Ejercicios Resueltos Estadística - Intervalos de Confianza



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0

Ejercicios Resueltos Estadística Intervalos de Confianza



Uploaded by dizuniga



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines

Ejercicios avanzados de Intervalos de Confianza Planteamiento del problema y solución detallada p









Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17

Practica intervalos de

 

Ejercicios resueltos de

Chi.cuadrado EJERCICIOS

 Search document



Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Ciencias Económicas y Admini strativas

Ejemplo resueltos Nº2

EAS-201A Semestre II 2006

Máxima verosimilitud, verosimilitud, Cota de Cramer Cramer Rao e Intervalos de Confianza

Profesor: Víctor Correa S Ejemplo 1 La empresa CDNEWS vende música música en formato CD por internet. Las ventas de esta empresa en una semana son presentadas en la tabla siguiente. En la primera fila se presenta el e l número de CD’s comprados por po r un cliente y en la segunda fila se presenta la frecuencia de clientes c lientes que compró ese número de CD’s. Número de CD´s CD´s por cliente Frecuencia de clientes

1 2 3 4 852 387 214 120

5 6 7 8 72 40 12 15

9 9

10 7

1728

Se supone que la variable Y = número de CD’s que compra un cliente, tiene una distribución geométrica de parámetro π. Es decir, la probabilidad de que un cliente compre “y” CD’s es: p( y,π ) = π (1 − π ) y −1

y = 1,2,3,....

a) Considera Y 1 ,...,Y ,..., Y 1728 una muestra aleatoria simple de clientes, encuentra el estimador de máxima verosimilitud de π y su estimación estimación correspondiente. b) Encuentra la Cota de Cramer Rao de π. c) Encuentra la distribución asintótica del estimador de máxima verosimilitud, estima su error estándar y construye un intervalo al 90% de confianza para el parámetro. Solución a) Ln (L) = (ΣYi – n)⋅ n)⋅ln(1-π ln(1-π) + n⋅ln(π ln(π) (Ln (L))’ =

(– πΣYi πΣYi + n) /(π /(π(1-π (1-π )) = 0

Sign up to vote on this title



Useful

 Not useful







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

Download



News



Documents



Sheet Music

1

of 17


 



 Search document



c) Por las propiedades asintoticas de los estimadores máximo verosímiles, la distribución asintótica de π^MV es normal con media π y varianza CCR(π) = π2(1-π )/n En el caso anterior, es válida la aproximación anterior pues n = 1.728 >30 muy grande. Error estándar ee∧(π^MV ) = Raiz( (0,467)2(1-0,467 )/1728 ) = 0,0082 Así un intervalo de confianza al 90% para π es: π^MV ± 1,64*ee(π^MV) = 0,467 ± 0,001= [ 0,466; 0,468].

Ejemplo 2 El Servicio de Impuestos Internos (SII) informa que recibió 2.036.775 declaraciones de la renta del año tributario 2002. (El Mercurio 20/05/2003, página B1)

Suponga que se seleccionan aleatoriamente 1.000 declaraciones, resultando que en 265 casos corresponde devolver impuestos al contribuyente. Con la información anterior se construyó el siguiente intervalo de confianza simétrico para la proporción de declaraciones en las 2.036.775 en que corresponde devolver impuestos, [0,2347; 0,2953] .

a) ¿Se puede afirmar que el porcentaje de declaraciones en que corresponde devolver impuestos se encuentra entre 23,47% y 29,53%? ¿Cómo se interpreta intervalo anterior? b) Determine la estimación obtenida de la muestra, su margen de error y la confianza del intervalo. c) El SII procesa las 2.036.775 declaraciones e informa que el 27,79% de los You're Reading a Preview contribuyentes recibirán devolución. Si se seleccionarán 200 muestras aleatorias full access with a free trial. de tamaño 1.000 ¿en cuántasUnlock de ellas podemos esperar que el intervalo calculado como en b) no contendrá el % de devoluciones informado por el SII?. Download With Free Trial Solución a)  Signπ = up to vote on this Lo que se puede afirmar es que el intervalo capturará al parámetro proporción de title declaración a las Useful dada que se debe devolver parte de los impuestos tributados con una - α. Es decir, confianza  Not1useful intervalo anterior fue construido con un método que capturaba al parámetro con probabilidad 1 - α. y por lo tanto confiamos que el intervalo calculado es uno de los (1 - α)*100 en 100 que cubre le parámetro .





