UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR FACULTAD DE INFORMÁTICA Y CIENCIAS APLICADAS APLICADAS ESCUELA DE CIENCIAS CIENCIAS APLICADAS APLICADAS “ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMÁ M ATEMÁTICA TICA
GUÍAS DE TRABAJO ESTADÍSTICA SAN SALVADOR, ENERO DE 2009.
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” APLICADAS” ING. JULIO JULIO CESAR ORANTES” ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS CIENCIAS Y MATEMÁTICA MATEMÁTICA ESTADÍSTICA GUÍA No 1 UNIDAD No: 1 TEMA: Conceptos básicos. OBJETIVO : Reconocer la importancia de aplicar acertadamente los conceptos básicos de la Estadística INDICACIONES : Resuelva los siguientes problemas, usando los conceptos básicos de Estadística. 1) De las siguientes afirmaciones ¿cuàl se asemeja mas a los conceptos: un parámetro, un dato, una inferencia a partir de datos, un estadìgrafo? a) Segùn estudios, se producen màs accidentes en el centro de Santiago, a 35 km/h que a 65 km/h. b) En una muestra de 250 empleados, se obtuvo un sueldo promedio de $ 150.000 c) La tasa de nacimiento en el paìs aumentò en 5% con relaciòn al mes precedente. d) Las edades son 85, 36, 57, 24 e) Se sabe que el 52% de las personas en El Salvador son mujeres. f) Segùn datos de años anteriores se estima que la temperatura màxima de este año aumentarà en un 5%. 2) Clasificar las siguientes variables en: continua, discretal: a) nº de alumnos por carrera b) comuna en que viven los alumnos a lumnos del curso de estadìstica c) color de ojos de un grupo de niños d) monto de pagos por concepto de aranceles en la universidad e) sumas posibles de los nùmeros obtenidos al lanzar dos dados f) clasificaciòn de los pernos en un local segùn sus diámetros g) monto de la venta de un u n artìculo en $ h) valor de venta de las acciones a cciones i) nº de acciones vendidas j) nivel de atención atención en el Banco k) nivel de educacional l) AFP a que pertenece un individuo ll) edad m) clasificación de la edad en: niño, joven, adulto y adulto mayor 3) A continuación se presenta el siguiente evento: se aplica un examen de admisión a un grupo de 80 personas. p ersonas. Primera situación: se da como tiempo máximo para resolver el examen 60 minutos. Los resultados se presentan así: Los que terminaron el examen en el tiempo establecido y los que no lo terminaron en ese tiempo. Segunda situación: Se clasifica a las personas jerarquizándolas de acuerdo a quien terminó primero, quién el segundo y sucesivamente otros. Tercera situación: Después de calificar el examen, las personas se clasificaron por los puntajes obtenidos, por ejemplo uno de ellos obtuvo 100 puntos, otros 80 puntos, etc. Cuarta Cuarta situación: situación: Se clasifica clasifica a las personas personas de acuerdo al tiempo que tardan en resolver resolver el examen; por ejemplo los que tardaron l5 minutos, los que tardaron 30 minutos, otros que lo hicieron en 45 minutos; es decir los primeros emplearon un cuarto del tiempo establecido (60 entre 15= 4); los segundos el doble del tiempo que los primeros (30 entre l5=2), etc. Determinar las escalas de medidas usadas en las cuatro situaciones.
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4) Los números pueden ser usados, al menos, en cuatro maneras distintas, a saber: a) Como rótulos, identificaciones o etiquetas. b) Como signos para indicar la posición de un grado dentro de una serie. c) Como signos para indicar las diferencias entre dos o más instancias en una escala. d) Como signos para indicar proporciones entre dos o más instancias en una escala. Escriba el nombre de las escalas de medida, correspondientes a cada una de las proporciones: a, b, c, y d. 5) Si clasificamos las variables: nivel de ingresos, nivel de estudios, participación política, actuación de un cantante: a) De acuerdo a que puedan ordenarse unos con otros, sin detallar la magnitud de las diferencias entre sus elementos; ¿Qué tipo de escala de medida, se estaría manejando? b) Clasificar el nivel de ingresos, de acuerdo a las distancias que existen entre los valores que puedan tomar el ingreso. En este caso, ¿Qué tipo de escala de medida se estaría utilizando? c) Escriba numéricamente un ejemplo de acuerdo al tipo de escala contestado en el literal a).
TEMA: Variables, clasificación y tipos. Escalas de medida OBJETIVO : Distinguir los diferentes tipos de variables y escalas de medición con las que trabaja la Estadística. INDICACIONES : En la segunda columna de la tabla siguiente, se presentan ejemplos de variables; haga lo siguiente: a) En la tercera columna, determine, en cada caso si se trata de variables cualitativas o cuantitativas. b) En la cuarta columna, en caso de ser cuantitativa, diga si es discreta o continua. c) En la última columna, para todas las variables, determine la escala de medición que se utiliza para medirlas. d) En caso de que no aplica, indique con n/a. e) No debe dejar espacios en blanco Nº
Variable
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Municipio de residencia Costo del galón de gasolina Universidades de El Salvador Cantidad de asignaturas inscritas por estudiante Clero católico Estructura jerárquica dentro de una empresa ¿Posee teléfono fijo en su vivienda? Puntaje obtenido en el examen de Matemática ¿Qué religión profesa? Forma de pago al comprar en el supermercado
Tipo de variable
Discreta o continua
Escala de medida
TEMA: Aplicaciones de los conceptos de Estadística OBJETIVO : Aplicar los conceptos vistos en la unidad I a situaciones reales INDICACIONES : Utilice los conceptos vistas en la unidad para resolver las siguientes situaciones: 1) Suponga que usted quiere ser accionista de una fábrica de camisas para hombres adultos, cuyo mercado sea el área centroamericana. La fábrica está en proceso de montarse, y se están haciendo los estudios de factibilidad; está el determinar las cantidades adecuadas de producción de camisas para hombres adultos de acuerdo con las diversas medidas. Determinar: a) ¿Cuál es la variable importante a estudiar? 3
b) ¿Cuál sería su población? c) ¿Para bajar los costos de esta investigación que decisión tomaría? d) ¿Será la variable a estudiar continua o discreta? e) ¿En qué casos estaría manejando parámetros? f) ¿En qué casos estaría manejando estadísticos? 2) De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál se asemeja a los conceptos: un parámetro, un dato, una inferencia a partir de datos, un estadígrafo (estadístico) a) Según estudios, se producen más accidentes en el centro de San Salvador, a 25 km/h que a 65 Km/h. b) En una muestra de 250 empleados, se obtuvo un sueldo promedio de $165,00 por mes. c) La tasa de nacimiento en el país aumentó en 5% con relación al mes precedente. d) Las edades son: 85, 36, 57, 24 e) Según datos de años anteriores, se estima que la temperatura máxima de este año aumentará en un 5% f) Se sabe que el 52% de las personas en el país son mujeres 3) a) b) c) d) e) f) g)
En qué escala de medidas están basadas las respuestas al siguiente cuestionario: ¿Cuál es su nombre? ¿Cuál es la estatura? ¿Cuál es su estado civil? ¿Cuál es su peso? ¿Cuál es su ocupación? ¿Cuál es su CUM (rendimiento promedio)? ¿Cómo compara su rendimiento académico con aspecto al de sus compañeros?
