Tema: Intervalos, Inecuaciones de primer y segundo se gundo grado y Aplicaciones.
INTERVALOS INTERV ALOS
1. Definición: Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados l lamados extremos.
Ejemplo de Intervalo: I= a, b ; donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el extremo superior del mismo, además a
OBSERVACIONES :
que conviene recordar:
a b se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.
b a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.
Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a b , al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “ a b , a menor que b” o de derecha a izquierda, “ b a , b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.
a b se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos b a , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas.
Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.
Si a b y b a , entonces se puede concluir que a = b.
Cuando a y b no son iguales se escribe a b .
PROPIEDADES Propiedad transitiva,
si a b y b c , entonces a c , dicho lo mismo de otro modo:
Si a b y b c a c , y edemas a b c
Si a b y c d entonces a c b d .
Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número, positivo, la desigualdad no varía, esto es: Si a b y c 0 a c b c .
Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número
Si dos números, cualquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, esto es: a b
1 a
1 b
2. Clases de intervalos: 2.1 Intervalos Abierto: Es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
En
otras
palabras I= a, b = x R / a x b ,
observa
que
se
trata
de
desigualdades estrictas.
También se expresa en ocasiones como: I= a, b
Gráficamente:
a
b
2.2 Intervalo Cerrado: Es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.
En otras palabras I= a, b = x R / a x b , observa que ahora no se trata desigualdad estricta.
Gráficamente:
a
b
2.3 Intervalo Semiabierto: Es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.
Intervalo Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras I a, b x R / a x b , observa que el extreme que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. También se expresa en I a, b .
Intervalo Semiabierto por la izquierda , o semicerrado por la derecha, el extremo inf er ior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras I a, b x R / a x b , observa que el extreme que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. También se expresa en I a, b .
Gráficamente:
a
b
a
b
Semirrectas reales:
Semirrecta de los números positivos I 0, , es decir, desde cero hasta infinito.
Semirrecta de los números negativos I , 0 , es decir, desde el menos infinito, el
infinito negativo, hasta cero. Con lo que toda la recta de los números reales seria I ,
Ejercicios resueltos: 1. Grafica los siguientes intervalos: a. 2,5 b. 7, 2
c. 3,6
4,9
d.
Solución
a. -2 5 b. -7 2 c. 2. Dados los intervalos: A 3, 5 y B 6,3
-3
6
d. -4
9
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) A B b) A B c) A B Solución (por el docente en clase) EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL I
1. Escribe el signo (pertenencia), o (no pertenencia), según corresponda en cada caso: a)
1,998……… 2, 4
b)
3 …………. 1, 2
d)
11 12
e)
………… 1, 2 ………….. 3,4
2 ………… 1, 3
c) f)
…………. 1, 3
e
2. Grafica los siguientes intervalos: a) 0,3 b) 1, 4 c) 3,3 d)
1 1 2,3 e) , 2 f) 1 , 4 2 3
3. Dados los intervalos: A 4,9 , B= 3,6 Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones. a) A B
b) A B
c)
C
A
d)
B
c
e) B A
NIVEL II 4. escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos. a)
3
x b)
1
x 4 c)
3 x 5 f) x 5
g)
1 3
x
3 4
h)
2 3
x 2
5. escribir como una desigualdad los siguientes intervalos: a) 0,3 b) 1, 4 c) 3,3 d)
1 2,3 e) , 2 f) 2
1 1 3 , 4
6. considerar los siguientes intervalos: A 5,3 , B 2,12 , C 7,25 Y D R Hallar las siguientes operaciones: a) AB b) ( A B ) C c
c) Bc ( A B )
d) B (C A)c
e) ( A B ) C
f) (C B) ( A C)
g) R A
h) R B
i) R C
INECUACIONES
A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar otros signos llamados de desigualdad. Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones
no es menor que 415 kg
875 - 4( x) 415 DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinadas valores de la incógnita o incógnitas.
I NECUACIONES DE PRIM ER GRADO
Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Una inecuación de primer grado es una expresión de la forma: ax b 0 ax b 0 ó ax b 0 donde a 0 .
ax b 0 ,
Se resuelve despejando la incógnita x. Ejemplo 1 Resolver la inecuación:
2( x 2) 3( x 3) 6
5
Solución: El mínimo común múltiplo de los denominadores es 6. 2 x 4 3x 9 6
5
5 x 5 6
5 5 x 5 30 5 x 35 x
35 5
x 7
Es decir el conjunto solución de la inecuación planteada es el intervalo , 7 Su grafica es: 2
1
3
2
Ejemplo 2. Resolver la inecuación: 3( x ) ( x 3)7 2x 2
1
3
2
Solución: 3( x ) ( x 3) 2x 3 x 2
( x 3) 4x
3 x 2
2
9 x 7 x
3 x 3 2
6 x 4 3x 3
7 9
7 El conjunto solución es: , 9
-7/9
Ejemplo 3. Dada la inecuación: 3 x 5 3 x 1 Solución: 3 x 5 3 x 1 3 x 3x 5 1 5 1 (esto es falso).