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 





 Search document

Ejemplo 3 Se sabe que las exportaciones mensuales Y de un determinado producto sigue una distribución normal con varianza σ = 100 se tomó una muestra aleatoria de n =10 meses obteniéndose las siguientes exportaciones en miles de dólares. 2

Mes 1

Mes 2

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Mes 6

Mes 7

Mes 8

Mes 9

Mes 1

28,20

49,15

35,56

55,96

40,77

56,18

50,40

60,65

47,50

50,45

Se pide obtener un intervalo de confianza bilateral simétrico del 95% para: a. La media b. El tercer cuartil. Solución a) Como la población es normal con desviación conocida σo = 10, el pivote ∼ N(0,1)

Raiz(19)*(Ybarra-µ)/10

conduce al Intervalo de confianza 1-α: .ybarra ± z 1-α/2σo/raiz(n) Se tiene ybarra = 47,48, y 1-α = 0,95 así 1-α/2 = 0,975 y z 0,975 = 1,96. Entonces, IC(µ): 47,48 ± 1,96*10/Raiz(10) = 47,48 ± 6,20 = [ 41,28 ; 53,68 ] b) Sea y075 el tercer cuartil, entonces,You're Pr[ Y Reading ≤ y075 ] = 0,75, así, φ(( y075 -µ)/10)=0,75 a Preview Entonces, ( y075 -µ)/10 = 0,67 (tabla normal Unlock full estándar) access with a free trial. Así, y075 = µ + 6,7 Dado que

Download With Free Trial

41,28 ≤ µ ≤ 53,68 con 95% de confianza, entonces,

41,28 + 6,7 ≤ µ + 6,7 ≤ 53,68 +6,7 con 95% Es decir, 47,98 ≤ y075 ≤ 60,38 con 95%




Useful

Otro método es observar que Ybarra + 6,7 ∼ N(µ + 6,7; σ2/10)

 Not useful







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 



 Search document



usaron estimadores insesgados, con distribuciones normales. A continuación, se presentan las estimaciones, varianzas y el porcentaje de aciertos de cada economista en el pasado. Economista Estimación Varianza Aciertos % 1 3,0 0,04 46 2 2,0 0,06 69 i) Combinar las estimaciones anteriores y obtener una tercera estimación ponderada del crecimiento del P.I.B. en el año 2002 ii) Usar el estimador combinado para construir un intervalo de confianza al 95% para el crecimiento del P.I.B. ¿Se puede concluir que el crecimiento será mayor que el 2,2%? S|olución a) T1 ∼ N( θ, V1) T2 ∼ N( θ, V2) ET p = a ET1+ bET2 = a θ + θ b = (a+b) θ = θ VarT p = a2VarT1+ b2VarT2 = a2 V1+ b2 V2 Además la suma ponderadas de n ormales independientes es también una normal, así. T p ∼ N( θ, a2 V1+ b2 V2) b) i) T p = a T1+ bT2

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.


Debemos encontrar los ponderadores a y b que sumen 1. Con la información dada, solamente podemos ponderar usando los % de acierto: a = 46/(46+69) = 0,4; b = 69(46+69) = 0,6; Así, T p = 0,4 T1+ 0,6T2 La estimación ponderada es ii)

Sign up to vote on this title T p (ω ) = 0,4*3+ 0,6*2 = 2,4



Useful

 Not useful







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0

Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents





Sheet Music

of 17


 



 Search document



b) Si se toma una muestra con el número de cuentas establecidas en el punto anterior y se determina que el 10% de ellas son incobrables ¿ Qué Intervalo del 95% de Confianza resulta de ello? c) Compare y comente el I. de C. Propuesto por el gerente con el realmente obtenido en el punto anterior. d) ¿Qué habría pasado con el tamaño de la muestra si en las hipótesis planteadas por la gerente, si ella hubiese dicho lo siguiente. “ La proporción real de incobrables no puede superar el 15%, ya que ello implicaría que la compañía está al borde de la quiebra y tal hecho dista mucho de nuestra realidad financiera” . Solución a) Sea π la proporción de cuentas incobrables en la empresa, y Sea p la proporción de cuentas incobrables en la muestra, p es un estimador de