4) A continuación encontrará dos situaciones diferentes. Para cada una, responda las preguntas que se plantean: Primera situación: Un fabricante de medicamentos desea conocer la cantidad de personas diabéticas que puede ser controlada con un nuevo producto fabricado por su compañía. En un estudio a un grupo de 15,000 individuos diabéticos, se encontró que el 80% de ellos controló la enfermedad con el nuevo medicamento. Segunda situación: Según una encuesta realizada a 500 adultos mayores de la ciudad de San Salvador, reveló que en promedio realizan 6 visitas anuales a la clínica. En vista de los resultados, el Ministerio de Salud, deberá incrementar el presupuesto del próximo año en un 10% a) ¿Cuál es la población? b) ¿Cuál es la muestra? c) Identifique el parámetro de interés d) Identifique el estadígrafo y su valor e) ¿Se conoce el valor del parámetro? 5) ¿Qué tipo de escala de medición sería apropiada para medir? a) Aprobación o reprobación en un examen. b) Clasificación de los maestros con respeto a su aptitud profesional. c) ¿Puntajes obtenidos por un grupo de niños, en una prueba de matemáticas, con rango de 0 a 10? Observación: Al contestar el literal c) tome en cuenta que un puntaje de cero no implica ausencia absoluta de habilidad matemática
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA ESTADÍSTICA GUIA No 2 UNIDAD No: 2 TEMA: Elaboración de tablas completas de distribución de frecuencias y su interpretación OBJETIVO : Transformar series simples en distribuciones de clases e interpretar la información contenida en ellas.
INDICACIONES : Calcular el número de datos, el rango, el número de clases usando la fórmula de Sturges, transformar series simples en distribuciones completas de distribución de frecuencias; con el cuadro elaborado proceder a contestar las preguntas dentro del mismo. 1. Las edades de 50 bailarinas que fueron: 21 19 19 20 21 19 20 20 18 21 a) b) c) d) e) f) g)
se presentaron a un concurso de selección para una comedia musical 22 21 21 19 19
19 22 21 21 18
18 21 19 21 22
20 20 19 22 21
23 22 20 19 24
19 20 19 19 20
19 21 19 21 24
20 20 19 19 17
Clasifique los datos en una distribución de frecuencias. Calcule todas las marcas de clase Determine el rango y los límites reales Determine el ancho de clase. Obtenga las frecuencias relativas Obtenga las frecuencias acumuladas Interprete una fila completa
2) La siguiente masa de datos corresponde a la estatura en metros de un grupo de Estadística: 1.72
1.82
1.79
1.54
1.70
1.50
1.62
1.69
1.61
1.51
1.66
1.63
1.80
1.77
1.78
1.60
1.60
1.64
1.76
1.75
1.65
1.67
1.57
1.54
1.57
1.58
1.74
1.66
1.76
1.76
1.60
1.79
1.63
1.77
1.64
1.65
1.77
1.73
1.69
1.75
1.74
1.68
1.76
1.69
1.81
1.71
1.53
1.56
1.52
1.67
a) Elabore completamente el cuadro de distribución de frecuencias, comience con el dato menor, b) Determine los límites reales c) Conteste con bolígrafo lo que a continuación se le pregunta. Las respuestas deberá colocarlas en el cuadro de distribución de frecuencias elaborado; encerrando en un círculo y colocando la respectiva letra, tal como hicimos en clase. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes midieron en promedio 1.77 metros? 5
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes midieron como máximo 1.69 metros? c) ¿Qué porcentaje de estudiantes midieron como mínimo 1.55 metros? d) ¿Cuántos estudiantes midieron 1.64 metros o menos? e) ¿Cuántos estudiantes midieron en promedio 1.67 metros? f) ¿Cuántos estudiantes midieron 1.70 metros o más? 3) Una cadena de tiendas de deportes para esquiadores principiantes, con sede en Aspen Colorado, planea realizar un estudio para ver cuanto gasta un esquiador principiante en su compra inicial de equipo y accesorios. Basándose en estos números quiere explorar la posibilidad de ofrecer combinaciones como por ejemplo, un pa r de botas y un par de esquíes, para inducir a los clientes a comprar mas. Una muestras de notas de su caja de cobro reveló estas compras iniciales. 140 125 132 220 121
82 235 105 229 118
265 212 162 127 172
168 171 126 87 126
90 149 216 128 130
114 156 195 126 220
172 162 127 175 95
230 118 161 127 126
142 139 135 149 203
86 149 172 126 100
a) Clasifique los datos en una distribución de frecuencias. b) Calcule todas las marcas de clase c) Determine el rango y los límites reales d) Determine el ancho de clase. e) Obtenga las frecuencias relativas f) Obtenga las frecuencias acumuladas g) Interprete una fila completa
TEMA: Elaboración de gráficos para variables continuas, cálculo de estadísticos de posición e interpretación de resultados
OBJETIVO : Elaborar gráficos para variables continuas, determinar estadísticos de posición e interpretar resultados
INDICACIONES : Utilizando papel milimetrado, construir los diferentes gráficos de las distribuciones de frecuencia resultantes en el tema anterior 1) Graficar el histograma, determinar la Moda por el método gráfico e interpretar el resultado. 2) Graficar el polígono de frecuencias, determinar la Moda por el método gráfico e interpretar el resultado. 3) Graficar la ojiva menor que, determinar la Mediana e interpretar el resultado. 4) Graficar la ojiva mayor que, determinar la Mediana e interpretar el resultado. 5) ¿Es simétrica la distribución?, ¿Por qué? 6) ¿Cómo es la tendencia de los datos?, explique 4) Una compañía independiente de investigación realizó un estudio entre diversas residencias pertenecientes a inquilinos de 55 años ò más. La siguiente distribución de frecuencias, muestra como contestaron los encuestados a la pregunta “¿A cuantos minutos de recorrido en auto considera usted que debe estar el hospital mas cercano a su casa cuando se jubile?”
6
Minutos en auto
Frecuencia
5 minutos o menos
47
De 6 a 10 minutos
150
De 11 a 15 minutos
128
De 16 a 20 minutos
67
21 minutos o más
94
Total
486
a) Construya un histograma b) Construya un polígono de frecuencias c) Construya una ojiva 5) La siguiente tabla presenta la distribución de frecuencias del número de kilómetros recorridos hasta que se produjo la primera falla grave de motor en cierto modelo de vehículo. Distancia recorrida Frecuencia (en miles de kms.) 0-20 8 20-40 13 40-60 18 60-80 27 80-100 36 100-120 48 120-140 35 140-160 18 160-180 4 180-200 4 a) Representar mediante un histograma la distribución de frecuencia. b) Señalar en el histograma la región correspondiente a vehículos que no han sufrido averías serias en los 100.000 kilómetros. ¿Qué proporción representa? c) Hallar aproximadamente el valor del kilometraje para el que han fallado la mitad de los vehículos. d) ¿Qué forma tiene la distribución?