Por lo tanto no existe solución. Ejemplo 4 Resolver la inecuación: 3 2 x 3x 7 x 3 Solución: 3 2 x 3x 7 x 3 3 2 x 3x 7 3 7 3 x 2x
3 x 7 x 3 3 x x 7 3
10
5
x
x 2
2 x . El conjunto solución es:
EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL- I En los siguientes problemas resuelva cada desigualdad y haga la grafica del conjunto solución: 1. 4 x 2 x 4
2. 3 x 3 x 3
3. 3( x 3) 3
4. 3(3 x ) 3
5. 4 3(3 x) 6
6.
8. 0 2 x 4 6
9. 5 x 4 5
1
( x 3) x 5 3 x x 10. 1 1 2 3
7.
11.
x 2
x
x
2
5
3
Resolver las siguientes inecuaciones y haga la grafica del conjunto solución:
3. 5.
4 x 5 6x 1 2 x 1 3
2 x 2 3
7. 3
2.
3x 3
4.
2
x
4 x 3 3
5 2x 3
3x 2 4
8.
9. x 2 5x 1 x ( x 2) 11.
x 3 5
x4 3
1 3
2 x 1 2
3 x 1 4
x 12 3
1
1 x
2 x 2
6.
9
x
2 5
( x 2)
5x 3 4
1
12. 5(2 x 3) ( x 1) 2x 2
I NECUACI ONES CUADRÁTICAS
Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas: ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0
x2 3
10. (2 x -2)(x 5) ( x 4)(2x 7)
7
3
12. 5 x 1 x 2
( x 1) ( x 3)
NIVEL II
1.
x
ax 2 bx c 0 ax 2 bx c 0
Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el discriminante: b2 4
Caso I: Si 0 . El polinomio p( x) ax2 bx c ; es un trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo: Sea p( x) x 2 6x 9 , Como 0 entonces p( x) x 2 6 x 9 ( x 3) 2 , tenemos: i) ( x 3)2 0
CS.=
ii) ( x 3)2 0
C.S.= - {3}
iii) ( x 3)2 0
C.S.= {3}
iv) ( x 3)2 0 C.S.= Caso II: Si 0 , entonces hay dos valores reales diferentes r1 r 2 que anula al trinomio P( x ) ax 2 bx c , es decir el polinomio es factorizable . ax 2 bx c a ( x r1 )(x r2 )
Para factorizar se puede utilizar el aspa simple ó la formula general. Formula general: x
b b 2 4ac 2a
Luego se resuelve las desigualdades aplicando el criterio de los puntos críticos. Método de los puntos críticos:
1. Transponemos todos los términos de la inecuación al primer miembro. El coeficiente de la variable con mayor exponente tiene que ser positivo. 2. Se factoriza totalmente la expresión obtenida en el primer miembro. 3. Se calculan los puntos críticos, los cuales son los valores que asume la incógnita al igualar a cero cada factor lineal. 4. Se ubican los puntos críticos en la recta numérica. 5. Cada intervalo determinado por los puntos críticos consecutivos, se señalan alternadamente de derecha a izquierda con signos (+) y (-). Se iniciará con el signo (+). 6. Casos: Si la inecuación admite como signo de la relación: 0 ó 0 se escogen los intervalos que tengan el signo (+) Si la inecuación admite como signo de la relación: 0 ó 0 se escogen los intervalos que tengan el signo (-) Si la inecuación es ó en los puntos críticos serán abiertos. Si la inecuación es ó en los puntos críticos serán cerrados.
Ejemplos: 1. Resolver: 2 x 2 x 1 0 Solución: Como 0 , entonces factorizamos el polinomio
2 x 1 x 1 0
2 x 2 x 1 0
Puntos críticos: 2 x 1 0 ; x 1 0 1 x ó x 1 2
1 Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real: CS. ,1 2 +
-
+
-1/2
1
Se eligen los intervalos donde están los signos (-) y los intervalos son ABIERTOS. 1 Entonces CS.= ,1 2
2. Resolver: 3 x 2 5 x 2 0 Solución: Como 0 , entonces factorizamos el polinomio 3 x 2 5x 2 0 3 x 1 x 2 0 Puntos críticos: 3 x 1 0 ; x 2 0 x
1 3
ó x 2
Luego los puntos críticos lo ubicamos en la recta real: +
+
-2
1/3
Se eligen los intervalos donde están los signos (+) y los intervalos son cerrados. 1 Entonces: CS.= , 2 , 3
3. Resolver: x 2 x 2 0 Como 0 , entonces factorizamos el polinomio x 2 x 2 0 x 1 x 2 0 Puntos críticos: x 1 0 ; x 2 0 x 1 ó x 2 Luego los puntos críticos lo ubicamos en la recta real: +
-2
+ 1
Se eligen los intervalos donde están los signos (-) y los intervalos son cerrados.
