UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD CATÓLICA C ATÓLICA LOS ÁNGELES CHIMBOTE
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN ADMINISTRACIÓN CURSO: ESTADISTICA APLICADA AUTORES: SANTE VELASQUEZ NILTON CESAR
RIMAC MENDEZ RILDO
CORDOVA CHAVARRIA ROLANDO
CRUZ TAMARA CEILING CELINA DOCENTE:
LIC. WALTER VARELA ROJAS
HUARAZ-PERÚ 2016 - II
Intervalos de Confianza para la media
1. Una empresa de refrescos necesita conocer con precisión el contenido medio de las latas producidas. La variable X que expresa la cantidad de bebida en cada envase sigue una distribución normal de media 257.3 ml y desviación típica 3.2 ml. Observando el contenido de 25 latas se quiere construir un intervalo que incluya el verdadero valor del parámetro con un probabilidad de 0.95. N (µ,ơ ) N(257.3ml,3.2ml) n=25 95% Para una confianza del 95% z ∞/2 = 1.96 Recuérdese: ( x – z ∞/2 ơ / v¬ n ; x + oo /2 ∞/v¬ n) IC (257.3 - 1.96 (3.2) / v¬25); 257.3 + 1.96 (3.2) / v¬25) IC (257.3 – 1.2544 ; 257.3 + 1.2544) (255.7456 ; 258.5544) (8255.75 ; 258.55)
2. El control de un proceso de producción de cierto medicamento requiere medir con precisión el contenido medio de los frascos que contienen dicha medicina. Se sabe que el contenido de los recipientes sigue una distribución normal con desviación típica 2.3 y se necesita un intervalo de confianza, con coeficiente de 0.95 para el contenido medio, que no mida más de 4 unidades. N (4,2.3) x= 4 ơ = 2.3 Para una confianza: 95% z ∞/2 =1.96 2.3(1.96)/v¬n < 0.05 (4.508/0.05)2 8128 ----v¬n = 90.15 Para obtener un error inferior a 0.05 debemos tomar una muestra de al menos 8128 para una IC (3.95, 7.94) (4 – 1.96 (2.3) /v¬n ; 4 + 1.96(2.3)/v¬n) (4 – 4.508/90.15 ; 4+4.508/90.5) 0.95-3.99<4 (3.95, 7.94) (3.95; 7.94) intervalo de confianza
3. Se quiere conocer el nivel de radiación de las personas que trabajan en un reactor nuclear. Se mide la radiación en 400 trabajadores y se obtiene una radiación media anual de 461 rem. La desviación típica es igual a 0.30 rem. Construye un intervalo de confianza con coeficiente 0.95 para la radiación media anual que soportan dichos trabajadores. n= 400 x= 461 ơ = 0.30 95% z ∞/2 01.96 (461 – 1.96 (0.30) / v¬400 ; 461 + 1 .96 (0.30) / v¬400
(461 – 0.0294
; 461 + 0.0294)……. (460.9706; 461002494)
4. La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamiento fabricadas por cierta máquina es de 0.824 cm y la desviación típica de 0.042 cm. Halla los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina. n=200 x=0.824 ơ=0.042 95% z ∞/2 = 1.96 (0.824 – 1.96 (0.042 / v¬200); 0.0824 + 1.96 (0.042/v¬200) (0.07657; 0.158979) IC (0.08; 0.16)
5. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0.12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio es de 4.07 kilos. a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy. b. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). c. Se decide que mañana se tomara una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). Respuestas: a) (4.03, 4.11) b) menor c) mayor N (µ,ơ) N(4.07 , 0.12) 99% z ∞/2 = 2.575 n=60 a) (4.07 – 2.575 (0.12) / v¬60 , 4.07 + 2.575 (0.12) / v¬60 (4.030, 4.1098) (4.03, 4.11) b)
95% z = 1.96 L0.95 (3.99; 4.02) = 0.03 longitud menor c) n=20 99% z∞/2 = 2.575 (4.07 – 2.575(0.12) / v¬20; 4.07 + 2.575 (0.12) / v ¬20 (4.07 – 0.0690945; 4.07 + 0.0690945 (4.0009055; 8.0709055) IC (4,81) L0.99 = 8.1 – 4……L0.99 = 4.1 longitud mayor
6. Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución. Se extrae una muestra aleatoria de nueve envases cuyos contenidos de impurezas son los s iguientes:
18.2
13.7
15.9
17.4
16.6