π ,

Se pide determinar n tal que: P ( p − 0,01 ≤ π ≤ p + 0,01) = 0,95 A partir de la fórmula de I. De C. Para una proporción

0,01 = z 0,975

p(1 − p ) n

π , podemos establecer que:

2

⇒

n=

⎛ 1,96 ⎞ ⎜ ⎟ p (1 − p) ⇒ ⎝ 0,01 ⎠

n = 38.416 p(1 − p )

El tamaño de la muestra depende del valor de “ p” a través de la función: f( p) = p(1- p), esta corresponde a la varianza estimadaYou're del modelo Bernoulli, una solución conocida como el caso de Reading a Preview varianza máxima es buscar aquel valor de p que maximiza dicha función, como esta gráfica Unlock accesspara with p a free corresponde a una parábola invertida que full se anual = 0trial. y para p = 1, entonces el máximo se produce para p = 0,5 y corresponde al valor f(0,5) = 0,25. Así entonces el máximo valor de n esta dado por n = 38.416 * 0,25 = 9.604 cuentas


b)

El I. de C. Para π esta dado por:

0 01 1 96

0,01 * 0,09

 ⎛ p(1Sign ) to vote on this p(title 1 − p) ⎞ − pup ⎜ p − z α ⎟ , p + z 1−α 1− ⎜ ⎟ Useful  Not 2 2 useful  n n ⎝ ⎠

≤ π ≤ 0 01 + 1 96

0,01 * 0,09

⇒ 0 094 ≤ π ≤ 0 106





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents

of 17



 

Sheet Music




 Search document

Ejemplo 6



Sign In

Upload

(

2

)

Sea Y1 , Y2 ,Y3 , ...,Yn una muestra aleatoria de una distribución N µ , σ , se desea determinar el mayor tamaño de muestra posible de tal modo que el valor esperado de la amplitud del intervalo bilateral del 95% de confianza para la varianza, no supere al triple del valor del parámetro que se estima. (a)

Suponga que la media es desconocida

(b)

Suponga que la media es conocida

Solución a)

⎛ (n − 1)S 2 (n −1)S 2 ⎞ , 2 Un I de C para σ ; desconocido µ , está dado por: ⎜ 2 ⎟ χ ⎝ n−1,1−α 2 χ n −1,α 2 ⎠ 2

Amplitud del Intervalo = A =

(n − 1)S 2

χ

2

n −1,α

2

−

(n − 1)S 2

χ

2

n −1,1−α

(n − 1)σ 2

⇒ E ( A) =

χ

2

n −1,α

2

2

−

(n − 1)σ 2

χ

2 n −1,1−α

2

2

2

Ya que S es un Estimador Insesgado de σ

Por lo tanto:

(n − 1)σ 2

χ

2

n −1,α

−

(n − 1)σ 2

χ

2

n −1,1−α

2

≤ 3σ

2

2

⇒

(n − 1)

χ

2

n −1,α

2

−

( n − 1)

χ

n −1,1−α

(n − 1) Usando un nivel de confianza del 95% Reading tenemos que: You're a Preview − 2

χ

n −1, 0, 025

Unlock full access with a free trial.

≤3

2 2

(n − 1)

χ

2 n −1, 0 ,975

≤3

Usando la tabla de la distribución CHI-CUADRADO, por tanteo, vemos que para: n - 1 = 9 grados de libertad

9

Download With Free Trial 9 − = 2,86 ≤ 3 y para n - 1 = 8, dicho valor

2,700 19,073

sobrepasa el valor 3. Así entonces el tamaño de muestra solicitado es

n=9


b)



 Not useful

Useful

2 ⎞ ⎛ (Y − µ ) ( ) Y µ − ∑ ∑ i i ⎜ ⎟ 2 , Un I de C para σ ; conocido µ , está dado por: ⎜ 2 2 ⎟⎟ χ ⎜ χ 2







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17



 


 Search document



a) Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la varianza de los pesos. Compruebe si efectivamente la varianza se puede considerar igual a 49. b) Con la información obtenida en el punto anterior. Construya un intervalo de confianza bilateral simétrico para la media de los pesos. c) ¿Con que tamaño de muestra la amplitud del I.de C al 95%. bilateral para la media se reduciría en al menos un 20% con respecto al obtenido en el punto b)? SOLUCION

a)