TEMA: Gráficos para variables cualitativas OBJETIVO : Elaborar gráficos para variables cualitativas e interpretar resultados INDICACIONES : Construir gráficos para variables cualitativas, utilizando la creatividad e instrumentos de dibujo adecuados. 1) En una empresa se ha llevado a cabo un estudio sobre sueldos que se resumen en la siguiente tabla. sueldos Hombres Mujeres
25-50 202 99
50-75 231 202
75-100 687 246
100-125 833 121
125-150 375 96
150-175 192 35
175-200 101 21
200-225 38 8
225-250 21 4
Construir los gráficos a) De barras dobles: vertical (usando f i) y horizontal (usando %). b) Del sector circular 2) Los niveles de escolaridad alcanzados por los diversos sectores de la población adulta urbana durante 1987 se presentan en la siguiente tabla: 7
Nivel de escolaridad
Marginales
Obreros
Medios
Ni
%
Analfabeto
33.9
14.5
6.0
174
16.3
Primaria
47.4
48.0
25.4
401
37.7
Plan básico
10.3
15.3
14.4
143
13.4
Bachillerato
7.4
17.8
35.4
242
22.7
Superior
1.0
4.4
18.8
105
9.9
Construir los gráficos: a) De barras múltiple, horizontal y vertical b) Del sector circular 3) La tabla siguiente presenta una muestra de 2000 estudiantes de extracción urbano, sub-urbana o rural:
EXTRACCIÓN DEL ESTUDIANTE
f i
%
Urbana
240
12
Suburbana
1400
70
Rural
360
18
Total
2000
100
Construir los gráficos a) De barras: vertical (usando f i) y horizontal (usando %). b) Del sector circular 4) En una industria el informe de contabilidad muestra que la producción fue de $62.600.000 y los gastos asì: de administración $11.160.000, de materiales y energèticos $15.650.000, salarios y prestaciones $18.780.000. Elabore con los datos un diagrama circular.
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA ESTADÍSTICA GUIA No 3 UNIDAD No: 3 TEMA: Medidas de tendencia central y de posición para series simples OBJETIVO : Calcular e interpretar medidas de tendencia central, de posición y dispersión para series simples INDICACIONES : Deje evidencia de los cálculos realizados. A continuación encontrará 5 series, determine para cada una, si aplica lo que se le pide. 1) En una cierta ciudad se ha tomado una muestra representativa del total de familias que en ella viven y se ha anotado el nùmero de hijos de cada una. Los valores de estas variables son las siguientes: 0 1 0 4 2 2 1 2 3 2 3 2 1 3 4 2 2 3 2 1 2) Para la siguiente información: Xi
1
2
5
10
25
100
F
1,000
900
800
1,500
400
50
3) Número del calzado de personas adultas: 35, 42, 37, 38, 37, 37, 36, 37, 37, 39, 40, 37 y 36 4) Se visitaron 25 empresas citrìcolas de una cierta zona y en cada una se anotò la cantidad de plantas atacadas por un cierto hongo, de lo cuàl resultaron los siguientes datos: 15 20 25 15 18 16 17 18 15 18 20 18 18 18 19 16 19 17 19 16 17 17 17 19 18 5) Color de automóviles: rojo = 65; verde = 35; gris = 43; b lanco = 48; otros colores = 9.
Para las series anteriores; determine, si aplica, lo que se pide: a) Calcule e interprete: La media aritmética, La Moda y La Mediana. b) ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central representa mejor a la serie? Justifique c) ¿Es simétrica la distribución? Justifique d) El cuartil uno, dos y tres e) El decil 3 y 7 f) El percentil 37, 56 y 89
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TEMA: Medidas de tendencia central y de posición para series de clases (agrupadas) OBJETIVO : Calcular e interpretar medidas de tendencia central, de posición y dispersión para series de clases INDICACIONES : A continuación, encontrará 5 distribuciones de frecuencias. Para cada una de ellas, determinará lo que le pide. Deje constancia escrita del desarrollo. 1) La siguiente tabla presenta la distribución de frecuencias del nùmero de kilómetros recorridos hasta que se produjo la primera falla grave de motor en cierto modelo de vehículo.
Distancia recorrida (en miles de kms.)
Frecuencia
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200
8 13 18 27 36 48 35 18 4 4
2) Se tiene interés en determinar el rendimiento de un cierto tipo de automóvil que consume gasolina, y se obtiene los siguientes datos para 80 pruebas:
Km por galón
fr
35 – 39
10
40 – 44
27.5
45 – 49
40
50 – 54
20
55 – 59
2.5
3) A continuación se presenta la distribución de la vida útil , en horas de 1430 tubos de televisión de cierta compañía:
X
fi
800 – 1039
25
1040 – 1279
325
1280 – 1519
750
1520 – 1759
310
1760 – 1999
20
4) La siguiente distribución corresponde al coeficiente de inteligencia de un grupo de estudiantes:
Clases
fi
90 – 94
75
95 – 99
225 10
100 – 104
528
105 – 109
625
110 – 114
432
115 – 119
315
120 – 124
25
Total 5) Calcule la media aritmética, la mediana y la moda en la siguiente distribución de resistencia de cierto producto eléctrico. Determine el tipo de simetría de la distribución.
Resistencia en Ohmios (X)
fi
5.1 - 5.3
2
4.8 – 5.0
18
4.5 – 4.7
48
4.2 – 4.4
97
3.9 – 4.1
138
3.6 – 3.8
104
3.3 – 3.5
69
3.0 – 3.2
20
2.7 – 2.9
4
Para las series anteriores; determine, si aplica, lo que se pide: a) Calcule e interprete: La media aritmética, La Moda y La Mediana. (Use los diferentes métodos) b) ¿Cuál de las tres medidas de tendencia central representa mejor a la serie? Justifique c) ¿Es simétrica la distribución? Justifique d) El cuartil uno, dos y tres e) El decil 3 y 7 f) El percentil 37, 56 y 89
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA ESTADÍSTICA GUIA No 4 UNIDAD No: 4 TEMA: Medidas de dispersión para series simples OBJETIVO : Calcular e interpretar medidas de tendencia central y posición para series simples INDICACIONES : A continuación encontrará 5 series, determine para cada una, si aplica, lo que se le pide. Deje evidencia de los cálculos realizados. 1) En una cierta ciudad se ha tomado una muestra representativa del total de familias que en ella viven y se ha anotado el nùmero de hijos de cada una. Los valores de estas variables son las siguientes: 0 1 0 4 2 2 1 2 3 2 3 2 1 3 4 2 2 3 2 1 2) Para la siguiente información: Xi
1
2
5
10
25
100
F
1,000
900
800
1,500
400
50
3) Número del calzado de personas adultas: 35, 42, 37, 38, 37, 37, 36, 37, 37, 39, 40, 37 y 36 4) Se visitaron 25 empresas citrìcolas de una cierta zona y en cada una se anotò la cantidad de plantas atacadas por un cierto hongo, de lo cuàl resultaron los siguientes datos: 15 20 25 15 18 16 17 18 15 18 20 18 18 18 19 16 19 17 19 16 17 17 17 19 18 5) Color de automóviles: rojo = 65; verde = 35; gris = 43; b lanco = 48; otros colores = 9.