12.3
18.8
16.2
21.8
a. Calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio poblacional de las impurezas. b. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media Poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). Respuestas: a) (15.035, 18.498) b) mayor Hallamos x para la muestra n=9 X= 18.2+13.7+15.9+17.4+21.8+16.6+12.3+18.8+16.2 / 9 X= 150.9 / 9 X= 16.76 Hallamos la desviación típica v¬s2=s
9∑c=1 Y=(18.2)2+(13.7)2+(15.9)2+……(16.2)=2592.47 S2=9∑c=1 (Y – n Y) = 2592.47 – 9(16.77)2/8 S2=7.80
S=√7.80 S=2.79 desviación típica a) (16.76 – t(8,0.05)(2.79)/√9,16.76+T(8,0.05)(2.79)/√9 T(8,0.05)=1.860 (16.76 – 1.7598; 16.76+1.7298) I.C (15.0302; 18.48) L90%=3.4498 b) MAYOR (14.60;31.37) L95% =22.98
90%
t∞/2=0.05
7. La Dirección General de Tráfico quiere conocer la velocidad a la que circulan los automóviles en un tramo determinado de una carretera. Para una muestra de siete automóviles, el radar señalo las siguientes velocidades en k/h. 79
73
68
77
86
71
69
a. Calcular la media y la varianza muestral. b. Suponiendo que la distribución de la población es normal, hallar un intervalo de confianza del 95% para la velocidad media de los automóviles que circulan por dicho tramo. Respuestas: a) =74.71 s = 6.40 b) (68.79, 80.63) a) N=7; hallamos la media aritmética X=79+73+68+77+86+71+69/7 X=523/7 X=74.71 S2=∑9 c=1 (x1-x)2=√s2=s=ơ=desviación típica S2= (79-74.7)2+(73-74.7)2+(68- 74.7)2+……(69-74.7)2/6
S2=40.9047
S=√40.9047 S=6.3956 S=6.40 desviación tipica b) Como: ơ =6.40 95% t ∞/2 t∞/2=0.025 (74.71 – t (6. 0.025)(6.40)/√7; 74.71 + t (6. 0.025)(6.40)/√7 (74.71 – 2.447(6.40);74.71+2.447(6.40)/√7 IC (68.79; 80.63)
8. Una empresa de alquiler de coches está interesada en conocer el tiempo que sus vehículos permanecen en el taller de reparaciones. Una muestra aleatoria de nueve coches indicó que el pasado año el número de días que estos coches habían permanecido fuera de servicio era: 16
10
21
22
8
17
19
14
19
Especificando las hipótesis necesarias, calcular un intervalo de confianza del 90% para el número medio de días que la totalidad de los vehículos de la empresa se encuentran fuera de servicio. Respuesta: (13.25, 19.19) N=9 ×=16+10+21+22+8+17+19+14+19/9 ×=146/9 ×=16.22 t(8,0.05)=1.860 S29∑c=1(x1-x)2/n-1 =(16-16.22)2+(10-16.22)2+(21-16.22)+….(19-16.22)2/8 S2=22.9441 S=√22.9441 S=4.790 Hallamos el intervalo de confianza (16.22-t(8,0.05)(4.790)/√9 ; 16.22+t(8,0.05)(4.790)/√9 16.22-2.9698; 16.22+2.9698 (13.25 ; 19.19)
9. Un ingeniero industrial desea estimar con un 90% de confianza y una precisión del 3% la proporción de artículos defectuosos que están saliendo de la línea de producción. ¿ De qué tamaño deberá tomar la muestra si: a)no dispone de información alguna? b)conoce que la proporción de artículos defectuosos nunca ha sido mayor de 0.12?. Respuestas: a) 748 b) 316
a) alfa=
no dispone de informacion
0.1
Zo=
1.64
p=
0.5
e=
0.03
q=
0.5
Zo=
1.64 n=
748.023
p=
0.12
q=
0.88
n=
315.965
n=
316
b)
ó
10. Suponga que un estudio se diseña para reunir nuevos datos de fumadores y no fumadores, entre los 18 años o más.. La mejor estimación preliminar de la proporción poblacional de quienes fuman en este tramo de edades es de 30%. a) ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra para estimar la proporción de fumadores en la población con un margen de error de 0.02? Emplee un nivel de confianza 95%. b) Suponga que el estudio usa su recomendación de tamaño de muestra del inciso (a), y ve que hay 520 fumadores. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de fumadores? c) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de fumadores? Respuestas: a. 2017 personas b. 0.2578 c. (0.2387, 0.2769) p= 0.3 a)
