UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ ± FILIAL AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERÍAS Estadística y Probabilidades II EJERCICIOS SOBRE INTERVALOS DE CONFIANZA. 1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. El contenido en nicotina de estos cigarrillos sigue una normal con una desviación estándar de 1 miligramo. a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos. b) El fabricante garantiza que el el contenido promedio promedio de nicotina es 2.9 miligramos, ¿qué puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado? 2. Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron 15 operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva máquina adquirida por la empresa: 3.5 2 2.5 4 2.5 3.5 2.9 4 6 4.9 7 4.8 5.2 4.7 4 Supongamos que los tiempos se distribuyen normalmente. a) Determina e interpreta un intervalo interval o del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio. b) El instructor considera que el tiempo promedio requerido por los trabajadores es mayor que 5 minutos, ¿qué se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado? 3. La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm 2, con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm 2. Utilice un nivel de confianza del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte. 4. Queremos medir la diferencia en ventas entre dos categorías de empleados. Una está formada por personas con título superior y la otra por personas con estudios secundarios. Tomamos una muestra de 45 empleados del primer grupo y la media de ventas resulta ser 32. Tomamos una muestra de 60 empleados del segundo grupo y la media obtenida es 25. Supongamos que las ventas de los dos grupos siguen una distribución normal con varianza 48 para el primer grupo y de 56 para el segundo. a) Calcula un intervalo del 90% de confianza confianza para la verdadera diferencia de las medias. b) De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que las ventas medias de los grupos son iguales? 5. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. 6. En una encuesta de opinión realizada en Lima, en el mes 1 una muestra aleatoria de 200 individuos ciudadanos de Lima indicó que 20 de ellos se abstienen de opinar. En el mes 2 otra muestra aleatoria de 200 ciudadanos demostró que 12 de ellos se abstienen de opinar opinar sobre el mismo asunto. En el nivel de significación de 0.05, verificar la afirmación de que la diferencia p1-p2 es menor que 5% donde p 1-p2 son las proporciones de todos los ciudadanos que se abstienen de opinar a) Determinar un intervalo de confianza del 98% para la diferencia Q1 Q 2 , donde es la media de toda la producción y Q 2 es la media de toda la producción vespertina. b) ¿Es acertada la decisión del ingeniero si infiere que no hay diferencia significativa en la producción de los dos turnos? Q1
7. Se desea saber si hay diferencia entre el tiempo (en minutos) que tardan los empleados de la pizzería A y los de la pizzería B en atender un pedido. Tomamos una muestra de 14 empleados de A y obtenemos una media muestral de 17 minutos y una varianza muestral de 1.5. Tomamos una muestra de B de 25 empleados obteniendo la media muestral de 19 y la varianza muestral de 1.8. a) Calcula un intervalo de de confianza del 99% para la verdadera diferencia de las medias. b) De acuerdo con el intervalo hallado, hallado, ¿hay evidencia evidencia de que los dos tiempos promedios son iguales? 8. Oficiales escolares comparan el coeficiente intelectual entre niños de dos grupos. De una muestra de 159 niños del grupo 1 78 califican con más de 100 puntos, de una muestra de 250 niños del grupo 2 123 califican con más de 100 puntos. Construya un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos proporciones del grupo 1 y 2 de los niños con califican con más de 100. 9. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son: 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03 Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina si se supone una distribución aproximadamente normal. 10. Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia a la tensión. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78.3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87.2 Kg. Se sabe de antemano que las desviaciones poblacionales son de 6.5 Kg para la marca A y 6.3 Kg para la B. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales. 11. Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8 9.7 10.5 12.1 13.3 13.4 10.3 8.5 15.0 15.0 10.5 7.6 6.3. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.2 años? 12.Un estudio estadístico sobre el uso de cajeros automáticos indica que el monto diario (en 12.Un dólares) de los movimientos tanto para hombres y mujeres tienen distribución distribución normal con la misma media y con varianzas respectivas de 64 y 49. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para investigar más al respecto, se seleccionan aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas respectiv as de 200 y 205. Para un nivel nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que la media de las dos poblaciones de montos es diferente? 13.El gerente de control de calidad de una fábrica de lámparas eléctricas desea estimar la 13.El duración promedio de un embarque de lámparas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 lámparas. Los resultados indican una duración promedio de la muestra de 540 horas con una desviación estándar de 120 horas. Establezca un intervalo simétrico con respecto a la media poblacional, que la contenga con una probabilidad del 95%. 14. El porcentaje de individuos daltónicos varones de una población es p. Se desea estimar el porcentaje de la población a partir del porcentaje observado sobre una muestra de tamaño n. Calcular el tamaño de la muestra a fin de que el error cometido sea inferior al 1% con probabilidad 0,90 en los casos: a) Si se sabe que p es inferior al 16%. b) Si no se tiene información acerca acerca de p.