Para las series anteriores; determine, si aplica, lo que se pide: a) Calcule e interprete: El rango, los rangos modificados, la desviación media absoluta, la desviación semi intercuartílica, la varianza, la desviación típica, el coeficiente de variabilidad. b) ¿Qué tan representativa es la media aritmética? Justifique c) ¿Qué comportamiento tiene cada una? Justifique d) ¿Qué conclusiones puede obtener, a partir de los resultados obtenidos?
TEMA: Medidas de dispersión para series de clases (agrupadas) 12
OBJETIVO : Calcular e interpretar medidas de tendencia central y posición para series de clases INDICACIONES : A continuación, encontrará 5 distribuciones de frecuencias. Para cada una de ellas, determinará lo que le pide. Deje constancia escrita del desarrollo. 1) La siguiente tabla presenta la distribución de frecuencias del nùmero de kilómetros recorridos hasta que se produjo la primera falla grave de motor en cierto modelo de vehículo.
Distancia recorrida (en miles de kms.)
Frecuencia
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180 180-200
8 13 18 27 36 48 35 18 4 4
2) Se tiene interés en determinar el rendimiento de un cierto tipo de automóvil que consume gasolina, y se obtiene los siguientes datos para 80 pruebas:
Km por galón
fr
35 – 39
10
40 – 44
27.5
45 – 49
40
50 – 54
20
55 – 59
2.5
3) A continuación se presenta la distribución de la vida útil , en horas de 1430 tubos de televisión de cierta compañía:
X
fi
800 – 1039
25
1040 – 1279
325
1280 – 1519
750
1520 – 1759
310
1760 – 1999
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4) La siguiente distribución corresponde al coeficiente de inteligencia de un grupo de estudiantes:
Clases
fi
90 – 94
75
95 – 99
225
100 – 104
528
105 – 109
625 13
110 – 114
432
115 – 119
315
120 – 124
25
Total 5) Calcule la media aritmética, la mediana y la moda en la siguiente distribución de resistencia de cierto producto eléctrico. Determine el tipo de simetría de la distribución.
Resistencia en Ohmios (X)
fi
5.1 - 5.3
2
4.8 – 5.0
18
4.5 – 4.7
48
4.2 – 4.4
97
3.9 – 4.1
138
3.6 – 3.8
104
3.3 – 3.5
69
3.0 – 3.2
20
2.7 – 2.9
4
TEMA: Aplicaciones: OBJETIVO : Tomar decisiones a partir de los resultados obtenidos en diferentes problemas modelos INDICACIONES : En base a la teoría estudiada, analice y saque las conclusiones atinentes. 1) La empresa A tiene 80 empleados, con un sueldo promedio de $520 mensuales. La empresa B tiene 100 empleados con un sueldo promedio de $600 mensuales. Determine el sueldo promedio de las dos empresas en conjunto. 2) En una empresa, donde trabajan 400 empleados, la suma de los salarios en planilla asciende a $248,000. Qué sucede con este promedio, si: a)¿Se aumentan todos los salarios en $80? b) ¿Se aumentan todos los salarios en un 25%? c) Se aumentan todos los salarios en 15% más una bonificación de $ 62? 3) Un carpintero fabrica tres estilos diferentes de sillas: A, B y C; los costos de fabricación son de $70.00 para el estilo A; $90.00 para es estilo B y $100.00 para el estilo C. El 30 por ciento de su producción total es de sillas del estilo A; el 50 por ciento de B y el 20 por ciento de C. a) ¿Cuál es el costo promedio de sillas? b) ¿Es necesario conocer el volumen de producción para calcular dicho promedio? Justifique 4) Una muestra de los salarios netos de 20 obreros en $: 265, 300, 240, 240, 265, 240, 280, 340, 330, 290, 280, 305, 255, 240, 325, 240, 255, 240, 240, 240. a) Calcule X , Me y Mo. 14
b) Usted como gerente responsable de las negociaciones contractuales colectivas de la empresa. ¿qué medida de pago neto promedio reportaría como representativa de la totalidad de obreros de la compañía en general c) Usted es el responsable de negociar ante la gerencia. ¿Qué medida promedio reportaría como representativa de los trabajadores en general? 5) Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar las botellas de perfume de 3 onzas. Para probar la precisión del volumen depositado en cada botella, hizo una corrida de prueba con 18 recipientes. Los volúmenes resultantes (en onzas) de la prueba fueron los siguientes: 3.02, 2.89, 2.92, 2.84, 2.90, 2.97, 2.95, 2.94, 3.01, 2.97, 2.95, 2.90, 2.94, 2.96, 2.99, 2.99, 2.93, 2.97. La compañía no suele recalibrar la máquina para este perfume si el volumen de llenado de las 3 onzas difiere en 0.04 ó menos. ¿Debería recalibrarla?
Para las series anteriores; determine, si aplica, lo que se pide: a) Calcule e interprete: El rango, los rangos modificados, la desviación media absoluta, la desviación semi intercuartílica, la varianza, la desviación típica, el coeficiente de variabilidad.b) ¿Qué tan representativa es la media aritmética? Justifique c) ¿Qué comportamiento tiene cada una? Justifique d) ¿Qué conclusiones puede obtener, a partir de los resultados obtenidos?
TEMA: Aplicaciones: OBJETIVO : Tomar decisiones a partir de los resultados obtenidos en diferentes problemas modelos INDICACIONES : Analice las siguientes situaciones, respondiendo de acuerdo, a los conceptos y aplicacione vistas en clases. 1) En una empresa la distribución de salarios mensuales tiene una media de $900 y una desviación típica de $125. Como solución a un conflicto laboral se proponen dos alternativas: (A) un aumento general del 40% de los salarios; (B) un aumento del 25% de los salarios y una bonificación adicional de $45 cada obrero. ¿Cuál de las alternativas propuestas le conviene aceptar al sindicato? 2) Suponga que el gerente de operaciones de un servicio de paquetería desea adquirir una nueva flotilla de vehículos. Cuando los paquetes se guardan con eficiencia en el interior de los vehículos –durante la preparación de las entregas-, se deben considerar dos restricciones principales: el peso (en libras) y e l volumen (en pies cúbicos) de cada paquete. Ahora suponga que en una muestra de 200 paquetes, el peso promedio es de 26.0 libras con desviación estándar de 3.9 libras. Además, suponga que el volumen promedio de cada paquete es de 8.8 pies cúbicos con una desviación estándar de 2.2 pies cúbicos. ¿Cómo se puede comparar la variación del peso y el volumen? 3) La duración media de 200 baterías es de 3 años con una desviación típica de 6 meses. a) ¿Cuántas baterías tendrán una duración de entre 30 y 42 meses, si la distribución sigue tendencia normal? b) ¿Cuántas baterías tendrán una duración entre 24 y 48 meses? 4) La media y la varianza del coeficiente de inteligencia de un grupo de 400 estudiantes universitarios son 104 y 25 respectivamente. Sabiendo que dicho coeficiente tiene tendencia normal, determine: a) El mínimo y máximo coeficiente de ese grupo b) ¿Entre qué coeficientes está el 95% central de la distribución de coeficientes? c) ¿Cuántos estudiantes aproximadamente, tienen coeficientes de 114 ó más? 5) La duración promedio de los anuncios por televisión en el canal 12 es de 40 segundos, con desviación estándar de 5 segundos. Asumiendo que los tiempos de d uración tienen una tendencia normal: a) ¿Qué porcentaje aproximado de los comerciales durará menos de 30 segundos? b) ¿Qué porcentaje aproximado de los comerciales durará más de 35 segundos?
