(; N P :3; E'ercicioB En una t"mbola 0ay dos bolitas blancas y tres bolitas ne&ras= cuál es la probabilidad de sacar una blanca y despu)s una ne&raQ a; i 0ay reposici"n= esto es= despu)s de sacar la primera bolita= )sta se de$uel$e a la t"mbola b; i no 0ay reposici"n= reposici"n= esto es= despu)s de sacar sacar la primera bolita= bolita= )sta no se de$uel$e de$uel$e a la t"mbola

Par%ici+n del es=acio mues%ral

W

!ecimos ue los sucesos )1 = )% = ...= )- = representan una partici"n de W siK a;

i � + N f

-

para i

<=

b;

U )

i

=W

c; , � * ( )i ) �1 =

! i

i =1

Esto Esto si&n si&ni# i#ic icaa ue ue W es cubi cubier erto to por por toda todass las las part partes es i ue son mutua mutuamen mente te e>cluyentes= es decir ue el e>perimento aleatorio asociado a W ocurre cuando sucede al&uno de los i .

Pro;a;ilidad Pro;a;ilidad %o%al ea ( un suceso y )1 = )% = ...= )- una partici"n de W . EntoncesK -

* ( A ) = �* ( )i ) * ( A A )i ) i =1

Teorema de "aes

+

Probabilidad y Estadística !ebida a 20omas 3ayes= 17,% a 1761= matemático in&l)s ue estableci" el primer m)todo de in#erencia estadística.

Rela de "aes Para medir la probabilidad de ue un i sea la causa de un e$ento obser$ado en (. G#ácilH

* ( )i A A ) =

* ( )i �A ) * ( A )

=

* ( )i ) * ( A A )i ) -

� * ( ) ) * ( A A ) ) i

para i N 1= %=*=...= 

i

i =1

Pro=osici+n 6& Independencia de sucesos complementarios i ( y 3 son suceso sucesoss indepe independi ndient entes es en un espac espacio io muestr muestral al W entonce entoncess Ac y  c tambi)n lo son.

E'ercicio El inspector de calidad de una &ran empresa tiene un plan de muestreo de #orma ue cuando el pedido es de buena calidad lo acepta el B de las $eces. Por otra parte= el inspector acepta el +B de los pedidos y sabe ue el 5B de los pedidos son de mala calidad. Calcule la probabilidad ue un pedidoK a; !e buena calidad se acepte b; Malo se acepte acepte c; e rec0ace dado ue es de mala calidad

Varia;le Alea%oria e llama $ariable aleatoria aleatoria a toda #unci"n #unci"n ue asocia asocia a cada elemento elemento del espacio espacio muestral E un n4mero real. e utili'an letras may4sculas \= `=... `=... para desi&nar $ariables aleatorias= y las respecti$as min4sculas :>= y=...; para desi&nar $alores concretos de las mismas.

Varia;le alea%oria discre%a na $ariable aleatoria discreta es auella ue s"lo puede tomar $alores enteros.

E'em=los El n4mero de 0i
Funci+n de Pro;a;ilidad ea G la $ari $ariab able le alea aleato tori riaa disc discre reta ta== ento entonc nces es su #unc #unci" i"nn de prob probab abil ilid idad ad f ( x ) = * ( x ) = * ( X = x )

debe satis#acer lo si&uienteK 5,


i: , � f ( x ) �1

ii:

� f ( x ) = 1

Funci+n de Pro;a;ilidad Pro;a;ilidad Acumulada ea \ la $ariable aleatoria discreta= con #unci"n de probabilidad= f ( x ) = entonces su x

#unci"n de probabilidad acumulada esK F ( x ) = * ( X �x ) = �f ( x ) X = ,

Carac%er!s%icas m =

Media Ari%mé%ica

n

� xf ( x ) X = ,

Varian)a s = %

n

� x f ( x ) - m %

%

X = ,

Mediana ,= 5 Me N F ( X �$e ) = ,=5

Varia;le alea%oria con%ina na $ariable aleatoria aleatoria continua conti nua es a auella u ue puede toma r todo s los $al or es pos ib les den tr o d e u n c ier to in ter $al o de de la recta rea real.

E'em=los ?a altura de los alumnos de una clase= las 0oras de duraci"n de una pila. Funci+n de Densidad de Pro;a;ilidad Pro;a;ilidad ea G la $ari $ariab able le alea aleato tori riaa cont contin in4a 4a== ento entonc nces es su #unc #unci" i"nn de prob probab abil ilid idad ad f ( x ) = * ( x ) = * ( X = x )

debe satis#acer lo si&uienteK �

i: f ( x ) �, ! x

R

ii:

f ( x ) dx = 1 �

.

iii: * ( A)

= * ( a �X �. ) =

-�

f ( x ) dx � a

Funci+n de Pro;a;ilidad Pro;a;ilidad Acumulada ea \ la $ariable aleatoria continua= con #unci"n de probabilidad= f ( x ) = entonces su x

#unci"n de probabilidad acumulada esK F ( x ) = * ( X �x ) =

�f ( x )dx

-�

Carac%er!s%icas

51

Probabilidad y Estadística +�

m =

Media Ari%mé%ica

xf ( x ) dx � -�

Varian)a +�

s = %

x f ( x ) dx - m � %

%

-�

Mediana $e

Me N F ( X �$e )

=

�f ( x ) dx =,=5 -�

DISTRI"UCIONES DISTRI"UC IONES PARA VARIA"LES VARIA"LES ALEATORIAS ALEATORIAS DISCRETAS ?as distribuciones 3inomial y Poisson= se deri$an de e>perimentos aleatorios en las cuales nos interesa el n4mero de )>ito en las GnH repeticiones= en los periodos y re&iones= a4n más están relacionadas con la teoría del muestreo peue/o nZ *,. on muy importantes pues son la base de metodolo&ías in#erenciales= tales como Inter$alos de Con#ian'a y Pruebas de Tip"tesis.

DISTRI"UCI/N "INOMIAL Estudiaremos en este tema una de las distribuciones de probabilidad más importantes y ue ue son son impr impres esci cind ndib ible less a la 0ora 0ora de aden adentra trarn rnos os en el estu estudi dioo de la in#e in#ere renc ncia ia estadística. ?a distribuci"n binomial es uno de los primeros e
La dis%ri;uci+n "inomial o de "ernoulli ?a distribuci"n binomial está asociada a e>perimentos del si&uiente tipoK 

eali'amos GnH $eces cierto e>perimento en el ue consideramos s"lo la posibilidad de )>ito o #racaso. #r acaso.



?a obtenci"n de )>ito o #racaso en cada ocasi"n es independiente de la obtenci"n de )>ito o #racaso en las demás ocasiones.

5%


?a probabilidad de obtener )>ito o #racaso siempre es la misma en cada ocasi"n :in$ariante;.

Veamos con un ejemplo 2iramos un dado 7 $eces y contamos el n4mero de cincos ue obtenemos. Cuál es la probabilidad de obtener obtener tres cincosQ Este es un típico eperimento de lan'ar un dado. . Cuál es nuestro )>itoQ E$identemente= sacar un 5= ue es en lo ue nos #iito N E N Gsacar un 5H N P : / ; N 1A6 9racaso N 9 N Gno sacar un 5H N P : F ; N 5A6 Para calcular la probabilidad ue nos piden= #i<)monos en ue nos dicen ue sacamos * cincos y por lo tanto tenemos * )>itos y + #racasos= de cuántas maneras pueden darse estas posibilidadesQ Podríamos sacar * cincos en las * primeras tiradas y lue&o + tiradas sin sacar cinco= es decirK EEE9999 Pero tambi)n podríamos sacar E9E999E= es decir ue en realidad estamos calculando de cuántas maneras se pueden ordenar + #racasos y * )>itos. ecordando las t)cnicas combinatorias= este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidosK

Definici+n de dis%ri;uci+n "inomialB i reali'amos GnH $eces un e>perimento en el ue podemos obtener )>ito= E= con probabilidad GpH y #racaso= 9= con probabilidad GH : 0 N 1 1 p;= diremos ue estamos ante una distribuci"n distribuci"n binomial de parámetros Gn y pH= y lo representaremos representaremos por 3 :nF

=ro;a;ilidad de obtener  )>itos $iene dada porK p;. En este caso caso la funci+n de =ro;a;ilidad * : - ;

=

*: X

=

-;

=

& - n p - 0 n

-

-

"ota2

Ubser$ar ue las probabilidades de )>ito y #racaso son complementarias= es decir=  N 1 p y p N1= por por lo ue basta saber saber una de ellas ellas para calcular la otra.

5*

Probabilidad y Estadística #jemplo:

upon&amos ue la probabilidad de ue una pare ito N E N Gtener 0i
* : X

=

%;

=

& %6 ,= 5% R ,= 5 +

=

,= %*++

Nota:

?a elecci"n de )>ito o #racaso es sub
El uso de las %a;las de la dis%ri;uci+n "inomial ?a dist distri ribu buci ci"n "n bino binomi mial al se encu encuen entr traa tabu tabula lada da por por lo ue ue es #áci #ácill calc calcul ular ar probabilidades sin necesidad de 0acer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribuci"n binomial es necesario conocerK 

El n4mero de $eces ue se reali'a el e>perimento :n;.



?a probabilidad de )>ito :p;.



El n4mero de )>itos :;.

?a probabilidad GpH se busca en la primera #ila :$alores desde ,=,1 0asta ,=5;. El n4mero de $eces ue se reali'a el e>perimento= en la primera columna :$alores desde % a 1,; y el n4mero de )>itos a su lado. Por e
?a ra'"n es bien sencilla. i p 3,=5= entonces 0 4,=5 y basta intercambiar los papeles de )>ito y #racaso para ue podamos utili'ar la tabla.

Pro;a;ilidades acumuladas Es posible ue nos pidan no s"lo la probabilidad de ue ocurran un cierto n4mero de )>itos en concreto= sino ue ocurran como muc0o GH )>itos o por lo menos  )>itos o pre&untas similares. similares. Podrían pedirnosK

5+

Probabilidad y Estadística a; Cuál es la probabilidad de ue aprueben como muc0o % alumnosQ i )>ito N aprobar y #racaso N desaprobar= p N ,=7 y  N ,=*= entonces nos piden P: X 5

%;. En este caso= basta pensar en ue para ue aprueben % alumnos como muc0o=

puede ue aprueben aprueben %= 1 o nin&uno= es es decirK * : X X 5 %; N P: X X N ,;LP: X X N 1;LP: X X N %; N ,=,,,1 L ,=,,1% L ,=,1 N ,=1,1*

b; Cuál es la probabilidad probabilidad de ue aprueben entre * y 6 alumnos :inclusi$e;Q. :inclusi$e;Q. !el mismo modoK p :* 5 X 5 6; N p: X X N *;L p: X X N +;L p: X X N 5;L p: X X N 6; N ,=,+67 L

,=1*61 L ,=%5+1 L

,=%65 N ,=7**+ Temos de tener en cuenta ue para la distribuci"n binomial= en las tablas s"lo se admiten $alores 0asta n N%5 :%5 repeticiones del e>perimento;. Para $alores de n 3%5= ine$itablemente 0emos de utili'ar la #"rmula.

Media  Des?iaci+n %!=ica en una dis%ri;uci+n "inomial es=erado de éi%os o media = $iene dado por El nmero es=erado por  N n p ?a des?iaci+n %!=ica = 67 ue es una medida de dispersi"n y mide lo ale
E'em=los $n un vivero la probabilidad ue una planta de vid ten'a virus es de 0,04 #n viticultor %ecesita coprar 10 parras al vivero a +u:ntas plantas con virus se espera ue aduiera el viticultor; b +u:l es la probabilidad de ue el viticultor aduiera& 1 %in'una planta con virus; 2 l enos una planta con virus; 3 $ntre 5 < 10 plantas con virus, abos valores incluidos; 4 $=actaente 4 plantas con virus;

1. upon&amos ue la probabilidad de tener una unidad de#ectuosa en una línea de ensambla
Probabilidad y Estadística %. Cada muestra de aire tiene 1,B de posibilidades de contener una mol)cula rara particular. particular. upon&a ue las muestras son independientes con respecto a la presencia de la mol)cula rara. Encuentre la probabilidad de ue en las si&uientes 1 muestras= a; e>actamente % conten&an la mol)cula rara. b; Por lo menos 5 conten&an la mol)cula rara.

DISTRI"UCI/N DE POISSON Da%o His%+rico ?a distribuci"n de Poisson se llama así en 0onor a su creador= el #ranc)s ime"n !ennis Poisson :171 8 1+,;. Esta distribuci"n de probabilidad #ue uno de los m4ltiples trabapresa= a partir de una #recuencia #recuencia de ocurrencia media= media= la probabilidad ue ocurra ocurra un determinado determinado n4mero de e$entos durante cierto periodo de tiempo.