15. La asociación de ex ± alumnos de una universidad querría estimar los salarios promedio de los graduados en 1988. Una muestra aleatoria de 100 personas reveló un salario promedio de S/. 1500 por mes con una desviación estándar de S/. 200. Establezca una estimación del intervalo con 95% de confianza del salario promedio real de los graduados. Suponga que los salarios promedios siguen un modelo normal. 16. Una línea de autobuses piensa establecer una ruta desde un suburbio hasta el centro de la ciudad. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 posibles usuarios y 18 indicaron que utilizarían esa ruta de autobuses. Establezca una estimación del intervalo con 95% de confianza de la proporción real de usuarios para esta nueva ruta de autobuses. 17. Se planea una encuesta para determinar los gastos médicos familiares promedio de los empleados de una compañía. La gerencia de la empresa quiere tener una confianza del 95% de que el promedio de la muestra está correcto con una aproximación de s Bs.50 de los gastos familiares reales. Un estudio piloto indica que la desviación estándar se puede estimar en Bs. 400. ¿Qué tan grande es el tamaño de la muestra? 18. Una compañía de televisión por cable desea estimar la proporción de sus suscriptores que comprarían su revista con la programación. La compañía desea tener 95% de confianza de que su estimación está correcta con aproximación de s 0,05 de la proporción real. La experiencia previa en otras áreas indica que el 30% de los suscriptores comprarán la revista. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 19. Un grupo de estudio querría estimar la facturación mensual promedio por luz eléctrica en el mes de julio en casas unifamiliares en Acarigua. Con base en estudios efectuados en otras ciudades, se supone que la desviación estándar es de Bs. 20. El grupo querría estimar la facturación promedio con aproximación de s Bs. 5 del promedio real con 99% de confianza. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?. 20. Un auditor de una dependencia gubernamental de protección al consumidor querría determinar la proporción de reclamaciones sobre pólizas de enfermedades que paga la compañía de seguros en un plazo de dos meses de haber recibido la reclamación. Se selecciona una muestra de 200 reclamaciones y se determina que 80 fueron pagadas en un plazo de dos meses después de recibirlas. Establezca una estimación del intervalo con 99% de confianza de la proporción real de reclamaciones pagadas dentro de ese plazo de dos meses. 21. El porcentaje de Calcio observado en dientes sanos de 10 individuos de una especie animal, es: 36,6 a) b) c) d) e)
35,9
35,6
35,4
34,9
36,5
35,6
35,2
35,6
35,4
Da una estimación estimaci ón insesgada para la media y la varianza poblacionales. Calcula el intervalo de confianza del 95% para el porcentaje medio de calcio. ¿Se podría aceptar aceptar que el porcentaje medio de calcio es igual a 36? 36? Intervalo de confianza confianza del 95% para la varianza de dicho dicho porcentaje. ¿Se podría aceptar aceptar que la varianza de dicho porcentaje es igual a 1¶5? 1¶5?