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA ESTADÍSTICA GUIA No 5 UNIDAD No: 5 TEMA: Métodos de conteo I OBJETIVO : Utilizar diferentes técnicas para contar, como fase previa al cálculo de probabilidades INDICACIONES : Utilice, los conceptos de la teoría de conjuntos para resolver los siguientes problemas. Deje evidencia de los cálculos realizados. 1) El Departamento de Publicidad del “Palacio de Bronce“ efectúa una encuesta a un grupo seleccionado de 1,000 clientes, entre todos los que abrieron su cuenta de crédito en el pasado mes de diciembre. Se les pregunta si su crédito fue utilizado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes. Los resultados de la encuesta se han tabulado así : Mercancía Núm. de personas Artículos para el hogar 275 Artículos de vestir 400 Juguetes 550 Artículos para el hogar y de vestir 150 Artículos para el hogar y juguetes 110 Artículos de vestir y juguetes 250 Artículos de vestir, del hogar y juguetes 100 Se pregunta: a) ¿Cuántas personas no usaron su crédito en ninguna de esas 3 mercancías? b) ¿Cuántas personas utilizaron su crédito sólo para comprar artículos de vestir? c) ¿Sólo para artículos del hogar?
d) ¿Sólo para juguetes? 2) El Departamento de Personal de “Pegamentos Eskimol “, S,A., clasifica a sus empleados según el sexo, escolaridad, el departamento en que trabaja y la edad. Una vez tabulados los datos, se obtuvo la siguiente información: 20 personas son hombres, bachilleres, efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 32 personas son hombres, bachilleres y efectúan trabajos administrativos; 30 personas son hombres, bachilleres y tienen menos de 40 años; 35 personas son hombres, efectúan administrativos y tienen menos de 40 años; 45 personas son bachilleres, efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 59 personas son hombres, bachilleres; 65 personas son hombres con menos de 40 años; 67 personas son bachilleres que efectúan trabajos administración; 96 personas efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 39 personas son hombres y efectúan trabajos administrativos; 144 son bachilleres y tienen menos de 40 años; 40 personas son bachilleres; 134 son hombres; 153 efectúan trabajos administrativos; 153 tienen menos de 40 años; 30 personas no reúnen ninguno de los cuatro atributos señalados. Se pregunta: a)¿Cuántos empleados hay en la empresa?; b) ¿Cuántas personas son bachilleres hombres?; c) ¿Cuántas personas tienen menos de 40 años?; d) ¿ Cuántas efectúan trabajos administrativos
3) Un grupo de 700 estudiantes de provincia visitan la ciudad de México y se encuentra que 379 de ellos visitaron el parque de diversiones Reyno Aventura, 419 el Museo Nacional de Antropología, 260 el Palacio de Bellas Artes, 102 fueron a Bellas Artes y no estuvieron en el museo de Antropología ni en Reyno Aventura, 92 fueron al museo de Antropología y no
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estuvieron ni en Reyno Aventura ni en Bellas Artes, 110 estuvieron en Reyno Aventura y no estuvieron en Bellas Artes ni en l museo de Antropología. 80 estuvieron en Reyno Aventura y Bellas Artes y 60 estuvieron en los tres lugares mencionados. ¿Cuántas de estas personas asistieron: a) exactamente a uno de estos lugares; exactamente a dos lugares; c) al menos a un lugar; d) cuando mucho a dos lugares; e) a lo más a uno de los lugares.
4) La Compañía ALUM, fabricante de aluminio en lingotes, que tiene su oficina matriz en Bruselas y varias sucursales en Europa, piensa iniciar su plan de expansión estableciendo sucursales en varios países latinoamericanos, de los cuales México será el primero. Con este objeto necesita seleccionar entre sus empleados actuales un grupo de 20 técnicos, cuya misión será (durante los próximos dos años) la de asesorar la construcción de la planta y ponerla en operación. Una vez que la fábrica trabaje normalmente y con personal mexicano, el equipo de técnicos se dirigirá a otro país y repetirá el mismo proceso. Cualquier candidato será elegible si reúne los siguientes requisitos: a) Hablar correctamente español; b) Ser soltero c) Estar en posibilidad de proporcionar a la casa matriz otro técnico que pueda reemplazarlo en su puesto actual (durante los próximos dos años), mientras él esté en México. Durante la semana pasada se entrevistaron los posibles candidatos con los resultados siguientes: Total de personas entrevistadas 40; Personas que hablan español, 25; Personas solteras, 24; Personas que pueden reemplazarse, 25; Personas solteras que hablan español, 17; Personas solteras que pueden reemplazarse, 20; Personas que hablan español y pueden ser reemplazadas, 18; Personas que son irremplazables, no hablan español y son casadas,6. Observando estos datos se pregunta: a) ¿En el presente, dispone la compañía de los 20 técnicos que cumplan con los tres requisitos necesarios? b) Si todavía no se tiene completo ese grupo de 20 personas, ¿podrá completarlo con los candidatos que hablen español y puedan reemplazarse, pero que no sean solteros? 5) De 335 maestros de una Institución educativa se tienen los siguientes datos: 215 son de tiempo completo. 190 hablan el inglés. 255 tienen por lo menos maestría. 70 son de tiempo completo y hablan el inglés. 110 hablan el inglés y tienen por lo menos maestría. 145 son de tiempo completo y tienen por lo menos maestría y todos tienen al menos una de las características antes mencionadas. Determinar cuántos de estos maestros: a) tienen las tres características; b) tienen exactamente dos características; c) tienen exactamente una de las características.
TEMA: Métodos de conteo II OBJETIVO : Utilizar diferentes técnicas para contar, como fase previa al cálculo de probabilidades INDICACIONES: Utilice, los conceptos de permutaciones, principio del producto 1) De cuántas maneras se pueden permutar las letras de la palabra murciélago? a. ¿Cuántas de las permutaciones comienzan con m y terminan con i? b. c. d.
¿Cuántas de las permutaciones comienzan y terminan en vocal? ¿En cuántas de las permutaciones aparecen las vocales juntas y las consonantes juntas? ¿En cuántas de las permutaciones aparecen las vocales juntas?
e. ¿En cuántas de las permutaciones no aparecen dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? 2) Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los clientes prospectos para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar cualquiera de 4 diseños diferentes, 3 sistemas de calefacción, cochera con puertas o sin ellas, y patio o pórtico. ¿ Cuantos planes distintos están disponibles para el comprador? 3) i una prueba de selección múltiple, consta de 5 preguntas cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta. a) ¿En cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada p regunta?
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b) ¿En cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? 4) En un concurso regional de deletreo, los 8 finalistas son 3 niños y 5 niñas. Encuentre el número de puntos muestrales en el espacio S para el número de ordenes posibles al final del evento para. a) Los 8 finalistas. b) Las primeras 3 posiciones 5) Se sacan 3 boletos de la lotería, de un grupo de 40, para el primero, segundo y tercer premios. Encuentre el número de puntos muestrales para otorgarlos si cada concursante conserva solo un b oleto.
