EJERCICIOS PROPUESTOS PARA INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
1. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente aproximadamente de manera normal, y que tiene una desviación estándar = 0.001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de ̅ = 74.036 mm. a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para el diámetro promedio del anillo. b. Construya un límite inferior de confianza del 95% para el diámetro promedio del anillo. 2. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de = 25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de ̅ = 1014 horas. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la l a duración promedio. 3. Un ingeniero civil analiza la resistencia a la comprensión del concreto. La resistencia está distribuida aproximadamente aproximadamente de manera normal, con con una varianza = 1000 (psi)2. Al tomar una muestra aleatoria de 12 especímenes, se tiene que ̅ = 3250 psi. a. Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para la resistencia a la compresión promedio. b. Construya un intervalo de confianza bilateral del 99% para la resistencia a la compresión promedio. Compare el ancho de este intervalo de confianza con el ancho encontrado encontrado en el inciso i nciso a. 4. En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el montaje de cierta pieza de una maquina, 40 trabajadores hicieron un promedio de 42.5 minutos con una desviación típica de 3.8 minutos. Usar los datos para construir un intervalo de confianza de 98% 98% de tiempo promedio promedio verdadero necesario para montar la maquina. 5. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de un muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. 6. En un experimento de laboratorio 50 estudiantes de ingeniería midieron por separado el calor específico del aluminio, obteniendo una media de 0.2210 calorías/°C/g. Se sabe que la desviación estándar de la población es 0.0240 ¿Qué podemos asegurar, con una
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probabilidad de 0.95, con respecto a la posible magnitud de error, si la media de la muestra se utiliza para estimar el verdadero valor específico del aluminio? 7. Para tratar de estimar la media de consumo por cliente, en un gran restaurante, se reunieron datos de una muestra de 49 clientes durante un periodo de tres semanas. Si la media de la muestra es de $ 22.60 dólares, ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la media de la población? Considere la desv. Estándar poblacional = $5.60 dólares. 8. Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil en la ciudad de Bogotá indica que los automóviles recorren anualmente en promedio 25 000 kilómetros. Si la desviación estándar poblacional es de 4000 kilómetros. Calcule e interprete un intervalo de confianza 2
del 95% para el verdadero recorrido promedio anual.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
1. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos
diámetros
son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03
centímetros. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina, si supone una distribución aproximadamente normal. 2. Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. Determine un intervalo de confianza del 99% para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que la distribución de los contenidos de nicotina es aproximadamente normal. 3. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza de las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio 48.50 con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones están normalmente distribuidas, determine un intervalo de confianza del 90% para la dureza Rockwell promedio. 4. Una muestra aleatoria de 12 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. Suponiendo que las palabras están normalmente distribuidas, determine un intervalo de confianza del 95% para el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela. 5. Los datos que a continuación se le dan son los pesos en gramos del contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el propósito de verificar el peso promedio: 506 514
508 505
499 493
503 496
504 506
510 502
497 509
512 496
a. Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal, obtenga un intervalo de confianza de 90% para la verdadera media de llenado de este proceso. b. Calcule al mismo nivel de confianza el invervalo de confianza de la desviación estándar del llenado de cereal. 6. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra de n =10 de esta clase de valores. La media y desviación estándar resultaron: ̅ = 8.71% y s = 2.1%. Estime el verdadero rendimiento anual promedio para esta clase de valores usando un intervalo de confianza del 95%. 7. Un muestreo aleatorio de n =24 artículos en un supermercado presenta una diferencia entre el valor marcado del artículo y el valor real de éste. La media y la desviación estándar de las diferencias entre el precio marcado y el real en los 24 artículos son $37.14 y $6.42 respectivamente. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia media entre el valor marcado y el real por artículo en ese supermercado. 8. Un contratista ha construido un gran número de casas aproximadamente del mismo tamaño y del mismo precio. El contratista afirma que el valor promedio de estas casas no excede de $35,000 dólares. Un corredor de bienes raíces selecciona aleatoria mente 5 de las casas construidas recientemente por el contratista y averigua los precios que resultan ser: $34,500, $37,000, $36,000, $35,000 y $35,500. ¿Contradicen estas cinco observaciones la afirmación del contratista acerca del valor promedio de sus casas?. Use α =0.05
9. Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero peso promedio. 10. Se obtiene una muestra de 16 estudiantes con una ̅ = 68 y una varianza de s 2 = 9 en un examen de estadística. Suponga que las calificaciones tienen una distribución normal; determine un intervalo de confianza del 98% para la media poblacional.
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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
1. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad. 2. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. 3. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de miopes de toda la población. 4. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población. 5. Una muestra aleatoria de automóviles tomada en una zona turística ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de matrículas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368. a. Determine el valor de la proporción estimada a través de esa muestra y una cota del error de estimación a este nivel de confianza. b. Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería la cota de error, si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 696 matrículas. 6. Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporción de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporción muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimación, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%. 7. En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporción de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%. 8. Se estima la proporción de varones adultos, residentes en una población, con obesidad severa 30 IMC 40 , mediante una muestra aleatoria de tamaño 500. Se obtiene una estimación de varones con obesidad severa del 18%. Utilizando un nivel de confianza del 98%, ¿cuál es el error máximo que se cometerá al estimar, por medio de un intervalo de confianza, esa proporción?.