22. Una cafetería valor la posibilidad de poner una sala de fumadores si el porcentaje de usuarios de la cafetería que fuma supera el 60%. Un estudio sobre 50 usuarios elegidos aleatoriamente indica que 26 de ellos fuman y 24 no. a) Construye un intervalo de confianza confianz a al 99% para para el porcentaje de usuarios de la cafetería que fuman. ¿Justificaría el intervalo obtenido la creación de la sala de fumadores? Razona la respuesta. b) ¿A qué número mínimo de personas habría que encuestar, con el mismo nivel de confianza anterior, para que la diferencia entre la proporción muestral y la proporción poblacional de fumadores (error o radio del intervalo) sea menor que 0¶05? 23. Un grupo de investigadores de Ecología midieron la concentración de células rojas en la sangre de 29 lagartos ( Sceloporis occidentales) capturados en el campo. También observaron si los lagartos estaban infectados por el parásito de Malaria Plasmodium. Los recuentos de células rojas proporcionaron los siguientes valores.
Animales infectados:
n1
! 13
Animales no infectados: n2 ! 16
245,1
X 1 ! 972,1
s1
X 2 ! 843, 4
s 2 ! 251,2
!
a) Construye un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre la concentración media de células rojas en la sangre de animales infectados y no infectados (se supone normalidad). b) ¿Se podría afirmar que la malaria reduce el número de células rojas? Razona la respuesta. 24. En un estudio sobre el efecto del dióxido de azufre como agente contaminante del aire, se dispuso de cierto tipo de semillas de habichuelas en cámaras que se mantuvieron a lo largo del experimento abiertas por su parte superior. Se asignaron aleatoriamente seis de esas cámaras a un tratamiento consistente en fumigarlas con dióxido de azufre, y en las otras seis no se efectuó ningún proceso. Transcurrido un mes, se registraron las cosechas totales (en kg) de habichuelas en cada cámara, obteniéndose los siguientes datos: Sin CO2 Con CO2
1,52 1,49
1,85 1,55
1,39 1,21
1,15 0,65
1,30 0,76
1,57 0,69
Halla un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de producción media de habichuelas con y sin dióxido de azufre. Interprétalo. 25. Se realizó un estudio para comparar el contenido en sodio en el plasma de las focas peleteras australes jóvenes, con el nivel de sodio en la leche de las focas. Se obtuvieron las siguientes observaciones sobre el contenido de sodio (en minimotes) por litro de leche (o plasma) en 10 focas aleatoriamente seleccionadas: Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Leche 93 104 95 81,5 95 95 76,5 80,5 79,5 87
Plasma 147 157 142 141 142 147 148 144 144 146
Halla un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de niveles de sodio en los dos líquidos corporales. ¿Hay pruebas de que exista alguna diferencia? ¿En qué sentido? 26. Uno de los ejemplos de selección natural estudiados es el de la polilla moteada. Hasta 1845, todas las especies conocidas presentaban colores claros, pero ese año fue capturada en Manchester una polilla negra. A causa de la industrialización de la zona, los troncos de los árboles, las rocas, e incluso la tierra, se habían ennegrecido por el hollín. Esa forma mutante negra se extendió rápidamente. H.B.D. Kettlewell creyó que la expansión era debida, en parte, a que el color negro protegía a la polilla de sus depredadores naturales, en particular de los pájaros, ya que le permitía mimetizarse con la oscurecida vegetación de la zona. Los entomólogos de la época declararon que ellos nunca habían visto a un pájaro comerse una polilla moteada de color alguno, y desecharon la idea. En un experimento para estudiar la teoría, Kettlewell marcó una muestra de 100 polillas de cada color, y las liberó después. Volvió por la noche con trampas con luz y recobró el 40% de las polillas negras y solamente el 19% de las de color claro. Supóngase que las polillas no recobradas fueron presas de algún depredador. a) Encontrar una estimación estimación puntual para la diferencia en las tasas de supervivencia. b) Encuentra un intervalo de confianza confianza para la diferencia anterior. ¿Apoya este este intervalo la teoría de que el color negro contribuye a proteger a estas polillas de los depredadores? Explica la respuesta (NOTA: considera primero un nivel de significación del 5%, y luego uno del 1%).