TEMA: Métodos de conteo III OBJETIVO : Utilizar diferentes técnicas para contar, como fase previa al cálculo de probabilidades INDICACIONES : Utilice, los conceptos de permutaciones, principio del producto y la suma; diagrama de árbol 1) ¿Cuántas formas hay de seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recién graduados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? 2) Los miembros de un cuarteto de cuerdas formado por un violinista, un violista y un violonchelista serán escogidos de un grupo de 6 violinistas, 3 violistas y 2 violoncelistas, respectivamente. a) ¿De cuantas formas se puede formar el cuarteto de cuerdas? b) ¿De cuantas formas se puede formar el cuarteto, si uno de los violinistas será designado como 1 er violín y el otro como 20 3) El Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas consta de 5 miembros permanentes y 10 miembros no permanentes. Las decisiones del Consejo necesitan 9 votos para su aprobación; sin embargo cualquier miembro permanente puede vetar una medida y asì evitar su aprobación ¿De cuantas formas se puede aprobar una medida si los 15 miembros del Consejo votan (sin abstenciones)?. 4) Una fábrica tiene disponible 12 puestos de trabajo, cuatro de los cuales deben ser ocupados exclusivamente por hombres, cinco exclusivamente para mujeres y los tres restantes indistintamente por hombres o mujeres. Si se presentan 8 mujeres y 10 hombres a solicitar los trabajos. ¿De cuántas maneras diferentes puede la selección para llenar los puestos de trabajo? 5) La tripulación de un trasbordador espacial consta de un comandante, un piloto, 3 ingenieros, un científico y un civil. El comandante y el piloto deben elegirse entre 8 candidatos; los 3 ingenieros, entre 12 candidatos; el científico, entre 5 candidatos y el civil entre 2 candidatos ¿Cuántas tripulaciones distintas se pueden formar?
TEMA: Probabilidad OBJETIVO : Resolver problemas de probabilidad INDICACIONES : Utilice, los conceptos de probabilidad, eventos, espacio muestral, etc en la solución de ejercicios básicos de probabilidad. 1) En el lanzamiento de un par de dados, ¿ cuál es la probabilidad de que: a) b) c) d)
La suma de las caras sea 10. (1/12) La suma de las caras sea 5 o menos. (5/18) La suma de las caras no sea 11. (17/18) En ambas caras del dado caiga el mismo número. (1/6)
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2) De una baraja de 40 cartas, se sacan dos sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que: a) La primera carta sea un as y la segunda un rey. (2/195) b) Se obtenga un as y un rey. (4/195) c) Ninguna de las dos cartas sea rey. (21/26)
3) En cierta Universidad el 40% de la población estudiantil son casados, 25% poseen vehículo y el 15% son casados y poseen vehículo propio. Si se escoge un alumno al azar:
Si es casado, ¿cuál es la probabilidad de que también posea vehículo propio? (0.375) 4) En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontró que 42 cursaron matemáticas, 68 Psicología, 54 historia, 22 matemática e historia, 25 matemática y Psicología, 7 Historia pero no Matemáticas ni Psicología, 10 las 3 materias y 8 ninguna de las 3. Si se selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que. a) Una persona inscrita en Psicología haya estudiado las tres materias; b) Una persona que no se inscribió en Psicología haya tomado Historia y Matemáticas. 5) En una encuesta de opinión montada por una empresa publicitaria el 70% de las personas escuchan la radio YSU, el 40% escucha YSKL y el 10% la YSUCA. Entre los que escuchan YSU, el 30% escuchan YSKL y el 4% escuchan YSUCA. El 90% de los que escuchan YSUCA, escuchan YSKL, siendo el 2% de la población total de personas que escuchan YSKL, la YSU y YSUCA. Se elige una persona al azar y se pregunta cuál es la probabilidad: a) De que escuche YSKL o la YSU o escuche YSUCA. (0.892) b) Sabiendo de que escucha YSKL, ¿ cuál es la probabilidad que escuche YSUCA? (0.225)
TEMA: Aplicaciones de Probabilidad OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación de probabilidad INDICACIONES : Utilizando los conceptos de probabilidad, resolver problemas de aplicación 1) En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el habito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos: No Fumadores Fumadores Total fumadores moderados empedernidos Hipertenso 21 36 30 87 No hipertenso 48 26 19 93 Total 69 62 49 180 Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que la persona. a) Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido; b) Sea un no fumador, dado que no ha presentado problemas de hipertensión. 2) Una encuesta fue tomada entre los consumidores de refrescos de cola para ver cual de 2 populares marcas prefieren. Se encontró que al 45% le gustó la marca A, al 40% le gustó la marca B y al 20% gustaron las 2 marcas. Suponga que una persona de la encuesta es seleccionada aleatoriamente. Encuentre la probabilidad de que: a) le haya gustado la marca A, dado de que le gustaba la marca B R/ ½ b) le haya gustado la marca B, dado que le gustaba la marca A R/ 4/9 3) Un estudiante responde de manera aleatoria, cada pregunta de un examen de 10 preguntas de falso-verdadero. Si cada pregunta tiene un valor de 10 puntos, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante obtenga (a) 100 puntos y (b) 90 o más puntos?
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4) En cierta ciudad, el 40% de los votantes registrados son demócratas, el 35% son republicanos y el restante son independiente. En la última elección primaria votaron 15% de los demócratas, 20% de los republicanos y 10% de los independientes. a) a) Si un votante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un demócrata el que votó? b) Si un votante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya votado?
5) Suponga que 9 estudiantes, 5 mujeres y 4 hombres, desean cubrir 3 vacantes en un comité del campus sobre diversificación de la cultura. Si 3 de los estudiantes son seleccionados al azar para el comité, encuentre la probabilidad de que los 3 sean mujeres, dado que al menos uno, se sabe, es mujer
TEMA: Teorema de Bayes OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación de probabilidad, INDICACIONES : Resolver problemas de aplicación, utilizando el Teorema de Bayes 1) Se tienen tres cajas de manzanas, conteniendo dos docenas de manzanas cada una. Las manzanas se clasifican así: grandes, medianas y pequeñas. El contenido de la caja: A, B y C, es el siguiente:
Cajas A B C
Tamaño de la manzana Grande Mediana Pequeña 6 8 10 10 14 0 12 8 4
Total 24 24 24
Se elige una caja al azar, y de ella se saca una manzana. Si la manzana es mediana, ¿cuál es la probabilidad de que se haya sacado de la caja A, B o C?.
2) Tres máquinas A, B y C producen el 55%, 25% y 20% respectivamente de la producción total de la fábrica. Cada una de las máquinas produce en artículos defectuosos: A el 2%, B el 3% y C el 5%. Se selecciona un artículo al azar: a) Y éste resulto defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que este artículo provenga de la máquina B? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un artículo no defectuoso? c) ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo seleccionado un a rtículo de la máquina C este sea no defectuoso. 3) En un estante de una librería hay 230 libros de las siguientes asignaturas: matemáticas, física, biología y estadística. Entre estos libros hay 27 con defectos de encuadernado. Las cantidades de libros de cada asignatura y el número que traen defectos se detallan a continuación: Matemáticas : : hay 20 de los cuales 5 traen defectos. Física
: hay 30 de los cuales 4 traen defectos.