Carac%er!s%icasB En este tipo de e>perimentos los )>itos buscados son e>presados por unidad de área= tiempo= pie'a= etc= etc=K Por e )>itos por unidad unidad de tiempo= tiempo= área= o producto= la #"rmula a utili'ar seríaK * : x = " ; =

" x# - " x e

!ondeK x="; N prob p: x probab abil ilid idad ad de ue ue ocur ocurra rann > )>it )>itos os== cuan cuando do el n4me n4mero ro prom promed edio io de

ocurrencia de ellos es " " N media o promedio de )>itos por unidad de tiempo= área o

producto 56

Probabilidad y Estadística # N %.71

 ?aria;le alea%oria ue & 

nos deno%a el nmero de éi%os ue se desea ue ocurra

Tay ue 0acer notar ue en esta distribuci"n el n4mero de )>itos ue ocurren por unidad de tiempo= área o producto es totalmente al a'ar y ue cada inter$alo de tiempo es independiente de otro inter$alo dado= así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Propiedades del modelo de Poisson X ; N f. 1; Esperan'a matemáticaK / : X X ; N f. %; Varian'aK Varian'aK ' : X

En esta distribuci"n la esperan'a y la $arian'a coinciden. *; ?a suma de dos $ariables aleatorias independientes con distribuci"n de Poisson resulta en una nue$a $ariable aleatoria= tambi)n con distribuci"n de Poisson= de parámetro i&ual a la suma suma de parámetrosK parámetrosK X 8 g * :f :f N f1;

y X 9 g * :f :f N f%;

y de#inimos : N X 1 ; X % 7 entonces= : g g * :f :f N f1 ; f%;

Este Este resu result ltaado se e>tie tiende inme inmedi diaatame tament ntee al caso de n $ariables $ariables aleatoria aleatoriass independientes independientes con distribuci"n de Poisson. En este caso= la $ariable suma de todas ellas si&ue una distribuci"n de Poisson de parámetro i&ual a la suma de los parámetros. Ejemplos a $n una cierta localidad se estia ue el n>ero proedio de adri'ueras de cone?os ue e=isten por ect:rea es 2 < sea X el número de madrigueras por p or ha. +alcular las probabilidades de ue en un cultivo de& 1 una ect:r ect:rea ea no a
57


E'em=losB 1. i un banc bancoo reci recibe be en prom promed edio io 6 c0e c0eue uess sin sin #ond #ondoo por por día= día= cuál cuáles es son las probabilidades de de ue reciba= a; cuatro c0eues sin #ondo en un día dado= b; 1, c0eues c0eues sin #ondos en cualuiera de dos dos días consecuti$osQ consecuti$osQ %. En la inspecci"n inspecci"n de 0o
DISTRI"UCIONES DISTRI"UC IONES PARA VARIA"LES VARIA"LES ALEATORIAS ALEATORIAS CONTINUAS Dis%ri;uci+n Normal o de (auss In%roducci+n na de las distribuciones te"ricas metos de estadística y más util utili' i'ad adaa en la prác prácti tica ca es la dis%ri;uci+n normal = tamb tambi) i)nn llam llamad adaa dis%ri;uci+n

aussiana. u importancia se debe #undamentalmente a la #recuencia con la ue

5

Probabilidad y Estadística dis distint tintaas $aria riables les asoc sociad iadas a #en #en"me "menos nos natu natura rale less y cotid otidia iannos si& si&uen uen= apro>imadamente= apro>imadamente= esta distribuci"n. Caracteres mor#ol"&icos :como la talla o el peso;= o psicol"&icos :como el cociente intelectual; son eten e>tendid didoo de la distri distribuc buci"n i"n norma normall en las aplica aplicacio ciones nes estad estadíst ística icass pue puede de e>plic e>p licars arse= e= ademá además= s= por otras otras ra'one ra'ones. s. Muc0o Muc0oss de los proced procedimi imient entos os estadí estadísti sticos cos 0abitu 0ab itualm alment entee utili' utili'ado adoss asumen asumen la normal normalida idadd de los datos datos obser obser$a $ados dos.. (un (unue ue muc0as de estas t)cnicas no son demasiado sensibles a des$iaciones de la normal y= en &eneral= esta 0ip"tesis puede ob$iarse cuando se dispone de un n4mero su#iciente de datos= resulta recomendable contrastar siempre si se puede asumir o no una distribuci"n norma normal. l. ?a simple simple e>plorac e>ploraci"n i"n $isual $isual de los datos puede su&erir su&erir la #orma #orma de su distribuci"n. o obstante= e>isten otras medidas= &rá#icos de normalidad y contrastes de 0ip"tesis ue pueden ayudarnos a decidir= de un modo más ri&uroso= si la muestra de la ue se dispone procede o no de una distribuci"n normal. Cuando los datos no sean normales= podremos o bien trans#ormarlos o emplear otros m)todos estadísticos ue no e>i
Da%o His%+rico ?a distribuci"n normal #ue reconocida por primera $e' por el #ranc)s (bra0am de Moi$re Moi$re :1667 :1667175 175+;. +;. Poste Posterio riorme rmente nte== Carl Carl 9ried 9riedric ric00 a auss uss :1777 :177715 155; 5; elabor elabor"" desarrollos más pro#undos y #ormul" la ecuaci"n de la cur$aF de a0í ue tambi)n se la cono'ca= más com4nmente= como la Qcam=ana de (aussQ .

Definici+n e dice ue la $.a continua \ es una $.a. normal con parámetros m y s % si su #unci"n de densidad esK

f : x ;

1

=

s

%$

%

1� x - m �

-

e

�

% � s

� �

= -� x



� ......:1;

Se denota X~ N (µ, σ²) y se dice X se distribuye normal con parámetros µ y σ²

5


(r*fica de la Dis%ri;uci+n Normal

Pro=iedades Pro=iedades de la dis%ri;uci+n normal ?a distribuci"n normal posee ciertas propiedades importantes ue con$iene destacarK a;. La unci!n siempre es positi"a, (#) $ % para toda #& b;. 2iene 2iene una 4nica moda= ue coincide con su media y su mediana= cuyo $alor es 1 s %$

.

c;. ?a cur$a normal es asint"tica asint"tica al e
es te"ricamente posible.

d;. El área total baiste una probabilidad de un 5,B de obser$ar un dato mayor ue la media= y un 5,B de obser$ar un dato menor. #;. ?a distancia entre la línea tra'ada en la media media y el punto de in#le>i"n : µ'σ y µσ) de la cur$a es i&ual a una des$iaci"n típica : s ;. Cuant Cuantoo mayo mayorr sea sea s = más aplanada será la cur$a de la densidad. #;. El área baimadamente apro>imadamente a dos des$iaciones estándar de la media es i&ual a ,.5. En concreto= e>iste un 5B de posibilidades de obser$ar un $alor $alor comprendido en el inter$alo. &;. ?a #orma de la campana campana de auss auss depende de los parámetro parámetross m y s . ?a media indica la posici"n de la campana= de modo ue para di#erentes $alores de la &rá#ica es despla'ada a lo lar&o del e
Probabilidad y Estadística peue/o de este parámetro indica= por tanto= una &ran probabilidad de obtener datos cercanos al $alor medio de la distribuci"n.

Dis%ri;uci+n Normal Es%*ndar !educiendo de la 4ltima propiedad= no e>iste una 4nica distribuci"n normal= sino una #amilia de distribuciones con una #orma com4n= di#erenciadas por los $alores de su media media y su $arian'a. $arian'a. !e entre todas todas ellas= ellas= la más utili'ada utili'ada es la dis%ri;uci+n normal

es%*ndar= ue corresponde a una distribuci"n distribuci"n de media , y $arian'a 1. (sí= la e>presi"n ue de#ine su densidad se puede obtener de la Ecuaci"n 1= resultandoK

f : , ;

=

1 % ,

-

1

e

%$

%

= -� ,  � ......:%;

Es import importan ante te con conoc ocer er ue ue== a partir partir de cualu cualuier ier $aria $ariable ble X � " : m =s ; = se puede obtener otra característica : con con una distribuci"n normal estándar= sin más ue e#ectuar la trans#ormaci"nK

, =

x - m s

= donde , � " :,=1; .

(r*fica de la Dis%ri;uci+n Normal Es%*ndar

:;

-

9:



E'ercicios 1. !ada una distribuci"n normal estándar= encuentre el área ba
61

Probabilidad y Estadística #; entre ' N ,.+ y ' N 1.7+ %. na na #ábr #ábric icaa de alim alimen ento toss empa empaca ca prod produc ucto toss cuyo cuyoss peso pesoss está estánn norm normal alme ment ntee dist distri ribu buid idos os con con medi mediaa de +5, +5, &ram &ramos os y des$ des$ia iaci ci"n "n está estánd ndar ar de %, &ram &ramos os.. Encuentre la probabilidad de ue un pauete esco&ido al a'ar pese entre +%5 y +6 &ramos. *. e re&ula una máuina despac0adora despac0adora de re#resco para para ue sir$a un promedio de %,, mililitro por $aso. i la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una des$iaci"n estándar i&ual a 15 mililitros= a; u) #racci"n de los $asos contendrán más de %%+ mililitrosQ b; cuál es la probabilidad de ue un $aso conten&a conten&a entre 11 y %, mililitrosQ c; cuántos $asos probablemente se derramarán si se utili'an $asos de %*, mililitros para las si&uientes si&uientes 1,,, bebidasQ bebidasQ d; por deba
distribuci"n normal.

+. ?a resistencia a la tracci"n tracci"n de cierto componente componente de metal se distribuye normalmente normalmente con una media de 1,,,, ilo&ramos por centímetro cuadrado y una des$iaci"n estándar de 1,, ilo&ramos por centímetro cuadrado. ?as mediciones se re&istran a los 5, ilo&ramos por centímetro cuadrado más cercanos. a; Xu) proporci"n de estos componentes e>cede 1,15, ilo&ramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tracci"nQ b; i las especi#icaciones reuieren de todos los componentes ten&an resistencia a la tracci"n entre ,, y 1,%,, ilo&ramos por centímetro cuadrado inclusi$e= u) proporci"n de pie'as pie'as esperaría esperaría ue se descartaráQ descartaráQ

Im=or%an%e ?as distribuciones GtH de tudent= C0i cuadrado : % % ; y 9= se deri$an de la distribuci"n ormal y están relacionadas relacionadas con la teoría del muestreo peue/o n Z *,.

6%

Probabilidad y Estadística on muy importantes pues son la base de metodolo&ías in#erenciales= tales como Inter$alos de Con#ian'a y Pruebas de Tip"tesis. ?as $ariables GtH= % % y 9 sur&en de trans#ormaciones de $ariables aleatorias en las ue están in$olucrados estadísticos muestrales= tales como la media y la $arian'a. En la práctica= por lo tanto= no podemos decir por E
DISTRI"UCI/N DE STUDENT O DISTRI"UCI/N J%K Xui)n Xu i)n era tude tudentQ ntQ Pues en realid realidad ad S%uden% no era el nombre o el apellido del respon responsab sable le de esta esta distrib distribuci uci"n "n de probab probabili ilidad dad== sino sino ue era un seud+nimo . El $erdad $erdadero ero nombre nombre del creado creadorr de la t de tudent tudent es illiam Seal (osse% = :176 8 1*7;F era un matemático y uímico in&l)s. En muc0os casos se seleccionan de una poblaci"n normal= muestras de tama/o peue/o n Z *, y s desconocido.

DEFINICI/N , cuadrada positiva de una varia.le % dividida

por sus grados de li.ertad?

a funci=n de densidad de pro.a.ilidad pro.a.ilidad de la varia.le aleatoria @t está dada por2

h:t ; =

& ( :v + 1; A % ' �

- : v +1; A %

% t �

1+ � � v � ( :v A %; $ v �

Esta se conoce como la dis%ri;uci+n % con

7

-  t  +

&rados de libertad.

CARACTERISTICAS 

?a distribuci"n se denomina distribuci"n de tudent o distribuci"n GtH. 6*


Cada cur$a GtH tiene #orma de campana con centro en ,.



% Es sim)trica= con media ,= y $ariancia mayor mayor ue 1. Es decirK s =



Es más ac0atada ue la normal y adopta di#erentes #ormas= se&4n el n4mero de

v v-%

=v ) %

&rados de libertad. 

?a $ariable t se e>tiende de desde 

aL .



( medid medidaa ue ue aume aument ntaa los los :$ N n 1= 1= es decir decir v

; &rados de libertad la

distribuci"n GtH se apro>ima en su #orma a una distribuci"n normal estándar. / or lo ue la cur$a cur$a G'H recibe recibe a $eces $eces el el nombre nombre de cur$a cur$a GtH con con &l N &rande &rande G H. 

El parámetro de la distribuci"n es :$ N n1; &rados de libertad= ori&inando una distribuci"n di#erente para cada tama/o de muestra.

C+mo se deduce una dis%ri;uci+n de J%K 

E>trai&o - muestras de tama/o n Z *,.



Calculo para cada muestra el $alor de GtH.



ra#iue la distribuci"n para cada tama/o muestral

Dis%ri;uci+n J%K =ara diferen%es rados de li;er%ad 9n.:

E'em=loB a; Encuentre la probabilidad de 8t ,.,%5 Z t Z t,.,5.