27. Para una prueba de mercado, se va a vender un nuevo cereal para desayuno durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Los resultados de una muestra de 36 tiendas indicaron ventas promedio de Bs. 1.200 con una desviación estándar de Bs. 180. Establezca una estimación del intervalo con 99% de confianza de las ventas promedio reales de este nuevo cereal. 28. Una muestra aleatoria de los balances financieros de fin de año de 22 pequeños negocios minoristas, muestra que el margen de ganancia neta sobre las ventas es de 0,0210 y la desviación estándar 0,0114. Encuentre un intervalo de confianza al 90% para el margen medio de ganancia neta de todos los pequeños negocios minoristas de la ciudad. 29.Una marca de lavadoras quiere saber la proporción de amas de casa que preferirían usar su 29.Una marca. Toman al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que la usarían. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha lavadora. 30.Se desea cambiar una máquina en una cadena de producción. Se toman muestras con la 30.Se máquina actual y con la nueva máquina para determinar si se van a producir mejoras en el sistema. 75 de 1.000 artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de 2.500 partes del nuevo, determine un intervalo de confianza del 90% para la verdadera diferencia de proporciones de partes defectuosas. 31.Dos maquinarias A y B, usadas para el corte de pieles para zapato, tienen que ser 31.Dos comparadas para comprobar la calidad de la producción. Se extrae una muestra de 50 elementos por la maquinaria A y 45 para la maquinaria B. También, se sabe que la varianza de los cortes es de 9 cm para el grupo A y 16 para el grupo B. Sabiendo que las medias maestrales obtenidas son respectivamente iguales a 140 cm y 120 cm, hallar un intervalo de confianza al 93% para la diferencia de las dos poblaciones. 32.En una investigación de mercado se pregunta a 600 personas sobre el interés en consumir un 32.En determinado producto, si éste se comercializara en la ciudad. De ellas 55% manifiestan su intención de consumirlo. Con posterioridad a la encuesta, el fabricante del producto comercial exige que el error de la estimación sea inferior al 3%, con una confianza del 98% ¿Cumple la investigación los requisitos exigidos por el fabricante? 33.Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de 33.Tomada, ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad. 34. ³Una empresa de software está investigando la utilidad de dos lenguajes diferentes para mejorar la rapidez de programación. A doce programadores, familiarizados con ambos lenguajes, se les pide que programen un cierto algoritmo en ambos lenguajes, y se anota el tiempo que tardan, produciendo los siguientes datos en minutos: Lenguaje 1 Lenguaje 2
17 18
16 14
21 19
14 11
18 23
24 21
16 10
14 13
21 19
23 24
13 15
18 20
En base a estos datos, calcular: a) Un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias en el tiempo de programación. b) ¿Puede considerarse que uno uno de los dos lenguajes es preferible preferible al otro?´ 35. ³El gobierno francés está interesado en analizar los datos obtenidos en experimentos atómicos. En particular está interesado en el estudio de la potencia desarrollada por una determinada bomba nuclear. Los resultados de 15 explosiones de estas bombas, realizadas entre Marzo de 1994 y Enero de 1996, son los siguientes (en kilotones): 724 718 776 760 745 759 795 756 742 740 761 749 739 747 742 a) Calcular intervalos de confianza al 90, 95 y 99% para la media de la potencia.