Biología
: hay 100 de los cuales 10 traen defectos.
Estadística
: hay 80 de los cuales 8 traen defectos.
Se elige un libro al azar, y resulta defectuoso; calcular la probabilidad de que sea de biología. (0.3704) 4) Un fabricante produce artículos en dos turnos. El primer turno produce 300 unidades por día y el segundo turno produce 200. Por experiencia, se cree que de la producción de los dos turnos, el 1 y 2%, respectivamente, está defectuosa. Al final del día, de la producción total fue seleccionada al azar una unidad. a) Encuentre la probabilidad de que esté defectuosa. R/ 0.014 b) Si la unidad está defectuosa, encuentre la probabilidad de que provenga del segundo turno. R/ 4/7 5) La urna I contiene tres canicas blancas y dos rojas, y la urna II contiene cuatro rojas, dos negras y dos blancas. Una canica es sacada aleatoriamente de la urna I y colocada en la urna II. Si después se saca aleatoriamente una canica de la urna II, encuentre la probabilidad de que sea roja. R/ 22/45
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE CIENCIAS APLICADAS” ING. JULIO CESAR ORANTES” CÁTEDRA DE CIENCIAS Y MATEMATICA ESTADÍSTICA GUIA No 6 UNIDAD No: 6
TEMA: Valor esperado, varianza y desviación típica OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación, utilizando los conceptos de medidas de tendencia central y dispersión, con el concepto de probabilidad
INDICACIONES : Defina la variable aleatoria, luego encuentre los valores que toma dicha variable y sus correspondientes probabilidades, para construir la distribución de probabilidad del problema; con ello podrá resolver lo pedido. 1) Si llueve un vendedor de paraguas puede ganar $30 por día. Si no llueve puede perder $6 por día. ¿Cuál es su esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es o.3? 2) En una casa de juegos de azar, existe uno que consiste en lanzar dos dados pintados de la siguiente forma: dado X, tiene dos caras verdes y 4 amarillas; el dado Y tiene cuatro caras verdes y 2 negras. Las reglas del juego son: por cada cara verde que aparezca se ganan $5.00, por cada negra se ganan $10.00 y por cada amarilla se ganan $25.00. Determinar la esperanza matemática de la ganancia de este juego. ($25.00). Determine la varianza y desviación típica 3) Dos personas A y B juegan a los dados fijando las reglas del juego de la siguiente manera: cualquier jugador que lance los dos dados, si la suma de los puntos es 5, el jugador A pagará a B $10.00; si la suma de los puntos es mayor a cuatro y menos de 9 puntos, con excepción de la suma 5 puntos, B pagará a A la cantidad de $2.00 y si la suma de los puntos es mayos a 8, A pagará a B, $4.00. No hay pago en cualquier otro resultado. a) ¿Cuál es el valor esperado del juego? b) Determine la desviación típica c) ¿Cómo interpreta el valor esperado del juego si los jugadores lanzan 1000 veces los dados? 4) Mr. Sands está considerando comprar una nueva casa. Ha determinado de manera subjetiva una distribución para el precio de compra: Precio de Compra $80,000 85,000 90,000
P(x) 0.20 0.50 0.30
Calcule el valor esperado y la desviación estándar de esta distribución de probabilidades 5) La demanda de teclados de computadora de la ISIC Corporation varía mucho de un mes a otro. La siguiente distribución de probabilidad muestra la demanda mensual de teclados durante los 2 últimos años, averigüe el valor esperado y la desviación típica de la demanda para el próximo mes. 21
Demanda Mensual 40 45 50 55
P(x) 0.15 0.25 0.45 0.15
TEMA: Distribución binomial OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación, utilizando la distribución binomial INDICACIONES : Utilice, los conceptos estudiados para resolver problemas binomiales 1) Suponga que se determina que el 30% de los habitantes de Houston Texas, lee el periódico de la tarde. Si se eligen 3 personas al azar, calcule la probabilidad de que: a) se elijan exactamente 2 personas que leen el periódico de la tarde, b) Ninguna lee el periódico de la tarde, c) Al menos una persona lee el periódico de la tarde. 2) Se sabe que el 30% de las cuentas de Master Charge en un banco local, tienen saldos de mas de $2,000, suponga que se eligen 4 cuentas al azar: a) cual es la probabilidad que la primera cuenta elegida, tenga un saldo mayor que $2,000 y las siguientes 3 no, b) cual es la probabilidad de que las primeras 3 cuentas elegidas tengan un saldo menor que $2,000 y el saldo de la última sea mayor que $2,000, c) de cuantas maneras distintas puede una persona elegir una cuenta mayor que $2,000 y 3 cuentas menores que $2,000. 3) Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma ciudad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años mas es ⅔. Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan : a) los 5 hombres, b) al menos 3, c) solamente 2, d) al menos uno. 4) Hallar la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen falsoverdadero. 5) De un total de 800 familias con 5 hijos c/u, cuantas cabe esperar que tengan: a) tres niños, b) cinco niñas, d) dos o tres niños. Suponer igual las probabilidades de niño y niña.
TEMA: Distribución Hipergeométrica OBJETIVO : Utilizar la distribución hipergeométrica para resolver problemas de a plicación INDICACIONES : Utilice, los conceptos estudiados en la solución de problemas de aplicación 1) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcòtico en una botella que contiene 9 pildoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcòticos? 2) El dueño de una casa planta 6 tallos que lecciona al azar de una caja que contiene 5 tallos de tulipan y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y 4 de tulipàn? 3) De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotaràn, ¿Cuál es la probabilidad de que: 22
a) Los 4 exploten? b) Al menos 2 exploten? 4) Un comité de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una fòrmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x que representa el nùmero de doctores en el comitè. Encuentre P(2≤ x ≤3). 5) ¿Cuàl es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcohòlicas ùnicamente a 2 menores de edad, si verifica aleatoriamente sòlo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?
TEMA: Distribución Multinomial OBJETIVO : Utilizar la distribución Multinomial para resolver problemas de aplicación INDICACIONES : Utilice, los conceptos estudiados en la solución de problemas de aplicaión 1) Durante un período determinado un operario de una máquina industrial ha producido piezas de las cuales un 70% se ha calificado de “excelentes”, un 20% de “adecuadas” y un 10% defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra al azar de 5 partes, 2 sean excelentes, 3 sean adecuadas y 1 defectuosa? 2) Una empresa tiene clasificado a sus trabajadores en personal directivo, personal técnico y personal administrativo. El porcentaje de ellos es de 10%, 30% y 60%, respectivamente. Si se selecciona una comisión de 8 personas, en la que cada persona es escogida independientemente encuentre: a) La probabilidad de que la comisión incluya 2 directivos, 3 técnicos y 3 administrativos. b) La probabilidad de que la integren 1 directivo, 3 técnicos y 4 administrativos. c) La probabilidad que la integren 5 administrativos. 3) La facultad de Ingeniería de la UTEC tiene 30 profesionales, 6 son ingenieros, 18 licenciados en matemáticas, 3 son master en matemáticas y 3 licenciados en computación. Si se escogen 8 profesionales al azar para que asistan a un congreso, encuentre la probabilidad de que sean 2 ingenieros, 3 sean licenciados, 2 master en matemáticas y 1 licenciado en computación. 4) El Granjero S.A. de C.V. tiene clasificado los huevos como: extragrandes, grandes, medianos y pequeños. Según las estadísticas que tienen registradas los porcentajes de producción es como sigue: extragrandes el 10%, grandes el 40%, medianos el 30% y pequeños el 20%. Si se toma una muestra aleatoria de 15 huevos, calcule la probabilidad de que 2 sean extragrandes, 3 sean grandes, 4 sean medianos y 6 sean pequeños.