6+

Probabilidad y Estadística b; Encuentre  tal ue P : Z t Z 1.761; N ,.,+5= para una muestra aleatoria de tama/o 15 ue se selecciona de una distribuci"n normal. c; n in&eniero uímico a#irma ue el rendimiento medio de la poblaci"n de cierto proceso en lotes es 5,, &ramos por milímetro de materia prima. Para $eri#icar esta a#irmaci"n toma una muestra de %5 lotes cada mes. i el $alor de t calculado cae entre 8t,.,5 y t,.,5= ueda satis#ec0o con su a#irmaci"n. Xu) conclusi"n e>traería de una muestra ue tiene una media de 51 &ramos por milímetro y una des$iaci"n está estánd ndar ar de +, &ram &ramos osQQ upo upon& n&aa ue ue la dist distri ribu buci ci"n "n de rend rendim imie ient ntos os es apro>imadamente apro>imadamente normal. d; Calcular el percentil t ,=5 y t ,=%5 en cada uno de los si&uientes casosK 1. En una distribuci"n ttudent con * &rados de libertad. %. En una distribuci"n ttudent con *, &rados de libertad. *. En una distribuci"n ttudent con 5% &rados de libertad. +. En una distribuci"n ttudent con 1%, &rados de libertad.

DISTRI"UCI/N CHI  CUADRADO Para muestras e>traídas de una poblaci"n normal con $ariancia s % = con tama/o n Z *,= siendo s % la $arian'a de la muestra.

DEFINICI/N
CARACTERISTICAS 

Por de#inici"n= una $ariable % % adopta $alores positi$osK % %



?a distribuci"n es asim)trica positi$a.



( medida ue aumenta el tama/o de la muestra la cur$a es menos asim)trica= apro>imándose apro>imándose a una cur$a normal.



Para cada tama/o muestral= se tendrá una distribuci"n % % di#erente.



El parámetro ue caracteri'a a una distribuci"n % % son sus &rados de libertad :$ N n1;= ori&inado una distribuci"n para cada &rado de libertad=

,.

C+mo se deduce una dis%ri;uci+n % % 

65

Probabilidad y Estadística E>traer - muestras de tama/o n Z *, Para cada muestra= por eK >1= >%= >*= >+ y >5 en hK '1= '%= '*= '+ y '5=

Dis%ri;uci+n de ji cuadrado cuadrado =ara alunos ?alores de rados de li;er%ad&

%

%

E'ercicio.B Calcular el percentil % n =,=5 y % n =,=%5 en cada uno de los si&uientes casosK 1. nN5 %. nN*,.

DISTRI"UCI/N F DE FISHER Considerando dos muestras aleatorias independientes= de tama/o n1 y n%= e>traídas de una poblaci"n normal= el estadístico F será DEFINICI/N

na $ariable F se de#ine como el cociente entre dos $ariables
Carac%er!s%icas 

na $ariable con distribuci"n 9 es siempre positi$a por lo tanto su campo de $ariaci"n es G, a O

?a distribuci"n de la $ariable es asim)trica= pero su asimetría disminuye cuando aumentan los &rados de libertad del numerador y denominador. denominador.  Tay una distribuci"n 9 por cada par de &rados de libertad. 

 ParámetrosK rados de libertad asociados al numerador y

denominador

C+mo se deduce una dis%ri;uci+n F

66

Probabilidad y Estadística  E>trai&a  pares de muestras aleatorias independientes de tama/o n  Calcule para cada par el  ra#icar

Z *,.

cociente de $ariancias ue proporciona un $alor de 9.

los $alores de 9 de los  pares de muestras.

Dis%ri;uci+n F =ara diferen%es rados de li;er%ad

Ca=i%ulo 4

67


INTRODUCCI/N A LA INFERENCIA ESTAD$STICA El proceso de

Inferencia Inferencia Es%ad!s%ica Es%ad!s%ica

permit permitee e>trae e>traerr con conclu clusion siones es

cien cientí tí#i #ica came mente nte $áli $álida dass acer acerca ca de la pob pobla laci ci"n "n a part partir ir de los los resul resulta tados dos mu)strales :obtenidos a tra$)s de la estadística descripti$a;.

El =ro=+si%o de la inferencia i nferencia es%ad!s%ica es reali)arB

 Es%imaci+n de Par*me%ros  Con%ras%e de Hi=+%esis

Es%imaci+n de Par*me%ros El m)todo de estimaci"n de un parámetro puede ser puntual o por inter$alo.

6


Es%imaci+n =un%ual de 7 En base al al resultado de la muestra particular particular de tama/o tama/o n= una estimaci"n estimaci"n puntual de  sería el $alor num)rico ue toma X en dic0a muestra. En nuestro e
Incon?enien%e9s:B  

?a estimaci"n puntual depende de la muestra particular ue se obten&a. E>iste una una incertidumbre incertidumbre total= acerca de de la pro>imidad :le
in embar&o Conocemos la distribuci"n de la medias mu)strales ba
DISTRI"UCI/N DE LA MEDIA MUESTRAL a: Si asumimos ue G W N 97@ X:@ X W conocida ?as :in#initas; medias mu)strales obtenidas con muestras de tama/o n se distribuyen se&4n una distribuci"n normal :campana de auss;K X � " : m = s X ; � :

=

X - m

� " :,=1;

s X

!ondeK s X es el error típico o des$iaci"n estándar de la media muestral.

;: Si asumimos ue G W N 97@ X:@ X desconocida ?as ?as :in# :in#in init itas as;; medi medias as mu)s mu)str tral ales es obte obteni nida dass con con mues muestra trass de tama tama/o /o distribuyen se&4n se&4n una distribuci"n distribuci"n tstudent con n1 &rados de libertad :&l;

n se

6


X � " : m = s X ; � B

!ondeK

=

X - m s X

� t n

1

-

% X es el error típico o des$iaci"n estándar de la media muestral.

-

No%aB 9Error es%*ndar o Error %!=ico de la media:

s x

=

s x

=

% x

% x

=

=

 

s

n s

n

" - n " - 1

n

2ama/o de poblaci"n :; demasiado &rande o in#inita.  s conocida  2ama/o de poblaci"n :; conocido o #inita.  s desconocida= entonces s @ %  2ama/o de poblaci"n :; demasiado &rande o

% n %

s conocida

" - n " - 1

in#inita.  s desconocida= entonces s @ % #ini ta.  2ama/o de poblaci"n :; conocida o #inita.

Es%imaci+n =or In%er?alo de confian)a =ara 7 upon& upon&amo amoss ue de una pob poblac laci"n i"n normal normal con media descon desconoc ocida ida m y $arian'a conoci con ocida da o desco desconoc nocida ida s % se e>tr e>trae ae una mues muestr traa de tama tama/o /o n= entonces de la distribuci distribuci"n "n de la media muestral muestral X se obtiene obtiene ue= ue= lle$a asoci asociado ado un error error típico de dic0o estadístico de lo ue 0a de tenerse en cuenta para $alorar la precisi"n de una estimaci"n puntual.

Idea Construir inter$alos de con#ian'a= basado X = ue conten&a Gcon alta probabilidadH el parámetro .

Caso IB \ j  := k;= k conocida #l Inter"alo de confian'a para

 es: 7,


X - :1-* A % R s X �m �X + : 1-* A % R s X

Con un ni$el de con#ian'a del 1 - * .

Caso IIB \ j  := k;= k desconocida #l inter"alo de confian'a para  es:

X - t1-* A %Fn -1 R % X �m �X + t1-* A %F n -1 R % X

Con un ni$el de con#ian'a del 1 - * .

Tamao de mues%ra e puede determinar ue tan &rande debe ser el tama/o de la muestra= n= de manera ue si m se estima por x = el error de es%imaci+n no sea mayor ue un $alor dado e & En e#ectoK 2ama/o de poblaci"n :; demasiado &rande o in#inita.  i la des$iaci"n estándar : s ; es desco desconoc nocida ida== se estima estima por la des$ia des$iaci" ci"nn estándar muestral :; 0allado a partir de una muestra piloto.  %

:

1-

n=

%

1-

%

:

1-

%

%

%

%

*

Rs R "

%

Rs + e : " - 1; %

*

R s

%

e

: n=

*

%

 

2ama/o de poblaci"n :; conocida o #inita i la des$iaci"n estándar : s ; es desconocida= se estima por la des$iaci"n estándar muestral :; 0allado a partir de una muestra piloto.

Ejercicio Considerar Considerar la variable rendimiento de maíz , cuya distribución es normal con media μ y desviación desviación estándar estándar σ. Para estimar el rendimiento promedio del maíz bajo el efecto de un herbicida, se toma una muestra de tamaño ! y se obtiene un promedio de "! ##$ha. %e sabe por e&periencias anteriores #ue la varianza poblacional σ. es '( )##$ha* '. a* Construir los intervalos de confianza del +( y ++ para /. b* -Cómo cambia el intervalo anterior )+(* si el tamaño de la muestra fuese !! y se obtiene el mismo promedio/ c* -Cómo se modifica el intervalo del +( calculado en a* si la desviación estándar fuese de 0 ##$ha./

Ejercicio %e desea establecer el contenido vitamínico de un alimento balanceado para pollos. %e toma una muestra de + bolsas y se encuentra #ue el contenido promedio de vitaminas por cada !! 1rs.

71

Probabilidad y Estadística es de ' m1. y #ue la desviación estándar es de ' m1. 2ncontrar el intervalo de confianza del +( para el verdadero promedio del contenido de vitaminas.

/+ercicio

Para estimar el rendimiento promedio del tri&o en un departamento del sur cordob)s se rele$an los campos de distintos productores mediante un esuema de muestreo aleatorio simple. e conoce por e>periencias anteriores ue s es i&ual a ,.7 A0a y ue el promedio 0ist"rico es %6 A0a. 1; Xu) n4mero de campos se deben e$aluar e$aluar para estimar la media de rendimiento con una con#ian'a del 5B si la amplitud del inter$alo no debe ser mayor ue el %.5B del promedio 0ist"ricoQ %; i la $arian'a de la distribuci"n aumenta :propon&a :propon&a sN1.+;= aumenta o disminuye el tama/o muestral necesario para mantener la misma amplitudQ Wusti#icar la respuesta.

E'em=lo .B na encuesta reali'ada a %5 empleados de un sector dio como resultados ue el tiempo medio de empleo era de 5=* a/os con una des$iaci"n típica de 1=% a/os. a; Estimar= Estimar= al ,B de con#ian'a= con#ian'a= el tiempo medio de empleo empleo para el sector= sector= suponiendo ormalidad. b; i el mar&en mar&en de error 0ubiera sido de 1 a/o u) u) &rado de con#ian'ase con#ian'ase tendríaQ tendríaQ c; Xu) tama/o tama/o muestral muestral es necesario necesario si se uisiera el mar&en mar&en de error del apartado apartado primero y el &rado de con#ian'a del apartado apartado se&undoQ se&undoQ

Soluci+nB a: Estimar= al ,B de con#ian'a= el tiempo medio de empleo para el sector= suponiendo ormalidad.

Da%osB \K 2iempo de empleo supuestamente ormal 2ama/o de muestra K n N %5 empleados 2iempo me medio de de empleo K X N 5=* a/os !es$ !e s$ia iaci ci"n "n típi típica ca mues muestra trall K  N 1=% 1=% a/os a/os : s desconocido; * N ,=1, Con#ian'a K 1 - * N ,=, En base a los datos corresponde al CASO II= donde su inter$alo esK

X - t1-* A %Fn -1 R % X �m �X + t1-* A %F n-1 R % X

EntoncesK X N 5=*

t1-* A %=n-1 = t ,=5F%+ = 1= 711 :3uscar

tabla;

% X =

% n

=

1= % %5

= ,=%+

eempla'ando en la #"rmulaK 5=* 8 1=711R,=%+

m

5=* L 1=711R,=%+ 7%


5=* 8 ,=+11 m 5=* L ,=+11 1@668 m 5@2..

In%er=re In%er=re%aci+n %aci+nBB El tiempo medio de empleo de todos los empleados del sector se estima en += a 5=7 a/os= con una con#ian'a del ,B.