b) Calcular tres intervalos de confianza distintos al 95% para la varianza de la potencia. 36. ³El nivel de colesterol es un factor de alto riesgo en el desarrollo de la enfermedad de artoesclerosis cardíaca y de la enfermedad de arteria coronaria, por tanto, es importante determinar los niveles que esperamos en los diferentes grupos de edad y sexo. Para comparar el nivel de colesterol en varones de entre 20 y 29 años de edad frente a mujeres del mismo grupo de edad se realizó un estudio cuyos estadísticos básicos son los de la tabla Hombres Mujeres nH = 96
nM = 85
H
= 170.81 mg/dl
M
= 181.08 mg/dl
H
= 30.55 mg/dl
M
= 30.79 mg/dl
En base a estos datos: a) Hacer un estudio descriptivo de la muestra de hombres y de de la muestra de mujeres. Conclusiones. b) Calcular intervalos de confianza al 90, 90, 95 y 99% para la diferencia de medias del nivel de colesterol entre hombres y mujeres. c) Calcular un intervalo de confianza al 90% para el cociente de varianzas del nivel de colesterol entre hombres y mujeres. d) ¿Puede suponerse que el nivel nivel de colesterol en los hombres es igual al de las mujeres?´ 37. Si de 100 personas encuestadas, 30 se manifiestan a favor de un determinado partido político, ¿qué porcentaje de votos obtendría dicho partido de celebrarse en ese momento las elecciones? (confianza del 95%) 38. Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad, se encontró que 300 leían la prensa diaria regularmente. a) Halla, con un intervalo de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de esa comunidad. b) A la vista del resultado anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir una cota de error del 0,05% con el mismo mism o nivel de confianza del 90%. ¿Cuántos individuos indivi duos ha de tener la muestra? 39. Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo, en la muestra? 40. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. 41. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad. 42. Con los datos del ejercicio anterior, se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a 0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo, en la muestra? 43. Tomada una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad, se obtuvo que 105 habían votado a un determinado partido X. Halle, con un nivel de confianza del
90%, un intervalo de confianza que permita estimar la proporción de votantes del partido X en esa ciudad. 44. En una muestra aleatoria de 300 personas mayores de edad de una gran ciudad se encontró que 105 leían un determinado periódico X. A la vista de esos datos se pretende seleccionar una nueva muestra para conseguir una cota de error de 3 centésimas como máximo, con un nivel de confianza del 95%, para la estimación de la proporción de lectores de ese periódico por medio de un intervalo de confianza. Deduzca el número de individuos de la población que, como mínimo, debe tener la muestra. 45. Se desea estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos daltónicos de una población a través del porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos de tamaño n . Si el porcentaje de individuos daltónicos en una muestra aleatoria es igual al 30%, calcule el valor mínimo de n para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación sea inferior a 0,031. 46. Para estimar, por medio de un intervalo de confianza, la proporción p de individuos miopes de una población, se ha tomado una muestra de 80 individuos con la que se ha obtenido un porcentaje de individuos miopes del 35%. Determine, usando un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de miopes de toda la población. 47. En una encuesta realizada a 500 mujeres adultas de una población se encontró que 300 de ellas están casadas actualmente. Construya con estos datos un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la proporción de mujeres adultas actualmente casadas en esa población. 48. Una muestra aleatoria de automóviles tomada en una zona turística ha permitido obtener un intervalo de confianza, al nivel del 95%, para estimar de la proporción de matrículas extranjeras de esa zona, siendo sus extremos 0,232 y 0,368. a) Determine el valor de la proporción estimada a través de esa muestra y una cota del error de estimación a este nivel de confianza. b) Utilizando el mismo nivel de confianza, ¿cuál sería la cota de error, error, si esa misma proporción se hubiera observado en una muestra de 696 matrículas? 