El intervalo de confianza del 95% para

σ

2

esta dado por:

⎛ ⎜ (n − 1) S 2 ⎜ ⎜ χ 2 ⎜ (n−1),1−α 2 ⎝

⎞ (n −1)S 2 ⎟⎟ ≤ σ ≤ 2 χ ( n−1),α ⎟⎟ 2

2 ⎠

2

n = 15 ; s = 49,0 ; por lo tanto el I.de C. es: ( 26,3 ; 121,9 ), por lo tanto efectivamente podemos considerar que la varianza poblacional es 49, dado que dicho valor pertenece al intervalo de confianza. b)

Se trata entonces de un I de C para

conocida la varianza, luego el I. de C. esta dado por:

⎛ σ ≤ µ ≤ Y + z σ ⎞⎟ ⎜ Y − z * * ⎜ 1 − α 1 − α n n ⎠⎟ 2 2 ⎝ n = 15 ; y = 132,07 ; por lo tanto el I. de C. es: ( 128,5 ; 135,6 ) c)

Amplitud del Intervalo = 2zσ/Raiz(n) = 0,80*7,1 <=a5,68. Despejando n se obtiene n >= 23,3. Así You're Reading Preview el tamaño de muestra debe ser al menos n = 24. Unlock full access with a free trial.

Ejemplo 8

Download Free Un psiquiatra asociado a cierta clínica afirma en unaWith reunión deTrial médicos que al menos un 36% de todos los dolores crónicos de cabeza son psicosomáticos, es decir no tienen origen orgánico. Sus colegas escépticos, elaboran píldoras con harina y agua que son suministradas a 54 pacientes de la clínica con dolores de cabeza crónicos, a los que se informa que constituyen una nueva medicina para el  dolor de Sign up tode vote this title cabeza, luego solicitan a cada paciente su opinión, las cuales se clasificaron la on siguiente forma:



• •

Mejor que la aspirina: 18 personas. Mas o menos como la aspirina: 5 personas.

Useful

 Not useful





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0

Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents Sheet Music



 

of 17


 Search document



- construccion del intervalo: -





[0,369, ∞]

- El intervalo resultante es no contiene a 0,36, por lo tanto respaldada por los datos.

π > 0,36 y la afirmación del siquiatra está

b) -

[ p − z 1−α

p (1 − p) n

, ∞] y la construcción del intervalo unilateral.

- [0,342, ∞] - Como contiene el valor 0,36 se concluye que los datos no sostienen la afirmación del siquiatra dado que

π

si suponemos que esta en el intervalo, puede ocurrir que 0,342 < tienen razón en acusar al siquiatra de exagerado.

π <0,36.

Así al 98% los médicos

Ejemplo 9 Sea, Y 1 , Y 2 , ...., Y n una m.a.s.(n) de Y ∼ N (0, σ 2 ) . 2 MV

a) Verifica que σ ˆ

∑ =

n i =1

Y i 2

es el estimador de máxima verosimilitud de σ 2

n ¿Cuál es el estimador máximo verosímil del tercer cuartil Q3 de la población? b) Suponiendo que el estimador anterior es insesgado y que su varianza alcanza la Cota de Cramer Rao, encuentra su distribución asintótica. c) Supón que

n = 100

y 2

aproximada 95% para σ . Solución a) Ln (L) = (Ln (L))’ = – nσ2 +

∑

100

yi2 = 666.

Encuentra un intervalo de confianza

i =1

2

Alguien afirma que σ < 7,0. ¿Estas de acuerdo? You're Reading a Preview

2 access2)with a free trial. - 0,5n⋅Ln(2π) – 0,5nLn(Unlock σ2) - full 0,5(1/σ ΣYi

– 0,5n(1/σ2) + 0,5(1/σ4) ΣYi 2

= 0

/ : 0,5

/ *σ4


ΣYi 2

= 0, entonces, σ2gorro = ΣYi 2/n

El tercer cuertil de una normal con media o y varianza tiene Q3^ = 0,67Raiz(ΣYi 2/n)