Soluci+nB;: i el mar&en de error 0ubiera sido de 1 a/o u) &rado de con#ian'a se tendríaQ

Error de estimaci"nK e N ,1 * A % R % X -

1N

, 1-* A % R

, 1-* A % = +=17

1-

* %

s

1N

n

, 1-* A % R

1= % %5

:3uscando en la tabla estadística;

= ,= 

Por lo tanto el &rado de con#ian'a esK

*

= ,=,,,,%

1 - * = ,= 

Soluci+nB c: Xu) tama/o muestral es necesario si se uisiera el mar&en de error del apartado primero y el &rado de con#ian'a del del apartado se&undoQ se&undoQ 2ama/o de muestra con mar&en de error de ,=+11 ,=+11 y rado de con#ian'a con#ian'a ,= N2ama/o N2ama/o de poblaci"n poblaci"n de empleados empleados desconocido desconocido de la entidad Entonces la #ormula ue le corresponde esK

: % * R % % n=

1-

%

e

%

=

+= , ,% R1= % % ,= +11 +11%

n = 1+%= 6 �1+*

E'em=lo ,B El n4mero de 0oras diarias ue los empleados de cierta entidad bancaria de ámbito nacional trabaplica claramente el resultado comentando ue si&ni#ica el 5B de con#ian'a. 7*

Probabilidad y Estadística b; Xu) tama/o muestral es necesario si se uisiera el mar&en de error del apartado primero y el &rado de de con#ian'a de ,BQ

Soluci+nBa: Da%osB \K 4mero de 0oras diarias $ariable ormal Varia rian'a n'a pob pobla laccion ion K s % N 1=5 conocido !es$iaci"n estándar s N 1=%%5 2ama/ ama/oo de de mues muestr traa K n N 1, empl emplea eado doss 4mero promedio de 0oras diarias se 0alla a partir de los $alores num)ricos re&istrados 1,

de los los 1, 1, empl emplea eado doss K

� x

i

X =

1=1

=

n

6 + *= + + 5= 6 + ... + 5= 5 1,

K 1 - * N ,=5

Con#ian'a

N 5=+1 0oras

* N ,=,5

En base a los datos corresponde al CASO I= cuyo inter$alo esK X

-

:1

-*

A%

Rs X �m �X

X N 5=+1

+

: 1

-*

A%

Rs X

:1-* A % = : ,=75 = 1=6, :3uscar

tabla;

s X =

s n

=

1= %%5 1,

= ,=*7

5=+1 8 1=6R,=*7 m 5=+1 L 1=6R,=*7 5=+1 8 ,=75 m 5=+1 L ,=75 1@35. m [email protected] In%er=re%aci+nB El n4mero medio de 0oras diarias ue traba
Soluci+nB;: Da%osB

Mar&en de error K e N ,=75 Varian'a poblacional K s % N 1=5 * N ,=1, Con#ian'a K 1 - * N ,=, 2ama/ ama/oo ddee la la pob pobla laci ci"n "n K  desc descon onoc ocid idoo En base a los datos corresponde utili'ar la #ormulaK %

:

1-

n

=

%

*

Rs

%

e

%

%

=

R1== 5 : ,=5 R1 %

,= 75

%

=

1= 6+5 R1=5 %

,= 75

n = 7= ,5 �7

E'ercicios Pro=ues%os

7+


E'ercicio .B ?a duraci"n aleatoria de las unidades producidas de un artículo= se distribuye se&4n la ley normal= con des$iaci"n típica i&ual a seis minutos. Ele&idas al a'ar cien unidades= resulto ser la duraci"n media de 1+=*5 minutos. Elaborar el inter$alo de con#ian'a del B para la duraci"n media de las unidades producidas. E'ercicio ,B e anali'an  'umos de #ruta y se 0a obtenido un contenido medio de #ruta de %% m& por 1,, cc de 'umo. ?a $arian'a poblacional es desconocida= por lo ue se 0a calculado la cuasi des$iaci"n típica de la muestra ue 0a resultado ser 6=* m& de #ruta por cada 1,, cc de 'umo. uponiendo ue el contenido de #ruta del 'umo es normal= estimar el contenido medio de #ruta de los 'umos tanto puntualmente como por inter$alos al 5B de con#ian'a. E'ercicio 4B e desea estimar el n4mero medio de libros ue los estudiantes de cier cierta ta titul titulac aci"n i"n adui aduier eren en en el 4ltim 4ltimoo curso curso de sus estud estudios ios.. upo uponie niend ndoo conocida la dispersi"n :$arian'a i&ual a *6; y siendo ormal el comportamiento de la $ariable= a; u) tama/o muestral 0ace #alta para alcan'ar un &rado de con#ian'a del 5B y un mar&en de error no superior a % unidadesQ b; Cuál sería el tama/o muestral si ueremos reducir el inter$alo a la mitad sin perder #iabilidadQ Xuer erem emos os a
In%er?alo de Confian)a =ara la ?arian)a La "ariana como medida de dispersi!n es importante dado +ue nos or orece ece una una me0o me0orr "isi "isi!n !n de disp disper ersi si!n !n de dato datos& s& Nue" Nue"am amen ente te consideramos +ue la poblaci!n siue una distribuci!n de probabilidad normal& 1tro campo del conocimiento donde la "ariana se ocupa en ran medida es en control de calidad2 cuando un producto se elabora el área de control de calidad busca +ue los productos est3 dentro de ciertos l*mites de tolerancia, pero tambi3n +ue la "ariabilidad de un producto sea lo menor posible&

75

Probabilidad y Estadística #l Inter"alo de confian'a para la "arian'a po$lacional ( s % ) es: :n - 1; 1; s

%

�s �

%

%

:n - 1; 1; s

%

%1-* A %F n -1

%

% * A %F n -1

Con un ni$el de con#ian'a del 1 - * . #jercicio

n productor decide probar el #uncionamiento de su máuina y para ello= lue&o de cosec0ar una parcela= cuenta en 1, unidades de 1 m % la cantidad de semillas ue uedan en el suelo. ?as normas t)cnicas indican ue la des$iaci"n estándar del n4mero de semillas caídas por m% no debería ser superior a 5. ?os resultados= en semillasAm%= #ueronK 77 7* % % 7 1 7 76 76 75 a; Construir un inter$alo de con#ian'a para s% con una con#ian'a del 7=5B. b; Concluir sobre el #uncionamiento de la máuina. 0an reco reco&i &ido do mues muestr tras as de aire aire para para estu estudi diar ar su cont contam amin inac aci" i"n= n= E'ercicioB e 0an obteni)ndose las si&uientes cantidades de impure'as en -&Am* %.%F 1.F *.1F %.,F %.+F %.,F %.1F 1.% Construir un inter$alo de con#ian'a al B para la des$iaci"n estándar de impure'as contenidas en el aire.

Soluci+nB Da%osB Calculando la cantidad media de impure'as a partir de los $alores num)ricos 1,

re&istrados en en la las  muestras de de air airee

K

� x

i

X =

1=1

n

=

%= % + 1=  + *=1 + ... + 1= % 

= %=1

Calcul Calculand andoo la $arian' $arian'aa muestra muestrall obtenido obtenido de los los $alore $alore num)ri num)ricos cos K n

�: X %

% =

i

- X ; %

i =1

n -1

( %= % - %=1) =

%

(

)

+ 1=  - %=1

%

(

+ ... + 1= % - %=1

)

%

 -1

% % N ,=%

Con#ian'a Entonces el inter$alo esK :n - 1; 1; s %

%

%1-* A %Fn-1

�s

%

K 1 - * N ,=

:n - 1; 1; s

�

%

%

% * A %Fn -1

=

* N

,=,%

R ,= % (  - 1) R, %

% ,=F7

R ,= % (  - 1) R,

�s % �

%

% , =,1F7

76

Probabilidad y Estadística %= ,16 1= +75

%= ,16

�s % �

,=1, �s % �1= 6%7

1= %*

Por lo %an%oB

,= **, �s �1= %75

In%er=re%aci+nB ?a $ariabilidad de impure'as con respecto a su media ue contiene el aire se estima en ,=1, a 1=6%7 -&.A m* = con una con#ian'a del B.

E'ercicios Pro=ues%os E'ercicio .B e sabe por e>periencia ue el tiempo ue tarda el ser$icio de ca
In%er?alo de Confian)a =ara la diferencia de medias 9 m1 - m % : upon& upon&amo amoss ue se tiene tiene dos pob poblac lacion iones es distrib distribuid uidas as normal normalmen mente te con medias medias desconocidas m 1 y m % = respecti$amente. e puede aplicar una prueba ) o % de tudent para comparar las medias de dic0as poblaciones basándonos en dos muestras independientes tomadas de ellas. ?a primera muestra es de tama/o n1 = con media X 1 y la se&u se&unnda muest uestra ra es de tama tama//o n% = tiene media X % . !onde onde las las $arian'as poblacionales pueden pueden ser conocidas conocidas : s 1% y s %% ; o desconocidas : s 1% s1% y s %% s%% ;.  

Caso IB Muestras independientes= Varian'as poblacionales conocidas 9 s y %

1

%

s %

:

El in%er?alo de confian)a esB

( X

1

)

- X % - :1-

*

A%

(

)

R s X1 - X % �m1 - m% � X 1 - X % + : 1-* A % R s X1 - X %

77

Probabilidad y Estadística %

!ondeK

s1

=

s X - X 1 %

n1

%

+

s %

n%

Caso IIAB ormalMuestras ormalMuestras independientes= Varian'as poblacionales desconocidas pero i&uales : s

% 1

%

= s %

;


( X

1

)

- X % - t1-

*

A % Fv

R % X

1 - X%

(

)

�m1 - m % � X 1 - X % + t1-* A %Fv R % X

1 - X %

v = n1 + n% - % es el &rado de libertad.

!ondeK

(n

1

% X 1 - X % =

)

(

)

- 1 R s1 + n% - 1 R s% �1 %

n1 + n% - %

%

1

� + �n1 n%

Caso Ca so II"B II"B ormalMuestras ormalMuestras independientes= Varian'as poblacionales desconocidas y di#erentes : s

% 1

�s %% ;


( X

1

- X % ) - t1-

* A %F v

R % X - X �m1 - m % �( X1 - X % ) + t1-* A %F v R % X - X 1

%

1

%

!ondeK %

� %1% % %% � � n + n � %� � 1 -% + = % % % % � %1 � � % % � � n� � n � � 1 �+ � % � n1 + 1 n% + 1

Es el &rad &radoo de libe libert rtad ad== u uee toma toma un $alo $alor r

num)rico redondeado entero. %

% X

1 - X %

=

s1

n1

%

+

s%

n%

7


/+ercicio

n &rupo de coneperimentalK *. 6. ., *.6 *. 5. 6., 5.7 5.6 +.5 *. +.5 rupo ControlK +.% +. +. %.* 6.5 +. *.6 %.+ *.% +. a; Comparar el peso de la &lándula suprarrenal entre el &rupo control y el e>perimental con un ni$el de con#ian'a del B.

departamento de control de calidad calidad de una empresa= se uiere E'em=lo .B En el departamento determinar si 0a 0abido un descenso si&ni#icati$o de la calidad de su producto entr entree las las prod producc uccion iones es de do doss sema semana nass cons consec ecut uti$a i$ass a con conse secu cuen enci ciaa de un incidente ocurrido durante el #in de semana. !eciden tomar una muestra de la producci"n de cada semana= si la calidad de cada artículo se mide en una u na escala de 1,,= obtienen los resultados si&uientesK emana 1K * 6 , , + 1 % 6 emana %K * 7 7 ,  7 + * Construye un inter$alo de con#ian'a para la di#erencia de medias al ni$el de 5B.Interpreta los resultados obtenidos.

Soluci+nB uponiendo normalidad las producciones de las dos semanas Cada semana son muestras independientes Varian'as poblacionales desconocidas : s 1% = s %% ; (0ora

C+mo sa;er si las ?arian)as son iuales o diferen%es e reali'a la prueba de 0omo&eneidad de $arian'as= ue consiste en lo si&uienteK

Formular las
% % B H , K s 1 = s %

Tip"tesis alterna

B H 1 K s 1

%

�s %%

Fi'ar ni?el de sinificancia * = ,=,5

Es%ad!s%ico de =rue;a

7


F

máx : s1% = s %% ; m >n : s1% = s%% ;

=

Semana .B

Calculo de la media 1,

� x

i

X 1 =

1=1

* + 6 + , + ... + 6

=

n

X 1 = 1=5,

1= 5, = 1=



Calculo de la $arian'a n

�: X % 1

% =

i

- X ;

%

i =1

n -1

( * - 1= 5,) =

%

(

+ 6 - 1= 5,

)

%

(

+ ... + 6 - 1= 5,

)

%

% 1% = =1+*

 -1

Semana ,B Calculo de la media 1,

� x

i

X % =

1=1

=

n

* + 7 + 7 + ... + * 

X % = =

= =

Calculo de la $arian'a n

�: X %

% % =

i

- X ;

%

i =1

n -1

( * - = ) =

%

(

+ 7 - = 

)

%

(

+ ... + * - = 

)

%

% %% = 17=*

 -1

Reem=la)ando en el es%ad!s%ico de =rue;a F c

=

s%% s1%

=

17=* =1+*

=

1= 51

Reiones cr!%icas

,


-@,-1@88 hAhona hAhonahona (ceptaci"n ec0a'o

?a 'ona de aceptaci"n para un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B está delimitada por ,=%,, y +=,= correspondientes a las probabilidades *A% y :1  *A%; respecti$amente. respecti$amente.