b=
q= 0.7
e=
0.02
alfa=
0.05
Zo=
1.96
n=
2016.8
n=
2017
n=
2017
x=
520
p=
0.2578
Li=
0.2387
Ls=
0.2769
c)
q=
0.7422
11. Se investigó que el 26% de quienes visitan un determinado sitio deportivo de Internet son mujeres. El porcentaje se basó en una muestra de 380 visitantes. a) Hallar el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de usuarios mujeres. b)¿Cuál es el margen de error asociado con la proporción estimada de mujeres? c) ¿Qué tamaño debería tener la muestra si queremos tener un margen de error del 3%? Respuestas: a) (0.2159, 0.3041) b) 4.41% c) 822 p=
0.26
a)
q=
0.74
Li=
0.2159
n=
380
Ls=
0.3041
alfa=
0.05
Zo=
1.96
b)
c)
ET=
0.0441
e=
4.410
e=
0.03
n=
821.2
n=
822
12. Por estudios previos se tiene conocimiento que la distribución del peso al nacer de niños que cumplen su período de gestación de 40 semanas es aproximadamente normal con una media de 3550 gramos y una desviación estándar de =400 gramos. Se va a realizar un nuevo estudio para una población con características similares, con el fin de estimar el peso promedio al nacer de los niños. Con base en el estudio previo determine el tamaño de muestra. Además, se considera que un error de máximo 45 gramos logra una estimación valida, la confiabilidad del estudio es del 93%. media=
3550
ds=
400
e=
45
alfa=
0.07
Z
1.81
n=
259.4
13. Determinar el número de profesionales a encuestar en una región donde se estima en 4500 el número de ellos. El objetivo del estudio es determinar entre otras cosas, la intencionalidad de seguir estudios de maestría, con una prueba piloto de 20 profesionales, se determinó que la proporción de profesionales con afán de continuar sus estudios era del 25%. La confiabilidad del estudio, dado que sus resultados serán validados con otras fuentes se definió en el 90%, el error puede estar entre el 4 y el 6%, dependiendo de los costos se definirá cual tamaño seleccionar.
N=
4500
no=
20
p=
0.25
q=
0.75
n1=
296.2
alfa=
0.1
n2=
136.7
Zo=
1.64
e1=
0.04
e2=
0.06
2.71
14. Se quiere obtener una muestra sistemática que seleccione egresados de un programa de la Universidad de Antioquia que tiene 1200 de ellos. La variable clave del estudio es dicotómica y se aduce que la proporción es del 25%, además, se quiere un error del 4% y una confiabilidad del 90%. N=
1200
p=
0.25
q=
0.75
e=
0.04
n=
250.958
0.1
n=
251
alfa= Z=
1.64485 ofijacion proporcional
15. Una Institución de Salud tiene 6100 empleados, se quiere determinar como es el clima laboral en la organización, usando una confiabilidad del 95%, un error admisible de 6% y considerando que la proporción de empleados no satisfechos es del 30%. Calcule el número de empleados a consultar por categoría, si se tiene en cuenta, que las diferentes categorías de empleados que pueden influir en la opinión de los trabajadores, tienen la siguiente distribución: Contabilidad y Costos 80 empleados, Administración 150, operativos 5600, seguridad 180 y otros cargos 90. N=
6100
Ni
alfa=
0.05
Contabilidad y costos
Z=
1.96
administracion
e=
0.06
operativos
p=
0.3
seguridad
q=
0.7
otros N
n=
216.18
Wi
ni
80
0.01
3
150
0.02
5
5600
0.92
198
180
0.03
6
90
0.01
3
6100
16. Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos del Bajo Cauca que están a favor de que su agua se trate con flúor. Qué tan grande debe ser una muestra si se desea tener una confianza de al menos 95% de que la estimación estará dentro del 2% del porcentaje real? Realice las consideraciones necesarias para calcular n. alfa=
0.05
e=
0.02
Z=
1.96
p=
0.5
q=
0.5
n=
2401