Entonces: CS.= 2,1 4. Resolver: 6 x 2 x 1 0 Solución: Como 0 , entonces factorizamos el polinomio
3 x 1 2x 1 0
6 x 2 x 1 0
Puntos críticos: 3 x 1 0 ; 2 x 1 0 x
1 3
ó
x
1 2
Luego los puntos críticos lo ubicamos en la recta real: +
+
-1/3
1/2
Se eligen los intervalos donde están los signos (+) y los intervalos son abiertos. 1 1 Entonces: CS.= , , 3 2
CASO III: 0 Sea: ax 2 bx c una expresión cuadrática con a 0 y supongamos que el discriminante de la fórmula cuadrática b 2 4ac 0 , luego: i. ii.
Si a 0 , entonces ax 2 bx c 0 para todo x R , luego el CS.= R Si a 0 , entonces ax 2 bx c 0 para todo x R , luego el CS.= R
Ejemplo: Sea P( x) 4x 2 2x 3 , su 0 Pero P( x) siempre es positive, para todo x R ; porque si completamos cuadrados tendríamos: 2 2 1 1 3 1 11 3 2 1 P( x ) 4x 2x 3 = 4 x x = 4 x = 4 x 4 16 4 4 16 2 4
2
2
1 11 = 4 x 4 4
Entonces: a) P( x) 4x 2 2x 3 0
CS.= R
b) P( x ) 4x 2 2x 3 0
CS.= R
c) P( x ) 4x 2 2x 3 0
CS.=
d) P( x ) 4x 2 2x 3 0
CS.=
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. x 2 4 0 2. x 2 9 0 3. x 2 9 0 4. x 2 9 0 5. x 2 1 0 6. x 2 5 x 6 0 7. x 2 6 x 9 0 8. x2 3 x 10 0 9. x 2 x 2 0 10. x 2 2 x 35 0 11. x 2 2 x 2 0 12. x 2 5 x 14 0 13. 36 x 2 36 x 5 0 14. x 2 x 6 0 15. x 2 2 x 1 0
16. x( x 2) 5 17. ( x 2)2 6 x 2 18. (2 x 1)( x 2) ( x 1) 2 19. x( x 3) 1 5( x 3) 20. ( x 3)2 3 x 5 21. ( x 2)( x2 x 1) 0 22. ( x 1)( x 2)( x 3) 0 23. 18 x 2x 2 0 24. ( x 2)( x 3) 2 x 25. 9 x x 2 26. (2 x 3)( x 3) ( x 1)(3x 2) 27. ( x 1)2 ( x 2) 2 3x 2 7x 1 28. (2 x 1)( x 3) 9 ( x 1)( x 4)
APLI CACIONES DE LAS INECUACI ONES LI NEAL ES Y CUADRÁTI CAS
La resolución de problemas expresados con palabras algunas veces puede implicar desigualdades, como lo ilustran los siguientes problemas. 1. Tr an sporte aé r eo Un pequeño avión monomotor puede transportar un peso máximo de 1800 libras. Milagros Ramírez, la piloto, tiene que transportar cajas que pesan 50 libras cada una. Plantea una desigualdad que pueda usarse para determinar el número máximo de cajas que Milagros puede transportar de forma segura en su aeroplano, tomando en cuenta que ella pesa 125 libras. Determina el número máximo de cajas que Milagros puede transportar. 2. Néstor Pedroza, un conserje, debe trasladar varias cajas con libros del primero al quinto piso. El letrero del elevador dice "Peso máximo 800 libras". Si cada caja de libros pesa 70 libras, calcule el número de cajas que Néstor puede subir al elevador, si su peso es de 170 libras y sube con las cajas al elevador. 3. En 1993 el operador de telefonía celular Pacific Bell, cobraba 0.15 dólares por el primer minuto, mas 0.14 dólares por cada minuto adicional (o fracción), si el cliente estaba inscrito en el plan A. ¿Cuantos minutos (máximo y mínimo) puede hablar, en una misma llamada, una persona que cuenta con mas de US$ 2.00 pero con menos de US $4.50?
10 Departamento de ciencias
4. Cálculo de calificaciones En un curso de Matemática Básica, una calificación promedio mayor o igual a 80 y menor que 90 tiene como resultado una nota de B. Moisés Cruzate recibió calificaciones de 85; 90; 68 y 70 en sus primeros exámenes. Para que Moisés reciba una nota final de B en el curso, ¿entre cuáles dos calificaciones debe estar su quinto (y último) examen? 5. Temperatura corporal La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6ºF. Si una temperatura x que difiere de la normal por lo menos 1,5 es considerada no sana, escriba la condición para una temperatura no sana x como una desigualdad. y resuelva para x. 6. Voltaje doméstico En estados unidos el voltaje casero normal es de 115V. Sin embargo, no es raro que el voltaje real difiera del normal en 5 voltios, cuando mucho. Exprese esta situación como una desigualdad. Utilice x como el voltaje real y resuelva para x. 7. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La distancia s (en pies) de la pelota al suelo después de t segundos es S 80t 16t 2 . ¿Calcula el intervalo de tiempo en que la pelota está a menos de 96 pies del suelo? (Ver figura.) 8. Repita el problema anterior para determinar cuando la pelota está a más de 64 pies del suelo.
s 80t
96 p
11 Departamento de ciencias