Decisi+n Como F c N 1=51 se ubica en la 'ona de aceptaci"n cuyo inter$alo es :,=%,,F +=; se acepta H , K s1%N s%% ?ue&o se concluye ue no 0ay di#erencias entre las $arian'as poblacionales= lo ue indica el cumplimiento del supuesto de 0omo&eneidad de $arian'as

En%onces En%onces el in%er?alo in%er?alo de confian)a confian)a =ara la diferencia diferencia de medias es el CASO IIAB

( X

1

)

- X % - t1-

*

A % Fv

R % X

1 - X%

(

)

�m1 - m % � X 1 - X % + t1-* A %Fv R % X

!i#e !i#ere renc ncia ia de media ediass mue muestra strale less Coe#iciente de con#ian'a rados de libertad

K X 1 - X % N 1=5, 8 = N 1=6% * N ,=,5 K 1 - * N ,=5 K v = n1 + n% - % N  L  8 % N 1+

t1-* A %Fn1 +n% -% = t ,=75F1+

N %=1+5

% X1 - X % =

% X

1 - X %

1 - X %

(  - 1) R =1+* + (  - 1) R17= * �1 + 1 +-%

�  �



 1=*65

eempla'ando en la #ormula del inter$alo se tieneK 1=6% 8 %=1+5R1=*65 �m1 - m % 1=6% L %=1+5R1=*65 ,@4.8 �m1 - m % 5@558

1


In%er In%er=r =re%a e%aci+ ci+nB nB ?a di#ere di#erenci nciaa promed promedio io de produc produccio ciones nes de artícu artículos los en las dos semanas se estima entre %=*1 a 5=55= con una con#ian'a con#ian'a del 5B. Esto si&ni#ica ue la producci"n promedio de artículos entre las dos semanas es i&ual.

E'ercicios Pro=ues%os E'ercicio .B n pro#esor de estadística reali'a un id)ntico cuestionario a dos &rupos de estudiantes de dos uni$ersidades di#erentes de la misma ciudad. En una muestra muestra aleatoria de  estudiantes estudiantes de la uni$ersidad uni$ersidad (= el promedio de notas #ue de 7.5 y des$iaci"n estándar de ,.+. En otra muestra aleatoria de  estudiantes de la uni$ersidad 3 la media de las notas #ue de 6.7 y des$iaci"n estándar de ,.6. Calcular los límites de con#ian'a del 5B para la di#erencia de medias de las notas entre las dos uni$ersidade uni$ersidades. s. e sabe ue la escala escala de cali#icaci"n cali#icaci"n es de , a 1,. E'ercicio ,B e uiere estimar la di#erencia de los promedios de los salarios entre la industria metalmecánica y la industria de los muebles en una ciudad. Para tal #in se toma una muestra aleatoria de %,, operarios en la primera industria la cual arro traídas aleatoriamente de distintos productores de semillas. ?os resultados del ensayo son los si&uientesK Variedad 1 %

n 1, 1,

X

s %

16,=+ 165=6

65=* 67=

Dis%ri;uci+n de la =ro=orc = ro=orci+n i+n mues%ral %

Probabilidad y Estadística Vamos a considerar ue tenemos una poblaci"n de modo ue en cada una de ellas estudiamos estudiamos una $.a. dicot"mica dicot"mica :3ernoulli :3ernoulli;; de parámetro parámetro respecti$o respecti$o p . !e la poblaci"n $amos $amos a e>traer una muestra muestra de tama/o n . Entonces= X =

n

x � =

i

� ) ( n= p )

i 1

y la proporci"n proporci"n de )>ito en en la muestra es p =

x n

?ue&o se cumpleK a; m p

; = p = /: p

b; s p% = ' : p ; =

p :1 - p; n

c; i el tama/o muestral n es &rande= el 2eorema Central del ?ímite nos ase&ura ueK , =

p - p p0

� " :,=1;

n

No%aB 9Error es%*ndar o Error %!=ico de la =ro=orci+n mues%ral:

s p

=

s p

=

% p = % p =

p0 n p0 � " -n

�

n �" - 1

 p0 n � p0 " -n

�

n �" - 1

p y  conocidos 2ama/o de poblaci"n :; demasiado &rande o in#inita. p y  conocidos 2ama/o de poblaci"n :; conocido o #inita. p y  desconocidos= entonces p �p y 0 �0 2ama/o de poblaci"n :; demasiado &rande o in#inita. p y  desconocidos= entonces p @ p y 0 @ 0 2ama/o de poblaci"n :; conocida o #inita.

*


In%er?alo de Confian)a =ara = ara una Pro=orci+n En este caso= interesa construir un inter$alo de con#ian'a para una proporci"n o un porcenta
-

:1

-*

A%

 R s p �p �p

+

: 1

-*

A%

Rs p

DondeB p =

x n

0 = 1 - p

compa/ía ía ue #abric #abricaa pastel pastelillo illo desea desea estim estimar ar la propor proporci" ci"nn de E'em=lo .B na compa/ consumidores ue pre#ieran su marca. ?os a&entes de la compa/ía obser$an a +5, compradores= del n4mero total obser$ado *,, compraron los pastelillos. Calcule un inter$alo de con#ian'a del 5B para la $enta de la proporci"n de compradores ue pre#ieren la marca de esta compa/ía. compa/ía.

Soluci+nB >K 4mero de consumidores ue pre#ieren los pastelillos. n N +5, tama/o tama/o de muestra &rande > N *,, son los ue pre#ieren los pastelillos en la muestra +

Probabilidad y Estadística x

*,,

= ,=67 Es la proporci"n puntual muestral ue pre#ieren los pastelillos n +5, 0 = 1 - p = 1 - ,= 67 = ,= ** Es la proporci"n puntual muestral de los ue no pre#ieren los

p =

=

pastelillos. Coe#iciente de con#ian'a 1 - * N ,=5 :1-* A % = : ,=75 N 1=6 s p =

 p0 n

=

,=67R,=** +5,

* N ,=,5

= ,=,%%

eempla'ando eempla'ando en el inter$alo de con#ian'a se tieneK  - :1 * A % R s p �p �p  + : 1 * A % R s p p -

-

,=67 8 1=6 R ,=,%% -@34 � p -@2.

p

,=67 L 1=6 R ,=,%%

In%er= In%er=re re%ac %aci+n i+nBB ?a prop propor orci ci"n "n de cons consum umid idor ores es ue ue pre# pre#ie iere renn la marc marcaa de la compa/ía por parte de los consumidores consumidores se estima entre ,=6* a ,=71= con una con#ian'a con#ian'a del 5B.

Tamao de mues%ra e puede determinar ue tan &rande debe ser el tama/o de la muestra= n= de manera ue si = se estima por p = el error de es%imaci+n no sea mayor ue un $alor dado e & En e#ectoK  

%

n=

:1-* A % R p0 e

%





:1%-* A % R p0 R " n= % :1-* A % R p0 + e % : " - 1;

 

2ama/ ama/oo de pobl poblac aci" i"nn :; :; dema demasi siad adoo &rande o in#inita. i p y  son desconocidas= se estima por p y 0 0allados a partir de una muestra piloto. En 4ltimos de los casos si no se tiene nin&una in#ormaci"n de p y  se asume el má>imo ries&o de p N ,=5 y  N ,=5. 2ama/o de poblaci"n :; conocida o #inita i p y  son desconocidas= se estima por p y 0 0allados a partir de una muestra piloto. En 4ltimos de los casos si no se tiene nin&una in#ormaci"n de p y  se asume el má>imo ries&o de p N ,=5 y  N ,=5.

E'ercicios Pro=ues%os

5


E'ercicio .B na compa/ía uiere conocer la proporci"n de consumidores ue aduieren su producto. Encar&a a una empresa un estudio de mercado para obtener un inter$alo de con#ian'a al B de su proporci"n de clientes a partir de una muestra de tama/o 1,,,. ?os resultados muestral es arroperimento para determinar la to>icidad de una sustancia se administra una dosis de esta a cada uno de *,, cone
Dis%ri;uci+n de la diferencia de =ro=orciones mues%rales Vamos a considerar ue tenemos dos poblaciones de modo ue en cada una de ellas estudiamos una $.a. $.a. dicot"mica :3ernoulli; de parámetros respecti$os p1 y p% . !e cada poblaci"n $amos $amos a e>traer muestras de tama/o n1 y n% . Entonces X 1 =

n1

�

x1i � ) ( n1 = p1 )

p1 =

i =1 n%

� =

X % =

x%i � ) ( n% = p % )

p % =

i 1

x1 n1

x% n%

?ue&o se cumpleK a; m p - p 1

%

1 - p % ; = p1 - p % = /: p

%

b; s p

 o1 - po %

1 - p % ; = =':p

p101 n1

+

p % 0% n%

c; i el tama/o muestral n es &rande= el 2eorema Central del ?ímite nos ase&ura ueK

6


: =

: p1 - p % ; - : p1 - p % ;

 :,=1;

s p1 - p %

@os obres < u?eres adultos radicados en una ciudad 'rande del norte diAieren en sus opiniones sobre la proul'acin de la pena de uerte para personas culpables de asesinato .e cree ue el 12 de los obres adultos est:n a Aavor de la pena de uerte, ientras ue slo 10 de las u?eres adultas lo est:n .i se pre'unta a dos uestras aleatorias de 100 obres < 100 u?eres su opinin sobre la proul'acin de la pena de uerte, deterine la probabilidad de ue el porcenta?e de obres a Aavor sea al enos 3 a
#na encuesta del Boston +olle'e const de 320 traba?adores de Mici'an ue Aueron despedidos entre 1979 < 1984, encontr ue 20 aban estado sin traba?o durante por lo enos dos aCos .upn'ase ue tuviera ue seleccionar otra otra uestr uestra a aleato aleatoria ria de 320 traba? traba?ado adores res de entre entre todos todos los eplea epleados dos desp desped edid idos os entr entre e 1979 1979 < 1984 1984 +u: +u:ll ser sera a la prob probab abil ilid idad ad de ue ue su porcenta?e uestral de traba?adores sin epleo durante por lo enos dos aCos, diAiera del porcenta?e obtenido en la encuesta de Boston +olle'e, en 5 o :s;

In%er?alo de Confian)a =ara la diferencia de dos =ro=orciones =ro=orciones i las muestras son su#icientemente &randes ocurre ue una apro>imaci"n para un inte inter$ r$al aloo de con# con#ia ian' n'aa al ni$e ni$ell 1 - * para para la di#ere di#erenci nciaa de propor proporcio ciones nes de dos dos poblaciones esK esK 1 - p  % ) �: 1 * A % R s p p p1 - p% �( p -

!"ndeK

s p - p 1 %

=

101 p n1

+

1-

%

 % 0% p n%

E'em=lo .B En un estudio sobre las relaciones prematrimoniales se encontr" en la 'ona ( ue= de %,, personas= 1%+ estaban a #a$or y en la 'ona 3= de %66 personas= 1** tambi)n lo estaban. Estimar la di#erencia de proporciones de ambas 'onas al ,B de con#ian'a comentando el resultado.

Soluci+nB ona A x1 B 4mero de personas personas ue están están a #a$or de las relaciones relaciones prematrimoniales prematrimoniales

7

Probabilidad y Estadística x1 N 1%+ n1 N %,, p1 =

x1 n1

=

1%+

p1 N ,=6%

%,,

01 = 1 - p1 N ,=*

ona " x% B 4mero de personas personas ue están están a #a$or de las relaciones prematrimoniales prematrimoniales x% N 1** n% N %66 p % =

x% n%

=

1**

0% = 1 - p % N ,=5,

p % N ,=5,

%66

1 - * N ,=,

* N ,=1,

:1-* A % = : ,=5 N 1=6+5

s p - p 1 %

=

101 p n1

+

 % 0% p n%

=

,= 6% 6% R ,= ,= * * %,,

+

,= 5, 5, R ,= ,= 5, 5, %66

s p1 - p % = ,=,+6

Reem=la)ando en la formula se %ieneB 1 - p  % ) �: 1 A % R s p p1 - p% �( p -*

1-

% p

:,=6% 8 ,=5,; 8 1=6+5 R ,=,+6 � p1 - p% :,=6% 8 ,=5,; L 1=6+5 R ,=,+6 -@-11 � p1 - p% [email protected]

In%er=re%aci+nB ?a di#erencia de proporciones de personas ue están a #a$or de las relacione relacioness prematrimoniale prematrimonialess en las dos 'onas se estima estima entre ,=,++ ,=,++ a ,=16= ,=16= con una con#ian'a del ,B. Esto si&ni#ica ue la proporci"n de personas de la 'ona ( son las ue están mayormente a #a$or de las relaciones prematrimoniales respecto a la 'ona 3.