49. Para conocer la audiencia de uno de sus programas (proporción de televidentes que lo prefieren), una cadena de TV ha encuestado a 1000 personas elegidas al azar obteniendo una proporción muestral del 33% de personas favorables a ese programa. Calcule una cota del error de estimación, por medio de un intervalo de confianza, con un nivel del 92%. 50. Supongamos que las notas en la asignatura de Inferencia siguen una distribución normal en los dos grupos existentes. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 21 alumnos del primer grupo y otra de 26 alumnos del segundo grupo, ambas independientes, y se obtienen como varianzas 1250 y 900 respectivamente. Obtenga un intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales al nivel de confianza del 90%. 51. La longitud de las barras producidas por una cadena de producción es una v.a. con distribución normal y desviación estándar 1,8 mm. Se extrae una m.a.s. de 9 observaciones y se obtiene el siguiente intervalo de confianza al nivel del 99% para la longitud media poblacional: [194,65 ; 197,75]. El director cree que el intervalo es demasiado amplio y exige uno con el mismo nivel de confianza pero cuya longitud no sea superior a 1mm. ¿Cuántas observaciones debe tener la muestra para construir dicho intervalo? 52. Un supervisor de control de calidad en una enlatadora sabe que la cantidad exacta en cada lata varía, pues hay ciertos factores imposibles de controlar que afectan a la cantidad de llenado. El llenado medio por lata es importante, pero igualmente importante es la variación s2 de la cantidad de llenado. Si es grande, algunas latas contendrán muy poco, y otras, demasiado. A fin de estimar la variación del llenado en la enlatadora, el supervisor escoge al azar 10 latas y pesa el contenido de cada una, obteniendo el siguiente pesaje (en onzas):
7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 8.03 8.02 8.04 8.02 Establezca un intervalo de confianza de 90% para la verdadera variación del llenado de latas en la enlatadora.
53. Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recién nacidos en este año en una ciudad para estimar la proporción de varones entre los recién nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. ¿Cuál será el error de estimación a ese nivel si se observan 234 varones en la muestra? 54. Para estimar la proporción de familias con un solo hijo en una ciudad, se ha tomado una muestra de familias al azar, de las cuales el 30% tiene un solo hijo. ¿Cuál es el mínimo tamaño muestral necesario para que, con esos datos, un intervalo de confianza de esa proporción a un nivel del 95% tenga una cota de error de 0,06, como máximo? 55. Una cadena de TV quiere saber si la audiencia de uno de sus programas sigue manteniéndose en el 25% de los espectadores. ¿Cuántos espectadores se deberían encuestar al azar, como mínimo, para tener un nivel de confianza del 90% de que el error en la estimación de la proporción actual sea igual o inferior a 0,03? 56. Calcule el tamaño mínimo de una muestra aleatoria de jóvenes entre 18 y 25 años para tener una confianza del 95% de que el error que se cometerá al estimar la proporción de fumadores entre esas edades no sea superior a 0,05, sabiendo que en una encuesta previa se ha encontrado un 32% de fumadores entre estos jóvenes. 57. Se va a tomar una muestra aleatoria de 600 recién nacidos en este año en una ciudad para estimar la proporción de varones entre los recién nacidos de esa ciudad, mediante un intervalo de confianza con un nivel del 95%. ¿Con qué proporción estimada será máxima la amplitud de ese intervalo? ¿Cuál es la amplitud máxima? 58. Para estimar la proporción de consumidores que prefieren un determinado refresco, por medio de un intervalo de confianza, se ha tomado una muestra al azar de 1075 consumidores, entre los que se han encontrado 516 que lo prefieren. Determine una cota del error cometido para esa estimación a un nivel de confianza del 95%. 59. En una muestra aleatoria de 600 coches de una ciudad, 120 son de color blanco. Construya un intervalo de confianza de la proporción de coches de color blanco con un nivel de confianza del 98%. 60. Se estima la proporción de varones adultos, residentes en una población, con obesidad severa 30 IMC e 40, mediante una muestra aleatoria de tamaño 500. Se obtiene una estimación de varones con obesidad severa del 18%. Utilizando un nivel de confianza del 98%, ¿cuál es el error máximo que se cometerá al estimar, por medio de un intervalo de confianza, esa proporción? 