TEMA: Distribución de Poisson OBJETIVO : Utilizar la distribución de Poisson para resolver problemas de aplicación INDICACIONES : Utilice, los conceptos estudiados en la solución de problemas de aplicación 1) Pannell Corporation deposita reserva de efectivo en el fondo de “incapacidad” bajo la suposición de que sus empleados necesitaran pagos por incapacidad por un total de 1.5 días en promedio c/mes ¿Cuál es la probabilidad de que ningún empleado se de, de baja por enfermedad este mes? 2) El número de solicitudes de asistencia recibido por un servidor de remolque de vehículos con fallas es un proceso de Poisson con rapidez µ = 4 por hora. a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 solicitudes se reciban durante un período particular de 2 horas 23
b) Si los operadores de los grupos de remolque descansan durante 30 minutos para tomar alimentos, ¿Cuál es la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada de asistencia? c) ¿Cuántas llamadas se esperarían durante el descanso. 3) Se calcula que 0.5 por ciento de las llamadas al departamento de facturación de U:S West Telephone Company, recibirá el tono ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 de las 1200 personas que llamaron el día de hoy haya recibido tono ocupado? 4) Se tiene una distribución de probabilidades de Poisson, con un promedio de 2 ocurrencias por período. a) Escriba la función adecuada de probabilidad de Poisson. b) ¿Cuál es la cantidad promedio de ocurrencias en 3 intervalos de tiempo? c) Escriba la función adecuada de probabilidad de Poisson que determine la probabilidad de x ocurrencia en 3 intervalos de tiempo. d) Determine la probabilidad de 2 ocurrencias en un intervalo unitario de tiempo. e) Determine la probabilidad de 6 ocurrencias en 3 intervalos de tiempo. f) Determine la probabilidad de 5 ocurrencias en 2 intervalos de tiempo. 5) Al departamento de Reservaciones de Aerolíneas Regionales, llegan en promedio 48 llamadas por hora. a) Calcule la probabilidad de recibir 3 llamadas en intervalo de 3 minutos. b) ¿Cuál es la cantidad promedio de ocurrencias en 3 intervalos de tiempo? c) Suponga que actualmente no hay llamadas esperando. Si el agente tarda 5 minutos en atender una llamada. ¿Cuántas llamadas cree que estarán esperando cuando cuelgue la bocina? ¿Cuál es la probabilidad que ninguna este esperando? d) Si actualmente no hay llamadas pendientes, ¿Cuál es la probabilidad de que el agente pueda ausentarse 3 minutos sin interferir con la atención a las llamadas?
TEMA: Distribución normal OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación, utilizando la distribución normal INDICACIONES : Estandarice los valores de la variable continua, haga los bosquejos de las áreas pedidas; utilice la tabla de la distribución normal para hallar los valores de z pertinentes y resuelva según lo solicitado. 1) La piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelerìa tienen una longitud promedio de 30 cm. Y una desviación estandar de 2 cm. Suponiendo que las longitudes estàn normalmente distribuidas, ¿Què porcentaje de la piezas son a) De mas de 31.7 cm. De longitud? b) Entre 29.3 y 33.5 cm. De longitud? c) De una longitud menor que 25.5 cm.? 2) Una maquina despachadora de refrescos està ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de regresco es normalmente distribuida con una desviación estàndar igual a 15 mililitros a) ¿què fracciòn de los vasos contendrà màs de 224 mililitros? b) ¿cuàl es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramaràn si se utilizan vasos de 230 mililitros en los siguientes 1000 refrescos? d) ¿debajo de què valor se obntiene el 25% mas pequeño de los refrescos?
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3) Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estandar de 3.8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado està normalmente distribuida. a) ¿cuàl es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora? b) Encuentre el perìodo arriba del cual se encuentra el 15% d e los traslados màs lentos. 4) Si un conjunto de calificaciones de un examen de estiìstica se aproxima a la distribución normal con una media de 74 y una desviación estàndar de 7.9, encuentre a) La calificación màs baja de pase si al 10% de los estudiantes màs bajos se le dio una NA (No Acreditado); b) La B (Bien) mas alta si al 5% superior de los estudiantes se le dio MB (Muy bien) c) La B mas baja si al 10% superior de los estudiantes se ledio MB y al siguiente 25% se le dio B. 5) Se sabe que el 9.01% de un grupo de estudiantes presentan 65 pulsaciones o menos en reposo, y que el 7.08% presentan 90 pulsaciones o más en reposo. Con ésta información, determine la media aritmética y la desviación típica del número de pulsaciones en reposo. (76.9 y 8.9)
TEMA: La Distribución normal, como aproximación de la Distribución Binomial OBJETIVO : Resolver problemas de aplicación binomiales, utilizando la distribución normal INDICACIONES: Utilice, los conceptos estudiados para resolver problemas binomiales 1) La probabilidad de que cierta clase de piezas se estropee antes de funcionar 120 horas o menos es 0.15. Se toma aleatoriamente una muestra de 100 piezas. Halle la probabilidad de que: Menos de 18 piezas se estropeen antes de las 120 horas de estar funcionando. Al menos 18 piezas se estropeen en las 120 horas o menos de estar funcionando. ) Entre 10 y 15 piezas se estropeen en las 120 horas o menos de estar funcionando. 2) Se lanzan 400 monedas 1,000 veces, ¿cuántas veces de las mil puede esperarse obtener: a) 200 o más caras. b) 225 o menos caras. c) Entre 190 y 225 vara inclusive. ) 3) La probabilidad de que un componente electrónico falle menos de 300 horas de uso continuo es 0.20; determine la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n = 100 de estos componentes a lo sumo fallen 10 componentes, en menos de 300 horas de uso continuo. 4) En los últimos cinco años, el Banco de Comercio, rechazó en promedio, el 5% de los cheques, por falta de fondos. Este mes, el banco recibió 200 cheques. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Se rechacen por falta de fondos al menos 5 cheques. b) Se rechacen exactamente 8 cheques. c) Se rechacen exactamente 15 cheques. d) Se rechacen entre 8 y 12 cheques inclusive. 5) El canal 6 de TV pretende que sus películas que pasa a las 9 de la noche tenga regularmente el 36% del total de telespectadores. Si fuese cierto ésta pretensión; ¿cuál es el porcentaje de que entre una muestra de n = 200 espectadores llamados por teléfono en la noche, estén viendo tales pe lículas al menos 75 de esa muestra?
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