E'ercicios Pro=ues%os E'ercicio .B e está considerando cambiar el procedimiento de manu#actura de partes. e toman muestras del procedimiento actual así como del nue$o para determinar si este 4ltimo resulta me



el campo y re&istra ue cantidad de semillas emer&ieron para cada $ariedad. ?os resultados son los si&uientesK Variedad Cul%i?adas Emerieron Valenciano alenci ano %*, 1%6 Perita *5 %* a;. a;. Xu Xuee mode modelo lo te"ri te"rico co de prob probabi abili lidad dad con consid sider eraa apro apropia piado do si la $ari $ariab able le aleatoria es Onumero de plantas ue emer&ieron de una $ariedad en el total ue se culti$o de la mismaOQ Cuales son los parámetros parámetros para cada una una de las $ariedadesQ b;. Estime para cada $ariable la proporci"n de emer&encia. emer&encia. c;. c;. Co Cons nstr truy uyaa un inte inter$ r$al aloo de con# con#ia ian' n'aa al 5 B para para la prob probab abil ilid idad ad de emer&encia de las plantas de cada $ariedad e interprete en t)rminos del problema d;. Xue supuesto #ue necesario para ue el inter$alo anterior sea $alidoQ e;. i comparamos ambas $ariedades con el tomate americano ue tiene una probabilidad de emer&encia de ,.65= .ue puede decir $iendo los inter$alos de con#ian'aQ #;. #;. i el prod produc ucto torr u uie iere re sabe saberr si el toma tomate te $ale $alenc ncia iano no tien tienee la mism mismaa probabilidad de emer&encia ue el tomate americano. Cual es el procedimiento a se&uirQ E>plíuelo y concluya con el mismo.

Inferencia ;asada en =rue;as de
a#irmaci"n ue está establecida y ue se espera sea rec0a'ada despu)s de aplicar una =rue;a es%ad!s%ica y se representa por Ho.

es la a#irmaci"n ue se espera sea aceptada despu)s de aplicar una =rue;a es%ad!s%ica y se representa por H 1 .

+ipótesis alterna,

Ni?el de sinificaci+n@ representada por * = es la probabilidad de cometer error tipo I = y por lo &eneral se asume ue tiene tiene un $alor de ,=,5 " ,=,1. Prue;a es%ad!s%ica o Es%ad!s%ico de =rue;a@ es una #"rmula= basada en la distribuci"n del estimador puntual del parámetro ue aparece en la 0ip"tesis y ue $a a permitir tomar una decisi"n acerca de aceptar o rec0a'ar una 0ip"tesis nula.




-ontraste de +ipótesis para la media µ/ 0ormas de d e contraste cont raste de d e las

!epende del planteamiento de la 0ip"tesis alterna

Prue;a ;ila%eral H , K m = m ,

Prue;a unila%eral su=erior H , K m = m ,

H 1 K m ) m ,

H 1 K m �m ,

0ijar ni"el de sinificancia:

*

Prue;a unila%eral inferior H , K m = m ,

H 1 K m ) m ,

N ,=,5F ,=,1 etc.

1eleccionar el estad2stico de prue$a: prue$a:

conocidaa Caso IB \j  := k;= k conocid El estadístico de prueba esK :

=

X - m

� " :,=1;

s X

Prueba h ormal estándar para una muestra. sualmente la $arian'a es desconocida desconocida

Caso IIB \j  := k;= k desconocida El estadístico de prueba esK B

=

X - m � t n s X

1

-

Prueba 2 2 tudent para una muestra con n  1 &rados de libertad :&l.; Re iones -r2ticas: Reiones -r2ticas:

!epende de las #ormas de contraste de las 0ip"tesis.

Contraste 3ilateral

Contraste unilateral superior Contraste unilateral in#erior

,


 h Ah(Ah

h(A h h( Ah

hAh( hAh( 

Decisión:

9orma 2abular i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de (ceptaci"n :h(; se acepta la Tip"tesis nula H , . i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de ec0a'o :h; se rec0a'a la Tip"tesis nula H , . 9orma M)todo GGpH pH i el $alor num)rico num)rico de GpH es superior superior ue el ni$el de si&ni#ica si&ni#icancia ncia #i
se se

E'em=lo .& n #abricante de lámparas el)ctricas está ensayando un nue$o m)todo de producci"n ue se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este m)todo dan lu&ar a una poblaci"n normal de duraci"n media %+,, 0oras= con una des$iaci"n típica i&ual a *,,. e toma una muestra de 1,, lámparas producidas por este m)todo y esta muestra tiene una duraci"n media de %*%, 0oras. e puede aceptar la 0ip"tesis de $alide' del nue$o proceso de #abricaci"n con un ries&o i&ual o menor al 5BQ

Soluci+nB Formulaci+n de Hi=+%esis H o K m = = %+,, H 1 K m � �%+,,

Ni?el de sinificancia * = = ,=,5

Es%ad!s%ico de Prue;a Caso IB \ j  := k;= k N *,, conocida

: =

X - m s X

=

X - m s

n

1

Probabilidad y Estadística ?a poblaci"n  de la producci"n de lámparas es desconocida= así ue puede ser ue sea demasiado &rande. : =

X - m

=

s

%*%, - %+,, *,, 1,,

n : = -%=67

Reiones cr!%icas

 h Ah(A h Ah(A h : ,=75

: ,=75

-

1=6

1=6

Decisi+n En $ista ue el $alor del estadístico de prueba :h N %=67; es in#erior ue el $alor tabular : : t N 1=6; ubicándose en la 'ona de rec0a'o= entonces se rec0a'a la 0ip"tesis nula H , . Esto si&ni#ica ue el nue$o proceso de #abricaci"n no es aceptable. E'em=lo ,& n #abricante de aparatos de 2V a#irma ue se necesita a lo sumo %5, microamperes de corriente para alcan'ar cierto &rado de brillante' con un tipo de tele$isor en particular. na muestra de %, aparatos de 2V produce un promedio muestral de corriente de %57=* microemperes. !enotemos por m el $erdadero promedio de corriente necesaria para alcan'ar la brillante' deseada con aparatos de este tipo= y supon&amos ue m es la media de una poblaci"n con s N 15. Pruebe al ni$el de si&ni#icaci"n del %=5B la 0ip"tesis nula de ue m es a lo sumo %5, microamperes.

Soluci+nB Formulaci+n de Hi=+%esis H , K m �%5, H 1 K m ) ) %5,

Ni?el de sinificancia * = = ,=,%5

Es%ad!s%ico de Prue;a Caso IIB \ j  := k;= B

=

X

-

s X

m

=

s

s

N 15 desconocida

X - m s n

%


B =

%57= * - %5, 15 %,

B = %=176

Reiones cr!%icas

h(Ah h(Ah t ,=75F1

%=,*

Decisi+n !ado ue el $alor del estadístico de prueba : B = %=176 : es superior ue el $alor tabular :t N %=,*; = entonces se ubica en la 'ona de rec0a'o= rec0a'ando la 0ip"tesis nula H , . Esto demuestra ue no se necesita a lo sumo %5, micro amperes= en #orma si&ni#icati$a.

E'ercicios Pro=ues%os E'ercicio .B ?a ?a tasa actual para producir #usibles de 5 amp en eary Electric Co. Es

%5, por 0ora. e compr" e instal" una máuina nue$a ue= se&4n el pro$eedor= aumentará la tasa de producci"n. na muestra de %, 0oras seleccionadas al a'ar el mes pasado indica ue la producci"n media por 0ora en la nue$a máuina es %56= con des$ia des$iaci" ci"nn están estándar dar de 6 por 0ora. 0ora. Con * = ,=,5 de ni$el de si&ni#icancia= Puede eary Electric concluir concluir ue la nue$a máuina máuina es más más rápidaQ E'ercicio ,B n #abricante de lámparas el)ctricas sostiene ue la duraci"n media de las mismas :0oras; es en promedio superior a 1*,, 0. e toma una muestra de 17 lámparas siendo el resultado de la inspecci"n el si&uienteK , 1 *5, 1 ,%, 1 1+, 1 5%, 1 *, 1 %,5 1 1, 7, 1 +%, 1 5, 1 *,, 1 *,5 1 ,+, 1 ,5, 1 5%, 1 *%, Veri#icar el To del #abricante con un coe#iciente de ries&o del 5B :suponiendo la distribuci"n normal;. E'ercicio 4B na empresa desea concursar para &anar un contrato con el &obierno como pro$eedor de concretoF uno de los reuisitos es la resistencia a la compresi"n del concreto a los % días de 0aberse preparado la me'cla. ?a empresa &anadora dice ue mantiene e>celentes controles de calidad en su concreto y como tal 0ay una $arian'a % muy ba
cm +

*

Probabilidad y Estadística a; 0ay e$idencia estadística su#iciente para considerar ue el pro$eedor está mintiendo % y en realidad la des$iaci"n estándar es !I9EE2E a 16 g f A cm+ Q b; edacci"n de la prueba de 0ip"tesis= indicando si debe ser prueba de una o dos colas para responder responder la pre&unta. E'ercicio 1B n $endedor de neumáticos dice ue la $ida media de sus neumáticos es de %,,, -m. (dmitiendo (dmitiendo para la des$iaci"n típica el $alor 1*+ -m. dise/ar un test de 0ip"tesis al B de con#ian'a= basado en muestras de +, elementos ue permita contrastar la 0ip"tesis nula de ser  N %,,,-m usando como 0ip"tesis alternati$a  Z %,,,-m E'ercicio 5B e pretende dise/ar una prueba de 0ip"tesis con una muestra de 7+ autom"$iles para comprobar su capacidad capacidad de #renado. Para ello se medirá en todos ellos la distancia de #renado si el autom"$il parte de una $elocidad inicial de 1,, -mA0. e uiere saber si= tras un #rena'o brusco= la distancia media recorrida antes de pararse es de 11, metros. e supone ue la distancia de #renado si&ue una distribuci"n normal con des$ des$ia iacci"n i"n típi típicca conoc nocida ida k N * m. up upon&am n&amos os a0ora 0ora ue 0emos mos rea reali' li'ado ado e#ecti$amente la prueba a los 7+ autom"$iles y 0emos obtenido las si&uientes distancias de #renado.  1,% 1,5 11* 11* 1%* 1%6 !istancias 4otal 56 15 1, 1%  16 1* 4otal um. de autos e acepta la 0ip"tesis de ue la distancia media de #renado es de 11, m= con un ni$el de si&ni#icaci"n q N ,.,5Q E'ercicio 3B n #abricante ase&ura ue sus #usibles= con una sobrecar&a del %,B= se #undirán por promedio al cabo de 1%.+, min. na muestra de %, #usibles se sobrecar&a un %,B= obteni)ndose una media de 1,.6* y una cuasi des$iaci"n de %.+ min. Con#irma la muestra la a#irmaci"n del #abricante para el promedioQ

Prue;a de


Prue;a ;ila%eral %

H , K s =

% s ,

H 1 K s % �s ,%

Prue;a unila%eral derec
0ijar ni"el de sinificancia:

*

Prue;a unila%eral inferior % % H , K s = s ,

H 1 K s %  s ,%

N ,=,5F ,=,1 etc. +


#stad2stico de prue$a: prue$a:

i \ j  := k;= k conocida El estadístico de prueba esK

%

%

=

: n - 1; s s

%

%

Prueba C0i cuadrado : % % ; para una muestra con n1 &rados de libertad :&l.; Reiones Reiones cr!%icas !epende de las #ormas de contraste de las 0ip"tesis. Contraste 3ilateral

Contraste unilateral in#erior Contraste unilateral superior

hAh(Ah hAh( h(Ah

Decisión:

9orma 2abular i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de (ceptaci"n :h(; se acepta la Tip"tesis nula H , . i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de ec0a'o :h; se rec0a'a la Tip"tesis nula H , . /+emplo

na #irma a&roindustrial desea incorporar un nue$o mecanismo en las máuinas en#ardadoras ue #abrica. El in&eniero a car&o del proyecto sospec0a ue esta inno$aci"n puede producir un aumento de la $arian'a del peso de los #ardos. ?a des$iaci"n estándar ue se obtiene con la mauinaria sin modi#icar es de 1.5 &. Para e$aluar el nue$o mecanismo= se reali'" un ensayo tomando 1, #ardos al a'ar de un lote de al#al#a. ?os pesos de dic0os #ardos #ueronK %.*F %7.F %.*F *,.1F *%.5F %7.%F %5.*F *%.%F **.6F *,.7= con $arian'a muestral N 6.7.

5


neoci cio o debe debe paa paarr 8ora 8orass e#tra #tra dad dada la dema demand nda a E'em=lo 17 Un neo

incierta de su producto, por lo cual en promedio se paan 9% 8oras e#tra a la semana2 el erente de recursos 8umanos considera +ue siem siemp pre se 8a teni tenid do una una "aria arian na a de .9 en las las 8oras ras e#tra #trass demandadas& Si se toma una muestra de :; semanas se obtiene una "ariana muestral de .<,:& =etermine con ala > %,:% si la "ariana pobl poblac acio iona nall de las las 8ora 8orass e#tra #trass dema demand ndad adas as a la seman semana a pued puede e considerarse iual a .9&

Solución: Formulación Formulación de hipótesis % H , K s = %5

H 1 K s % �%5

Nivel de significancia * = = ,=1,

Estadístico de prueba % :n - 1; s :16 - 1; R %=1 % % ,

=

s

%

=

%5

% ,%   .3@63

Reiones cr!%icas

hAh(Ah % % ,=,5F15

% % ,=5F15

2@,3.