σ 2 es SignQ3 up=to0,67σ vote onAsí, thispor titleinvarianza se



b) Dado que es insesgado y su varianza es Var( ΣYi 2/n) = (1/n 2) cuadrado n) = (1/n2) 4 2n 2 4 /n

Useful 4

 Not useful

*Var(ΣYi2/σ2) = ( ΣYi2/σ2 ∼ Chi-





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 



 Search document



Ejemplo 10 Sea X1, X2, X3, ...., Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una población X tal que X 2 ≈ N ( µ , σ ) . 1. Suponiendo que la varianza es desconocida y que el tamaño de muestra es pequeño a) Explique en palabras cómo encontraría un intervalo de confianza para el parámetro 3 µ + 2 .

b) Construya paso a paso, un intervalo de confianza del 95% bilateral simétrico para 3 µ + 2 . El método utilizado aquí, NO tiene que coincidir con el descripto en a). 2. Suponiendo que la varianza es desconocida y que el tamaño de muestra es grande c) Esta nueva condición en que afecta al intervalo obtenido en el punto b) ( 0,5 ptos.) 3. Suponiendo que la varianza es conocida d) Esta nueva condición en que afecta al intervalo obtenido en el punto b) ptos.)

( 0,5

Solución 1. a) Dado que la población es normal, la varianza desconocida y la muestra pequeña un intervalo para µ puede obtener vía la distribución la t-student con n-1 grados de libertad)

You're Reading a Preview

por lo tanto un intervalo para

3µ + 2 se puede obtener aplicando la función g(x) = 3x + 2 al intervalo anterior. Unlock full access with a free trial.

Otra solución es encontrar un pivote para 3µ + 2, es decir una variable que sólo dependa de la muestra y


el parámetro 3µ + 2 pero su distribución no dependa de cantidades desconocidas. Luego se despeja el parámetro de la doble desigualdad

Sign up to vote on this title b) 3 Ybarra +2

N (3 + 2, 9

2

/n)



Useful +2  -(3Not Así un pivote es [( 3 Ybarra +useful 2))/(3 /raiz(n))] /

Raiz[ (n-1)S2/σ2/(n-1)] = ( 3Ybarra +2 -(3 + 2))/ [3S/ Raiz(n)]

t n-1





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents


of 17

 



 Search document



3) d) Resulta 3µ + 2 = 3*ybarra +2 ± 1,96*3*σ0/Raiz(6) = 3*ybarra +2 ± 2,4*σ0 En este caso la confianza es exactamente 0,95.



Sheet Music

Ejemplo 11

Sea

Y ,Y , Y ,...,Y una m.a. de una población Y con f.d.p.: 1

2

3

n

f ( y ) = θ y exp{− θ y} 2

≥0

*

Establezca un Intervalo de confianza bilateral simétrico con confianza ( 1- α) para parámetro θ, en base al estimador máximo verosímil del parámetro θ, caso muestra grande. Nota : E (Y ) =

2

V (Y ) =

θ

2

θ

2

Solución La función de verosimilitud es: L(θ) = Πi=1, .. .n { θ2 Yi exp(-θYi) }= θ2n exp(-θΣYi) ΠYi ln( L(θ) ) = 2n*ln(θ) + Σln(Yi) - θΣYi Derivando dln(L)/dθ = 2n/θ - ΣYi = 0, entonces, θ^MV = 2n/ΣYi = 2/Ybarra Por las propiedades asíntoticas de los EMV θ^MV ∼a N(θ , CCR(θ) )


Hay que determinara la Cota de Cramer Rao: Unlock full access with a free trial. 2

2

CCR = - [ E (d ln{L(θ)}/dθ ) ] d2ln{L(θ)}/dθ2 = -2n /θ2

-1


E (d2ln{L(θ)}/dθ2 ) = -2n /θ2 2

Entonces, CCR = θ /2n 2

θ^MV ∼a N(θ , θ /2n )




Useful

 Not useful







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0

Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents





Sheet Music

of 17


 



 Search document



( θ^MV - θ )2*2n ≤ z21 - α/2 Se tiene la inecuación cuadrática en θ: Se tiene que IC(θ):

θ2(1 – z2/2n) -2θ^MV θ + θ^2MV ≤ 0

x1 ≤ θ ≤ x2, donde x1 y x2 sin las raíces de la ecuación cuadrática, así el intervalo es:

( θ^MV ± z1 - α/2Raiz(2n) )/ [ 1- z21 - α/2/2n]

Nótese que dado que n es grande, el intervalo anterior es prácticamente el mismo que el de (**). Método 3 De - z1 - α/2 ≤ ( θ^MV - θ )*raiz(2n)/ θ ≤ z1 - α/2

Se tiene: - z1 - α/2 ≤ ( 2/(θYbarra) - 1 )*raiz(2n) ≤ z1 - α/2 despejando el parámetro se tiene el IC: 2/ [Ybarra*( 1 ± z1 - α/2/raiz(2n) ) ]

Ejemplo 12 En una muestra aleatoria de 1500 personas adultas seleccionadas en Santiago, el 31% opinaban que las drogas es el problema más grave en las escuelas hoy en día.

a) Da un intervalo de confianza al 93% para el porcentaje de adultos que opina que las drogas es el problema más grave en las escuelas hoy en d ía. You're Readingela Preview b) Explica a alguien que no sabe estadística significado de la frase “con 93% de confianza” cuando nos referimos al intervalo calculado en a). Unlock full access with a free trial.

Solución

With Free Trial a) Dado que la muestra es grande n =Download 1500 > 30 según el TLC el margen de error de P al 95% en la estimación del parámetro π = proporción de personas adultas que opina…, es: me = z*Raiz(p(1-p)/1500) = z*Raiz(0,31*0,69/ 1500) = z*0,011942 

Sign vote esto on this title α=0,07 y Donde z es el percentil 1 - α/2 y la confianza que se pide es 1 - αup=to 0,93, implica entonces, 1 - α/2 = 0,965 así el percentil del 96,5% de la distribución según la tabla z = Useful N(0,1),  Notesuseful 1,81, entonces, me = 0,022





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Sign In

Upload

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 





 Search document

b) ¿Sus conclusiones se refieren al universo de todos los habitantes de la comuna? Justifica tú respuesta. Solución a) Aplicaron la fórmula IC(µ): ybarra ± 1,96*s/Raiz(n) = 509.833 ± 1,96*65.625/Raiz(958). b) No, como se trata de una muestra de voluntarios y no aleatoria las conclusiones se refieren sólo a las personas que llamaron, es decir, ellas sólo se representan a si mismas. La muestra no es aleatoria, es de voluntarios y entonces no se aplican las formula del intervalo de confianza para la media basadas en el TLC.

Ejemplo 16 A continuación, se presentan los resultados al lanzar 75 veces un dado necesariamente balanceado): 6 1 4

6 5 6

5 6 2

2 1 6

4 6 4

5 2 4

3 1 5

2 2 2

6 5 6

3 6 3

5 3 2

4 6 4

6 6 6

2 1 1

6 1 5

4 5 4

4 1 3

2 6 1

5 1 5

6 2 5

3 6 4

3 2 1

1 4 3

(no

6 5 6

2 3 1

Considera la población Y = 1 si sale seis, 0 si no. a) Determina la distribución de la población y sus parámetros . b) Con los resultados de los 75 ensayos se puede construir una muestra aleatoria de tamaño n = 75 de la población Y. Anota los primeros cinco valores de la muestra anterior. c) Propone un estimador para el parámetro de la población y obtén una estimación. d) Encuentra el margen de error del estimador propuesto y construye un intervalo de confianza 95% para π. Se sospecha que el dado está cargado al número “seis”, es You're Reading a Preview decir, π =Pr(sale seis) > 1/6. ¿Concluirías que el dado está cargado al número seis? Unlock full access with a free trial.del dado, pero por alguna e) Supón que en realidad se realizaron 150 lanzamientos razón sólo se mostraron los 75 lanzamientos anteriores. Dada la información anterior, ¿podría cambiar tú conclusión b)?Free Explica Download en With Trialporque si ó no. Solución a) La distribución de Y es bernoulli de parámetro π = Pr( Y=1 ) =“Probabilidad de seis”


Es decir la tabla de probabilidades de Yes .y 0 1 p(y) 1-π π



Useful

 Not useful







Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17



 


 Search document



El intervalo de confianza para π al 95% contiene el valor 1/6 = 0,17, que es valor que debería tener π si el dado no estuviera cargado, por lo tanto no podemos afirmar (con confianza del 95%) que π > 1/6 por tanto afirmar que el dado esta cargado a las caras ( porque puede ocurrir que π < 1/6 o π > 1/6). e) En este caso, no sabemos si los 75 lanzamientos son una muestra aleatoria simple de Y y por lo tanto los resultados en c) no son válidos. La situación anterior, equivale a planear una muestra de n = 150 y que sólo respondan 75.