61. Se desea estimar la proporción de adultos que leen un determinado diario local por medio de un intervalo de confianza. Obtenga el tamaño mínimo de la muestra que garantice, aún en la situación más desfavorable, un error de la estimación inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%. 62. Se estima, por un intervalo de confianza, la proporción de hogares con conexión a Internet utilizando una muestra aleatoria y con un nivel de confianza del 96%. Se obtiene así, una proporción estimada del 28%, con un error máximo del 6%. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra utilizada? 63. Mediante una muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporción de residentes en Sevilla que tienen intención de asistir a un partido de fútbol entre el Betis y el C.F. Sevilla. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error máximo en la estimación del 3%. Obtenga el valor de la estimación, sabiendo que es inferior a 0,25. 64. En el diario ³CÓRDOBA´ del día 20 de Enero de 2.004 se publicó el resultado de un sondeo sobre intención de voto en las elecciones al Parlamento Andaluz del 14 de marzo de 2.004. Según la ficha técnica de la encuesta, el tamaño de la muestra fue de 5000 individuos, el nivel de confianza utilizado del 95%, y el error máximo de la estimación de los que no tienen decidido el voto del 1%.En la página 2, del mencionado diario, se estima que el 13,3% de los andaluces no tienen decidido el voto. Analice la coherencia del resultado de la estimación con la ficha técnica de la encuesta, si se utiliza un muestreo aleatorio simple.
65. En una investigación de mercado se pregunta a 600 personas sobre el interés en consumir un determinado producto, si éste se comercializara en la ciudad. De ellas 55% manifiestan su intención de consumirlo. Con posterioridad a la encuesta, el fabricante del producto comercial exige que el error de la estimación sea inferior al 3%, con una confianza del 98%. a) ¿Cumple la investigación los requisitos exigidos por el fabricante? b) En caso negativo, ¿cuál es el valor mínimo del tamaño de la muestra para cumplir con las exigencias del fabricante? 66. Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0.15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0.2 decilitros con una confianza del 95%.¿De qué tamaño debemos escoger la muestra? 67. Es necesario estimar entre 10000 establos, el número de vacas lecheras por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza del 95%. Sabemos que la varianza es 1000. ¿Cuántos establos deben visitarse para satisfacer estos requerimientos? 68. Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02 11.14 10.78 11.59 11.58 11.19 11.71 11.27 10.93 10.94 ¿Cuántas cajas debe escoger para que se cumplan los requisitos propuestos? 69. Se desea conocer el peso promedio de una determinada clase de pescado con un error de estimación de 0.02 y con un nivel de confianza del 99%. Por datos anteriores se sabe que el peso mínimo es 1.48 libras y el máximo es de 2.47 libras. ¿De qué tamaño debe escoger la muestra? Suponga que los pesos de estos pescados se distribuyen normalmente. 70. Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0.35. Se desea determinar un intervalo de confianza del 95% con un error de estimación de 0.05. 71. Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1% el porcentaje de semillas que germinan en la granja de su competidor. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse para obtener un nivel de confianza del 95%? 72. Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la proporción de jóvenes que estaría a favor de una nueva zona de ocio. El número de jóvenes de dicha población es N=2.000. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0.05 y un nivel de confianza del 95%. 73. Se planea realizar un estudio de tiempos para estimar el tiempo medio de un trabajo, exacto dentro de 4 segundos y con una probabilidad de 0.90, para terminar un trabajo de montaje. Si la experiencia previa sugiere que = 16 seg. mide la variación en el tiempo de montaje entre un trabajador y otro al realizar una sola operación de montaje, ¿cuántos operarios habrá que incluir en la muestra? ormal de 74. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la duración (horas) de estas sigue una N ormal 2 media desconocida y varianza W =3.600 h. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 %, ha obtenido, para Q , el intervalo de confianza [372,6; 392,2]. a) ¿Cuál fue el valor que obtuvo para la media de la muestra? ¿Cuál fue el tamaño tamaño muestral utilizado? b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%?