,1@883

Decisi+n Como ue el $alor del estadístico de prueba se ubica entre los $alores tabulares :7=%61 N 16=6 %+=6;= es decir dentro de la 'ona de aceptaci"n= entonces se acepta la % ,% N 0ip"tesis nula H , . E#ecti$amente se puede concluir con una con#ian'a del ,B ue la "ariana poblacional de las 8oras e#tras demandadas a la semana es iual a .9&

6


E'ercicios =ro=ues%os E'erc E'ercici icioo 1K n super$isor de control de calidad en una enlatadora sabe ue la

cantidad e>acta en cada lata $aría= pues 0ay ciertos #actores imposibles de controlar ue a#ec a#ecta tann a la cant cantid idad ad de llen llenad ado. o. El llen llenad adoo medi medioo por por lata lata es impo import rtan ante te== pero pero % % i&ualmente importante es la $ariaci"n s de la cantidad de llenado. i s es &rande= al&unas latas contendrán muy poco= y otras= demasiado. ( #in de estimar la $ariaci"n del llenado en la enlatadora= el super$isor esco&e al a'ar 1, latas y pesa el contenido de cada una= obteniendo el si&uiente pesa
E'erc E'e rcici icioo ,B e su supo pone ne u uee lo loss di diám ámet etro ross de ci cier erta ta ma marc rcaa de $á $ál$ l$ul ulas as es está tánn distribuidos normalmente con una $arian'a poblacional de ,=% pu l& adas % = pero se cree ue 4ltimamente 0a aumentado. e toma una muestra aleatoria de $ál$ulas a las ue se les mide su diámetro= obteni)ndose obteni)ndose los si&uientes resultados resultados en pul&adasK pul&adasK 5=5 5=+ 5=+ 5=6 5= 5=+ 5=5 5=+ 5=6 5=7 Con )sta in#ormaci"n pruebe si lo ue se cree es cierto.

Prue;a de Hi=+%esis =ara la diferencia de medias 9 m1 - m % : upon& upon&amo amoss ue se tiene tiene dos pob poblac lacion iones es distrib distribuid uidas as normal normalmen mente te con medias medias desconocidas m 1 y m % = respecti$amente. e puede aplicar una prueba ) o % de tudent para comparar las medias de dic0as poblaciones basándonos en dos muestras independientes independientes tomadas de ellas. ?a primera muestra es de tama/o n1 = con media X 1 y la se&u se&und ndaa mue muestra stra es de tam tama/o n% = tiene media X % . !o !ond ndee las las $ari $arian an'a 'ass poblacionales pueden pueden ser conocidas conocidas : s 1% y s %% ; o desconocidas desconocidas : s1% y s%% ;. 0ormulac 0orm ulación ión de d e las


Prue;a ;ila%eral

Prue;a unila%eral su=erior

Prue;a unila%eral inferior

m %

H , K m1 =

m %

H , K m1

H 1 K m1 �m %

H 1 K m1 )

m %

H 1 K m1

H , K m1 =

Fi'ar el ni?el de sinificanciaB

*

= 

m % m %

N ,=,5F ,=,1 etc.

Es%ad!s%ico de =rue;a

7


Caso IB Mues%ras inde=endien%es@ Varian)as =o;lacionales conocidas 9

% 1

s



% %

s

:

El estadístico de prueba esK : X 1 - X % ; - : m1 - m % ;

: =

s X

" :,=1;

1 - X %

%

!ondeK

s X

s1

=

1 - X %

n1

%

s %

+

n%

Caso Ca so IIAB IIAB NormalMues%ras inde=endien%es@ Varian)as =o;lacionales iuales 9 s 1% = s %% : 

desconocidas desconocidas

El estadístico de prueba esK B =

: X 1 - X % ; - : m1 - m % ;

% X

t n1

1 - X %

+

n% - %

v = n1 + n% - % es el &rado de libertad.

!ondeK

% X1 - X % =

(n

1

)

(

)

- 1 R s1 + n% - 1 R s% �1 %

n1 + n% - %

%

� + �n1

1

n%

Caso II"B NormalMues%ras Normal Mues%ras inde=endien%es@ Varian)as =o;lacionales diferen%es 9 s 1% �s %% : 

desconocidas desconocidas

El estadístico de prueba esK B =

: X 1 - X % ; - : m1 - m % ;

% X

t v

1 - X %

!ondeK % X1

-

X %

=

s1% n1

+

s%% n% %

� %1% % %% � � n + n � 1 %� -% + = � % % % % Es el &rado de libertad= ue toma un $alor num)rico � %1 � � % % � � n � � n � � 1 �+ � % � n1 + 1

n% + 1

redondeado entero. 


sualmente las $arian'as son desconocidas

Reiones cr!%icas Contraste 3ilateral

 h Ah(Ah


h(A h h( Ah

hAh( hAh( 

Decisión:

9orma 2abular i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de (ceptaci"n :h(; se acepta la Tip"tesis nula H , . i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de ec0a'o :h; se rec0a'a la Tip"tesis nula H , . 9orma M)todo GGpH pH i el $alor num)rico num)rico de GpH es superior superior ue el ni$el de si&ni#ica si&ni#icancia ncia #i
E'em=l E'em=loo .B Para comparar el contenido promedio de aceites de las semillas de dos $ariedades de maní= se plantean las 0ip"tesis T ,K m1N m% $s. T1K m1 , m% e dise/a un ensayo en el ue para cada $ariedad se obtienen los contenidos de aceite de 1, bolsas de 1 & de semillas semillas de maní= e>traídas aleatoriamente de distintos productores productores de semillas. sar * N ,=,5. ?os resultados del ensayo son los si&uientesK

Variedad 1 %

n 1, 1,

X

s %

16,=+ 165=6

65=* 67=

Soluci+nB e&4n e&4n los datos datos corre correspo sponde ndenn al C(U C(U IIK Muestr Muestras as indep independ endien ientes tes== $aria $arian'a n'ass % % poblacionales desconocida desconocidass : s 1 = s % ;. (0ora el problema esF diferen%es C+mo sa;er si las ?arian)as son iuales o diferen%es uponiendo normalidad para las obser$aciones de las muestras= se reali'a la prueba de 0omo&eneidad 0omo&eneidad de $arian'as= ue consiste en lo si&uienteK




Formulaci+n de
H 1 K s 1% �s %%

?s&

Ni?el de sinificancia * N ,=,5. Es%ad!s%ico de =rue;a F =

F =

s1% s%%

=

65=* 67=

65=* 67=

=

,=6

Reiones cr!%icas Distribución F de Snedecor

00 0.248

15

4.03

30

45

60

hAh( hAh( Ah Ah 

Decisi+nB ?a re&i"n de aceptaci"n para un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B está delimitada por ,=%+ y +=,*= correspondientes a las probabilidades *A% y :1  *A%; respecti$amente. respecti$amente. Como 9 N ,=6 está está en el inter$alo :,=%+F +=,*;= es decir decir en la 'ona de aceptaci"n= aceptaci"n= se acepta H , K s1%N s%% = lo cual si&ni#ica el cumplimiento del supuesto de 0omo&eneidad de $arian'as.

En%onces a=licaremos CASO IIAB Prue;a T =ara la diferencia de medias con ?arian)as =o;lacionales 9 s 1% = s %% ;  desconocidas 9ormulaci"n de 0ip"tesis T,K m1N m%

$s.

T1K m1 , m%

i$el de si&ni#icancia si&ni#icancia * N ,=,5.

1,,

Probabilidad y Estadística Estadístico de prueba B =

( X

1

)

- X % - (

m1

- m % ) % p =

�1 1 � % � + � n1 n% � �

%

% p

s p% =

B =

( 1, -1) R 65= * + ( 1, -1) R 67=  1, + 1, - %

( 16,= + - 165= 6) - ( ,) �1

1 � 66=6 � + � 1, 1, � �

:n1

-

%

1; %1

+

:n%

n1 + n%

-

-

%

1;% %

%

= 66=6

= -1= +%

e&iones críticas Distribución T de Student

-40

- 27

-2.101

- 13

00

13

27

40

2.101

hAh(Ah

Decisi+n ?a re&i"n de aceptaci"n para un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B está delimitada por %=1,1 y %=1,1= %=1,1= correspon correspondient dientes es a los probabilidade probabilidadess *A% y :1  *A%; respecti$amente y 1 &rados de libertad Como 2 N 1=+% está en el inter$alo :%=1,1F %=1,1;= es decir en la 'ona de aceptaci"n= se acepta T ,K m1N m% Entonces se concluye ue no 0ay di#erencias entre el contenido promedio de aceites de las semillas de dos $ariedades de maní.

E'em=lo ,& n constructor está considerando dos lu&ares alternati$os para construir un centro comercial. Como los in&resos de los 0o&ares de la comunidad son una consideraci"n importante en )sta selecci"n= desea probar ue el in&reso promedio de la primera comunidad e>cede al promedio de la se&unda comunidad en cuando menos 1=5 diarios. Con la in#ormaci"n de un censo reali'ado el a/o anterior sabe ue la des$iaci"n estándar del in&reso diario de la primera comunidad es de 1= y la de la se&unda es de %=+

1,1

Probabilidad y Estadística Para una muestra aleatoria de *, 0o&ares de la primera comunidad= encuentra ue el in&reso diario promedio es de *5=5 y con una muestra de +, 0o&ares de la se&unda comunidad el in&reso promedio diario es de *+=6. Pruebe la 0ip"tesis con un ni$el de con#ian'a del 5 por ciento.

Soluci+nB Da%os Primera comunidad s 1 N  1= n1 N *, X 1 N  *5=5

Seunda comunidad s % N  %=+ n% N +, X % N  *+=6

Formulaci+n de
Ni?el de sinificancia * N ,=,5 Es%ad!s%ico de =rue;a e&4n e&4n los datos datos corres correspon ponden den al C(U C(U IK Muestr Muestras as indepe independi ndient entes es con $arian $arian'a 'ass poblacionales conocidas. conocidas. EntoncesK EntoncesK : =

: X 1 - X % ; - : m1 - m % ;

s X

=

: X 1 - X % ; - : m1 - m % ;

s 1%

1 - X %

n1 : =

n%

:*5= 5 - *+= 6; 6; -1= 5 %

1= 

*,

:

+

s %%

+

%= +

%

+,

  [email protected]

Reiones cr!%icas

hAh( hAh(  , 1-* .@315

Decisi+n ?a re&i"n de aceptaci"n para un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B está delimitada por 1=6+5 y L = corre correspo spondi ndien entes tes a la probab probabili ilida dadd :1  *;. 1,%


Como Como h N 1=1 1=155 está está en en el inter inter$al $aloo : F1=6+ F1=6+5;= 5;= es es decir decir en en la 'ona 'ona de ec0a ec0a'o= 'o= se rec0a'a T , Entonces Entonces se concluye concluye ue el in&reso promedio de la primera comunidad no e>cede al promedio de la se&unda comunidad en cuando menos 1=5 diarios= con un ni$el de con#ian'a del 5B. 5B .

E'ercicios =ro=ues%os E'ercicios 1. n in$esti&ador desea a$eri&uar si una industria está contaminando el a&ua de un arroyo al cual e$acua sus e#luentes. ( tal #in toma muestras de a&ua en dos sitiosK 1; a&uas arriba del establecimiento y %; a&uas aba
 6  

11,, + 7 6

6 5 1% 1%

  5 

+  6 5

7 11  1%

5  7 

1% 6 1, 7

 1% 6 7

7   1,

  6 6

7 1, + 

1% 6 5

5  

6 + 

 7 11

 1, 1, 11

15 1, 1% 

1% 1*  7

1, 1% 1% 1%

7 1% 7 1,

1% 15 1* 1+

1, 11 15 7

1+  1, 1*

1%   15

1* 1% 1+ 1,

1,  1,

1% 15 1,

 1% 1*

1% 1, 1%

'uas aba?o aba?o

  1% 1%

1% 1+ 1* 15

Cree d. ue e>isten di#erencias en la concentraci"n de este metal pesado entre uno y otro sitioQ E$al4e su respuesta para un q N ,=,% E'ercicio ,& n #abricante ue usa dos líneas de producci"n 1 y % 0i'o un li&ero a
1,*

Probabilidad y Estadística obreros cuyo promedio de anti&Jedad es de .* a/os con des$iaci"n estándar de 1.7 a/os. Comprobar la 0ip"tesis con un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B.

Caso IIIB Normal Mues%ras de=endien%es ?os datos se obtienen de muestras ue están relacionadas= es decir= los resultados del primer &rupo no son son independientes independientes de los del se&undo. se&undo. Por eperimenta e>perimentall antes antes y despu)s despu)s de la administrac administraci"n i"n de una dro&a. El ob
E'em=lo (2E =6 7=1* 7=7 7=* 7=5 7=6 =,6 =5

!EPE 7=%+ 7=1, 7=, 7=5 7=5, 7=7 =,, =+

!I9 1=+5 ,=,* ,=,1 ,=,% ,=, ,=,7 ,=,6 ,=11

Formulaci+n de Hi=+%esis Prue;a ;ila%eral

Prue;a unila%eral inferior

Prue;a unila%eral su=erior

H , K m d N ,

H , K m d N ,

H , K m d N ,

H 1 K m d �,

H 1 K m d  ,

H 1 K m d ) ,

Fi'ar ni?el de sinificancia * N ,=,5F ,=,1 etc. Es%ad!s%ico de =rue;a B

=

( D

-

m d

)

� % d � � � �n � %

g t n

1

-

1,+


B

=

( D

-

m d

)

� % � � � �n �

=

% d

,= %% - , ,=5,

=

1.%6



Reiones cr!%icas

 h Ah(Ah t 1-* A %  t * A % %=*65 %=*65

9iiste di#erencias obser$adas entre los ni$eles de metabolitos por uno u otro indi$iduo en #orma si&ni#icati$a.