Ejemplo 14 Se observa durante 100 días hábiles la rentabilidad de una acción en la bolsa. Los 100 valores anteriores los consideraremos una muestra aleatoria de n = 100 de la población Y = rentabilidad (%) de la acción en un día cualquiera. De la muestra se obtiene: Suma 2 = 2004,75 % y Suma de cuadrados = 53.000, % 2 a) Utiliza los estimadores naturales para obtener estimaciones de µ = E(Y) y σ Var(Y). 2σ 4 2 b) Supón que la distribución del estimador S es normal con varianza n −1 2 Encuentra el margen de error y construye un intervalo de para σ al 90% de confianza. 2 c) La varianza σ mide la volatibilidad o riesgo de la acción. Un inversionista esta dispuesto a comprar acciones si su volatibilidad es menor que 170. Considerando el intervalo de la parte c), ¿debe el inversionista comprar las acciones?

Solución a) Estimadores naturales de la media y varianza:


µ^(ω ) = Ybarra = 2004,75/100 = 20,0475 Unlock full access with a free trial. σ2^(ω ) = s2 = ( 53.000 – 100 (20,0475) 2 )/99 = 129,4

Download With Free b) Según el modelo de intervalo θ = θ^ ± z ee(θ^), donde θ^ Trial es insesgado con respecto a θ y normal , 2 2 entonces, como θ^ = S es insesgado con respecto a θ = σ y el enunciado dice que es normal con varianza

2σ 4 n −1

2

, entonces, un intervalo con 90% IC(σ ):

30. Entonces: IC(σ2 ): 129 ± 30 = de 99 a 159

s

2

2 s 4

± me donde me = 1,64*Raiz(




Useful

99

)

 Not useful

c) El intervalo en b) permite afirmar que σ2 < 170. Por lo tanto, el inversionista si debería invertir en el valor usando su criterio.





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 



 Search document



b) Utiliza los estimadores naturales para obtener estimaciones de µ = E(Y) y la 2 varianza σ = Var(Y). c) Encuentre el margen de error del estimador de µ y construye un intervalo de confianza 95% para ese parámetro. d) Un inversionista esta dispuesto a comprar acciones si su rentabilidad media supera el 5%. Considerando el intervalo de la parte c), ¿Debe el inversionista comprar las acciones? Solución a) Diagrama de tallo y hoja. -4 8 -3 -2 1 -1 5 0 1 8 2 9 1 2 3 4 6 3 2 7 5 1 4 0 5 9 6 6 1 7 8 4 7 9 10 3 11 12 6


No se observa asimetría evidente, ni puntos atípicos.


b) Estimadores naturales de la media y varianza:


µ ^(ω ) = ybarra = 98/22 = 4,5 σ2^(ω ) = S2 = ( 767,08 – 22 (4,5) 2 )/21 = 15,3 σ^(ω ) = S = Raiz( 15,3 ) =3,91 c)




Dado que no hay asimetría ni puntos atípicos y la muestra es pequeña n = 22 < 30 utilizaremos el Useful Not useful coeficiente de la distribución t-Student con n –1 grados de l ibertad, para  calcular el margen de error: me = t* s/Raiz(n)





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

1

Download



News



Documents



Sheet Music

of 17


 



 Search document



Ejemplo 16 A continuación, se presentan los resultados de una prueba sobre comprensión de lectura de una muestra aleatoria de 44 niños, alumnos de tercero básico de los colegios de una comuna del Gran Santiago.