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INVERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR En los ejercicios 1 a 4 calcula el intervalo de confianza para varianza y la desviación estándar con los siguientes datos. 1. Estatura de mujeres: confianza 95%; n=10; ̅ =63.4 pulg; s=2.4 pulg. 2. Promedio de calificaciones: confianza 99%; n=15; ̅ =2.76; s=0.88. 3. Puntajes en una prueba: confianza 90%; n=16; ̅ =77.6; s=14.2. 5
4. Salarios de policías: confianza 95%; n=19; ̅ =$23 228; s=$8 779. 5. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que las baterías que produce duran en promedio 2 años, con una desviación típica de 0.5 años. Si 5 de estas baterías tienen duración 1.5, 2.5, 2.9, 3.2, 4 años, determine un intervalo de confianza del 95% para la varianza e indique si es válida la afirmación del fabricante. 6. Se extrajo una muestra aleatoria de 16 plantas para estimar la varianza en la conoce las plantas halladas en el Río Tinto. Se quemaron las plantas, se analizaron sus ceniza siguientes observaciones con respecto a X , concentración de cobre (en partes por mi X está normalmente distribuida): { 5, 3, 34, 18, 27, 14, 8, 50, 38, 43, 35, 20, 70, 25, 60,19} Calcular el intervalo de confianza del 90 % de la desviación típica poblacional. 7. En una muestra de tabletas de aspirinas, de las cuales observamos su peso expresado en gramos, obtenemos: 1,19; 1,23; 1,18; 1,21; 1,27; 1,17; 1,15; 1,14; 1,19; 1,2. Suponiendo la normalidad para esta distribución de pesos, determinar un intervalo al 80% de con fianza para la varianza. 8. La panificadora de Soriana produce bizcochos que se empacan en cajas cuyos rótulos dicen que contienen 12 bizcochos con un peso total de 42 oz. Si la variación entre los bizcochos es demasiado grande, algunas cajas pesarían menos de lo debido y otras más. El supervisor de control de calidad determinó que se puede evitar problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 oz y una desviación estándar de 0.06 oz o menos. Se seleccionan aleatoriamente 12 bizcochos de la línea de producción y se pesan. Construya un intervalo de confianza al 95% de nivel de confianza para concluya si el supervisor de control de calidad está en problemas. 3.43
3.37
3.58
3.50
3.68
3.61
3.42
3.52
3.66
3.50
3.36
3.42
2
y
,
y luego
TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA 1. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir un de error de 3 centésimas como máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el número de individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra. 2. Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción
p
de individuos
daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n . Si el porcentaje de individuos daltónicos en una muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mínimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación sea inferior a 0,031. 3. Se desea conocer el peso promedio de una determinada clase de pescado con un error de estimación de 0.02 y con un nivel de confianza del 99%. Por datos anteriores se sabe que el peso mínimo es 1.48 libras y el máximo es de 2.47 libras. ¿De qué tamaño debe escoger la muestra? Suponga que los pesos de estos pescados se distribuyen normalmente. 4.
Para estimar la proporción de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado una muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. ¿Cuál es el mínimo tamaño muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa proporción a un nivel del 95% tenga una cota de error de 0.06, como máximo?
5. Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas sigue manteniéndose en el 25% de los espectadores. ¿Cuántos espectadores se deberían encuestar al azar, como mínimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error en la estimación de la proporción actual sea igual o inferior a 0,03? 6. Calcule el tamaño mínimo de una muestra aleatoria de jóvenes entre 18 y 25 años para tener una confianza del 95% de que el error que se cometerá al estimar la proporción de fumadores entre esas edades no sea superior a 0.05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jóvenes. 7. Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. ¿Cuántas cajas debe escoger para que se cumplan los requisitos propuestos?
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SOLUCIONES INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MÍNIMO DE MUESTRA
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA
1a. E=0.00067; 2a. E=0.0005; 2. E=10.9565; 3a. E=17.8904; 3b. E=23.5119; 4. E=1.46; 5a. E=0.0980; 5b. E=0.1288; 6. E=0.0067; 7. E=1.5680; 8.
(74.0353, 74.0367) 7
(74.0355, 74.0365) (1003.0435, 1024.9565) (3232.1096, 3267.8904) (3226.4881, 3273.5119) (41.04, 43.96) (2.5020, 2.6980)
Distribución t
(2.4712, 2.7288) (0.2143, 0.2277) (21.0320, 24.1680)
E=783.9856; (24216.0144, 25783.9856)
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA
1.
E=0.0280;
(0.9776, 1.0336)
2. 3.
E=1.1135; E=0.7776;
(1.4865, 3.7135) (47.7224, 49.2776)
4. 5a. 5b.
E=4.9559; E=3.3037;
(74.3441, 84.2559) (500.45, 507.05) (4.803, 8.911)
6. 7.
E=1.5022; E=2.7109;
(7.2078, 10.2122) (34.4291, 39.8509)
8. 9. 10.
E=1194.195; (34405.80, 36794.20) E=5.4104; E=1.9519;
(70.2566, 81.0774) (66.0481, 69.9519)
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
1. 2. 3. 4. 5a. 5b. 6. 7. 8.
E=0.0747;
(0.3753, 0.5247)
E=0.0453; E=0.1374; E=0.0360;
(0.3047, 0.3953) (0.2126, 0.4874) (0.5640, 0.6360)
E=0.068; E=0.0341;
̂=0.3 (0.2662, 0.3343)
E=0.0260;
(0.3040, 0.3560)
E=0.0380; E=0.0400;
(0.1620, 0.2380) (0.1400, 0.2200)
8
INVERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8
2
=(18.187, 2 =(0.346, 2 =(121.004, 2 =(44003631.453, 2 =(0.304, 2 =(226.320, 2 =(0.001, 2 =(0.006,
128.115); 2.661) ; 416.557) ; 168547917.692) ; 6.989) ; 779.106) ; 0.003) ; 0.034) ;
=(4.265, =(0.588, =(11.000, =(6633.523, =(0.551, =(15.044, =(0.030, =(0.077,
11.319) 1.631) 20.410) 12982.601) 2.644) 27.912) 0.056) 0.185)