Prue Prue;a ;a de traer una muestra de tama/o n . Entonces= X =

n

x � =

i

� ) ( n= p )

i 1

En este caso= interesa contrastar 0ip"tesis para una proporci"n o un porcenta
p � " �pF

1,5


U bienK , =

p - p  p0

� " :,=1;

n

!ondeK p es la proporci"n o el porcenta
Prueba unilateral superior

Prueba unilateral in#erior

H , K p = p,

H , K p = p,

H , K p = p,

H1 K p �p,

H1 K p ) p,

H1 K p  p,

Fi'ar ni?el de sinificancia * N ,=,5F ,=,1 etc. Es%ad!s%ica de =rue;a h =

p E p,

� " ormal : , = 1;

p,, n

!ondeK 0, = 1 - p,

p K Proporci"n muestral de )>itos


 h Ah(Ah


h(A h h( Ah

hAh( hAh( 

Decisi+n 9orma 2abular

1,6

Probabilidad y Estadística i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de (ceptaci"n :h(; se acepta la Tip"tesis nula H , . i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de ec0a'o :h; se rec0a'a la Tip"tesis nula H , . 9orma M)todo GGpH pH i el $alor num)rico num)rico de GpH es superior superior ue el ni$el de si&ni#ica si&ni#icancia ncia #i
E'em=lo .& En una &ran compa/ía= el 1B o más de los traba
Soluci+nB Formulaci+n de
Ni?el de sinificancia *  .Y Es%ad!s%ico de =rue;a h

=

  p, p

=

,=*,- ,=1

p  , ,

,=1R,=%

n

1%,

: N *=+*

Reiones cr!%icas

h(Ah h(Ah

, 1-*

,@44

Decisi+n 9i
F , 1-* N %=**;

1,7

Probabilidad y Estadística Como el estadístico de prueba h N *=+* es mayor ue , 1-* N %=**= es decir se ubica en la 'ona de rec0a'o= se rec0a'a T , El &erente concluye ue e#ecti$amente el 1B o más de los traba
E'ercicios =ro=ues%os E'ercicio .& e conoce por e>periencia ue el 1+B de la producci"n de cierto artículo resulta de#ectuosa. e introducen al&unos correcti$os en el proceso y lue&o mediante una muestra de *6, artículos esco&idos aleatoriamente= se encuentra ue el 1*.**B resultan de#ectuosos. Comprobar si los cambios me
E'er E'erci cici cioo 1& e uiere uiere comprar comprar una mauina mauina troue trouelad ladora ora y se adui aduirirá rirá si la proporci"n de pie'as de#ectuosas producidas por la máuina es 1,B o menos. e e>amin e>aminaa una muestr muestraa aleato aleatoria ria de +, pie'as pie'as y se encuen encuentra tra ue 7.5B result resultaro aronn de#ectuosas. Con un ni$el de si&ni#icaci"n del 5B= puede concluirse ue la máuina satis#ace los reuerimientosQ

Prue;a de traer muestras de tama/o n1 y n% . Entonces X 1 =

n1

�x

1i

� ) ( n1 = p1 )

i =1

X % =

n%

x � =

%i

� ) ( n% = p % )

i 1

1,


i las muestras son su#icientemente &randes ocurre ue una apro>imaci"n para la prueba de 0ip"tesis al ni$el de si&ni#icancia G * H para para la di#e di#ere renc ncia ia de proporciones de dos poblaciones esK

Formulaci+n de Hi=+%esis Prueba bilateral

Prueba unilateral in#erior

H , K p1 = p %

H , K p1 = p%

H1 K p1 �p %

H1 K p1  p%

Prueba unilateral superior H , K p1 = p% H1 K p1 ) p%

Fi'ar ni?el de sinificaci+n * N ,=,5F ,=,1 etc. Es%ad!s%ica de =rue;a h

=

:p :p 1 E p % ;E:p1 Ep% ; �1 p �

� �n1

p

=

+

1 �

� " ormal : , = 1;

� � n% �

 1 + n %p % n1 p n1 + n %


 h Ah(Ah


h(A h h( Ah

hAh( hAh( 

Decisi+n 9orma 2abular i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de (ceptaci"n :h(; se acepta la Tip"tesis nula H , . i el $alor num)rico del estadístico de prueba se ubica en la hona de ec0a'o :h; se rec0a'a la Tip"tesis nula H , . 9orma M)todo GGpH pH i el $alor num)rico num)rico de GpH es superior superior ue el ni$el de si&ni#ica si&ni#icancia ncia #i
1,

Probabilidad y Estadística i el $alor num)rico num)rico de GpH es in#erior in#erior ue el ni$el ni$el de si&ni#icancia si&ni#icancia #i
E'em E'em=l =loo 1. na #irma distri distribuy buyee dos $arieda $ariedades des de maí'. maí'. En una encuest encuestaa se encuentra ue 56 de %,, a&ricultores pre#ieren la $ariedad ( y ue % de 15, a&ricultores pre#ieren la $ariedad 3. e puede concluir al ni$el de si&ni#icaci"n del 5B ue la $ariedad ( tiene mayor pre#erencia ue la $ariedad $ariedad 3Q

Soluci+nB Marca A X 1 K 4mero de a&ricultores ue pre#ieren la $ariedad $ariedad ( X 1 N 56 n1 N %,, p1 =

X 1 n1

=

56

p % =

%,, %,,

01 N ,=7%

p1 N ,=%

Marca " X % K 4mero de a&ricultores ue pre#ieren la $ariedad $ariedad 3 X % N % n% N 15, X % n%

=

% 15,

p % N ,=1

0 % N

,=1

Formulaci+n de
Ni?el de sinificancia *  5Y Es%ad!s%ico de =rue;a 1  p  % ;:p1p % ; :p

h =

�1 p �

� �n1

: 

+

=

1 �1 + ,=%+R,=76� %,, 15, �

1 �

n

%

:,=% -,=1; -,

� � �

.@83

Calculando p

=

p N ,=%+

 1 + n %p % n1 p n1 + n % 0 N

=

%,, R ,= % % + 15, R ,=1 %,, + 15,

,=76

Reiones cr!%icas

11,


h(Ah h(Ah

, 1-* .@315

Decisi+n 9i
E'ercicios =ro=ues%os E'ercicio .& !os máuinas ( y 3= producen un mismo artículo. ?a máuina ( produce como t)rmino medio una proporci"n de 1+B de artículos de#ectuosos= mientras ue la máuina 3= produce en t)rmino medio una proporci"n de %,B de artículos de#ectuosos. i se obtiene una muestra aleatoria de %,, unidades del artículo ue pro$en&an de la máuina ( y una muestra aleatoria de 1,, unidades pro$enientes de la máuina 3. !emostrar ue la máuina 3 ten&a una proporci"n de de#ectuosos B o más ue (. e supone ue la poblaci"n es in#inita. E'ercicio ,& e seleccion" una muestra aleatoria de 1,, 0ombres y 1,, mu
Prue;a de

PRUE"A ZI CUADRADO DE PEARSON

no de los usos usos más #recue #recuentes ntes de la distribuc distribuci"n i"n
1 U11 U%1

Criterio 1 % ... U1% ... U%% ...

c U1c U%c

n1. n%.

r n. <

Ur1 n.1

Ur% n. %

Urc n.c

nr. n

... ...

ni.

El procedimiento de la prueba es el si&uienteK

Formulaci+n de
  :Ui+  E i+ ; % %

%

E i+

=

E i+

=

n i . x n . + n

Ui
, % %a; = % :,r -1;:c -1; [ .L*

Decisi+n 9orma 2abular ec0a'ar

To si

% %

)

% % ta.

11%

Probabilidad y Estadística %

%

o rec0a'ar To si

-

%

% ta.

9orma M)todo GGpH pH ec0a'ar To si

:p Z ,.,5 " p Z ,.,1;

o rec0a'ar To si :p [ ,.,5; Esto esK i p Z ,.,5 ,.,5==

E>is E>iste te rela relaci ci"n "n esta estadí díst stic icam amen ente te si&n si&ni# i#ic icat ati$ i$aa entr entree en estudio.

las las $aria $ariabl bles es

i p Z ,.,1= ,.,1=

E>iste E>iste relac relaci"n i"n altam altament entee estudio.

i p [ ,.,5=

o e>iste relaci"n estadísticamente si&ni#icati$a entre las $ariables en estudio.

si&ni# si&ni#ica icati$ ti$aa entre entre las $aria $ariable bless en

E'em=lo .B e 0i'o en Per4 un estudio 0acia #ines del a/o %,1, con una muestra in#o in#orm rman ante tess diri& diri&en ente tess soci social ales es== 17 0omb 0ombre ress y 15 muo Percepci"n de la situaci"n econ"mica 2otal 3uena (ceptable !e#iciente Tombre  :=,*; 6 :5=*1; * :%=66; 17 Mu
Formulaci+n de o del encuestado H 1 K ?a percepci"n de la situaci"n econ"mica es dependiente del se>o del encuestado Ni?el de sinificancia * N 1,B Es%ad!s%ico de =rue;a

  :Ui+  E i+ ; % %

%

=

E i+

Tallando la #recuencia esperada E11 =

n1. x n .1 n

=

17R17 *%

= = ,*

11*


/ 1% =

n1. R n.%

=

n

17R1, *%

= 5=*1

   / %* =

n%. R n.*

=

n

17R5 *%

= %=66

eempla'ando %

% =

: - = ,*; %

+

= ,*

:6 - 5= *1; % 5= *1

+ ... +

:% - %= *+; % %= *+

% % = ,=5*5

Valor %a;ular % a;ular %1%-* F: F -1;:& -1; = % ,%=,F:1;: %; = % ,%=,F%  1@3-5

Reiones cr!%icas

h(A h (Ah h h(A  h(Ah h

+=6,5

Decisi+n % 9i
"i;lioraf!a 11+


1. T(E T(E2 2 MPT` MPT`.. Introd Introduc ucci" ci"nn al (ná (nális lisis is Estadí Estadísti stico. co. (dd (ddiso ison. n. esley esley== Iberoamericana= Iberoamericana= 16. %. TUE?= TUE?= P(? P(? 3. Estadísti Estadística ca Elementa Elemental.l. CEC(= CEC(= 16 16.. *.

-EE!`= WUT. EVI??E (! (!(M. Estadística para Ciencias e In& In&eniería. Tarla= M)>ico 1%. +. MEÈ MEÈ  ? P. Prob Probab abil ilid idad ad y (p (pli lica caci cion ones es Esta Estadí díst stic icas as.. 9ond 9ondoo Educ Educat ati$ i$oo Interamericano 16. 5. MI??E MI??E II= II= 9E!= 9E!= WTU WTU E. Probabilida Probabilidadd y Estadística Estadística para el In&enie In&eniero. ro. Prentice Tall. Inc. M)>ico= 16. 6. 2EVE 2EVEU U== I??I(M I??I(M.. Estadíst Estadística ica para para (dmin (dminist istrac raci"n i"n y Economí Economía. a. Ta Tarla rla.. M)>ico= 16. 7. U(CU2 U(CU2 2TUM(. 2TUM(. Introdu Introducci" cci"nn a la Estadís Estadística. tica. ?imusa ?imusa .(. .(. 11. 11. . TIE TIE  . MU2 MU2U UME ME ` !. Prob Probab abil ilid idad ad y Esta Estadí díst stic icaa para para In&e In&eni nier ería ía y (dministraci"n= Compa/ía Editorial Continental. .(. de C.V. C.V. . (?PU (?PU?E ?E . MÈ MÈ  . Prob Probab abil ilid idad ad y Esta Estadí díst stic ica. a. Edit Edit.. Mc. Mc. ra ra Till Till Interamericana de M)>ico de C.V.1%. 1,. CTE(99E CTE(99E Mc. Cla$e. Cla$e. Probabilid Probabilidad ad y Estadísti Estadística ca para In&enieros= In&enieros= Edit. rupo Editorial Iberoamericana= 1*. 11. illiam Menden0allA 2erry incic0. Probabilidad y Estadística para In&eniería y Ciencias. Editorial Prentice Tall= 17. Cuarta Edici"n. 1%. Murray . pie&el. pie&el. Estadística. Estadística. Editorial McraTill. McraTill. 15. 1*. ebster= ebster= (llen. Estadística (plicada. Editorial McraTill. %,,1.

115

estadistica y probabilidades

Recommend Documents