40 47 52 47

26 19 25 35

39 26 35 48

14 35 35 22

42 34 33 33

18 15 29 41

25 44 34 51

43 40 41 27

46 38 49 14

27 19 31 46 28 52 54 45

a) Creemos que la distribución de los resultados en la prueba es aproximadamente normal. Dibuja un diagrama de tallo y hoja de la distribución de los 44 resultados, describe su forma, ¿hay valores atípicos? b) Estima la media y desviación estándar de los resultados que habrían obtenido en la prueba todos los alumnos de tercero básico de los colegios de la comuna. c) Supón que se sabe que la desviación estándar de la población de los resultados de la prueba es σ = 11. Construye un intervalo de confianza al 94 % para la media de los resultados que habrían obtenido en la prueba todos los alumnos de tercero básico de los colegios de la co muna. d) Una persona interpreta el intervalo (a,b) calculado en c) diciendo que “el 94% de todos los alumnos de tercero básico de la comuna tienen puntuaciones entre a y b” ¿Tiene razón? Justifica tu respuesta. e) ¿Confiarías en tus conclusiones en b) si los resultados provinieran de un curso de tercero básico de uno de los colegios de la comuna? Justifica tu respuesta.


Solución a) Diagrama de tallo y hoja. 1 2 3 4 5

489954 657659827 95481553453 02367406197815 2214

6 9 11 14 4






Se observa cierta asimetría hacia la derecha y no hay valores atípicos. Notar además, que no hay valores  Useful  Not useful poco frecuentes en la s colas lo que posiblemente se deba al tamaño de la muestra, es decir, el gráfico n muestra evidencia clara contra la normalidad.





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join



Search



Home



Saved

518 views

0



Upload

Sign In

Join

RELATED TITLES

0







Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines










Save

Embed

Share

Print

Download



News



Documents



Sheet Music

1

of 17


 



 Search document



b) No, el intervalo significa que hay una confianza del 94% de que el intervalo de 31,9 y 38,3 contenga la media de los puntajes de todos los alumnos de tercero básico de la comuna. Es decir, si repetimos 100 veces la selección de 44 alumnos de la comuna en 94 de las veces, aprox., el intervalo construido contendría la media poblacional. c) No porque en ese caso la muestra de alumnos no sería aleatoria. De hecho la muestra podría estar muy sesgada, por ejemplo si los alumnos pertenecen a un colegio particular o a uno municipal.

Ejemplo 17 La empresa Time Ibope ha instalado monitores electrónicos en los aparatos de televisión de una muestra de 450 de los 1.230.393 de los hogares del Gran Santiago. Con los datos obtenidos de los monitores se obtiene la proporción de hogares que sintonizan un programa XX de TV (rating-hogares de XX).

a) Describe el universo del estudio, población, parámetro de interés y la muestra. b) Propone un estimador para el rating del programa XX, explica sus propiedades. c) Supón que el programa XX fue visto por 329 hogares de la muestra. Estima el rating del programa, el margen de error y construye un intervalo de confianza al 95%. ¿Qué supuesto sobre la muestra es necesario hacer para que los resultados anteriores sean estadísticamente válidos? d) Un ejecutivo del canal afirma que el rating obtenido por XX es record, pues el anterior era un 70%. Un experto estadístico dice que no hay evidencia para confimar lo que dice el ejecutivo y que el rating pudó ser inferior al record histórico. Justifica estadísticamente lo que dice el experto y explica en en lenguaje que el ejecutivo pueda entender por qué no podemos estar seguros que el rating de XX superó el 70% y que incluso pudó ser menor. e) ¿Cuál debió ser el tamaño de la muestra (mínimo) para dar la razón (al 95%) al You're Reading a Preview ejecutivo de la parte d)? Supón la misma estimación del parámetro. Solución


a) Universo : los 1.230.393 de los hogares del Gran Santiago. Población: Y = 1 si el hogar esta mirando el programa XX, 0 siTrial no. Download With Free Parámetro: π = Proporción de los 1.230.393 de los hogares del Gran Santiago que sintonizaron el programa XX. Muestra de n = 450 hogares. 


b) El estimador natural del parámetro es, π^ = P = Proporción de la muestra que sintonizaron Useful en  Not useful hogares el programa XX. El estimador anterior es insesgado, consistente y, del TLC, tiene una distribución asintotica normal.





Home



Saved



Top Charts



Books



Audiobooks



Magazines



News



Documents



Sheet Music



Upload

Sign In

Join

Ejercicios Resueltos Estadística - Intervalos de Confianza

Recommend Documents